Calculo 3 - Prova Discursiva 1 Ulbra matemática

Prévia do material em texto

Atividade Avaliativa Discursiva 1 
Cálculo III – Matemática Licenciatura – 2020/1 
Gabarito 
1. (3,0) Calcule os limites, se existirem: 
 a) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝒂
𝒙
)
𝒃𝒙
 
 𝑦 = lim
𝑥→∞
(1 +
𝑎
𝑥
)
𝑏𝑥
 
 ln 𝑦 = ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
𝑎
𝑥
)
𝑏𝑥
] 
 ln 𝑦 = lim
𝑥→∞
[𝑙𝑛 (1 +
𝑎
𝑥
)
𝑏𝑥
] 
 ln 𝑦 = lim
𝑥→∞
[𝑏𝑥. (1 +
𝑎
𝑥
)] 
 ∞ . 0 
 ln 𝑦 = lim
𝑥→∞
[
ln(1+
𝑎
𝑥
)
1
𝑏𝑥
]
0
𝑜 𝐿′
 
 ln 𝑦 = lim
𝑥→∞
(
−𝑎/𝑥²
1+𝑎/𝑥
)
(−
1
𝑏𝑥²
)
 
 𝑙𝑛 𝑦 = lim
𝑥→∞
 (
−𝑎/𝑥²
1 + 𝑎/𝑥
) . (−
𝑏𝑥²
1
) 
 ln 𝑦 = lim
𝑥→∞
(
𝑎𝑏
1+
𝑎
𝑥
) 
 ln 𝑦 = (𝑎𝑏) 
 𝑦 = 𝑒𝑎𝑏 
 Logo: lim
𝑥→∞
(1 +
𝑎
𝑥
)
𝑏𝑥
= 𝑒𝑎𝑏 
 b) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝝅
𝐜𝐨𝐬(𝒙)+𝒔𝒆𝒏(𝒙)+𝟏
𝐭𝐚𝐧 (𝒙)
 
 lim
𝑥→𝜋
(
cos(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)+1
tan (𝑥)
)
0
0 𝐿′
= lim
𝑥→𝜋
−𝑠𝑒𝑛 (𝑥)+cos (𝑥)
𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
=
−𝑠𝑒𝑛 (𝜋)+cos (𝜋)
𝑠𝑒𝑐2(𝜋)
=
0−1
1
= −𝟏 
 
 c) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
 𝒙. [𝒄𝒐𝒔( 𝝅/𝒙) − 𝟏] = 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
 𝑥. [𝑐𝑜𝑠( 𝜋/𝑥) − 1] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
 [
cos(
𝜋
𝑥
)−1
1
𝑥
]
0
0 𝐿′
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
 [
𝜋
𝑥2
.𝑠𝑒𝑛(
𝜋
𝑥
)
−
1
𝑥2
] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
[−
𝜋
𝑥2
∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
𝑥
) ∙ 𝑥2] = 
 ∞. 0 
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
[−𝜋. 𝑠𝑒𝑛(𝜋/𝑥)] = −𝜋. 0 = 𝟎 
2. (2,0) Determine a convergência das integrais a seguir: 
 a) ∫
𝒙
√𝒙²−𝟏
𝒅𝒙 =
𝟑
𝟏
 𝑙𝑖𝑚
𝛽→1+
1
2
∫ (𝑥2 − 1)−1/2. 2. 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝛽→1+
[
1
2
∙
(𝑥2−1)1/2
1/2
]
𝛽
3
= 𝑙𝑖𝑚
𝛽→1+
[√𝑥2 − 1]
𝛽
3
=
3
𝛽
 
 = 𝑙𝑖𝑚
𝛽→1+
(√32 − 1 − √𝛽2 − 1) = √𝟖 = 𝟐√𝟐 (𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆) 
 0 
 b) ∫
𝐥𝐧 (𝒙)
𝒙
𝒅𝒙
∞
𝟏
= 𝑙𝑖𝑚
𝛽→∞
∫
ln (𝑥)
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝛽→∞
[
(ln (𝑥))2
2
]
1
𝛽
=
𝛽
1
lim
𝛽→∞
 [
(ln (𝛽))2
2
−
(ln (1))2
2
] = ∞ (𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆) 
 ∞ 0 
 
3. (2,0) Determine o domínio de cada função a seguir, nas formas algébrica e 
 geométrica. Construa os gráficos manualmente. 
a) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 
√𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟒
𝒙
 
𝑥 ≠ 0 
𝑥2 + 𝑦2 − 4 ≥ 0 
𝑥2 + 𝑦2 ≥ 4 
 
Domínio na forma algébrica: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 4 𝑒 𝑥 ≠ 0} 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 4 é uma circunferência de centro 
em (0,0) e raio igual a 2. 
 
 
 
 
 
 
Domínio na forma geométrica: 
 
 
 
b) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐧 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏) 
 𝑥2 + 2𝑦2 − 1 > 0 
 𝑥2 + 2𝑦2 > 1 
Domínio na forma algébrica: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥2 + 2𝑦2 > 1} 
𝑥2 + 2𝑦2 = 1 (é uma elipse) 
𝑥²
1
+
𝑦²
1/2
= 1 (eixo maior em x) 
𝑎2 = 1 → 𝑎 = ±1 
𝑏2 =
1
2
 → 𝑏 = ±√
1
2
≅ 0,707 
Domínio na forma geométrica: 
 
 
 
 
 
 
4. (3,0) Esboce o mapa de contorno de cada função a seguir, usando as curvas de nível 
 de alturas k indicadas. Construa os gráficos manualmente. 
a) 𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝟏
𝒙𝟐−𝒚
 , para k = 1, 2 e 3. 
 
1
𝑥2−𝑦
= 𝑘 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = 𝟏: 
𝟏
𝒙𝟐−𝒚
= 𝟏 → 𝒙𝟐 − 𝒚 = 𝟏 → 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏 (parábola) 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = 𝟐: 
𝟏
𝒙𝟐−𝒚
= 𝟐 → 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒚 = 𝟏 → 𝒚 = 𝒙𝟐 −
𝟏
𝟐
 (parábola) 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = 𝟑: 
𝟏
𝒙𝟐−𝒚
= 𝟑 → 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒚 = 𝟏 → 𝒚 = 𝒙𝟐 −
𝟏
𝟑
 (parábola) 
 
b) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 , para k = -1, 6 e 15. 
𝑥2 + 𝑦2 − 10 = 𝑘 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = −𝟏: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 = −𝟏 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗 (circunferência de centro (0,0) e raio 3) 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = 𝟔: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟔 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 (circunferência de centro (0,0) e raio 4) 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = 𝟏𝟓: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 (circunferência de centro (0,0) e raio 5) 
 
 
c) 𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 , para k = 3, 6 e 12. 
 √3𝑥2 + 6𝑦² = 𝑘 
 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = 𝟑: √𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚² = 𝟑 → 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 = 𝟗 (elipse) 
𝟑𝒙²
𝟗
+
𝟔𝒚²
𝟗
=
𝟗
𝟗
 → 
𝒙²
𝟑
+
𝒚²
𝟑/𝟐
= 𝟏 (eixo maior em x) → 𝒂 = √𝟑 ≅ 𝟏, 𝟕𝟑 𝒃 = √
𝟑
𝟐
≅ 𝟏, 𝟐𝟐 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = 𝟔: √𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚² = 𝟔 → 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 = 𝟑𝟔 (elipse) 
𝟑𝒙²
𝟑𝟔
+
𝟔𝒚²
𝟑𝟔
=
𝟑𝟔
𝟑𝟔
 → 
𝒙²
𝟏𝟐
+
𝒚²
𝟔
= 𝟏 (eixo maior em x) → 𝒂 = √𝟏𝟐 ≅ 𝟑, 𝟒𝟔 𝒃 = √𝟔 ≅ 𝟐, 𝟒𝟓 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒌 = 𝟏𝟐: √𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚² = 𝟏𝟐 → 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 (elipse) 
𝟑𝒙²
𝟏𝟒𝟒
+
𝟔𝒚²
𝟏𝟒𝟒
=
𝟏𝟒𝟒
𝟏𝟒𝟒
 → 
𝒙²
𝟒𝟖
+
𝒚²
𝟐𝟒
= 𝟏 (eixo maior em x) → 𝒂 = √𝟒𝟖 ≅ 𝟔, 𝟗𝟑 𝒃 = √𝟐𝟒 ≅ 𝟒, 𝟗