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Cálculo Integral Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique Revisão Textual: Profa. Esp. Natalia Conti Métodos de Integração I 5 • Cálculos de Integrais e Área • Método da Integração – Regra da Substituição · Estamos estudando sobre Cálculo Integral, nesta unidade veremos a relação entre cálculo de integrais e de área e o método de integração por substituição. · Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de calcular a medida da área de uma região do plano cartesiano. Estamos estudando sobre Cálculo Integral. A proposta desta unidade é o estudo de métodos para calcular integrais. Com relação aos conteúdos, dividimos em: • Cálculo de integrais e Área • Método da Integração – Regra da Substituição Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de calcular a integral definida e a indefinida de uma função real por meio da regra da substituição. Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo para realização das mesmas. Bom estudo. Métodos de Integração I 6 Unidade: Métodos de Integração I Contextualização Consideremos o gráfico da função f(x) = x2. Dizemos que esta função é par. Uma função é dita par quando, para todo elemento x pertencente ao domínio da função, temos: f(x) = f(-x), então x e o seu oposto -x possuem a mesma imagem. Ao observarmos o gráfico desta função é possível notar que o eixo y é um eixo de simetria deste gráfico, ou seja, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, isto é, o lado direito do gráfico se espelha no lado esquerdo e vice-versa. Imaginemos que queremos determinar a integral definida de uma função contínua em um intervalo simétrico, por exemplo [-a,a], e que ela seja uma função par: ( ) a a f x dx − ∫ Como podemos calcular esta integral definida? Ao observar o gráfico de uma função par podemos perceber que a medida da área da região à esquerda do eixo y é igual à medida da área da região à direita. Desta forma, podemos simplificar o cálculo da integral. Se a função é par, então ( ) ( ) 0 2 a a a f x dx f x dx − =∫ ∫ 2,5 2,5 -2,5 5 0-2,5-5 7,55 x y 7 E observemos também o gráfico da função f(x) = x3. Dizemos que esta função é ímpar. Uma função é dita ímpar quando, para todo elemento x pertencente ao domínio da função, temos: f(x) = -f(-x), então x e o seu oposto -x possuem imagens opostas. Ao observarmos o gráfico desta função é possível notar que a origem do plano cartesiano, o ponto (0,0), é um ponto de simetria deste gráfico, ou seja, o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Imaginemos que queremos determinar a integral definida de uma função contínua em um intervalo simétrico, por exemplo [-a,a], e que ela seja uma função ímpar: ( ) a a f x dx − ∫ Como podemos calcular esta integral definida? Ao observar o gráfico de uma função ímpar podemos perceber que a medida da área da região à esquerda do eixo y é igual à medida da área da região à direita. Entretanto, as integrais nestes dois intervalos são opostas e sua soma resulta em zero. Desta forma, podemos simplificar o cálculo da integral. Se a função é ímpar, então ( ) 0 a a f x dx − =∫ 2,5 2,5 -2,5 0-2,5-5 7,55 x y 8 Unidade: Métodos de Integração I Cálculos de Integrais e Área Vejamos alguns exemplos que relacionam o conceito de integral definida e o de área de uma região. 1 Consideremos o gráfico da seguinte função f(x) = -3 + x . Vamos determinar o valor da integral ( ) 5 0 3 .− +∫ x dx Sabemos que se temos a função ( ) 3= − +f x x , então a antiderivada é ( ) 2 3 2 = − + + xF x x c . Logo, o valor da integral é: ( ) ( ) ( ) 5 2 2 0 5 03 5 0 3.5 3.0 2 2 − + = − = − + + − − + + ∫ x dx F F c c ( ) 5 0 3 15 12,5 2,5− + = − + = −∫ x dx 2,5 2,5 -2,5 -5 -7,5 5 0-2,5-5 7,5 10 12,5 155 x y 9 Tínhamos visto uma relação entre integral definida e área, mas este exemplo apresenta um valor negativo para a integral definida. Qual a diferença, então, entre estes dois conceitos? Quando estudamos integral definida, vimos exemplos de funções que eram positivas nos intervalos de integração, ou seja, o gráfico das funções estavam acima do eixo x, eixo das abscissas, nos intervalos de integração. E esta situação não temos neste exemplo, o gráfico da função f está uma parte abaixo do eixo x e outra parte acima do eixo x. Podemos reescrever a integral como a soma de duas integrais. ( ) ( ) ( ) 5 3 5 0 0 3 3 3 3− + = − + + − +∫ ∫ ∫x dx x dx x dx Vamos primeiramente calcular a integral da função no intervalo que possui o gráfico abaixo do eixo x e, depois, calcular a integral da função no intervalo que possui o gráfico acima do eixo x. ( ) ( ) ( ) 3 2 2 0 3 03 3 0 3.3 3.0 2 2 − + = − = − + + − − + + ∫ x dx F F c c ( ) 3 0 3 9 4,5 4,5− + = − + = −∫ x dx Podemos perceber que o valor é negativo da integral definida da função no intervalo que possui o gráfico abaixo do eixo x. 2,5 2,5 -2,5 -5 -7,5 5 0-2,5-5 7,5 10 12,5 155 x y A1 10 Unidade: Métodos de Integração I Por outro lado, é possível calcular a área desta região por meio da fórmula da área de um triângulo. A1 = 3 3 4,5 2 × = Verificamos que o valor absoluto da integral definida é o mesmo da medida da área da região que está abaixo do eixo x, no intervalo [0,3]. Assim, podemos perceber que o valor em módulo da integral definida de uma função é a medida da área da região delimitada pelo gráfico da função em determinado intervalo [a,b] e o eixo x, se o gráfico da função estiver abaixo do eixo x, ou seja, que a função seja negativa no intervalo de integração. Vejamos, agora, a integral da função no intervalo que possui o gráfico acima do eixo x. ( ) ( ) ( ) 5 2 2 3 5 33 5 3 3.5 3.3 2 2 − + = − = − + + − − + + ∫ x dx F F c c ( ) 5 3 3 15 12,5 9 4,5 2− + = − + + − =∫ x dx Podemos perceber que o valor é positivo da integral definida da função no intervalo que possui o gráfico acima do eixo x. 2,5 2,5 -2,5 -5 -7,5 5 0-2,5-5 7,5 10 12,5 155 x y A2 11 Por outro lado, é possível calcular a área desta região por meio da fórmula da área de um triângulo. A2 = 2 2 2 2 × = Verificamos que o valor da integral definida é o mesmo da medida da área da região que está acima do eixo x, no intervalo [3,5]. Assim, podemos perceber que o valor da integral definida de uma função é a medida da área da região delimitada pelo gráfico da função em determinado intervalo [a,b] e o eixo x, se o gráfico da função estiver acima do eixo x, ou seja, que a função seja positiva no intervalo de integração. Voltemos ao cálculo da integral definida da função no intervalo [0,5]. ( ) ( ) ( ) 5 3 5 0 0 3 3 3 3− + = − + + − +∫ ∫ ∫x dx x dx x dx ( ) 5 1 2 0 3 4,5 2 2,5− + = − + = − + = −∫ x dx A A Portanto, o valor da integral definida é: ( ) 5 0 3 2,5− + = −∫ x dx . E este é o valor encontrado para a integral definida no intervalo dado, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. 12 Unidade: Métodos de Integração I 2 Vejamos outro exemplo. Seja o gráfico da seguinte função g(x) = x3 - x2 -9x + 9 . Vamos determinar o valor da integral ( ) 4 3 2 2 9x 9 . − − − +∫ x x dx Sabemos que se temos a função g(x) = x3 - x2 -9x + 9, então a antiderivada é ( ) 4 3 2 4 3 2 = − − + + x x xG x x c . Logo, o valor da integral é: ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 9x 9 4 2 − − − + = − − =∫ x x dx G G ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 24 3 2 2 2 9. 24 4 9.4 9.4 9. 2 4 3 2 4 3 2 − − − = − − + + − − − + − + = c c 64 864 72 36 4 18 18 60 24 36 3 3 = − − + + − + − − + = − = c c Portanto, vamos guardar que: ( ) 4 3 2 2 9x 9 36 − − − + =∫ x x dx . Também não temos neste exemplotodo o gráfico da função acima do eixo x no intervalo de integração [-2,4]. O gráfico da função g está uma parte abaixo do eixo x e outra parte acima do eixo x. Podemos reescrever a integral como a soma de três integrais, considerando os intervalos que possuem o gráfico da função acima do eixo x e o intervalo que possui o gráfico abaixo do eixo x. 2,50 8 -8 16 -16 24 32 -2,5-5 5 x y x = -2 x = 1 x = 3 x = 4 13 ( ) ( ) 4 1 3 2 3 2 2 2 9x 9 9x 9 − − − − + = − − + +∫ ∫x x dx x x dx ( ) ( ) 3 4 3 2 3 2 1 3 9x 9 9x 9+ − − + + − − +∫ ∫x x dx x x dx Vamos calcular cada uma dessas integrais da função. Vejamos a integral definida da função no intervalo [-2,1]. ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 9x 9 1 2 − − − + = − − =∫ x x dx G G ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 24 3 2 2 2 9. 21 1 9.1 9.1 9. 2 4 3 2 4 3 2 − − − = − − + + − − − + − + = c c 1 1 9 8 1359 4 18 18 4 3 2 3 4 = − − + + − + − − + = c c Vejamos agora a integral definida da função no intervalo [1,3]. ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 9x 9 3 1− − + = − =∫ x x dx G G 4 3 2 4 3 23 3 9.3 1 1 9.19.3 9.1 4 3 2 4 3 2 = − − + + − − − + + = c c 81 81 1 1 9 209 27 9 4 2 4 3 2 3 = − − + + − − − + + = − c c E a integral definida da função no intervalo [3,4]. ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 9x 9 4 3− − + = − =∫ x x dx G G 4 3 2 4 3 24 4 9.4 3 3 9.39.4 9.3 4 3 2 4 3 2 = − − + + − − − + + = c c 64 81 81 10764 72 36 9 27 3 4 2 12 = − − + + − − − + + = c c . Portanto, para calcular a integral definida da função no intervalo [-2,4], basta somar os resultados das três integrais. ( ) 4 3 2 2 135 20 1079x 9 36 4 3 12− − − + = − + =∫ x x dx . Pudemos verificar que obtivemos o mesmo resultado quando utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo e quando separamos o cálculo da integral em outras integrais, definidas em três subintervalos. Logo, ( ) 4 3 2 2 9x 9 36 − − − + =∫ x x dx . 14 Unidade: Métodos de Integração I Método da Integração – Regra da Substituição A utilização de antiderivadas para calcular integrais não resolve muitos dos problemas que surgem, por isso existem alguns outros métodos que resolvem alguns destes problemas. Nesta unidade estudaremos a regra da substituição. Esta regra consiste em realizar uma mudança de variável de maneira a obter uma integral que sabemos calcular e, depois de calculada, fazer a mudança de variável inversa. Enunciemos a regra da substituição. Regra da Substituição Se u = g(x) for uma função diferenciável, cuja variação é um intervalo ]a,b[ e f é uma função contínua neste mesmo intervalo, então temos: ( )( ) ( ) ( ). ' =∫ ∫f g x g x dx f u du . Se temos F’ = f, ou seja, F é uma antiderivada de f, então podemos escrever que: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). ' ' . ' = = +∫ ∫f g x g x dx F g x g x dx F g x c . Pois sabemos que a derivada da função composta F(g(x)) é F’(g(x)).g’(x), pela regra da cadeia. Se fizermos a seguinte mudança de variável, ou melhor, a substituição u = g(x), então temos que: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' . ' '= + = + =∫ ∫F g x g x dx F g x c F u c F u du . E considerando F’ = f, temos: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ). ' ' . ' = = + = +∫ ∫f g x g x dx F g x g x dx F g x c F u c . E como temos: ( ) ( ) ( ) '+ = =∫ ∫F u c F u du f u du . Portanto, temos que: du = g’(x)dx ( )( ) ( ) ( ). ' =∫ ∫f g x g x dx f u du . u = g(x) 15 Vejamos alguns exemplos 1 Seja a função ( ) cos= = sen xf x tg x x e determinemos: cos =∫ ∫ sen xtg x dx dx x . Já vimos como determinar a derivada da função tangente, mas sua integral indefinida ainda não tínhamos estudado. Para isso, vamos fazer a seguinte mudança de variável. Consideremos, u = cos x. E determinemos os diferenciais, 1du = -sen x dx. Vamos substituir a variável u na expressão da integral indefinida que queremos determinar. Substituir por du 1 1 . cos cos = = = −∫ ∫ ∫ ∫ sen xtg x dx dx sen x dx du x x u . Substituir por 1 u Agora temos uma integral que sabemos determinar: 1 ln− = − +∫ du u cu . Obtida a integral indefinida, fazemos novamente a mudança de variável, considerando que u = cos x: 1 ln ln cos cos = = − = − + = − +∫ ∫ ∫ sen xtg x dx dx du u c x c x u . Portanto, temos que: ln cos= − +∫tg x dx x c. Vejamos outro exemplo que utiliza a regra da substituição. 16 Unidade: Métodos de Integração I 2 Determinemos a seguinte integral indefinida: 2 1 +∫ x dx. Sabemos determinar a integral da função ( ) =f x x e da função ( ) 2 1= +g x x , mas a da composta destas funções, da função ( )( ) 2 1= +f g x x ainda não tínhamos estudado. Estudamos na unidade de Cálculo Diferencial a determinar a derivada da função composta, conhecida como regra da cadeia e para determinar a integral de uma função composta, normalmente, utilizamos a regra da substituição. Consideremos a seguinte mudança de variável: 2 1= +u x . E determinemos os diferenciais, 1 2=du dx, 1 2 =du dx . Vamos substituir a variável na expressão da integral indefinida que queremos determinar. 1 1 12 1 . . 2 2 2 + = = =∫ ∫ ∫ ∫x dx u du u du u du . E sabemos como determinar esta integral: 3 1 32 2 2 3 3 2 = = + = +∫ ∫ u uu du u du c c. Voltando a mudar a variável de u para x, teremos: ( )33 3 2 11 1 22 1 . . 2 2 3 3 3 + + = = + = + = +∫ ∫ xu ux dx u du c c c Portanto, temos que: ( )32 1 2 1 3 + + = +∫ x x dx c . 17 3 Determinemos a seguinte integral indefinida: 3xe dx∫ Sabemos determinar a integral da função f(x)=ex e da função g(x) = 3x, mas a integral da composta destas funções, da função f(g(x)) = e3x, ainda não tínhamos estudado. Consideremos a seguinte mudança de variável: u = 3x. E determinemos os diferenciais: 1du = 3dx. 1 3 =du dx . Vamos substituir a variável na expressão da integral indefinida que queremos determinar. 3 1 1 3 3 = = +∫ ∫x u ue dx e du e c . Realizando novamente a mudança de variável, agora de u para x, temos que: 3 31 1 3 3 = + = +∫ x u xe dx e c e c . Portanto, temos que: 3 31 3 = +∫ x xe dx e c . 4 Determinemos a seguinte integral: cos ∫ x dx x . Neste caso, iremos também utilizar a regra da substituição para determinarmos esta integral indefinida. Precisamos determinar quais as funções que estão compostas, identificando a função mais externa e a função mais interna. Pois, para efetuarmos a mudança de variável, normalmente, é a função mais interna que deve ser substituída por outra variável. Consideremos: =u x. E determinemos os diferenciais, 1 2 =du dx x . 12 =du dx x . 18 Unidade: Métodos de Integração I Então, substituindo na expressão da integral indefinida, temos que: =u x . cos 2 cos 2 = = +∫ ∫ x dx udu senu c x . 12 =du dx x Portanto, realizando a mudança de variável, agora de u para x, temos que: cos 2= +∫ x dx sen x c x . Observação: Como temos as operações de integração e de derivação como operações inversas, então podemos verificar se determinamos corretamente a integral indefinida de uma função, derivando a integral obtida e verificando se é igual à função integrada inicialmente. Vejamos um caso com este último exemplo. Temos a função ( ) cos= xf x x e determinamos que ( ) 2= +F x sen x c . Como sabemos que F’ = f, então vamos derivar a função F fazendo uso da regra da cadeia: ( ) 2= +F x sen x c, ( ) ( )1 cos' 2cos . 2 = = = xF x x f x x x . Portanto, verificamos que determinamos corretamente a integral indefinida da função f. 5 Vejamos agora um exemplo de como determinar uma integral definida: 1 ln ∫ e x dx x . Podemos determinar esta integral definida por duas maneiras. Uma delas consiste em utilizar a regra da substituição como estamos utilizando para integral indefinida e, depois, como resultado obtido, utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Consideremos: ln=u x. E determinemos os diferenciais, 1 =du dx x . 19 Assim, substituindo na expressão da integral indefinida, temos que: ln=u x 2 2ln (ln ) 2 2= = + = +∫ ∫ x u xdx udu c c x . 1 =du dx x Portanto, temos que: 2ln (ln ) 2 = +∫ x xdx c x . Com este resultado determinamos a integral definida utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. Consideremos ( ) 2(ln ) 2 = + xF x c e lembremos que 1n e = 1 e 1n 1 = 0: ( ) ( ) 1 ln 1= −∫ e x dx F e F x , 2 2 1 ln (ln ) (ln1) 2 2 = + − + ∫ e x edx c c x , ( ) 1 ln 1 10 2 2 = + − + = ∫ e x dx c c x . Outra maneira de determinar esta integral definida é mudando os limites de integração ao se realizar a mudança de variável. Como consideramos ln=u x. Então, quando x = 1, teremos u = ln1 = 0 e quando x = e, teremos u = ln e = 1. Desta maneira, temos: , 1= =x e u 1 1 0 ln =∫ ∫ e x dx udu x 1, 0= =x u E considerando ( ) 2 2 = + uF u c temos que: ( ) ( ) 1 2 2 0 1 0 11 0 2 2 2 = − = + − + = ∫udu F F c c . 20 Unidade: Métodos de Integração I Portanto, 1 ln 1 2 =∫ e x dx x . Desse modo, percebemos que, quando utilizamos a regra da substituição para integrais definidas, podemos colocar tudo em termos da nova variável u, não somente x e dx, mas também os limites de integração. Regra da Substituição para Integral Definida Se temos uma função g que possui derivada contínua em um intervalo fechado e outra função f contínua na variação da função u = g(x), então podemos dizer que: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ' =∫ ∫ g bb a g a f g x g x dx f u du . Vejamos um último exemplo, determinemos a integral definida: /2 0 .cos π ∫ sen x xdx. Consideremos, sen=u x. Determinemos os diferenciais, cos=du xdx. E identifiquemos os limites de integração, 0 0 0= → = =x u sen . 1 2 2 π π = → = =x u sen . Então, substituindo na expressão da integral definida, temos que: /2 1 0 0 .cos π =∫ ∫sen x xdx u du . Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo com a antiderivada ( ) 2 2 = + uF u c , temos: ( ) ( ) /2 1 0 0 1 .cos 1 0 2 π = = − =∫ ∫sen x xdx u du F F . 21 22 Unidade: Métodos de Integração I Material Complementar Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Integral, consulte o site e as referências a seguir. Sites: http://www.somatematica.com.br/superior.php http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/u_substitution/v/u-substitution Livros: ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000. STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009. THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003. 23 Referências Referências Básicas: ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002. STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001. LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw- Hill, 2006. Referências Complementares: FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002. SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1995. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1995. 24 Unidade: Métodos de Integração I Anotações
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