APOSTILA DE LAJES

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO PAULO 
 - FATEC SP - 
 
LAJES DE 
CONCRETO 
 
 
 
 
 
2013 
 
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Evolução Histórica das Lajes 
As lajes são elementos que remetem à antiguidade. Sua constituição variou conforme a 
evolução dos materiais. 
Um dos mais antigos registros do uso de lajes é de 2575 a.C. a 2134 a.C., na pirâmide de 
Kéfren no Egito. A laje cobria uma das câmaras da pirâmide e possuía rasgos horizontais para 
iluminação e ventilação. 
 
 
 
Também há relatos históricos de 605 a.C. a 562 a.C. do uso de lajes de pedra como separação 
de pavimentos nos jardins suspensos da Babilônia. 
Estes exemplos ilustram a importância das lajes e sua utilização desde a antiguidade. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Definição 
 
Segundo a NBR 6118:2003, podemos definir lajes como “elementos de superfície plana 
sujeitos principalmente a ações normais a seu plano”. 
Também podemos definir como elementos planos bidimensionais que se destinam a receber a 
maior parte das ações aplicadas na construção, os mais variados tipos de carga que podem 
existir em função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje faz parte. 
Outra definição que podemos ter é que lajes são elementos planos das edificações (horizontais 
ou inclinados), de estrutura monolítica e espessura relativamente pequena e que são 
caracterizados por duas dimensões: sua largura e seu comprimento, predominantes em 
relação à sua altura e servem para separar os diversos pisos de um edifício. 
As ações são normalmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje, mas 
eventualmente podem ser transmitidas diretamente aos pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tipos de Lajes 
 
Laje de sistema construtivo “convencional” 
 
É a disposição em que as lajes se apoiam nas vigas e estas nos pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Laje “lisa” 
 
São aquelas que se apoiam diretamente nos pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: neste sistema ocorre “punção” 
 
 
 
Laje “cogumelo” 
 
São aquelas que se apoiam nos pilares através de capitéis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
Laje maciça em concreto armado 
 
São lajes executadas em concreto armado convencional. 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
Lajes pré-moldadas 
 
São lajes pré-executadas todas aquelas cujas partes constituintes são fabricadas em larga 
escala por indústrias, sendo montada na obra. Podem ser de vigotas pré-moldadas com blocos 
cerâmicos (ou de isopor) de preenchimento, ou em placas cimentícias dispostas umas ao lado 
das outras. 
 
 
 
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Lajes protendidas 
 
São lajes que, para conter os esforços de tração, utilizam sistema de protensão. 
 
 
 
Nesta apostila trataremos apenas do cálculo de lajes maciças de concreto armado. 
9 
 
Funcionamento global das lajes 
Mediante cargas perpendiculares ao seu plano médio, as lajes se comportam como placas, e 
diante de cargas que atuam em seu próprio plano médio, comportam-se como chapas. 
O comportamento da laje como chapa está ligado à sua contribuição ao contraventamento da 
estrutura global tridimensional e à transmissão das cargas horizontais do vento aos elementos 
resistentes, participando da estabilidade global da estrutura. 
O comportamento da laje como placa, considera-se a laje desligada estruturalmente das vigas 
que a sustentam e não se leva em consideração a influência da deformação das vigas. 
 
Vão efetivo 
O vão efetivo de uma laje é dado pela expressão: 
 
 
onde escolhemos o menor valor das expressões: 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Por razões práticas, pode-se tomar o vão efetivo como sendo de eixo de apoio a eixo de apoio. 
 
 
 
 
 
10 
 
Carregamento das lajes 
Para determinação dos esforços atuantes nas lajes, determinam-se quais cargas atuam nas 
mesmas. De modo geral, as cargas consideradas são: peso próprio, enchimento (pode ser de 
vários tipos, ocorre quando há rebaixamento das lajes), revestimento, carga permanente, carga 
acidental. 
 
Peso Próprio 
O peso próprio das lajes maciças é determinado pelo produto da espessura h pelo peso 
específico do material. O peso específico do concreto armado é 25 kN/m³; portanto, o peso 
próprio será dado por: 
h x 25 kN/m³ 
Enchimento 
Para enchimentos, valem as mesmas considerações utilizadas para peso próprio, sendo a 
única diferença o peso específico do material a ser utilizado. Segue abaixo o peso específico 
de alguns materiais de enchimento: 
_ entulho: 15 kN/m³; 
_ cacos: 12 kN/m³; 
_ argila expandida: 9 kN/m³; 
_ terra: 18 kN/m³. 
 
Revestimento 
O revestimento depende do material utilizado. Seguem-se alguns valores a considerar: 
revestimento de pisos 1,0 kN/m²; impermeabilização de pisos 1,0 kN/m². 
 
Carga Verticais 
As cargas verticais podem ser permanentes ou variáveis (acidentais) e variam conforme o 
ambiente e a utilização da edificação. Segue abaixo algumas cargas a serem consideradas: 
1. Dormitórios, salas, cozinhas e banheiros: 1,5 kN/m²; 
2. Despensas, áreas de serviço e lavanderias: 2,0 kN/m²; 
3. Escadas sem acesso ao público: 2,5 kN/m²; 
4. Corredores sem acesso ao público: 2,0 kN/m²; 
5. Terraços sem acesso ao público: 2,0 kN/m²; 
6. Escadas com acesso ao público: 3,0 kN/m²; 
7. Corredores com acesso ao público: 3,0 kN/m²; 
8. Terraços com acesso ao público: 3,0 kN/m² 
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Carga Acidental 
A carga acidental varia conforme o ambiente e a utilização da edificação. 
A incidência das cargas acidentais nos pavimentos de uma edificação varia conforme o 
pavimento considerado. A seguir, segue-se tabela para redução da carga acidental nos 
pavimentos (devendo-se considerar o forro como piso). 
 
Redução das cargas acidentais 
Número de pisos que atuam sobre o elemento Redução percentual das cargas acidentais 
(%) 
1, 2, 3 0 
4 20 
5 40 
6 ou mais 60 
 
 
Espessura das lajes 
A espessura das lajes é obtida pela expressão . No entanto, deve-se respeitar o 
mínimo estipulado pela NBR 6118: 
 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, 
 
 
 para lajes de piso biapoiadas e 
 
 
 para lajes de piso contínuas; 
 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. 
 
Reação dos apoios 
As cargas das lajes são transferidas para as vigas (exceto em lajes lisas e cogumelo), que 
respondem com uma reação. No entanto, não é a carga total da laje que passa para as vigas 
(no caso de não estar engastada num único apoio, como lajes em balanço). 
 
 
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Regime rígido-plástico 
As reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou 
trapézios determinados através das charneiras plásticas. As charneiras correspondem a zonas 
de intensa fissuração da face tracionada. 
 
 
Zonas de fissuração 
 
 
Quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas 
inclinadas, conforme a seguir: 
_ 45° entre apoios do mesmo tipo; 
_ 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente 
apoiado; 
_ 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
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14 
 
Vinculação nas bordas 
Para a determinação dos momentos atuantes nas lajes, é importante estabelecer o vínculo da 
laje com o apoio. 
 
Bordas simplesmente apoiadas 
Não há continuidade da laje em nenhuma direção, e todas as bordas se apoiam em vigas. 
 
 
 
Laje rebaixada – não há continuidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bordas apoiadas – esquema estrutural 
 
Bordas engastadas 
Podem ser de engaste perfeito (é o caso de lajes em balanço) ou de engaste elástico (é o caso 
de continuidade entre lajes).Engaste perfeito Engaste elástico 
15 
 
O engaste elástico ocorre devido aos momentos negativos diferentes que lajes com 
continuidade entre si geram. 
 
 
 
 
Para o cálculo das lajes maciças retangulares, a convenção de vinculação é feita da forma a 
seguir: 
 
 
 
As lajes L1 e L2 geram momentos negativos diferentes – engaste elástico 
Borda apoiada (charneira)
Borda engastada
Borda em balanço
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Em função das diversas combinações de vínculos, as lajes são classificadas numericamente, 
conforme o vínculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso em que uma laje está vinculada, no mesmo apoio, de forma diferente (um trecho está 
engastado e no mesmo apoio outro trecho está apoiado), pode-se considerar o seguinte 
critério: 
_ Considera-se a borda apoiada se o comprimento do trecho apoiado for maior ou igual a 2/3 
do vão total analisado. 
Geralmente essa situação acontece porque uma laje maior se relaciona com outras duas 
menores com condições de apoio diferentes. 
 
Momento Fletor nas Lajes 
Os momentos nas lajes (Mk), resultantes dos esforços solicitantes, podem ser positivos (Mk – 
tração na parte inferior e compressão na superior) e negativos (M’k – tração na parte superior e 
compressão na parte inferior). 
Chamando o lado menor da laje de lx e o lado maior de ly, podemos definir: 
 O momento fletor Mkx tem plano de ação paralelo ao lado lx e, portanto, dará origem a 
uma armadura Asx a ser colocada junto à face inferior da laje, paralelamente àquele 
lado; 
 O momento fletor Mky tem plano de ação paralelo ao lado ly e, portanto, dará origem a 
uma armadura Asy a ser colocada junto à face inferior da laje, paralelamente àquele 
lado. Logo, ela ficará disposta perpendicularmente à armadura Asx; 
17 
 
 O momento fletor M’kx tem plano de ação paralelo ao lado lx e, portanto, dará origem a 
uma armadura A’sx a ser colocada junto à face superior da laje, sobre os apoios 
definidos pelos lados ly e paralelamente ao lado lx; 
 O momento fletor M’ky tem plano de ação paralelo ao lado ly e, portanto, dará origem a 
uma armadura A’sy a ser colocada junto à face superior da laje, sobre os apoios 
definidos pelos lados lx e paralelamente ao lado ly. 
 
 
Onde lx é o menor lado e ly é o maior lado. 
 
Direção da armadura principal 
As lajes podem ser classificadas quanto à disposição da armadura principal. Isso acontece 
porque os esforços solicitantes mais significantes podem atuar tanto paralelamente a um lado 
como paralelamente a ambos os lados da laje. 
 
Laje armada em uma direção 
 
Quando a relação entre o lado maior e o lado menor resultar em: 
 
 
 
 
Os esforços solicitantes de maior intensidade estão atuando paralelamente ao lado lx, 
chamado também de direção principal. 
Com isso, a armadura resistente será disposta também paralelamente ao lado lx. 
18 
 
Laje armada em duas direções (armada em cruz) 
 
Quando a relação entre o lado maior e o lado menor resultar em: 
 
 
 
 
 
Os esforços solicitantes de maior intensidade estão atuando paralelamente a ambos os lados, 
ou seja, em ambas as direções. 
 
 
 
 
 
19 
 
Cálculo dos Momentos Fletores 
Para o cálculo dos momentos fletores é necessário ter a carga atuante na laje e suas 
dimensões. Então, pelo vínculo das bordas classificamos a laje em 1, 2A, 2B, 3, 4A, 4B, 5A, 5B 
e 6 (conforme classificação numérica exposta anteriormente). 
Aplicando a Tabela de Lajes disponível no site da disciplina, aplicamos as fórmulas e 
chegamos aos momentos positivos e negativos: 
_ Momento positivo paralelo ao vão lx – 
 
 
 
 
_ Momento positivo paralelo ao vão ly – 
 
 
 
 
_ Momento negativo paralelo ao vão lx – 
 
 
 
 
_ Momento negativo paralelo ao vão ly – 
 
 
 
 
 
Cálculo dos Momentos Fletores Negativos Compensados 
Conforme visto, o engaste elástico ocorre devido aos momentos negativos diferentes que lajes 
com continuidade entre si geram. No entanto, não podemos adotar dois momentos negativos 
diferentes para um mesmo apoio, mas também não devemos simplesmente adotar o maior, 
pois seria extremamente antieconômico. 
Adotaremos nesta apostila o método da compensação. 
Antes de descrever o método, faremos algumas observações: 
_ Chamaremos o momento fletor negativo de maior valor de M’k1; portanto, ele poderá se 
referir tanto ao M’kx quanto ao M’ky. 
_ Chamaremos o momento fletor negativo de menor valor de M’k2; portanto, ele poderá se 
referir tanto ao M’kx quanto ao M’ky. 
Primeiramente, faz-se a média aritmética simples dos momentos 
 
 
 
 ; em seguida 
calcula-se 0,8.M’k1 (ou seja, 80% do maior). Entre os dois valores, adota-se o maior deles (o 
maior entre a média aritmética e 80% do maior). 
 
Cálculo da Armação 
Determinados os momentos positivos e negativos, procede-se o cálculo da ferragem para 
resistir a estes momentos. Nesta apostila não utilizaremos o método analítico, mas as tabelas 
K. 
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O momento calculado (tanto positivo quanto negativo compensado) deve ser majorado pelo 
coeficiente de segurança γc, ficando: . Usualmente o valor do coeficiente de 
segurança de majoração do momento é 1,4. As forças resistentes (aço - fyd e concreto - fck) são 
minoradas também: 
 
 
 e 
 
 
; usualmente o valor do coeficiente de segurança 
do concreto é 1,4, e do aço 1,15. 
O cálculo do Kc se dá pela fórmula: 
 
 
. Onde d = h – 1cm. 
Entrando na tabela K, acha-se o valor de Ks. Com o valor de Ks, encontra-se a área de ferro: 
 
 
 
 
 
 
A área de ferro será em cm², e a quantidade de barras será escolhida de modo a atender uma 
faixa de 1,00m de laje. Com isso, o cálculo do Kc ficará: 
 
 
 
 
 
 
 
Disposição da Ferragem na Laje (detalhamento) 
As armaduras devem ser dispostas de forma que possa ser garantido o seu posicionamento 
durante a concretagem. Ao ser colocada o mais próximo da face inferior da laje (altura útil d) 
será sempre a correspondente ao maior momento fletor; sobre ela será colocada a 
correspondente ao menor momento fletor. 
O diâmetro máximo para a armadura de flexão deve ser igual a 
 
. 
O espaçamento máximo das barras (s) deve ser o menor dos valores entre 
 
 para a 
armadura principal. O espaçamento da armadura secundária (s’) deve ser . 
 
 
 
 
 
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Armaduras Positivas 
a) Bordas extremas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A armadura deixará de ter gancho na utilização de aço CA50-A e: 
 
b ≥ 15 cm para Φ ≤ 6,3mm 
b ≥ 20 cm para Φ ≤ 10mm 
 
No caso de b < 15 cm, a armadura deverá ter ganchos nas extremidades. 
b) Bordas internas 
Neste caso, para qualquer valor de b, as armaduras deverão ultrapassar a face da viga de 
apoio de pelo menos 15 cm para prescindir dos ganchos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b
b
15 cm
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Recomenda-se ainda que, escolhido um espaçamento para a armadura principal, o 
espaçamento da armadura secundária não seja inferior a ele. Assim, evitam-se enganos na 
obra quando da colocação das armaduras. 
 
Armaduras Negativas 
a) Bordas extremas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Bordas internas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
5
c
m
a
h - 2cm
b = 40cm
h - 2h - 2
a a
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Na representação a, lx é o maior dos dois vãos menores das lajes envolvidas. 
Na representação b, l é o vão de eixo a eixo da laje do lado esquerdo utilizado para calcular o 
comprimento a do lado esquerdo, e o vão de eixo a eixo da laje do lado direito utilizado para 
calcular o comprimento a do lado direito. 
 
Armaduras Mínimas 
Armaduras Negativas ; 
Armaduras Positivas (2 direções) ; 
Armadura Positiva (1 direção) ; 
Armadura Positiva Secundária (1 direção) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia http://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/lajes.pdf. 
 Apostila de Estruturas de Concreto I – FESP Faculdade de Engenharia São Paulo; Prof. 
A. R. Martins. 
 Araújo, José Milton de. Curso de Concreto Armado. Editora Dunas. Rio Grande – RS. 
2v. 3° Ed. 2010. 
 Estruturas de Concreto I – Lajes de Concreto. Notas de Aula. Prof. Dr. Paulo Sérgio dos 
Santos Bastos. Bauru-SP. Novembro. 2005. (www.feb.unesp.br/pbastos) 
 Anotações de aula da disciplina de Estruturas I da Faculdade de Tecnologia de São 
Paulo, curso Edifícios. Prof. Eduardo Roberto Domingues da Silva. 
 Projeto de Lajes Maciças de Concreto Armado. Escola de Engenharia – Departamento 
de Engenharia – UFRS. Campos Filho, Américo. 2011. 
 NBR 6118:2003. 
 Fusco, Péricles Brasiliense. Técnica de armar as estruturas de concreto. Ed. PINI. São 
Paulo. 1995. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/lajes.pdf
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ANEXO 1 – TABELA DE LAJES 
 
 
 
 
 
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27 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
29 
 
 
 
30 
 
 
 
31 
 
 
 
32 
 
 
 
33 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
35