Exercicios_resolvidos_vetores

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Física Geral e Experimental I 
2ª Lista de Exercícios 
 1 - Considere o vetor C A B 
  
. As componentes de C

 são necessariamente maiores do que as de A

 ou 
de B

? 
Não. Veja o seguinte exemplo: 3 4A i j  
  
e 3B i j 
  
. O vetor C A B 
  
terá as seguintes 
componentes: 
 3 4 3
3 3 4
5
C i j i j
C i i j j
C j
    
    

    
    
 
 
O vetor C

 tem componente nula em i

, logo é menor do que a dos vetores A

 e B

. 
2 – Para os dois vetores A

 e B

 mostrados na figura a seguir, determine o vetor resultante de: 
Vamos determinar as componentes dos vetores A

 e B

(não esqueça que a máquina deve estar usando os 
ângulos em graus e tomar em atenção as unidades!): 
   
   
2 2
2cos(45 ) 2sen(45 ) 2 2
2 2
2 m 2 m
1,414 m 1,414 m
A i j A i j
A i j
A i j
    
 
 
 
    
  
  
 
   
   
3 1
2cos(30 ) 2sen(30 ) 2 2
2 2
3 m 1,000 m
1,732 m 1,000 m
B i j B i j
B i j
B i j
    
 
 
 
    
  
  
 
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De posse dos vetores escritos em suas componentes, efetuamos as operações pedidas: 
(a) 
       
       
   
1,414 m 1,414 m 1,732 m 1,000 m
1,414 m 1,732 m 1,414 m 1,000 m
3,146 m 0,414 m
A B i j i j
A B i i j j
A B i j
      
    
  
     
     
   
 
(b) 
       
       
   
1,414 m 1,414 m 1,732 m 1,000 m
1,414 m 1,732 m 1,414 m 1,000 m
0,318 m 2,414 m
A B i j i j
A B i i j j
A B i j
      
    
   
     
     
   
 
(c) 
       
       
       
   
2 2 1,414 m 1,414 m 1,732 m 1,000 m
2 2,828 m 2,828 m 1,732 m 1,000 m
2 2,828 m 1,732 m 2,828 m 1,000 m
2 4,560 m 1,828 m
A B i j i j
A B i j i j
A B i i j j
A B i j
           
      
    
  
     
     
     
   
 
(d) 
       
       
   
1,732 m 1,000 m 1,414 m 1,414 m
1,732 m 1,414 m 1,000 m 1,414 m
0,318 m 2,414 m
B A i j i j
B A i i j j
B A i j
      
    
  
    
    
  
 
Observe que B A

 é simétrico de A B
 
! 
(e) 
       
       
       
   
2 2 1,732 m 1,000 m 1,414 m 1,414 m
2 3,464 m 2,000 m 1,414 m 1,414 m
2 3,464 m 1,414 m 2,000 m 1,414 m
2 2,050 m 3,414 m
B A i j i j
B A i j i j
B A i i j j
B A i j
           
      
    
  
    
    
    
  
 
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3 - Represente num diagrama cartesiano e determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes 
vetores: 
5 3 5 2 2 4 3 2A i j B i j C i j D i j         
         
 
Não esqueça que a máquina deve estar usando os ângulos em graus! Tomamos a medida dos ângulos no 
sentido anti-horário a partir do eixo x 
 
 
 
4 – Determine as componentes retangulares dos seguintes vetores A

 que se apóiam no plano xy e fazem 
um ângulo  com o eixo x (veja a figura a seguir) se: 
 
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Tomar em atenção as unidades! 
(a) A = 10 m e  = 30o 
   10cos 30 10sen 30 m 8,7 5,0 mA i j i j        
 
    
 
(b) A = 5,0 m e  = 45o 
   5,0cos 45 5,0sen 45 m 3,5 3,5 mA i j i j        
 
    
 
(c) A = 7,0 km e  = 60o 
   7,0cos 60 7,0sen 60 km 3,5 6,1 kmA i j i j        
 
    
 
(d) A = 5,0 km e  = 90o 
      5,0cos 90 5,0sen 90 km 5,0 kmA i j j    
 
   
 
(e) A = 15 km/s e  = 150o 
     15cos 150 15sen 150 km/s 13 7,5 km/sA i j i j      
 
    
 
(f) A = 10 m/s e  = 240o 
     10cos 240 10sen 240 m/s 5,0 8,7 m/sA i j i j      
 
    
 
(g) A = 8,0 m/s2 e  = 270o 
     2 28,0cos 270 8,0sen 270 m/s 8,0 m/sA i j j     
 
   
 
 
Exercícios Tipler, Volume 1 Sexta Edição 
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Ex. 16 - Um rio tem 0,76 quilômetros de largura. As margens são retas e paralelas (figura 3-28). A 
velocidade da correnteza, paralela às margens, é 4,0 km/h. Um barco tem uma velocidade máxima de 4,0 
km/h em águas em repouso relativamente à margem. O piloto do barco deseja ir uma linha reta de A a B, 
onde a linha AB é perpendicular às margens. O piloto deve 
(a) apontar diretamente para o outro lado do rio, 
(b) apontar 53o contra a correnteza a partir da linha AB, 
(c) apontar 37o contra a correnteza a partir da linha AB, 
(d) desistir, a viagem de A para B não é possível em um barco com essa limitação de rapidez, 
(e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
Para entender mais sobre este tipo de questões, veja o link: 
http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/cinematica/relativo/relativo.htm#Ejemplo%201 
http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/cinematica/relativo/relativo.htm#Ejemplo%201
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Neste tipo de problema, temos um referencial nas margens e outro na água, pois há um movimento 
relativo às margens e outro relativamente à água. Portanto, temos: 
/
/
/
 velocidade do barco relativamente às margens;
 velocidade do barco relativamente à água;
 velocidade da água relativamente às margens.
B M
B A
A M
v
v
v






 
É fácil perceber que se o piloto do barco sair em linha reta será arrastado pela correnteza e não atingirá o 
ponto B. Portanto a alínea (a) é falsa, como podemos ver na figura a seguir: 
 
Da figura, / / /= B M B A A Mv v v
  
 e o seu módulo 
2 2 2 2
/ / /= 4 4 32 5,66 km/hB M B A A Mv v v    
  
 
Olhando para o diagrama, e analisando as alíneas (b) e (c), o que buscamos é um diagrama vetorial do 
seguinte tipo: 
 
/ / /= B M B A A Mv v v
  
. Escrevendo as componentes: 
   
/ / /
/
= 4cos(90 ) 4sen(90 ) 4
= 4sen 4 4cos
B M B A A M
B M
v v v i j i
v i i j
 
 
      
  
 
    
   
Como vemos, para /B Mv

apontar apenas na direção j

, a componente em i

tem de se anular, o que não 
pode ocorrer pois  4sen 4  . Portanto, o módulo da velocidade do barco em relação à água deverá ser 
maior que 4 km/h, alínea (d). 
Notas: 
   
   
sen 90 cos
cos 90 sen
 
 
 
 


 
Embora a soma vetorial da figura acima seja / / /= B M B A A Mv v v
  
,note que a hipotenusa do triângulo é /B Av

 
e portanto: 
2 2 2
/ / /B A B M A Mv v v 
  
 
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Ex. 26 - As velocidades iniciais e finais de uma partícula são segundo as indicações de figura 3 - 30. Encontre 
a orientação da aceleração média. 
 
Será na mesma direção e sentido que v

 pois m
v
a
t





 
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Ex. 41 - Um urso, despertando da hibernação do inverno, sai cambaleando diretamente para nordeste ao 
longo de 12 m e, então, para leste para 12 m. Mostre graficamente cada um desses deslocamentos e 
determine, graficamente, o deslocamento único que levará o urso de volta a sua caverna para continuar 
sua hibernação. 
 
Da figura, vemos que o deslocamento único que o levará de volta a origem ( D

) é o simétrico do vetor 
soma: 1 2r r
 
. Deste modo, e usando as componentes: 
1 2
1 2
1 2
12cos(45 ) 12sen(45 ) 12
8,49 12 8,49
20,49 8,49
r r i j i
r r i i j
r r i j
   
   
  
 
   
   
  
 
Seu módulo: 
   
2 2
1 2
1 2
20,49 8,49
22,17 km 22km
r r
r r
  
  
 
  
 
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Ex.42 - Um explorador caminha 2,4 quilômetros para leste, a partir do acampamento, vira à esquerda e 
caminha 2,4 quilômetros ao longo do arco de um círculo centrado no acampamento e, finalmente, caminha 
mais 1,5 quilômetros diretamente para o acampamento. 
(a) A que distância o explorador está do acampamento ao fim dessa caminhada? 
 
Distância= 2,4 1,5 = 0,9 km(b) Qual a orientação da posição do explorador em relação ao acampamento? 
Usando a relação do ângulo ao centro 
comprimento do arco 2,4
1 rad 57,3
2,4raio
      
(c) Que é a razão entre a magnitude final do deslocamento e a distância total caminhada? 
Distância total = 2,4  1,5  2,4  6,3 km 
Logo 
0,9 km 1
6,3 km 7
