exercicios2

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Álgebra Linear I-A - Exercícios 2 - 2016/2
UFRGS - Porto Alegre
Relativo às seguintes seções do livro do David Lay.
2.2 e 2.3, 4.1 a 4.3
Nome:
Cartão: Turma:
1 Sabendo que
A−1 =
 1 −1 −20 4 2
5 1 −1
 ,
resolva a equação
Ax =
 12
1
 .
2 Sabendo que C é invertível, resolva a equação matricial
C(A+X)B−1 − I = 0,
para encontrar a matriz X.
3 Se as colunas de B forem LD, então as colunas de AB
também serão? Justifique.
4 Calcule, se possível a matrix inversa de
A =
 1 0 02 2 0
0 2 −2
 .
5 T é uma transformada linear do R2 para o R2. Mostre
que T é invertível e determine uma fórmula para T−1.
T (x1, x2) = (2x1 − 8x2,−2x1 + 7x2).
6 No espaço vetorial C(0, 2π), das funções contínuas
definidas em (0, 2π), determine uma base para o subespaço
ger{sen t, sen 2t, sen t cos t}.
7 Seja W o conjunto de todos os vetores da forma
2s+ 4t
2s
2s− 3t
5t
. Mostre que W é um subespaço de R4. Ache
uma base de W .
8 Ache uma base de NulA, onde
A =
 1 3 −4 −3 10 1 −3 1 0
0 0 0 0 0
 .
9 Assinale com V ou F, justificando.
( ) Um espaço nulo de uma matrix m× n está contido no
Rn.
( ) ColA é o conjunto de todas as coluções de Ax = b.
( ) NulA é o núcleo da transformada x→ Ax.
( ) Uma base é um conjunto LI que é o maior possível.
( ) Se A for uma matrix 4 × 3, então a transformada
x→ Ax será injetora.
10 Considere os dois sistemas de equações:
x+ 2y + 3z = 1
4x+ 8y + 12z = 4
x+ y + z = 2
x+ 2y + 3z = 3
4x+ 8y + 12z = 12
x+ y + z = 6
Pode-se mostrar que o primeiro sistema tem solução. Sem
escalonar, use este fato e a teoria da seção 4.2 para explicar
por que o segundo sistema também precisa ter solução.
11 Determine uma base para o espaço gerado pelos ve-
tores abaixo.
1
0
0
1
 ,

−2
1
−1
1
 ,

6
−1
2
−1
 ,

5
−3
3
−4
 ,

0
3
−1
1
 .
12 Ache bases para ColA e NulA, onde
A =
 −2 4 −2 −42 −6 −3 1
−3 8 2 −3
 .