Aula 6 Eletrônica analógica

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ELETRÔNICA ANALÓGICA 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Viviana Raquel Zurro 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, nesta aula desenvolveremos estudos sobre circuitos 
osciladores como geradores de sinais. Estudaremos também realimentação e 
critérios de estabilidade de sistemas. 
Durante o desenvolvimento de sistemas eletrônicos, é necessário verificar 
seu comportamento em determinadas condições. Testes fundamentais, como os 
de resposta em frequência, são realizados injetando na entrada um sinal de 
padrão conhecido, o sinal senoidal. Esse sinal senoidal é usado para verificar 
como o sistema se comporta para diferentes harmônicas do sinal de entrada. 
Outro teste muito importante é o de resposta ao degrau, em que é aplicado um 
degrau (onda quadrada) na entrada para verificar a velocidade de resposta do 
sistema a variações abruptas do sinal de entrada. Também são usados outros 
padrões conhecidos para outro tipo de testes. Esses sinais-padrões de teste são 
gerados por diversos dispositivos eletrônicos (osciladores). 
Os osciladores são usados também como sistemas controladores de 
tempo, como o clock dos computadores, cujos pulsos são necessários para 
contagem de tempo, entre outras coisas, nos sistemas de comunicações e em 
outros sistemas eletrônicos. 
TEMA 1 – EFEITOS DA REALIMENTAÇÃO NA BANDA PASSANTE DE UM 
AMPLIFICADOR 
O conceito de realimentação foi introduzido indiretamente nas aulas 
anteriores ao falar de transistores e amplificadores operacionais. Realimentar um 
sistema implica em pegar uma pequena porção do sinal de saída e injetá-lo na 
entrada subtraindo-o (realimentação negativa) do sinal de entrada ou somando-
o (realimentação positiva) com este. A realimentação negativa reduz o ganho do 
sistema estabilizando-o e melhorando-o. A realimentação positiva, por outra 
parte, levará o sistema a trabalhar em uma região instável, fazendo com que o 
circuito oscile. Para que o sistema seja estável, alguns critérios fundamentais 
devem ser respeitados. 
O ganho de transferência de um amplificador com realimentação é dado 
pela equação (1): 
 
 
3 
 𝐴𝑓 =
𝐴
1 + 𝛽𝐴
 (1) 
Se 𝛽𝐴 ≫ 1: 
 𝐴𝑓 ≅
𝐴
𝛽𝐴
=
1
𝛽
 (2) 
 
Considerando a equação (2), podemos verificar que o ganho de 
transferência depende completamente da rede de realimentação 𝛽, mas 
sabemos que mesmo sendo 𝛽 constante, o ganho A é dependente da frequência. 
Portanto, em determinadas frequências, |𝛽𝐴| terá um valor pequeno (Millman e 
Halkias, 1972). 
1.1 Realimentação negativa 
A Figura 1 mostra o diagrama em blocos de um amplificador realimentado: 
Figura 1 – Diagrama de blocos de um amplificador realimentado 
 
 
 |1 + 𝐴𝛽| > 1 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (3) 
O ganho do sistema com realimentação negativa diminui, mas as 
vantagens que a realimentação negativa traz compensam essa pequena 
desvantagem. As vantagens são: 
 Redução do ruído; 
 Aumento da banda passante; 
 Estabilização do ganho de tensão; 
 Aumento da impedância de entrada; 
 Diminuição da impedância de saída; 
 
 
4 
 Melhoras na resposta linear do sistema. 
1.2 Tipos de realimentação 
De acordo com a configuração da entrada, a realimentação pode ser série 
ou paralelo. De acordo com a saída, pode ser de tensão ou de corrente. A Tabela 
1 mostra os tipos de realimentação. Na mesma tabela, os parâmetros 𝐴𝑉 e 𝐴𝐼 
são os ganhos de tensão e de corrente, respectivamente, 𝐺𝑀 é a 
transcondutância (ou condutância de transferência) e 𝑅𝑀 é a transresistência (ou 
resistência de transferência). O amplificador de transcondutância é 
frequentemente chamado de conversor tensão-corrente, e o amplificador de 
transresistência é frequentemente chamado de conversor corrente-tensão. 
Tabela 1: Tipos de realimentação e parâmetros do amplificador realimentado 
Sinal ou 
relação 
Tipo de realimentação 
Tensão - série Corrente - série 
Tensão - 
paralelo 
Corrente - 
paralelo 
Saída Tensão Corrente Tensão Corrente 
Entrada Tensão Tensão Corrente Corrente 
𝑨 𝐴𝑉 𝐺𝑀 𝑅𝑀 𝐴𝐼 
𝜷 𝑉𝑓 𝑉𝑜⁄ 𝑉𝑓 𝐼𝑜⁄ 𝐼𝑓 𝑉𝑜⁄ 𝐼𝑓 𝐼𝑜⁄ 
 
A Figura 2 mostra os esquemas correspondentes (Boylestad e Nashelsky, 
2013). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Figura 2 – Diagramas de blocos dos diferentes tipos de realimentação: (a) tensão 
série, (b) tensão paralelo, (c) corrente série e (d) corrente paralelo 
 
TEMA 2 – ESTABILIDADE 
Na seção anterior, consideramos a realimentação negativa, mas, quando 
|1 + 𝐴𝛽| < 1, a realimentação é positiva ou regenerativa. Neste caso, o ganho 
de transferência pode ser maior do que o ganho direto do amplificador sem 
realimentação. 
 |𝐴𝑓| =
|𝐴|
|1 + 𝛽𝐴|
> |𝐴| (4) 
 
A regeneração da realimentação positiva implica em aumento de ganho, 
mas, devido à baixíssima estabilidade, é raramente usada. Por exemplo: 
considera-se um amplificador com realimentação positiva sem sinal na entrada, 
mas devido a ruídos ou distúrbios transitórios, aparece um sinal na saída 𝑋𝑜. 
Uma porção −𝛽𝑋𝑜 deste sinal de saída é reinjetada na entrada, somando com o 
sinal de entrada, aparecendo novamente na saída como −𝛽𝐴𝑋𝑜. Esse processo 
se repete continuamente. Portanto, se −𝛽𝐴𝑋𝑜 = 𝑋𝑜, ou seja, se −𝛽𝐴 = 1, o 
amplificador oscilará. Realimentação positiva implica em sistema instável, 
portanto, um amplificador com realimentação positiva tenderá a oscilar. Então, 
 
 
6 
realimentação positiva não é usada em amplificadores, mas combinando 
realimentação positiva e negativa é possível implementar circuitos osciladores 
ou geradores de sinais. 
2.1 Condição de estabilidade 
Se um amplificador com realimentação negativa é projetado para atuar 
em uma determinada faixa de frequência, mas entra em oscilação em 
determinadas frequências, ele não serve como amplificador. É necessário que o 
circuito seja estável não somente na faixa de interesse, mas em todas as faixas 
de frequência. Então, qualquer perturbação transitória se dissipará com o tempo. 
O sistema é instável se a oscilação persiste por tempo indeterminado ou 
aumenta até o limite imposto pelo próprio circuito (na maioria dos casos, pela 
fonte de alimentação). Na aula 5 Tema 4, falamos do plano s de frequência 
complexa. Nesse tema, temos visto que, se existir um polo com a parte real 
positiva (realimentação positiva), a amplitude do transitório aumentará 
indefinidamente (Aula 5, páginas 8 a 12). Portanto, a condição de estabilidade 
diz que todos os polos de 1 + βA devem estar do lado esquerdo do plano s. 
2.2 Critério de Nyquist 
O critério de Nyquist apresenta uma opção equivalente para estabilidade 
a partir do estado estável e da resposta em frequência. Como o produto 𝛽𝐴 é um 
número complexo, pode ser representado por um ponto no plano s com a 
componente real no eixo x e a imaginária no eixo y. Como 𝛽𝐴 é função da 
frequência, os pontos no plano complexo s são obtidos para os valores de 𝛽𝐴 
para todas as frequências (−∞ ≤ 𝑓 ≤ ∞). O lugar geométrico destes pontos é 
uma curva fechada. O critério de Nyquist diz: o amplificador é instável se a curva 
contém o ponto −1 + j0, e o amplificador é estável se a curva não contém este 
ponto (Millman e Halkias, 1972). O critério de Nyquist será estudado em 
disciplinas posteriores. 
TEMA 3 – OSCILADORES SENOIDAIS 
No desenvolvimento de sistemas tanto analógicos quanto digitais, muitas 
vezes é necessário testar os mesmos com sinais conhecidos (padrão), tais como 
ondas senoidais, quadradas, triangulares e outros. Os sinais senoidais são 
 
 
7 
usados para testes de resposta em frequência devido ao formato se manter 
mesmo variando a frequência, somente diminuindo a amplitude para frequência 
além da banda passante. Por outra parte, os sinais quadrados são muito usados 
como temporizadores, pulsos de clock. Também são usados como portadores 
de informação e em muitas outras aplicações. Neste tema, estudaremos 
geradoresde ondas senoidais. São várias as configurações de circuitos que, 
sem ter sinal de entrada, apresentam na saída um sinal senoidal. Esses 
dispositivos são chamados de osciladores lineares, mas, para controlar a 
amplitude da senoide de saída, será empregada alguma forma de não 
linearidade. Como todos os osciladores são circuitos não lineares, não será 
possível aplicar métodos lineares, mas existem técnicas nas quais são 
necessários dois passos para projetar um oscilador: 
1. Análise linear e realimentação; 
2. Mecanismo não linear para controle da amplitude (Sedra e Smith, 2000). 
3.1 Realimentação e critério de Barkhausen 
A Figura 3 mostra um amplificador realimentado com um circuito 
misturador ainda não conectado em laço fechado. O sinal de entrada 𝑥𝑖 
diretamente aplicado na entrada do amplificador gera um sinal de saída 𝑥0. A 
saída da rede de realimentação é: 
 𝑥𝑓 = 𝛽𝑥0 = 𝐴𝛽𝑥𝑖 (5) 
A saída do circuito misturador é: 
 𝑥𝑓
′ = −𝑥𝑓 = −𝐴𝛽𝑥𝑖 (6) 
Portanto, o ganho de laço será: 
 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎ç𝑜 =
𝑥𝑓
′
𝑥𝑖
=
−𝑥𝑓
𝑥𝑖
= −𝛽𝐴 (7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Figura 3 – Amplificador com ganho 𝐴 e rede de realimentação 𝛽 ainda não 
conectado em laço fechado 
 
Se 𝑥𝑓
′ for ajustada para ser exatamente igual a 𝑥𝑖, para o amplificador não 
haverá diferença se tirarmos o sinal externo 𝑥𝑖 e conectarmos o terminal 2 ao 
terminal 1. Nessa situação, o amplificador continuaria entregando o mesmo sinal 
de saída 𝑥𝑜. Isso não significa que o sinal deve ser senoidal, e, como o 
amplificador não é linear, a forma de onda não será necessariamente 
preservada. Ajustar 𝑥𝑓
′ para ser igual a 𝑥𝑖 equivale a dizer que 1 = −𝛽𝐴, ou seja, 
que o ganho de laço deve ser igual a 1 (Millman e Halkias, 1972). 
3.1.1 Critério de Barkhausen 
Considerando que o oscilador opera linearmente e que o amplificador ou 
a rede de realimentação ou ambos têm elementos reativos, o único sinal que 
manteria sua forma de onda seria senoidal. A condição 𝑥𝑖 = 𝑥𝑓
′ implica que 
amplitude, frequência e fase de 𝑥𝑓
′ e 𝑥𝑖 são exatamente iguais, mas o 
deslocamento de fase imposto pela rede reativa é função da frequência. Assim, 
podemos enunciar um importante princípio: a frequência na qual um oscilador 
senoidal operará é a frequência para a qual o deslocamento total introduzido é 
igual a zero. 
Ou seja, quando o sinal de entrada passa pelo amplificador e pela rede 
de realimentação, volta novamente para a entrada com fase 0 ou múltiplo inteiro 
de 2𝜋. Em outras palavras: a frequência de um oscilador senoidal é igual à 
frequência para a qual o deslocamento de fase do ganho de laço é igual a zero. 
A condição de ganho de laço unitário 1 = −𝛽𝐴 é chamada de critério de 
Barkhausen. Este princípio está de acordo com a fórmula de realimentação 𝐴𝑓 =
 
 
9 
𝐴 ∕ (1 + 𝛽𝐴), para 1 = −𝛽𝐴, 𝐴𝑓 → ∞. Isso pode ser interpretado da seguinte 
maneira: haverá tensão na saída mesmo sem aplicar sinal externo na entrada. 
3.1.2 Considerações práticas 
Na Figura 4, é possível ver três situações diferentes. No primeiro caso, 
|𝛽𝐴| < 1. Se retirarmos o sinal externo, a oscilação decairá até parar 
completamente. No segundo caso, |𝛽𝐴| > 1, a amplitude aumentará até ser 
limitada pelo próprio sistema. Esse é um sistema instável. No último caso, |𝛽𝐴| =
1, a oscilação se manterá indefinidamente. 
Figura 4 – Resposta de um circuito com realimentação. (a) |𝛽𝐴| < 1, (b) |𝛽𝐴| >
1, (c) |𝛽𝐴| = 1 
 
(a) (b) 
 
 
(c) 
3.1.3 Controle não linear de amplitude 
O critério de Barkhausen garante que a oscilação será mantida enquanto 
a alimentação do circuito estiver ligada, mas na prática variações dos parâmetros 
dos componentes (tanto ativos como passivos) devidas a fatores externos (tais 
como temperatura, envelhecimento etc.) variam o valor de |𝛽𝐴|. Se este valor for 
diferente de 1, a oscilação decairá gradativamente até desaparecer ou 
-10
-5
0
5
10
0 200 400 600 800 1000
Amp.
Tempo
-50
-30
-10
10
30
50
0 200 400 600 800 1000
Amp.
Tempo-Vsat
+Vsat
-10
-5
0
5
10
0 200 400 600 800 1000
Amp.
Tempo
 
 
10 
aumentará gradativamente até ser limitada pelo próprio circuito. Portanto, será 
necessário um mecanismo que force |𝛽𝐴| a permanecer igual a 1 na amplitude 
desejada do sinal de saída. Os métodos básicos não lineares para controle da 
amplitude são: 
 Circuito limitador – este circuito limita a amplitude no valor desejado. 
 Um FET operando na região de tríodo como resistor controlado por 
tensão, fornecendo um controle automático de ganho (Sedra e Smith, 
2000). 
A Figura 5 mostra o processo de geração de uma oscilação em regime 
permanente, desde o ruído inicial até o estabelecimento do regime permanente 
(Boylestad e Nashelsky, 2013). 
Figura 5 – Processo de geração de uma oscilação em regime permanente 
 
TEMA 4 – TIPOS DE OSCILADORES 
Em todo oscilador real, o ganho de laço é ligeiramente maior do que 1, e 
a amplitude da oscilação é limitada pela própria não linearidade. Trabalhar com 
osciladores é bastante difícil devido às não linearidades. Em muitos casos, a 
incursão na faixa de operação não linear é pequena, então podemos 
desconsiderar completamente essas não linearidades. 
4.1 Oscilador de deslocamento de fase 
O oscilador de deslocamento de fase é composto por um circuito ativo 
com uma rede de realimentação reativa. Na Figura 6 o amplificador é um 
elemento ativo conectado em uma configuração conhecida a malha de 
realimentação destacada em azul é composta por uma cascata de 3 circuitos RC 
(Boylestad e Nashelsky, 2013). 
 
 
11 
Figura 6 – Esquema básico de um oscilador de deslocamento de fase 
 
A saída do último par RC retorna à entrada do amplificador. A carga que 
a rede de realimentação representa para a carga pode ser desprezada. Como o 
amplificador está em configuração de inversor, provoca um deslocamento de 
fase de 180o, e a rede de realimentação provocará mais um deslocamento. Em 
algumas frequências, a defasagem provocada pela rede de realimentação será 
de 180o. Nestas frequências o deslocamento de fase total do sinal que entra no 
amplificador será novamente igual a zero. Nestas frequências o circuito oscilará 
com amplitude suficientemente grande. 
4.1.1 Oscilador de deslocamento de fase com FET 
Analisando a malha de realimentação do sistema da Figura 7, podemos 
deduzir que: 
 −𝛽 =
𝑉𝑓
′
𝑉0
=
1
1 − 5𝛼2 − 𝑗(6𝛼 − 𝛼3)
 (8) 
Sendo 𝛼 =
1
𝜔𝑅𝐶
, o deslocamento de fase do ganho de laço será de 180o 
para 𝛼2 = 6. Nessas condições, a frequência de oscilação será (Millman e 
Halkias, 1972): 
 𝜔 =
1
𝑅𝐶√6
 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] ⇒ 𝑓 =
1
2𝜋𝑅𝐶√6
 [𝐻𝑧] (9) 
 
 
 
 
12 
Figura 7 – Oscilador de deslocamento de fase com transistor de efeito de campo 
 
Fonte: Boylestad e Nashelsky (2013) 
4.1.2 Oscilador de deslocamento de fase com transistor de junção 
Se usarmos um transistor de junção como elemento ativo, a resistência R 
de saída da rede de realimentação será ligada à base do transistor. No entanto, 
diferentemente do oscilador com FET que usa realimentação de tensão série, no 
transistor de junção será usada realimentação de tensão paralelo. Na Figura 8 é 
apresentado um oscilador de deslocamento de fase com transistor. 
Figura 8 – Oscilador de deslocamento de fase com transistor de junção 
 
Fonte: Boylestad e Nashelsky (2013) 
+ 
𝑉𝑜 
- 
+ 
𝑉𝑓
′ = −𝑉𝑓 
- 
𝐼𝑏 
𝐼3 
 
 
13 
O critério de Barkhausen determina que 𝐼3 e 𝐼𝑏 devem estar em fase, 
nesse caso a frequência de oscilação será: 
 
 
𝑓 =
1
2𝜋𝑅𝐶
1
√6 + 4
𝑅𝑐
𝑅
 
(10) 
 
A Figura 9 apresenta um oscilador de deslocamento de fase com 
amplificador operacional cuja frequência de oscilação é dada pela equação (9). 
Figura 9 – Oscilador de deslocamento de fase com amplificador operacional 
 
Fonte: Boylestad e Nashelsky (2013) 
4.2 Forma geral de um oscilador ressonante (oscilador sintonizado)A forma geral de um oscilador é a apresentada na Figura 10(a). O 
dispositivo ativo pode ser um FET, um transistor de junção ou um amplificador 
operacional. Na análise a seguir, consideraremos que o dispositivo tem 
impedância de entrada infinita (FET ou amplificador operacional). A Figura 10(b) 
mostra o modelo linear equivalente com ganho −𝐴𝑣 e impedância de saída 𝑅𝑜. 
A realimentação do circuito é tipo tensão – série. 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Figura 10 – (a) Configuração básica de um oscilador ressonante; (b) Circuito 
linear equivalente 
 
(a) (b) 
 
Ganho de laço: 
Considerando a Figura 10: 
 
 𝑍𝐿 = (𝑍1 + 𝑍3) ∥ 𝑍2 (11) 
 
o ganho sem realimentação será: 
 
 𝐴 = −𝐴𝑣
𝑍𝐿
𝑍𝐿 + 𝑍0
 (12) 
 
O fator de realimentação é: 
 
 𝛽 = −
𝑍1
𝑍1 + 𝑍3
 (13) 
 
O ganho de laço é: 
 
 −𝐴𝛽 =
−𝐴𝑣𝑍1𝑍2
𝑅0(𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3) + 𝑍2(𝑍1 + 𝑍3)
 (14) 
 
Sendo 𝑍1, 𝑍2 e 𝑍3 elementos puramente reativos: 𝑍1 = 𝑗𝑋1, 𝑍2 = 𝑗𝑋2 e 
𝑍3 = 𝑗𝑋3 com 𝑋 = 𝜔𝐿 indutivo, e 𝑋 = −
1
𝜔𝐶
 capacitivo, então: 
𝐼 = 0 
 
 
15 
 
 −𝐴𝛽 =
𝐴𝑣𝑋1𝑋2
𝑗𝑅𝑜(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3) − 𝑋2(𝑋1 + 𝑋3)
 (15) 
 
Para que o deslocamento de fase seja igual a zero, a parte imaginária do 
denominador deve ser zero: 
 
 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 0 (16) 
 −𝐴𝛽 =
𝐴𝑣𝑋1𝑋2
−𝑋2(𝑋1 + 𝑋3)
= −
𝐴𝑣𝑋1
(𝑋1 + 𝑋3)
 (17) 
 
O circuito vai oscilar na frequência de ressonância da combinação em 
série de 𝑋1, 𝑋2 e 𝑋3. Combinando as equações (16) e (17): 
 
 −𝐴𝛽 =
𝐴𝑣𝑋1
𝑋2
 (18) 
 
Como −𝐴𝛽 deve ser positivo com magnitude maior o igual a 1, 𝑋1 e 𝑋2 
devem ter o mesmo sinal, ou seja, devem ser duas reatâncias do mesmo tipo 
(indutores ou capacitores), e 𝑋3 deve ter o sinal oposto. Portanto, se 𝑋1 e 𝑋2 são 
indutores, 𝑋3 deverá ser um capacitor. Essa configuração chama-se oscilador 
Hartley. Se 𝑋1 e 𝑋2 são capacitores, 𝑋3 deverá ser um indutor. Essa configuração 
chama-se oscilador Colpitts (Millman e Halkias, 1972). A Figura 11 mostra um 
oscilador Colpitts e a Figura 12 mostra um oscilador Hartley. 
Figura 11 – Oscilador Colpitts com FET como elemento ativo 
 
Fonte: Boylestad e Nashelsky (2013) 
 
 
16 
Figura 12 – Oscilador Hartley com transistor de junção como elemento ativo 
 
Fonte: Boylestad e Nashelsky (2013) 
4.3 Oscilador de ponte de Wien 
O oscilador em ponte de Wien mostrado na Figura 13 é um circuito que 
usa uma fonte balanceada como rede de realimentação. O elemento ativo é um 
amplificador operacional (ideal) com as seguintes características: 
 Ganho de laço aberto 𝐴𝑣 → ∞ 
 Impedância de saída 𝑅𝑜 → 0. 
 Impedância de entrada 𝑅𝑖 → ∞ 
 Banda passante 𝐵𝑃 → ∞ 
Figura 13 – Oscilador em ponte de Wien com amplificador operacional como 
elemento ativo 
 
 
 
17 
 
Como 𝑉𝑜 = 𝐴𝑣𝑉𝑖 o ganho de laço será: 
 
 −𝛽𝐴 =
𝑉𝑜
𝑉𝑜′
=
𝐴𝑣𝑉𝑖
𝑉𝑜′
 (19) 
 𝑉𝑖 = 𝑉2 − 𝑉1 (20) 
 
Trabalhando com as Equações 19 e 20 sendo 𝐴𝑣 = 𝐴: 
 
 −𝛽 =
𝑉𝑖
𝑉𝑜′
=
𝑉2 − 𝑉1
𝑉𝑜′
=
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
−
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 (21) 
 
De acordo com a Equação 21, é possível verificar que 𝑍1 e 𝑍2 têm o 
mesmo ângulo de fase na frequência 𝑓0: 
 
 𝑍1 = 𝑅 −
𝑗
𝜔𝐶
=
𝜔𝐶𝑅 − 𝑗
𝜔𝐶
 (22) 
𝑍2 =
𝑅 ⋅ (−
𝑗
𝜔𝐶)
𝑅 −
𝑗
𝜔𝐶
 
𝑍2 =
−
𝑗𝑅
𝜔𝐶
𝜔𝐶𝑅 − 𝑗
𝜔𝐶
 
 𝑍2 =
−𝑗𝑅
𝜔𝐶𝑅 − 𝑗
 (23) 
 
Considerando o primeiro termo da Equação 21: 
 
 
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
=
−𝑗𝑅
𝜔𝐶𝑅 − 𝑗
𝜔𝐶𝑅 − 𝑗
𝜔𝐶 +
−𝑗𝑅
𝜔𝐶𝑅 − 𝑗
 (24) 
 
Trabalhando com a Equação 24: 
 
 
 
18 
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
=
−𝑗𝑅
𝜔𝐶𝑅 − 𝑗
(𝜔𝐶𝑅 − 𝑗)2 − 𝑗𝜔𝐶𝑅
𝜔𝐶. (𝜔𝐶𝑅 − 𝑗)
 
 
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
=
−𝑗𝑅
(𝜔𝐶𝑅 − 𝑗)2 − 𝑗𝜔𝐶𝑅
𝜔𝐶
=
−𝑗𝜔𝐶𝑅
(𝜔𝐶𝑅 − 𝑗)2 − 𝑗𝜔𝐶𝑅
 (25) 
 
Trabalhando com o denominador da Equação 25: 
 
(𝜔𝐶𝑅 − 𝑗)2 − 𝑗𝜔𝐶𝑅 = (𝜔𝐶𝑅)2 − 2𝑗𝜔𝐶𝑅 − 1 − 𝑗𝜔𝐶𝑅 = (𝜔𝐶𝑅)2 − 3𝑗𝜔𝐶𝑅 − 1 
((𝜔𝐶𝑅)2 − 1) − 3𝑗𝜔𝐶𝑅 = 𝑎 − 𝑗𝑏 
 
Substituindo na Equação 25: 
 
 
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
=
−𝑗𝜔𝐶𝑅
𝑎 − 𝑗𝑏
.
𝑎 + 𝑗𝑏
𝑎 + 𝑗𝑏
=
−𝑗𝜔𝐶𝑅. (𝑎 + 𝑗𝑏)
𝑎2 + 𝑏2
 (26) 
 
Trabalhando com o numerador: 
 
 −𝑗𝜔𝐶𝑅. (𝑎 + 𝑗𝑏) = −𝑗𝜔𝐶𝑅. ((𝜔𝐶𝑅)2 − 1 + 3𝑗𝜔𝐶𝑅) (27) 
−𝑗𝜔𝐶𝑅. ((𝜔𝐶𝑅)2 − 1) + (−𝑗𝜔𝐶𝑅)(3𝑗𝜔𝐶𝑅) = −𝑗𝜔𝐶𝑅. ((𝜔𝐶𝑅)2 − 1) + 3(𝜔𝐶𝑅)2 
 
Reescrevendo a Equação 27: 
 
 −𝑗𝜔𝐶𝑅. (𝑎 + 𝑗𝑏) = −𝑗𝜔𝐶𝑅. ((𝜔𝐶𝑅)2 − 1) + 3(𝜔𝐶𝑅)2 (28) 
 
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
=
3(𝜔𝐶𝑅)2 − 𝑗𝜔𝐶𝑅. ((𝜔𝐶𝑅)2 − 1)
𝑎2 + 𝑏2
 (29) 
 
Na frequência de oscilação, o termo imaginário da Equação 29 tem que 
ser igual a zero: 
 
 
−𝑗𝜔0𝐶𝑅. ((𝜔0𝐶𝑅)
2 − 1)
𝑎2 + 𝑏2
= 0 (30) 
 
Portanto: 
 
 
 
19 
 (𝜔0𝐶𝑅)
2 − 1 ⇒ 𝜔0𝐶𝑅 = 1 (31) 
 𝜔0 =
1
𝑅𝐶
→ 𝑓0 =
1
2𝜋𝑅𝐶
 (32) 
 
Em 𝜔 = 𝜔0: 
 
 
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
|
𝜔0
=
3(𝜔0𝐶𝑅)
2 − 𝑗𝜔0𝐶𝑅. ((𝜔0𝐶𝑅)
2 − 1)
((𝜔0𝐶𝑅)2 − 1)2 + 9(𝜔0𝐶𝑅)2
 (33) 
 
Combinando as Equações 32 e 33: 
 
 
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
|
𝜔0
=
3 (
1
𝑅𝐶 . 𝐶𝑅)
2
((
1
𝑅𝐶 . 𝐶𝑅)
2
− 1)
2
+ 9 (
1
𝑅𝐶 . 𝐶𝑅)
2
= 
=
3. 12
(12 − 1)2 + 9. 12
 
(34) 
 
Portanto: 
 
 
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
|
𝜔0
=
1
3
⇒
𝑉2
𝑉𝑜′
=
1
3
 (35) 
 
Para o amplificador ideal 𝑉𝑖 = 0 [𝑉], portanto: 
 
 
𝑉𝑖
𝑉𝑜′
|
𝜔0
=
1
3
−
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
⇒ 0 =
1
3
−
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 (36) 
 
Então: 
 
 
1
3
=
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
⇒ 𝑅1 = 2𝑅2 (37) 
 
O ganho de laço deve ser igual a 1 com fase igual a zero. Como 𝐴𝑣 é um 
número positivo, a fase de −𝛽 será igual a zero, mas a magnitude, não. Isso é 
possível fazendo 
𝑅2
𝑅1+𝑅2
<
1
3
. 
 
 
20 
Considerando: 
 
 
𝑉1
𝑉𝑜
′ =
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
=
1
3
−
1
𝛿
 (38) 
 
Como 𝛿 é um número maior do que 3: 
 
 −𝛽 =
𝑉2 − 𝑉1
𝑉𝑜
′ =
𝑉2
𝑉𝑜
′ −
1
3
+
1
𝛿
 (39) 
 
Em 𝜔 = 𝜔0: 
 
 
𝑉2
𝑉0
′|
𝜔0
=
1
3
⇒ −𝛽 =
1
3
−
1
3
+
1
𝛿
 (40) 
 
Considerando 𝐴𝑣 = 𝛿, é cumprida a condição −𝛽𝐴 = 1. Essa condição se 
cumpre somente na frequência 𝑓0 (Millman e Halkias, 1972). 
4.4 Osciladores a cristal 
A um cristal piezoelétrico (quartzo) com eletrodos metálicos em faces 
opostas é aplicada uma diferença de potencial entre os eletrodos. As cargas 
dentro do cristal serão submetidas a forças. Se o dispositivo estiver corretamente 
montado, deformações ocorrerão no cristal, o qual vibrará quando excitado 
corretamente. O fator de qualidade Q e a frequência de ressonância dependem 
de como o dispositivo é montado, do tamanho do cristal e de como as superfícies 
estão orientadas em relação aos seus eixos. Existem vários tipos de cristais 
comercializados com frequências na faixa dos kHz aos MHz e fatores de 
qualidade Q na faixa de mil a centos de milhares. Como o cristal é extremamente 
estável em relação a envelhecimento e temperatura e tem valores de Q 
extremamente altos, a estabilidade em frequência de osciladores a cristal é muito 
alta. 
A Figura 14 mostra o símbolo e o equivalente elétrico do cristal 
piezoelétrico. No modelo eletromecânico, a resistência 𝑅 é devida à fricção 
interna da estrutura do cristal quando está vibrando, a indutância 𝐿 representa a 
inércia (mola) e 𝐶 a compliância (rigidez do cristal), enquanto 𝐶𝑀 representa a 
capacitância do encapsulado quando o cristal não está vibrando e é devida ao 
 
 
21 
mesmo ser composto por duas placas paralelas (contatos metálicos) separadas 
por um dielétrico (cristal). Para um cristal de 90 kHz, os valores típicos são 𝑅 =
15 𝑘𝛺, 𝐿 = 137 𝐻 e 𝐶 = 0,0235 𝑛𝐹, que correspondem a um 𝑄 = 5.500, com 
dimensões de 30x4x1,5 mm, 𝐶𝑀 ≅ 3,5 𝑝𝐹 muito maior do que 𝐶. 
Figura 14 – Cristal piezoelétrico com seu respectivo modelo elétrico 
 
 
O cristal tem duas frequências de ressonância: 
 Frequência de ressonância série correspondente a 𝑅, 𝐿 e 𝐶. Cristal com 
baixa impedância. 
 Frequência de ressonância paralelo correspondente a 𝑅, 𝐿 e 𝐶𝑀. Cristal 
com alta impedância (Millman e Halkias, 1972). 
A Figura 15 mostra duas configurações de oscilador a cristal com 
transistores (Boylestad e Nashelsky, 2013). 
Figura 15 – (a)Oscilador a cristal série ressonante com MOSFET. (b) Oscilador 
a cristal paralelo ressonante com TBJ 
 
(a) (b) 
 
 
22 
TEMA 5 – ESTABILIDADE EM FREQUÊNCIA 
Devido aos elementos que compõem o oscilador serem reais, a 
frequência inicialmente calculada vai variar ao redor do valor inicial para cima ou 
para baixo, às vezes erraticamente, às vezes uniformemente em uma direção. 
Esta variação é devida à variabilidade de todos os componentes que constituem 
o oscilador, desde a fonte de alimentação, incluindo elementos ativos e reativos. 
A estabilidade em frequência de um oscilador é a capacidade que ele tem de 
manter estável a frequência perto do valor escolhido pelo máximo tempo 
possível. 
É impossível manter invariantes os parâmetros dos elementos do circuito 
oscilador devido a serem muitos elementos e muitos parâmetros para controlar. 
Em segundo lugar, os parâmetros dos elementos ativos são instáveis e difíceis 
de manter constantes. Por último, é difícil onde estão os componentes no circuito 
e como as variações neles estão interferindo no funcionamento do oscilador. 
A principal causa de variações dos parâmetros dos dispositivos é a 
temperatura, portanto é uma das principais causas das variações na frequência. 
Os elementos ativos são fortemente dependentes de temperatura, então é 
necessário levar em conta essa dependência durante o projeto do oscilador. 
5.1 Critério de estabilidade 
Se em um oscilador existe um conjunto de elementos que tem a 
propriedade de, na frequência de oscilação, introduzir uma grande variação de 
fase θ com a frequência, 
dθ
dω
 serve como medição da independência da 
frequência de todas as outras características do circuito. A estabilidade em 
frequência melhora com o aumento de 
dθ
dω
. No limite, com 
dθ
dω
 tendendo a infinito, 
a frequência do oscilador depende somente desse conjunto de elementos e fica 
completamente independente de todas as outras características do circuito 
(Millman e Halkias, 1972). 
Os osciladores a cristal apresentam grandes vantagens pois os cristais 
são extremamente estáveis em frequência, e a estabilidade do circuito oscilador 
depende essencialmente do cristal e nada mais. 
Para verificar a estabilidade em frequência de diferentes tipos de 
osciladores, 
𝑑𝜃
𝑑𝜔
 deverá ser verificado para cada um deles na frequência de 
 
 
23 
oscilação. O circuito que tiver o maior valor de 
𝑑𝜃
𝑑𝜔
 terá maior estabilidade na dita 
frequência. 
FINALIZANDO 
Nesta aula foram verificados conteúdos referentes a diferentes tipos de 
circuitos osciladores. Foram apresentados os circuitos básicos com diferentes 
configurações usando diferentes tipos de dispositivos ativos. 
Osciladores são componentes fundamentais de muitos sistemas e podem 
gerar sinais de vários formatos como ondas senoidais, quadradas e triangulares, 
fora outros tipos de sinais específicos. Eles são usados em aplicações 
analógicas e digitais. Nesta aula, falamos principalmente de osciladores 
geradores de ondas senoidais. Como foi visto na Aula 5, a onda senoidal é usada 
para verificação de resposta em frequência de sistemas devido a que é a única 
onda que não sofre deformação (só variação de amplitude) quando a frequência 
varia. Em desenvolvimento de sistemas é de fundamental importância dispor de 
dispositivos que gerem formas de onda conhecidas para poder estudar o 
comportamento de sistemas. 
Para finalizar, cabe lembrar que esta rota de estudo é somente um guia e 
que aluno, além de ler este guia de estudos, deve estudar pelo livro-texto e pelo 
material de leitura obrigatória disponibilizado na Aula. 
Capítulo 14: Realimentação e circuitos osciladores – página 626. 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
BOYLESTAD, R. L.; NASHELSKY, L. Dispositivos eletrônicos e teoria de 
circuitos. 11. ed. São Paulo: Pearson Education, 2013. 
MILLMAN, J.; HALKIAS, C. C. Integrated Electronics: Analog and Digital 
Circuits and Systems. Tokyo: McGraw-Hill, 1972. 
SEDRA, A. S.; SMITH, K. C. Microeletrônica. 4. ed. São Paulo: Makron Books, 
2000.