FUNÇÕES POLINOMIAIS4

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
4.1 Potenciação de expoente natural
4.2 Funções polinomiais de grau n
4.3 Função polinomial do segundo grau ou função quadrática
4.4 Análise do gráfico de uma função quadrática 
4.5 Gráficos das funções polinomiais
4.6 Raízes das funções polinomiais
4.7 Raízes da função quadrática
4.8 Ponto de máximo ou de mínimo da função quadrática
Gil da Costa Marques
FUNÇÕES POLINOMIAIS4
Fu
nd
am
en
to
s 
de
 M
at
em
át
ic
a 
I
75
Fundamentos de Matemática I
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4.1 Potenciação de expoente natural
Antes de abordar as funções polinomiais, devemos introduzir uma operação com números 
reais, denominada potenciação. Assim, definimos a potência n do número real a, com n ∈ *, 
representada por an, como o resultado do produto do número a n vezes, ou seja,
 4.1 
Por exemplo, no caso de n = 3, temos:
 4.2 
ou seja, o produto sucessivo de a três vezes. 
O resultado da potenciação de um número real é um outro número real. Por exemplo, 
 4.3 
A potenciação é uma operação bastante simples sempre que o expoente for um número 
inteiro positivo.
4.2 Funções polinomiais de grau n
A operação potenciação com expoente natural permite-nos definir uma ampla classe de funções, 
denominadas genericamente funções polinomiais. Por exemplo, a função cúbica ou função poli-
nomial de terceiro grau é definida a partir da potenciação, uma vez que é uma função da forma:
 4.4 
que associa a cada valor da variável independente o seu cubo multiplicado pela constante a:
 4.5 
a a a an
n
= . . ... . 
 vezes
��� ��
a a a a3 = . .
3 3 3 3 3 9 27
3 3 3 3 3 9 27
3
3
= ⋅ ⋅ = ⋅ =
−( ) = −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) = − ⋅ = −
f x ax( ) = 3
f x a x x x( ) = ⋅ ⋅( )
76
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Um exemplo simples de função cúbica é aquela que expressa o volume de uma esfera como 
função do seu raio. Nesse caso, a dependência do volume em relação ao raio R se escreve:
 4.6 
Analogamente, podemos definir uma função envolvendo uma potência arbitrária, n, da 
variável dependente, onde n ∈ *:
 4.7 
Um polinômio de grau n é definido como uma soma de parcelas do tipo a f xn
n. ( ) , para n 
inteiro positivo ou, equivalentemente, uma combinação linear de funções do tipo 4.7. Assim, 
um polinômio de grau n (Pn(x)), é definido pela expressão geral:
 4.8 
ou, analogamente,
 4.9 
Desse modo, um polinômio de grau n pode ser definido como uma soma de monômios 
cujos graus variam de zero até n – um monômio de grau zero é uma constante – que é um 
número real:
 4.10 
Da definição acima, temos que uma função afim é, por definição, um polinômio de primeiro 
grau, ou seja,
 4.11 
V R= 4
3
3pi
f x x x x xn n
n
( ) . .= = ... .
 vezes
��� ��
P x a f x a f x a f x an n
n
n
n( ) = ( ) + ( ) + + ( ) +− −1 1 1 1 0...
P x a x a x a x an n
n
n
n( ) = + + + +− −1 1 1 0...
P x a xn i
i
i
n
( ) =
=
∑
0
P x a x a1 1 0( ) = +
77
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Por exemplo, a velocidade escalar de uma par-
tícula de massa m sujeita a uma força constante 
F, atuando ao longo de uma curva, é dada, como 
função do tempo t decorrido, por:
 4.12 
Nesse caso, a variável independente é o tempo, 
acima designado por t, enquanto os parâmetros a1 
e a0 são, respectivamente, a aceleração da partícula 
(a1 = F/m) e a sua velocidade inicial (a0 = V(0) = V0). 
Um polinômio é par se:
 4.13 
Nesse caso, n deve ser necessariamente um número par e todos os coeficientes das potências 
ímpares devem ser nulos. Por exemplo, o polinômio:
 4.14 
é um polinômio par.
Um polinômio é dito ímpar se:
 4.15 
Nesse caso, n deve ser um número ímpar, bem como todos os coeficientes das potências 
pares devem ser nulos. Assim, o polinômio
 4.16 
é um polinômio ímpar.
Figura 4.1: Gráfico de uma função polinomial do primeiro 
grau ou função afim.
V t F
m
t V( ) = 




 + 0
P x P xn n( ) = −( )
P x x x4 4 213 36( ) = − +
P x P xn n( ) = − −( )
P x x x x5 5 313 36( ) = − +
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4.3 Função polinomial do segundo grau 
ou função quadrática
A função polinomial do segundo grau ou o polinômio de segundo grau mais geral é da forma:
 4.17 
Na expressão acima, empregamos a forma convencional de apresentar as funções quadráticas, 
ou seja, em termos de parâmetros designados pelas letras a, b e c. As constantes a, b e c são 
denominadas, respectivamente, coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante 
ou termo livre. O coeficiente quadrático é o único que não pode ser nulo, pois, nesse caso, a 
função não seria do segundo grau.
O gráfico de um polinômio do segundo grau é uma curva denominada parábola. Isto foi 
discutido em Aplicações à geometria analítica, seção 3.6.1.
O movimento dos projéteis na superfície terrestre provê mais de um exemplo de grandezas 
que dependem, quadraticamente, umas das outras. Por exemplo, a coordenada y associada à 
posição de um projétil depende da coordenada x da seguinte forma: 
 4.18 
onde g é a aceleração da 
gravidade, y0 é o valor da 
coordenada y quando do 
início do movimento, 
isto é, quando x = 0, e 
a velocidade inicial do 
projétil tem componentes 
(v0x , v0y).
y x ax bx c( ) = + +2
y x g x
v
v x
v
y
x
y
x
( ) = − 




 +





 +2 0
2
0
0
0
Figura 4.2: A trajetória de um projétil é descrita por uma função quadrática.
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A seguir, escreveremos 4.17 de uma forma inteiramente equivalente, e muito útil, como se verá. 
Admitindo-se o parâmetro a não nulo (a ≠ 0), podemos escrever as seguintes igualdades:
 4.19 
donde inferimos que 
 4.20 
onde o termo ∆ é dado por
 4.21 
Embora seja pouco comum, vamos usar, muitas vezes, esta última forma da função quadrá-
tica. Em particular, se recorrermos a um artifício definido como translação de eixos (mudanças 
de eixos na direção vertical e horizontal), ela se torna útil para escrever a equação da parábola 
de uma forma mais simples. De fato, se redefinirmos as variáveis de acordo com as expressões:
 4.22 
então, o polinômio do segundo grau pode ser escrito, nessas novas variáveis, como:
 4.23 
Observe que efetuar translações ao longo dos eixos x e y corresponde a realizar uma 
mudança do sistema de coordenadas.
y ax bx c a x b
a
x c
a
a x b
a
x c
a
b
a
b
a
= + + = + +




 = + + + −






2 2 2
2
2
2
24 4
 = + + +
+





a x b
a
x b
a
c
a
x b
a
2
2
2
2
4
2
� ��� ���
−−














= +




 −
−







∆
b
a
a x b
a
b ac
a
2
2
2 2
24 2
4
4
upcurlybracketleftupcurlybracketmid� upcurlybracketright�



y x ax bx c a x b
a a
( ) = + + = +




 −
2
2
2 4
∆
∆ = −b ac2 4
′ = +
′ = −
−





x x b
a
y y b ac
a
2
4
4
2
′ ′( ) = ′y x ax 2
80
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As transformações 4.22 podem ser pensadas como translações dos eixos na direção horizontal 
e na direção vertical. Assim, mediante uma nova escolha de eixos, escolha essa definida por 4.22, 
podemos reduzir a expressão 4.17 ou 4.20 a uma forma bastante simples, que é dada em 4.23. 
No que se segue, utilizaremos, indistintamente,qualquer uma das expressões 4.17, 4.20 ou 4.23.
De acordo com a expressão 4.13, podemos constatar que a função polinomial sob a forma 
4.23 é uma função par. Assim, constatamos que a parábola dada em 4.20 apresenta um eixo de 
simetria, que é a reta dada por:
 4.24 
4.4 Análise do gráfico de 
uma função quadrática 
Podemos classificar as parábolas a partir de suas características. Uma primeira característica é a 
concavidade. Uma segunda diz respeito ao fato de ela interceptar ou não o eixo x. 
Figura 4.3: Por meio da translação de eixos, podemos simplificar a forma da função quadrática.
x b
a
= −
2
Uma função quadrática pode exibir dois tipos de concavidade. A 
concavidade é considerada positiva se a curva “está virada para 
cima”. Se ocorrer o oposto, a concavidade da curva é negativa. 
Nesse caso, dizemos, numa linguagem coloquial, que ela está “vira-
da para baixo”. Posteriormente, daremos uma definição mais pre-
cisa de concavidade de uma curva.
81
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Levando em conta ainda a forma 4.23, podemos verificar que a concavidade é determinada 
pelo sinal do parâmetro a da função. A concavidade será negativa se o parâmetro a for negativo. 
E será positiva se a for positivo. Isso pode ser facilmente observado na Figura 4.4.
Assim, o parâmetro a determina 
também o quão “aberta” ou “fechada” 
será a parábola. Quanto maior o valor 
desse parâmetro tanto mais fechada será 
a parábola (vide Figura 4.5).
A parábola pode interceptar ou não o 
eixo x. Para determinar se a curva inter-
cepta o eixo x, basta procurar os valores 
de x que tornam y = 0. A tais valores, 
quando existem, damos o nome de raízes 
da função ou raízes do polinômio. Cada 
ponto em que a parábola cruza o eixo x é obtido por meio de um par ordenado da forma 
(xr, 0), onde xr é uma das raízes do polinômio de segundo grau, isto é:
 4.25 
Assim, o gráfico de um polinômio do segundo grau pode interceptar duas vezes o eixo x (se ele 
possuir duas raízes distintas), interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma raiz ou duas 
raízes iguais), ou nunca interceptá-lo (se não houver raízes reais). De acordo com a análise que 
Figura 4.4: A concavidade da função depende do sinal do parâmetro a.
Figura 4.5: Comportamento da parábola quando variamos o parâmetro a.
ax bx cr r
2 0+ + =
82
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faremos na seção 4.7, tais casos podem ser decididos por meio da relação entre os parâmetros 
a, b e c. O resultado é o seguinte:
Se
 4.26 
Assim, a função quadrática, por exemplo,
 4.27 
intercepta o eixo x duas vezes pois, nesse caso, ∆ = 9 − 4.1.2 = 1, ao passo que a função
 4.28 
intercepta o eixo x apenas uma vez, pois ∆ = 4 − 4.1.1 = 0 . A função
 4.29 
não intercepta o eixo x.
∆ > ⇔ >
∆ = ⇔ =
∆ < ⇔ <
0 4
0 4
0 4
2
2
2
 
 
 
b ac
b ac
b ac
o gráfico corta o eixo x duas vezes
o gráfico corta o eixo x uma única vez
o gráfico não corta o eixo.
Figura 4.6: A parábola para diferentes possibilidades de ∆.
y x x x( ) = − +2 3 2
y x x x( ) = − +2 2 1
y x x( ) = +2 1
83
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Exemplos
• ExEmplo 1
Estude a função: 
 4.30 
com relação às suas intersecções com os eixos coordenados.
→ REsolução:
Primeiramente, observamos que, nesse caso, temos: a = 1, b = −6, c = 5.
a. Intersecção com o eixo 0y:
Para encontrar o valor de y, basta tomar x = 0 na equação 4.30.
Obtemos:
 4.31 
Portanto, o gráfico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (0,5).
Observamos também que, como a = 1 > 0, a concavidade é para cima.
b. Intersecção com o eixo x:
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0, ou seja, pontos x para os quais:
 4.32 
Vamos determinar o valor de ∆:
 4.33 
Logo, a função dada admite duas raízes reais, ou seja, seu gráfico cortará o eixo horizontal em dois pontos.
y f x x x= ( ) = − +2 6 5
y( )0 0 6 0 5 52= ( ) − ( ) + =
x xi i
2 6 5 0− + =
∆ = − = −( ) − ( ) ( ) = − =b ac2 24 6 4 1 5 36 20 16
84
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4.5 Gráficos das funções polinomiais
Gráficos típicos de funções polinomiais são apresentados nas figuras abaixo. O polinômio da 
Figura 4.7d é um polinômio par. Os demais gráficos são de funções que não são pares nem ímpares.
Pode-se ver, pelos gráficos, que as funções polinomiais não são limitadas, isto é, elas podem 
crescer indefinidamente, decrescer indefinidamente, ou ambos.
A curva associada ao gráfico de uma função polinomial de grau n pode cortar o eixo x um 
certo número de vezes. Esse número é igual ou menor do que n. Aos pontos em que o gráfico 
intercepta o eixo x damos o nome de raízes do polinômio. 
a
b
c d
Figura 4.7: Alguns gráficos de funções polinomiais
85
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Os polinômios, em geral, exibem pontos de máximo ou de mínimo locais. Por exemplo, 
o gráfico da Figura 4.7c exibe dois máximos locais e um mínimo local, enquanto que a 
Figura 4.7d apresenta dois máximos locais e três mínimos locais.
4.6 Raízes das funções polinomiais
A determinação das raízes de um polinômio de grau n se faz mediante a resolução de uma 
equação algébrica. De fato, designando por xi a i-ésima raiz de um polinômio, por definição, xi 
deve satisfazer à equação algébrica:
 4.34 
ou seja,
 4.35 
Podemos ter até n soluções reais para tal equação. Não existir solução, no conjunto dos 
números reais, é, também, uma possibilidade. O estudo das raízes de um polinômio tem desa-
fiado os matemáticos. Assim, desde o século XVI, sabe-se encontrar a solução para as seguintes 
equações cúbicas e quadráticas:
 4.36 
Nos casos mais gerais, o problema é complexo. O caso mais simples entre todos é aquele em 
que o polinômio é fatorável, de tal forma que se pode escrevê-lo como produto de polinômios 
de primeiro grau:
 4.37 
Por exemplo, o polinômio dado por 4.14 pode ser escrito como
 4.38 
P xn i( ) = 0
a x a x a x an i
n
n i
n
i+ + + + =−
−
1
1
1 0 0...
x mx n
x px qx r
i i
i i i
3
4 2
0
0
+ − =
+ + + =
P x a x x x x x xn n n( ) = −( ) −( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −( )1 2
P x x x x x x x4 4 213 36 2 2 3 3( ) = − + = −( ) +( ) −( ) +( )
86
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Ele tem, portanto, quatro raízes e elas são representadas pelo conjunto
 4.39 
O polinômio ímpar, dado por 4.16, pode ser escrito como
 4.40 
Ele tem, portanto, cinco raízes, constituindo o conjunto:
 4.41 
Figura 4.8 Gráfico do polinômio P4 indicando suas raízes.
− −{ }3 2 2 3, , ,
P x x x x x x x x x5 5 313 36 2 2 3 3( ) = − + = −( ) +( ) −( ) +( )
Figura 4.9 Gráfico do polinômio P5 indicando suas raízes.
− −{ }3 2 3, , 0,2,
87
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4.7 Raízes da função quadrática
Analisaremos, a seguir, o problema da determinação das raízes de uma equação do segundo 
grau. A solução desse problema é bastante simples e se aplica a qualquer função polinomial de 
segundo grau.
A equação que nos permite determinar as raízes da função quadrática, de acordo com a 
notação da seção precedente, é dada por:
 4.42 
onde a ≠ 0.
De 4.20 vemos que ela pode ser escrita como:
 4.43 
E, portanto, tais valores, se existirem, devem satisfazer à identidade:
 4.44 
Ora, como é possível observar, a fim de que existam valores xi que satisfaçam à relação acima, 
é necessário que o lado direito de 4.44 seja positivo ou nulo, ou seja:
 4.45 
Tendo em vista a expressão4.43, obtemos a seguinte expressão:
 4.46 
Uma vez que o coeficiente a é não nulo, temos: 
 4.47 
ax bx ci i
2 0+ + =
a x b
a
b ac
ai
+




 −
−( )
=
2
4
4
0
2 2
x b
a
b ac
a ai
+




 =
−( )
=
2
4
4 4
2 2
2 2
∆
∆ ≥ 0
a x b
a ai
+




 −
∆







=
2 4
0
2
2 
 x b
a ai
+




 =
∆
2 4
2
2
88
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E, portanto, se ∆ ≥ 0, as raízes são dadas da seguinte maneira:
 4.48 
Concluímos então que, dependendo do valor de ∆, podemos ter até três possibilidades:
 4.49 
Assim, para ∆ > 0, encontramos as duas raízes dadas pelos valores:
 4.50 
Se, no entanto, ∆ = 0, as duas raízes se reduzem a uma só:
 4.51 
De 4.50 ou 4.51, podemos concluir que a soma das raízes (S  ) e o seu produto (P) são dados, 
respectivamente, por: 
 4.52 
Finalmente, é fácil verificar que, em termos das raízes dadas por 4.50 ou 4.51, um polinô-
mio do segundo grau pode ser escrito como:
 4.53 
Por exemplo, as raízes da função 4.27 são determinadas pela equação:
 4.54 
x b
a ai
+ = ±
∆
2 2
duas raízes reais diferentes
duas raízes reais iguais (uma única raiz)
não há raízes reais
∆ > ⇔
∆ = ⇔
0
0
duas raízes reais diferentes
duas raízes reais iguaiis (uma única raiz).
não há raizes reais∆ < ⇔



 0
x b
a a
b b ac
a
x b
a a
b b ac
a
1 2
2
2 2
2
2 4
4
2
2 4
4
2
= − − =
− − −
= − + =
− + −
∆
∆
x x b
a1 2 2
= = −
S x x b
a
P x x c
a
= + =
−
= ⋅ =
1 2
1 2
ax bx c a x b
a
x c
a
a x x x x2 2 1 2+ + = + +





 = −( ) −( )
x xi i
2 3 2 0− + =
89
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cujas soluções, de acordo com 4.50, são:
 4.55 
enquanto a equação
 4.56 
admite apenas uma raiz, já que, nesse caso, ∆ = 0. Tal raiz, de acordo com a expressão 4.51, é 
dada por:
 4.57 
A função 4.29 não tem raízes reais, pois ∆ < 0.
• ExEmplo 2
Determine as raízes do polinômio dado por 4.30 (y f x x x= ( ) = − +2 6 5).
→ REsolução:
A partir da expressão 4.21, encontramos ∆ = 16 e, portanto,
 4.58 
x
x
1
2
3 9 8
2
1
3 9 8
2
2
=
− −
=
=
+ −
=
x xi i
2 2 1 0− + =
x x1 2
2
2
1= = =
Figura 4.10: Gráficos de funções quadráticas exibindo duas, uma ou nenhuma raiz.
∆ = =16 4
90
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e, a partir daí,
 4.59 
ou seja, 
 4.60 
4.8 Ponto de máximo ou de mínimo 
da função quadrática
Finalmente, lembramos que uma parábola exibe um ponto em que a variável y atinge um 
valor máximo (ou um valor mínimo). Qualquer que seja o caso (máximo ou mínimo), esse 
valor de y será representado genericamente por ym. 
O valor da variável independente, x, para o qual ocorre o valor máximo (ou mínimo) da 
função polinomial do segundo grau, será designado por xm. Como a cada par de valores das 
variáveis corresponde um ponto (x , y) no plano, esse ponto muito especial da parábola é: 
 4.61 
Esse ponto é o vértice da parábola.
Existe uma forma sistemática de determinar o ponto de máximo ou de mínimo de um 
polinômio do segundo grau. Para isso, reescrevemos a função do segundo grau utilizando a 
expressão 4.20, ou seja, 
 4.62 
Da expressão acima, resulta que o máximo ou o mínimo da função quadrática ocorrerá para o 
valor de x, para o qual o primeiro termo entre parênteses do lado direito se anula, isto é, xm é tal que:
 4.63 
x b
ai
=
− ± ∆
=
− −( ) ±
( )
=
±
2
6 4
2 1
6 4
2
x
x
1
2
6 4
2
1
6 4
2
5
=
−
=
=
+
=
x ym m,( )
y a x b
a a
= +




 −
∆






2 4
2
2
x b
am
+ =
2
0
91
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ou seja, para 
 4.64 
Outro modo de determinar a abscissa do vértice é lembrar que, havendo raízes reais, o 
vértice se situa num ponto cuja abscissa é a média aritmética das raízes:
 4.65 
ao passo que o valor de ym, isto é, o valor máximo (ou mínimo) será determinado substituindo-se 
em 4.62 o valor dado por 4.64, ou seja, 
 4.66 
Obtemos, assim, explicitamente:
 4.67 
Assim, o ponto de máximo ou de mínimo tem coordenadas dadas por:
 4.68 
Os pontos de mínimo, isto é, os vértices das funções quadráticas 4.27, 4.28 e 4.29, são dados, 
respectivamente, por:
 4.69 
x b
am
= −
2
x x x b
am
=
+
= −1 2
2 2
y y x a x b
a a
a
a am m m
= ( ) = +




 −
∆







= −
∆




 = −
∆
2 4
0
4 4
2
2
2
2
y
a
b
a
cm = −
∆
= − +
4 4
2
x y b
a
b
a
cm m, ,( ) = − − +





2 4
2
3
2
1
4
1 0 0 1, , ,−




 ( ) ( ) 
Figura 4.11: Vértices das funções quadráticas 4.27, 4.28 e 4.29.
92
4 Funções Polinomiais
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No caso da função:
 4.70 
a abscissa do vértice (xv) é dada por: 
 4.71 
ao passo que, de 4.66, vemos que a ordenada do vértice é dada por:
 4.72 
• ExEmplo 3
A Figura 4.12 apresenta o gráfico de uma função quadrática. 
Escreva a expressão que define a função. Determine as coorde-
nadas do vértice:
→ REsolução:
Lembrando a forma geral da função quadrática y = ax2 + bx + c, o 
problema que se coloca é o de determinar os coeficientes a, b, e c.
Da Figura 4.12 inferimos que as raízes são x1 = −1 e x2 = 3.
Considerando, agora, a forma fatorada de uma função polinomial 
do segundo grau, escrevemos:
 4.73 
Resta-nos, portanto, determinar o valor do parâmetro a. Para isso, observe que o gráfico corta o eixo 
y no ponto (0,2), isto é, para x = 0, temos y = 2: 
 4.74 
Donde inferimos que
 4.75 
Substituindo esse valor de a em 4.73, obtemos:
 4.76 
y x x= − +2 6 5
x b
av
=
−
=
− −( )
( )
=
2
6
2 1
3
y
am
=
−∆
=
−
( )
= −
4
16
4 1
4
Figura 4.12: Gráfico de uma função quadrática
y a x x x x a x x a x x= −( ) −( ) = +( ) −( ) = − −( )1 2 21 3 2 3
y a( ) ( )0 2 0 2 0 32= = − ⋅ −
− = ⇔ = −3 2 2
3
a a
y x x= − − −( )23 2 3
2
93
Fundamentos de Matemática I
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ou, de modo equivalente,
 4.77 
Para determinar as coordenadas do vértice, lembramos primeiramente que a abscissa do vértice é, 
essencialmente, a média aritmética das abscissas das raízes. Assim, nesse caso, obtemos:
 4.78 
Da expressão 4.66, que dá o valor da ordenada do vértice, obtemos:
 4.79 
Portanto, o vértice é o ponto (1, 8/3). Observe que, nesse caso, a concavidade da parábola é para 
baixo e a função admite um valor máximo, que é 8/3.
• ExEmplo 4
Uma pessoa quer construir um galinheiro de forma retangular, usando 
um muro reto já construído como um dos lados do galinheiro. Dado 
que essa pessoa tem material para construir 60 metros de cerca de 
uma altura fixa, determine os valores de x e z, de modo que a área do 
galinheiro seja a maior possível (possa abrigar o maior número possível 
de galinhas).
→ REsolução:
Tendo em vista que o galinheiro é retangular, a sua área, denominada y, 
é dada pelo produto dos lados:
 4.80 
Os lados x e z devem respeitar a limitação imposta pela quantidade 
de material à disposição. Assim, escrevemos para a soma dos três 
lados do galinheiro: 
 4.81 
Donde concluímos que, com o material existente, a relação entre os lados é dada por:
 4.82 
y x x= − + +2
3
4
3
22x x x b
am
=
+
=
− +
=
−
=
−
−





=1 2
2
1 3
2 2
4
3
2 2
3
1
y
am
=
−∆
=
−
−





=
4
64
9
4 2
3
8
3
Figura 4.13: A situação descrita no 
Problema 4.
y xz=
x z x+ + = 60
z x= −60 2
94
4 Funções Polinomiais
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Portanto, escrevendo a área da construção em função do comprimento 
do lado, x, obtemos: 
 4.83 
Como a < 0, a concavidade da parábola, que é o gráfico da função 
y = f (x), é para baixo e a função admite um valor máximo para a 
abscissa dada por:
 4.84 
Assim, para esse valor de x, o valor do outro lado será dado por:
 4.85
Portanto, para que o galinheiro tenha a área máxima, devemos ter:
 4.86 Figura 4.14: O problema resolvido.
y x x x x= −( ) = − +60 2 2 602
x x b
am
= =
−
=
−
−( )
=
2
60
2 2
15
z x= − = − ( ) =60 2 60 2 15 30
x z= =15 30 metros e metros
	4.1 Potenciação de expoente natural
	4.2 Funções polinomiais de grau n
	4.3 Função polinomial do segundo grau ou função quadrática
	4.4 Análise do gráfico de
uma função quadrática 
	4.5 Gráficos das funções polinomiais
	4.6 Raízes das funções polinomiais
	4.7 Raízes da função quadrática
	4.8 Ponto de máximo ou de mínimo
da função quadrática