relatorio 7 COLISÕES

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA GERAL I
COLISÃO ELÁSTICA EM UMA DIMENSÃO
Maringá – PR
15/05/2014
1. RESUMO
No experimento ao representar uma colisão foi possível observar o que ocorre durante este fenômeno, caracterizando-a como elástica ou inelástica para que possa ser notado e assim interpretado através dos dados obtidos, a ideia de conservação de energia e de momento linear. Podendo assim, ser compreendido o que ocorre com os moveis e suas grandezas físicas durante uma colisão elástica.
Sumário:
2. Introdução........................................................................................................3
3. Objetivos...........................................................................................................3
4. Fundamentação Teórica..................................................................................4
5. Desenvolvimento Experimental (1)................................................................8
5.1. Materiais Utilizados...............................................................................8
5.2. Descrição do Experimento...................................................................8
5.3. Dados Obtidos Experimentalmente....................................................9
5.4. Resultados Observados......................................................................9
5.5. Análise dos Resuldados....................................................................10
6. Desenvolvimento Experimental (2)..............................................................11
6.1. Materiais Utilizados.............................................................................11
6.2. Descrição do Experimento.................................................................11
6.3. Dados Obtidos Experimentalmente...................................................12
6.4. Análise dos Resultados......................................................................13
7. Conclusão.......................................................................................................16
8. Referência Bibliográfica................................................................................17
2. INTRODUÇÃO
Ao estudarmos a terceira Lei de Newton, é nos ensinado, de forma básica que, quando dois corpos entram em choque, as forças que atuam em ambos possuem intensidades iguais, porém sentidos contrários. Podendo assim dizer que há uma troca de momento linear e energia.
 Um dos principais estudiosos que analisaram o comportamento de corpos após uma colisão foi René Descartes, o qual considerava o momento linear de um corpo de massa M e velocidade V igual a: .
 Pode-se assim dizer que, o momento de um corpo é transferido para outro corpo, logo após ser atingido pelo primeiro. Isto é, se uma bola colide frontalmente com uma bola em repouse de massa idêntica, numa superfície horizontal, a primeira bola parará, enquanto a outra passará a se mover com a velocidade original da primeira.
 Os problemas que envolvem colisões de bolas foram muito populares no século XVII, e gerou muita especulação e experimentos quando a Mecânica ainda estava começando a ser compreendida.
3. OBJETIVOS
O objetivo no primeiro experimento é a análise em uma colisão elástica unidimensional, e com isso, determinar qual é a melhor situação física de realizar o experimento em um processo de colisão elástica e inelástica em um trilho de ar. O objetivo do segundo experimento é verificar experimentalmente os princípios de conservação de momento linear e energia cinética no sistema.
4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste semestre, o estudo é sobre a Física Mecânica. Historicamente, a Mecânica constitui o primeiro dos ramos da física e por questões didáticas, ela é dividida em três partes:
1. Cinemática: Onde estuda os movimentos realizados pelos corpos sem considerar as causas.
2. Dinâmica: Onde estuda os movimentos realizados pelos corpos, considerando as causas.
3. Estática: Onde estuda os corpos sem movimento, isto é, em repouso. 
 Na experiência realizada, serão usados os conceitos da Cinemática, veremos mais especificamente as Colisões Elásticas, que levando em consideração a conservação do momento linear e da energia cinética para uma partícula alvo imóvel, e uma partícula projétil com velocidade em movimento unidimensional. 
 Durante o tempo de colisão, a energia cinética das partículas se converte em energia potencial elástica associada à deformação da superfície de contato, como em uma mola comprimida. Terminando esse período, a energia potencial elástica acumulada volta a ser energia cinética, separando os dois corpos. No limite, as partículas voltam com velocidades opostas, de mesma magnitude que as iniciais. Assim, podemos dizer que a energia cinética final é igual a energia cinética inicial. Essa colisão é camada de colisão elástica.
 Obs. 1: Momento Linear: é o produto da massa multiplicado pela sua velocidade
v
m
p
r
r
.
=
 (1.1)
Segundo a Segunda Lei de Newton o momento linear é definido como:
å
=
dt
p
d
F
r
r
 , (1.2)
onde é o momento total do sistema.
 Na Terceira Lei de Newton, as forças internas se cancelam entre si, sendo assim, esta fica dependente das forças externas, que atuam no sistema. No entanto, ao ser estudado os tipos de colisões, essas forças externas quase sempre são consideradas nulas. Logo, independente do tipo de colisão, o momento linear sempre se conserva, porém, há uma diferença entre os tipos de colisões, como pode ser visto logo abaixo. 
( Colisão Elástica: Quando há conservação de momento linear
f
P
i
P
r
v
=
, (1.3)
e conservação de energia cinética
Ecf
Eci
=
, (1.4)
onde a energia cinética é dada por
²
2
1
mv
Ec
=
. (1.5)
( Colisão inelástica: Quando há somente a conservação de momento linear.
f
P
i
P
r
v
=
 
Levando em consideração essa diferença, em uma colisão elástica, quando uma partícula m1 está em repouso, teremos a seguinte equação:
i
f
V
m
m
m
m
V
1
1
)
2
1
(
)
2
1
(
+
-
=
 (1.6)
 E se outra partícula m2 está em repouso, teremos:
)
2
1
(
1
2
1
2
m
m
V
m
V
i
f
+
=
 (1.7)
 Agora, se as massas das partículas m1 e m2 forem iguais, ocorre simplesmente a troca de velocidades. Ou seja:
 v1f = v2i  e     v2f = v1i (1.8)
 No entanto, se um dos corpos tiver massa muito maior, por exemplo: m2 > m1. Neste caso, teremos:
v1f ≈ –v1i + 2v1i  e         v2f ≈ v2i (1.9)
 E se a partícula estiver em repouso ou se movendo com velocidade desprezível, obteremos:
v1f ≈ –v1i  e         v2f ≈ 0 (1.10)
 Porém, se inverter as massas, de modo que m1 >> m2:
v1f ≈ v1i  e      v2f ≈ 2v1i – v2i (1.11) 
 E se a partícula m2 estiver em repouso ou se movendo com velocidade desprezível, obteremos:
v1f ≈ v1i  e      v2f ≈ 2v1i (1.12)
Agora começa a demonstração de equações matemáticas, onde estas serão necessárias para o desenvolvimento deste trabalho. 
( Velocidade Média:
A partir dos dados da posição e do tempo obtido, é possível calcular-se a velocidade média, no qual é expressa da seguinte forma:
 
t
x
V
D
D
=
, (1.13)
sendo 
x
D
a variação da posição e 
t
D
a varação do tempo.
( Propagação de Erros: 
Como o erro nunca diminui, logo, no caso de uma subtração esta passa a ser uma adição.
 
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
ln
ln
ln
ln
)
/
ln(
ln
ln
)
.
ln(
=
-
=
+
=(1.14)
Sabe-se também que para medidas indiretas o cálculo do desvio é dado como mostra a definição a seguir:
 
x
x
x
s
=
ln
 (1.15)
(Desvio da Velocidade:
A partir da equação (1.13), temos:
 
t
x
V
D
-
D
=
ln
ln
ln
 (1.16)
Agora, com a utilização da expressão (1.15), obtém-se a equação abaixo.
 
t
t
x
x
V
V
D
D
-
D
D
=
s
s
s
 (1.17)
(Desvio do Momento Linear:
Sabendo-se que 
v
m
p
r
r
.
=
,
logo, obtemos: 
 
v
m
p
r
r
ln
.
ln
ln
=
 (1.18)
Sendo assim, com a aplicação da equação (1.15), obtém-se a expressão abaixo.
 
v
v
m
m
p
p
r
r
r
r
s
s
s
+
=
 (1.19)
(Desvio da Energia Cinética:
Dada a equação (1.5), então
 
v
m
Ec
ln
2
ln
2
1
ln
ln
+
+
=
 (1.20)
Assim, novamente aplica-se a expressão (1.15), no qual resulta da seguinte forma:
 
v
v
m
m
Ec
Ec
s
s
s
2
+
=
 (1.21).
5. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL (1)
5.1. Materiais utilizados:
· 2 carrinhos com imã;
· 1 trilho;
· 2 barras de ferro;
· Discos de metal de 5g;
· Nível;
· Fita adesiva;
· Balança;
5.2. Descrição do Experimento:
Para realizar este experimento foi necessária a utilização de todos os materiais acima citados.
Primeiramente, foi nivelado o trilho. Logo após, com a utilização da balança, medimos a massa dos dois carrinhos, tanto o alvo quanto o projétil, tendo em ambos já adicionados suas respectivas barras de ferro, e com isso, adicionando peso, para que ambos, inicialmente, possuíssem a mesma quantidade de massa. 
Após isso, foram verificados quais os lados nos quais os carrinhos se repeliam. Com isso, os posicionamos frente a frente, isto é, voltado para o lado onde ambos seriam repelidos pelo imã. O carrinho alvo permaneceu parado.
Logo após, impulsionamos o carrinho projétil contra o alvo. Foi observada e assim, anotada, o que houve na colisão. 
O mesmo procedimento foi feito ao ser retirado massa do carrinho alvo, de forma que, a massa do carrinho projétil fosse muito maior que a do carrinho alvo. Após isso, o mesmo acabou sendo repetido, porém, de forma que, o carrinho alvo possuísse uma massa muito maior que a do carrinho projétil. 
5.3. Dados Obtidos Experimentalmente:
Na Tabela 1, apresentam-se os dados das massas obtidas para cada situação na qual foi analisada.
Tabela 1 – Valores das massas com seus respectivos desvios, tanto para o móvel projétil (m1) quanto para o alvo, (m2).
	Situação
	m1 (g) 
±
0,01
	m2 (g) 
±
0,01
	m1=m2
	1483,75
	1483,75
	m1>>m2
	1483,75
	991,90
	m1<<m2
	495,06
	1483,75
5.4. Resultados Observados:
( Massas dos carrinhos iguais: 
Foi observado durante o primeiro teste cuja colisão se deu quando tanto o projétil quanto o alvo possuíam a mesma massa, sendo assim, ao atingir o alvo, o projétil tende a parar enquanto o carrinho alvo, que estava inicialmente em repouso, entra em movimento com uma velocidade semelhante à velocidade do projétil antes da colisão. 
( Massa do carrinho alvo muito maior do que a do carrinho projétil:
No teste cuja massa do projétil era superior a massa do carrinho alvo, pode-se notar que, o projétil aparenta diminuir sua velocidade, enquanto o alvo tende a ganhar uma velocidade superior a velocidade inicial do projétil antes da colisão.
( Massa do carrinho projétil muito maior do que a do carrinho alvo:
Já no teste onde a massa do projétil era inferior a massa do alvo, percebe-se que o alvo, que estava inicialmente parado, ao entrar em movimento, ganha uma velocidade inferior a velocidade inicial do projétil antes da colisão.
5.5. ANÁLISE DOS RESULTADOS
Através dos dados da Tabela 1 obtidos no experimento (1), podemos calcular a velocidade em cada situação, mas para isso, é necessária a utilização das equações (1.6) e (1.7), respectivamente.
( Para m1=m2:
i
V
f
V
i
V
i
V
f
V
f
V
i
V
f
V
1
2
5
,
2967
1
5
,
2967
)
75
,
1483
75
,
1483
(
1
).
75
,
1483
.(
2
2
0
1
1
)
75
,
1483
75
,
1483
(
)
75
,
1483
75
,
1483
(
1
=
Þ
=
+
=
=
Þ
+
-
=
 (1.22)
( Para m1>>m2:
i
V
f
V
i
V
i
V
f
V
i
V
f
V
i
V
i
V
f
V
1
2
,
1
2
65
,
2475
1
5
,
2967
)
90
,
991
75
,
1483
(
1
).
75
,
1483
.(
2
2
1
2
,
0
1
1
65
,
2475
85
,
491
1
)
90
,
991
75
,
1483
(
)
90
,
991
75
,
1483
(
1
=
Þ
=
+
=
=
Þ
=
+
-
=
 (1.23)
( Para m1<<m2:
i
V
f
V
i
V
i
V
f
V
i
V
f
V
i
V
i
V
f
V
1
5
,
0
2
35
,
1979
1
2
,
991
)
75
,
1483
6
,
495
(
1
).
6
,
495
.(
2
2
1
5
,
0
1
1
35
,
1979
15
,
988
1
)
75
,
1483
6
,
495
(
)
75
,
1483
6
,
495
(
1
=
Þ
=
+
=
-
=
Þ
-
=
+
-
=
 (1.24)
Para uma melhor visualização, na Tabela 2 abaixo, encontram-se os valores obtidos através dos cálculos acima.
Tabela 2 – Valores da velocidade após a colisão.
	Situação
	V1
	V2
	m1=m2
	0
	V1i
	m1>>m2
	0,2V1i
	1,2V1i
	m1<<m2
	-0,5V1i
	0,5V1i
6. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL (2)
6.1. Materiais Utilizados: 
· Nível;
· Trilho de ar;
· Compressor de ar;
· Cronômetro digital;
· 2 carrinhos;
· 4 sensores de tempo;
· 1 régua;
· Balança;
6.2. Descrição do Experimento:
Primeiramente, foi nivelado o trilho de ar, de forma que o carrinho alvo ficasse imóvel. 
Logo após, foi ajustado os quatro sensores de tempo de forma que, o primeiro sensor S1 estivesse a uma distância de 0,30m da origem, e o segundo sensor, S2, estivesse justamente o mais próximo possível do sensor S1, isto é, suas bases deveriam encontrar-se unidas. O espaço de 0,30m deixado a partir da origem seria preciso para poder impulsionar o carrinho projétil antes de acionar o tempo. 
Os outros dois sensores, S3 e S4, foram postos a uma distancia de 0,40m dos sensores S1 e S2, onde os mesmos também deveriam encontrar-se com as bases unidas. 
A distância entre os sensores S1 e S2, assim como S3 e S4 foram medidas e anotadas, onde as mesmas corresponderiam a △1 e △2, respectivamente.
No carrinho alvo, foi posto um suporte em forma de U na extremidade direita, com um elástico associado a ele.
Ao ser colocado na função F3, no cronômetro digital apareceram apenas dois visores para a contagem do tempo. Onde no primeiro visor, a contagem do tempo começaria quando o carrinho projétil passasse pelo primeiro sensor S1, e pararia quando o mesmo passasse pelo sensor S2, isso, antes da colisão. 
No caso do segundo visor, este começaria a rodar com o acionamento do tempo no sensor S3, e pararia quando o móvel passasse pelo sensor S4, isto após a colisão. 
Foi posicionado o carrinho alvo no espaço que havia entre os sensores S2 e S3, de forma que o mesmo se mantivesse imóvel. 
Após isso, foi dado um impulso no carrinho projétil para que este fosse em direção ao carrinho alvo. E para isso, foi utilizado o elástico que se encontrava na extremidade do trilho. Dessa forma, aplicamos uma força sobre o carrinho projétil ao puxa-lo contra o elástico, feito isso, o liberamos para que assim pudesse colidir com o móvel alvo.
Feito isso, os valores de tempo dados pelo cronômetro foram anotados. E assim, foi zerado o cronômetro para que a experiência pudesse ser repetida mais duas vezes. Sempre visando aplicar forças diferentes na hora do impulso. 
6.3. Dados Obtidos Experimentalmente:
Na Tabela 3 e na Tabela 4 abaixo, encontram-se os dados obtidos experimentalmente.
Tabela 3 – Valores dos tempos antes e após a colisão com seus respectivos desvios.
	Tempo antes da colisão
	Tempo após a colisão
	t1(s) 
±
0,001
	t2(s) 
±
0,001
	0,127
	0,127
	0,105
	0,105
	0,68
	0,69
	Espaço entre os sensores S1 e S2: △x1= 4,00 
±
0,05
E entre S3 e S4: △x2= 4,10
±
0,05
Tabela 4 – Valoresda massa dos carrinhos alvo (m1) e projétil (m2) com seus respectivos desvios.
	m1(Kg)
	m2(Kg)
	216,3
±
0,01
	199,3
±
0,01
6.4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
A partir dos dados obtidos e contidos na Tabela 3, é possível então calcular a velocidade média antes e após a colisão, neste caso, utilizando a equação (1.13). Abaixo encontram-se exemplos deste cálculo.
Antes da colisão:
 
s
m
V
/
31
,
0
127
,
0
040
,
0
@
=
 (1.25)
Após a colisão:
 
s
m
V
/
32
,
0
127
,
0
041
,
0
@
=
 (1.26)
É possível também, determinar o valor do desvio da velocidade, para isso, é necessário a utilização da equação (1.17). Segue-se abaixo um exemplo antes e após a colisão.
Antes da colisão:
m
V
V
V
001
,
0
31
,
0
.
0046
,
0
0079
,
0
0125
,
0
31
,
0
127
,
0
001
,
0
00
,
4
05
,
0
31
,
0
@
=
Þ
-
=
Þ
-
=
s
s
s
 (1.27)
Após a colisão:
m
V
V
V
001
,
0
32
,
0
.
004
,
0
0079
,
0
012
,
0
32
,
0
127
,
0
001
,
0
10
,
4
05
,
0
32
,
0
@
=
Þ
-
=
Þ
-
=
s
s
s
 (1.28)
Na Tabela 5, abaixo, encontram-se os módulos das velocidades com seu respectivo desvio, tanto antes quanto após a colisão.
Tabela 5 – Valores das velocidades com seus respectivos desvios.
	V(antes) (m/s)
	V(depois) (m/s)
	0,31 
±
0,001
	0,31 
±
0,001
	0,38 
±
0,001
	0,39 
±
0,001
	0,05 
±
0,0005
	0,06 
±
0,0006
Utilizando a Tabela 5 acima, é possível encontrar os valores dos momentos lineares e seus respectivos desvios, mas para isso, é preciso utilizar a equação (1.1). Abaixo está um exemplo de cada, isto é, para antes e depois da colisão.
Antes da colisão:
s
m
kg
p
/
.
053
,
98
31
,
0
.
30
,
316
@
=
r
 (1.29)
Depois da colisão:
s
m
kg
p
/
.
776
,
63
31
,
0
.
30
,
199
@
=
r
 (1.30)
Agora para o cálculo do desvio, utiliza-se a expressão (1.19). Abaixo encontram-se um exemplo, antes e após a colisão, com base nessa equação. 
Antes da colisão:
s
m
kg
p
p
p
/
.
3
,
0
053
,
98
.
0032
,
0
0032
,
0
053
,
98
31
,
0
001
,
0
30
,
316
01
,
0
053
,
98
@
=
Þ
=
Þ
+
=
r
r
r
s
s
s
 (1.31)
Depois da colisão:
s
m
kg
p
p
p
/
.
2
,
0
776
,
63
.
0031
,
0
0031
,
0
776
,
63
32
,
0
001
,
0
30
,
199
01
,
0
776
,
63
@
=
Þ
=
Þ
+
=
r
r
r
s
s
s
 (1.32)
Além do cálculo do momento linear, outro cálculo que é preciso determinar é o da energia cinética, através da equação (1.5). Veja a seguir um exemplo, antes e após a colisão, a partir dessa expressão.
Antes da colisão:
J
Ec
391
,
14
2
)
0961
,
0
.(
30
,
316
2
)²
31
,
0
.(
30
,
316
@
=
=
 (1.33)
Depois da colisão:
J
Ec
204
,
10
2
)
1024
,
0
.(
30
,
199
2
)²
32
,
0
.(
30
,
199
@
=
=
 (1.34)
Feito isso, só lhe resta o cálculo do desvio da energia cinética, através da expressão (1.21). A seguir encontram-se exemplos para este cálculo.
Antes da colisão:
J
Ec
Ec
Ec
09
,
0
391
,
14
.
006
,
0
006
,
0
391
,
14
31
,
0
001
,
0
.
2
30
,
316
01
,
0
391
,
14
@
=
Þ
=
Þ
+
=
s
s
s
 (1.35)
Depois da colisão:
J
Ec
Ec
Ec
06
,
0
204
,
10
.
006
,
0
006
,
0
204
,
10
32
,
0
001
,
0
.
2
30
,
199
01
,
0
204
,
10
@
=
Þ
=
Þ
+
=
s
s
s
 (1.36)
Seguem-se abaixo, na Tabela 6, os valores obtidos para o momento linear e para a energia cinética, tanto antes quanto após a colisão. 
 Tabela 6 – Módulo do momento linear e da energia cinética com seus respectivos desvios, antes e após a colisão.
	Antes da colisão
	Depois da colisão
	
p
r
(kg.m/s)
	Ec (J)
	
p
r
(kg.m/s)
	Ec (J)
	98,053 
±
0,3
	14,391 
±
0,09
	63,776 
±
0,2
	10,204 
±
0,06
	120,194 
±
0,3
	22,846 
±
0,12
	77,727 
±
0,2
	15,156 
±
0,07
	15,815 
±
0,1
	0,395 
±
0,007
	11,958 
±
0,1
	0,358 
±
0,007
7. CONCLUSÃO
No experimento (1) pode-se notar que, segundo a teoria, na colisão entre duas massas iguais, a velocidade final do projétil deve ser zero e a velocidade final do alvo deve ser igual à velocidade inicial do projétil. 
No entanto, na colisão onde a massa do projétil é superior a massa do alvo, a velocidade final do projétil tem que ser aproximadamente a velocidade inicial dele mesmo. Já a do alvo deve ser maior, isto é, duas vezes a velocidade inicial do projétil, porém, na colisão em que a massa do projétil é inferior à do alvo, a velocidade final do projétil deve ser negativa e a velocidade final do alvo deve ser aproximadamente zero. 
Assim se compararmos com a Tabela 2, podemos notar que, a velocidade final quando o projétil tem uma massa muito menor que o do alvo tem um valor significante, isto é, (-0,5V1i e 0,5V1i). Agora, comparando com a teoria, isto se deve ao fato de a massa do projétil (m1) não ser muito menor que a do alvo, porém pode-se dizer que estão de acordo com a teoria.
Segundo as análises feitas em laboratório, o que passou por despercebido foi o fato de que, no terceiro teste, a velocidade final do projétil era negativa, isto é, se traçarmos uma reta, a velocidade descreve um sentido contrário ao da velocidade inicial, ou seja, como a massa do projétil é menor que a massa do alvo, o sentido do vetor velocidade se altera. No entanto a velocidade não era muito grande assim, logo, pode ser devido a isso o fato de ter passado despercebido. 
No experimento (2), nota-se que ao haver a colisão, o projétil transfere momento linear e energia cinética para o alvo cuja estava parado, logo, este entra em movimento com uma velocidade próxima à velocidade inicial do projétil. 
No entanto, ao analisar os resultados obtidos para o momento e a energia cinética observamos que, tanto o momento quanto a energia cinética antes e depois não obteve valores iguais. Porém, a massa do projétil é um pouco maior do que a massa do alvo, logo, essa diferença entre massas acaba explicando a diferença entre a energia cinética e o momento, pois o projétil continua em movimento, no entanto, com uma velocidade menor.
 Assim, pode-se dizer que o projétil transfere uma parte da energia cinética para o alvo, que entra em movimento. Logo, a diferença entre a energia final e inicial é devido ao fato do projétil manter uma quantidade de energia cinética para continuar se movendo.
8. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
[1] H. Moysés Nussenzveig; Curso de Física Básica – 1 Mecânica; 5º edição; Editora Edgard Blucher.
[2] R. Azenha Bonjorno- J. Roberto Bonjorno- V. Bonjorno- C. Marcico Ramos; Física completa; volume único;Editora FTD.
[3] Site= http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Cursos/Curso1/co82ce.html
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