apostila_transcal___v 1 8

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
TRANSFERÊNCIA DE CALOR – MEC030
PROF. Dr. LUÍS EDSON SARAIVA
Notas de Aula
Versão 1.8 – março de 2017
1
ÍNDICE
ÍNDICE ........................................................................................................................... 2
1. INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR ............................................... 4
1.1 ALGUNS CONCEITOS ................................................................................................... 4
1.2 DIFUSÃO E ADVECÇÃO ............................................................................................... 4
1.3 CONDUÇÃO .................................................................................................................... 6
Condutibilidade térmica ...................................................................................................... 6
1.4 CONVECÇÃO .................................................................................................................. 7
1.5 RADIAÇÃO ...................................................................................................................... 8
2. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 10
2.1 EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR ................................................... 10
Difusividade térmica ......................................................................................................... 12
2.2 FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALOR,
SIMPLIFICAÇÕES E GEOMETRIAS ................................................................................ 13
Coordenadas Cartesianas .................................................................................................. 14
Coordenadas Cilíndricas ................................................................................................... 15
Coordenadas Esféricas ...................................................................................................... 16
2.3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL, SEM GERAÇÃO DE CALOR, EM REGIME
PERMANENTE .................................................................................................................... 17
Condução Unidimensional em Coordenadas Cartesianas ................................................. 17
Paredes Compostas em Coordenadas Cartesianas ............................................................ 19
Resistência Térmica de Contato ........................................................................................ 22
Condução Unidimensional em Coordenadas Cilíndricas .................................................. 22
Paredes Compostas em Coordenadas Cilíndricas ............................................................. 24
Raio Crítico de Isolamento ............................................................................................... 26
2.4 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL, COM GERAÇÃO DE CALOR, EM
REGIME PERMANENTE ................................................................................................... 30
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 32
Condutibilidade Térmica ................................................................................................... 32
Relação entre Primeira Lei da Termodinâmica e Transferência de Calor ........................ 33
Condução de Calor Unidimensional em Geometria Cartesiana ........................................ 33
Condução de Calor Unidimensional em Geometria Cilíndrica ........................................ 35
3. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE -
SUPERFÍCIES ESTENDIDAS (ALETAS) ............................................................................. 38
3.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 38
3.2 ALETA COM SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE ............................................. 38
Aleta Longa ....................................................................................................................... 41
Aleta com Comprimento Finito e Ponta Isolada ............................................................... 42
Aletas com Convecção na Ponta ....................................................................................... 44
Eficiência e Efetividade de uma Aleta .............................................................................. 45
3.3 ALETAS COM SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO-UNIFORME .................................... 45
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 47
4. CONDUÇÃO MULTIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE ............... 49
4.1 INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 49
4.2 SOLUÇÕES ANALÍTICAS ........................................................................................... 49
Condução Bidimensional em Coordenadas Cartesianas ................................................... 49
Solução por Separação de Variáveis ................................................................................. 51
4.3 SOLUÇÕES NUMÉRICAS ........................................................................................... 53
Método das Diferenças Finitas .......................................................................................... 53
2
Obtenção da Equação da Condução em Diferenças Finitas .............................................. 54
Solução das Equações em Diferenças Finitas ................................................................... 58
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 60
5. CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE ...................................... 62
5.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 62
5.2 AQUECIMENTO OU RESFRIAMENTO CONVECTIVO DE UM CORPO .............. 62
5.3 ANÁLISE DE PARÂMETROS CONCENTRADOS (PERÍODO FINAL DE
TRANSFERÊNCIA DE CALOR) ........................................................................................ 65
Validade do Modelo de Análise de Parâmetros Concentrados ......................................... 67
Análise de Parâmetros Concentrados Quando a Temperatura do Fluido Varia Devido à
Troca de Calor com o Corpo ............................................................................................. 70
5.4 SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL
TRANSIENTE ...................................................................................................................... 71
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 74
6. RADIAÇÃO TÉRMICA .......................................................................................... 76
6.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 76
6.2 RADIAÇÃO TÉRMICA E ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO ................................ 76
6.3 RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO ................................................................................ 77
Superfície Negra ............................................................................................................... 78
6.4 TEMPERATURA E ENERGIA ..................................................................................... 78
Poder Emissivo e Comprimento de Onda ......................................................................... 80
3
1. INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR
1.1 ALGUNS CONCEITOS
Calor: transferência de energia devido à diferença de temperaturas.
Ponto de vista da Termodinâmica:
Foco na energia. Energia transferida entre um sistema e sua vizinhança: trabalho e
calor; energia retida no sistema: interna, cinética e potencial.
Foco nos estados inicial e final do processo (processo: “caixa-preta”).
Ponto de vista da Transmissão de Calor:
Foco nos modos de transferência de calor.
Foco nas taxas de transferência de calor (interessa o tempo).
Foco na distribuição espacial e temporal da temperatura.
Foco no processo.
Modos de transferência de calor:
CONDUÇÃO. Transferência através de um meio macroscopicamente estacionário
(sólido ou fluido).
CONVECÇÃO. Transferência de calor entre uma superfície sólida e um fluido em
movimento.
RADIAÇÃO TÉRMICA: Transferência de calor na forma de ondas eletromagnéticas,
sem necessidade da existência de um meio material.
Convenções:
q̇ ' taxa de transferência de calor por unidade de comprimento (W/m);
q̇ '' taxa de transferência de calor por unidade de área (W/m²);
q̇ ''' taxa de transferência de calor por unidade de volume (W/m³)
1.2 DIFUSÃO E ADVECÇÃO
As transferências de calor por condução e convecção requerem um meio material, no
qual se estabelece uma diferença de temperaturas. Microscopicamente, a energia térmica,
associada à temperatura, decorre do estado energético dos átomos. Em sólidos, o estado
energético dos átomos se relaciona a vibrações da rede cristalina associada à translação de
elétrons livres. A transferência de energia entre os átomos se dá, espontaneamente, dos
átomos com maior vibração para aqueles com menor vibração. Tal mecanismo de
transferência entre os átomos é chamado de difusão térmica e pode ser visto,
esquematicamente, na Figura 1.1.
Em fluidos (gases e líquidos), há mobilidade das moléculas no espaço. As moléculas
apresentam movimento aleatório ou randômico. Em tais fases, a temperatura em um ponto
está associada com a energia das moléculas na proximidade do ponto (movimento de
translação, rotação e vibração). Não havendo movimento macroscópico ordenado do fluido
(bulk motion) em uma dada direção, como em um escoamento, a única forma de movimento
das moléculas é o movimento randômico. A Figura 1.2 auxilia na compreensão da difusão
térmica em fluidos. As moléculas, em seu movimento aleatório, eventualmente chocam-se
com a parede de mais elevada temperatura, adquirindo da mesma energia térmica. Tais
4
moléculas seguirão seu caminho de modo que, em algum momento, acabarão por chocar-se
com a parede de mais baixa temperatura, liberando energia térmica para a mesma. Com o
passar do tempo, haverá um fluxo líquido de energia através da superfície imaginária “S”, na
direção positiva x. O efeito macroscópico da difusão é a condução.
Figura 1.1 Difusão de calor na estrutura cristalina de um sólido.
Figura 1.2. Difusão térmica através de um fluido em contato com duas superfícies
a temperaturas distintas.
A Figura 1.3 mostra o escoamento de um fluido sobre umasuperfície sólida. Sabe-se
que o fluido diretamente em contato com a superfície tem seu movimento retardado por forças
que surgem entre as moléculas da superfície e as do fluido. A estreita região sob influência da
superfície é chamada de camada limite. Devido a isto, o movimento das moléculas do fluido
no interior da camada limite praticamente não sofre influência do escoamento, restringindo-se
seu movimento ao movimento randômico das moléculas. Assim, o fluxo de energia térmica
entre o fluido na camada limite e a superfície, que possa porventura existir, se dará por
difusão térmica. Eventualmente, moléculas que adquiriram energia térmica da superfície por
difusão, escapam da camada limite, adentrando na região de escoamento livre. Nessa região
são arrastadas pelo escoamento, levando para longe a energia térmica adquirida da superfície.
Este último mecanismo de transporte de energia é chamado de advecção. Foi dito acima que a
convecção é o modo de transferência de calor entre uma superfície sólida e um fluido em
movimento. Pode-se complementar dizendo que a convecção é o efeito macroscópico de dois
mecanismos microscópicos atuando em conjunto: a difusão e a advecção.
5
Figura 1.3. Advecção e difusão térmica.
1.3 CONDUÇÃO
No início do século XIX o matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph, barão de
Fourier, determinou, experimentalmente, que a taxa de transferência de calor em um meio
estacionário é dada pela seguinte equação, a qual foi, posteriormente, chamada de Lei de
Fourier1.
q̇=−kA
dT
dx
. (1.1)
A Lei de Fourier estabelece que, se for mantida uma diferença de temperaturas através
de um meio estacionário, haverá o aparecimento de um fluxo de energia, na forma de
propagação de calor, através do meio. O valor de tal fluxo de calor será diretamente
proporcional à área transversal à direção de propagação e a uma propriedade de transporte do
meio denominada condutibilidade térmica e inversamente proporcional à distância entre as
superfícies mantidas nas temperaturas que provocam o fluxo de calor. O sinal negativo que
aparece na equação foi adicionado à equação para que o fluxo seja positivo no sentido da
propagação do calor.
Condutibilidade térmica
Condutibilidade térmica é uma propriedade de transporte,2 característica de cada
material, que indica o grau de facilidade ou dificuldade que o mesmo oferece à condução de
calor. Seu valor depende da temperatura e também das características estruturais dos
materiais. Um material é homogêneo se possuir uma composição química uniforme em toda a
sua extensão. Um material é isotrópico se suas propriedades de transporte forem iguais em
qualquer sentido no qual o calor se propague. Os materiais podem ser ainda não-homogêneos
se sua composição química variar ao longo de sua extensão, e anisotrópicos, se as
propriedades de transporte variarem conforme a direção do fluxo de calor. Na Tabela 1.1,
abaixo, são mostrados alguns exemplos de materiais classificados segundo suas estruturas.
1É importante que se diga que a Lei de Fourier é empírica, isto é, não resulta de nenhum princípio
elementar mais simples que ela mesma.
2Uma propriedade de transporte é uma propriedade física que está relacionada a um fluxo de matéria ou
de energia. Assim, a condutibilidade térmica se relaciona ao fluxo de calor. A viscosidade também é uma
propriedade de transporte pois indica a facilidade (ou dificuldade) que um fluido oferece ao escoamento.
6
Tabela 1.1. Exemplos de materiais conforme suas estruturas.
Classificação Exemplos
Homogêneo e isotrópico
Metais fundidos sem tratamentos superficiais, térmicos e mecânicos.
Papel.
Polímeros.
Homogêneo e
anisotrópico
Madeira (propriedades mudam conforme a direção das fibras).
Músculo.
Aço laminado.
Não-homogêneo e
isotrópico
Embalagem Tetra-Pak (seis camadas intercaladas de papel, alumínio e
plástico)
Não homogêneo e
anisotrópico
Toucinho: músculo, gordura e pele.
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade da condutibilidade térmica é W/
(mK).
1.4 CONVECÇÃO
Como visto anteriormente, a convecção é um mecanismo de transferência de calor
algo mais complexo que a condução por envolver, não somente difusão térmica, mas também
advecção. Entretanto, a equação que expressa a taxa de transferência de calor por convecção é
extremamente simples, como pode ser visto na Equação 1.2, que expressa a Lei do
Resfriamento de Newton.
q̇=hA(T w−T ∞) . (1.2)
Tal simplicidade, entretanto, é enganosa, uma vez que a maior parte da complexidade
do problema de transferência é embutida no coeficiente h, chamado de coeficiente de
transferência de calor por convecção ou coeficiente convectivo ou, ainda, coeficiente de
película. O coeficiente de transferência de calor por convecção depende das características
físicas e geométricas das superfícies com as quais os fluidos trocam calor, das propriedades
dos fluidos e, ainda, das condições do escoamento. Devido à sua complexidade, em certo
sentido pode-se dizer que o estudo da convecção é o estudo de como h pode ser determinado.
Por esta razão, não são encontradas tabelas de h, como se encontram tabelas de
condutibilidade térmica. Contudo, pode-se ter alguma noção da ordem de grandeza de h, em
determinadas situações, como pode ser visto na Tabela 1.2.
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade do coeficiente de transferência de
calor por convecção é W/(m²K), como pode ser facilmente deduzido da Equação 1.2.
Existem dois tipos de transferência de calor por convecção: a convecção natural e a
convecção forçada. Na convecção natural há a dominância dos efeitos de mudança de
densidade do fluido no mecanismo de transferência. Por exemplo, o ar em contato com uma
superfície aquecida, como a lataria de um automóvel ao sol, aquece, diminui de densidade, em
razão disso sobe e outro ar, mais frio, toma seu lugar, perpetuando a transferência de calor. Na
convecção forçada, dominam os efeitos de remoção ou adição de calor devido à existência de
um escoamento, em boa parte das vezes, originado pela ação da energia mecânica, como no
caso do escoamento de ar promovido por um ventilador.
7
Tabela 1.2. Ordens de grandeza dos coeficientes de transferência de calor por
convecção (W/m²K), em função do fluido e das condições de
escoamento.
Fluido e condições de escoamento Ordem de grandeza dos Coeficientes de
Película
Gases, convecção natural O (10)
Gases, convecção forçada (p = 1 atm) O (10) - O (102)
Água, convecção forçada O (102) - O (103)
Condensação vapor d’água O (104)
Vaporização água O (104) - O (105)
1.5 RADIAÇÃO
O transporte de energia na forma de radiação térmica ocorre por meio de ondas
eletromagnéticas, não requerendo, ao contrário da convecção e da condução, de um meio
material.
Seja a superfície na temperatura Tw, vista na Figura 1.4, abaixo, envolvida por outra
superfície na temperatura Tviz3.
Figura 1.4. Troca de calor por radiação entre duas superfícies.
Supondo T w> T viz , a taxa líquida de transferência de calor da superfície na
temperatura Tw para a superfície na temperatura Tviz pode ser expressa pela equação:
q̇=εσ A(T w4 −T viz4 ) , (1.3)
sendo  uma constante chamada de constante de Stefan-Boltzmann ( = 5,6710-8 W/m2K4);
 uma propriedade da superfície, denominada emissividade ( 0    1 ); A a área da superfície
a Tw e Tw e Tviz temperaturas expressas em uma unidade de temperatura absoluta (K).
Alguns valores de emissividades são mostrados na Tabela 1.3.
3 Qualquer matéria que possua uma temperatura finita emite radiação térmica. Embora no presente texto
a Equação 1.3 se baseie em superfícies sólidas, radiação pode advir também de líquidos e gases.
8
Tabela1.3 Emissividade de alguns materiais.
Material Emissividade
Ouro polido ~ 0,02
Prata ~ 0,01
Algodão 0,77
Vidro (pyrex) 0,8 – 0,9
Tinta óleo 0,89 – 0,97
Tinta Branca 0,95
Água 0,92 – 0,96
Há situações em que hátransferência simultânea de calor por convecção e radiação,
nas quais pode ser interessante englobar ambos os efeitos em uma única equação à moda da
Lei do Resfriamento de Newton. Para isso, é necessário redefinir o coeficiente h de modo a
que o mesmo também incorpore o efeito da transferência de calor por radiação. O
equacionamento abaixo mostra, em linhas gerais, a obtenção do coeficiente combinado de
transferência de calor por convecção e radiação. Como já mencionado anteriormente, a
obtenção do coeficiente de transferência de calor por convecção não é um assunto trivial.
Com a incorporação dos efeitos da radiação, em especial a grande dependência das
temperaturas absolutas, pode-se ver que a obtenção do coeficiente combinado é matéria de
grande complexidade.
A transferência combinada por radiação e convecção é dada por:
q̇=hA(T w−T viz)+ εσ A(T w4 −T viz4 ) . (1.4)
Fazendo alguma manipulação algébrica obtém-se:
q̇=(h+ εσ (T w2 + T viz2 )(T w+ T viz)) A(T w−T viz) . (1.5)
A equação 1.5 pode ser escrita de forma compacta como:
 vizwc TTAhq  , (1.6)
sendo o coeficiente combinado de transferência de calor por convecção e radiação dado por:
hc=(h+εσ (T w2 +T viz2 )(T w+T viz )) . (1.7)
Exercício 1.1
Para uma garrafa térmica contendo café quente, identifique os modos de transferência
de calor envolvidos para cada superfície/fluido, de modo que haja transferência de calor entre
o café e o ar ambiente.
9
2. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM
REGIME PERMANENTE
2.1 EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR
Considere o segmento de barra mostrado na Figura 2.1. Como qualquer outro sistema,
pode ser aplicado ao mesmo a Primeira Lei da Termodinâmica:
q̇−ẇ=
∂ E
∂ t
. (2.1)
Figura 2.1 Sistema termodinâmico para dedução da equação da condução de
calor.
Analisemos primeiramente o termo que expressa a variação da energia do sistema que,
como sabemos, é a soma das energias interna, cinética e potencial gravitacional:
∂ E
∂ t
=
∂U
∂ t
+
∂ Ec
∂ t
+
∂ E p
∂ t
. (2.2)
No exemplo considerado, não há variações nas energias cinética e potencial, podendo
haver, entretanto, variação com o tempo da energia interna, devido ao fluxo de trabalho
(relacionado ao funcionamento da resistência elétrica, vista na Figura 2.1, pois sabemos que
energia elétrica e trabalho são equivalentes) e de calor (pois se T0 e TL são diferentes, haverá
fluxo de calor através da barra). Assim, podem ser feitas algumas modificações na equação,
de modo que o termo pode ser reescrito em função da temperatura, calor específico e massa
específica, como pode ser visto na sequência de equações abaixo.
∂ E
∂ t
=
∂U
∂ t
=
∂
∂ t
(mu )=
∂
∂ t
( ρVu )=
∂
∂ t
( ρ ( AΔx ) u) . (2.3)
Como:
du=cdT , (2.4)
então:
10
∂ E
∂ t
=
∂
∂ t
( ρAΔ xcT )= ρcAΔx
∂ T
∂ t
, (2.5)
se  e c puderem ser considerados constantes com o tempo.
Se o termo de trabalho (ẇ) , da Equação 2.1 for fornecido como potência elétrica que
atravessa uma resistência, a mesma se converterá em calor:
−ẇ=q̇g=( AΔx ) q̇ g
''' , (2.6)
sendo q̇g
''' (W/m³) a taxa de geração interna de calor no sistema, por unidade de volume.
Na Equação 2.6, o sinal negativo se deve à convenção de sinais utilizada na
Termodinâmica, segundo a qual o trabalho é “negativo” quando ingressa no sistema.
O último termo da Equação 2.1 a ser considerado refere-se ao fluxo líquido de calor
através do sistema, o qual é dado pela diferença entre o fluxo de calor que ingressa e o fluxo
de calor que abandona o sistema:
q̇= q̇x− q̇x+ Δx . (2.7)
Considerando que uma função contínua pode ser expandida em uma série infinita de
Taylor:
f ( x )= f ( xo)+( x−xo) f '( xo)+
( x−xo)
2
2 !
f ''( xo)+. ..+
( x−xo)
n
n !
f n ( xo)+. .. ,
4 
(2.8)
a taxa transferência de calor no ponto de coordenadas x+x pode ser escrita como uma
expansão em torno do ponto x:
q̇ x+ Δx=q̇x+ ( x+ Δx−x )
∂ q̇x
∂ x
+
( x+ Δx−x )2
2!
∂
2 q̇x
∂ x2
+ .. . , (2.9)
ou
q̇ x+ Δx=q̇x+ Δx
∂ q̇x
∂ x
+
Δx2
2!
∂
2 q̇x
∂ x2
+ . . . . (2.10)
4Como exemplo, é mostrada a expansão em série de Taylor da função trigonométrica cosseno.
cos ( x )=cos(x 0)+( x−x 0)cos' ( x0)+
(x−x0)
2
2!
cos'' ( x0 )+
(x− x0 )
3
3!
cos ' ' ' (x 0)+ .. .
As derivadas são:
cos' ( x )=−sen ( x )
cos'' ( x )=−(sen' ( x))=−cos ( x )
cos''' ( x )=−(cos' ( x ))=sen ( x )
cos iv( x)=(sen' ( x ))=cos ( x )
Portanto:
cos ( x)=cos( x0 )−( x− x0)sen( x0)−
(x−x 0)
2
2 !
cos ( x0 )+
(x−x 0)
3
3!
sen ( x0)+
( x− x0)
4
4 !
cos (x 0)+ . . .
Se for adotado x0=0 ,
cos ( x)=1−0−
x 2
2
+ 0+
x4
24
−0−
x 6
720
+ 0+ . . .
cos ( x)≃1−
x2
2
+
x 4
24
−
x6
720
+ . . .
11
Truncando a série a partir do segundo termo tem-se:
q̇ x+ Δx≃q̇x+ Δx
∂ q̇x
∂ x
. (2.11)
Utilizando a Lei de Fourier (Equação 1.1), a Equação 2.11 pode ser reescrita como:
q̇ x+ Δx≃−kA
∂T
∂ x
∣x−Δx
∂
∂ x (kA
∂T
∂ x
∣x) . (2.12)
Substituindo as Equações 1.1 e 2.12 na Equação 2.7, obtém-se uma expressão para a
taxa líquida de transferência de calor no sistema:
q̇≃AΔx
∂
∂ x(k
∂T
∂ x
∣x) . (2.13)
Por fim, fazendo a substituição das Equações 2.5, 2.6 e 2.13 na Equação 2.1, e
simplificando, a Primeira Lei da Termodinâmica para o sistema em estudo pode ser reescrita
como:
∂
∂ x (k
∂T
∂ x )+ q̇g'''= ρc
∂T
∂ t
. (2.14)
Cabe observar que a Equação 2.145 continua a representar a conservação da energia
(Primeira Lei da Termodinâmica), tanto que se for feita uma análise dimensional dos termos,
a unidade resultante, no SI, será dada em W /m3 (energia por unidade de tempo e por unidade
de volume). Entretanto, uma modificação de forma ocorreu, uma vez que a equação é
escrita, agora, em termos de calor gerado e taxas de variação da temperatura. Desta forma,
abandonamos a Termodinâmica e ingressamos no terreno da Transferência de Calor. Uma
solução da equação diferencial parcial representada pela Equação 2.14 será representada em
termos de campos de temperaturas, ou seja, em termos da distribuição espacial e temporal
da temperatura no sistema.
A condutibilidade térmica é uma função da temperatura, ou seja, varia com a variação
da temperatura. Se a variação da condutibilidade com a temperatura puder ser considerada
desprezível, a Equação 2.14 poderá ser reescrita como:
∂2 T
∂ x2
+
q̇g
'''
k
=
1
α
∂T
∂ t
. (2.15)
Difusividade térmica
Na Equação 2.15, aparece a propriedade  denominada de difusividade térmica,
definida como:
5 Cada um dos termos da Equação 2.14 recebe uma denominação. Da esquerda para direita temos,
respectivamente, condução longitudinal de calor, geração interna de calor e inércia térmica.
12
α=
k
ρc
. (2.16)
A difusividade térmica, no SI, apresenta como unidade o m²/s, podendo ser vista como
o quociente entre a condutibilidade térmica (k) e a capacidade calorífica (c). Como sabemos,
a condutibilidade térmica representa o grau de facilidade (ou de dificuldade) que um material
oferece à passagem de calor, dada uma diferença de temperaturas. A capacidade calorífica dá
uma medida da quantidade de calor que uma unidade de massa de um dado material deve
receber ou ceder para sua temperatura variar em uma unidade. Juntando o efeito da
condutibilidade térmica com o da capacidade calorífica, pode-se dizer que “o significado
físico da difusividade térmica está associado à velocidade de propagação do calor no (meio
estacionário) durante a mudança do campo de temperaturas como tempo. Quanto maior a
difusividade, mais rápido é a propagação do calor no meio”. Para exemplificar, considere um
meio semi-infinito, uniformemente na temperatura T 0 , no instante t=0 . O meio passa,
então, a perder calor na origem ( x=0 ), quando, neste local lhe é imposta a condição de
contorno T ( x=0 ; t> 0 )=0 . A tabela 2.1 mostra o tempo que diferentes materiais levarão
para, em x=30 cm , sua temperatura atingir T=0,5T 0 . Vê-se claramente, na Tabela 2.1, a
relação entre a difusividade térmica e a velocidade de propagação do calor.Tabela 2.1. Exemplos de difusividades térmicas de alguns materiais e velocidade
de propagação de calor nos mesmos.
Material prata cobre aço vidro cortiça
 , 106 m²/s 170 103 12,9 0,59 0,155
t 9,5 min 16,5 min 2,2 h 2 dias 77 dias
É importante observar que, embora os materiais que possuem altos valores de
condutibilidade térmica têm também, em geral, valores elevados de difusividade térmica, na
comparação entre materiais nem sempre o material com maior condutibilidade térmica possui
a maior difusividade térmica como se pode ver na Tabela 2.2.
Tabela 2.2. Comparação entre os valores de condutibilidades térmicas e
difusividades térmicas de dois materiais (a 20°C).
MATERIAL  (kg/m³) cp (kJ/(kgK)) k (W/(mK))  (cm²/s)
Ouro 19.300 0,129 315 1,27
Potássio 860 0,741 103 1,62
2.2 FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALOR,
SIMPLIFICAÇÕES E GEOMETRIAS
Em geral, o formato do corpo em estudo determina o sistema de eixos coordenados a
ser utilizado para expressar a Equação da Condução de Calor. Se tivéssemos um tubo de
seção circular sujeito à transferência de calor, certamente seria mais apropriado descrevê-lo
em termos de um sistema de eixos em coordenadas cilíndricas. Se estivéssemos estudando,
por exemplo, o processo de resfriamento na armazenagem de maçãs, provavelmente seria
mais apropriado descrever o campo de temperaturas na fruta em termos de um sistema de
coordenadas esféricas, devido à semelhança da maçã com uma esfera.
13
Coordenadas Cartesianas
Na Figura 2.2 é mostrado um objeto retangular sujeito à transferência de calor por
condução conforme os três eixos coordenados (x, y e z) que descrevem a posição de quaisquer
pontos no objeto (no caso o sistema de eixos coordenados é o cartesiano). Utilizando as
mesmas considerações feitas na dedução da Equação da Condução de Calor seria fácil
estender as conclusões tiradas ao caso tridimensional. Assim, a Equação 2.14 poderia ser
reescrita, para o caso tridimensional como:
∂
∂ x (k
∂T
∂ x )+ ∂∂ y (k
∂T
∂ y )+ ∂∂ z (k
∂T
∂ z )+ q̇g'''=ρc p
∂ T
∂ t
, (2.17)
e a Equação 2.15, para o caso da condutibilidade térmica constante seria reescrita como:
∂2T
∂ x2
+
∂2 T
∂ y2
+
∂2 T
∂ z 2
+
q̇g
'''
k
=
1
α
∂T
∂ t
. (2.18)
Figura 2.2. Fluxo de calor tridimensional em geometria cartesiano.
Se além disso não houver geração interna de calor, a Equação 2.18 reduz-se a:
∂
2 T
∂ x 2
+
∂
2 T
∂ y2
+
∂
2T
∂ z2
=
1
α
∂T
∂ t
. (2.19)
Se for atingido o regime permanente, a temperatura deixará de ser função do tempo.
Portanto, a equação 2.19 torna-se:
∂
2T
∂ x 2
+
∂
2T
∂ y2
+
∂
2T
∂ z2
=0 . (2.20)
Uma notação compacta para os três primeiros termos do lado esquerdo das Equações
2.18 a 2.20 é obtida usando o chamado operador laplaciano. Assim:
∂
2 T
∂ x 2
+
∂
2T
∂ y2
+
∂
2T
∂ z2
=∇2T . (2.21.a)
Resumindo, em coordenadas cartesianas:
14
∇2=
∂
2
∂ x2
+
∂
2
∂ y2
+
∂
2
∂ z 2
. (2.21.b)
Coordenadas Cilíndricas
Na figura 2.3 é mostrado um cilindro sujeito à transferência de calor por condução
conforme os três eixos coordenados que descrevem a posição de quaisquer pontos no objeto
(no caso o sistema de eixos coordenados é o cilíndrico, sendo que as coordenadas de um
ponto são dadas em termos de uma componente axial (z), uma radial (r) e uma terceira
angular ()). Utilizando o sistema de coordenadas cilíndricas a Equação da Condução de
Calor para o caso tridimensional será dada por:
1
r
∂
∂ r (kr
∂T
∂ r )+
1
r 2
∂
∂ θ (k
∂T
∂ θ )+ ∂∂ z (k
∂T
∂ z )+q̇g'''= ρc p
∂T
∂ t
. (2.22)
Para o caso de condutibilidade térmica constante a Equação 2.22 será reescrita como:
1
r
∂
∂ r (r
∂ T
∂ r )+
1
r 2
∂2T
∂θ 2
+
∂2T
∂ z 2
+
q̇g
'''
k
=
1
α
∂T
∂ t
. (2.23)
Figura 2.3. Geometria cilíndrica.
Se além disso não houver geração interna de calor, a Equação 2.23 reduz-se a:
1
r
∂
∂ r (r
∂T
∂ r )+
1
r 2
∂
2 T
∂θ 2
+
∂
2 T
∂ z 2
=
1
α
∂T
∂ t
. (2.24)
Se for atingido o regime permanente, a temperatura deixará de ser função do tempo.
Portanto, a equação 2.24 torna-se:
1
r
∂
∂ r (r
∂T
∂ r )+
1
r 2
∂
2 T
∂θ 2
+
∂
2 T
∂ z 2
=0 . (2.25)
15
A Equação 2.25 pode ser escrita utilizando-se o operador laplaciano. Assim:
∇2T =
1
r
∂
∂ r (r
∂T
∂ r )+
1
r 2
∂
2 T
∂θ2
+
∂
2T
∂ z 2
=0 . (2.26)
Neste caso, em coordenadas cilíndricas, o operador laplaciano é escrito como:
∇
2
=
1
r
∂
∂ r (r ∂∂ r )+
1
r2
∂
2
∂θ2
+ ∂
2
∂ z2
. (2.27)
Coordenadas Esféricas
Na figura 2.4 é mostrada uma esfera; para a localização de qualquer ponto na esfera é
preciso que se forneçam os valores de três coordenadas: o raio (r), o ângulo polar () e o
ângulo azimutal ().
Figura 2.4. Geometria esférica. (Crédito do desenho: Eng.º Msc. Maikon Bressani)
Utilizando o sistema de coordenadas esféricas, a Equação da Condução de Calor para
o caso tridimensional é escrita como:
1
r2
∂
∂r (k r 2
∂T
∂ r )+
1
r 2 sin2(ϕ )
∂
∂θ (k
∂T
∂θ ) +
+
1
r2 sin (ϕ )
∂
∂ϕ (k sin (ϕ ) ∂T∂ϕ )+q̇ g'''=ρc p ∂T∂ t . (2.28)
Se a condutibilidade térmica for constante para todas as coordenadas, a Equação 2.28
será reescrita como:
1
r2
∂
∂r (r 2
∂T
∂ r )+
1
r 2 sin2(ϕ )
∂
2 T
∂ θ2
+
+
1
r2 sin (ϕ )
∂
∂ϕ (sin (ϕ ) ∂ T∂ϕ )+
q̇g
'''
k
=
1
α
∂T
∂ t
. (2.29)
16
Se não houver geração interna de calor, a Equação 2.29 reduz-se a:
1
r2
∂
∂r (r 2
∂T
∂ r )+
1
r 2 sin2(ϕ )
∂
2T
∂ θ2
+
1
r2sin (ϕ )
∂
∂ϕ (sin (ϕ ) ∂ T∂ϕ )= 1α
∂T
∂ t
. (2.30)
Em regime permanente, a equação 2.30 torna-se:
1
r2
∂
∂r (r 2
∂ T
∂ r )+
1
r 2sin2(ϕ )
∂
2 T
∂ θ2
+
1
r2 sin (ϕ )
∂
∂ϕ (sin (ϕ ) ∂ T∂ϕ )=0 . (2.31)
2.3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL, SEM GERAÇÃO DE CALOR,
EM REGIME PERMANENTE
Condução Unidimensional em Coordenadas Cartesianas
Seja a equação da condução unidimensional em regime permanente, sem geração
interna de calor, aplicada à parede vista na Figura 2.56:
d 2 T
dx 2
=0 . (2.32)
Sabe-se do estudo das equações diferenciais que a solução de uma equação resulta em
uma família de funções. A solução de um dado problema físico, representado por uma
equação diferencial, será única somente se forem fornecidas condições de contorno (valores
conhecidos nas fronteiras dos sistemas) e uma condição inicial, caso o problema seja em
regime transiente. No caso presente não há uma condição inicial, posto que o problema se
apresenta em regime permanente. As condições de contorno serão:
T ( x=0)=T 0 , (2.33)
e
T ( x=L)=T L . (2.34)
6 Aqui cabem duas observações. Primeiro, note que a Figura 2.5 representa uma seção de um objeto
retangular tridimensional. A condução é unidimensional porque há uma diferença de temperaturas (T0 -TL)
apenas na direção x. Segundo, na Equação 2.32 não é utilizada a derivada parcial porque a variável dependente
(temperatura) é função de uma única variável dependente (no caso a posição x).
17
Figura 2.5. Condução unidimensional em geometria cartesiana através de uma
parede simples.
Resolvendo a Equação 2.32 com as condições de contorno 2.33 e 2.34 obtém-se:
T ( x)=T 0+ (T L−T 0 )
x
L
. (2.35)
Em uma das etapas de solução da Equação 2.32, obtém-se o seguinte resultado:
dT
dx
=
T L−T 0
L
, (2.36)
o qual, combinado com a Equação de Fourier (Equação 1.1), resulta na seguinte expressão
para a determinação da taxa de transferência de calor através da parede:
q̇=
kA
L (
T 0−T L) . (2.37)
O grupo kA/L é, por vezes, denominado condutância térmica. Para uma diferença de
temperaturas fixa (T0-TL) quanto maior for a condutância térmica, maior será o fluxo de calor.
O inverso da condutância térmica é denominado de resistência térmica:
Rt=
L
kA
. (2.38)
Assim, a Equação 2.37 pode ser reescrita como:
T 0−T L=Rt q̇ . (2.39)
A Equação 2.39 diz que uma diferença de temperatura fixa dá origem a um fluxo de
calor que será tanto maior quanto menor for a resistência térmica. Existe uma clara analogia
entre a Equação 2.39 e a Lei de Ohm ( ddp=Ri ) a qual estabelece que, para uma dada
diferença de potencial elétricoserá originada uma corrente elétrica, a qual será tanto maior
quanto menor for a resistência elétrica do condutor através do qual a diferença de potencial é
estabelecida.
18
Exercício 2.1 (Bejan, 19..)
A figura abaixo mostra um arranjo experimental projetado para medir a
condutibilidade térmica do poliestireno. A placa central do arranjo é constituída por um painel
com resistência elétrica para aquecimento e está envolvida por duas placas de poliestireno de
20 mm de espessura, cada. As placas de poliestireno estão envolvidas por duas placas finas de
cobre. Todo o arranjo está mergulhado em banho constituído por uma mistura de água líquida
com gelo a temperatura de 0°C. As superfícies superior e inferior do arranjo estão seladas e
isoladas termicamente. Quando o painel de aquecimento é alimentado por uma bateria, o
fluxo de calor transferido na superfície é igual a 1000 W/m². Admitindo que a variação da
temperatura ao longo das placas de cobre seja desprezível, pode-se admitir que a temperatura
na interface entre a placa de cobre e a de poliestireno seja igual à temperatura externa (0°C).
Se os termopares instalados na placa de aquecimento acusarem que a temperatura da placa Tp
é uniforme e igual a 62,5 °C, determine a condutibilidade térmica do poliestireno. R.: 0,16
W/mK
Figura 2.6 Exercício 2.1
Paredes Compostas em Coordenadas Cartesianas
Em paredes compostas, cada parede oferece uma resistência ao fluxo de calor. Tais
resistências podem ser somadas de forma similar às resistências elétricas.
Considere o caso mais geral de uma parede composta, mostrada na Figura 2.7,
trocando calor por convecção7 com dois fluidos, em regime permanente (ou, em outras
palavras, dois fluidos trocando calor entre si através de uma parede composta).
7 Neste caso, haverá também resistência térmica associada à transferência por convecção. A resistência
térmica será dada pelo termo 1/hA.
19
Figura 2.7. Parede plana composta em contato térmico com dois fluidos.
Lembrando as Equações 1.2 e 2.37 e considerando que na interface entre duas paredes
em contato, não existe nenhuma resistência ao fluxo de calor (portanto nenhuma diferença de
temperatura entre as paredes no ponto de contato8) podemos escrever:
T ∞ i−T 0=
1
h i A
q̇
T 0−T 1=
LA
k A A
q̇
T 1−T 2=
LB
k B A
q̇
T 2−T 3=
LC
kC A
q̇
T 3−T ∞ e=
1
he A
q̇
. (2.40)
As equações acima podem ser somadas, termo a termo de modo a resultar em:
q̇=
T ∞ i−T ∞e
1
hi A
+
L A
k A A
+
LB
k B A
+
LC
kC A
+
1
he A
. (2.41)
Generalizando, para o caso de “n” paredes, teremos:
q̇=
T ∞ i−T ∞e
1
hi A
+
L A
k A A
+
LB
k B A
+ . ..+
Ln
k n A
+
1
he A
. (2.42)
8 Na verdade, duas paredes em contato oferecem uma resistência adicional, denominada resistência
térmica de contato. Esta resistência se deve ao contato imperfeito entre as superfícies devido à existência de um
certo grau de rugosidade em ambas as paredes.
20
A resistência térmica total será o somatório de cada resistência oferecida ao fluxo de
calor. Assim,
Rt=
1
h i A
+
LA
k A A
+
LB
k B A
+ .. .+
Ln
k n A
+
1
he A
. (2.43)
É bastante comum a Equação 2.42 ser escrita como:
q̇=UA (T ∞ i−T ∞ e) . (2.44)
Na Equação 2.44 o termo U representa a soma das contribuições de cada condutância
térmica. Este termo é denominado coeficiente global de transferência de calor, sendo
definido como:
U=
1
1
hi
+
L A
k A
+
LB
k B
+ . ..+
Ln
k n
+
1
he
. (2.45)
Em muitas aplicações, como em fornos, tubulações para vapor ou fluidos refrigerantes
em sistemas de refrigeração, são utilizados materiais com baixa condutibilidade térmica com a
finalidade de introduzir uma elevada resistência térmica e, assim, diminuir o fluxo de calor.
Tais materiais são usualmente chamados de isolantes térmicos. Tal denominação não é
inteiramente apropriada porque, como vimos, um material com tal característica não “isola”
termicamente e sim, diminui a taxa de transferência de calor. Por essa razão, é preferível a
denominação de revestimento térmico. A Tabela 2.1 apresenta as características de alguns
revestimentos térmicos.
Tabela 2.1. Características de alguns revestimentos térmicos industriais (Adaptado de
Telles, P.S., Tubulações Industriais.).
21
Exercício 2.2 (Martin Becker, 19..)
Uma parede é composta por três camadas, constituídas por (do exterior para o interior)
100 mm de tijolo comum (k = 0,45 W/mK), 100 mm de lã mineral e 10 mm de madeira de
pinho. A temperatura na superfície interna é de 20°C e a temperatura no exterior é de –5°C.
Qual a perda de calor por unidade de área através da parede? R. 9,36 W/m²
Exercício 2.3
Um forno de padaria, operando em regime permanente, apresenta temperatura interna
de 180°C, mantendo com a parede interna do forno um coeficiente de transferência de calor
por convecção de 200 W/(m²K). Tal coeficiente, relativamente elevado, se deve à existência
de um ventilador usado para distribuir uniformemente o ar quente no interior do forno. A
parede interna do forno é feita de uma chapa de 1 mm de espessura de aço inoxidável tipo
347, seguida por uma manta isolante de lã de vidro de 30 mm de espessura e outra chapa de
aço (aço-carbono, 0,5% C), de 1,5 mm de espessura, esta última em contato com o ar externo
a 25°C. Entre a parede externa e o ar que envolve o forno é estabelecido um coeficiente de
transferência de calor por convecção de 10 W/(m²K). Determine: a) a resistência térmica total
e a contribuição percentual de cada resistência térmica envolvida; b) a taxa de transferência de
calor do forno para o ambiente, por unidade de área; c) as temperaturas nas paredes interna e
externa e também as temperaturas na junção de cada material. R. a) 0,9159 m²K/W; 0,546 %;
0,007 %; 88,526 %; 0,003 %; 10,918 %; b) 169,2 W/m²; c) 179,15°C; 179,14°C; 41,93°C;
41,92°C.
Resistência Térmica de Contato
Quando se tem paredes compostas, existe sempre uma resistência térmica adicional
para cada par de materiais em contato físico. Tal resistência térmica existe porque, em sua
microestrutura, os materiais apresentam certo grau de rugosidade, o que faz com que o
contato entre dois materiais consecutivos seja imperfeito e possibilite a presença de certa
quantidade de ar (se este constituir o meio no qual a parede composta está inserida), ou outro
fluido. Na maior parte das situações de interesse, contudo, a resistência térmica de contato,
por possuir uma ordem de grandeza inferior àquela propiciada pelos materiais constituintes
das paredes, pode ser negligenciada.
Condução Unidimensional em Coordenadas Cilíndricas
Consideraremos, na presente seção, apenas o caso da condução radial em um tubo.
Seja a equação da condução unidimensional (radial) em regime permanente, sem geração
interna de calor, aplicada ao tubo visto na Figura 2.8:
∂
∂r (r
∂T
∂r )=0 . (2.46)
As condições de contorno são:
T (r=ri )=T i , (2.47)
T (r=r e)=T e . (2.48)
22
Figura 2.8. Condução unidimensional radial em geometria cilíndrica através de
um tubo simples.
Resolvendo a Equação 2.46 com as condições de contorno 2.47 e 2.48 obtém-se:
T ( r )=T i+
T i−T e
ln( rire )
ln( rri) . (2.49)
A equação de Fourier, para coordenadas cilíndricas é ligeiramente diferente da
Equação 1.1, visto que tanto a temperatura quanto a área transversal à direção (radial)
do fluxo de calor variam com o raio do tubo:
q̇=−k ( 2π rL)
dT
dr
, (2.50)
sendo L o comprimento do tubo.
Em uma das etapas de solução da Equação 2.49, obtém-se o seguinte resultado:
dT
dr
=
1
r
T i−T e
ln (ri/ re)
, (2.51)
o qual, combinado com a Equação 2.50, resulta na seguinte expressão para a determinação da
taxa de transferência de calor através da casca cilíndrica:
q̇=
2π kL
ln (re /ri)
(T i−T e) . (2.52)
23
É usual para tubos utilizar-se uma variante da Equação 2.52 de modo que a taxa de
transferência de calor é apresentada por unidade de comprimento de tubo:
q̇ '=
2πk
ln (r e/r i)
(T i−T e) . (2.53)
O grupo 
2π kL
ln (re/ ri)
 representa a condutânciatérmica. Para uma diferença de
temperaturas fixa (Ti - Te) quanto maior for a condutância térmica, maior será o fluxo de calor.
O inverso da condutância térmica é a resistência térmica. Assim, para um tubo de seção
circular:
Rt=
ln (r e/ri )
2π kL
. (2.54)
Exercício 2.4
A temperatura interna de um tubo de aço-carbono (0,5%C) de diâmetro interno 533,8
mm é de 100 °C. No diâmetro externo de 610 mm a temperatura é de 98 °C. Determine: a) a
temperatura para o raio médio do tubo; b) o raio no qual a temperatura é de 99 °C; c) a taxa de
transferência de calor, por unidade de comprimento. R.: a) 98,97°C; b) 0,28531 m; c) 5085,4
W/m.
Paredes Compostas em Coordenadas Cilíndricas
Considere o caso mais geral de um tubo composto por mais de uma camada de
materiais distintos, trocando calor por convecção com dois fluidos, em regime permanente,
um dos fluidos no interior do tubo e outro o envolvendo. Um tubo com paredes compostas é
mostrado na Figura 2.9.
24
Figura 2.9. Tubo de seção circular com parede composta em contato térmico com
dois fluidos.
Lembrando as Equações 1.2 e 2.52 podemos escrever, para regime permanente:
T ∞ i−T 0=
1
h i(2πr 0 L)
q̇
T 0−T 1=
ln (r 1/r 0)
2πk A L
q̇
T 1−T 2=
ln (r 2 /r1)
2πk B L
q̇
T 2−T 3=
ln (r3 /r2 )
2πkC L
q̇
T 3−T ∞ e=
1
he(2πr3 L)
q̇
. (2.55)
As equações acima podem ser somadas, termo a termo e rearranjadas. Para o caso de
existirem “n” camadas, teremos:
q̇=
T ∞ i−T ∞ e
1
hi (2πr0 L)
+
ln (r 1/r 0)
2πk A L
+
ln (r2 /r1)
2πk B L
+
ln (r3 /r 2)
2πkC L
+ . . .+
1
he(2πrn L)
. (2.56)
A resistência térmica total será o somatório de cada resistência oferecida ao fluxo de
calor. Assim,
25
Rt=
1
h i(2πr 0 L)
+
ln (r1 /r0 )
2πk A L
+
ln (r 2/r 1)
2πk B L
+
ln (r 3/r 2)
2πkC L
+ . ..+
1
he (2πr n L)
. (2.57)
De modo similar ao visto na seção sobre coordenadas cartesianas (Equação 2.44),
pode-se representar o coeficiente global de transferência de calor, como sendo a soma das
contribuições de cada condutância térmica. Em coordenadas cilíndricas, entretanto, a área
transversal ao fluxo de calor é variável, pois depende do raio. Assim sendo, pode-se definir
um coeficiente global relativamente à área interna do tubo e outro relativo à área externa.
Redefinindo a Equação 2.44 para coordenadas cilíndricas teremos:
q̇=U i Ai (T ∞ i−T ∞e)=U e Ae (T ∞ i−T ∞ e) . (2.58)
Portanto, o coeficiente global de transferência de calor em relação à área interna do
tubo poderá ser facilmente deduzido da Equação 2.569:
U i=
1
1
h i
+
r 0 ln (r 1/r 0)
k A
+
r 0 ln (r 2 /r1)
k B
+
r0 ln (r3 /r2 )
k C
+ .. .+
r 0
he r n
. (2.59)
Exercício 2.5
Um tubo de aço-carbono (0,5% de carbono) de diâmetro nominal 20” (diâmetro
interno 489 mm, espessura 9,5 mm) conduz vapor a 150 °C. O coeficiente de transferência de
calor combinado por convecção e radiação, estabelecido entre o escoamento e a parede
interna do tubo, é de 230 W/(m²K). Sobre o tubo há uma manta de lã de vidro de 40 mm de
espessura e, sobre esta, uma folha de alumínio de 1 mm de espessura. Um termopar inserido
no alumínio registra uma temperatura de 37 °C. Determine a perda de calor do vapor para o
ambiente, por unidade de comprimento de tubo, e as temperaturas na superfície interna do
tubo de aço, na interface aço/lã de vidro e na interface lã de vidro/alumínio. R.: 178,8 W/m
Exercício 2.6 (Holman, 19..)
Um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo é coberto com uma camada de 6,4 mm
de fibra de asbesto (amianto) (k = 0,166 W/mK), seguida de uma segunda camada de 20 mm
de fibra de vidro (k = 0,048 W/mK). A temperatura na parede do tubo é 315°C e a
temperatura externa do isolamento é de 38°C. Calcule a temperatura na interface entre a fibra
de asbesto e a fibra de vidro. R.: 282,3°C
Raio Crítico de Isolamento
Seja um tubo para condução de um fluido a mais alta (ou mais baixa) temperatura que
a ambiente. Sabe-se que, havendo uma diferença de temperatura radial, haverá fluxo de calor
nesta direção, cuja magnitude dependerá da resistência térmica existente entre as duas
temperaturas prescritas (ver Equação 2.39). Para diminuir a taxa de transferência de calor
pode-se aumentar a resistência térmica pela adição de uma camada de um material isolante
9 Fica ao leitor o exercício de obtenção do coeficiente global de transferência de calor relativo à área
externa do tubo.
26
(com baixa condutibilidade térmica), já que as temperaturas são consideradas fixas. A
situação descrita pode ser vista na Figura 2.10.
Figura 2.10 Material isolante sobre um tubo de condução.
Surge então uma pergunta: haverá uma espessura de material isolante que maximize a
resistência térmica10 (em outras palavras, que minimize a taxa de transferência de calor)?
Para tentar responder a esta pergunta vamos considerar um tubo de condução cujo raio
externo e temperatura externa são, respectivamente, ri e Ti, (o raio externo do tubo de
condução é o raio interno da camada de material isolante) que se quer “isolar” termicamente
do ambiente pela adição de um material isolante de raio r (variável). A equação para a taxa de
transferência de calor através do material isolante e entre o mesmo e o ambiente (fazendo as
devidas simplificações na Equação 2.56), será:
q̇=
T i−T ∞
1
h(2π rL)
+
ln (r / ri)
2π kL
. (2.60)
Observe que na Equação 2.60 r é uma variável pois estamos tentando responder se há
uma espessura de isolante e = r – ri que maximize a resistência térmica. Na Equação 2.60 a
resistência térmica será dada por:
Rt=
1
h (2π rL)
+
ln (r /ri )
2π kL
. (2.61)
Sabemos do Cálculo que para encontrarmos um ponto de máximo ou de mínimo de
uma função devemos derivá-la com respeito à variável independente e igualar a zero:
10 Esta pergunta não é irrelevante uma vez que, tanto o material isolante quanto a transferência de calor
têm seu preço.
27
dRt
dr
=0 . (2.62)
Derivando a Equação 2.61 com respeito a r, e igualando a zero obtemos um valor de
raio para o isolante que é um ponto de máximo ou de mínimo para a resistência térmica. Este
raio é denominado de raio crítico de isolamento:
r c=
k
h
. (2.63)
Sabemos, então, que o raio dado pelo quociente entre a condutibilidade térmica do
material isolante e o coeficiente de transferência de calor estabelecido entre o mesmo e o
fluido que o circunda é o raio no qual a resistência térmica é um ponto de máximo ou de
mínimo. Portanto, ainda não respondemos à pergunta de se existe um raio de isolamento que
maximize a resistência térmica. Para responder a tal pergunta devemos recorrer mais uma vez
ao Cálculo. Sabemos que, se:
d 2 Rt
dr2
∣r =rc
> 0 , (2.64.a)
o raio crítico será um ponto de mínima resistência térmica. Se, por outro lado,
d 2 Rt
dr2
∣r =rc
< 0 , (2.64.b)
o raio crítico será um ponto de máxima resistência térmica.
Fazendo a segunda derivada da Equação 2.61 e introduzindo no raio o valor do raio
crítico dado pela Equação 2.63 verificamos que o valor resultante somente poderá ser
positivo, visto que tanto a condutibilidade térmica quanto o coeficiente de transferência de
calor são quantidades de diferentes magnitudes, mas sempre positivas. Portanto, o raio crítico
corresponde ao raio no qual a resistência térmica tem um mínimo valor, ou a taxa de
transferência de calor é máxima.
Mas fisicamente, como explicar o raio crítico? Se voltarmos à Equação 2.61, podemos
observar que a resistência térmica total se deve a um termo de resistência térmica por
condução:
Rt∣COND=
ln (r / ri)
2π kL
, (2.65)
e a um termo de resistência térmica por convecção:
Rt∣CONV=
1
hi (2π rL)
. (2.66)
A Equação 2.65 mostra que, à medida que o raio do isolante aumenta (e, portanto, sua
espessura), a resistência térmica aumenta também. Este resultado é altamente intuitivo e não
requer maiores explicações. Mas observe o comportamento do raio em relação à resistência
28
térmica por convecção, dada pela Equação 2.66. Com o aumento do raio, a resistênciatérmica
por convecção diminui. Este comportamento, contudo, não deve nos surpreender pois o raio
está relacionado à área de transferência de calor por convecção. Quanto maior a área de troca
de calor, maior a taxa de transferência de calor por convecção, consequência direta da Lei do
Resfriamento de Newton, expressa na Equação 1.2. Como a resistência térmica total se deve à
combinação das resistências por condução e convecção, em relação às quais o raio do isolante
tem comportamento antagônico haverá uma certa combinação de resistências que
corresponderá a um valor mínimo. Tal combinação se dará quando o raio for igual ao raio
crítico. Isto pode ser visto na Figura 2.11.
Uma observação importante deve agora ser feita: o conhecimento do valor do raio
crítico de isolamento somente terá consequências práticas se o mesmo for comparado ao raio
externo do tubo (ri) que se quer recobrir. Existem duas situações possíveis, mostradas na
Figura 2.12:
r i≥rc , ou
r i< rc .
Figura 2.11. Resistência térmica de condução, resistência térmica de convecção,
resistência térmica total e raio crítico de isolamento.
A primeira situação é desejável pois, neste caso, qualquer espessura de material
isolante aplicada aumentará a resistência térmica, proporcionando um efeito isolante. A
segunda situação, entretanto, é inteiramente indesejável pois a espessura de material isolante
aplicada até que seu raio iguale ao raio crítico irá apenas aumentar a transferência de calor!
Neste último caso cabe o seguinte comentário. Normalmente o diâmetro do tubo é
especificado por razões de projeto e as condições ambientes são dadas. Portanto, a única
29
variável será a condutibilidade térmica do material isolante. Em resumo, quando o raio
externo do tubo for menor que o raio crítico, deve-se selecionar um outro material isolante
que permita a primeira situação citada, a saber, que o raio crítico seja menor ou igual ao raio
externo do tubo.
Figura 2.12. Relação raio crítico de isolamento  raio externo do tubo (raio
interno da camada isolante).
Exercício 2.7 (Incropera, 19..)
Um tubo de cobre de paredes finas, de raio ri, é usado para transportar um refrigerante
a baixa temperatura (Ti), a qual é menor que a temperatura do ar ambiente (T∞), ao redor do
tubo. Existe uma espessura ótima associada a um material isolante, eventualmente aplicado ao
tubo? Calcule a resistência total multiplicada por uma unidade de comprimento de tubo, para
um tubo de 10 mm de diâmetro (considere a resistência térmica do tubo de cobre desprezível),
tendo as seguintes espessuras de isolamento: 0, 2, 5, 10, 20, e 40 mm. O isolamento é feito de
lã de vidro e o coeficiente de transferência de calor por convecção externo é de 5 W/(m²K).
Exercício 2.8 (Bejan, 19..)
Uma tubulação para transporte de vapor, com raio externo igual a 20 mm apresenta
temperatura superficial externa de 100 °C. O ar do ambiente onde a tubulação se localiza está
a 15 °C e proporciona um coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície
externa do tubo igual a 10 W/m²K. O funcionário responsável pelo equipamento propõe a
instalação de um revestimento de poliuretano sobre o tubo, com espessura de 10 mm, a fim de
isolar o tubo do ambiente. Esta alteração proporcionará um efeito isolante? Calcule a taxa de
transferência de calor para o ambiente por unidade de comprimento nas duas condições do
problema. Repita os cálculos utilizando poliestireno como material isolante. R.: 106,8 W/m;
116,1 W/m; 90,3 W/m
2.4CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL, COM GERAÇÃO DE
CALOR, EM REGIME PERMANENTE
Na Figura 2.13 é mostrada uma placa, mergulhada em um fluido à temperatura T ∞ ,
com o qual troca calor por convecção com um coeficiente convectivo h. Diferentemente dos
casos anteriormente considerados, porém, há na placa geração de calor, uniformemente
30
distribuída em toda sua extensão, de modo que a equação da condução de calor em regime
permanente pode ser escrita como:
d 2 T
dx 2
+
q̇g
'''
k
=0 . (2.67)
Em regime permanente, o calor que chega à superfície em contato com o fluido, por
condução, é integralmente dissipado por convecção:
−k
dT
dx
∣x=L /2=h(T ( x=L / 2)−T ∞) .
Reorganizando-se a equação acima, define-se a primeira das condições de contorno do
problema:
dT
dx
∣x=L/ 2=−
h
k (T ( x=L /2)−T ∞) . (2.68)
Como a placa é simétrica e a geração de calor uniforme, espera-se que o fluxo de calor
da placa para o fluido seja idêntica no sentido positivo e negativo do eixo x. Essa observação
traz uma implicação importante: não haverá fluxo de calor, em nenhum dos dois sentidos, no
centro da placa:
−k
dT
dx
∣x=0=0 .
Figura 2.13. Placa com geração interna de calor e dissipação convectiva.
Uma vez que a condutibilidade térmica não pode ser nula, a equação acima pode ser
reescrita como a segunda condição de contorno do problema, também chamada de condição
de simetria:
dT
dx
∣x=0=0 . (2.69)
31
Integrando-se a Equação 2.67 uma vez, obtém-se:
dT
dx
=−
q̇g
'''
k
x+C 1 . (2.70)
Fazendo a separação de variáveis e realizando uma segunda operação de integração, a
Equação 2.70 torna-se:
T ( x)=−
q̇g
'''
k
x2
2
+C 1 x+C 2 . (2.71)
Aplicando-se a condição de simetria (Equação 2.69) na Equação 2.70 determina-se o
valor da primeira constante. No caso, C1=0 . Na sequência, se for aplicada a condição
convectiva (Equação 2.68) na Equação 2.70, obtém-se o valor da segunda constante:
C2 =T ∞+
q̇g
'''
8 k
L2+
q̇g
'''
2h
L .
Substituindo-se, por fim, os valores das duas constantes na Equação 2.71 e
reorganizando-se os termos, se encontra a equação para a distribuição da temperatura na
placa:
T ( x )=T ∞+
q̇ g
'''
8k
L2[1−( xL/ 2)
2
]+ q̇g
'''
2h
L . (2.72)
Exercício 2.9
Uma placa, de altura e largura muito grandes, se comparadas à espessura de 25 mm é
feita de um compósito cuja condutibilidade térmica média é de 27 W/mK. Um dos materiais
constituintes do compósito, o qual se encontra uniformemente distribuído em uma matriz do
segundo material, é um elemento radiativo, cujo decaimento gera calor a uma taxa de 1,0
MW/m³. O calor gerado é transferido por convecção à água pressurizada circulante a 200 °C,
a qual mantém, com a placa, um coeficiente de transferência de calor combinado por
convecção e radiação de, aproximadamente, 500 W/m²K. Para operação em regime
permanente, determine taxa de transferência de calor da placa para a água, por unidade de
área, a temperatura superficial da placa em contato com a água e a máxima temperatura na
mesma. R.: 12.500 W/m²; 225,0 °C; 227,9 °C.
EXERCÍCIOS
Condutibilidade Térmica
1) Um sistema unidimensional sem geração de calor tem uma espessura de 20 mm com
superfícies mantidas a 275 e 325 K. Determine o fluxo de calor, por unidade de área,
através do sistema se o mesmo for construído de a) alumínio puro, b) aço-carbono (C
32
1%), c) aço inoxidável tipo 304, d) teflon, e) salmão, perpendicular à fibra, f) salmão
liofilizado, paralelo à fibra.
Relação entre Primeira Lei da Termodinâmica e Transferência de Calor
2) Um resistor elétrico é conectado a uma bateria, como mostrado no desenho abaixo.
Após um breve transiente, o resistor assume uma temperatura aproximadamente
uniforme de 95 °C, enquanto a bateria e os fios condutores permanecem na temperatura
ambiente de 25 °C. Desconsidere a resistência elétrica oferecida pelos fios. a) Se a
energia elétrica é dissipada uniformemente no interior do resistor, o qual é cilíndrico e
tem diâmetro de 6 mm e comprimento de 25 mm, qual a taxa de geração de calor interna
volumétrica (W/m3)? b) Desconsiderando transferência de calor por radiação, qual o
coeficiente de transferência de calor por convecção? Resposta: 4365 W/(m2.K). Obs.:
Lembre que Ẇ =V ×I .
Condução de Calor Unidimensional em Geometria Cartesiana
3) Uma barra cilíndrica de diâmetro 10 mm e comprimento 150 mm está termicamente
isolada na sua superfície cilíndrica.Uma das suas superfícies terminais é mantida a 0
°C e a outra a 200 °C. Determine a taxa de fluxo de calor através desta barra se ela for
feita de a) cobre puro; b) ferro puro e c) cimento portland. Respostas: a) 40,9 W; 7,0 W;
0,03 W.
4) Condução de calor unidimensional em regime permanente sem geração interna de calor,
ocorre no sistema mostrado abaixo. A condutibilidade térmica do sistema é de 25 W/
(mK), e a espessura L é 0,5 m. Determine as quantidades desconhecidas para cada caso
na tabela abaixo, fazendo um esquema indicando a distribuição de temperaturas e a
direção do fluxo de calor. Respostas: 1) 200 K/m e – 5000 W/m2; 2) 225 °C e 6250
W/m2; 3) – 20 °C e –5000 W/m2; 4) – 85 °C e –160 W/m2; 5) – 30 °C e 120 W/m2.
33
5) Considere uma parede plana de 100 mm de espessura e uma condutibilidade térmica de
100 W/(mK). Condução de calor em regime permanente aparece para T1 = 400 K e T2 =
600 K. Determine o fluxo de calor por unidade de área e o gradiente de temperaturas
(dT/dx) para os sistemas de coordenadas mostrados. Respostas: a) – 200 kW/m2 e 2000
K/m; b) 200 kW/m2 e –2000 K/m; c) –200 kW/m2 e 2000 K/m.
6) Uma grande janela de vidro com 5 mm de espessura e k = 0,78 W/(mK) está exposta ao
ar quente a 25 °C em sua superfície interna, com coeficiente de transferência de calor
por convecção de 15 W/(m²K). O ar exterior está a –15 °C e o coeficiente de
transferência de calor associado a sua superfície externa é de 50 W/(m²K). Quais são as
temperaturas nas superfícies interna e externa do vidro? Respostas: -6,40 °C; -3,65 °C.
7) Em alguns países de inverno rigoroso, a superfície de um rio desenvolve uma camada
de gelo de espessura L. Sabe-se que a temperatura da água líquida abaixo do gelo é de 4
°C, que a temperatura do ar atmosférico é de –30 °C, que a temperatura do gelo em
contato com a água é de 0 °C. A condutibilidade térmica do gelo é de 2,25 W/(mK) e os
coeficientes de transferência de calor por convecção dos lados da água e do ar são,
respectivamente, 500 W/(m2K) e 100 W/(m2K). Calcule a temperatura na superfície do
gelo em contato com o ar, e a espessura L da camada de gelo. Respostas: -10 °C e 11,25
mm.
8) Sob certas condições ambientais, a temperatura da pele humana (30 °C) é menor que a
temperatura do corpo (36,5 °C). A transição entre as duas temperaturas ocorre através
de uma camada subcutânea de aproximadamente 1 cm de espessura, a qual age como
um material isolante. A condutibilidade térmica desta camada é de aproximadamente
0,42 W/(mK). a) Estime o fluxo de calor que escapa através da superfície da pele. Trate
a camada subcutânea como um meio estacionário. b) A temperatura do ar ambiente sob
as mesmas condições é de 20 °C. Calcule o coeficiente de transferência de calor por
convecção entre a pele e o ar. Resposta: 27,3 W/(m2.K).
34
9) A parede de um forno é composta de três materiais, dois dos quais têm condutibilidades
térmicas conhecidas de kA = 20 W/(mK) e kC = 50 W/ (mK) e espessuras LA = 0,30 m e
LC = 0,15 m. O terceiro material, B, o qual se encontra entre os materiais A e C tem
espessura de LB = 0,15 m mas condutibilidade térmica desconhecida. Sob condições de
regime permanente, as temperaturas medidas na parede interior e na parede exterior do
forno são, respectivamente, de 600 °C e 20 °C. A temperatura do ar no interior do forno
é de 800 °C. O coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do forno
é de 25 W/(m2.K). Qual o valor de kB? Resposta: 1,53 W/(mK).
10) Um forno industrial é feito de tijolos refratários de espessura 0,25 m e k = 1,0 W/(mK).
A superfície externa está isolada com um material com k = 0,05 W/(mK). Determine a
espessura da camada isolante a fim de limitar a perda de calor pela parede do forno a
1.000 W/m² quando a superfície interna da parede estiver a 1.030 °C e a superfície
externa a 30 °C. Resposta: 37,5 mm.
11) Uma caixa de gelo é construída de isopor (k = 0,033 W/(mK), com dimensões internas
de 250  400  1.000 mm. A espessura da parede é 50 mm. A superfície externa da
caixa está exposta ao ar a 25 °C, com h = 10 W/(m2.K). Se a caixa está cheia de gelo
picado a 0 °C, estime o tempo necessário para que todo o gelo seja derretido. O calor
latente de fusão do gelo é de 333,4 kJ/kg e a sua massa específica é de 916,4 kg/m3.
Resposta: 15,23 dias.
12) Determine a espessura que uma parede plana feita de um material isolante de
condutibilidade térmica 0,05 W/mK, ensanduichado entre duas chapas metálicas de
resistência térmica desprezível, deve ter para que, em uma de suas faces, a temperatura
não exceda 40 °C. A outra face é totalmente envolvida por um meio a 1.000 °C e troca
calor, por radiação e convecção, a uma taxa de 1.200 W/m². O coeficiente de
transferência de calor por convecção é de 100 W/m²K,  = 0,8 e  = 5,67  10-8
W/m2K4. Determine também a temperatura na outra face. Resposta: 0,04 m; 1270,61 K .
13) Água líquida a 95 °C encontra-se em um recipiente retangular de vidro (k = 0,8 W/mK),
conforme a seção mostrada na figura abaixo. O recipiente de vidro encontra-se
centralizado em relação a um segundo recipiente do mesmo vidro e entre eles há vácuo.
Considerando que a resistência térmica por radiação no vácuo seja de 17,3 m²K/W e que
haja somente transferência de calor unidimensional em regime permanente, determine a
taxa de transferência de calor por unidade de área ( q̇ '' ) e x2. Dados: h = 20 W/m²K;
x0 = 500 mm; x1 = 540 mm; x3 = 680 mm; T0 = 94,8 °C; T3 = 25 °C. Resposta: 4 W/m²;
600 mm.
Condução de Calor Unidimensional em Geometria Cilíndrica
35
14) Um tubo para vapor de 0,12 m de diâmetro externo é isolado com uma camada de
silicato de cálcio (k = 0,089 W/(mK). Se a espessura do isolante é de 20 mm, as
superfícies interna e externa são mantidas a 800 e 490 K, respectivamente, qual a taxa
de transferência de calor por unidade de comprimento de tubo, para o exterior?
Resposta: 602 W/m.
15) Um tubo de vapor, com raio externo 40 mm está recoberto por uma camada de
isolamento de amianto de espessura 10 mm e k = 0,15 W/(mK) recoberto, por sua vez,
com um isolamento de fibra de vidro de espessura 30 mm e k = 0,043 W/(mK). A
superfície do tubo está à temperatura de 330 °C e a superfície externa do isolamento de
fibra de vidro está a 30 °C. a) Determine a temperatura da interface entre as camadas de
amianto e de fibra de vidro. b) Determine a taxa de transferência de calor por metro de
comprimento do tubo. Respostas: 151,8 W/m; 294,1°C.
16) Um tubo de paredes finas de 100 mm de diâmetro é usado para transportar água para
um equipamento que opera ao relento e que usa água como refrigerante. Durante um dia
de inverno particularmente rigoroso, a parede do tubo atinge –15 °C e uma camada
cilíndrica de gelo se forma junto à superfície interna do tubo. Se a temperatura média da
água líquida no interior do tubo atinge 3 °C nestas condições, o gelo que encontra-se em
contato com a água líquida está a 0 °C e o coeficiente convectivo entre a corrente
líquida e o gelo é de 2.000 W/(m2.K), determine a espessura da camada de gelo.
Resposta: 5,82 mm.
17) Um isolamento de baquelite é usado sobre uma barra cilíndrica de 10 mm de diâmetro,
cuja superfície é mantida a 200 °C, devido à resistência que a mesma oferece à
passagem de corrente elétrica. O conjunto é mantido no interior de um fluido a 25 °C, e
o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 140 W/(m2K). Qual o raio
crítico associado com o isolamento? Determine a taxa de transferência de calor por
unidade de comprimento da barra para o fluido, considerando a barra imersa no fluido,
sem isolamento; Qual a espessura do isolamento que deveria ser adicionado para
diminuir em 25% a transferência de calor em relação à barra sem isolamento?
Resposta: 1,64 mm; 770 W/m; 0,86 mm.
18) Um fio elétrico de diâmetro 3 mm deve ser recoberto por um polímero que servirá como
isolante elétrico,cuja condutibilidade térmica vale 0,15 W/(mK). Se o coeficiente de
transferência de calor externo é 50 W/(m²K), qual a espessura ótima do isolamento de
borracha para provocar a máxima perda de calor pelo fio? Resposta: 1,5 mm.
19) Água líquida a 95 °C é armazenada em um recipiente cilíndrico de vidro (k = 0,8
W/mK), conforme a figura abaixo. O recipiente de vidro encontra-se centralizado em
relação a um segundo recipiente do mesmo vidro e entre eles há vácuo. Considerando
que a resistência térmica por radiação no vácuo seja de 55,52 mK/W e que haja somente
transferência de calor radial em regime permanente, determine a taxa de transferência
de calor radial por unidade de comprimento ( q̇ ' ) e r2. Dados: h = 20 W/m²K; r0 = 50
mm; r1 = 54 mm; r3 = 64 mm; T0 = 94,8 °C; T3 = 25 °C. Resposta: 1,257 W/m; 60,9 mm.
36
37
3. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM
REGIME PERMANENTE - SUPERFÍCIES ESTENDIDAS
(ALETAS)
3.1 INTRODUÇÃO
Em muitas situações práticas em engenharia é desejável o aumento na taxa de
transferência de calor entre um corpo e um fluido que o envolve. Considerando as
temperaturas superficial do corpo e do fluido como dadas, uma das formas pelas quais este
aumento na taxa de transferência poderia ser obtido seria através do aumento do coeficiente
de transferência de calor por convecção, por exemplo, pela agitação do fluido por um
ventilador (ver Equação 1.2). Outra maneira de melhorar a transferência de calor seria pela
modificação na geometria das superfícies de troca de calor, com a adição de protuberâncias
visando aumentar a área de troca com o fluido (Equação 1.2). Tais protuberâncias são
chamadas de aletas e serão objeto de estudo no presente capítulo. A Figura 3.1 mostra um
exemplo prático de uso de aletas.
Figura 3.1. Conjunto de aletas e ventilador para dissipação do calor gerado em um
chip de computador.
3.2 ALETA COM SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE
Seja a aleta de seção transversal constante mostrada na Figura 3.211. A base da aleta
encontra-se na temperatura Tb, a aleta encontra-se mergulhada em um fluido à temperatura T,
mantendo com este troca de calor por convecção, com um coeficiente h. A aleta possui seção
transversal de área Ac, comprimento L, e seu perímetro vale p. Todo o calor que ingressa na
base da aleta é dissipado pela mesma, de modo que o calor transferido pela aleta tem
magnitude q̇b . Todas as grandezas mencionadas acima são invariantes com o tempo pois
consideraremos que a transferência de calor se dá em regime permanente.
Tomando-se o segmento da aleta de comprimento x, mostrado na Figura 3.2, pode-se
aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas ao mesmo. Como não há variação da
11 A seção transversal poderia ser de qualquer formato geométrico. No desenho o formato retangular é
apenas circunstancial.
38
energia (interna, cinética e potencial) de um sistema com o tempo, em regime permanente, e
na aleta não há trabalho mecânico sendo feito, conclui-se que a taxa líquida de transferência
de calor através do segmento é zero. Isso está expresso na Equação 3.1, abaixo. A Equação
3.1 nos diz que o calor que chega ao segmento por unidade de tempo, por condução, no
comprimento x, é igual ao calor dissipado por convecção através da superfície de área px
mais o calor que sai do segmento, por condução, no comprimento x+x:
( q̇ ''x−q̇ ''x+ Δx) Ac−( pΔx ) h (T−T ∞)=0 . (3.1)
Figura 3.2. Aleta de seção transversal constante.
O termo q̇ ''x+ Δx , da Equação 3.1 pode ser expandido em uma série de Taylor, em
torno do ponto de coordenada x, com truncamento a partir do segundo termo, exatamente
como foi detalhado no Capítulo 2 (ver Equações 2.7 a 2.13). Assim, considerando ainda que a
condutibilidade térmica do material da aleta é invariante com x, pode-se reescrever a Equação
3.1 como:
k
d 2T
dx2
Ac− ph(T −T ∞)=0 . (3.2)
O primeiro termo do lado esquerdo da Equação 3.2 representa a taxa líquida de
transferência de calor por condução, na dimensão longitudinal do segmento adotado como
sistema. O segundo termo representa a taxa de transferência de calor por convecção através
das laterais do segmento. Observe que, mais uma vez, ao passarmos da Termodinâmica à
Transferência de Calor, a variável da equação mudou da energia para a temperatura.
39
A Equação 3.2 pode ser representada de modo mais compacto, (que também facilitará
sua solução), se adotarmos, em vez da temperatura T, uma temperatura modificada , assim
definida:
θ ( x )=T ( x)−T ∞ . (3.3)
Portanto, a Equação 3.2 pode ser reescrita como:
d 2 θ
dx 2
−m2 θ=0 , (3.4)
sendo:
m=( hpkAc )
1
2 . (3.5)
A Equação 3.4 admite soluções na forma:
θ ( x )=C1e
−mx
+ C 2e
mx , (3.6)
sendo C1 e C2 constantes a serem determinadas com a aplicação das condições de contorno
imperantes na aleta.
Uma hipótese simplificadora utilizada na dedução acima é que a condução é
unicamente unidimensional (observe que T=T ( x ) ). Isso não é exatamente verdade pois o
calor chega por condução às duas superfícies perpendiculares à direção x, na Figura 3.2, que
dissipam calor por convecção com o meio. Entretanto, o modelo unidimensional será uma boa
aproximação se:
q̇ x >> q̇y . (3.7.a)
e
q̇ x >> q̇z , (3.7.b)
sendo q̇ y e q̇ z os fluxos de calor por condução nas duas direções perpendiculares a x. Uma
análise baseada nas ordens de magnitude das grandezas envolvidas, não desenvolvida aqui,
mostraria que as relações 3.7.a e 3.7.b serão verdadeiras se:
(hAckp )
1
2 << 1 . (3.8)
Deve-se observar que, se a condição 3.8 não for satisfeita, isto não indica que a aleta
em questão não dissipa calor suficientemente ou possui algum defeito de projeto. O que se
deve ter em mente é que a condição apenas indica se o modelo unidimensional para a
predição da distribuição de temperaturas e da taxa de transferência de calor é adequado ou
não.
A condição 3.8 está relacionada a um número adimensional, chamado de número de
Biot. Como exemplo consideremos uma aleta de seção transversal circular. Sabemos, para
40
esta geometria, que Ac=πD
2
/ 4 e p=πD . Introduzindo estas equações na relação 3.8 e
trabalhando um pouco a expressão se obtém:
hD
k
<< 1 . (3.9)
O termo à esquerda da Inequação 3.9 é uma quantidade adimensional que recebe o
nome de número de Biot. O número de Biot, fisicamente, representa a relação entre a taxa de
transferência de calor por convecção e a taxa de transferência de calor por condução. Mais
formalmente o número de Biot é definido como:
Bi=
hL
k
, (3.10)
sendo L uma dimensão característica do corpo em estudo.
Para concluir a seção, podemos dizer que haverá condução unidimensional em uma
dada direção se o número de Biot, calculado com uma dimensão característica perpendicular a
esta direção for significativamente menor que a unidade.
Aleta Longa
Para se determinar as constantes da Equação 3.6 são necessárias duas condições de
contorno. Considere uma aleta suficientemente longa para que:
x    T  T. (3.11)
Na base da aleta impera a seguinte condição de contorno:
x = 0  T = Tb. (3.12)
Utilizando-se a transformação definida pela Equação 3.3, as condições de contorno
definidas pelas Equações 3.11 e 3.12 tornam-se, respectivamente,
x     = 0, (3.13)
e
x = 0   = Tb - T = b. (3.14)
Aplicando-se as condições de contorno definidas pelas Equações 3.13 e 3.14 na
Equação 3.6, obtém-se C1 = b e C2 = 0. Assim, a equação para a distribuição das
temperaturas ao longo da aleta longa será dada por:
θ ( x )=θb e
−mx . (3.15)
Em termos da variável primitiva para a temperatura, T(x), a Equação 3.15 pode ser
reescrita como:
T ( x)=T ∞+ (T b−T ∞)e
−mx
. (3.16)
41
As equações 3.15 e 3.16 dizem que, para uma aleta suficientemente longa, a
temperatura decai exponencialmente, tendendo a igualar-se à temperatura do meio na sua
extremidade. Nesse ponto, uma questão pertinente que se impõe é a seguinte. Qual o
comprimento