Geometria Analítica e Álgebra Vetorial AV1 Vic

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Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
AV I PRESENCIAL NOTA: 9,00
1. As elipses são consideradas curvas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo com relação a sua base. Esta curva possui várias aplicações, em especial, podemos destacar sua presença nos cálculos de astronomia, pois os astros, muitas vezes, descrevem trajetórias elípticas em seu movimento. Baseado nisto, imagine uma elipse cujos focos são os pontos (2,0) e (-2,0) e a sua excentricidade tem valor 2/3. Determine sua equação, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Somente a opção I está correta.
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção III está correta.
Somente a opção II está correta.
2. No aprendizado da Álgebra Linear, aprendemos que um sistema de equações pode ser representado na forma de uma matriz. Os coeficientes das incógnitas serão os elementos da matriz que ocuparão as linhas e as colunas de acordo com o posicionamento dos termos no sistema. Baseado no sistema a seguir, que se encontra na forma matricial e na forma original, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conjunto da solução dele:
S = {5,2}.
S = {2,5}.
S = {1,3}.
S = {0,4}.
3. No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
F - V - F - V.
F - F - V - V.
V - F - F - F.
V - F - V - V.
4. A elipse E, representada a seguir, está centrada na origem e seus eixos estão sobre os eixos x e y.
Somente a opção II está correta.
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção III está correta.
Somente a opção I está correta.
5. No estudo da equação reduzida da circunferência, vimos uma expressão em que os pontos do centro da circunferência estão explicitados. Desta forma, podemos destacar seu centro e raio de maneira imediata. Assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta as coordenadas do centro e do raio da circunferência x² + (y + 7)² = 1:
C (1, 7) e R = -1/7.
C (0,-7) e R = 1.
C (1,-7) e R = 1/7.
C (0,7) e R = 1.
6. Uma das aplicações do processo de análise vetorial em Geometria Analítica é o comportamento de figuras espaciais. Com base na figura a seguir, determine a equação paramétrica da reta que passa por A e B e assinale a alternativa CORRETA:
Somente a opção I está correta.
Somente a opção II está correta.
Somente a opção III está correta.
Somente a opção IV está correta.
7. Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
As opções III e IV estão corretas.
As opções II e III estão corretas.
As opções I e II estão corretas.
Somente a opção IV está correta.
8. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
V - V - V - F.
F - V - V - F.
V - F - V - F.
V - V - F - F.
9. Uma reta r passa pelo ponto P(3,2) e pelo ponto que representa o centro da circunferência de equação (x-2)² + ( x + 3)² = 9. Baseado nisto, acerca da equação desta reta, analise as opções a seguir:
I- 5x - 2y -11 = 0.
II- 5x - y - 13 = 0.
III- x + 5y - 13 = 0.
IV- 5x - 5y -5 = 0.
Assinale a alternativa CORRETA:
Somente a opção III está correta.
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção II está correta.
Somente a opção I está correta.
10. Ao definir lugar geométrico em matemática, imaginamos que seja uma figura ligada a todos os seus pontos que possuem uma determinada propriedade. Conhecemos uma diversidade de figuras que podem ser relacionadas com lugares geométricos. Baseado nisso, o lugar geométrico dos pontos de coordenadas (x; y), tais que y² + (x - 1)² = 4, é:
Uma circunferência.
Uma hipérbole.
Um ponto que não é a origem.
Duas retas concorrentes.
11. As rotas de dois aviões A e B são lineares e dadas, respectivamente, pelas retas r1 e r2, descritas a seguir. Com base no exposto, analise as seguintes opções:
I- As retas r1 e r2 são concorrentes, e os aviões podem se chocar.
II- As retas r1 e r2 são coincidentes, e os aviões podem se chocar.
III- As retas r1 e r2 são paralelas, e os aviões não se chocam.
IV- O ponto P(3, 1, 4) pertence às r1 e r2, e é o ponto em que os aviões se chocarão.
Assinale a alternativa CORRETA:
Somente a opção II está correta.
Somente a opção III está correta.
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção I está correta.
12. Uma das principais aplicações do vértice de uma parábola é o fato de ele determinar pontos de máximos e mínimos de funções. Sendo assim, o vértice da parábola y = 2x² - 4x + 5 é o ponto:
(1, -3).
(1, 3).
(2, 5).
(3, 1).
13. Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos ângulos agudos, analise as opções a seguir:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
Assinale a alternativa CORRETA:
As opções I e IV estão corretas.
Somente a opção II está correta.
As opções III e V estão corretas.
As opções I, III e IV estão corretas.
14. A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, assinale a alternativa CORRETA:
AE.
AB.
AD.
AC.
15. Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Cada uma destas situações poderá representar (ou modelar) alguma situação prática que necessite a utilização das matrizes para sua resolução. Baseado nisto, dada a matriz a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo a23:
6.
20.
10.
5.
16. Uma reta em seu estudo vetorial pode ser determinada por um vetor que chamamos de vetor diretor e um ponto de referência. Com estes elementos, podemos detectar a posição da reta no plano e no espaço. Sobre a equaçãodo plano que tem a direção de v = (1,2) e passa por A (-1,3), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Sua equação paramétrica é x = -1 + t e y = 3 + 2t.
( ) Sua forma reduzida é y = 2x + 5.
( ) Sua equação paramétrica é x = 1 - t e y = 2 + 3t.
( ) Sua forma reduzida é y = -3x + 5.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
V - F - V - V.
F - F - V - V.
F - F - F - V.
V - V - F - F.
17. Ao analisar vetorialmente o conceito de reta em um plano ou no espaço, devemos conhecer a direção que esta dada reta terá. Esta direção é determinada por um vetor diretor. Assim, os vetores diretores das retas a seguir são, respectivamente:
(2,7,0) e (-3,1,1).
(-3,1,1) e (2,7,0).
(-2,0,3) e (0,6,-1).  
(-1,1,-2) e (2,1,1).