ALGEBRA LINEAR

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ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
Ensino à Distância 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Rua Comandante Augusto Cardoso n˚ 135 
 
 
 
Direitos de autor 
Este módulo não pode ser reproduzido para fins comerciais. Caso haja necessidade de reprodução 
deverá ser mantida a referência à Universidade Pedagógica e aos seus Autores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
 
Rua Comandante Augusto Cardoso, nº 135 
Telefone: 21-320860/2 
Telefone: 21 – 306720 
Fax: +258 21-322113 
 
 
Agradecimentos 
 
À COMMONWEALTH of LEARNING (COL) pela disponibilização do Template usado na produção 
dos Módulos. 
 Ao Instituto Nacional de Educação a Distância (INED) pela orientação e apoio prestados. 
 Ao Magnífico Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento pelo apoio prestado em 
todo o processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha Técnica 
 
Autor: Marcos Cherinda 
Desenho Instrucional: Suzete Buque 
Revisão Linguística: Alice Sengo 
Maquetização: Anilda Ibrahimo Khan 
Edição: Anilda Ibrahimo Khan 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância i 
 
Índice 
Visão geral 1 
Bem-vindo ao módulo de ALGEBRA LINEAR .............................................................. 1 
Objectivos do módulo ....................................................................................................... 1 
Quem deve estudar este módulo? ..................................................................................... 1 
Como está estruturado este módulo? ................................................................................ 2 
Ícones de actividade .......................................................................................................... 3 
Habilidades de estudo ....................................................................................................... 5 
Precisa de apoio? .............................................................................................................. 5 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) ................................................................................. 6 
Avaliação .......................................................................................................................... 7 
Unidade 1 8 
Matrizes e Determinantes ................................................................................................. 8 
Introdução ................................................................................................................ 8 
Lição nº 1 9 
Matrizes. Tipos de Matrizes .............................................................................................. 9 
Introdução ................................................................................................................ 9 
Sumário ........................................................................................................................... 13 
Exercícios ........................................................................................................................ 14 
Feedback ......................................................................................................................... 14 
Lição nº 2 15 
Operações com Matrizes ................................................................................................. 15 
Introdução .............................................................................................................. 15 
Sumário ........................................................................................................................... 18 
Exercícios ........................................................................................................................ 19 
Feedback ......................................................................................................................... 19 
Lição nº 3 20 
Determinantes ................................................................................................................. 20 
Introdução .............................................................................................................. 20 
Sumário ........................................................................................................................... 26 
Exercícios ........................................................................................................................ 27 
Feedback ......................................................................................................................... 27 
Lição nº 4 28 
Cálculo de Determinantes ............................................................................................... 28 
Introdução .............................................................................................................. 28 
ii Índice 
 
Sumário ........................................................................................................................... 32 
Exercícios ........................................................................................................................ 33 
Feedback ......................................................................................................................... 33 
Lição nº 5 34 
Propriedade dos Determinantes ...................................................................................... 34 
Introdução .............................................................................................................. 34 
Sumário ........................................................................................................................... 38 
Exercícios ........................................................................................................................ 39 
Feedback ......................................................................................................................... 40 
Lição nº 6 41 
Revisão da Unidade 1 ..................................................................................................... 41 
Introdução .............................................................................................................. 41 
Exercícios de revisão ...................................................................................................... 42 
Feedback ......................................................................................................................... 44 
Unidade 2 45 
Sistema de Equações Lineares ........................................................................................ 45 
Introdução .............................................................................................................. 45 
Lição nº 7 46 
Resolução de Sistemas de Equações. Método de Crámer .............................................. 46 
Introdução .............................................................................................................. 46 
Sumário ........................................................................................................................... 51 
Exercícios ........................................................................................................................ 52 
Feedback ......................................................................................................................... 53 
Lição nº 8 54 
Resolução de sistemas de equações. Método de Gauss .................................................. 54 
Introdução .............................................................................................................. 54 
Sumário ........................................................................................................................... 61 
Exercícios ........................................................................................................................ 62 
Feedback .........................................................................................................................62 
Lição nº 9 63 
Discussão de Sistemas de Equações Lineares ................................................................ 63 
Introdução .............................................................................................................. 63 
Sumário ........................................................................................................................... 68 
Exercícios ........................................................................................................................ 69 
Feedback ......................................................................................................................... 69 
Lição nº 10 70 
Revisão da Unidade 2 ..................................................................................................... 70 
Introdução .............................................................................................................. 70 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância iii 
 
Exercícios de revisão ...................................................................................................... 72 
Feedback ......................................................................................................................... 73 
Unidade 3 74 
Espaços Vectoriais .......................................................................................................... 74 
Introdução .............................................................................................................. 74 
Lição nº 11 75 
Espaço Vectorial Real ..................................................................................................... 75 
Introdução .............................................................................................................. 75 
Sumário ........................................................................................................................... 79 
Exercícios ........................................................................................................................ 81 
Feedback ......................................................................................................................... 81 
Lição nº 12 82 
Operações Básicas de Vectores ...................................................................................... 82 
Introdução .............................................................................................................. 82 
Sumário ........................................................................................................................... 87 
Exercícios ........................................................................................................................ 88 
Feedback ......................................................................................................................... 88 
Lição nº 13 89 
Combinação Linear de Vectores ..................................................................................... 89 
Introdução .............................................................................................................. 89 
Sumário ........................................................................................................................... 92 
Exercícios ........................................................................................................................ 93 
Feedback ......................................................................................................................... 93 
Lição nº 14 94 
Produto Escalar ............................................................................................................... 94 
Introdução .............................................................................................................. 94 
Sumário ........................................................................................................................... 98 
Exercícios ...................................................................................................................... 100 
Feedback ....................................................................................................................... 100 
Lição nº 15 101 
Produto Vectorial .......................................................................................................... 101 
Introdução ............................................................................................................ 101 
Sumário ......................................................................................................................... 105 
Exercícios ...................................................................................................................... 106 
Feedback ....................................................................................................................... 106 
Lição nº 16 107 
Produto Misto ............................................................................................................... 107 
Introdução ............................................................................................................ 107 
iv Índice 
 
Sumário ......................................................................................................................... 110 
Exercícios ...................................................................................................................... 111 
Feedback ....................................................................................................................... 111 
Lição nº 17 112 
Revisão da Unidade 3 ................................................................................................... 112 
Introdução ............................................................................................................ 112 
Exercícios de revisão .................................................................................................... 114 
Feedback ....................................................................................................................... 115 
Unidade 4 116 
Aplicações de Álgebra Linear na Geometria Analítica ................................................ 116 
Introdução ............................................................................................................ 116 
Lição nº 18 117 
Produto Misto ............................................................................................................... 117 
Introdução ............................................................................................................ 117 
Sumário ......................................................................................................................... 121 
Exercícios ...................................................................................................................... 122 
Feedback ....................................................................................................................... 122 
Lição nº 19 123 
Equações da recta no plano ........................................................................................... 123 
Introdução ............................................................................................................ 123 
Sumário ......................................................................................................................... 127 
Exercícios ...................................................................................................................... 128 
Feedback ....................................................................................................................... 128 
Lição nº 20 129 
Equações da recta no plano ........................................................................................... 129 
Introdução ............................................................................................................ 129 
Sumário .........................................................................................................................132 
Exercícios ...................................................................................................................... 133 
Feedback ....................................................................................................................... 133 
Lição nº 21 134 
Recta em R3 .................................................................................................................. 134 
Introdução ............................................................................................................ 134 
Sumário ......................................................................................................................... 141 
Exercícios ...................................................................................................................... 143 
Feedback ....................................................................................................................... 143 
Lição nº 22 144 
Equações do plano ........................................................................................................ 144 
Introdução ............................................................................................................ 144 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância v 
 
Sumário ......................................................................................................................... 150 
Exercícios ...................................................................................................................... 151 
Feedback ....................................................................................................................... 152 
Lição nº 23 153 
Cónicas. Linhas de 2ª Ordem ........................................................................................ 153 
Introdução ............................................................................................................ 153 
Sumário ......................................................................................................................... 157 
Exercícios ...................................................................................................................... 159 
Feedback ....................................................................................................................... 159 
Lição nº 24 160 
Parábola ........................................................................................................................ 160 
Introdução ............................................................................................................ 160 
Sumário ......................................................................................................................... 165 
Exercícios ...................................................................................................................... 166 
Feedback ....................................................................................................................... 166 
Lição nº 25 167 
Hipérbole ...................................................................................................................... 167 
Introdução ............................................................................................................ 167 
Sumário ......................................................................................................................... 173 
Exercícios ...................................................................................................................... 175 
Feedback ....................................................................................................................... 175 
Lição nº 26 176 
Mudança de base. Valores e vectores próprios ............................................................. 176 
Introdução ............................................................................................................ 176 
Sumário ......................................................................................................................... 183 
Exercícios ...................................................................................................................... 184 
Feedback ....................................................................................................................... 184 
Lição nº 27 185 
Superfícies de 2ª Ordem (Quadráticas) ........................................................................ 185 
Introdução ............................................................................................................ 185 
Sumário ......................................................................................................................... 189 
Exercícios ...................................................................................................................... 190 
Feedback ....................................................................................................................... 190 
Lição nº 28 191 
Parabolóide ................................................................................................................... 191 
Introdução ............................................................................................................ 191 
vi Índice 
 
Sumário ......................................................................................................................... 193 
Exercícios ...................................................................................................................... 194 
Feedback ....................................................................................................................... 194 
Lição nº 29 195 
Hiperbolóide ................................................................................................................. 195 
Introdução ............................................................................................................ 195 
Sumário ......................................................................................................................... 197 
Exercícios ...................................................................................................................... 198 
Feedback ....................................................................................................................... 198 
Lição nº 30 199 
Revisão Geral ................................................................................................................ 199 
Bibliográfia ................................................................................................................... 200 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 1 
 
Visão geral 
Bem-vindo ao módulo de 
ALGEBRA LINEAR 
Caro estudante, o estudo da Álgebra Linear que você vai iniciar tem em 
vista a criação de uma base matemática sólida para o curso de Física. Na 
Física o conceito de “vector” é deveras fundamental para o estudo de 
muitas grandezas, grandezas essas que para além de sua magnitude, são 
caracterizadas por uma orientação (direcção e sentido), como é por 
exemplo, a força, nos seus diferentes campos de existência. 
Com o tratamento deste modulo, você estará habilitado a iniciar e 
desenvolver o curso de Física com segurança e facilidade. 
 
Objectivos do módulo 
Quando terminar o estudo de Álgebra Linear você será capaz de: 
 
Objectivos 
• Apresentar e interpretar os conceitos básicos sobre espaço 
vectorial; 
• Formular e demonstrar as propriedades fundamentais do espaço 
vectorial sobre o corpo dos números reais; 
• Aplicar conhecimentos da Álgebra Linear na resolução de 
problemas de Física escolar. 
 
Quem deve estudar este módulo? 
Este Módulo destina-se à formação de professores em exercício que 
possuem a 12a classe ou equivalente e inscritos no Curso à Distância, 
fornecido pela Universidade Pedagógica. 
 
 
2 Visão geral 
 
Como está estruturado este 
módulo? 
Todos os módulos dos cursos produzidospela Universidade Pedagógica 
encontram-se estruturados da seguinte maneira: 
Páginas introdutórias 
Um índice completo. 
Uma visão geral detalhada do curso / módulo, resumindo os aspectos-
chave que você precisa conhecer para completar o estudo. 
Recomendamos vivamente que leia esta secção com atenção antes de 
começar o seu estudo. 
Conteúdo do curso / módulo 
O curso está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma 
introdução, objectivos, conteúdo, incluindo actividades de 
aprendizagem, um sumário e uma ou mais actividades para auto-
avaliação. 
O Módulo de Álgebra Linear para o curso de Física compreende quatro 
unidades, nomeadamente: (1) Matrizes e Determinantes; (2) Sistemas de 
equações Lineares; (3) Espaços Vectoriais; (4) Aplicação da Álgebra 
Linear na Geometria Analítica. 
Na unidade sobre Matrizes e Determinantes, você deverá fazer o estudo 
de matrizes concentrando a atenção nas questões práticas das operações 
básicas (adição e multiplicação de matreizes). Uma das características 
muito importante de uma matriz, é o seu determinante. O estudo de 
determinantes vai compreender as suas propriedades e o seu cálculo 
atendendo diferentes métodos. Esta unidade tem como objectivo preparar 
conhecimentos e habilidades que serão necessários para todas as unidades 
subsequentes. 
A unidade sobre Sistemas de Equações Lineares vai tratar de estender os 
conhecimentos que você já teve no estudo desta matéria nos níveis do 
ensino secundário. De facto, no estudo de sistemas de equações lineares 
vai-se estender o número de equações e de variáveis para três, e para o 
caso geral de n-equações e n-variáveis. Usando os conhecimentos da 
unidade anterior sobre matrizes e determinantes, você vai aplicar a forma 
matricial nos vários métodos de resolução de sistemas lineares. 
Na unidade sobre Espaços Vectoriais, você vai iniciar com um breve 
tratamento axiomático do espaço vectorial sobre o corpo dos números 
reais. Pretende-se com isso que você conheça as regras das operações 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 3 
 
 
neste espaço que lhe vão permitir trabalhar os problemas a serem 
colocados sobre grandezas vectoriais. Interessa neste estágio que você 
faça as operações básicas sobre vectores, quer algebricamente, quer 
geometricamente. Como foi referido num parágrafo acima, é importante 
que você desenvolva capaciadades algébricas bem como geométricas 
para melhor compreender os problemas da Física. 
Na unidade da Aplicação da Álgebra Linear na Geometria Analítica você 
deverá colocar os conhecimentos e habilidades adquiridos nas unidades 
anteriores, na resolução de exercícios e problemas de geometria. A 
geometria é a área da matemática que mais lida com o tratamento dos 
conceitos que você vai estudar neste curso de Física. As estratégias a usar 
na resolução de problemas deverá integrar fundamentalmente duas 
formas de raciocínio – algébrico e geométrico. Assim, recomenda-se que 
para cada exercício, a interpretação que você fizer deve ser acompanhada 
de gráficos, esboços, para além das expressões algébricas. 
Outros recursos 
Se você está interessado em aprender mais, preste atenção a lista de 
recursos adicionais para e explore-os. Estes recursos podem incluir livros, 
artigos ou sites na Internet. 
Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação 
As tarefas de avaliação para este módulo encontram-se no final de cada 
unidade. Sempre que necessário, dão-se folhas individuais para 
desenvolver as tarefas, assim como instruções para as completar. Estes 
elementos encontram-se no final do modulo. 
Comentários e sugestões 
Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários 
sobre a estrutura e o conteúdo do módulo. Os seus comentários serão 
úteis para nos ajudar a avaliar e melhorar este módulo. 
 
 
 
Ícones de actividade 
Ao longo deste manual você irá encontrar uma série de ícones nas margens 
das folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do 
processo de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica do texto, 
uma nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
4 Visão geral 
 
Acerca dos ícones 
Os ícones usados neste manual são símbolos africanos, conhecidos por 
adrinka. Estes símbolos têm origem no povo Ashante de África Ocidental, 
datam do século 17 e ainda se usam hoje em dia. 
Os ícones incluídos neste manual são... (ícones a ser enviados - para efeitos 
de testagem deste modelo, reproduziram-se os ícones adrinka, mas foi-lhes 
dada uma sombra amarela para os distinguir dos originais). 
Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada um 
com uma descrição do seu significado e da forma como nós interpretámos 
esse significado para representar as várias actividades ao longo deste curso / 
módulo. 
 
Comprometimento/
perseverança 
Actividade 
 
Resistência, 
perseverança 
Auto-avaliação 
 
“Qualidade do 
trabalho” 
(excelência/ 
autenticidade) 
Avaliação / 
Teste 
 
“Aprender através 
da experiência” 
Exemplo / 
Estudo de caso 
 
Paz/harmonia 
Debate 
 
Unidade/relações 
humanas 
Actividade de 
grupo 
 
Vigilância / 
preocupação 
Tome Nota! 
 
“Eu mudo ou 
transformo a minha 
vida” 
Objectivos 
 
[Ajuda-me] deixa-
me ajudar-te” 
Leitura 
 
“Pronto a enfrentar 
as vicissitudes da 
vida” 
 
(fortitude / 
preparação) 
Reflexão 
 
“Nó da sabedoria” 
Terminologia 
 
Apoio / 
encorajamento 
Dica 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 5 
 
Habilidades de estudo 
Caro estudante! 
Para frequentar com sucesso este módulo terá que buscar através de uma 
leitura cuidadosa das fontes de consulta a maior parte da informação ligada 
ao assunto abordado. Para o efeito, no fim de cada unidade apresenta-se 
uma sugestão de livros para leitura complementar. 
Antes de resolver qualquer tarefa ou problema, o estudante deve certificar-
se de ter compreendido a questão colocada; 
É importante questionar se as informações colhidas na literatura são 
relevantes para a abordagem do assunto ou resolução de problemas; 
Sempre que possível, deve fazer uma sistematização das ideias apresentadas 
no texto. 
Desejamos-lhe muitos sucessos! 
 
Precisa de apoio? 
Dúvidas e problemas são comuns ao longo de qualquer estudo. Em caso de 
dúvida numa matéria tente consultar os manuais sugeridos no fim da lição e 
disponíveis nos centros de ensino a distância (EAD) mais próximos. Se 
tiver dúvidas na resolução de algum exercício, procure estudar os exemplos 
semelhantes apresentados no manual. Se a dúvida persistir, consulte a 
orientação que aperece no fim dos exercícios. Se a dúvida persistir, veja a 
resolução do exercício. 
Sempre que julgar pertinente, pode consultar o tutor que está à sua 
disposição no centro de EAD mais próximo. 
Não se esqueça de consultar também colegas da escola que tenham feito a 
cadeira de Álgebra Linear, vizinhos e até estudantes de universidades que 
6 Visão geral 
 
vivam na sua zona e tenham ou estejam a fazer cadeiras relacionadas com 
Algebra Linear. 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) 
 
Ao longo deste módulo irá encontrar várias tarefas que acompanham o seu 
estudo. Tente sempre solucioná-las. Consulte a resolução para confrontar o 
seu método e a solução apresentada. O estudante deve promover o hábito de 
pesquisa e a capacidade de selecção de fontes de informação, tanto na 
internet como em livros. Consulte manuais disponíveis e referenciados no 
fim de cada lição para obter mais informações acerca do conteúdo que 
esteja a estudar. Se usar livros de outros autores ou parte deles na 
elaboração de algum trabalho deverá citá-los e indicar estes livros na 
bibliografia. Não se esqueça que usar um conteúdo, livro ou parte do livro 
em algum trabalho, sem referenciá-lo é plágio e pode ser penalizado por 
isso. As citações e referências são uma forma de reconhecimento e respeito 
pelo pensamento de outros. Estamos cientes de que o estimado estudante 
não gostaria dever uma ideia sua ser usada sem que fosse referenciado, não 
é? 
Na medida de possível, procurar alargar competências relacionadas com o 
conhecimento científico, as quais exigem um desenvolvimento de 
competências, como auto-controle da sua aprendizagem. 
As tarefas colocadas nas actividades de avaliação e de auto-avaliação 
deverão ser realizadas num caderno à parte ou em folha de formato A4. 
 
 
 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 7 
 
Avaliação 
O Módulo de Álgebra Linear terá dois testes e um exame final que deverá 
ser feito no Centro de Recursos mais próximo, ou em local a ser indicado 
pela administração do curso. O calendário das avaliações será também 
apresentado oportunamente. 
A avaliação visa não só informar-nos sobre o seu desempenho nas lições, 
mas também estimular-lhe a rever alguns aspectos e a seguir em frente. 
Durante o estudo deste módulo o estudante será avaliado com base na 
realização de actividades e tarefas de auto-avaliação previstas em cada 
Unidade, dois testes escritos, um exame. 
 
 
 
 
 
8 Unidade 1 
 
 Unidade 1 
Matrizes e Determinantes 
Introdução 
Caro estudante, você vai iniciar o estudo da Álgebra Linear aprendendo 
conceitos básicos sobre matrizes e determinantes. Esta unidade é composta 
por dois temas: O primeiro tema é sobre matrizes, sua classificação, e 
operações. O segundo tema é sobre determinantes, suas propriedades, seu 
cálculo sobre matrizes quadradas de qualquer ordem. 
 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
Unidade: 03:00 Horas 
 
Esta Unidade tem cinco lições, estando previsto para cada uma delas um 
tempo de estudo de 3 horas. Este número de horas é um indicativo para 
você para lhe ajudar a gerir melhor o seu tempo; é considerado suficiente 
para você conseguir atingir os objectivos definidos no início de cada 
lição. Todavia, pode ser que você leve menos tempo numa lição e mais 
tempo noutra, não há nenhum problema, desde que consiga apreender os 
conteúdos definidos. 
 
 
 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 9 
 
Lição nº 1 
Matrizes. Tipos de Matrizes 
Introdução 
O estudo de matrizes tem muita importância para o curso de Física que 
você vai frequentar. O tema constitui uma ferramenta matemática para o 
estudo de várias áreas da ciência e da tecnologia. 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 03:00 Horas 
Para completar o estudo desta lição você necessitará de cerca de três 
horas. 
 
Ao completar esta lição, deverá ser capaz de: 
 
Objectivo 
 Definir matriz; 
 Classificar matrizes. 
 
 
Terminologia 
Nesta lição, você deverá prestar muita atenção aos seguintes termos e 
conceitos: 
− Matriz; linha, coluna, elementos, índices 
− Dimensões/ordem 
− Matriz transposta 
− Matriz quadrada, diagonal de uma matriz 
− Matriz identidade 
− Matriz simétrica 
 
10 Lição nº 1 
 
Na matemática, uma matriz é um tabela de m x n símbolos sobre um corpo 
F, representada sob a forma de um quadro com m linhas e n colunas e 
utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de equações 
lineares e transformações lineares. 
 
 
 
Notações 
As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais 
são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada 
de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas 
dimensões. 
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna 
é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como 
Ai,j ou A[i,j]. 
Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada 
de vector. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vector 
linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1 (uma coluna e m linhas) é 
chamada de vector coluna ou matriz coluna. 
Veja o seguinte exemplo: 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 11 
 
 
Exemplo 
 
A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2x3 com elementos naturais. 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
654
321
A 
 
Neste exemplo, o elemento a12 é 2, o número na primeira linha e segunda 
coluna do quadro. 
 
De forma geral, numa matriz A de ordem m x n, o elemento aij é o símbolo 
na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:. 
 
 
 
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de 
acordo com seus índices i e j. 
Veja o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 
 
Por exemplo, aij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz A de 
ordem 3x2: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
54
43
32
A . 
 
Algumas definições 
A transposta de uma matriz Am x n é a matriz Atn x m em que ji
t
ij aa = . 
Veja o seguinte exemplo: 
12 Lição nº 1 
 
 
Exemplo 
Para ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
654
321
A , teremos
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
63
52
41
tA 
 
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas. 
Numa matriz quadrada A de ordem n x n, chama-se de diagonal principal 
os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n. 
 
 
Actividade 1 
 
Apresente a diagonal principal desta matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
720
165
431
 
Olhando para os elementos a11, a22, e a33, temos que os elemento da 
diagonal principal são 1, 6 e 7. 
 
A matriz identidade In é a matriz quadrada n x n que tem todos os 
membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. 
Veja o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 
Matriz identidade de ordem 2x2: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10
01
2I . 
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de 
ordem 1: [ ]11 =I . 
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes 
quadradas. Assim, uma matriz quadrada A[i,j]. é simétrica se jiij aa = para 
todos os valores de i e j. 
Veja o seguinte exemplo: 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 13 
 
 
Exemplo 
A matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
653
542
321
A é simétrica, pois 22112 == aa , 
33113 == aa , 53223 −== aa e, consequentemente, A = A
t. 
 
Sumário 
− Uma matriz é um tabela de m x n símbolos, representada sob a forma 
de um quadro com m linhas e n colunas. 
 
− As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas 
verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n 
colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são 
chamadas de suas dimensões. 
 
− A transposta de uma matriz Am x n é a matriz Atn x m em que ji
t
ij aa = . 
− Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e 
colunas. Numa matriz quadrada A de ordem n x n, chama-se de 
diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n. 
− A matriz identidade In é a matriz quadrada n x n que tem todos os 
membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. 
− Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes 
quadradas. Assim, uma matriz quadrada A[i,j]. é simétrica se jiij aa = 
para todos os valores de i e j. 
 
14 Lição nº 1 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 1 
Dada a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
142
504
312
A 
1. Qual é a ordem (ou dimensão) da matriz A? 
2. Apresente a matiz transposta de A. 
3. Quais são os elementos da diagonal principal da matriz A? 
4. Será 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
100
110
001
B uma matriz identidade? Porquê? 
5. Quais são os valores de x e de y para que a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
41
352
21
y
x
C seja simétrica. 
 
Feedback 
Soluções: 
1. A ordem é 3x3 
2. 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
153
401
242
tA 
3. 2, 0, 1 
4. Não. Porque o elemento 023 ≠b 
5. 1=x , 3−=y 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 15 
 
Lição nº 2 
Operações com Matrizes 
Introdução 
 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 03:00 Horas 
Para completar o estudo desta lição você necessitará de cerca de três 
horas. 
 
O estudo das operações com matrizes tem importância para todos os temas 
das unidades que se seguem. Deste modo, é deveras necessário que você 
domine estas operações para não ter dificuldades em resolver quaisquer 
exercícios e problemas que involvam esteconhecimento. 
Ao completar esta lição, deverá ser capaz de: 
 
Objectivo 
 Multiplicar uma matriz por um escalar; 
 Adicionar e subtrair matrizes; 
 Multiplicar matrizes. 
 
 
Terminologia 
Nesta lição sobre operações com matrizes você deverá prestar maior 
atenção aos seguintes termos e conceitos fundamentais: 
− Multiplicação por um escalar 
− Adição e subtracção de matrizes 
− Multiplicação de matrizes 
 
16 Lição nº 2 
 
Nas operações com matrizes, não se define adição ou subtracção de um 
número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes. 
Vamos então ver as operações que são definidas e com elas se processam: 
Multiplicação por um escalar 
A multiplicação é uma das operações mais simples que podem ser feitas 
com matrizes. Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n x m 
A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B 
será também n x m e bij = k.aij. Com isso, pode-se pensar também na noção 
de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso 
desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação 
entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não 
vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz. 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
Considerando a matriz ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
524
381
A e o escalar k =2, temos: 
 
 
 
 
Actividade 2 
Dada a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
034
212
531
M multiplique-a por 2−=k . 
O produto será 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
=
068
424
1062
kM 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 17 
 
Adição e subtracção de matrizes 
Dadas as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n 
computada adicionando os elementos correspondentes: 
(A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j]. 
Veja o seguinte exemplo de adição: 
 
Exemplo 
 
 
 
 
Actividade 3 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
110
425
313
325
310
741
 
O resultado será: 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
235
715
434
 
 
Multiplicação de Matrizes 
Multiplicação de duas matrizes é definida apenas se o número de colunas da 
matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é 
uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a 
matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por: 
(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j] 
para cada par i e j. 
Veja o seguinte exemplo de multiplicação: 
18 Lição nº 2 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
Actividade 4 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
42
12
35
541
332
 
Resposta: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−
277
32
 
 
 
 
Tome Nota! 
É importante notar que a comutatividade não é geralmente garantida, isto 
é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente 
AB ≠ BA. 
A multiplicação de matrizes é possível para uma matriz A m por n e com 
uma matriz B k por m ("distribuição à esquerda"). 
 
Sumário 
− Multiplicação por um escalar: para multiplicar um número k qualquer 
por uma matriz n x m A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. 
− Adição e subtracção de matrizes: dadas as matrizes A e B do tipo m 
por n, sua soma A + B é a matriz m por n calculada, adicionando os 
elementos correspondentes: (A+B)[i,j]=A[i, j]+B[i,j]. 
− Multiplicação de matrizes: se A é uma matriz m por n e B é uma 
matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p 
colunas) dada por: (AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j] 
para cada par i, j. 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 19 
 
− A multiplicação de matrizes é possível para uma matriz A m por n e 
com uma matriz B k por m ("distribuição à esquerda"). 
− A comutatividade na multiplicação de matrizes não é geralmente 
garantida, isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, 
então, geralmente AB ≠ BA. 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 2 
Considere as matrizes ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
04
12
M , ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
51
03
N , 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
124
231
Q 
1. Dado 3−=k , determine kM. 
2. Determine, se possível, M+2N. 
3. Determine MQ. 
4. Determine QN. 
 
Feedback 
Solução: 
1. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
012
36
kM 
2. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=+
106
18
2NM 
3. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
8124
386
MQ 
4. Não é possível. 
20 Lição nº 3 
 
Lição nº 3 
Determinantes 
Introdução 
Determinantes constituem uma característica fundamental de uma matriz. 
Nesta lição você irá aprender a calcular determinate de matrizes de ordem 
três e de ordem superior a três. 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 03:00 Horas 
Para completar o estudo desta lição você necessitará de cerca de três 
horas. 
 
Ao completar esta lição, deverá ser capaz de: 
 
Objectivo 
 Representar determinante de uma matriz; 
 Determinar o menor complementar relativo a um elemento; 
 Determinar o co-factor relativo a um elemento. 
 
 
Terminologia 
Nesta lição sobre determinantes você deverá prestar maior atenção aos 
seguintes termos e conceitos: 
− Determinante 
− Existência e unicidade 
− Representação 
− Menor complementar 
− Co-factor 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 21 
 
Em Álgebra Linear, o determinante de uma matriz quadrada é uma função 
que associa cada matriz a um escalar, satisfazendo as seguintes 
propriedades: 
o determinante da matriz identidade é 1; 
o determinante troca de sinal se duas linhas ou colunas forem trocadas; 
o determinante não é alterado se uma linha ou coluna for substituída por 
essa mesma linha, ou coluna somada a uma combinação linear das outras 
linhas. 
 
Existência e unicidade 
Pode-se provar que existe uma única função que satisfaz as propriedades 
acima. 
Representação 
Representamos o determinante de uma matriz através de duas barras 
verticais. Deste modo, se a matriz A é dada por 
}{ , jiaA = 
então representamos o seu determinante por 
det(A) ou A 
Determinante de uma matriz de primeira ordem 
O determinante da matriz A de ordem 1, é o próprio número que origina a 
matriz. Por exemplo: A = {3}, então det (A) = 3 
Determinante de matriz de segunda ordem 
Para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem basta 
subtrairmos o produto da diagonal secundária, do produto da diagonal 
principal. 
Veja o seguinte exemplo: 
22 Lição nº 3 
 
 
 
Exemplo 
O determinante da matriz 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−12
10
 
é dado por: 0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2. 
 
 
 
Actividade 5 
Calcule o determinante das seguintes matrizes de 2ª ordem: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
41
32
 O resultado é 5. 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1log
log1
b
a
a
b O resultado é 0. 
Antes de passarmos para o cálculo de determinante de matriz de terceira 
ordem, vamos conhecer dois conceitos importantes, nomeadamente, o 
conceito de menor complementar e de co-factor. 
 
Menor complementar 
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma 
matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, 
associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que 
passam por aij . 
Veja como determiná-lo pelo exemplo a seguir: 
 
 
Exemplo 
 
Dada a matriz 
 
 
de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento 
a11 (MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1: 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 23 
 
 
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é: 
 
 
Actividade 6 
1. Achar o menor complementar relativo ao elemento a21 da matriz 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
31
75
 
Resposta: 721 −=MC 
Considerando a matriz ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
24
13
A , o menor complementar relativo ao 
elelmento a11 é 2. 
Sendo uma matriz de terceira ordem, veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Considere a matriz 
 
de ordem 3, temos: 
 
 
24 Lição nº 3 
 
2. Considerando a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
425
321
432
A , apresente o menor 
complementar relativo ao elelmento a21. 
A resposta é:20)42(43
42
43
21 −=⋅−⋅−=
−
=MC . 
 
Co-factor 
Chamamos de co-factor ou complemento algébrico relativo a um elemento 
aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . 
MCij . 
Veja: 
a) Dada a matriz 
 
os co-factores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são: 
 
 
b) Sendo a matriz 
, 
vamos calcular os co-factores A22, A23 e A31: 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 25 
 
 
 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Considerando a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
425
321
432
A , o menor complementar 
relativo ao elelmento a21 é 20)42(4342
43
21 −=⋅−⋅−=
−
=MC . 
Assim, o co-factor deste elemento a21 é 
.20)20(
42
43
)1( 21
12
21 =−−=
−
=−= + MA 
 
 
 
Actividade 7 
1. Considerando ainda a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
425
321
432
A , ache o co-factor 
relativo ao elelmento a23. 
A resposta é: 1923 −=A 
 
 
26 Lição nº 3 
 
Sumário 
− O determinante de uma matriz quadrada é uma função que associa 
cada matriz a um escalar, satisfazendo as seguintes propriedades: 
 determinante da matriz identidade é 1; 
 determinante troca de sinal se duas linhas ou colunas forem 
trocadas; 
 determinante não é alterado se uma linha ou coluna for 
substituída por essa mesma linha ou coluna somada a uma 
combinação linear das outras linhas. 
− Representação: determinante de uma matriz }{ , jiaA = é representado 
por det (A) ou A . 
− Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a 
um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o 
determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M 
quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . 
− Co-factor: Chamamos de co-factor ou complemento algébrico relativo 
a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal 
que Aij = (-1)i+j . MCij . 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 27 
 
Exercícios 
 
 
Auto-avaliação 3 
1. Ache o determinante da matriz ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
12
53
M 
2. Dada a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
251
043
312
A 
a) Apresente os menores complementares relativos aos elementos 
a11, a13, a32. 
b) Ache os co-factores da matriz A em relação aos elementos a12, 
a23, a31. 
 
Feedback 
Solução: 
 
1. 13; 
2. a) 811 =MC , 1913 =MC , 932 −=MC 
b) 612 −=A , 923 −=A , 1231 −=A 
 
 
 
28 Lição nº 4 
 
Lição nº 4 
Cálculo de Determinantes 
Introdução 
O cálculo de determinantes de matrizes é muito importante no estudo da 
Álgebra Linear. Nesta Lição você vai ampliar os seus conhecimentos sobre 
determinantes, chegando a calcular determinates de ordem superior a três. 
 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 03:00 Horas 
Para completar o estudo desta lição você necessitará de cerca de três 
horas. 
 
Ao completar esta lição, deverá ser capaz de: 
 
Objectivo 
 Achar determinante de 3ª ordem pela regra de Sarrus; 
 Achar determinante de ordem superior a 3 aplicando o Teorema de 
Laplace. 
 
 
 
Terminologia 
Nesta lição sobre cálculo de determinantes você deverá prestar maior 
atenção aos seguintes termos e conceitos: 
− Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus 
− Determinante de ordem maior a 3: Teorema de Laplace 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 29 
 
Determinante de matriz de terceira ordem 
Para calcular o determinante de matriz de terceira ordem, podemos utilizar 
um dispositivo prático chamado regra de Sarrus. 
Considere a matriz D: 
. 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal 
principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos 
das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): 
 
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal 
secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos 
das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo): 
30 Lição nº 4 
 
 
Assim: 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Achar o determinante da matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
431
250
112
 
Solução: 
431
250
112
−
− 
31
50
12
−
 = [2.5.4+1.(-2).1+1.0.(-3)] – [(1.5.1+ 
 +2.(-2)(- 3)+1.0.4] = (40-2)-(5+12) = 
 = 38-17 = 21. 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 31 
 
 
Actividade 8 
Achar o determinante da matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
341
235
312
 Solução: 40. 
Determinantes de ordem maior que 3 
Para calcularmos o determinante de matriz com ordem superior a três, 
podemos reduzir a sua ordem, utilizando o seguinte teorema: 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn )2( ≥m pode ser 
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou 
coluna) da matriz M pelos respectivos co-factores. 
Assim, fixando Nj ∈ , tal que mj ≤≤1 , temos: 
∑
=
=
m
i
ijij AaM
1
)det(
 
em que 
∑
=
m
i 1 é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até 
m, Nm∈ . 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Achar o determinante da matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
431
250
112
 
Solução: 
21)52()620(2
25
11
10
43
25
2
431
250
112
=−+−=
−
++
−
−
=
−
− 
32 Lição nº 4 
 
 
 
Actividade 9 
Achar o determinante da matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
506
617
302
 
A solução é: 8− . 
 
 
 
Sumário 
Para calcular o determinante de matriz de terceira ordem, podemos utilizar 
um dispositivo prático, chamado regra de Sarrus. 
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−++=
 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn )2( ≥m pode 
ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila 
qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos co-factores. 
Assim, fixando Nj ∈ , tal que mj ≤≤1 , temos: 
∑
=
=
m
i
ijij AaM
1
)det( 
em que ∑
=
m
i 1
é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 
1 até m, Nm∈ . 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 33 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 4 
1. Dado a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
243
352
123
A , calcule o seu determinante pela regra 
de Sarrus. 
2. Dado a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
547
010
365
B , calcule o seu determinante aplicando 
o teorema de Laplace. 
 
 
Feedback 
 
Solução: 
1. -3 
2. 4 
 
 
 
34 Lição nº 5 
 
Lição nº 5 
Propriedade dos Determinantes 
Introdução 
É importante você saber aplicar as propriedades de determinantes de 
matrizes, pois você poderá facilmente efectuar cálculos sobre 
determinantes, chegando até a calcular determinantes de ordem superior a 
três muito rapidamente. 
Repare que você não precisa decorar as propriedades! Entretanto, você vai 
conseguir retê-las na medida em que vai aplicando-as nas estratégias que 
você for a usar para calcular determinantes. 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 03:00 Horas 
 
Para completar o estudo desta lição você necessitará de cerca de três 
horas. 
 
Ao completar esta lição, deverá ser capaz de: 
 
Objectivo 
 Achar determinante de matrizes de qualquer ordem aplicando 
suas propriedades. 
 
 
Terminologia 
Nesta lição sobre cálculo de determinantes você deverá prestar maior 
atenção aos seguintes termos e conceitos: 
− Ptopriedades dos eterminantes 
− Teorema de Jacobi 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 35 
 
Propriedades dos determinantes 
Determinantes de matrizes (quadradas de ordem n) apresentam as seguintes 
propriedades: 
Propriedade 1 
Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o 
determinante dessa matriz é nulo. 
Veja os seguintes exemplos: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
Propriedade 2 
Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Veja 
o seguinte exemplo: 
 
 
ExemploPropriedade 3 
Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu 
determinante é nulo. Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
36 Lição nº 5 
 
Propriedade 4 
Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos 
elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. 
Veja os seguintes exemplos: 
 
 
Exemplos 
 
 
Propriedade 5 
Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando 
somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos 
correspondentes de filas paralelas. Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Tendo o determinante 
 
substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 
2ª, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 37 
 
Propriedade 6 
O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Veja o 
seguinte exemplo: 
 
Exemplo 
 
 
 
Propriedade 7 
Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma 
matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. 
Veja os seguintes exemplos: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
Propriedade 8 
Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de 
uma matriz muda de sinal. Veja o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 
 
 
 
38 Lição nº 5 
 
Propriedade 9 
Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diagonal principal 
são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa 
diagonal. 
Veja os seguintes exemplos: 
 
Exemplos 
 
 
Uma matriz A é invertível se e só se 
0)(det ≠A 
Pode calcular-se a inversa de uma matriz através do seu determinante e da 
matriz adjunta com a seguinte fórmula: 
)(
)det(
11 AAdj
A
A =− 
 
Sumário 
− Propriedade 1: Quando todos os elementos de uma fila (linha ou 
coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. 
− Propriedade 2: Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu 
determinante é nulo. 
− Propriedade 3: Se duas filas paralelas de uma matriz são 
proporcionais, então seu determinante é nulo. 
− Propriedade 4: Se os elementos de uma fila de uma matriz são 
combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, 
então seu determinante é nulo. 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 39 
 
− Propriedade 5: Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz 
não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma 
combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. 
− Propriedade 6: O determinante de uma matriz e o de sua transposta 
são iguais. 
− Propriedade 7: Multiplicando por um número real todos os elementos 
de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica 
multiplicado por esse número. 
− Propriedade 8: Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o 
determinante de uma matriz muda de sinal. 
− Propriedade 9: Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo 
da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto 
dos elementos dessa diagonal. 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 5 
1. Dado a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
243
352
123
A , calcule o seu determinante aplicando 
as propriedades. 
2. Dado a matriz 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
2034
2113
0201
3221
B , calcule o seu determinante 
aplicando as propriedades. 
3. Determine a matriz inversa de 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
431
341
331
D 
 
40 Lição nº 5 
 
 
Feedback 
Solução: 
1. -3 
2. -131 
3. 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=−
101
011
337
1D 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 41 
 
Lição nº 6 
Revisão da Unidade 1 
Introdução 
 
Chegado ao fim da Unidade 1, é momento de você rever tudo quanto 
aprendeu sobre Matrizes e Determinantes. 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 05:00 Horas 
O tempo de revisão sugerido de 5 horas é considerado suficiente para o 
efeito, pode ser que você leve menos tempo. 
 
Na unidade sobre Matrizes e Determinantes, você estudou questões práticas 
das propriedades das operações básicas da adição e da multiplicação. 
Vamos destacar aqui algumas definições e propriedades importantes que 
você deve reter. 
Uma tabela rectangular de números que contém m linhas e n colunas 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
 
chama-se matriz de dimensão mxn e denota-se por )( ijaA = . Os números 
ija ),...,1;,...,1( nmi = chamam-se elementos da matriz A. 
A transposta de uma matriz A, denotada por AT, é a matriz onde as linhas 
são as colunas correspondentes a matriz A. 
42 Lição nº 6 
 
Se o número das linhas de uma matriz A é igual ao número das colunas e é 
igual a n, então A chama-se matriz quadrada de ordem n. 
Para cada matriz quadrada A, exisite uma característica numérica que se 
chama determinante de A e se designa por A ou det(A). 
Seja )( ijaA = uma matriz quadrada de ordem n. Designamos por Mij a 
submatriz quadrada de ordem n-1 de A obtida por eliminação da i-ésima 
linha e da j-ésima coluna. O determinante ijM chama-se menor 
complementar relativo ao elemento aij de A. O número Aij=(-1)i+j ijM 
chama-se co-factor do elemento aij. 
 
Exercícios de revisão 
 
 
Auto-avaliação 6 
1. 
 
 
Calcular os determinantes das matrizes: 
a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
32
56
 b) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− αα
αα
sen
sen
cos
cos
 c) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
−+
baba
baba
 
 2. 
 
Achar todos os co-factores da matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
251
043
312
A 
 3. Calcular determinantes aplicando propriedades 
a) 
812516
954
111
 b) 
3461
2231
5232
2352
−−
−
−−−
−−
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 43 
 
 4. Achar os valores de x para os quais: 
a) 0
41
42
=
−x
 b) 0
14
1
=
+−
+
x
xx
 c) 0
32
13
=
−
−
xx
x
 
 5. Achar os determinantes de ordem n 
a) 
nnnn aaa
aa
a
...
............
0...
0...0
21
2221
11
 c) 
0...321
...............
...021
...301
...321
−−−
−−
−
n
n
n
 
 6. Dadas as matrizes 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
430
211
A
, 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
=
321
304
B
, 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
3001
2415
1032
C
, 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
3
1
2
D
 
Determinar: 
a) A+B b) A+C c) AD d) CD e) AT f) DTAT 
 7. Calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes: 
a) 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
57
23
A
, b) 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
42
21
A
 c) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
=
524
012
321
A
 
 
 
 
 
 
44 Lição nº 6 
 
 
Feedback 
Solução: 
 
1.a) 8 1.b) 1 1.c) 4ab 
2) A11=8, A12=-6, A13=19, A21=17, A22=7, A23=-9 
A31=-12, A32=9, A33=11 
3.a) 20, 3.b) -4 
4.a) x=12 4.b) x1=-1, x2=-4, 4.c) x1=0, x2= 3
4 
5.a) nnaaa ...2211 5.b) n! 
6.a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
711
115
, 6.b) Não existe 6.c) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
9
9
, 6.d) Não existe 
6.e) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
24
13
10
, 6.f) )99( 
7.a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
37
25
 7.b) Não existe 7.c) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
568
6710
345
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 45 
 
Unidade 2 
Sistema de Equações Lineares 
Introdução 
 
Caro estudante, você vai agora iniciar o estudo da segunda unidade do seu 
programa de Álgebra Linear. De facto, os conteúdos sobre sistemas de 
equações lineares não são completamente novos para si. Nesta unidade 
você vai estender o seu conhecimento sobre resolução de sistemas de 
equações lineares para um número m de equações e de n variáveis. 
Você terá a oportunidade de aprender novos métodos para resolver 
equações lineares com ajuda do pacote informático de Winmat, que poderá 
encontrá-lo no CD-ROM que acompanha o manual do seu Módulo de 
Álgebra Linear. 
 
 
 
 
 
 
46 Lição nº 7 
 
Lição nº 7 
Resolução de Sistemas de 
Equações. Método de Crámer 
Introdução 
No ensino secundário você estudou como resolver sistemas de lineares de 
duasequações a duas variáveis, usando entre outros métodos, o método de 
Crámer. Nesta lição você vai aprender como resolver sistemas lineares com 
mais de duas equações e mais de duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 03:00 Horas 
Para completar o estudo desta lição você necessitará de cerca de três 
horas. 
 
Ao completar esta lição, deverá ser capaz de: 
 
Objectivo 
 Resolver sistemas de equações lineares de m equações e n variáveis, 
pelo método de Cramer. 
 
 
Terminologia 
Nesta lição sobre resolução de sistemas de equações lineares pelo método 
de Cramer, você deverá prestar maior atenção aos seguintes termos e 
conceitos: 
− Equações lineares 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 47 
 
− Sistema de equações lineares 
− Regra de Cramer 
 
Comecemos por rever aquilo que você aprendeu nas classes anteriores 
sobre sistemas de equações: 
Equação linear 
Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , 
xn , como sendo a equação da forma 
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números 
reais ou complexos. 
a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente. 
Veja os seguintes exemplos de equações lineares: 
 
Exemplo 
 
4x1 + 2x2 = 9 
3x + 4y = 5 
-2x + 3y +5z = 12 
-x -3y -7z + 3w = 17 
 
 
 
Actividade 10 
1. Quais das seguintes equações são equações lineares: 
a) 5x-3y=-11 b) 3x2-6y-7=0 c) 2t-t3=35 
d) lg b+8=3b e) m-3n+5t+2=0 d) x1+3x2-5=0 
Resposta: São equações lineares as equações das alíneas a), e), d). 
 
A solução de uma equação linear 
Chamamos de solução de uma equação linear aos valores que, ao serem 
substituídos nas incógnitas, cheguem a uma igualdade verdadeira. Veja o 
seguinte exemplo: 
48 Lição nº 7 
 
 
Exemplo 
 
A equação x + y + z = 5 apresenta como solução os valores x = 1, y = 4 e 
z = 0, uma vez que 1 + 4 + 0 = 5. Os valores x = 3, y = 7 e z = -5 também 
são soluções da equação, uma vez que 3 + 7 - 5 = 5. Podemos, então, 
afirmar que existem infinitas soluções (um número infinito de ternos 
ordenados) que satisfazem à equação dada. 
 
Sistema de equações lineares 
De foma geral, podemos dizer que um sistema de equações lineares ou 
sistema linear é um conjunto composto por duas ou mais equações 
lineares. Um sistema linear pode ser representado da seguinte forma: 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..............................................
...
...
2211
22222121
11212111
 
onde: 
 nxxx ...,,, 21 são incógnitas; 
 mnaaa ...,,, 1211 são os coeficientes; 
 mbbb ...,,, 21 são termos independentes. 
Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que são 
solução, simultaneamente, de todas as suas equações. Veja o seguinte 
exemplo: 
 
Exemplo 
 
Dado o sistema de equações: 
 
Podemos afirmar que a sua solução será a tripla x = 1, y = 2 e z = 0, pois: 
2.1 + 2 - 0 = 4 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 49 
 
1 - 2 + 3.0 = -1 
3.1 - 5.2 + 7.0 = -7 
 
 
 
Actividade 11 
1. Dado o sistema 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=−−
=++
=−+
132
8253
132
zyx
zyx
zyx
 
a. verifica se 3=x , 1−=y , 2=z , são solução deste sistema. 
Resposta: Sim, de facto os valores de x, y e z são solução do sistema 
dado. 
 
Resolução de sistemas de equações lineares 
Para resolver sistemas de equações, vamos utilizar fundamentalmente 
dois métodos: o Método de Cramer e o Método de eliminação de Gauss. 
 
Método de Cramer 
Este método depende basicamente do uso de matrizes e determinantes. 
Veja o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 
 
Vamos resolver o sistema proposto inicialmente: 
 
Para resolver um sistema, devemos inicialmente encontrar a sua matriz 
principal, que é dada pelos coeficientes das incógnitas. Desta forma, a 
matriz principal do sistema acima será: 
50 Lição nº 7 
 
 
Calculamos, então, o seu determinante. Para indicar o determinante de 
uma matriz X, escreveremos det (X). 
det (Mp) = 20. 
A seguir, calculamos os determinantes das incógnitas, que são 
conseguidas quando substituímos, na matriz principal, a coluna de uma 
das incógnitas, pela coluna dos termos independentes. Temos, deste 
modo, as matrizes chamadas de Mx, My e Mz, das quais também devemos 
calcular os determinantes. 
 
 
det (Mx) = 20 
 
 
det (My) = 40 
 
 
det (Mz) = 0 
Após calculados os determinantes da matriz principal e das matrizes das 
incógnitas, chegamos aos valores de x, y, z, efectuando as seguintes 
divisões: 
 
Chegamos, então, aos valores de x = 1; y = 2; z = 0. 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 51 
 
 
Tome Nota! 
Quando dois ou mais sistemas apresentam a mesma solução, eles são 
chamados de sistemas equivalentes. 
 
 
 
 
Actividade 12 
Resolva pelo método de Cramer o seguinte sistema de equações: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
−=+−
=++
872
1353
42
zyx
zyx
zyx
 Solução: (1, 1, 1) 
 
 
Sumário 
− Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, 
x3, ... , xn , como sendo a equação da forma a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... 
+ an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos. 
a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo 
independente. 
− Chamamos de solução de uma equação linear aos valores que, ao 
serem substituídos nas incógnitas, cheguem à uma igualdade 
verdadeira. 
− De foma geral, podemos dizer que um sistema de equações lineares 
ou sistema linear é um conjunto composto por duas ou mais equações 
lineares. Um sistema linear pode ser representado da seguinte 
forma: 
52 Lição nº 7 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..............................................
...
...
2211
22222121
11212111
 
onde: 
 nxxx ...,,, 21 são incógnitas; 
 mnaaa ...,,, 1211 são os coeficientes; 
 mbbb ...,,, 21 são termos independentes. 
− Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que 
resolvem, simultaneamente, todas as suas equações. 
− Para resolver sistemas de equações, vamos utilizar fundamentalmente 
dois métodos: O Método de Cramer. Este método depende 
basicamente do uso de matrizes e determinantes. 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 7 
1. Resolva os seguintes sistemas de equações usando o método de 
Cramer: 
a) 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=++
=−+
432
1
32
zyx
zyx
zyx
 
b) 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−++
=+−+
−=−−+
=+++
23222
8263
143
552
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 53 
 
 
 
Feedback 
Solução: 
a) 2=x ; 1−=y ; 0=z ou ( )0,1,2 − 
b) 21 =x ; 5
1
2 =x ; 03 =x ; 5
4
4 =x ; ou ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5
4,0,
5
1,2 
54 Lição nº 8 
 
Lição nº 8 
Resolução de sistemas de 
equações. Método de Gauss 
Introdução 
 
Na lição anterior você estudou como resolver sistemas de lineares de duas 
equações a duas variáveis, usando o método de Crámer. Na presente lição 
você vai aprender como resolver sistemas lineares com mais de duas 
equações e mais de duas variáveis, usando o método de Gauss, também 
conhecido por método de escalonamento. 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 03:00 Horas 
Para completar o estudo desta lição você necessitará de cerca de três 
horas. 
 
Ao completar esta lição, deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
 Escalonar uma matriz; 
 Resolver sistemas de equações lineares pelo método de Gauss. 
 
 
 
Terminologia 
 
Nesta lição sobre resolução de sisitemas de equações pelo método de 
Gauss você deverá prestar maior atenção aos seguintes termos e 
conceitos: 
− Escalonamento de uma matriz 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 55 
 
− Sistemas equivalentes 
− Método de eliminação de Gauss (ou método de escslonamento) 
 
Escalonamento de uma matriz 
O processo de escalonamento de uma matriz consiste na sua 
transformação sucessisva em matrizes equivalentes até se atingir o estado 
em que todos os elementosdebaixo da diagonal principal sejam nulos, 
isto é, iguais a zero. 
Sistemas equivalentes 
Dois ou mais sistemas são chamados equivalentes se possuem o mesmo 
conjunto solução. Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Os sistemas 
⎩
⎨
⎧
=+
=−
3225
22315
yx
yx
 e 
⎩
⎨
⎧
−=−
=−
749
22315
y
yx
 
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto 
solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira 
equação, com a segunda multiplicada por (-3). 
 
Método de eliminação de Gauss 
O método de eliminação de Gauss ou simplesmente método de Gauss 
para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como 
método de escalonamento, baseia-se em três transformações 
elementares (T1, T2, T3), a saber: 
T1 - um sistema de equações não se altera quando permutamos as 
posições de duas equações quaisquer do sistema. 
 
 
56 Lição nº 8 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 
Os sistemas de equações lineares 
 
⎩
⎨
⎧
=−
=+
625
1032
yx
yx
 e 
⎩
⎨
⎧
=+
=−
1032
625
yx
yx
 
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto 
solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das 
equações. 
 
T2 - um sistema de equações não se altera quando multiplicamos ambos 
os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número 
real não nulo. 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Os sistemas de equações lineares 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=++
=−+
132
72
523
zyx
zyx
zyx
 e 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=++
=−+
3963
72
523
zyx
zyx
zyx
 
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada 
membro a membro por 3. 
 
T3 - um sistema de equações lineares não se altera quando substituímos 
uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a 
membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação 
T2. 
 
 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 57 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Os sistemas de equações lineares 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=++
=−+
132
72
523
zyx
zyx
zyx
 e 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
=−+
3963
101055
523
zyx
zyx
zyx
 
são obviamente equivalentes, pois a segunda equação foi obtida somando 
membro a membro com a terceira, depois desta ter sido multiplicada por 
3. 
 
Antes de estudar como escalonar uma matriz, importa que você retenha 
as seguintes definições: 
Elemento principal de uma linha: Seja A= (aij) uma matriz. O primeiro 
elemento não nulo de qualquer linha chama-se elemento principal desta 
linha. 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Considere a matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
813
750
321
 
O elemento principal da primeira linha é 1, enquanto que o da segunda 
linha é 5. 
 
Matriz escalonada: Uma matriz A= (aij) chama-se matriz escalonada (ou 
está em forma escalonada) se cada elemento principal está à direita do 
elemento principal da linha precedente. 
 
 
58 Lição nº 8 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
A matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
400
730
621
 
é matriz escalonanda, pois todos os elementos debaixo da diagonal 
principal são nulos. 
 
Posto de uma matriz: O posto de uma matriz escalonada A é igual ao 
número das linhas não nulas da matriz A (o posto de matriz A designa-se 
por r(A)). 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
O posto da matriz 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
000
730
621
A
 
é r(A)=2, pois a matriz escalonada A tem duas linhas não nulas. 
 
Vamos agora resolver, a título de exemplo, um sistema de equações 
lineares, pelo método de Gauss. 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
 Seja o sistema de equações lineares: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+−
=−+
3~6534
2~122
1323
oaEquaczyx
oaEquaczyx
Equacãozyx
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 59 
 
Solução: 
1) Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 
1 e 2, vem: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=−+
=+−
6534
323
122
zyx
zyx
zyx
 
2) Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da 
transformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e 
substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação 
T3 - vem: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+−
=+−
6534
657
122
yyx
zy
zyx
 
3) Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o 
resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela 
nova equação obtida, vem: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=+−
=+−
1875
657
122
zy
zy
zyx
 
4) Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=+−
=+−
1264935
302535
122
zy
zy
zyx
 
5) Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a 
terceira pelo resultado obtido, vem: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=+−
=+−
9624
302535
122
z
zy
zyx
 
60 Lição nº 8 
 
6) Do sistema acima, tiramos imediatamente que: 
24
96
−
−
=z , ou seja, 4=z . 
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das 
outras incógnitas: 
Teremos: 
30)4(2535 =+− y , y = 2. 
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira 
equação acima, fica: 
12422 =+−x , 5=x . 
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. 
Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o 
conjunto unitário formado por um termo ordenado (5,2,4) : 
S = { (5, 2, 4) } 
 
Verificação: 
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos: 
5 + 3(2) - 2(4) = 3 
2(5) - (2) + (4) = 12 
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6 
o que comprova que o termo ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado. 
 
 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 61 
 
Este método de resolução de sistemas de equações é 
conhecido por Método de Eliminação de Gauss em 
homenagem a Karl Friedrich Gauss (30 April 1777 – 
23 February 1855); um astrónomo, matemático e 
físico alemão que apresentou aquele método e 
contribui em várias áreas da matemática. Gauss é 
também designado “o príncipe dos matemáticos”. 
 
 
 
 
Actividade 13 
Resolva o seguinte sisteme pelo método de eliminação de Gauss. 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=−+−
−=+
=++
4102
106
242
zyx
yx
zyx
 Solução: x=1, y=1, z=2 
 
 
 
Sumário 
− O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de 
equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-
se em três transformações elementares (T1, T2, T3), a saber: 
• T1- um sistema de equações não se altera quando permutamos as 
posições de duas equações quaisquer do sistema. 
• T2 - um sistema de equações não se altera quando multiplicamos 
ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, 
por um número real não nulo. 
• T3 - um sistema de equações lineares não se altera quando 
substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da 
adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi 
aplicada a transformação T2. 
62 Lição nº 8 
 
− Dois ou mais sistemas de equações chamam-se equivalentes quando 
elas possuem o mesmo conjunto solução. 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 8 
1. Faça o escalonamento das seguintes matrizes 
1a) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
3463
2242
0321
 1b) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
436
521
614
 
2. Resolva os seguintes sistemas de equações pelo método de eliminação 
de Gauss 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
=+−
14223
1742
72
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
Feedback 
Solução: 
1a) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
2000
2400
0321
 1b) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
000
2690
521
 
2. 2=x , 1−=y , 3=z ou ( )3,1,2 − 
 
 ÁLGEBRA LINEAR Ensino à Distância 63 
 
Lição nº 9 
Discussão de Sistemas de 
Equações Lineares 
Introdução 
Uma vez estudados os métodos de resolução de sistemas de equações 
lineares nas duas lições anteriores, você vai agora nesta lição discutir um 
sistema a fim de determinar se ele tem ou não solução e se tiver, saber se 
tal solução é ou não única. 
 
 
 
 
 
Tempo de estudo da 
lição: 03:00 Horas 
Para completar o estudo desta lição você necessitará de cerca de três 
horas.