Modulo+06

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Módulo	
  06	
  
Energia	
  Potencial	
  e	
  	
  
Conservação	
  de	
  Energia	
  
Fenômenos	
  Mecânicos	
  
Eduardo	
  Gregores	
  (646-­‐3)	
  
Resumo	
  
•  Energia	
  Potencial	
  
–  Energia	
  Potencial	
  Gravitacional	
  
–  Energia	
  Potencial	
  ElásGca	
  
•  Forças	
  ConservaGvas	
  
•  Conservação	
  de	
  Energia	
  
•  Trabalho	
  de	
  Forças	
  Não-­‐ConservaGvas	
  
•  Forças	
  ConservaGvas	
  e	
  Energia	
  Potencial	
  
Energia	
  Potencial	
  
•  Energia:	
  Capacidade	
  de	
  realizar	
  trabalho.	
  
•  Energia	
  Potencial	
  (U):	
  	
  
–  Energia	
  associada	
  a	
  um	
  sistema	
  de	
  objetos.	
  
–  Energia	
  armazenada	
  em	
  um	
  sistema.	
  
•  Energia	
  Potencial	
  Gravitacional.	
  
–  Trabalho	
  que	
  a	
  força	
  gravitacional	
  pode	
  realizar	
  
sobre	
  um	
  objeto.	
  
– Depende	
  do	
  arranjo	
  do	
  sistema.	
  
Energia	
  Potencial	
  Gravitacional	
  
•  Trabalho	
  possível	
  de	
  ser	
  realizado	
  pela	
  força	
  gravitacional.	
  
UG = mgh
UG →
mg→
h→
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Energia	
  Potencial	
  Gravitacional 
Peso	
  
Altura	
  
WG =
!
P ⋅
!
d
= −mg ĵ ⋅ y f − yi( ) ĵ
= mgyi − mgyf
WG =Ui −U f = −(U f −Ui )
WG =−ΔUG
Energia	
  Potencial	
  ElásGca	
  
•  Energia	
  acumulada	
  na	
  mola	
  capaz	
  de	
  realizar	
  trabalho.	
  
U =
1
2
kx2
K = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
U = 0
K =
1
2
mv2
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
W = 1
2
kxi
2 − 1
2
kx f
2
= − 1
2
kx f
2 − 1
2
kxi
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
W = −ΔUM
UM =
1
2
kx2
Forças	
  ConservaGvas	
  
•  Forças	
  ConservaGvas:	
  
–  Uma	
  força	
  é	
  dita	
  conservaGva	
  se	
  o	
  trabalho	
  que	
  ela	
  realiza	
  
durante	
  um	
  deslocamente	
  for	
  independente	
  do	
  caminho	
  
desse	
  deslocamento.	
  
–  O	
  trabalho	
  depende	
  apenas	
  dos	
  pontos	
  iniciais	
  e	
  finais.	
  
–  O	
  trabalho	
  realizado	
  em	
  um	
  caminho	
  fechado	
  é	
  nulo.	
  
•  Forças	
  Não-­‐ConservaGvas	
  
–  Uma	
  força	
  é	
  dita	
  não	
  conservaGva	
  se	
  a	
  soma	
  das	
  energias	
  
mecânicas	
  do	
  sistema	
  (potencial	
  +	
  cinéGca)	
  não	
  se	
  
conserva.	
  
–  Atrito	
  e	
  arrasto	
  são	
  exemplos	
  de	
  forças	
  não	
  conservaGvas.	
  
–  Calor	
  é	
  um	
  exemplo	
  de	
  energia	
  não	
  mecânica.	
  
Forças	
  ConservaGvas	
  e	
  Potencial	
  
•  Para	
  uma	
  força	
  conservaGva,	
  
podemos	
  definir	
  uma	
  função	
  
Potencial	
  U(x).	
  
•  O	
  trabalho	
  realizado	
  por	
  um	
  
potencial	
  é	
  igual	
  à	
  variação	
  da	
  
energia	
  potencial	
  com	
  sinal	
  
trocado.	
  
•  O	
  Potencial	
  U(x)	
  é	
  definido	
  a	
  
menos	
  de	
  um	
  valor	
  padrão	
  do	
  
potencial.	
  
WC = F(x)dx
xi
x f
∫ = −ΔU
ΔU =U f −Ui
U f = − F(x)dx
xi
x f
∫ +Ui
U(x) = − F(x)dx
xi
x f
∫ +C
dU = −F(x)dx
F(x) = − dU(x)
dx
Equilíbrio	
  Instável	
  
Equilíbrio	
  Estável	
  
Conservação	
  da	
  Energia	
  Mecânica	
  
•  A	
  energia	
  mecânica	
  total	
  de	
  um	
  sistema	
  
é	
  a	
  soma	
  da	
  energia	
  cinéGca	
  e	
  a	
  energia	
  
potencial.	
  
•  A	
  soma	
  da	
  energia	
  cinéGca	
  e	
  potencial	
  
inicial	
  é	
  igual	
  à	
  soma	
  da	
  energia	
  cinéGca	
  
e	
  potencial	
  final.	
  
•  Na	
  presença	
  de	
  forças	
  não-­‐conservaGvas,	
  
a	
  diferença	
  entre	
  a	
  energia	
  mecânica	
  
inicial	
  e	
  a	
  energia	
  mecânica	
  final	
  é	
  igual	
  
ao	
  trabalho	
  realizado	
  pela	
  força	
  não-­‐
conservaGva.	
  
E = K +U
ΔE =ΔK +ΔU
ΔE = 0
Ki +Ui = Kf +Uf
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
	
  A	
  energia	
  mecânica	
  total	
  de	
  um	
  sistema	
  permanece	
  
constante	
  em	
  qualquer	
  sistema	
  isolado	
  de	
  objetos	
  que	
  
interagem	
  entre	
  si	
  apenas	
  através	
  de	
  forças	
  conservaGvas.	
  
Watrito = −Fatritod
ΔE =Watrito
ΔK + ΔU =Watrito
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Exemplo	
  01:	
  Potencial	
  Gravitacional	
  
	
  Deixa-­‐se	
  cair	
  uma	
  bola	
  de	
  massa	
  m	
  a	
  parGr	
  de	
  uma	
  altura	
  h.	
  
a)  Qual	
  a	
  sua	
  velocidade	
  quando	
  ela	
  bate	
  no	
  chão	
  se	
  ela	
  estava	
  
inicialmente	
  em	
  repouso?	
  
b)  Qual	
  a	
  sua	
  velocidade	
  quando	
  ela	
  esGver	
  em	
  alguma	
  altura	
  y?	
  
c)  Qual	
  seria	
  sua	
  velocidade	
  ao	
  chegar	
  nesse	
  ponto	
  se	
  ela	
  Gvesse	
  sido	
  
arremessada	
  verGcalmente	
  para	
  baixo	
  com	
  alguma	
  velocidade	
  
diferente	
  de	
  zero?	
  
d)  Haveria	
  diferença	
  na	
  velocidade	
  de	
  chegada	
  no	
  chão	
  se	
  ela	
  Gvesse	
  
sido	
  arremessada	
  para	
  cima?	
  
Ei = E f
Ki +Ui = K f +U f
0 + mgh = 1
2
mv2 + 0
v = 2gh
a)	
   Ei = E f
Ki +Ui = K f +U f
0 + mgh = 1
2
mv2 + mgy
v = 2g(h − y)
b)	
   Ei = E f
Ki +Ui = K f +U f
1
2
mv0
2 + mgh = 1
2
mv2 + mgy
v = v0
2 + 2g(h − y)
c)	
  
	
  d)	
  Não	
  haveria	
  diferença	
  na	
  velocidade	
  final	
  da	
  bola	
  pois	
  apenas	
  forças	
  conservaGvas	
  estão	
  
presentes.	
  
Exemplo	
  02:	
  Potencial	
  Gravitacional	
  e	
  Energia	
  CinéGca	
  
	
  Um	
  pêndulo	
  feito	
  de	
  uma	
  esfera	
  de	
  massa	
  	
  m	
  presa	
  a	
  um	
  fio	
  de	
  
massa	
  desprezivel	
  e	
  comprimento	
  L,	
  é	
  solto	
  de	
  um	
  dado	
  	
  ponto	
  A,	
  
conforme	
  mostra	
  a	
  figura	
  ao	
  lado.	
  	
  
a)  Qual	
  a	
  velocidada	
  de	
  esfera	
  no	
  ponto	
  B?	
  
b)  Qual	
  a	
  tração	
  na	
  corda	
  quando	
  ele	
  está	
  nesse	
  ponto?	
  
ΔE = 0
E = K +U ⇒ KA +UA = KB +UB
KA = 0
KB =
1
2
mvb
2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
UA = −mgL cosθA
UB = −mgL
⎧
⎨
⎩
−mgL cosθA =
1
2
mvb
2 − mgL
v = 2gL 1− cosθA( )
FR
B = maR =
mvB
2
L∑
FR
B = T − mg∑
T − mg = mvB
2
L
T = mg + 2mg 1− cosθA( )
T = mg 3− 2cosθA( )
a)	
   b)	
  
Exemplo	
  03:	
  Energia	
  Potencial,	
  CinéGca	
  e	
  Força	
  de	
  Atrito	
  
	
  Um	
  esquiador	
  parte	
  do	
  repouso	
  no	
  alto	
  de	
  uma	
  
montanha	
  em	
  uma	
  descida	
  sem	
  atrito	
  de	
  20	
  m	
  
de	
  altura.	
  No	
  final	
  da	
  descida	
  ele	
  encontra	
  uma	
  
superecie	
  horizontal	
  com	
  coeficiente	
  de	
  atrito	
  
0,20.	
  	
  
a)  Qual	
  sua	
  velocidade	
  no	
  final	
  da	
  ladeira?	
  
b)  Qual	
  a	
  distância	
  que	
  ele	
  percorre	
  na	
  
horizontal	
  antes	
  de	
  parar?	
  
A→ B
ΔE = 0
UA + KA =UB + KB
mgh = 1
2
mvB
2
vB = 2gh
vB = 2 × 9,8 × 20
vB = 19,8m / s
B→ C
ΔE =Watrito
ΔK + ΔU =Watrito
mvC
2
2
− mvB
2
2
= −µKmgd
d = vB
2
2µKg
= 2gh
2µKg
= h
µK
d = 20
0,20
= 100m
a)	
   b)	
  
(Forças	
  ConservaGvas)	
   (Forças	
  Não	
  ConservaGvas)	
  
Exemplo	
  04:	
  Potencial	
  Gravitacional	
  e	
  ElásGco	
  
	
  O	
  mecanismo	
  de	
  disparo	
  de	
  uma	
  certa	
  arma	
  de	
  brinquedo	
  é	
  feito	
  de	
  uma	
  
mola	
  de	
  constante	
  elásGca	
  desconhecida.	
  Quando	
  a	
  mola	
  é	
  comprimida	
  12	
  
cm,	
  um	
  projéGl	
  de	
  35	
  g	
  aGnge	
  uma	
  altura	
  de	
  20m	
  quando	
  disparado,	
  em	
  
relação	
  à	
  sua	
  altura	
  antes	
  do	
  disparo.	
  Desprezando	
  todas	
  as	
  forças	
  não	
  
conservaGvas,	
  	
  
a)  Qual	
  a	
  constante	
  eláGca	
  da	
  mola?	
  
b)  Qual	
  a	
  velocidade	
  do	
  projéGl	
  12	
  cm	
  após	
  a	
  posição	
  inicial	
  de	
  disparo?	
  
ΔE = ΔUG + ΔUM + ΔK
ΔE = 0
ΔUG = mgh − 0
ΔUM = 0 −
1
2
kx2
ΔK = 0 − 0
0 = mgh − 1
2
kx2
k = 2mgh
x2
= 2 × 0,035 × 9,8 × 20
0,122
k = 953N /m
ΔK = 1
2
mv2 − 0
0 = mgx − 1
2
kx2 + 1
2
mv2
v = kx
2
m
− 2gx
v = 953× 0,12
2
0,035
− 2 × 9,8 × 0,12
v = 19, 7m / s
a)	
  
b)	
  
Exemplo	
  05:	
  Energia	
  CinéGca,	
  Potencial	
  ElásGca	
  e	
  Atrito	
  
	
  Um	
  bloco	
  de	
  0,80kg	
  a	
  1,2	
  m/s	
  colide	
  com	
  uma	
  mola	
  de	
  constante	
  
elásGca	
  de	
  50N/m.	
  	
  
a)  Desprezando-­‐se	
  o	
  atrito,	
  qual	
  seria	
  a	
  compressão	
  máxima	
  da	
  
mola?	
  
b)  Qual	
  seria	
  essacompressão	
  se	
  levássemos	
  em	
  conta	
  uma	
  força	
  
de	
  atrito	
  entre	
  com	
  coeficiente	
  de	
  atrito	
  cinéGco	
  de	
  0,5,	
  supondo	
  
que	
  a	
  velocidade	
  com	
  que	
  o	
  bloco	
  aGnge	
  a	
  mola	
  seja	
  a	
  mesma?	
  
Forças Conservativas → ΔE = 0
ΔE = ΔK + ΔUM
ΔK = 0 − 1
2
mv2
ΔUM =
1
2
kx2 − 0
0 = − 1
2
mv2 + 1
2
kx2
x = v m
k
= 1,2 0,80
50
x = 15cm
a)	
  
Forças Não-Conservativas → ΔE =Watrito
−µkmgx = −
1
2
mv2 + 1
2
kx2
25x2 + 3,9x − 0,58 = 0
x =
0,092
−0,25
⎧
⎨
⎩
⇒ x = 9,2cm
b)	
  
Exemplo	
  06:	
  Blocos	
  Conectados	
  em	
  Movimento	
  
	
  Dois	
  blocos	
  estão	
  conectados	
  conforme	
  mostra	
  a	
  figura	
  ao	
  lado,	
  por	
  um	
  
cabo	
  de	
  massa	
  muito	
  pequena	
  que	
  passa	
  por	
  uma	
  polia	
  de	
  massa	
  
também	
  irrisória,	
  que	
  gira	
  sem	
  atrito.	
  Considerando-­‐se	
  que	
  na	
  posição	
  
inicial	
  a	
  mola	
  não	
  exerce	
  força	
  sobre	
  o	
  bloco	
  1,	
  calcule:	
  
a)  A	
  máxima	
  elongação	
  da	
  mola	
  quando	
  o	
  bloco	
  1	
  desliza	
  sem	
  atrito.	
  
b)  A	
  máxima	
  elongação	
  da	
  mola	
  na	
  presença	
  de	
  atrito.	
  
c)  A	
  elongação	
  da	
  mola	
  no	
  ponto	
  de	
  equilíbrio.	
  
ΔE = 0
ΔK + ΔUG + ΔUM = 0
−m2gh +
1
2
kx2 = 0
x = h⇒ xmax = 2
m2g
k
ΔE =Watrito
ΔK + ΔUG + ΔUM =Watrito
−m2gh +
1
2
kx2 = −µkm1gx
x = h⇒ xmax = 2
m2g − µkm1g
k
Equilíbrio → FR = 0
−kx = m2g⇒ xequil =
m2g
k
a)	
   b)	
  
c)	
  
Exercício	
  01	
  
•  Um	
  bloco	
  de	
  massa	
  m	
  =	
  12	
  kg	
  é	
  solto	
  	
  
do	
  repouso	
  sobre	
  um	
  plano	
  inclinado	
  	
  
de	
  30	
  graus.	
  Abaixo	
  do	
  bloco	
  há	
  uma	
  	
  
mola	
  que	
  pode	
  ser	
  comprimida	
  de	
  	
  
2,0	
  cm	
  por	
  uma	
  força	
  de	
  270	
  N.	
  O	
  	
  
bloco	
  pára	
  momentaneamente	
  após	
  	
  
comprimir	
  a	
  mola	
  por	
  5,5	
  cm.	
  	
  
–  Que	
  distância	
  o	
  bloco	
  desce	
  ao	
  longo	
  do	
  plano	
  desde	
  sua	
  
posição	
  de	
  repouso	
  inicial	
  até	
  esse	
  ponto	
  de	
  parada?	
  	
  
–  Qual	
  a	
  velocidade	
  do	
  bloco	
  imediatamente	
  antes	
  de	
  tocar	
  
na	
  mola?	
  
Exercício	
  02	
  
•  Um	
  caixote	
  está	
  parado	
  em	
  	
  
equilíbrio	
  instável	
  no	
  topo	
  	
  
de	
  uma	
  calota	
  esférica	
  de	
  	
  
gelo	
  de	
  raio	
  13,8	
  m	
  e,	
  	
  
devido	
  a	
  alguma	
  perturbação,	
  começa	
  a	
  
deslizar	
  para	
  baixo	
  sem	
  atrito.	
  Em	
  que	
  altura	
  o	
  
bloco	
  perde	
  o	
  contato	
  com	
  o	
  gelo?