Metodologia e Prática de Ensino de Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental A 2

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METODOLOGIA E PRÁTICA DE
ENSINO DE MATEMÁTICA NOS
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
CAPÍTULO 2 – COMO ENSINAR AS
QUATRO OPERAÇÕES DE MANEIRA
CONTEXTUALIZADA E ARTICULADA?
Jonatha Daniel dos Santos
INICIAR
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Introdução
Nesse capítulo vamos conhecer um pouco mais sobre as três operações
elementares, subtração, multiplicação e divisão. A compreensão sobre essas
operações e sobre o sistema de numeração decimal articula-se com as
inteligências, principalmente com a inteligência lógico-matemática.
A matemática enquanto linguagem universal possui certas particularidades e é
interessante ressaltar que, mesmo sendo considerada uma disciplina de difícil
compreensão, pode ser apresentada por outros olhares. Logo, quando
desarticulada de discursos forjados em sua complexidade, ou seja, apenas as
pessoas inteligentes aprendem matemática, inicia-se uma produção de
conhecimento diferenciado que valoriza as maneiras de se fazer matemática que
estão a todo o tempo sendo problematizadas pelos estudantes. Assim, é possível
questionar: como ensinar matemática sem se prender a uma única forma de
resolução? Como ter outras técnicas para trabalhar com essas operações?
Partindo desse entendimento, este capítulo tem a intenção de facilitar a
compreensão sobre a linguagem científica da matemática; expor estratégias de
ensino e de aprendizagem com a utilização do material dourado para a aquisição
do conhecimento matemático; perceber que o conceito da multiplicação além do
numérico, pode ser trabalhado com figuras geométricas; a estatística deve estar
articulada nesses anos iniciais do ensino fundamental com a possibilidade de
desenvolvimento da compreensão de conceitos estatísticos por crianças dos anos
iniciais do Ensino Fundamental, entre outros.
Portanto, é possível problematizar: como ensinar as quatro operações de maneira
contextualizada e articulada?
Vamos lá? Acompanhe este capítulo com atenção!
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2.1 Subtração
A proposta desse tópico tem o objetivo de realizar uma discussão no âmbito na
subtração. A subtração é potencializada por meio da adição e seu uso é muito
importante para o contexto social dos sujeitos bem como para o contexto escolar,
principalmente quando avançar para os períodos posteriores.
Assim, é interessante identificar a lacuna do conteúdo no momento de efetuar a
adição com reserva ou preparar o minuendo da subtração, também conhecida
como “empresta um” e também compreender a linguagem científica da
matemática na formação do Licenciado em Pedagogia. A matemática, enquanto
linguagem universal, tem algumas particularidades e, por isso, é interessante que
o futuro professor saiba identificá-las. 
2.1.1 Tecnologias do passado e do presente
Conforme Bitttar, Freitas e Pais (2013), trabalhar com as quatro operações
elementares exige certa compreensão sobre o valor posicional dos algarismos,
pois o trabalho com adição de números com duas ou mais ordens exige muito a
retomada do valor posicional, sobre as unidades, dezenas, centenas e assim por
diante.
A abordagem do conceito de subtração historicamente alinha-se aos modelos
didáticos e epistemológicos da educação brasileira. Por exemplo, em certo
momento, o uso do algoritmo da subtração foi amplamente utilizado em
detrimento de outras ações que possuíam vínculo com a ludicidade. Em outro
momento, houve uma centralização sobre os aspectos construtivistas e, então, foi
possível visualizar um cenário que via no uso das atividades lúdicas uma excelente
oportunidade para facilitar a compreensão dos conteúdos matemáticos. É claro
que o uso do algoritmo deve aparecer no ensino de matemática, mas a questão é,
será que deve ser exposto no primeiro momento sem um aprofundamento dos
conceitos?
Vários autores do campo da educação matemática convergem ao esclarecer que o
conceito em si da matemática já faz parte do cotidiano antes mesmo de entramos
na escola e isso é uma realidade. Partindo dessa ideia, a matemática, de alguma
forma, já foi sentida, percebida pelas crianças antes do período da escolarização.
Isso quer dizer, então, que a escola atua como uma expositora de um determinado
conteúdo de modo formal sobre o que já haviam presenciado em suas ações
cotidianas. 
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As primeiras relações que as crianças têm como a matemática no espaço escolar
estão atreladas ao conceito de adição e, posteriormente, ao de subtração.
Multiplicação e divisão vêm com o aperfeiçoamento dessas operações. A
combinação da adição com a subtração, e vice-versa, é como café com leite.
Ambas funcionam sozinhas, porém, ao juntá-las, a combinação ganha outro
patamar e, por isso, é importante ressaltar que adição e subtração devem, sempre
quando possível, ser combinadas nas resoluções de problemas bem como nas
atividades escolares. Vamos, a seguir, estudar um pouco mais sobre subtração,
sempre mantendo um diálogo com a adição.
Para começar, é necessário você saber o conceito básico que fundamenta a
subtração. Trabalhar com subtração exige no mínimo dois números naturais dos
quais um é chamado de minuendo e o outro de subtraendo, tendo como resultado
dessa operação outra expressão conhecida como diferença. Além dessa questão,
deve ser respeitado o seguinte princípio: somando-se a diferença ao subtraendo
obtém-se o minuendo. Veja o exemplo a seguir:
Veja na imagem acima que estamos trabalhando com um exemplo, que para nós
adultos é simples, mas para a criança, que está se adaptando ao ensino de
matemática formatada no contexto escolar, o processo não é tão simples.
Há, nesse momento, vários processos cognitivos em ação, agindo em prol da
inteligência para que esse exemplo possa ser compreendido. Porém, a grande
questão reside em como essa questão é apresentada em seu esse contexto ou
como a criança se sente perante os números, sinais, resultados, contas etc.; ou
seja, se ela está feliz, confusa, inquieta, se tem dúvidas, entre outras situações.  
Cada criança tem uma maneira de aprender, umas mais rapidamente que outras,
todavia, todas têm condição de aprender. Sabendo que os seres humanos
possuem inteligências múltiplas, ou seja, entender matemática pode ser mais fácil
para uma pessoa, enquanto que, para outra, a facilidade está em língua
 Figura 1 - Princípio da Subtração. Fonte: Elaborado
pelo autor, 2018.
Deslize sobre a imagem para Zoom
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portuguesa ou para a área musical e artística, cabe a nós, docentes, verificarmos
essas questões bem como criar situações didáticas que favoreçam um ambiente
propício para a aprendizagem.
Voltando ao exemplo anterior, a imagem “Princípios da Subtração”, veja que ao
lado foi realizado um cálculo inverso à adição. Perceba, então, que a adição pode
ser pensada como uma estratégia de inversão da subtração, sendo que o
movimento contrário é recíproco. É possível constatar que ambas são
complementares e que trabalhar com essa prerrogativa é interessantequando nos
primeiros ensinamentos desse tema.
De acordo com os PCN (1997, p. 65), os problemas aditivos e subtrativos devem ser
trabalhados concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos
números naturais, ou seja, “[...] a justificativa para o trabalho conjunto dos
problemas aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles compõem uma
mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e
subtrativas”.
O campo conceitual aditivo ou estruturas aditivas baseado em Vergnaud (1990)
colabora com essa discussão, principalmente, quando o autor expande algumas
ideias de Piaget para o processo de ensinar e aprender no contexto da
matemática.
Magina et al. (2008, p. 12) sobre este tema salientam que se trata de “[...] uma
consequência direta da teoria dos campos conceituais – herança do passado e
preparação para o futuro”, ou seja, esse campo de estudo acredita que as
competências que o sujeito adquiriu em seu contexto de vida tendem a colaborar
quando é necessário no desenvolvimento social e escolar. Esses autores são bem
enfáticos ao inferirem que dominar as estruturas aditivas exige do discente a
capacidade de resolver vários modelos de situações-problema, em outras
palavras, não se trata apenas de conseguir resolver as contas como na figura
anterior (“Princípios da Subtração”), mas sim de agir e compreender um universo
maior. 
VOCÊ O CONHECE?
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A professora Dra. Terezinha Nunes desenvolve, no campo da Educação Matemática, pesquisas sobre a
aprendizagem matemática de crianças em ambientes formais e informais já há mais de 35 anos.
Atualmente, atua como professora da Oxford University, na Inglaterra. Seus estudos colaboram para
compreender mais sobre como as crianças aprendem matemática bem como sempre apresenta
possibilidades interessantes para que isso possa ocorrer.
Esses problemas sobre os quais estamos tratando, na estrutura aditiva, ganha
nomes específicos, podendo ser classificados como: composição,
transformação, comparação e misto.
Os PCN (1997, p. 66) trazem essa questão em seus escritos quando escreve que
“[...] dentre as situações que envolvem adição e subtração a serem exploradas
nesses dois ciclos (1º e 2º série e 3º e 4º série), podem-se destacar, para efeito de
análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos [...]”. Note, então, que tal
perspectiva conceitual está disposta nesse documento público e é possível
encontrar alguns exemplos para cada situação-problema.
Para apresentar alguns exemplos sobre o que temos comentando, Magina et al.
(2008, p. 20) expõem quatro problemas, que certamente corrobora essa discussão.
 
Problema A – Ao redor da mesa da sala de jantar de minha casa estão
sentados 4 garotos e 7 garotas. Quantas pessoas estão sentadas ao redor da
mesa?
Problema B – Maria comprou uma boneca por R$ 4,00 e ficou com R$ 7,00 na
carteira. Quanto ela possuía antes de fazer a compra?
Problema C – Carlos tem 4 anos. Maria é 7 anos mais velha que Carlos.
Quantos anos tem Maria?
Problema D – Roberto foi jogar videogame. Ao fim da primeira fase do jogo
ele tinha perdido 4 pontos. Ele, então, foi para a segunda e última fase. Ele
terminou o jogo com 7 pontos ganhos. O que aconteceu na segunda fase?
 
Segundo as autoras, baseado em Vergnaud (1990), o problema A geralmente é
resolvido por crianças entre 4 e 5 anos e está atrelado à ideia de composição. De
acordo com Magina et al. (2008, p. 25), “[...] essa classe de problemas compreende
as situações que envolvem parte-todo – juntar uma parte com outra parte para
obter o todo, ou subtrair uma parte do todo para obter a outra parte”.
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Já o problema B em sua grande maioria é respondido por crianças entre 6 e 7 anos
e pode ser entendido como um problema de transformação. Magina et al. (2008,
p. 26) escrevem que essa classe “[...] é aquela que trata de situações em que a
ideia temporal está sempre envolvida – no estado inicial tem-se uma quantidade
que se transforma (com perda/ganho; acréscimo/decréscimo etc.), chegando ao
estado final com outra quantidade”.
Por outro lado, o problema C, é respondido por crianças a partir dos 8 anos de
idade. É possível ligar esse problema ao conceito de comparação, que segundo
Magina et al. (2008, p.26) “[...] diz respeito aos problemas que comparam duas
quantidades, uma denominada de referente e a outra de referido”. Nesse
problema, a idade de Carlos é o referente e a idade de Maria é o referido, pois a
idade dela é apontada em relação à idade de Carlos.
Agora, no problema D, as autoras comentam que 25% das crianças de 11 anos
conseguem resolvê-lo. Esse pode ser considerado como um problema misto. O
problema D envolve a classe de composição e a de decomposição.
O livro “Repensando Adição e Subtração” (2008), de Sandra Magina, Tânia Campos, Terezinha Nunes e
Verônica Gitirana, é uma leitura interessante para compreender mais sobre as contribuições dos
Campos Conceituais para o ensino de matemática.
Além do que estamos tratando até o momento, é necessário apresentar alguns
modelos de resolução com a subtração, mas antes é importante você entender,
enquanto futuro professor dos anos inicias, algumas regras práticas que podem
colaborar no ensino e aprendizagem de matemática.
Aprendemos que, ao trabalharmos com subtração, quando um valor é menor que
outro devemos “pegar emprestado” do algarismo ao lado para conseguir finalizar
a conta. Ora, o tratamento oferecido por esse modelo de resolução não pode ser
considerada errônea para outros períodos escolares, no entanto, há certo
equívoco, primeiro quando trabalhamos com o conceito de “empresta um” e,
VOCÊ QUER LER?
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segundo, quando é apresentada como a primeira ideia de resolução. É muito
importante você entender que quando efetuamos isso não fazemos empréstimos
e, sim, decomposição de dezenas em unidades, centenas em dezenas etc. Vamos
refletir sobre um exemplo contido em Bitttar; Freitas; Pais (2013). 
Suponha que você tenha que efetuar   Chega um momento que tal cálculo
pode ser realizado mentalmente sem o uso de lápis ou caneta. Agora, se o mesmo
for aplicado para estudante dos anos iniciais, da forma mais prática diríamos que
1 não tira 3 (uma unidade menos três unidades), logo, é necessário “pegar
emprestado” da dezena 2 ao lado.
Seguindo, o algarismo 2 valeria 1 e, consequentemente, o 1 se transformaria em
11, conforme a imagem a seguir: 
Veja que efetuando dessa maneira, como dito anteriormente, o resultado será
válido. Porém, para os anos iniciais, principalmente no contexto das primeiras
abordagens desse tema, não é interessante a forma vista. Uma proposta é utilizar
o material dourado, construído por Maria Montessori (1870-1952) e aperfeiçoado
por Lubienska de Lenval (1895-1972), sua seguidora. 
 Figura 2 - Representação de subtração realizando empréstimo. Fonte: Elaborado pelo autor,
2018.
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Sabendo que uma barra representa a 1º dezena e que um cubinho vale a 1º
unidade, podemos trabalhar com essas peças para resolver essa subtração.
Observe a imagem a seguir:
Figura 3 - Material Dourado. Fonte: Eenoki, Shutterstock,2018.
Figura 4 - Material Dourado e sua aplicabilidade na subtração. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Ainda com o Material Dourado não podemos tirar três unidade de uma, então,
lembrando que a 1ª dezena vale 10 unidades, é possível transformar uma das
barras em unidades. Confira a seguir:
Fazendo essa troca de dezenas para unidades operamos com trocas e não com
empréstimos. Conforme Bitttar, Freitas e Pais (2013, p. 32) salientam, “[...] esse
trabalho pode ser iniciado com o Material Dourado e depois transposto para a
sapateira e, finalmente, para o quadro valor de lugar, para, finalmente, passar ao
algoritmo”. As autoras seguem dizendo que “[...] sempre que for efetuado um
trabalho com material, recomenda-se transpô-lo para o papel, ou seja, deve-se
sempre tentar escrever os procedimentos que estão efetuados. Desse modo, o
algoritmo se constrói aos poucos”.
Veja então que o processo de ensinar é complexo e, por isso, enquanto docentes,
devemos ter uma atenção às novas discussões sobre os processos
epistemológicos bem como sobre as possibilidades metodológicas no ensino de
matemática. O conceito de subtração compõe o itinerário inicial do ensino da
matemática escolar, mas outro conceito importante é do da multiplicação, como
veremos a seguir.  
Figura 5 - Material Dourado e sua aplicabilidade na subtração. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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2.2 Multiplicação
A multiplicação compõe as quatro operações básicas da matemática. Seu uso é
essencial e pode ser atrelado, principalmente, ao campo da divisão e da adição.
Pela adição é possível estabelecer diálogos fundamentais com a multiplicação e
compreendê-la colabora para a construção do conhecimento matemático das
crianças nos anos iniciais do ensino fundamental.
Nesse sentido, a proposta deste tópico é estabelecer a associação ideia e relação
da multiplicação com a adição de parcelas iguais e o raciocínio combinatório bem
como abordar o conceito da multiplicação além do numérico, trabalhando com
uma figura geométrica. Partindo desse entendimento é exposta a construção de
um algoritmo da multiplicação por meio da malha quadriculada. 
2.2.1 A construção do algoritmo da multiplicação
O conceito de multiplicação está alinhado ao da adição e podemos dizer que é
possível trabalhar com as duas de forma sincronizada, ou seja, não é necessário
que o estudante conheça tudo sobre uma operação para então passar para outra.
A ideia de adição, quando trabalhado com parcelas iguais, cria um vínculo com à
multiplicação e o raciocínio combinatório, ou seja, “[...] a exploração dessas duas
ideias é fundamental para a compreensão da operação de multiplicação e para
que os alunos consigam, diante de um problema, saber como se colocar ou que
tipo de raciocínio devem ter” (BITTTAR; FREITAS; PAIS, 2013, p. 39).
VOCÊ SABIA?
O sinal de  X, que indicamos na multiplicação, foi empregado pelo matemático
inglês Guilherme Oughtred no livro  “Clavis Matematicae”, publicado em 1631.
Ainda nesse mesmo ano, Thomas Harriot, também inglês, colocava um ponto entre
os fatores para indicar o produto a efetuar. Veja mais em: <https://goo.gl/Vugjpw
(https://goo.gl/Vugjpw)>. 
Pensar em multiplicação traz à tona duas realidades: a tabuada e a soma de
parcelas repetidas. A tabuada é um instrumento importante para o ensino da
multiplicação. Porém, aprender tabuada é diferente de gravar a tabuada. Muitos
docentes exigem que as crianças gravem toda a tabuada, afirmando que isso
https://goo.gl/Vugjpw
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possibilita um avanço na aprendizagem da multiplicação. Ora, se o estudante
decorar, possivelmente não haverá uma compreensão real sobre o objeto a
multiplicar. Possivelmente, ele também não terá construído uma relação com a
adição e logo isso acarretará em problemas posteriores, como na divisão, por
exemplo.
É claro que aprender a tabuada é importante, mas aprender é diferente de
decorar. Uma vez que o estudante consiga perceber as relações (adição, por
exemplo) que estão contidas em seu contexto, há, então, uma grande
possibilidade de que as propriedades da adição sejam compreendidas e que o
estudante perceba como atuam sobre o campo da multiplicação.
Como vimos na adição e na subtração, trabalhar com o conceito de multiplicação
também pode estar vinculado a objetos manipuláveis, caso do Material Dourado e
outros materiais concretos.  Tomemos como um exemplo, então, um caso contido
nos PCN (1997, p. 67), que apresenta o seguinte problema: “[...] tenho que tomar 4
comprimidos por dia, durante 5 dias. Quantos comprimidos preciso comprar?”. Se
caso resolvêssemos pela adição, escreveríamos da seguinte forma:  .
Considerando o algarismo 4, que se repete 5 vezes, é possível representar a
multiplicação da seguinte forma:    .  Importante ressaltar que se denomina
“multiplicando” o número que se repete e “multiplicador” o número de
repetições. Cada algarismo, nesse caso, exerce sua função e trocá-los resultaria,
possivelmente, outros valores como resultado.
Vamos a outro exemplo: Isabel, professora dos anos iniciais, resolveu fazer cinco
bolos para levar aos estudantes. Sabendo que para cada bolo ela utilizou três
ovos, quantos ovos Isabel utilizou para que os bolos ficassem prontos? 
CASO
Alice é professora de uma turma do quarto ano do Ensino Fundamental.
Alice participou de um projeto pedagógico oferecido pela Universidade de
sua cidade como proposta de um curso de extensão. Nesse curso foi dado
foco para o ensino de matemática e uma das teorias que embasaram esse
curso foi a do Campo Conceitual, de Vergnaud.
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Essa professora, durante sua graduação, já tinha mostrado interesse por
assuntos dessa temática e, agora, por meio desse curso, decidiu ler mais
sobre o campo e principalmente como as pesquisas já realizadas poderiam
colaborar com sua prática em sala de aula. Aprofundando no tema
conheceu sobre as estruturas aditivas e multiplicativas. Leu que para
dominar as estruturas aditivas e multiplicativas, o estudante deveria ser
capaz de resolver problemas e resolver tipos de situações problemas, que
podem ser classificados em: composição, transformação, comparação e
misto.
A partir desse contato com a teoria e, principalmente, com várias
pesquisas, Alice, com auxílio de professores da Universidade, elaborou um
projeto denominado “Repensando as quatro operações”, que tinha como
objetivo principal estabelecer outras maneiras de se pensar o ensino
dessas operações e também colaborar para o desenvolvimento cognitivo
das crianças daquele ano. 
Nos primeiros momentos, pode acontecer de os estudantes tentarem resolver a
questão somando as quantidades que estão relacionadas no contexto do
problema, a saber, 3 ovos e 5 bolos. A soma totalizaria 8, o que não satisfaz o total
de ovos usados na confecção dos bolos. Então, além da necessidade de
compreender os conceitos, os estudantes também devem interpretar os
problemas de forma que consigam ter êxito em suas atividades.
Duas formas de resolução podem ser pensadas para esse problema. Aprimeira
pode ser feita desenhando, por exemplo, 3 ovos em 5 cestas, ou 5 ovos em 3
cestas. A segunda está alinhada com a primeira, podendo agora agir sobre a
representação numérica, ou seja, para o primeiro  caso, poderíamos representar
como    e para o segundo caso é possível representar como 
.  Após essas representações, por desenhos e por adição, a
multiplicação pode aparecer, ficando da seguinte forma, respectivamente,   ou 
.
Podemos afirmar que a multiplicação é a soma de parcelas repetidas. Logo, se a
soma é comutativa, a multiplicação também é.  Se a adição é associativa, a
multiplicação também é. Resumindo, a multiplicação tanto é comutativa como
associativa. Vejamos um exemplo a seguir para explicar essa questão.
Será comutativa se a ordem das parcelas não alterar a soma ou a multiplicação,
isto é, somando a primeira com a segunda, ou multiplicando, o valor da parcela o
valor final será o mesmo. Observe:
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Por outro lado, será associativa, se na adição de três ou mais parcelas de números
naturais quaisquer seja possível associar as parcelas de quaisquer modos.
Exemplo:  .
Substituindo  ;   e  , temos  .
No caso da multiplicação valerá a mesma regra. Veja:  .
Substituindo  ;   e  , temos  .
Construir o algoritmo da multiplicação exige que o docente compreenda que,
como qualquer outro conteúdo relacionado à matemática, é necessária uma ação
docente vinculada ao momento de aprendizagem dos discentes, ou seja, valorizar
o que foi aprendido para, então, possibilitar novas compreensões sobre os objetos
matemáticos. Assim, a multiplicação pode ser ensinada passo a passo no intuito
de que a mesma possa compreender os processos dos algoritmos.
Perceba que, como você vem estudando nesse capítulo, há várias formas de
representar o mesmo conceito e isso é importante para que os estudantes
compreendam que a matemática não é fixa, ou seja, não existe apenas uma única
forma de se calcular ou de se obter uma determinada resposta para um problema.
Existem diversas técnicas e maneiras de resolução. Sabendo disso, vamos ver
quatro modelos de problemas que envolvem multiplicação baseado nos PCN
(1997). Tais modelos também amparam a divisão, a qual veremos no próximo
tópico. 
O primeiro grupo é denominado de multiplicação comparativa. Seguem dois
exemplos.
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Joaquim tem R$ 5,00 e Rozane tem o dobro dessa quantia. Quanto tem
Rozane?
Maria possui 4 selos enquanto Eduardo tem 5 vezes mais selos que ela.
Quantos selos tem Eduardo?
 
Já no segundo grupo estão as situações associadas à comparação entre razões,
que, portanto, envolvem a ideia de proporcionalidade. Segue um exemplo.
Isabelly comprou três pacotes de chocolate. Sabendo que cada pacote custa
R$ 8,00, quanto ela vai pagar pelos três pacotes?
A ideia de proporcionalidade nesse exemplo consiste em que para cada pacote de
chocolate comprado é necessário ter R$ 8,00. Logo, no caso de Isabelly, que
comprou três pacotes, o valor dispensado para essa compra foi de R$ 24,00. Então,
caso aumente a quantidade de pacotes de chocolates comprados, o valor
aumentará proporcionalmente. Essa situação é interessante, pois possibilita ao
docente trabalhar com outros temas por meio da multiplicação.
O terceiro grupo, configuração retangular, alinha-se aos problemas de cunho
geométrico. Veja dois exemplos.
Em um anfiteatro, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas.
Quantas cadeiras há no anfiteatro?
Qual é a área de um retângulo cujos lados medem 2 cm por 4 cm?
 
A organização espacial de elementos dispostos sob uma superfície retangular
pode ser explorada como uma situação ligada à multiplicação. Por exemplo, no
primeiro exemplo, é possível resolver de duas formas. A primeira consiste em
contar todas as cadeiras, uma por uma, e depois contabilizar o total. Por outro
lado, o professor pode explicar aos alunos que, caso queiram, podem também
realizar uma multiplicação entre a quantidade de fileiras com a  quantidade de
colunas, ou seja, multiplicar  . Então, o total de cadeiras desse espaço tem
a quantidade de 56 cadeiras.
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No segundo exemplo há um retângulo com medidas de 2 cm e 4 cm, representado
abaixo:
Sabemos que o retângulo é formado por duas medidas, sendo elas: comprimento
(base) e largura (altura). A área de um retângulo pode ser obtida multiplicando-se
a medida da base   pela medida da altura  . Na figura anterior, a base   representa
4 cm e altura   representa 2 cm.
Lembre-se de que o “centímetro quadrado” é uma unidade de medida de
superfície, ou seja, é a superfície ou a área de um quadrado de 1 cm de lado, logo,
cada “quadradinho” vale 1 unidade. Somando os “quadradinhos” temos o total de
8 “quadradinhos”, ou seja, 8 cm².
A resolução, nesse caso, pode ser pela contagem dos “quadradinhos” ou pela
noção inicial da área do retângulo: lado base ( ) multiplicado pelo lado altura ( ).
Dessa forma, a fórmula pode ser posta da seguinte maneira:   podendo ser
resolvida como  . Utilizando a malha quadriculada também é possível
trabalhar com o conceito da multiplicação.
 Figura 6 - Retângulo como
forma de efetivar a multiplicação retangular. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Por meio da malha quadriculada é possível trabalhar com padrões, regularidades,
figuras equivalentes e congruentes, figuras justapostas, entre outras
particularidades que podem ser abordadas conforme a proposta de atividade de
cada docente.
O quarto grupo apresenta problemas relacionados à ideia de raciocionio
combinatório. Veja o exemplo.
 
Jaine possui em seu guarda roupa duas sais e três blusas. Quantas
combinações de roupas ele pode realizar utilizando suas peças de roupa?
 
Para responder esse problema, devemos pensar que para cada saia utilizada Jaine
pode usar três blusas. Sabendo disso, veja a imagem a seguir da qual utilizamos o
diagrama de árvore:
Figura 7 - Malha quadriculada para trabalhar com o conceito da multiplicação. Fonte: Elaborado pelo
autor, 2018.
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Veja que para cada saia tenho 3 blusas disponíveis para uso. Vamos chamar a
primeira saia de S1 e a segunda saia de S2 e as blusas de B1, B2 e B3 para
montarmos por outra representação, como pode ser pensada a resolução desse
problema. Assim, podemos montar a seguinte sequência:
Note que foram criadas 6 possibilidades para usar as duas saias com as três
blusas. Perceba que combinar sais com blusas ou blusas com saias o resultado
continuará o mesmo e, por isso, é possível inferir que aqui estamos utilizando a
propriedade associativa da multiplicação, ou seja,  .
Outro exemplo para colaborar com essa discussão está contido no documento
“Programa gestão da aprendizagem escolar gestar I - Operações com números
naturais” (BRASIL, 2007, p. 41), onde se apresenta o seguinte problema: Com 2
tipos de caretas e 4 tipos de chapéus, quantospalhacinhos diferentes você pode
formar?
 Figura 8 - Diagramas de árvore para o raciocínio combinatório. Fonte:
Elaborado pelo autor, 2018.
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Por meio do diagrama de árvore, e analisando as combinações, é possível montar
8 palhacinhos (combinando careta e chapéu). Poderíamos também esboçar essa
ideia por meio do cálculo da multiplicação   ou  .
Depois do que vimos nesse tópico, foi possível notar que com a multiplicação
pode ser trabalhada por diversas maneiras. A forma mais utilizada pelos docentes
é a dos algoritmos, mas apresentar os cálculos sem a compreensão real dos
objetos gera as primeiras dificuldades em matemática e, em muitos casos,
acompanha os sujeitos durante sua vida acadêmica. Importante ressaltar que os
exemplos apresentados aqui não são os únicos, e cabe a cada docente ser um
pesquisador reflexivo, sempre no intuito de facilitar o aprendizado dos discentes
no campo da educação escolar. No tópico a seguir veremos sobre a divisão.
Figura 9 - Representação por meio do diagrama de árvore. Fonte: BRASIL, 2007, p. 41.
2.3 Divisão
A linguagem da divisão tem suas especificidades e sua aplicação, normalmente,
causa estranhamentos quando abordadas de forma desconexa das outras
operações. A divisão para ser compreendida deve estar intimamente ligada à
multiplicação e sua operação deve estar alinhada às outras operações. Para isso, a
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proposta desse tópico reside em estabelecer uma relação conceitual da operação
da divisão com as operações da adição, subtração e multiplicação e também sobre
o sistema de numeração decimal.
Há várias maneiras de se efetuar divisão utilizando os algoritmos, no entanto,
principalmente para os anos iniciais, sua utilização deve estar atrelada às
situações didáticas contemporâneas e contextualizadas, ou seja, que façam parte
do contexto social e escolar das crianças. 
2.3.1 Divisão e suas técnicas de operacionalização
O trabalho com o ensino da divisão segue a mesma ideia das outras operações
elementares, ou seja, seu contexto não pode estar desconectado do conceito da
adição, subtração e multiplicação, bem como necessita de articulações com o
cenário diário das crianças.
Sabemos que não é na escola que a aprendizagem se inicia, uma vez que o
conhecimento é construído a partir do momento em que a criança toma
consciência da realidade onde vive, bem como sobre os objetos presentes em seu
cotidiano. A escola, nesse caso, vem ao encontro de colaborar com essa produção
de conhecimento, e é um espaço que apresenta aos estudantes sistematizações de
conteúdos produzidos historicamente.
No contexto da multiplicação é interessante que o docente explore, em suas ações
pedagógicas, situações didáticas de modo que a divisão, quando for realmente
conceituada, não cause dificuldades de seu aprendizado aos estudantes. Nesse
caso, a matemática deve constituir-se por um trabalho de contextualização,
historicização e articulação com o ambiente social.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática (1997, p. 55) apontam que o
trabalho com as operações no ensino fundamental deve se concentrar “[...] na
compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações
existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes
tipos – exato, aproximado, mental e escrito”.
VOCÊ QUER VER?
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A TV Escola produz vários vídeos voltados para o campo da educação em geral e também produzem
algumas séries para falar sobre matemática. Esse vídeo da série Sua escola, nossa escola – Iniciação
Matemática, apresenta um projeto denominado “Problema não é problema”, onde os alunos são
estimulados a definir e exemplificar os problemas cotidianos que eles conhecem. Vale a pena conferir.
Acesse em: <https://goo.gl/udPLBV (https://goo.gl/udPLBV)>.
Porém, ainda há uma concepção epistemológica na educação brasileira que
sustenta uma prática a qual desconsidera diferentes formas de cálculo, afetando o
trabalho pedagógico, pensado a partir apenas do ensino de algoritmo, conhecido
na escola como contas armadas. Nesse caso, normalmente, as operações são
expostas no intuito de memorização e repetição de técnicas, procedimentos e
ações, ou seja, compostas por atividades que rompem com o entendimento de
compreensão sobre o objeto e colabora com a condução às respostas.
De acordo com Miguel (2005) podemos definir esse modelo de trabalho como
práticas pedagógicas tradicionais, onde não há apreensão dos objetos, mas sim a
estruturação de habilidades que colaboram com que os alunos consigam operar
com algoritmos apenas por uma maneira, em outras palavras, os alunos
conseguem resolver determinada conta apenas pelo método apresentada pelo
professor. É evidente que a forma de resolução exposta pelo docente deva ser
levada em conta, no entanto, não deve ser a única.
Nesse sentido, é interessante “[...] que o professor não só permita que seus alunos
conheçam e tenham acesso às diversas formas de cálculo, como também, os
incentive a criar suas próprias estratégias, e que os ensinem a usá-las em situações
diferentes dependendo da necessidade que se tem” (SOUZA, 2008, p. 02). Assim,
“[...] o ensino da matemática deveria potencializar o uso de procedimentos dos
próprios alunos, mesmo que não sejam de caráter formal e sim intuitivo” (GÓMEZ-
GRANELL, 1999, p. 257).
Partindo desse entendimento, cabe ao docente trabalhar diferentes formas de
cálculo e isso não significa afirmar que as crianças dos anos iniciais do ensino
fundamental não devem ser apresentadas aos algoritmos tradicionais. Pelo
contrário, a apresentação aos algoritmos além de essencial para a vida escolar é
também para sua vida social. O que não pode acontecer é subitamente apresentar
os algoritmos sem a devida compreensão sobre o que é divisão, sobre a finalidade
da divisão e de como essa operação pode auxiliar no seguimento de outras
https://goo.gl/udPLBV
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operações dentro do campo da matemática, podendo, para isso, articular
manipulação de diversos materiais concretos e criação de diversas estratégias de
resolução e suas relações.
Imagine chegar apresentando divisão com o seguinte enunciado: Em uma divisão
de dois números naturais, com o divisor diferente de zero, o dividendo é igual ao
produto do divisor  pelo quociente somado com o resto. Em linguagem
matemática, escrevemos   em que   é o dividendo,   é o quociente,   o
divisor e   o resto. 
Esse enunciado acima se trata do princípio fundamental da divisão. Perceba que a
linguagem é robusta e que no primeiro momento não se adéqua a uma linguagem
para crianças nos primeiros períodos de escolarização. Parte-se do princípio de
que tal enunciado seja exposto quando as noções iniciais da divisão forem
compreendidas pelas crianças e sua aplicação esteja bem delimitada enquanto
campo de utilidade no contexto escolar.
Conforme a Base Nacional Comum Curricular - BNCC, o trabalho com divisão
aparece a partir do 3º ano do ensino fundamental. Nesse documento, inserido na
unidade temática “Números”, é apresentado o seguinte objeto de conhecimento:
“Problemasenvolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão:
adição de parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais e
medida” (BNCC, 2017, p. 284). Para esse objeto de conhecimento é exposta a
seguinte habilidade: “[...] resolver e elaborar problemas de divisão de um número
natural por outro (até 10), com resto zero e com resto diferente de zero, com os
significados de repartição equitativa e de medida, por meio de estratégias e
registros pessoais” (BNCC, 2017, p. 284).
Outro objeto de conhecimento seguido por sua habilidade para o 3º ano é
apresentado da seguinte forma: “[...] significados de metade, terça parte, quarta
parte, quinta parte e décima parte [...] Associar o quociente de uma divisão com
resto zero de um número natural por 2, 3, 4, 5 e 10 às ideias de metade, terça,
quarta, quinta e décima partes” (BNCC, 2017, p. 284).
É possível, de acordo com os PNC (1997), trabalhar com 4 grupos de problemas, os
mesmos que foram vistos quando estudamos multiplicação, a saber, situações
comparativas; situações associadas à comparação entre razões; situações
associadas à configuração retangular; e situações associadas à ideia de
combinatória. Vamos ver cada uma delas.
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Para o primeiro grupo, situações comparativas, o exemplo de multiplicação era o
seguinte:
Joaquim tem R$ 5,00 e Rozane tem o dobro dessa quantia. Quanto tem
Rozane?
 
Para a divisão podemos trabalhar inversamente, podendo ser escrito da seguinte
forma:
 
Rozane possui em sua carteira R$ 10,00. Sua quantia é o dobro do que
Joaquim possui. Qual é o valor em R$ de Joaquim?
 
Já o segundo grupo, situações associadas à comparação entre razões, que em seu
contexto envolve problemas de proporcionalidade, no campo da multiplicação foi
exposto assim:
Isabelly comprou três pacotes de chocolate. Sabendo que cada pacote custa
R$ 8,00, quanto ela vai pagar pelos três pacotes?
 
Para o contexto da divisão poderíamos reescrever o problema multiplicativo para
a divisão conforme exposto a seguir:
 
Isabelly pagou R$ 24,00 em três pacotes de chocolate. Qual é o valor de cada
pacote de chocolate que Isabelly comprou?
 
Esse problema retrata a ideia de “parte”, ou seja, quanto valerá cada parte depois
de realizada a divisão do valor total pelo total da quantidade de chocolates.
O terceiro grupo, situações associadas à configuração retangular, alinha-se aos
problemas de cunho geométrico. Um dos exemplos que vimos na multiplicação foi
o seguinte:
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em um anfiteatro, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas.
Quantas cadeiras há no anfiteatro?
 
Se reescrevêssemos esse problema multiplicativo para ser pensado por meio da
divisão, poderia ser reescrito da seguinte forma:
 
das 56 cadeiras desse anfiteatro, sabendo que há 8 colunas, qual é o total de
fileiras?
 
O quarto grupo, que apresenta problemas relacionados à ideia de situações que
envolvam o raciocínio  combinatório, usamos o seguinte problema na
multiplicação:
 
Jaine possui em seu guarda roupa duas sais e três blusas. Quantas
combinações de roupas ele pode realizar utilizando suas peças de roupa?
 
Para a divisão poderia ser escrito assim: se Jaine conseguiu formar 6 tipos de
combinação de roupas utilizando saias e bluas e sabendo que dispunha de duas
saias, quantas saias Jaine possuia para realizar essas combinações?
Por meio desses exemplos retratados  acima é possível identificar que a
multiplicação  e a divisão podem e devem ser trabalhadas concomitantemente.
Mesmo que o docente não queira trabalhar com a divisão no primeiro momento,
apenas com a multiplicação, o trabalho também é válido, desde que em períodos
posteriores, em trabalhos com a divisão, a multiplicação não fique de lado, agindo
como se as mesmas não possuíssem conexão. Como já vimos, o trabalho com
ambas colabora para compreensão mais profunda do ensino de matemática e
também para para situações didáticas mais contextualizadas.
Sabendo dessas questões, vamos agora conhecer um pouco sobre os termos da
divisão e sobre suas funções dentro desse campo. Veja a seguir os termos da
divisão e como são arranjados dentro de uma conta armada: 
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Uma das habilidades apresentadas no BNCC (2017) para o 3º ano é resolver e
elaborar problemas de divisão de um número natural por outro (até 10), com resto
zero e com resto diferente de zero. Dizemos que se o resto for zero a divisão é exata
e se for diferente de zero a divisão não é exata.  Vamos ver dois exemplos, um com
divisão exata e outro com divisão não exata. Observe o exemplo:
Rozane possui em sua carteira R$ 10,00. Sua quantia é o dobro do que
Joaquim possui. Qual é o valor em R$ de Joaquim?
Sabendo que o dobro é vinculado à ideia de “duas vezes alguma coisa”, para ser
10, o resultado da questão é 5, ou seja, 5 multiplicado por 2 equivale à 10. Sendo
assim, perceba que essa questão tem como resultado um valor exato, uma vez que
não há sobras. Olhando por meio do processo da conta armada temos:
Para resolver problemas como esses é interessante pensar da seguinte forma: qual
é o número que multiplicado por 5 (divisor) tenha como resultado um valor que se
aproxime ou é seja o dividendo, que nesse exemplo é o algarismo 10. Ora, a
tabuada auxilia nesse momento quando operamos  .  O valor da
multiplicação do quociente pelo divisor deve ser subtraído pelo dividendo como
visto na imagem acima. Logo, o resultado é 0, podendo inferir que é uma divisão
exata. Vamos a outro exemplo: 
 Figura 10 - Termos da divisão e sobre suas funções.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
 Figura 11 - Exemplo de divisão exata. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Joaquim deseja repartir igualmente 20 lápis por 6 crianças. Utilizando a
forma de resolução vista anteriormente, podemos calcular da seguinte
forma:
Novamente pensamos qual número multiplicado por 6 (divisor) que tem como
resultado um valor que se aproxime ou que seja o dividendo, que nesse exemplo é
o algarismo 20. Na tabuada  é o valor que se mais aproxima de 20. Se
fizéssemos  ,  o resultado é maior que 20, inferindo a ideia inicial que o
valor da multiplicação deva ser igual ou menor que o algarismo que está no
dividendo. Logo, o número 18 deve ser subtraído por 20 resultando como
resultado o algarismo 2, ou seja, o quociente representa que cada criança terá 3
lápis e 2 sobrarão. Como o resto não é 0, o problema, então, é conhecido como
uma divisão não exata.
Os exemplos vistos não são regras. Lembre-se de que enquanto docentes devemos
trabalhar com várias técnicas de resolução colaborando com o ensino e
aprendizagem de matemática. Nesse sentido, trabalhar com materiais
manipuláveis e instigar processos investigativos em sua suas ações pedagógicas,
dando voz aos estudantes e valorizando suas ideias, são exemplos interessantes
para compor o itinerário pedagógico. No tópico a seguir seguirmos nossas
discussões com o tema da estatística.
 Figura 12 - Exemplo de divisão não exata. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
2.4 Estatística nos anos iniciais de
escolarizaçãoHistoricamente, o campo da estatística por muito tempo esteve ligado ao ensino
superior e ao contexto dos mercados de capitais. Ao longo do tempo foram
realizadas diversas sistematizações no intuito de aplicá-las ao ensino da educação
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básica. Assim, foi nos PCN (1997) que sua aplicação nos anos iniciais do ensino
fundamental ganhou ênfase sendo tratado dentro do bloco denominado
tratamento da informação.
Nesse sentido, esse tópico tem a intenção de refletir como se dá o
desenvolvimento da compreensão de conceitos estatísticos por crianças dos anos
iniciais do Ensino Fundamental e, principalmente, em compreender o trabalho
pedagógico acerca dos conceitos e dos procedimentos no campo da estatística.
2.4.1 Estatística e anos iniciais do ensino fundamental
O termo Estatística, em sua origem, está ligado à palavra status, que em latim
significa “estado”. O uso do conceito de estatística, por mais que não haja um
consenso, de acordo com alguns historiadores, data por volta do ano 3.000 A.C.,
quando as grandes sociedades do Mediterrâneo começaram a avançar
territorialmente com seus estados e, consequentemente, com o aumento de
pessoas residindo em seus territórios.
Dessa forma, há indícios de que nessa época foram realizados os primeiros censos
de forma a verificar o número de pessoas que habitavam os seus territórios. Além
disso, a verificação de habitantes também tinha como premissa o conhecimento
sobre os aptos para guerra, proprietários das terras, uso das terras, entre outros,
ou seja, uma forma de controle do Estado sobre os seus habitantes. É importante
destacar que o termo censo, derivado da palavra censere, que em latim significa
“taxar”, e serviu de base para o cálculo de impostos. Com isso, é possível inferir
que a ideia inicial da estatística vem ao encontro da necessidade de um controle
do Estado sobre o seu território, bem como da obtenção de lucro. 
VOCÊ SABIA?
Em 1871, no período Imperial, foi criado o primeiro órgão destinado
exclusivamente à Estatística, que até 1934 mudou de nome e de função algumas
vezes. Posteriormente, em 1936, foi criado o Instituto Nacional de Estatística, que
no ano seguinte passou a ser chamado de Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística, o IBGE (BRASIL, [201-?]). 
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O campo da Estatística historicamente articulava-se mais intensamente no ensino
superior. Com o tempo sua aplicação na escola básica vai tomando corpo e sua
validade se efetiva, por exemplo, pelos PCN (1997), com um bloco temático
denominado “Tratamento da Informação”, que se divide nos conteúdos de
Estatística, Probabilidade e Combinatória. Para os PCN (1997, p. 36), “[...] com
relação à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir
procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando
tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia-a-
dia”.
Ainda conforme os PCN (1997, p. 45):
Os assuntos referentes ao Tratamento da Informação serão trabalhados neste ciclo
de modo a estimularem os alunos a faz desenvolver o espírito de investigação. A
finalidade não é a de que os alunos aprendam apenas a ler e a interpretar
representações gráficas, mas que se tornem capazes de descrever e interpretar sua
realidade, usando conhecimentos matemáticos.
Com a formulação dos PCN (1997) houve, nesse momento, um grande avanço
sobre o tratamento da informação, especialmente no campo da estatística, que
vem estabelecer algumas especificidades desse campo pensado agora para a
educação básica. O tema ganha atenção de vários pesquisadores do campo da
educação matemática no intuito de pesquisar e produzir conhecimento no campo
educacional brasileiro, gerando informações úteis para os docentes que precisam
trabalhar com esse tema nos anos iniciais do ensino fundamental.
Na educação, o termo educação estatística entra em cena quando necessário
problematizar o uso e aplicação desse conteúdo na escola básica. Conforme
Cazorla et al. (2017, p. 15): 
A Educação Estatística está centrada no estudo da compreensão de como as
pessoas aprendem Estatística envolvendo os aspectos cognitivos e afetivos e o
desenvolvimento de abordagens didáticas e de materiais de ensino. Para isso, a
Educação Estatística precisa da contribuição da Educação Matemática, da
Psicologia, da Pedagogia, da Filosofia, da Matemática, além da própria Estatística.
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Perceba que educação estatística se preocupa com os aspectos cognitivos e
afetivos bem como sobre o desenvolvimento de abordagens didáticas e de
materiais de ensino. Além disso, está articulado com outros campos disciplinares,
como a Pedagogia, Filosofia, Matemática e Estatística.
O trabalho com esse tema na escola da educação básica propicia vivências para
um trabalho interdisciplinar e, principalmente, possibilita abordar temas
transversais. Para ser estatisticamente crítico, conforme Guimarães (2013, p. 04),
“[...] é preciso conhecer sobre os dados, como interpretá-los, aprender a colocar
perguntas críticas e refletidas acerca do que é apresentado, ou seja, saber se os
dados coletados são confiáveis e representativos da amostra”.
Trabalhar com estatística envolve além dos aspectos gráficos, ações que envolvam
reflexão sobre os objetos bem como percebê-los como uma ferramenta potente
para entender o mundo no qual se vive, ou seja, interpretar as informações e com
elas expandir seu conhecimento frente às problemáticas que nos rodeiam. Outro
fato importante é que o pensamento estatístico trabalha com as incertezas, ou
seja, por meio da probabilidade analisa chances de eventos acontecerem e até
mesmo de não acontecerem. 
O livro “Estatística para os anos iniciais do ensino fundamental” (2017), de Irene Cazorla, Sandra
Magina, Verônica Gitiran e Gilda Guimarães, é composto por reflexões oriundas de pesquisas das
pesquisadoras e busca expor as articulações possíveis entre a estatística e os anos inicias. Trazem
ainda nesse livro vários caminhos e possibilidades para trabalhar com essa temática. Leia em:
<https://goo.gl/tptu9Y (https://goo.gl/tptu9Y)>. 
Assim, conforme Cazorla e Santana (2010), as fases de uma investigação científica
têm as seguintes etapas: a) problematização da pesquisa; b) planejamento da
pesquisa; e c) execução da pesquisa.  Para Crespo (2002) e Larson e Farber (2010),
a Estatística é uma ciência que fornece métodos para a coleta, organização,
descrição, análise e interpretação de dados que, posteriormente, serão utilizados
para a tomada de decisões.
VOCÊ QUER LER?
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Ao empreender-se em um estudo estatístico, é necessário o desenvolvimento de
diversas fases do trabalho a fim de que se possa chegar a resultados finais que
possibilitem tomadas de decisões válidas. As fases principais, de acordo com Falco
(2008), são as seguintes:
É possível definir fenômeno como “[...] os acontecimentos observáveis, algo que
pode ser visto. Estes podem ser observados em condições naturais ou
experimentais. Os experimentos são réplicas dos fenômenos naturais em
condições controladas pelo experimentador” (CAZORLAet al., 2017, p. 21).     
Quadro 1 - Fases desenvolvidas para o estudo estatístico. Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em FALCO,
2008.
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Um fato que marca a infância é a curiosidade. Por meio da curiosidade as crianças
questionam, investigam e descobrem infinitas informações que passam, então, a
compor seu acervo mental. O papel do docente entra em cena quando consegue
aproveitar essa curiosidade para trabalhar com os conteúdos curriculares, caso da
educação estatística.
Para Cazorla et al. (2017, p. 21), “[...]  o fato de uma questão já ter resposta
científica não implica em sua inviabilidade de uso em sala de aula. Essas
investigações são feitas para que o aluno observe ou reconstrua o conhecimento,
ou parte dele, a partir de experimentos ou de observação dos fenômenos”.
Para escolher um problema a ser investigado pode haver uma escolha entre os
docentes e os estudantes. O trabalho de pesquisa pode ser articulado com as
aulas, podendo essa pesquisa durar um bom tempo, como um bimestre letivo
todo, pois cada retorno à pesquisa tem a intenção de incentivar os estudantes
para que não desanimem ao longo do processo.
Conforme Cazorla et al. (2017, p. 26), “[...] é importante ressaltar que algumas
vezes se confunde pesquisa com estudo. Entretanto, a diferença entre os dois está
exatamente na produção de um conhecimento e não na apropriação por alguém
de um conhecimento já produzido”. Ou seja, pesquisa produz algo novo, mesmo
que já produzido por outras pessoas.
Imagine que você, enquanto docente, queira aprofundar a discussão sobre
multiplicação e divisão com os estudantes. Nesse sentido é possível trabalhar com
tarefas investigativas, pois permite o “[...]  contato das crianças com uma
matemática que não seja baseada apenas na reprodução de procedimentos, que
incentive a autonomia e a criatividade dos estudantes, pode ter uma maior
potencialidade nos anos iniciais, pois as crianças ainda não apresentam
resistência em relação a ela” (BERTINI, 2015, p. 20).
O espaço que fará essa pesquisa é particular de sua escola, os recursos, o espaço
onde a escola se encontra, a cidade, o bairro etc. Então, cada pesquisa é única,
pois cada escola vive uma realidade e, por isso, ela será produzida conforme esse
espaço, mas sempre no intuito de produção de conhecimento. Interessante
ressaltar que atividades de pesquisa devem estar alinhadas com a faixa etária dos
estudantes e com o tempo necessário para efetivar a ação.
Importante lembrar que para qualquer atividade em sala de aula deve haver um
planejamento bem como objetivos a serem alcançados. O interessante da
estatística é a possibilidade que nos oferece para trabalhar com situações
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didáticas de ações de nosso cotidiano. Sendo assim, o ganho no processo de
aprendizagem em matemática possivelmente será mais qualificado. 
Síntese
Neste capítulo você pôde observar alguns conceitos que atravessam o ensino de
subtração, multiplicação, divisão e estatística, sendo todos pensados a partir dos
anos iniciais do ensino fundamental. 
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
compreender que dominar as estruturas aditivas exige do discente a
capacidade de resolver vários modelos de situações-problema;
visualizar que no campo conceitual quando trabalhamos com situações
problemas nos deparamos com quatro grupos: composição,
transformação, comparação e misto;
aprender que efetuar não se trata de realizar empréstimos e sim
decomposição de dezenas em unidades, centenas em dezenas etc.;
perceber que o campo da multiplicação pode ser pensado pelo raciocínio
combinatório;
identificar que o campo da estatística quando pensado para a educação tem
um termo próprio, conhecido também como educação estatística.
(sections/pdf/TASK11051.pdf)
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