Fluxo de veículos

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FLUXO DE VEÍCULOS
Análise de fluxos de veículos através da teoria das filas
Um fenômeno facilmente observável na circulação viária é a formação de filas em interseções e em pontos de estrangulamento das vias. Estas filas ou congestionamentos são um dos problemas mais constantes enfrentados pelos engenheiros de transportes, responsáveis por uma parcela considerável do tempo total de viagem, além de serem um dos fatores mais preponderantes na redução do nível de serviço das vias.
A formação de filas não é uma exclusividade dos sistemas de transportes, como qualquer pessoa que vive numa sociedade moderna sabe: pode-se encontrar filas em bancos, linhas de fabricação e montagem, sistemas de computadores, hospitais, centrais telefônicas, etc. Os sistemas de filas têm sido exaustivamente estudados com o objetivo de mitigar os problemas inerentes a eles, o que levou á criação de um corpo de conhecimento considerável, conhecido como Teoria das Filas. Os modelos de fluxo de veículos apresentados no item anterior podem ser usados em associação com a Teoria das Filas para analisar o comportamento dos fluxos de veículos nos pontos de estrangulamento, permitindo avaliar a eficiência dos dispositivos e alterações projetados.
Um modelo de filas é determinado pelos seguintes parâmetros:
· padrão de chegadas.
· padrão de partidas,
· número de faixas de tráfego (canais de atendimento), e
· disciplina da fila.
Dois modelos que representam o padrão de chegadas já foram discutidos anteriormente: o modelo de chegadas determinísticas, e o modelo de chegadas estocásticas que obedecem uma distribuição de Poisson. Se as chegadas ocorrem de forma determinística, os headways entre veículos são sempre iguais. Se as chegadas forem poissonianas, os headways são distribuídos de acordo com uma distribuição exponencial negativa (Equação 12.21). O padrão de partidas mostra como os veículos saem da seção de controle – por exemplo, os headways entre veículos que passam por um semáforo. Os padrões de partidas mais comuns são o determinístico (headways constantes) e o exponencial negativo (headways aleatórios, distribuídos de acordo com uma exponencial).
Um terceiro aspecto importante para os modelos de filas é o número de canais de atendimento – por exemplo, numa agência bancária, o número de caixas ativos. Nos sistemas de filas de interseções rodoviárias ou em trechos de vias, o número de canais é quase sempre unitário, representando uma faixa de tráfego ou um conjunto de faixas de tráfego. Contudo, pode-se encontrar várias situações onde o número de canais é maior que um, como é o caso de uma praça de pedágio.
O último fator que define um sistema de filas é a disciplina da fila. Quando os clientes são atendidos na ordem em que chegam ao sistema, diz-se que a disciplina é PEPS (primeiro que entre, primeiro que sai) ou FIFO (do inglês “first in, first out”). Se os primeiros fregueses são atendidos na ordem inversa das chegadas, isto é, o último que chega é o primeiro a ser atendido, a disciplina é chamada UEPS ou, em inglês, LIFO (“last in, first out”). Para os sistemas de filas encontrados no tráfego rodoviário, a disciplina PEPS é a mais comum.
Tradicionalmente, o sistema de notação dos modelos de fila é composto por duas letras e um número, separados por barras, que indicam o processo de chegadas, o processo de atendimento e o número de canais. A letra D é usada para representar headways de chagada e de partida determinísticos. Portanto, D/D/1 é a notação de uma fila onde os veículos chegam à seção de controle a intervalos iguais e constantes e partem da seção de controle a intervalos iguais e constantes, através de um único canal. Note-se que a notação D/D/1 não implica que o headway médio de chagada seja igual ao headway médio de partida.
Para os casos onde os headways são distribuídos exponencialmente, usa-se a letra M: M/M/1 é a notação de uma fila onde tanto os headways de chagada como os de partida seguem uma distribuição exponencial negativa e existe apenas um canal de atendimento. Usa-se a notação M/D/1 para indicar um sistema de filas onde os headways de chegada se distribuem exponencialmente, os headways de partida são determinísticos e há um único canal de atendimento.
Fica além dos objetivos deste texto introdutório estudar os modelos de fila estocásticos que podem ser aplicados ao estudo de problemas de Engenharia de Transportes. O leitor interessado deve procurar, por exemplo, Novaes [1975] ou Newell [l982], que contém vários exemplos aplicativos do uso da Teoria das Filas em problemas de Engenharia de Transportes.
O modelo D/D/1
Uma fila onde tanto os headways entre os veículos que chegam ao sistema como os headways entre os veículos que partem do sistema são constantes e onde existe um único canal de atendimento serve bem para demonstrar os conceitos básicos ligados à Teoria das Filas, pois tanto a solução analítica como a solução gráfica do problema podem ser facilmente compreendidas. Ainda que a solução analítica para uma fila D/D/1 seja fácil de ser obtido por um aluno de Engenharia Civil, o leitor deve esforçar-se em resolver estes modelos graficamente, pois só assim obterá uma maior familiaridade com os modelos de filas, o que lhe será de grande valia na análise de sistemas como terminais (rodoviários, portuários, aéreos, etc.), vias, etc.
Seja um edifício cuja garagem abra à 9:00 h. Neste instante, veículos começam a chegar ao portão de estacionamento a uma taxa de 480 veic/h. depois de 20 minutos, o fluxo de veículos que chagam à entrada do estacionamento se reduz para 120 veic/h, e se mantém constante até o final do dia. No portão de entrada existe um controle de estacionamento que requer que a placa de cada veículo seja anotada e um comprovante seja dado ao motorista. O tempo necessário para esta operação é constante e igual a 15 segundos.
Figura 12.8 – Representação gráfica de uma fila D/D/1
O gráfico da Figura 12.8 é a representação gráfica do modelo D/D/1 que corresponde ao sistema descrito acima. O eixo das ordenadas representa o número acumulado de veículos; o eixo das abcissas indica o tempo. Após 20 min (1/3 h) de funcionamento do estacionamento terão chegado 480 ( 3 = 160 veículos. A derivada da reta AO corresponde ao fluxo de chegadas 480 veic/h – o ponto A tem coordenadas (20 mim, 160 vei). Após 20 min, o fluxo de chegadas passa a ser 120 veic/h; a derivada da reta AB é menor que a da reta AO e corresponde à este novo fluxo. A curva de chegadas é representada por OAB. Matematicamente, a curva de chegadas pode ser expressa por:
C(t) = λ t (12.22)
onde
C(t):
número acumulado de chegadas ao guichê [veic];
λ:
taxa de chegadas [veic/min]; e
t:
tempo decorrido [min].
No caso, a taxa de chegadas muda após 20 minutos de funcionamento do sistema:
λ = 480/60 = 8 veic/min, para t < 20 min
λ = 120/60 = 2 veic/min, para t ≥ 20 min
e a curva de chegadas é:
C(t) = 8t veic, para t < 20 min
C(t) = 160 + 2(t – 20) veic, para t ≥ 20 min
Se cada veículo que chega ao portão do estacionamento leva 15 segundos para partir, os headways entre partidas são 15 s. Portanto, o fluxo que sai do portão é 4 veic/min ou 240 veic/h. Supondo-se que o primeiro veículo que chega ao edifício o faz exatamente no instante em que o estacionamento se abre, pode-se desenhar a curva de partidas do portão, a reta OB, cuja derivada corresponde ao fluxo de 240 veic/h. Pode-se notar que o ponto B tem coordenadas (60 min, 240 veic). De maneira similar à curva C(t), a curva de partidas D(t), pode ser expressa por:
D(t) = μ t (12.23)
onde
D(t):
número acumulado de veículos que saem do guichê [veic];
μ:
taxa de partidas [veic/min]; e
t:
tempo decorrido [min].
A taxa de partidas é constante ao longo do dia e reflete a capacidade de atendimento (número de cabines) e o tempo de atendimento de cada freguês:
μ = 60 / tat c(12.24)
onde
μ:
taxa de atendimento [veic/min];
tat:
tempo de atendimento [seg/veic]; e
c:
número de guichês.
Portanto, a taxa de atendimento é μ = 60/15 = 4 veic/min e a curva de partidas é D(t) = 4t veic. Um erro imperdoável é supor que a taxa de atendimento se mantém constante ao longo do dia; na verdade, a taxa de atendimento só pode ser maior que a taxa de chagadas se existir uma fila. Observando-se o gráfico da Figura 12.8 pode-se perceber que a derivada da curva D(t) (que corresponde à taxa de atendimento) se reduz após o ponto B, quando a fila desaparece. A partir de B, μ = λ. Portanto, a curva de partidas é melhor descrita por:
D(t) = 4t veic, para t < 60 min
D(t) = 240 + 2(t – 240) veic, para t ≥ 20 min
As curvas de chagada e partida representam graficamente o sistema de filas estudado; observando-se o gráfico da Figura 12.8 pode-se ver como a fila cresce até um máximo e depois diminui até desaparecer completamente.
O grau de congestionamento do sistema, ρ, é definido como a razão entre a taxa de chegadas (λ) e o produto da taxa de atendimento (μ) e do número de canais de serviço (c):
ρ = λ / μ c (12.25)
Se ρ ≥ 1, diz-se que o sistema esta supersaturado, ou seja, chegam mais clientes do que é possível atender, o que faz com que a fila cresça continuamente. O caso onde ρ é maior que a unidade durante um pequeno intervalo de tempo, após o qual ele se torna menor que um é comum em Engenharia de Transportes e será estudado mais adiante (item 12.5)
O comprimento da fila num determinado instante t é dado pela distância vertical entre a curva de chegada e a curva de partida. O gráfico mostra o comprimento da fila no instante t = 10 min, que pode ser medido no gráfico e é igual a 40 veículos. Para este modelo, pode-se determinar analiticamente o comprimento da fila num instante t qualquer através de:
L(t) = C(t) – D(t) (12.26)
onde L(t) é o tamanho da fila [veic].
Observando-se o gráfico, é fácil perceber que a fila atinge o seu máximo quando t = 20 min. Neste instante, pode-se determinar a fila máxima tanto graficamente como analiticamente. No primeiro caso, a fila máxima é a maior distância vertical entre C(t) e D(t), que pode ser medida no gráfico e é igual a 80 veic. Analiticamente, a fila máxima é
L(t)max = 8 x 20 – 4 x 20 = 80 veic.
O instante em que a fila termina pode ser obtido tanto graficamente como analiticamente. A Figura 12.8 mostra que a fila termina no ponto B, de coordenadas (60 min, 240 veic); ou seja, a fila desaparece no instante t = 60 min, após 240 veículos terem sido atendidos. Pode-se calcular o instante t onde a fila termina igualando-se
D(t) = C(t)
4t = 160 + 2(t – 20)
t = 60 min
Uma outra característica importante dos sistemas de filas é a espera na fila. O tempo que o n-ésimo veículo espera na fila pode ser determinado diretamente no gráfico, medindo-se a distância horizontal entre as curvas C(t) e D(t) correspondente à ordenada y = n veic. Na Figura 12.8, mostra-se o tempo de espera do centésimo veículo, que é W100 = 12,5 minutos.
A determinação gráfica do tempo máximo de espera na fila é simples e corresponde à espera do veículo que chega no instante em que a fila atinge o seu máximo. No caso, a espera máxima Wmax = 20 minutos. O desenvolvimento de expressões analíticas para o cálculo da fila é deixado como exercício para o leitor.
Outras duas características importantes de sistemas de filas são a fila média e a espera média na fila que podem ser determinadas a partir da espera total, que é representada no gráfico pela área hachurada. A espera total é
Wtotal = (80 x 20)/2 + (80 x 40)/2 = 2.400 veic.min
A espera média na fila pode ser obtida dividindo-se a espera total pelo número total de veículos que entraram no sistema. Portanto, a espera média durante 60 minutos em que a fila existiu É W = 2.400/240 = 10 min/veic, já que 240 veículos passaram pelo guichê durante os 60 minutos de duração da fila. 
A fila média pode ser calculada de modo similar, dividindo-se a espera total pelo tempo de duração da fila. No caso, a fila média é L = 2.400/60 = 40 veículos.
O estudo dos modelos estocásticos de fila está além dos objetivos deste texto introdutório. O leitor interessado deve consultar, por exemplo, Novaes [1975], que ainda apresenta várias aplicações práticas de modelos estocásticos de filas em Engenharia de Transportes.
Comportamento do tráfego em pontos de estrangulamento
A Teoria das Filas pode também ser usada para analisar os fluxos de tráfego nos congestionamentos gerados por estrangulamentos nas vias, um problema freqüentemente encontrado por Engenheiros de Transportes.
Um estrangulamento é um ponto onde a capacidade da via é inferior á capacidade da seção imediatamente à montante. A capacidade de um trecho de via pode ser reduzida por um grande número de fatores, entre os quais os mais comuns estão: a diminuição de número e da largura das faixas de tráfego, a redução da largura dos acostamentos e a presença de interseções. Um estrangulamento pode ser incidental ou recorrente. Os estrangulamentos recorrentes são causados por limitações de capacidade impostas pela própria via, tais como um trecho onde o número de faixas de rolamento é menor, onde existe uma obra, etc. Estes locais se tornam pontos de estrangulamento quando os fluxos de tráfego típica e periodicamente excedem a capacidade da via neste local.
Os estrangulamentos incidentais são causados por incidentes de tráfego, que podem ser causados por uma série de fatores, entre os quais um acidente de trânsito, um veículo parado na faixa de tráfego, etc., que restringem o fluxo de tráfego na via por um período relativamente curto. A diferença básica entre os dois tipos de estrangulamentos é que, enquanto se pode prever os congestionamentos causados por gargalos recorrentes, é impossível prever onde os gargalos incidentais vão ocorrer. Além do mais, a capacidade da via ao longo de uma restrição incidental costuma variar com o tempo. Por exemplo, um acidente pode inicialmente bloquear todas as faixas de uma via; conforme os veículos envolvidos vão sendo removidos, as faixas de tráfego vão sendo liberadas paulatinamente, restaurando a capacidade da via ou seu nível pré-existente.
O efeito de estrangulamento causado pelas interseções é mais complexo, pois dois fluxos obstruem-se mutuamente. O restante deste capítulo apresenta um método para estudo do comportamento do tráfego em gargalos situados fora de cruzamentos; o comportamento do trêfego em interseções será estudado num capítulo à parte, dada a sua importância para a formação do engenheiro de transportes.
Fluxo de veículos em congestionamentos
Um modelo D/D/1 pode ser utilizado para ilustrar o comportamento do tráfego num estrangulamento de forma simples e intuitiva. Suponha-se uma auto-estrada de 2 faixas de tráfego, cuja capacidade direcional é 4.000 veic/h, onde existe um volume de tráfego de 2.900 veic/h durante um período de várias horas. Num certo instante (t = 0), ocorre um acidente que obstrui completamente a via por 12 minutos até que uma das faixas é liberada para o tráfego, com capacidade reduzida a 2.000 veic/h. A capacidade da via volta ao seu valor inicial em t = 31 min, quando os veículos são removidos do local.
Um modelo D/D/1, como já visto anteriormente, é definido pelos seguintes parâmetros: taxa de chegada, taxa de atendimento, número de canais de serviço e disciplina. A disciplina de uma fila numa rua ou estrada é claramente PEPS e a prática mostra que pode-se supor que existe um único canal de atendimento. A taxa de chagadas (λ), no caso, é definida pelo volume de tráfego, que é constante ao longo de todo o período:
λ = 2.900/60 = 48,33 veic/min.
A taxe de atendimento (μ) é determinada pela capacidade da via, que varia ao longo do tempo:
μ(t) = 0,
para 0 ≤ t < 12 min
μ(t) = 2.000/60 = 33,33 veic/min, 
para 12 ≤ t < 31min
μ(t) = 4.000/60 = 66,67 veic/min, 
para t ≥ 31 min
A função que descreve a curva de chegadas é C(t) = 48,33 t, e a curva de partidas é:
D(t) = 0, 
para 0 ≤ t < 12 min
D(t) = 33,33(t – 12) veic,
 
para 12 ≤ t < 31 min
D(t) = 633,3 + 66,67 (t – 31) veic, 
para t ≥ 31 min
O leitor é definitivamente encorajado a resolver este problema graficamente para facilitar sua compreensão do uso de Teoria das Filas para a solução de problemas de Engenharia de Tráfego, a despeito de que a solução analítica seja simples. A solução gráfica é obtida facilmente e permite a visualização de comportamento do tráfego no estrangulamento, como mostra o gráfico da Figura 12.9.
Inicialmente constrói-se a curva de chegadas C(t), uma semi-reta cujo início é na origem e passa pelo ponto (60 min, 2.900 veic). A seguir constrói-se D(t), a curva de partidas, comporta por três segmentos de reta:
· um segmento entre as coordenadas (0, 0) e 12 min, 0);
· um segmento entre as coordenadas (12 min, 0) e (31 min, 633,3 veic); e
· uma semi-reta que se inicia no ponto (31 min, 633,3 veic) e tem coeficiente angular 4.000 veic/h.
o ponto de cruzamento das curvas C(t) e D(t) define o instante onde o congestionamento termina, que corresponde exatamente a t = 78,16 minutos. Este valor pode ser determinado analiticamente fazendo-se C(t) = D(t) mas a precisão da solução gráfica é suficiente, na maioria das vezes.
Figura 12.9 – Modelo D/D/1 para análise de um congestionamento
O gráfico permite também determinar qual o tamanho máximo do congestionamento e o instante em que ele ocorre: em t = 31 min, 865 veículos formam o congestionamento. A área hachurada mostra a espera total gerada pelo congestionamento. A forma mais simples de se determinar uma área graficamente (se as curvas estiverem desenhadas em papel milimetrado) é a contagem de quadradinhos. Neste exemplo, a forma mais simples é calcular a área hachurada, que corresponde a
Wtotal = (12 x 580)/2 + [(580 + 1.498,3) x 19]/2 - (19 x 633,3)/2 + [(1.498,3 – 633,3)(78,16 – 31)]/2
Wtotal = 37.604,2 veic.min
Esta espera total corresponde a um único veículo sendo detido por 26,11 dias num congestionamento, com seu motor funcionando continuamente. Daí é possível perceber os impactos econômicos e ambientais causados por um congestionamento de curta duração e imaginar a magnitude dos custos totais dos congestionamentos diários de São Paulo.
Referências Bibliográficas
Denatran (1978). Noções de Engenharia de Tráfego. Conselho Nacional de Trânsito, Ministério da Justiça, Brasília, D.F.
Gerlough, D. L. e Huber, M. J. (1975). Traffic flow theory: A nomograph. Special report 165, ransportation Research Board, U.S. National Research Council, Washington, D.C.
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Novaes, A.G. (1975). Pesquisa Operacional e Transportes: Modelos Probabilísticos. EDUSP/Ed. McGraw-Hill do Brasil, S. Paulo.
Setti, J. R. e Widmer, J. A. (1997). Tecnologia de Transportes. Universidade de São Paulo. São Paulo.
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