Dimensionamento de Estruturas: Estados Limites e Ações

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AULA 3 – Ações e bases para dimensionamento 
 
1) Estados Limites 
A segurança que toda estrutura deve apresentar envolve dois aspectos: 
a) a estrutura não alcançar a ruptura; 
b) bom desempenho: conforto das pessoas na utilização da construção. 
 
Assim, em função dos itens acima, são definidos os seguintes estados limites: 
 
- Estado Limite de Último (ELU): segurança da estrutura contra o colapso. É no ELU que o 
dimensionamento é feito. 
- Estado Limite de Serviço (ELS): segurança dos usuários na utilização. Exemplo: flechas excessivas. 
 
Assim, quando fazemos o dimensionamento, a estrutura deve atender à esses 2 estados limites, o ELU e 
o ELS. 
Na prática, aplica-se coeficientes de segurança, ou seja, minora-se as resistências do aço e do concreto e 
majora-se as ações. 
 
2) Ações 
Aquelas que provocam esforços nas estruturas. 
a) Permanentes: valores constantes ao longo do tempo. Exemplos: peso próprio, revestimentos e 
alvenarias. 
b) Variáveis: valores variam ao longo do tempo. Exemplos: sobrecarga de ocupação (NBR 6120), vento e 
temperatura. 
c) Excepcionais: duração curta e probabilidade muito baixa de ocorrência. Exemplos: explosões, incêndios 
e sismos. 
 
3) Coeficientes de segurança 
Utilizados para minorar as resistências e majorar as cargas. 
3.1) Minoração das resistências 
- Resistência do concreto: coeficiente de ponderação 𝛾𝑐 = 1,4 
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
𝑓𝑐𝑘
1,4
 
- Resistência do aço: coeficiente de ponderação 𝛾𝑠 = 1,15 
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
=
𝑓𝑦𝑘
1,15
 
 
3.2) Majoração das ações (combinações) 
- ELU (dimensionamento) 
𝐹𝑑 = 1,4 ∗ (𝑔 + 𝑞) 
Onde: 
g: ações permanentes 
q: ações variáveis 
 
- ELS 
Os coeficientes dependerão da verificação a ser feita. Podemos ter: 
ELS-F: EL de formação de fissuras - combinações raras 
ELS-W: EL de abertura de fissuras - combinações frequentes 
ELS-DEF: EL de deformações excessivas (flechas) - combinações quase permanentes 
ELS-VE: EL de vibrações excessivas - combinações frequentes 
 
Exemplo: Uma viga de concreto armado é submetida a um carregamento distribuído devido ao peso 
próprio de 2,5 kN/m e sobrecarga de 2 kN/m. Determine os carregamentos a serem utilizados para o 
dimensionamento e as resistências do concreto e do aço para o projeto, sabendo que o concreto é do tipo 
C30 e o aço CA50. 
 
RESOLUÇÃO 
- Ações 
ELU 
𝐹𝑑 = 1,4 ∗ (2,5 + 2,0) = 6,3 𝑘𝑁 
 
- Resistências 
Concreto C30: 𝑓𝑐𝑑 =
30
1,4
= 21,43 𝑀𝑃𝑎 
Aço CA50: 𝑓𝑦𝑑 =
500
1,15
= 434,78 𝑀𝑃𝑎 
 
Exemplo: Um pilar é submetido a uma carga de peso próprio de 20 kN e sobrecarga de 10 kN. Determine 
a carga de projeto e as resistências do concreto e do aço em MPa e kN/cm². Dados: concreto C35 e aço 
CA50. 
 
RESOLUÇÃO 
- Ações 
𝐹𝑑 = 1,4 ∗ (20 + 10) = 42 𝑘𝑁 
 
- Resistências 
Concreto C30: 𝑓𝑐𝑑 =
35
1,4
= 25 𝑀𝑃𝑎 = 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
Aço CA50: 𝑓𝑦𝑑 =
500
1,15
= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
4) Estádios de cálculo 
Definidos como os vários estágios de tensão pelo qual um elemento fletido passa, desde o carregamento 
inicial até a ruptura. São eles: estádios I, II e III. 
 
a) Estádio I 
- Início do carregamento 
- Tensões normais de pequena magnitude 
- Concreto resiste às tensões de tração 
- É válida a Lei de Hooke 
 
b) Estádio II 
- Começa quando a parte tracionada do concreto fissura 
- Tensões de compressão são lineares 
- Contribuição do concreto tracionado é desprezada 
- Termina com o início da plastificação do concreto comprimido 
 
 
c) Estádio III 
- Zona comprimida plastificada 
- Concreto na iminência de ruptura 
- Diagrama de tensões de compressão na forma parabólico-retangular 
- É no estádio III que é feito o dimensionamento 
 
OBS.: Estádios I e II correspondem à situações de serviço (ELS) e Estádio I corresponde ao ELU, que só 
ocorrem em situações extremas. 
 
5) Domínios de deformação 
O dimensionamento é feito no estádio III para que se aproveite a capacidade do concreto e do aço nos 
seus limites de plastificação. 
Limite de deformação do concreto (compressão): 0,35% 
Limite de deformação do aço (tração): 1,00% 
 
Quanto maior o momento fletor, maiores as tensões de compressão no concreto. 
Como a deformação do concreto é limitada à 0,35%, a linha neutra se desloca para baixo para que uma 
área maior da seção “combata” a compressão gerada por um momento alto. 
 
A posição da linha neutra é encontrada da seguinte maneira: 
 
 
𝑅𝑐𝑐 = 0,85 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑦 
𝑅𝑐𝑐 = 0,85 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 0,8 ∗ 𝑥 
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥 
 
𝑧 = 𝑑 −
𝑦
2
= 𝑑 −
0,8𝑥
2
 
𝑧 = 𝑑 − 0,4𝑥 
 
𝑀𝑑 = 0,68 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ (𝑑 − 0,4 ∗ 𝑥) 
𝑀𝑑
0,68 ∗ 𝑏 ∗ 𝑓𝑐𝑑
= 𝑑 ∗ 𝑥 − 0,4 ∗ 𝑥2 
𝑀𝑑
0,68 ∗ 𝑏 ∗ 𝑓𝑐𝑑
= 𝑑 ∗ 𝑥 ∗ −0,4 ∗ 𝑥2 
0,4 ∗ 𝑥2 − 𝑑 ∗ 𝑥 +
𝑀𝑑
0,68 ∗ 𝑏 ∗ 𝑓𝑐𝑑
= 0 
Resolvendo a equação de segundo grau, temos o valor de x: 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
] 
 
Exemplo 1: Achar a posição da linha neutra para uma viga de concreto armado C20 de 20x33 cm 
submetida a um momento 𝑀𝑘 = 30 𝑘𝑁𝑚. 
𝑀𝑑 = 1,4 ∗ 𝑀𝑘 = 1,4 ∗ 30 = 42 𝑘𝑁𝑚 = 4200 𝑘𝑁𝑐𝑚 
C20: 
𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑑 =
20
1,4
= 14,28 𝑀𝑃𝑎 = 1,428 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝑏 = 20 𝑐𝑚 
ℎ = 33 𝑐𝑚 
𝑑 = ℎ − 4 = 33 − 4 = 29 𝑐𝑚 (quando não se tem dados sobre o cobrimento) 
 
Linha neutra: 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
] = 1,25 ∗ 29 [1 − √1 −
4200
0,425 ∗ 20 ∗ 292 ∗ 1,428
] 
𝑥 = 8,44 𝑐𝑚 
 
Verificação: 
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥 
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∗ 1,428 ∗ 20 ∗ 8,44 = 163,91 𝑘𝑁 
𝑧 = 𝑑 − 0,4𝑥 = 29 − 0,4 ∗ 8,44 = 25,624 𝑐𝑚 
𝑀 = 163,91 ∗ 25,624 = 4200 𝑘𝑁𝑐𝑚 OK! 
 
Exemplo 2: Achar a posição da linha neutra para uma viga de concreto armado C25 de 15x40 cm 
submetida a um momento 𝑀𝑘 = 40 𝑘𝑁𝑚. 
𝑀𝑑 = 1,4 ∗ 𝑀𝑘 = 1,4 ∗ 70 = 98 𝑘𝑁𝑚 = 9800 𝑘𝑁𝑐𝑚 
C25: 
𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑑 =
25
1,4
= 17,86 𝑀𝑃𝑎 = 1,786 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝑏 = 15 𝑐𝑚 
ℎ = 40 𝑐𝑚 
𝑑 = ℎ − 4 = 40 − 4 = 36 𝑐𝑚 (quando não se tem dados sobre o cobrimento) 
 
Linha neutra: 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
] = 1,25 ∗ 29 [1 − √1 −
9800
0,425 ∗ 15 ∗ 362 ∗ 1,786
] 
𝑥 = 18,93 𝑐𝑚 
 
Verificação: 
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥 
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∗ 1,786 ∗ 15 ∗ 18,93 = 344,85 𝑘𝑁 
𝑧 = 𝑑 − 0,4𝑥 = 36 − 0,4 ∗ 18,93 = 28,43 𝑐𝑚 
𝑀 = 344,85 ∗ 28,43 ≅ 9800 𝑘𝑁𝑐𝑚 OK! 
 
Para se diferenciar as diferentes posições da linha neutra para o dimensionamento, chega-se aos domínios 
de deformação. 
Domínios são situações em que pelo menos um dos materiais, aço ou concreto, atinge seu limite de 
deformação. 
Para a determinação de qual domínio está a seção é necessário calcular antes a linha neutra na seção. 
 
a) Domínio 2 
- Tração de 1% na armadura. 
- Compressão do concreto varia de 0 a 0,35%, não caracterizando ruptura. 
- Apresenta grandes deformações, pois o aço é exigido ao limite da tração. 
- Os limites são x12 = 0 e x23 = 0,259*d. 
 
0,35
𝑥23
=
1
𝑑 − 𝑥23
 
 
0,35𝑑 − 0,35𝑥23 = 1𝑥23 
 
0,35𝑑 = 1,35𝑥23 
 
𝑥23 =
0,35𝑑
1,35
 
 
𝑥23 = 0,259𝑑 
A ruína na peça ocorre de maneira avisada, com o surgimento de grandes fissuras e deslocamentos 
(ruptura dúctil). 
 
b) Domínio 3 
- Ocorre ruptura por esmagamento do concreto e escoamento do aço. 
- O limite do concreto não varia, estando fixo em 0,35%. 
- Os limites são x23 = 0,259*d e x34 = 0,628*d para o aço CA-50. 
 
0,35
𝑥34
=
εyd
𝑑 − 𝑥34
 
 
0,35𝑑 − 0,35𝑥34 = 𝑥34𝜀𝑦𝑑 
--------------------------------------------------- 
𝜎 = 𝜀𝐸 
𝑓𝑦𝑑 = 𝜀𝑦𝑑𝐸 
𝜀𝑦𝑑 = 𝑓𝑦𝑑/𝐸 
 
Para aço CA-50 
𝜀𝑦𝑑 =
434,78
210000
= 0,207% 
--------------------------------------------------- 
0,35𝑑 − 0,35𝑥34 = 𝑥340,207 
 
𝑥 =
0,35𝑑
0,557
 
 
𝑥 = 0,628𝑑 
O uso deste domínio é recomendado, porém limitado, por segurança, em relação à posição da linha 
neutra, em x ≤ 0,45*d pela NBR 6118:2014, item 14.6.4.3. 
 
c) Domínio 4 
- Ruptura ocorrepor esmagamento do concreto, que permanece no limite de 0,35%. 
- A solicitação de tração na armadura varia entre o limite de escoamento 𝜀𝑦𝑑 (𝜀𝑦𝑑 = 0,207% p/ CA-50) e 
0%. 
- Solução pouco econômica, com as armaduras longitudinais positivas não aproveitadas ao máximo. 
 
A ruptura da peça ocorre de modo brusco, sem o aparecimento de grandes fissuras (ruptura frágil por 
compressão no concreto). 
 
d) Domínio 4a 
- Toda a seção está sob compressão, ou seja, concreto e aço sofrem apenas compressão. 
- A posição da linha neutra varia entre a altura útil (d) e a altura total da seção (h). 
 
Ruptura de forma frágil, sem a formação de fissuras ou grandes deformações da peça. 
 
e) Domínio 5 
- O concreto varia sua deformação limite entre 0,35% e 0,2% na compressão. 
- Limite em torno de um ponto a 3/7 da altura total da peça toda em compressão. 
- A deformação do aço também ocorre por encurtamento, e varia de 0 até 0,2%. 
- A linha neutra se encontra fora da seção. 
 
 
0,35 − 0,20
𝑥5
=
0,20
ℎ − 𝑥5
 
 
0,35 ∗ ℎ − 0,20ℎ − 0,35 ∗ 𝑥5 + 0,20 ∗ 𝑥5 = 0,20 ∗ 𝑥5 
 
0,15ℎ = 0,35𝑥5 
 
𝑥5 =
0,15𝑑
0,35
 
 
𝑥5 =
3
7
𝑑 
A ruptura ocorre de forma frágil, sem que ocorra um aviso prévio. 
 
f) Domínio 1 
- Toda a seção se encontra em tração. 
- Deformação por alongamento variando entre 1% e 0%. 
- A deformação do aço é constante, 1%. 
- Linha neutra se encontra fora da seção. 
 
 
 
Peça antieconômica, pois deixa de usar a resistência à compressão do concreto. 
 
g) Resumo – domínios 
 
 
 
Posição da L.N.: 
 
Domínio 2 
0 < 𝑥 < 0,259𝑑 
 
Domínio 3 
0,259𝑑 < 𝑥 < 0,628𝑑 
 
Domínio 4 
0,628𝑑 < 𝑥 < 𝑑 
 
Domínio 4a 
1𝑑 < 𝑥 < ℎ 
 
 
 Exemplo 3: Indique que domínio se encontra as seções dos exemplos 1 e 2. Verifique se a seção 
necessitará de modificações nas dimensões. 
- exemplo 1 
Altura útil: 𝑑 = 29 𝑐𝑚 
Lim. domínio 2: 𝑥23 = 0,259𝑑 = 0,259 ∗ 29 = 7,51 𝑐𝑚 
Lim. domínio 3: 𝑥34 = 0,628𝑑 = 0,628 ∗ 29 = 18,21 𝑐𝑚 
Lim. dimensionamento: 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45𝑑 = 0,45 ∗ 29 = 13,05 𝑐𝑚 
Linha neutra: 𝑥 = 8,44 𝑐𝑚 
 
A seção está no domínio 3. 
A linha neutra é menor que o limite permitido (x < 0,45d), portando o dimensionamento poderá ocorrer 
sem alterações. 
 
- exemplo 2 
Altura útil: 𝑑 = 36 𝑐𝑚 
Lim. domínio 2: 𝑥23 = 0,259𝑑 = 0,259 ∗ 29 = 9,32 𝑐𝑚 
Lim. domínio 3: 𝑥34 = 0,628𝑑 = 0,628 ∗ 29 = 22,61 𝑐𝑚 
Lim. dimensionamento: 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45𝑑 = 0,45 ∗ 29 = 16,20 𝑐𝑚 
Linha neutra: 𝑥 = 18,93 𝑐𝑚 
 
A seção está no domínio 3. 
A linha neutra é maior que o limite permitido (x > 0,45d). Será necessário alguma alteração para que a 
L.N. fique dentro do limite. Opções: 
- aumentar o fck 
- aumentar a largura b 
- aumentar a altura h 
- utilizar armadura dupla