Análise de Regressão Múltipla e Testes de Hipóteses

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Econometria I
Aula 5
Análise da regressão
múltipla: o problema da
inferência
Se o nosso único objetivo é a estimação pontual dos parâmetros dos modelos de regressão, o método dos mínimos quadrados ordinários (MQO), que não faz nenhuma suposição sobre a distribuição da probabilidade dos termos de erro , será suficiente. 
Mas, se a meta é a estimação e a inferência, como discutido nas aulas passadas, precisaremos supor que os seguem alguma distribuição de probabilidade.
Análise da regressão
múltipla: o problema da
inferência
Pressuposto da normalidade:
Pressupomos que os seguem a distribuição normal com média zero e variância constante. Manteremos essa hipótese nos modelos de regressão múltipla.
Dessa maneira, considerando os valores amostrais e (para todo ), podemos obter as estatísticas relacionadas aos parâmetros estimados como sendo:
Observe que os graus de liberdade agora são .
Análise da regressão
múltipla: o problema da
inferência
Pressuposto da normalidade:
A distribuição pode ser empregada para estabelecer intervalos de confiança, bem como testar hipóteses estatísticas sobre os verdadeiros coeficientes parciais de regressão da população. Do mesmo modo, a distribuição do pode ser usada para testar hipóteses relativas ao verdadeiro .
Teste de hipóteses na regressão múltipla: comentários gerais
Uma vez que fomos além do básico do modelo de regressão linear de duas variáveis, os testes de hipóteses assumem várias formas interessantes:
1. Testar as hipóteses relativas a um coeficiente individual parcial de regressão 
2. Testar a significância geral do modelo de regressão múltipla estimado, ou seja, descobrir se todos os coeficientes angulares parciais são simultaneamente iguais a zero 
3. Testar se dois ou mais coeficientes são iguais entre si 
4. Testar se os coeficientes parciais de regressão satisfazem certas restrições 
5. Testar a estabilidade do modelo de regressão estimado ao longo do tempo ou em diferentes unidades de corte transversal 
6. Testar a forma funcional dos modelos de regressão
Testes de hipótese relativos aos coeficientes individuais de
regressão
Se aceitarmos a hipótese de que segue distribuição normal com média zero e variância constante, então, poderemos usar o teste t para verificar uma hipótese sobre qualquer dos coeficientes parciais individuais da regressão.
Teste da significância geral da regressão amostral
Estávamos preocupados em testar a significância dos coeficientes parciais individuais da regressão estimada, ou seja, sob a hipótese separada de que cada coeficiente parcial de regressão populacional verdadeiro era igual a zero. Mas, considere agora a seguinte hipótese:
Para testar essa hipótese, recorremos ao que chamamos de teste da significância geral (ou global) da linha de regressão observada ou estimada, ou seja, se Y é relacionado linearmente a tanto quanto a .
Teste da significância geral da regressão amostral
Para realizar esse tipo de teste recorremos ao teste F:
Mas o que significa?
Teste da igualdade para dois coeficientes de regressão
Vamos supor que queremos testar:
Um exemplo para esse tipo de hipótese é a de que se Yi e os X forem expressos em forma logarítmica, a hipótese nula implica que as elasticidades renda e preço do consumo são iguais. (Por quê?)
Teste da igualdade para dois coeficientes de regressão
Para fazer esse teste de hipótese usamos:
Mas como podemos obter ?
Mínimos quadrados restritos: teste de restrições de igualdade
linear
Há ocasiões em que a teoria econômica sugere que os coeficientes de um modelo de regressão estão sujeitos a algum tipo de restrição de igualdade linear. Por exemplo, considere a função de produção Cobb-Douglas:
Ou na forma logarítmica: 
Mínimos quadrados restritos: teste de restrições de igualdade
linear
Mas de acordo com a teoria da firma, existe a possibilidade de retornos constantes a escala, o que em termos práticos seria afirmar que .
Assim poderíamos recorrer a dois tipos de testes:
Teste t
Teste F, ou teste dos mínimos quadrados restritos
Mínimos quadrados restritos: teste de restrições de igualdade
linear
Teste t:
Para testar a hipótese proposta, considera-se a estatística t como sendo:
Mínimos quadrados restritos: teste de restrições de igualdade
linear
Teste F, ou teste dos mínimos quadrados restritos
Vamos considerar aqui que: 
Sendo assim, como o modelo será representado?
Essa representação é denominada de mínimos quadrados restritos.
É possível através dele obter a seguinte estatística:
Teste da estabilidade estrutural ou dos parâmetros nos modelos
de regressão: o teste de Chow
O teste de estabilidade estrutural se encaixa no contexto em que busca-se verificar a pertinência de uma quebra estrutural.
Mas o que é quebra estrutural?
Como devemos proceder?
Modelos de regressão
com variáveis binárias
(dummies)
Em análise de regressão a variável dependente, ou regressando, é influenciada com frequência não só pelas variáveis proporcionais (renda, produto, preços, custos, altura, temperatura), mas pelas variáveis que são de natureza essencialmente qualitativa, ou escala nominal, como gênero, raça, cor, religião, nacionalidade, região geográfica, movimentos políticos e afiliação partidária. 
Tais variáveis em geral indicam a presença ou ausência de uma “qualidade” ou atributo, como homens ou mulheres, negros ou brancos, católicos ou não católicos, democratas ou republicanos, elas são essencialmente variáveis nominais. 
Modelos de regressão
com variáveis binárias
(dummies)
Poderíamos “quantificar” tais atributos formulando variáveis artificiais que assumem valores de 1 ou 0, em que 1 indica a presença (ou posse) daquele atributo e 0, a ausência dele. Por exemplo, 1 pode indicar que uma pessoa é mulher e 0 designar que é homem; ou 1 pode indicar que uma pessoa tem grau superior completo e 0, que não tem e assim por diante. Essas variáveis são denominadas de DUMMY (singular) ou DUMMIES (plural)
Modelos ANCOVA
Na prática, os modelos de regressão baseados em variáveis binárias podem ser analisados da mesma forma que os modelos de variáveis quantitativas.
Vamos assumir o seguinte modelo:
Em que e são variáveis quantitativas e e são variáveis discretas (dummies).
Modelos ANCOVA
Os modelos ANCOVA devem ser analisados sob a perspectiva de qualquer outro tipo de modelo. No entanto, devemos estar atentos a alguns elementos para não termos problemas com o uso de variáveis dummies:
Pode existir o caso de colinearidade perfeita, isto é, relações lineares exatas entre as variáveis.
A categoria para a qual nenhuma variável binária é atribuída é conhecida como categoria-base, de controle, de comparação, de referência ou categoria omitida. Todas as comparações são feitas em relação à categoria de referência.
A variável binária alternativa ao teste de Chow
No que se refere a estrutura de um modelo associado a variáveis dummies, podemos fazer inferencias semelhantes ao teste de Chow:
Podemos assumir que tanto o intercepto quanto os coeficientes angulares são iguais em um modelo de duas regressões. 
Somente os interceptos nas duas regressões são diferentes, mas os coeficientes angulares são iguais. 
Os interceptos nas duas regressões são iguais, mas os coeficientes angulares são diferentes.
Ambos os interceptos e coeficientes angulares nas duas regressões são diferentes. 
O procedimento do teste de Chow, que envolve várias etapas, informa apenas se duas (ou mais) regressões são diferentes sem dizer qual a origem da diferença. A origem da diferença, se houver, pode ser identificada combinando-se todas as observações (26 ao todo) e efetuando-se apenas uma regressão múltipla:
Para ser feito em casa
Efeitos de interação usando variáveis dummies
O uso de variáveis dummies na análise sazonal
Regressão linear segmentada
Alguns aspectos técnicos do modelo de variáveis dummies
Deverão fazer um resumo e um exemplo (diferente para cada um).