Fixação 01 ALGEBRA

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22/09/2019 Fixação 01
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Fundamentos de Álgebra
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Iniciado em domingo, 18 Ago 2019, 13:19
Estado Finalizada
Concluída em domingo, 18 Ago 2019, 13:20
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Questão 1
Correto
Seja o exercício: Provar, por indução, que n > 3n, para n ≥ 4.
Escolha uma:
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: Neste caso, a hipótese de indução deve ser feita para n = 4.
2 
a. Neste caso, a hipótese de indução deve ser feita para n = 4

b. Essa expressão é verdadeira para n = 0 e n = 1
c. Não é possível provar dessa forma, pois a prova por indução só é aplicável a somatórias
d. .Não é possível provar dessa forma, pois, na prova por indução, deve-se começar por 0 ou 1
e. Não é possível desenvolver a desigualdade (k + 1) > 3(k + 1) pois ela sempre será
falsa
2 
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Questão 2
Incorreto
A noção de ordem leva à relação “menor ou igual”, que satisfaz algumas propriedades. No
conjunto Z, sobre essas propriedades, podemos afirmar
Escolha uma:
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: Pela propriedade antissimétrica: x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y.
a. Pela prioridade da neutralidade: Dados x e y em Z, então ou x ≤ y ou y ≤ x
Comentário:
Capítulo 1 - Os Números Inteiros
Apenas a propriedade antissimétrica está enunciada corretamente:
x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y
A noção de ordem leva à relação "menor ou igual", que satisfaz às seguintes propriedades:
(I)   x ≤ x, ∀x ∈ Z (Re�exiva)
(II)  x ≤ y e y ≤ x ⇒ x= y (antissimétrica)
(III) x ≤ x e y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitiva)
(IV) Dados x e y em Z, então ou x ≤ y ou y ≤ x (totalidade)
(V) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z, ∀z ∈ Z (compatibilidade com a adição)
(VI) x ≥ 0 e y ≥ 0 xy ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)
b. Pela prioridade da compatibilidade com a multiplicação: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z, ∀z ∈ Z
0

c. Pela propriedade transitiva: x ≤ x, ∀x ∈ Z
d. Pela propriedade Re�exiva: x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y
e. Pela propriedade antissimétrica: x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y
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Questão 3
Correto
No Primeiro princípio de Indução (ou indução fraca), dado α ∈ Z, vamos supor que a
cada inteiro n ≥ α esteja associada uma a�rmação P(n). Então, P(n) será verdadeira
para todo n ≥ α desde que seja possível provar que:
(I)                P(a) é verdadeira
(II)              Se P(r) é verdadeira para , então P(r+1) também é verdadeira.
Podemos a�rmar que:
Escolha uma:
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: Sempre verificamos se P(a) é verdadeira. Depois, tentamos provar que
para r ≥ α, então P(r+1) também é verdadeira. Se pudermos provar as sentenças I e II, então
P(n) vale para qualquer inteiro positivo n..
a. Devemos verificar se I é verdadeira. A sentença II sempre será verdadeira, pois é
como subir os degraus de uma escada.
b. Está faltando a sentença III, que afirma que devemos provar também para P(r+2).
c. Não é necessário provar as sentenças I e II, pois elas sempre serão verdadeiras.
d. Sempre verificamos se P(a) é verdadeira. Depois, tentamos provar que para r ≥ α,
então P(r+1) também é verdadeira. Se pudermos provar as sentenças I e II, então P(n)
vale para qualquer inteiro positivo n.

e. Devemos verificar se I é verdadeira. A sentença II só será verdadeira para o
conjunto dos números reais.
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Questão 4
Correto
O  máximo divisor comum entre a e b é normalmente indicado por mdc(a, b). Sobre
ele, podemos dizer que:
Escolha uma:
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: Se d e d’ são máximos divisores comuns entre a e b, então d=d’..
a. Se a=b=0, então mdc(a, b)=b.
b. Se d e d’ são máximos divisores comuns entre a e b, então d=d’.

c. Se d é máximo divisor comum entre a e b, então d não pode ser máximo divisor 
comum entre a e –b, -a e b e entre –a e –b, pois envolvem números negativos.
d. Se d e d’ são máximos divisores comuns entre a e b, então a>b.
e. Se a=b=0, então mdc(a, b)=a.
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Questão 5
Incorreto
Dado o subconjunto: A·B={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
Assinale a alternativa que represente a relação A → B, x < y;
Escolha uma:
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: {(0,1),(0,2),(1,2)}.
a. {(0,0),(1,1),(2,2)}
b. {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}

c. {(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
d. {(0,0),(0,1),(0,2)}
e. {(0,1),(0,2),(1,2)}
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Questão 6
Correto
Seja R = {x,y / x ∈ R, y ∈ R, x  + y  = 16}. Assinale a alternativa que representa
a imagem de R.
Escolha uma:
Sua resposta está correta.
A resposta correta é:
D(R) = (x ∈ R / -4 ≤ x ≤ 4}
.
2 2
a.
D(R) = R
b.
D(R) = (x ∈ R / -4 ≤ x ≤ 4}

c.
D(R) = (x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 4}
d.
D(R) = (x ∈ R / x ≥ 4}
e.
D(R) = (x ∈ R / x > 4}
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Questão 7
Incorreto
Considere os conjuntos A = {α,b} e B = {1,2,3}. Assinale a alternativa que
determine o subconjunto de A · B.
Escolha uma:
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: {(α,1),(α,2),(α,1),(α,3),(b,1),(b,2),(b,3)}.
a. {α,b}
b. {(α,1),(b,2)}
c. {α,b,1,2,3}

d. {(α,1),(α,2),(α,1),(α,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
e. {α, 2α, 3α, b, 2b, 3b}
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Questão 8
Incorreto
Dado o subconjunto:
A·B = {(-2,-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-2,4),-2,5)
            (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(-1,5)
            (0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)}
Assinale a alternativa que representa a relação A → B, x < y;
Escolha uma:
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: -2R-1, -2R0, -2R1, -2R2, -2R3, -2R4, -2R5, -1R0, -1R1, -1R2, -1R3, -1R4,
-1R5, 0R1, 0R2, 0R3, 0R4 e 0R5..
a. 2R-1, 2R0, 2R1, 2R2, 2R3, 2R4, 2R5, 1R0, 1R1, 1R2, 1R3, 1R4, 1R5, 0R1, 0R2, 0R3, 0R4 e
0R5.
b. -2R-1, -2R0, -2R1, -2R2, -2R3, -2R4, -2R6, -1R0, -1R1, -1R2, -1R3, -1R4, -1R6, 0R1, 0R2, 0R3,
0R4 e 0R6.

c. -2R-1, -2R0, -2R1, -2R2, -2R3, -2R4, -2R5, 1R0, 1R1, 1R2, 1R3, 1R4 e 1R5
d. -2R-1, -2R0, -2R1, -2R2, -2R3, -2R4, -2R5, -1R0, -1R1, -1R2, -1R3, -1R4, -1R5, 0R1, 0R2,
0R3, 0R4 e 0R5.
e. 0R1, 0R2, 0R3, 0R4 e 0R5.
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Questão 9
Correto
Considere o conjunto A = {0,1,2,3,45,6} e os subconjuntos P= {1,3,5} e P =
{0,2,4,6}. Pode-se a�rmar que:
I. P é um subconjunto de A.
II. P não é subconjunto de A.
III. A = P  U P .
IV. P  ∩ P = A
Assinale a alternativa correta
Escolha uma:
1 2
1
2
1 2
1 2
a.
I, III e IV são verdadeiras
b.
I, II e III são verdadeiras
c.
I e III são verdadeiras

d.
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Sua resposta está correta.
A resposta correta é:
I e III são verdadeiras
.
Questão 10
Incorreto
Dada a relação R = {(-2,1),(-2,2),(1,1),(1,2),(2,2)}, dada as a�rmações:
I. A relação é re�exiva.
II. A relação é simétrica.
III. A relação é transitiva.
Assinale a alternativa correta
Escolha uma:
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: I é verdadeira.
II, III e IV são verdadeiras
e.
III e IV  são verdadeiras
a. III é verdadeira
b. I e III são verdadeiras
c. I é verdadeira
d. II é verdadeira

e. I e II são verdadeiras
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