MEC2_AULAVIRTUAL_HIPER04_ACEXT

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MECÂNICA DAS 
ESTRUTURAS II
AULA VIRTUAL 04
MÉTODO DAS FORÇAS
AÇÕES EXTERNAS DE CARREGAMENTO
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
VARIAÇÃO DE 
TEMPERATURA
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
𝜹𝒊𝟎 = 𝜶 ∙ 𝑮𝑻෍
𝒃
න
𝒙
𝑴𝒊𝒅𝒙
A VARIAÇÃO DE TEMPERATURA, ASSIM COMO TODAS AS AÇÕES EXTERNAS (OU SEJA, DIFERENTES DO CARREGAMENTO
ATUANTE NA ESTRUTURA), DEVE SER CONSIDERADA NO ESTADO E0, SENDO UMA PARCELA ADICIONAL AO DESLOCAMENTO
CALCULADO.
ONDE:
𝛼 – COEFICIENTE DE DILATAÇÃO TÉRMICA;
𝐺𝑇 – GRADIENTE DE TEMPERATURA (°C/m);
𝑇𝑖 e 𝑇𝑠 – TEMPERATURA NAS FIBRAS INFERIOR E SUPERIOR (°C);
ℎ - ALTURA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DA PEÇA (m);
𝑥׬ 𝑀𝑖𝑑𝑥 - ÁREA DO DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR NO ESTADO VIRTUAL, NO TRECHO ONDE HÁ
CARREGAMENTO TÉRMICO.
𝑮𝑻 =
𝑻𝒊−𝑻𝒔
𝒉
VARIAÇÃO DE 
TEMPERATURA
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
NO FTOOL, A VARIAÇÃO DE TEMPERATURA É UM TIPO DE
CARREGAMENTO, DEVENDO SER INDICADA A TEMPERATURA
NAS FIBRAS SUPERIOR (Ty+) E INFERIOR (Ty–), INDICANDO O
NEGATIVO PARA AS TEMPERATURAS ABAIXO DE 0°C.
DESLOCAMENTO 
PRESCRITO
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
𝜹𝒊𝟎 = −෍
𝒏
𝑹𝒏𝒊𝜹𝒏
NA MESMA LINHA, EVENTUAIS APOIOS COM DESLOCAMENTOS PRESCRITOS, DEVEM SER CONSIDERADOS NA
EQUAÇÃO DO MÉTODO DAS FORÇAS, MESMO QUE NA ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL ESTES APOIOS
SEJAM RETIRADOS. ESTES DESLOCAMENTOS SÃO AÇÕES ATUANTES NO ESTADO E0.
ONDE:
𝑅𝑛𝑖 – REAÇÃO DE APOIO OU CARGA UNITÁRIA VIRTUAL, NO APOIO COM DESLOCAMENTO PRESCRITO;
𝛿𝑛 – DESLOCAMENTO OU ROTAÇÃO PRESCRITA EM APOIO (ESTA É A PARCELA DO ESTADO E0 NA
EQUAÇÃO).
DESLOCAMENTO
PRESCRITO
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NO FTOOL, O DESLOCAMENTO PRESCRITO SE APRESENTA NA
CONFIGURAÇÃO DO APOIO. NESTE CASO É POSSÍVEL TAMBÉM
DETERMINAR APOIOS ELÁSTICOS (PRÓXIMO ASSUNTO). A
ORIENTAÇÃO DE SENTIDO É A MESMA DA CONVENÇÃO POSITIVA
PARA A CARGA UNITÁRIA.
APOIO ELÁSTICO
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
𝜹𝒊𝒋 = ෍
𝒏
𝑭𝒏𝒊
𝑭𝒏𝒋
𝒌𝒏
OS APOIOS ELÁSTICOS SÃO ESTRUTUTAS COM MOLAS, MUITO UTILIZADAS EM PAÍSES/REGIÕES COM
CONSTANTES REGISTROS DE ABALOS SÍSMICOS (CONSTRUÇÃO CIVIL) OU NECESSIDADE DE AMORTECIMENTO
EM APOIOS, PODENDO SER EMPREGADO NA INDÚSTRIA MECÂNICA.
ONDE:
𝑘𝑛 – CONSTANTE ELÁSTICA EM FUNÇÃO DO TIPO DO APOIO (kN/m ou kN.m/rad);
𝐹𝑛𝑖 – REAÇÃO DE APOIO NO ESTADO VIRTUAL (EX: PARA 𝛿1𝑛 ADOTA A REAÇÃO DO ESTADO E1)
𝐹𝑛𝑗 - REAÇÃO DE APOIO NO ESTADO VIRTUAL COMBINADO COM 𝐹𝑛𝑖 (UM ESTADO POR VEZ).
APOIO ELÁSTICO
DA MESMA FORMA QUE O DESLOCAMENTO PRESCRITO, O APOIO
ELÁSTICO ENTRA NA CONFIGURAÇÃO DO APOIO, SENDO
NECESSÁRIO INDICAR A CONSTANTE ELÁSTICA DO MESMO.
EXERCÍCIO
CONSIDERE O EXERCÍCIO DA AULA 03, COM APLICAÇÃO DE
TODASASAÇÕESEXTERNASECOMOSSEGUINTESDADOS:
E=25GPa, α=10 -5/°C, b=20cm e h=40cm.
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ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL (SP)
X1 X2
SERÁ ADOTADO PARA ESTE EXEMPLO, OS MESMOS DADOS OBTIDOS NO EXERCÍCIO DA AULA 03.
O SISTEMA PRINCIPAL (SP) SERÁ A REDUÇÃO DO APOIO ENGASTADO E A INTRODUÇÃO DE 
RÓTULA NO APOIO MÓVEL DO CENTRO DA VIGA.
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E0 e DMF
𝑞ℓ²
8
AS AÇÕES EXTERNAS NÃO SÃO REPRESENTADAS AQUI, ELAS SÃO 
ADICIONADAS DIRETAMENTE NOS CÁLCULOS DOS 
DESLOCAMENTOS NA EQUAÇÃO GERAL DO MÉTODO DAS FORÇAS.
𝑞ℓ²
8
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E1 e DMF
X1=1
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E2 e DMF
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X2=1
PREPARAÇÃO PARA O CÁLCULO
A PREPARAÇÃO CONSISTE EM CÁLULOS PRÉVIOS PARA FACILITAR A SEQUÊNCIA DO EXERCÍCIO
𝐼 =
𝑏 ∙ ℎ³
12
∴ 𝐼 =
0,20 ∙ 0,40³
12
∴ 𝐼 = 1,0666×10−3
𝐸𝐼 = 25 ∙ 106 × 1,0666 ∙ 10−3 ∴ 𝐸𝐼 = 26666,666𝑘𝑁.𝑚²
𝐺𝑇 =
𝑇𝑖 −𝑇𝑠
ℎ
∴ 𝐺𝑇 =
−5−20
0,40
∴ 𝐺𝑇 = −62,5°𝐶/𝑚
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟎
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO NA VIGA (CALCULADO NA AULA 03)
𝛿10,𝑃 =
−39,375
𝐸𝐼
∴ 𝛿10,𝑃 =−1,4765625 ∙ 10
−3𝑚
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
𝛿10,𝑇 = 10
−5 ∙ −62,5 ∙ −1 ∙ 3 ∙ 0,5 ∴ 𝛿10,𝑇 = 9,375 ∙ 10
−4𝑚
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟎
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO DESLOCAMENTO PRESCRITO EM “C”
COMO NÃO HÁ REAÇÃO DE APOIO VIRTUAL NO
PONTO COM DESCLOCAMENTO PRESCRITO, ESSA PARCELA FICA IGUAL A ZERO.
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO APOIO ELÁSTICO EM “B”
𝛿10,𝑘 =
−
1
3
∙ 82,50
3000
∴ 𝛿10,𝑘 =−9,1666 ∙ 10
−3𝑚
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟎
𝛿10 = 𝛿10,𝑃 +𝛿10,𝑇 +𝛿10,𝑝 +𝛿10,𝑘
𝛿10 =−1,4765625 ∙ 10
−3+9,375 ∙ 10−4+0−9,1666 ∙ 10−3
𝜹𝟏𝟎 =−𝟗,𝟕𝟎𝟓𝟕𝟐𝟗𝟏𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎
−𝟑𝒎
SALVE ESTE RESULTADO NA MEMÓRIA (A) DA CALCULADORA
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟏
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO NA VIGA (CALCULADO NA AULA 03)
𝛿11,𝑃 =
1
𝐸𝐼
∴ 𝛿11,𝑃 = 3,75 ∙ 10
−5𝑚
NÃO HÁ PARCELA DE TEMPERATURA NAS COMBINAÇÕES ENTRE ESTADOS VIRTUAIS
𝛿11,𝑇 = 0
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟏
NÃO HÁ PARCELA DE DESLOCAMENTO PRESCRITO NAS COMBINAÇÕES ENTRE ESTADOS VIRTUAIS 
𝛿11,𝑝 = 0
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO APOIO ELÁSTICO EM “B”
𝛿11,𝑘 =
−
1
3
∙ −
1
3
3000
∴ 𝛿11,𝑘 = 3,703 ∙ 10
−5𝑚
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟏
𝛿11 = 𝛿11,𝑃 +𝛿11,𝑘
𝛿11 = 3,75 ∙ 10
−5 +3,703 ∙ 10−5
𝜹𝟏𝟏 = 𝟕,𝟒𝟓𝟑𝟕𝟎𝟑𝟕𝟎𝟒 ∙ 𝟏𝟎
−𝟓𝒎
SALVE ESTE RESULTADO NA MEMÓRIA (B) DA CALCULADORA
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟐
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO NA VIGA (CALCULADO NA AULA 03)
𝛿12,𝑃 =
0,5
𝐸𝐼
∴ 𝛿12,𝑃 = 1,875 ∙ 10
−5𝑚
NÃO HÁ PARCELA DE TEMPERATURA NAS COMBINAÇÕES ENTRE ESTADOS VIRTUAIS
𝛿12,𝑇 = 0
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟐
NÃO HÁ PARCELA DE DESLOCAMENTO PRESCRITO NAS COMBINAÇÕES ENTRE ESTADOS VIRTUAIS 
𝛿12,𝑝 = 0
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO APOIO ELÁSTICO EM “B”
𝛿12,𝑘 =
−
1
3
∙
2
3
3000
∴ 𝛿12,𝑘 = −7,407 ∙ 10
−5𝑚
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟏𝟐
𝛿12 = 𝛿12,𝑃 +𝛿12,𝑘
𝛿12 = 1,875 ∙ 10
−5 −7,407 ∙ 10−5
𝜹𝟏𝟐 =−𝟓,𝟓𝟑𝟐𝟒𝟎𝟕𝟒𝟎𝟕 ∙ 𝟏𝟎
−𝟓𝒎
SALVE ESTE RESULTADO NA MEMÓRIA (C) DA CALCULADORA
𝛿12 É IGUAL AO CÁLCULO DE 𝛿21
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟐𝟎
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO NA VIGA (CALCULADO NA AULA 03)
𝛿20,𝑃 =
−61,875
𝐸𝐼
∴ 𝛿20,𝑃 = −2,3203125 ∙ 10
−3𝑚
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
𝛿20,𝑇 = 10
−5 ∙ −62,5 ∙ −1 ∙ 6 ∙ 0,5 ∴ 𝛿20,𝑇 = 1,875 ∙ 10
−3𝑚
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟐𝟎
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO DESLOCAMENTO PRESCRITO EM “C”
𝛿20,𝑝 = − −
1
3
∙
−10
1000
∴ 𝛿20,𝑝 =−3,333 ∙ 10
−3𝑚
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO APOIO ELÁSTICO EM “B”
𝛿20,𝑘 =
2
3
∙ 82,50
3000
∴ 𝛿20,𝑘 = 0,018333𝑚
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟐𝟎
𝛿20 = 𝛿20,𝑃 +𝛿20,𝑇 +𝛿20,𝑝 +𝛿20,𝑘
𝛿20 = −2,3203125 ∙ 10
−3+1,875 ∙ 10−3 −3,333 ∙ 10−3+0,018333
𝜹𝟐𝟎 = 𝟎,𝟎𝟏𝟒𝟓𝟓𝟒𝟔𝟖𝟕𝟓𝒎
SALVE ESTE RESULTADO NA MEMÓRIA (D) DA CALCULADORA
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟐𝟐
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO NA VIGA (CALCULADO NA AULA 03)
𝛿22,𝑃 =
2
𝐸𝐼
∴ 𝛿11,𝑃 = 7,5 ∙ 10
−5𝑚
NÃO HÁ PARCELA DE TEMPERATURA NAS COMBINAÇÕES ENTRE ESTADOS VIRTUAIS
𝛿22,𝑇 = 0
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟐𝟐
NÃO HÁ PARCELA DE DESLOCAMENTO PRESCRITO NAS COMBINAÇÕES ENTRE ESTADOS VIRTUAIS 
𝛿22,𝑝 = 0
PARCELA DE CÁLCULO EM FUNÇÃO DO APOIO ELÁSTICO EM “B”
𝛿22,𝑘 =
2
3
∙
2
3
3000
∴ 𝛿22,𝑘 = 1,481 ∙ 10
−4𝑚
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CÁLCULO DO DESLOCAMENTO 𝜹𝟐𝟐
𝛿22 = 𝛿22,𝑃 +𝛿22,𝑘
𝛿22 = 7,5 ∙ 10
−5 +1,481 ∙ 10−4
𝜹𝟐𝟐 = 𝟐,𝟐𝟑𝟏𝟒𝟖𝟏𝟒𝟖∙ 𝟏𝟎
−𝟒𝒎
SALVE ESTE RESULTADO NA MEMÓRIA (E) DA CALCULADORA
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APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL
ADOTANDO AS MEMÓRIAS DA CALCULADORA
𝛿10 + 𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿12 ∙ 𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21 ∙ 𝑋1 + 𝛿22 ∙ 𝑋2 = 0
COMO JÁ RESSALTADO ANTERIORMENTE, SALVAR OS RESULTADOS NAS MEMÓRIAS ACELERAM O 
CÁLCULO E FACILITAM, AINDA MAIS, COM A PRECISÃO DOS CÁLCULOS DECIMAIS.
𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑋1 + 𝑪 ∙ 𝑋2 = 0
𝑫+ 𝑪 ∙ 𝑋1 + 𝑬 ∙ 𝑋2 = 0
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RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL
𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑋1 + 𝑪 ∙ 𝑋2 = 0 → 𝑿𝟏 = −
𝑨
𝑩
−
𝑪
𝑩
∙ 𝑿𝟐
𝑋1 = 130,2135093 + 0,7422360248 ∙ 𝑋2
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. HUGO
𝑫+ 𝑪 ∙ 𝑋1 + 𝑬 ∙ 𝑋2 = 0 → 𝑿𝟏 = −
𝑫
𝑪
−
𝑬
𝑪
∙ 𝑿𝟐
𝑋1 = 263,0805439 + 4,033472803 ∙ 𝑋2
RESOLVENDO O SISTEMA DE EQUAÇÕES
𝑋1 = 263,0805439 + 4,033472803 ∙ 𝑋2
𝑋1 = 130,2135093 + 0,7422360248 ∙ 𝑋2
𝑿𝟐 =−𝟒𝟎,𝟑𝟕𝐤𝐍.𝐦
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𝑿𝟏 = 𝟏𝟎𝟎,𝟐𝟓𝐤𝐍.𝐦
130,2135093 + 0,7422360248 ∙ 𝑋2= 263,0805439 + 4,033472803 ∙ 𝑋2
3,291236778 ∙ 𝑋2=−132,8670346
DIAGRAMA FINAL DE MF
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PARA PRATICAR
REPETINDO O HOMEWORK DA AULA 03, CONSIDERANDO
OSSEGUINTESDADOS:
E=25GPa, α=10 -5/°C, b=20cm e h=40cm.
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