ARITMÉTICA ELEMENTAR ILUSTRADA - 139ª ed , 1962

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i l u s t r a d aPara uso dos alunos adiantados das escolas primárias
® adoTáÍ Pedagógica do Rio de Janeiropeía Instrução Pública em vários Estados do Brasil
COMPOSTO PELO PROFESSOR
ANTÔNIO TRAJANO
Progressiva, Álgebra Elementar,da Aritmética Progressiva e Chave da Álgebra
139.a edIÇAO
atualizada por FRANKLIN MENDES
*"*0 uso AUTORIZADO PELO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
(REGISTRO N.o 2.291)
UVRARIA FRANCISCO ALVES
1'ÕRA PAULO DE AZEVEDO LTDA.
Otr\'iDOfi — Rio de janehjo
R u a H o n r z o N T SLibero Badarõ Rua Rio de Janeiro, 056
1 8 6 2
Copyrlel i t by
^ITÔP.A TAULO DE AZKVEDO LTDA.
Medição de áreas
Medição de voiumea
aprovaçao e adoção desta obra
a A r i l
inr.h ')c l lco quo
no í- '*»- inr j ís v.- iniajoso v cimi iuci-u
^ nusncjo dos nfimoros c da nrte de calculaid v s t o l i v r o p o d e s e r f : \ c i l m e i
^^ncia ci"^ imprensa, do professora' ' ' ' ^ es iuc lo i i . logo nos suas pr ime
ritmctira Elementar Fluslrada na 60* cdiçfio,
-•.»vi\iua f ampliada do que nas edições precedentes, e com o
imr-tiif) inr-irtdico que o estudo e a longa prática do ensino noa
'UMciido .'■cr mais vantajoso e conducentc j>ara adestrar os au
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facilmente avaliada pelo acolhl-
-rcnsa. uu ,,rofes?orado e até_ da P̂ ópna
á«ft. . * "■ ' Jogo ims suas primeiras edições. - mjQi-r . o tão honroso, esta obra foi 'Sepo^s Prenilada ptío
dJvoJ"''''"'''""" iVdagõgica do líio de Janeiro: f«l muitos
®«labole,.;'do I?rad1. e recebida com grande Jç edições
e<.-ir, f importantes ile o<.lucatrão. As cincoenta ..j^-inUna
O ...lesi.un a sua grande «tilid:ule no ensino desta^ "^ncle^r"^" îiliei-ior do Instrução da '̂"^eJcolas püblicr
^ n n i u c c m i t n A n > « o i k t o n o e n s i n o d a s e s c ^ . _ . u'ipcon ^'^"tugcm da adoção dêste livro no ensino çndtir8oú . ̂ "missão composta de t»-ês ilustres professores, p
j . v s ô b n ? c i o .' comiRv<rio apre.sentou os seguintes parcceres: tenho prazer
Pü(L.'? Elcmcníor do Sr. Antônio Tnig_no. ^^,,3
í|be /. 'jf^larar qito f; ola uma das melhores, se ^ parecer do
? ^ r e d e s U n a d n . s í i i n s t r u ç ã o d a r o n s t a n t . s ô b r e o
• " o a d o s n u i l o s a m e m ó r i a , D r . p o i s . s u b s c r e v e r o
^'^roeer ,1"*^ rc-fero c.ste requerimento. Só yso das escolar
^ ^ ^ l i c f t o i l u s t r e m c s t r o e r e c o m e n d a r o ' ' .do.sta Capital. Em 20 de Agõsto de 190». gracjbb- j
, acôrdo com o parecer do meu ^^g^miaginar de'^lor no l)rofcs.sor A. Trajano ó o inst»-"C»®
® ccriamente continuará 9» de Agóste de®smos serviços quo tom atõ aqui prestado. Em -
^ P r N - m n s o
3 t a a o - -
. p. PINHOTO BiT̂NCOOI'T.
primário- tive
d'ci"?® firande parte do meu auxiliar,^ cuja aprovação ora se pede. um Em 26 de A»otodas as condições do uma obra di
AATOMo upcrior de T"®
U d'r autorizados l'-'̂ '̂̂ '̂g®%o%rSõsto d® ̂^•'^^hirnp,*„ Feclonil, em sessão d escolas pde a d o t o u p a r a u s o d o s " , . , j e x a r a d o s ,
' ^ ^ n c n t a r A n t ô n i o t r a j . j , o a q m
CcLtJiiai xeeclonil, em sessuo -- escolas i'"--
e adotou para uso dos °^'-'"?„,,/Trajano-",. ,j exarados,
O 3 7 í „ s t r « d a d o p r o f e s s o r C o n s e l h o^ comissão e a delibeî ®̂ mesmo ̂
m ^htre textualmente da ata da s ^ a ®ievada repuuwiio»numerosas apreciações pessoas de e^ seguintes que. por serem de P
í i c a r e s q u e c i d a s . ^
o ilustrado Dr. Benjamin Constant, autoridade da maior competência
nesta matéria, começou do segaiínte modo o seu respeitíivel parecer:"Li a Aritmética Elementar do tír. AntOnío Trajano, e tenho prazer
em poder declarar que é ela uma das melhores, senão a melhor do tOdas
as que conheço destinadas à instrução da infância "
"" Anwrnme,' U.„lo do mecânica da
eJfreVdtiS? coiSr mice auiocicdla oõin-c os.a
gradualmente venc idas- fivuras 'h<^m apresentadas b ' -o livro; grande número de ever^t «""-' ' iram c embelezam
dados são por vêzes com j In.strutívos e de problcma-s. cujos
nomia doméstica da crnn«i«!,-!r escolliidos dentre o.s elementos da eco-
t u d o c o n t r i b u i u p a r a t o r n i r ' i m p r e s s ã o ,
d o q u a l , p a r e c e - m e « j a o , , . » e a p r e i i á v c l o n o v o c o m p ê n d i o ,
C a d a
sanimo que o estudo da re'o- i própria, o desgOsto c o de-
antes, sobrecarregando-lhAo" ^ juros, elo., causa aos iirincipi-o método analítico ciia ^ e o prazer que ao contrário, lhes
que p aprendem e aplicam i-eduçâo it uniiinde. pela facilidade com
E assim que o Sr m. •,
largo uso em todo o sou'iK.,.r.faz dêsso método com muito acêrto■ e é a chave de ouro com que o fecha. ='
l l m . S r E mâindc. o meu parecTr síbre"^ S- do H do corrente, po'
Ti'ajnno, lenho a dizer oua ..«i, Elementar Ilustrada de AntônioPiante. o processo material' ,.,? grande valor para o prlnci-
que e cheio o livro, torni c«,!, ^"^Pi'cga e (iiie consta das ilustrações de
sas questões que, em outrm, '"'^^"'^íveia c com tôda a clareza as diver-
desanimo ao principiante oua são tratadas du modo a levai* oa decorar sem compreendei- n' abandona o estudo, ou se vO obrigado
paí.s ainda tão mal estud-irin ^ ciência tão útil e no nosso
cuja adoção na.s nossas l ivros como o do Sr. Trajano,
para os que vão en.siíar o»?" serâ. com certeza de grande vanlagom
estou certo virá fazer de><A. í pas.sos na ciC-ncla dos número.'', pois
pios, não a quoin .«-ihe r. . livros que pretendem ensinar os princi-uho. que virá tornar o " 'loem já devo saber nuilto. ílste útil livrl-
p r e s u b s t i t u i r ê s s e s ' " t ã o a g r a d á v e l , d e v e r á s e m -
c ip ian te . ®*cs f i nges , que fazem recua r desan imado o . p r i n -
Instrução Pública de'^ii digníssimo inspetor geral da
Du. AuuusTO Olavo Rodrigues Furreiiu^.,
D i r e t o r G e r a l .
d e c l a r a ç ã o
ARITMÉTICA ELEMENTAR
DEFINIÇÕES — NUMERAÇÃO
1. Aritmética é a ciência elementar dos números.
Os números servem para indicar quantos objetos tem uma
coleção. Cada um dos objetos que formam a coleção é uma
umdadc. Quando procuramos o miniero de objetos de uma co
leção realizamos a operação de contar. Assim, para contar as
penas contidas numa caixa poderemos retirá-las uma a uma,
dizendo: uma pena, duas penas, três penas, etc. até esvaziar
completamente a caixa. Se, como acabamos de fazer, ao contar,
desií̂ nainos a espécie da unidade (pena), o mimero se diz concreto (sele penas, três lápis, oito canetas, por exemplo); se não
designamos a espécie da unidade, dizendo, apenas, um, dois,
três, quatro, etc., o número se diz abstraio.
2. Numeração é a parte da Arilmctica que ensina a ler c
u escrever os números; por isso se divide em numeração falada
e numeração escrita.
3. A numeração falada ensina a dar nome a todos os
nunî -os, com uina limitada quantidade de palavras.
,.p infinidade de números e, se déssemos um nomeüiierente a cada um, teríamos de guardar na memória milhõesae nomes, o que seria muito difícil e até impossível, Para re
mediar êsle inconveniente, inventou-se um meio fácil de dar
um nome distinto a cada número, dispondo e combinando só
as seguintes palavras:
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q u a l r i l i ã o
qu i i i t i l i ão
s e x t i l i ã o
septi l ião
o c t i l i ã o
n o n i l i ã o
o i l u s t r a d o D r . B e n j a m i n C o n s t a n t , a u t o r i d a d e d a m a i o r c o m p e t ê n c i a
n e s t a m a t é r i a , c o m e ç o u d o s e g u i n t e m o d o o s e u r e s p e i t á v e l p a r e c e r :
" L i a A r t í í J i é í i c o E l c v i e n t a r d o S r . A n t ô n i o T r a j a n o , e t e n h o p r a ze r
em poder dec la ra r que é e la uma das me lho res , senão a me lho r de tCdns
a s q u e c o n h e ç o d e s t i n a d a s à i n s t r u ç ã o d a i n f â n c i a . "
O i l u s t r a d o D r . M a n o e l P . C . d e A m a r a n t e . l e n t e d e m e c â n i c a d a
B s c o l a M i l l t a i * d e s t a C a p i t a l , d a n d o a s u a a u t o r i z a d a o p i n i ã o s o b r e e s t a
o b r a , e n t r e o u t r a s c o i s a s , d i s s e o s e g u i n t e :
"Exposição clara e simples, dificuldades apresentadas gradualmente e
gradua lmente venc idas ; figuras bem combinadas , que i lus t ram e embe lezam
o livro; grande número de exercícios instrutivos e de problemtus, cujos
dados são por vêzes com felicidade escolhidos dentre os elementos da eco
nomia doméstica, da cronologia, história, etc., etc.. nitidez de impressão
tudo contribuiu para tornar interessante e apreciável o novo compêndio,
do qual. parece-me. se pode dizer, é um livro útil.
Cada um sabe, e muitos de experiência própria, o desgôsto e o de-
sâmmo que o estuda da regra de três, de juros, etc., causa aos principi
antes, sobrecarregando-lhes a memória, e o prazer que ao contrário, lhes
da o método analítico, chamado de redução á unidade, pela facilidade com
q u e o a p r e n d e m e a p l i c a m .
E assim que o Sr. Trajano faz dêsse método com multo acêrto
largo uso em todo o seu livro, e é a chave de ouro com que o fecha."
Ilm. Sr. — Em resposta ao ofício de V. S.. de 11 do corrente pe
dindo o meu parecer sôbre a Aritmética Elementar Ilustrada de Antônio
Trajano, tenho a dizer que acho êsse livro de grande valor para o princi
piante. O proces-so material ijue emprega e que consta das ilustrações d©
que é cheio o livro, torna compreensíveis e com tOda a clareza as diver
sas questões que, em outro.'? compêndios, são tratadas de modo a levai- o
desânimo ao principiante, que. ou abandona o estudo, ou se vê obrigado
a decorar sem compreender n que lê. E" esta ciência tão útil e no nosso
país ainda tão mal estudada, por falta de livi-os como o do Sr. Trajano,
cuja adoção nas nossas escolas será com certeza de grande vantagem
para os que vão en.saiar os prímeiro.s passos na ciência dos números, pois
e s t o u " r - M t t : . ! ' r l c , K i a f t r \ f r , B l i v m s n t l f t n r p t f n d f n - i n n e Í K . o , . ! •
p i o . ? ,
n h o , q u e v i r á .
p r e s u b s t i t u i r ê s s e s
c i p í a n t e .
I lm. Sr. Dr. Arthur Cesar Guimarães, digníssimo Inspetor geral da
Instrução Pública de S. Paulo. Dn. Augusto Olavo Rooniaues FEUREitiA^
D i r e t o r G e r a l .
Li-a os que vao en.saiar os primeiro.s passos na ciência dos números, poi
tou certo virá fazer desertar os livros que pretendem ensinar os prlncí
os. não a quem .«abe, mas a quem já deye sajior muito. Éste útil livri
lO, que virá tornar o ensino da Aritmética tão agradável, deverá sem« ci .acf i tx i t . l ivros-esf lnges, que fazem recuar desanimado o, pr ln
DRGLARAÇ.VO
O direito da reprodução desta obra é reservado, e cada cxcrrí"
plar terá a chancela do autor.
ARITMÉTICA ELEMENTAR
DEFINIÇÕES — NUMERAÇÃO
1 . A r i t m é t i c a c a c i ê n c i a e l e m e n t a r d o s n ú m e r o s .
Os números servem para indicar quantos objetos tem uma
coleção. Cada um dos objetos que formam a coleção é uma
unidade. Quando procuramos o número de objetos de uma co
leção realizamos a 0])eração de contar. Assim, para contar as
penas contidas numa caixa poderemos retirá-las uma a uma,
dizendo; uma pena, duas penas, três penas, etc. até esvaziar
completamente a caixa. Se, como acabamos de fazer, ao contar,
designamos a espécie da unidade (pena), o número se diz con
creto (sete penas, três lápis, oito canetas, por exemplo); se não
designamos a espécie da unidade, dizendo, apenas, um, dois,
três, quatro, etc., o número se diz abstraio.
2. Numeração é a parte da Aritmética que ensina a ler c
a escrever os números; por isso se divide em numeração falada
e numeração escrita.
^ 3. A numeração falada ensina a dar nome a todos os
números, com uma limitada quantidade de palavras.
Ha uma infinidade de números e, se déssemos um nome
diferente a cada um, teríamos de guardar na memória milhões
de nomes, o que seria muito difícil e até impossível. Para re
mediar êste inconveniente, inventou-se um meio fácil de dar
um nome distinto a cada número, dispondo e combinando só
as seguintes palavras;
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as unidades são os milhões; na qiiarla, as unidades são os
bilioes, etc. A ultima classe nem sempre tem dezenas e cen
t e n a s .
10. Como vimos, as diversas unidades têm também o nomeda ordem que ocupam nos números; assim, °
ocuiAL"o nrimeirn"!̂ unidades da 1.- ordem, porqueprimeiro lugar a direita do número-as dezenas sao unidades da 2.» ordem-
as centenas são unidades da 3.» ordem-
os milhares são unidades da 4.» ordem-
i l s u n i d a d e s d á 5 . . o r d e m ;o s r
do -slgá °ie™nol'̂com"rigTrisnrs"̂
Uma unidade (um)
U m a d e z e n a ( d e z ) . V ! ! ! i
Uma centena (cem) . . . . [
U m m i l h a r ( m i l ) * * .
Uma dezena de milhares (dez'miV) in nno
Uma centena de milhares (cem mil) 100 000
U m m i l h ã o ( m i l h ã o ) 1 . 0 0 0 ! 0 0 0
12. O zero isolado não tem valor algum, serve, norém
para indicar ausência de unidades de certa ordem. Ass m nónumero 20, como nao há unidades, o seu Jugar é ocupado poruma ciíra; se nao. Jer-se-ia 2. No número 3005. como nãô há
centenas nem dezenas, os seus lugares respectivos são ocupa
dos por zeros; se nao, o numero ficaria sendo 35.
13. Valores absoluto e relativo. Todo algarismo têm dois
valores, um absoluto c outro relativo. Valor absoluto é o que
o algarismo tem quando isolado. Valór relativo é o que ôle
toma conforme a ordem que ocupa em um número.
Se escrevermos o ais-arismo 3 na ordem da.s unidades, êle
representará 3 coisas que è o seu valor absoluto; se o escre- 3
vermos na ordem das dezenas, representará 30 coisas; se o
e.scievernios na ordem das centenas, representará 300 coisas; 3 Q
e" assim se irá tornando 10 vezes maior em cada ordem á
esquerda, e todos êste.s valores são relaüvos. Quando um d U U
algarismo está só é como se ocupasse a ordem das unidades.
— 9 —
14. Para se tornar qualquer número dez vezes maior, bas-
^ tará junlar-Jhe um zero ã direita. O número 6 seguido de um
zero ficará GO, porque o zero ocupará a ordem das unidades, e
o algarismo C passará para as dezenas. Se juntarmos dois
zeros, ficará 000; se junlai-mos ires zeros, ficará 6000, e assim
p o r d i a n t e .
15. Para representarmos com algarismos o número qua
trocentos, escreveremos primeiro 4 para exprimir as centenas,
e , como nes te número não há dezenas nem un idades , esc reve
remos dois zeros nos seus lugares, e ficará 400. Para repre
sentarmos o número três mil quatrocentos e vinte e três, es
creveremos 3 para exprimir os milhares, 4 para exprimir as
centenas, 2 as dezenas e 3 as unidades, e o mimero em alga
rismos será 3423.
Para se escreverem números há a seguinte
Regra: Escrcve-se, da esquerda para a direita, os algarismos
das diferentes ordens a partir da ordem mais elevada, pondo-
se zeros na ordem que não tiver unidades.
L e i t u r a d o s n ú m e r o s
16. Para facilitar a leitura de um número, poderemos dl-
TÍdi-lo em classes de Irês algarismos.
Problema. Como se lê o número 27938450375214 ?
Solu(_«âo. Dividindo o número acima emclasses de três al{?arismo.s, a partir da di
reita, vemos que tem cinco classes; e como
a primeira classe O das unidades, a segun
da dos milhares, a terceira dos milhOes, a
q u a r t a d o s b i l i õ o s e a q u i n t a d o s t r l I i C c s
s o g u e - s e q u e o n ú m e r o c o n t é m 2 7 t r i l i õ e s .
038 billQes, 45C mllhOes, 875 milhares e 214
u n i d a d e s .
Para se ler um número, há a seguinte
Regra: Divide-se o número em classes de três algarismos,
Começando pela direita; depois, começando pela esquerda.
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emmcia-se o número formado pelos algarismos de cada classe
com a respecíioa denominarão.
Kxcrcicio de aplicação. Os discípulos enunciarão os números sesuin-
t e s , e d e p o i s o p r o f e s s o r d i l a r d ê s t o s o > i s e g u i u
p e d r a o u o u t r o s q u e e l e s e s c r e v e r ã o n a
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( 4 )
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8 0 0 7 4
1 9 7 3 4 3
7 9 5 8 9 6
8 7 1 0 4 9
9 5 7 4 1 2
( 5 )
9 8 6 5 8 2 7
9 0 9 0 9 0 9
1 0 5 9 3 2 0 7
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9 0 0 0 0 0 0 0 0
3 8 7 5 8 7 3 8 9 3
algarismos romanos são sete letras maiúsculas donosso alfabeto tendo cada uma delas um valor convencionado.
As sete letras e seus valores sâo
»,
u m .
V,
c i n c o ,
X » L » c , D , m ,
dez. cinqüenta. cem. quinhentos. mil.
18. Os outros números exprhnem-se repetindo-se ou coni-
Dinaiido estas sele letras, pelo modo seguinte:
10 As letras que se repetem suo só I, X. C e M; ric sorte
que lí vaJe dois; XXX vale trinta; CCC vale trezentos- iMM' vale
dois niiJ, etc. Estas letras podem ser repetidas até duas vezes
seguidas.
2.0 Se uma Jelra de menor valor estiver antes de outra de
maior valor, siihírni-se o valor da 1.» do da 2.«; assim IV re
presenta quatro, isto é, cinco hienos um; XL representa qua<
renla- etc iVías, se a letra de menor valor estiver depois da de
maior valor, somam-se os dbis valores; assim VI representa seis,
isto c, cinco nnis um; LX representa sessenta, etc.
3 o Um risco Jjorizoníal soijre_jJina ou mais letras íorn^mil
vêzes maior o seu valor̂ jissim C representa cem mil; CC re
presenta duzentos mil; CD representa quatrocentos mil. etc.
— I l
ls. Os diversos números escrevem-se do seguinte modo com
os algarismos arábicos e romanos:
U m
Dois
Três
Quat ro
Cinco
Seis
Sete
Oi to
Nove
Dez
Onze
Doze
Treze
Quatorze ...
Quinze ......
Dezesseis ...
Dezessete ...
Dezoito
Dezenove
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
20. As operações fundamentais da Aritmética são quatro,
que se denominam Adição, Subtração, tWultiplicação e Divisão.
Uiamam-se fundamentais, porque servem de base para efetuartodas as outras operações aritméticas.
Estas quatro operações resolvem os seguintes casos:
1-® Dados dois on mais números, achar a sna soma;
2.® Dados dois números, achar a sua diferença;
3.® Dados dois fatores, achar o seu produto;
4.» Dados dois números, achar quantas vêzes o menor está
contido no maior.
1 I 2 0 X X
2 I I 3 0 X X X
3 I I I Q u a r e n t a . . . 4 0 X L
4 I V Cinqüenta .. 5 0 L
5 V S e s s e n t a . . . . 6 0 L X
6 V I S e t e n t a 7 0 L X X
7 V I I 8 0 L X X X
8 V I I I N o v e n t a . . . . 9 0 X C
9 I X C e m 1 0 0 C
1 0 X D u z e n t o s . . . 2 0 0 C C
1 1 X I ' i ' r e z e n t o s . . 3 0 0 C C C
1 2 X I I Quatrocentos 4 0 0 C D
1 3 X I I I Quinhentos . ÕÜt) D
1 4 X I V S e i s c e n t o s . . 6 0 0 D G
1 5 X V S e t e c e n t o s . . 7 0 0 D C C
1 6 X V I O i t o c e n l o s . . 00 o o D C C C
1 7 X V I I N o v e c e n t o s . 9 0 0 C M
1 8 X V I I I M i l 1 0 0 0
1 9 X I X M i l h ã o lOOOOUO M
— 1 2 —
21. Os sinais que indicam as qualro operações fuiulamcn-
lais são os seguintes:
O sinal de adição é + que se lê: nmis.
O sinal de subtração é — que sc Ic: menos.
O sinal de multiplicação é X que se le: miiUiplicado por,
O sinal de divisão é que se lè: dividido por.
22. Os diversos números com que temos de calcular, são a
soma ou o conjunto de duas ou mais unidades simples que se
agrupam em um só todo, como vemos nos exemplos seguintes:
1 1 i
1 1
I 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
— —
— —
—
2. 3, 4, 5 . 6. 7,
— 1 3 —
Tábua da adição
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
2 ■+ 4 = 6
2 + C = 7
2 + 1 3 = 8
2 + 7 = 9
2 + 8 = 1 0
2 + 9 = 1 1
2 + 1 0 = 1 2
3 + 1 = 4
3 + 2 = 5
3 + 3 = 6
3 + 4 = 7
> 3 + f > = 8
3 + G = 9
3 + 7 = 1 0
3 + 8 = 1 1
3 + 9 = 1 2
3 + 1 0 = 1 3
4 + 1 = 5
4 + 2 = 6
4 + 3 = 7
4 + 4 = 8
4 + 5 = 9
4 + 6 = 1 0
4 + 7 = 1 1
4 + 8 = 1 2
4 + 9 = 1 3
4 + 1 0 = 1 4
5 + 1 = 6
5 + 2 = 7
5 + 3 = 8
5 + 4 = 9
5 + 5 = 1 0
5 + C = 1 1
5 + 7 = 1 2
5 + 8 = 1 3
D + 9 = 1 4
5 + 1 0 = 1 5
1 5 H - 1 = 7
r > + 2 = 8
0 + 3 = 9
c + 4 = 1 0
G + 5 = 1 1
1 5 + G = 1 2
C + 7 = 1 3
6 + 8 = 1 4
6 + 9 = 1 5
e + 1 0 = i G
7 + 1 = 8
7 + 2 = 9
7 + 3 = 1 0
7 + 4 = 1 1
7 + ; . = 1 2
7 + C = 1 3
7 4 7 = 1 4
7 + 8 = 1 5
7 + 9 = 1 6
7 + 1 0 = 1 7
8 + 1 = 9
8 + 2 = 1 0
S + 3 = 1 1
8 + 4 = 1 2
8 + 5 = 1 3
8 + 6 = 1 4
8 + 7 = 1 5
8 + 8 = 1 6
8 + 9 = 1 7
8 + 1 0 = 1 8
9 + 1 = 1 0
9 + 2 = 1 1
9 + 3 = 1 2
9 + 4 = 1 3
9 + 5 = 1 4
9 + C = 1 5
9 + 7 = 1 0
9 + 8 = 1 7
9 + 9 = 1 8
9 + 1 0 = 1 9
\ .
— 1 4 ^
a d i ç ã o
tos ŝ egutaL°r"-"° •̂ °"l>ecer os dois pon-
: rparcelas, a''soma rerá"semprè a"mísma""''''"'"°̂ diversas
ncíí- - - . a s T / - s ^
E«tes dois pontos ficarão claramonte ilustrado.
Prob lema, Umproteíeiias; na cie oma esíão 4 livrosdeiiados e 3 em pé; e na de baixo es-
ô 2 eni pe e 3 deitados; quantos Mvros estão na estante ?
«ornam'"''""- •-">•" "«i'" Porce„m «ue
4 + 3 + 2 + 3= 12 U^Tos
Por̂ So TlneS ÎZeS'
que adíclonfu-mos estas parcelas nao innno resultado da operagao'lTois se cSmecarmosa adícao por outro qualquer canto da pmir
leiia. a soma será sempre a mesma.
Problema. Em um cesto estão '>3'>
laranjas, em outro 343 c em outro í̂ o"-se reunirmos todas estas luranias om'n„, c-
s e u n ú m e r o ? m o n t e , q u a l s e r á o
Solução. Escreveremos as três nirnoj^^
baLxo das outras, de sorte que as unhiade»
ordem fiquem cm coluna. Debaixo da mu mesma
faremos om troco, e poasarcmos a soma. ounidades. Então diremos: 2 e 3 São T è t
escreveremos deba i .xo das un idade. . .nas. diremos: 3 e 4 são 7. e 2 são 9 qnê -̂ãV■debai.xo da.s dezenas. Pesando ãs centenas, contínuâ
remos: 2 e 3 são 5, e 1 são 6, que escreveremos deb-ilxi
O p e r a ç ã o
232 laranjua
343 laranjas
122 laranjas
097 lai 'anjas
— 1 5 —
o a
h c
0 1 *
0 1
c <2
— a J o " 3
" C N ~
S ^ Ã SS O fl H»
3 3 7
4 4 0
9 6
2 0 8
1 0 8 1
25. Quando a soma de uma coluna excede a 9, formam-
se unidades superiores para juntar à coluna seguinte; assim,
se UDia coluna soma, por exemplo, 18, escrevem-se 8 debaixo
dessa coluna, e, como as 10 restantes formam 1 unidade ime
diatamente superior, leva-se essa unidade para a coluna se
guinte. Deste modo se opera em tòdas as colunas e só na úl
tima se escreve a sua soma completa.
Problema- Qual é a soma de 337, 440, 96 e 208 ?
Sulii^üo. A soma da coluna das unidades é 21; ora
21 un idades con têm 2 dezenas e 1 un idade; escreve
remos 1 debaixo das unidades e levaremos os 2 dezenas
para a coluna das dezenas, que com elas soma 18 deze
nas, que contêm 1 centena c 8 dezenas; escreveremos
8 debaixo das dezenas, e levaremos a centena para a
coluna d;is centena.s. que com ela soma 10; ora 10 cen
tenas contêm 1 mi lhar exato, o , como não hf i centena
nenhuma, escrevertjiios um zero debaixo das centenas,
e levaremo.s o milhar para a ordem seguinte. A soma
d a s q u a t r o i > a r c c l a s ô 1 0 8 1 .
26. Prova. Há váiios luodos de tirar a prova a uma soma;
a preferível c a seguinte, que tem o nome de prova real.
P a e s a - s e u m t r a q o d e b a i x o d a s o m a , e r e p e t e - s e 3 3 7
a adição, escrevendo debaixo do cada coluna a sua soma 4 4 0
completa. A soma da primeira coluna C 21 unidades, a g g
soma da segunda 6 IG dezenas ou 160 unidades e a 2 0 8
Eoina da terceira ó 9 centenas ou 900 unidades. Ora,
jun tando os t rês resu l tados , te remos um to ta l igua l a 10 8 1
s o m a d a s m e s m a s p a r c e l a s . ■
Ta m b é m s e p o d o t i r a r a p r o v a s o m a n d o e m o u t r a g l "
ordem, por exemplo, do baixo para cima. Se a soma G
e s t i v e r c e r t a o r e s u l t a d o d e v e r ã s e r o m e s m o . g
Para se efetuar uma adição, bá a se- TTTT
guin lc
Regra: Bscreuem-se as (íiaersas parcelas de sorje que as
unidades da mesma ordem fiquem umas debaixo das outras
c m c o l u n a . . „
Comeca-se a adição pela coluna dasunidades Se a soma
de uma c6luna não excede a 9, escreve-se a smna debaixo dessa
coluna, mas se excede a 9, escrevem-se debaixo dessa colunaas unidades que não formam uma unidade imediatamente su
perior, e as unidades formadas vao para a coluna set̂ unife, na
última escrcve-se a soma completa dessa coluna.
Prova. Repete-se novamente a adição, pondo debaixo de
cada coluna a sua soma completa, adicionam-se depois as so^
mas obtidas, e, se o resultado for igual ao primeiro, a soma
e s t a r á e x a t a .
2 1-̂
1
— l o
tes Os alunos devem escrever e efetuar as seguin-
1 . 3 +
2 . 5 +
3 . 0 +
+ 1 + 3 + 4 =
4 + 2 =
4 .
6 .
8 + 3
7 + 3
+ 2 +
+ 1 + 2 +
+ 5 + O + 3 =
+ 2 + I + 5 ^
1 3
9
9
?
9
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
8 + 0 + 3 + 7
8 + O + 2 + 5
9 + 3 + 7 + 5
3 + 3 + 0 + 4
1 + 2 + 3 + 4
(16 . )
19 d ias
l õ d i a s
7 dins
9 d i a s
2 0 d i a s
7 0 d i a s
(21 . )
4 4 3 0
3 3 3 4
3 4 3 2
8 9 3 2
3 0 0 7
3 2 5 8
3 7 3 4
3 4 1 9 3
11. 2 + 3 +
12. 3 + 2 +
13. 9 + 4 +
14. 4 + 9 +
15. 8 + 7 +
(17 . )
3 0 l i v r o s
43 livros
3 3 l i v r o s
28 livros
85 livros
+ 3 + 2
+ 2 + 9
+ 1 + 5
+ 2 + 0
+ 5 + 0
0 + 5 + 3 + 0 + 3 + 5 + 3 + 4
5 + 6 + 0 + 3 + 3 + 3 + 4 + a5+2+1+6+OÍ5Í3+8=2 I C . , .+ 5 + ()-j-i + 5 + 0-1-84-^0 + 3 + 2 + 9 + 3Í5ÍU'9
(18. )
250 folhas
f o l h a s
f o l h a s
f o l h a s
f o l h a s
1 3 3
2 0 5
1 1 0
2 9 0
l i v r o s
(22 . )
3 8 3 4
8303
3 0 3 0
3 9 0 2
4 8 3 1
1 7 3 0
2 7 3 3
f ò l h n s
(23.)
4 5 0 7 4
3 0 7 4 1
0741(1
74102
41023
1 0 2 3 4
32345
(19 . )
330 telhas
t e l h a s
t e l h a s
t e l h a s
t e l h a s
4 8 9
3 9 5
6 0 3
7 0 9
t e l h a s
(24.)
3 5
2 4 2
3 4 2 7
3 0 5 4 0
0 3 2 8
4 1 2
7 4
( 2 6 . ) ( 2 7 . ) (28 . ) (29 . )
5 6 0 7 5 0 0 1 5 0 0 0 80900
9 8 0 7 0 5 0 1 (hS2Ü 9 5 8 9 0
7 5 0 8 1 0 0 1 7360 9 9 1 0 0
1 2 2 0 8 8 8 0 2 5 8 3 0 100500
2 3 4 0 9 5 0 0 2 9 7 0 0 1 1 8 5 0 0
3 5 8 0 9 0 2 0 3 0 8 1 0 136900
4 6 6 0 1 0 5 0 0 4 0 5 0 0 150700
4 0 0 0 1 1 2 0 0 4 9 0 0 0 180300
5 5 0 0 1 2 0 4 0 5 0 1 2 0 2 2 5 4 0 0
2 3 5 9 0
?
?
9
?
?
_ (20.)054 nozes
309 nozes
720 nozes
821 nozes
992 nozes
n o z e s
(25.)
32541
3 2 0 5
0 3 8
4 9
2 2 0
3 7 5 8
45043
(03.)
1 2 5 0
8 0 0
( 5 3 4
2 3 8 0
4 8 0 0
9 3
1 5 8
9 0 0 0
2 8 0
— 1 7 —
Escrc íc lo de ap l i cação . Nes tes p rob lemas , os a lunos devem esc rever
dev idamente umas pa rce las deba ixo das ou t ras , c depo is somã- Ias .
31. Achar a soma de 15 + 20 + 18 + 91 + 17. Resp.?
32. Qual é a soma de 6798 + 5832 + 4761 + 8705? Resp. ?
33. Qual é a soma de 135 + 1875 + 79 + 2005 + 253 +
+ 1 9 3 5 + 1 0 1 + 1 2 3 5 0 ? R e s p . ?
34. Qual é a soma de 25 + 1594 + 459 + 3935 + 100 +
f 1 9 5 1 0 + 1 0 0 1 + 2 5 3 2 ? R e s p . ?
35. Somar as seguintes parcelas: 45693, 98732, 98732,
6 9 0 0 7 , 3 5 9 8 7 e 7 9 0 0 5 . R e s p . ?
3G. Achar a soma dos seguintes números: 458 + 78952 +
+ 12583 + 293 + 105G + 9879. Resp.?
37. Somar 895 + 75938 + 90075 + 79385 + 05 + 7525 +
+ 3 2 0 5 + 1 0 5 9 . R e s p . ?
38. Achar a soma dos seguintes mimeros: 25900, 23880,
38000, 5750. 25210 e 12700. Resp.?
39. Somar as seguintes parcelas: 9750 + 3210 + 8900 +
+ 1 0 5 2 0 + 8 2 0 + 2 5 9 0 0 + 1 2 0 0 0 0 . R e s p . ?
40. Achar a soma de 750 + 1250 + 940 + 1720 + 2000 +
+ 3 9 3 5 + 9 7 3 0 . R e s p . ?
41. Achar a soma de mil novecentos e vinte, mais trinta
mil e seiscentos, mais cento e vinte e sele mil e duzentos, mais
trinta e nove mil e duzentos e quarenta e quatro, mais mil e
n o v e . R e s p . ?
42. Somar as seguintes parcelas: dois mil novecentos e
trinta, cinco mil sciscenlos c quarenta e cinco, vinte mil nove
centos e trinta e seis, e nove mil setecentos e doze. Resp.?
43. Qual é a soma de todos os números consecutivos desde
987 até lüOl, incluindo êstes dois números? Resp. 14910.
44. Achar a soma de todos os números consecutivos desde
3267 até 3281, incluindo êstes dois números. Resp. 49110.
1
— 1 «
Problemas para resolver
1. Comprei uin aparelho de rádio por 210U cruzeiros; uin
piano por GOOO cruzeiros; um carro por 9500 cruzeiros e uni1 elogio por 3000 cruzeiros; em quanlo iir.norlaram cslas com
p r a s ? ^
Solueuo. Somando as quatro par
celas, acharemos que o Importe cias
compras 6 21. Ti cio cruzeiros.
r i fi d i o .
P l a n o .
C a r r o . .
P e l ó y i o
2 . - 1 0 0 c r n z c l r o a
t í . O O O "
0 . 5 0 0
2 . C 0 0 "
2 l . 5 0 0
fsH tem mais 15 anos do que sua mulher; e
unos, qual e a idade do homem e qual a da mulher ?
_ Solução, o filho tendo 16 anos. amao. tendo mais 20. deve ter 36 anos-
e o pai. que tem mais 15 do que a mu-
llier, deve ter 36 + 15 = 51 anos.
10 + 20 — 36, idade da mulher
30 + 15 = 51. Idade do homem
3. Sobre uma mesa estão 3 pilhas com 10 cubos cada
uma; está oulra com 7, e mais 8 cubos espalhados- ouanlosc u b o s e s t ã o s o b r e a m e s a ? ' R c s p - 74. Uma pessoa comprou uma lata de manteiga por Íí>
cruzeiros; um queijo por 7 cruzeiros; uma lata de inorangos
por 4 cruzeiros; um quilo de passas por 13 cruzeiros; eniíTuanlo importaram estes gêneros? Uesp., 34 cruzeiros.
5. Certo negociante vendeu 3004 quilos de café; depois
vendeu mais 025 leg. e, finalmente, mais 1926 kg.; quantos qui
l o s v e n d e u ê l e ? j ^ e s p 5 5 5 5 ,
6> Qual é a soma dos valores das sele letras dos algaris
mos romanos, I, V, X, L, C, D e M ? Resp. 1666-
7. Comprei um cavalo por 450 cruzeiros; por quanto o
devo vender para ganhar 40 cruzeiros 7 Resp. ?
— 1 9 —
8, Antônio tem 20 laranjas e João tem 13 mais do que
Antônio; q iu in las laran jas tem João? Resp.?
3. Um homem tinha 29 anos, quando nasceu seu primeiro
filho; quando este chegou à idade de 25 anos, casou-se; qual
e r a e n t ã o a i d a d e d o p a i ? R e s p . ?
10. Uma mulher tem 6 galinhas pondo ovos; uma já tem
9 no ninho, outra 11, outra 16, oulra 4, outra 7, e a última 10;
quantos ovos pode juntar a mulher? Resp.?
11. Dois irmãos tem 25 carneiros cada um, e seu pai tem
15 mais do que ambos; quantos carneiros tem o pai? Resp.?
12. Um homem, ao morrer, deixou em tcstanienlo os se
guintes legados: 3800 cruzeiros a seu irmão; 1785 cruzeiros a
cada um dos seus dois sobrinhos, e 4130 cruzeiros à sobrinha:
q u a n l o d e i x o u ô l e ? R e s p . 11 5 0 0 c r u z e i r o s .13. Comprei seis livros por 19 cruzeiros; uma resma de
papei por 98 cruzeiros; cem envelopes por 7 cruzeiros e uma
caixa de penas por 12 cruzeiros; em quanto importaram estes
o b j e t o s ? R e s p . ?
14. Um exército no primeiro dia de marcha andou 18 qui
lômetros, no segundo andou 30, no terceiro 25, no quarto andou a metade da distância do primeiro dia, e no_ quinto andou
18 quilòinclros; que distância percorreu êle nos 5 dias? Resp.?
15. João comprou certo numero de peras, e deu 8 a sua
ínãe, G a sua irmã, 3 a um irinãozinho, e ficou com 7; qiianta.s
p e r a s c o m p r o u ? . R e s p . ?
16. Uma pessoa nascida eni 1843, em que ano fèz sua.s
2 5 p r i m a v e r a s ? . R e s p * -
17. Comprei 15 quilos de açúcar por 30 cruzeiros; com
prei mais 8 (luilos por 15 cruzeiros; comprei ainda 10 quilospor 22 cruzeiros; quantos quilos de açúcar comprei e em quanto
i m p o r t a r a m ? R e s p . .
18. Achar a soma das seis quantias seguintes: 40 cruzei
ros, 32 cruzeiros, 75 cruzeiros e 28 cruzeiros. Resp. .
19. Três liomens formaram uma sociedade comercial, paraa qual o primeiro entrou com 4500 cruzeiros; o segundo entroucom 7500 cruzeiros, e o terceiro com uma quantia ipial a dosdois primeiros sócios; qual era o capital da sociedade. R sp. .
20. Uma menina quis saber a soma dos anos dc seus jr-
niâos. Nenè tinha 2 anos, Nhonhô Unha 4, Cazuza tinha Sinha
linha 10 e ela Unha 12; quantos anos somavam estas ;
21. Uma pipa tinha 120 litros de vinho, adicionaram-lheínais 99 litros e depois 171 litros; quantos litros de \mho licou
c o n t e n d o a p i p a ? ' R e s p . ^
V
— 2 0 —
Tábua aa subtração
2 — 2 = 0
— 2 = 1
4 — 2 = 2
5 — 2 = 3
C — 2 = 4
7 — 2 = 5
8 — 2 = 6
0 — 2 = 7
1 0 — 2 = 8
1 1 — 2 = 0
3 — 3 = 0
4 — 3 = 1
5 — 3 = 2
6 — 3 = 3
7 — 3 = 4
8 — 3 = 5
0 — 3 = 6
1 0 — 3 = 7
1 1 —3 = 8
1 2 — 3 = 0
4 — 4 = 0
5 — 4 = 1
6 — 4 = 2
7 — 4 = 3
8 — 4 = 4
9 — 4 = 5
1 0 — 4 = 6
1 1 — 4 = 7
12 — 4 = 8
1 3 — 4 = 0
6 — 0 = 0
7 — 6 = 1
8 — 6 = 2
0 — 6 = 3
1 0 — c = 4
1 1 _ 6 = 5
1 2 — G = 6
1 3 _ 6 = 7
1 4 _ 6 = 8
1 5 _ C = 9
7 — 7 = 0
8 — 7 = 1
9 — 7 = 2
1 0 — 7 = 3
1 1 — 7 = 4
1 2 — 7 = 5
1 3 — 7 = 6
1 4 — 7 = 7
1 5 — 7 = 8
1 6 — 7 = 9
8 — 8 = 0
9 — 8 = 1
1 0 — 8 = 2
1 1 — 8 = 3
1 2 — 8 = 4
1 3 — 8 = 5
1 4 — 8 = B
1 5 — 8 = 7
1 6 — 8 = 8
1 7 _ 8 = 9
5 — 5 = 0
G — 5 = 1
7 — 5 - 2
8 — 5 = 3
9 — 5 = 4
1 0 — 5 = 5
1 1 — r> = C
1 2 — 5 = 7
1 3 — 5 = 8
1 4 — 5 = 9
9 — 9 = 0
1 0 — 9 = 1
1 1 — 9 = 2
1 2 — 9 = 3
1 3 — 9 = 4
1 4 — 9 = 5
1 5 — 9 = 6
1 6 — 9 = 7
1 7 — 9 = 8
1 8 — 9 = 9
2 1 —
SUBTRAÇÃO
2 7 . S u b t r a i r c t i r a r d e u i n n ú m e r o a s u n i d a d e s d e o u t r o .
O jiriinciro número, geralmente maior, chama-se minuendo; o
outro chama-se subtraendo, e o resultado da subtração cha
m a - s e r e s t o . O m i n u e n d o e o s u b t r a e n d o s ã o o s t e r m o s d a
subtração.
O sinal — escrito entre dois números mostra que o segun
do número se tem de subtrair do primeiro; assim, 3 — 2 = )
lè-se: .'i menos 2 igual a 1.
Problema, U m a laranjeira ti
nha 15 laranjas, mas uma menina
aiianhoii (3; quantas ficaram na ár
v o r e ?
S o l u r ã o . D e 1 5 l a r a n j a s t i r a n d o 6 r e s -
t a j n 0 . Nes te p rob lema , 15 é o m inuendo , 6
é o s u b t r a e n d o e 9 é o r e s t o . S o m a n d o o
s u l i t r a e n d i j e o r e s t o , o b t e m o s n o v a m e n t e o
m i n u e n d o .
1 5 — G = 9 G -I- 9= 15
28. A subtração tem também
por fim achar a diferença entre dois
Jiiiinei'os, e neste caso, o resultadoda operação chama-se diferença.
Problema. Artur tem 28 anos e sua irmã Laura tem 16;
qiinl é a diferença entre as suas idades ?
Solução. Inscreveremos o número moiorcomo minuendo e o menor como_subtra-
t^ndo; começaremos depois a subtração pelas
tinldades. e diremos: 8 menos 6 sau 2, quo
e s c r e v e r e m o s d e b a i x o d . t s u n i d a d e s .
d e z e n a . s , d i r e m o s : 2 m e n o s 1 6 1 . ' l " ®
crevcreinos debaixo das dezenas. A dire-
r o n ç a d a s d u a s i d a d e s 6 1 2 a n o s .
, , Kvereício de nplleacão. Nos sesuintes ̂ algarismos dosubtraendo são menores que os rcspecti\os do
M i n u e n d o
S u b t r a e n d o
D i f e r e n ç a
2 8 a n o s
1 6 a n o s
1 2 a n o s
(1 - ) (2 . )
3 2 3 6
1 1 1 5
(3 . )
5 4 8
1 2 3
(4.)
2 3 4
1 3 2
(5 . )
7 3 5 6
6 2 4 0
( 6 . ) ( 7 . )
8 5 6 1 7 9 5 3 2 9
7 2 3 1 4 2 4 2 1 8
5
— 2 2 —
. - . o . e s t a .
( C ) ( 1 4 )
7 4 5
2 8 5
4 6 0
2 8 5
4 6 0
7 4 5
_ , _ — - ^ L > , v | u a i i i u r e s iSoluçuo. Nas unidades, subtralnrin r s r
e s c r e v e r e m o s u m z e r o d e b k i x o ^ e r o ;como não podcmo.s tirar 8 «le a « unidades. Nas dezenase =omo _l centena tom o aeae„ t "^uè't""'-'' ^ 7
4. e então teremos 14. Agora dí ia coni as
escreveremo.s debaixo das SzenaJ V'*"'"centena das 7. só restam 6- en^i^r n » Uramos uma
veremos debaixo das centenas ' o .-Jlt cscre-
Q u a n d o s e o p e r a d i z s p s u b t r a ç ã o 0 4 6 0 .14 menos S seis; c menos '2 qóaí o °
r L ^ n S ^ e S e ^ " " ' ^ o S í c T
nuenlríeií.^nTe!'".^ f' - nti-i.uai no minuenao. -̂ stf ?n.r,sr"e ô m-ovl 'íl'̂
Para se efetuar uma subtração, Iiá a seguinte
r ; s „ s "■
ST,ÍZt^^Z':'','"'-" "';' "■"•'"'•■■' •••'•■minuendo fôr inferior ' an (úgimm ordem do
j u n t a m - s e 1 0 a o m i n u e n d n s u b t r a e n d o ,minuendo com 1 de menos « ordem seguinte do
Exerclcto Uo apUcarõo. o a.uno tana as seguintes openaeaes:
(
(
(
(
(
(
(
(
(
1 . )
2 . )
3 . )
4 . )
5 . )
e . )
7 . )
8 . )
9 . )
1 3 -
1 2 —
7 —
IG —
9 —
8 +
19 +
5 + 7 -
3 +
5 +
3 +
8 -
6 + lü —
« ^ + 9 — 1 5 -
3 + 15 + 13 +
8 +
2 +
9 +
6 +
9 —
6 -
5 -
6 +
8 +
3 -
4 -
8 -
7 +
8 -
7 —
6 —
7 +
2 - 3 + 9 -
5 + 8 — 7 +
4 + 8 + 3 -
9 - 8 + 6 -
9 - 5 + 4 -
9 + 6 — 5 + 12
1 + 3 + 9-10 +
9 + 3 + 8 + 10 +
5 +
2 —
7 -
8 -
3 +
( 1 0 . )
30 + 15 + 17 + 15 + 21 + 16 + 5 + 9 + 5 +
3 - 5 — 2 — 5 - 2 - 3 — 4 -
4 = 10,
3 = ?
1 = ?
4 = ?
1 = ?
8 = ?
3 = ?
3 = ?
9 = ?
1 = 0.
( 11 . )
4 9 6 n o z e s
105 nozes
( 1 2 . )
1375 teJhas
9 4 2 t e l h a s
(13.)
8759 sacas
1281 sacas
(14 . )
965566 l i t ros
709382 l i tros
— 2 3 —
fixcreírio de aplicação. Os dlscipuloa devem escrever devidamente o
subtraendo debal .No do mínueiulo, nas seguintes subtrações:
1 1 . 2 7 0 — 1 6 5 9
1 2 . 9 1 6 9 — 5 8 4 — ?
1 3 . 3 5 2 5 3 — 7 9 5 = ?
1 4 . 8 9 7 r j 0 — 4 5 9 4 = ?
1 5 . 7 8 0 0 8 — 6 8 3 5 7
1 6 . 9 9 8 7 5 — 7 0 5 0 = ?
1 7 . 4 4 8 3 2 6 — 7 5 4 3 5 =
1 8 . 7 3 5 9 4 2 — 3 6 7 5 4 =
1 9 . 8 2 3 5 - 1 2 — 6 5 4 3 2 1 =
20. 933004 — 823420 =
2 1 . 7 0 0 0 0 0 — 9 9 =
2 2 . 9 0 0 1 7 — 1 0 3 =
Problemas para resolver
1. Caminhavain 5 crianças para
2. Uin negociante l inha uma
peça de seda com 45 metros; vendeu 19; quantos reslaiMin? Resp.?
3. Dois meninos tinham 29 pês
segos; um deles tinha 15; quantos
t i n h n o o u l r o ? R e s p . ?
4. Ihn homem comprou um cavalo por 3o00 cruzeiros e
vendeu-o por 4090 cruzeiros; quanto ganhou . Resp./
5. Uma senhora tem 36 anos, e sua filha tem 15; quantos
«nos é ela mais velha do que a filha ?
6. Qual c a diferença entre 5994 e 476d . õ7. Que número se deve juntar a 5893 para fazer ̂609̂0 ?
S. Um negociante devia 25875 cruzeiros; dando por conta
21384 cruzeiros quanto ficou devendo ?9. A independência do Brasil realizou-se cm 18-2, e a dos
Estados Unidos em 1770; quantos anos deconerani uma a
o u t r a i n d e p e n d ê n c i a ? . . ^ P , " *
10. O maior de dois números é 45. e a diferença eiitie cies' ''̂ iT'comprc'uurparr'bottnas por 132 cruzeiros, dei .La
Tccch l'"!* -'"'f° '""®""ne"p; oTciuzeiro's"12. Con+ei'uma dúzia de camisas por 865 cruzeiros.̂ umadúzia de paris de meias por 96 cruzeiros, e uma ("«í ̂ enCOS dc li.!ho por 75 cruzeiros; dando uma
zeiros e oulra dc 500 cruzeiros para fazer o pagamento, quanto
r e c e b i d e t r o c o ?
— 2 4 —
1 X 1 = 1
= 3
= 4
= 5
= fi
= 7
= 8
= O
= 1 0
5 X
6 X
5 X
X
X
X
X
X
9 X
9 X
9 X 8
9 X D
9 X 1 0
O
I S
2 7
3f>
4 5
5 4
C3
7 2 -
8 1
90
Tábua da multiplicação
X
X
X
X
X
X
X
X 8
X 9
X 1 0
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
20
1 = 5 6 X 1 = 6
2 = 1 0 6 X 2 = 12
3 = 1 5 6 X 3 = 1 8
4 = 2 0 6 X 4 = 2 4
5 = 2 5 6 X 6 = 3 0
6 = 3 0 6 . X 6 = 3 6
7 = 3 5 6 X 7 = 4 2
8 = 4 0 6 X 8 = 4 8
9 = 4 5 6 X 9 = 54
1 0 = 5 0 6 X 1 0 = G O
1 0 X
1 0 X
1 0 X
1 0 X
1 0 X
1 0 X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
1 0 0
X 1 0 =
3
6
9
1 2
1 5
1 8
2 1
2 4
2 7
3 0
X 1 = 7
X 2 = 1 4
X 3 = 2 1
X 4 = 2 8
X 5 = 3 5
X 6 = 4 ?
X 7 = 4 9
X 8 = 5 6
7 X 9 = 63
7 X 10 = 70
1 1 X
1 1 X
H X
1 1 X
1 1 X
1 1 X
1 1 X
1 1 X
1 1 X
1 =
2 s =
3 =
4 =
5 =
c -
7 =
8 =
9 -
1 1 X 1 0 =
11
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
1 1 0
o —
3 =
4 =
5 =
G =
7 =
8 =
9 =
1 0 =
1
2
3
4
3
6
7
8
9
1 0
8
1 6
2 4
3 2
4 0
4 8
5 6
6 4
7 2
8 0
1 2 X
1 2 X
1 2 X
1 2 X
1 2 X
1 2 X
1 2 X
1 2 X
1 2 X í ) =
1 2 X 1 0 =
1 2
2 4
3 6
4 8
6 0
7 2
8 4
9 6
l O S
1 2 0
m u l t i p l i c a ç ã o
30. Multiplicar um níimero inteiro nnr •
primeiro numero (antas vêzes, quantas são as nn i. i " "
O numero oue se mnlimiio« i ""ulacles do oiitror
número pelo qual se miiUinlica multiplicando; oresultado"da ,̂ «Uip,!c."ção;'"eh?;mo!s:";%l °
tôres d"Sr ' ° "-l"P>icador chamam-se também fa-
O sinal X escrito enlre dois números mostra que estes micros devem ser multiplicados; assim, a X 2 = 6 è-se
h r n r i n n n r 9 ^ n > / - x ^ u i c s e .
m e i
tiplicado por 2 igual a G. 3 n u d '
— 2 5 —
Problema. Um galho de cerejeira tem 7 cachos, e cada ca
cho tem 6 cerejas; quantas cerejas tem o galho?
S o l u ç í i o . 1 c a c h o t e m 6 c e r e
jas; 2 cachos tem 2 vêzes 6; 3 ca
c h o s t ê m 3 Ve z e s 6 ; e n f i m 7 c a
chos têm 7 vêzes 6, que são 4 2
c e r e j a s , - o n ú m e r o G r e p e t e - s e 7
vêzes, e por Isao. 6 é o multipli
c a n d o ; 7 € o m u l t i p l i c a d o r e 4 2 6
o p r o d u t o .
6 X 7 = 42
Problema. Um tostão são 5 vinténs, 4 tostões quantosvin
téns são ?
2 0
So lução. Um tos tão são 5 v in téns , e 4 tos tões
B a o 4 v ê z e s 5 v i n t é n s . E s c r e v e r e m o s 5 c o m o n i u l t i - M u l t i p l i c a n d o .
p l i c a n d o , e d e b a i x o d ê l e e s c r e v e r e m o s 4 c o m o m u i - M u l t i p l i c a d o r . .
tiplicador. o depois diremos: 4 vêzes 5 são 20 que
e s c r e v e m o s c o m o p r o d u t o . P o r t a n t o 4 t o s t õ e s s ã o P r o d u t o . . . .
2 0 v i n t é n s .
31. Multiplicar 5 por 4 c o mesmo que somar o numero 5
quatro vêzes, pois 4 vèzes 5 c igual a 5 + 5 + 5 + 5 = 20. Da
mesma sorte, multiplicar 6 por 7 é somar o número 6 sete vêzes,
pois 7 vêzes 6 é igual a 0 + 0 + 6 + 0 + 6 + 6 + 0 = 42. A mul
tiplicação é lainbéiu um modo abreviado de somar números
iguais .
Tabuada de Pi tágoras
1 2 3 4 3 G 7 8 0
2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8
3 6 9 1 2 1 5 1 8 2 1 2 4
2 7
4 8 1 2 1 0 2 0 2 4 2 8 3 2 3 6
3 i n "lã 2(i 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5
0 1 2 1 8 2 4 3 0 3 6 4 2 4 8
5 4
7 1 4 2 1 2 8 3 5 4 2 4 9 5 6
6 3
8 1 6 2 4 3 2 4 0 4 8 5 6 6 4
7 2
0 1 8 2 7 3 0 4 5 5 4 6 3 7 2
8 1
Podemos obter o produto de dois números simples pela tabuada acima
atribuída a Pltúgoras. Basta procurar na l.* Unha um fu or e na 1 a coluna® outro ftttor. No cruzamento da coluna com a linha está o produto.
— 2 6 ^
Quando o multiplicando constar de mais de um nltín
operaremos do seguinte modo:
Problema. Multiplicar 243 por ô
pelas unidades, temos: 5 vèzos 3 Í^r • Comoçan.lo1 dezena o 5 unidadis. Screver̂ mos
daa unidades e a dezena iuntai-<^°f« unidades debaixosão 5 vêzes 4 ou 20 e 1. ciuo vSô dn»
21 dezenas são 2 centenn« o ■» t '" '^"^^^des, sao 21. Ora,baixo das dezenas e juntaremos ^
tenas: estas são õ vêzes 2 ou li ̂ o■m o s d e b a i x o d a s c e n t e n a s , o p r o d u t o é -
Exercício do oplloaçao. Operar as sesuintés multiplicações:
( 1 . ) ( 2 . ) ( 3 . )
1 2 9 2 5 9 1 3 2 8 5
2 2
r i s m o .
K t f . o= 2 3
o c n
■M o " 3
C N • -
c > c < S
o fi D
2 4 3
5
1 2 1
M u l t i p l i c a n d o .
M u l t i p l i c a d o r .
Produto . .
( 6 - ) ( 7 . )
5 7 8 0 6 3 8 0
4 5
2 5 8
(8 . )
7 4 9 0
3
(4 . )
6 9 8 7
(9 . )
8 0 2 0
6
(10 . )
9 2 6 0
6
( 11 . )
I I 2 Õ Ü
7
( 5 . )
7 8 1 9 8
4
( 1 2 . )
1 2 8 2 5
7
7 = ?13. 1816 X
14. 3061 X 8
15. 2203 X 8 =
16. 7213 X 9 =
17. 3545 X 9 =
18. 87632 X 7
19. 87652 X 6
20. 20504 X 5
21. 75319 X 4
22. 89897 X 3
= ? 2 3 .
2 4 .
2 5 .
2 6 .
2 7 .
6580 X 2
7750 X 3
8330 X 4
9180 X õ
9910 X
= ?
Ce um p,gõ-
m o s d o m u l t i p l i c a d o r ; o r e s u l t í r l n n l g a n s -
o nome de produto parcial e n%oiin . "^^'^^plicaçao tem
d e p r o d u t o t o t a l . p r o d u t o s , o
Problema. Multiplicar 458 por 234.
Produto purcial daa unidades 458 X 4
Produto parcial das dezenas 458 X 30!
P r o d u t o p a i c i a j d . t g c e n t e n a s 4 5 8 X 2 0 0
P r o d u t o t o t a l
( 1 . ° )
4 5 8
2 3 4
( 2 . 0 )
4 5 8
2 3 4
O
1 8 3
1 3 7 4
O 1 6 O O
1 0 7 1 7 2
1 8 3 2
1 3 7 4
D i g
1 0 7 1 7 2
So lução . Mu l t ip l i ca - .se o mu l t ip l i cando , p r ime i ro .dmultiplicador, depois pelas dezenas e finalmente Pela.s ceítena" e soml-
dos estes tres produtos parciais, tom-se 1071 72. r,ue ê o pr..du?o'tot?°
.-implffica-se a operação, .<.uj;riminUo-se os zeros das dezenas! cen-
t e n a s , e t c . , c o i i i u s e v e n u 2 r u i u d e l o .
— 2 7 —
Deve-se ter o cuidado de escrever o primeiro algarismo de cada pro-duto debaixo do algarismo com que se estã operando. Assim, no exemplo
rc.solvido, 2 que 0 o primeiro algarismo do produto das unidades, escreve-se debaixo do 4, que é o multiplicador; 4 escreve-se debaixo de 3; 8
debaixo de 3, suprimindo-se as cifras.
Para se efetuar uma multiplicação, há a seguinte
Regra: Escreve-se o multiplicador debaixo do multipli'
cando, de sorlc que as unidades da mesma ordem fiquem em
colujiu, c suhiinlia-se.8'e o ujuitipiicador conshir de um só nlqarismo, multipli
ca-se por csle o muUipUcnndo, c o resultado será o produto,
o niuHiplicando constar de mais de um algarismo, multi
plica-se o niuUiplicando por cada um dos algarismos signifi-
culivos do mulliplicador, escrevendo o primeiro (dgarismo de
cada produto parcial debaixo do algarismo multiplicador. A
noma de iodos os produtos parciais será o produto total.
Prova: Inucrtc-sc a ordem dos fatores, pondo o multipli
cando debaixo do multiplicador, e opera-se nova multiplicação,
o resultado for igual ao primeiro, o produto estará exato.
Plxcrcjcio de aplicação. Operar as seguintes multiplicações:
Wultipiioando.
Multiplicador.
Produto . .
( 1 . ) ( 2 . )
2 3 3 2
1 1 1 1
(3.)
4 5
1 2
(4.) (5.) (6.) (7.) (8.)
5 4 6 7 7 0 8 9 9 8
1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
Verificar a exatidão das seguintes multiplicações:
9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
1 3 .
1 4 .
1 5 .
16.
120 X
208 X
235 X
346 X
425 X
518 X
279 X
869 X
1 5
1 6
1 8
1 9
2 9
3 4
3 7
4 9
1 8 9 0
3 3 2 8
4 2 3 0
6 5 7 4
1 2 3 2 5
1 7 6 1 2
1 0 3 2 3
4 2 5 8 1
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2 4 .
123 X 123
342 X 364
3 7 6 X
476 X 536
2187 X 215
3489 X 270
1646 X 365
8432 X 635
2 6 =
1 5 1 2 9
1 2 4 4 8 8
1 9 7 7 7 6
2 5 5 1 3 G
4 7 0 2 0 5
9 C 2 9 G 4
6 0 0 7 9 0
5354320
— 2 8 ^
Observações sôbre a multiplicação
34, Quando o multiplicador é 10, 100, 1000 etc -icrcscen-
conX dT^a contiVer o nmulp'il̂ ^adm- e8X IVO = 800O! ^tc ^ 8X10=80; 8X100^800;
35. Quando um ou ambos os fatores termi-
nain em zeros, niultiplicam-se só o«» 'ilt/nvíc
significativos, e acrescenlain-se ao produto lo\°d
;i r.T„s,vr'Er
•15 00
2 5 0 0
2 2 5
ü ü
Exercício de aplicação.
1 . 254 X
2 . 1 3 8 X
3. 428 X 1000
4. 872 X 100
5. 500 X
1 0
1 0 0
1 0 0 =
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
8 3 0 0 X 4 5 0
1 8 0 1 X 2 0 0
8007 X 1100
5038 X 2150
8000 X 8000
1 1 2 5 0 1 ) 0 0
' " « l i a i d o n i i i l -
a S Ò mnu'iir ^"0 e Passa-sea lazer a multiplicação com o algarismo secminte escrevendo-se o primeiro alamãsmò do -ó
d ü t o d e b a i x o d o a l c a r i s n m ^se vê no exemplo ao Iml̂ i '""U'plicador. como
Exercício do aplicação.
4 5 0 2
3 0 0 5
2 2 8 1 0
1 3 Ü 8 G
1 3 7 0 8 8 1 0
1 . Afultiplicar 6538 p o r 2 0 7 .
2 . Mult ipl icar 9805 p o r 1 0 7 5 .
3 . xMuUiplicar 7614 p o r 6 0 0 3 .
4 . Multiplicar 96532 p o r 5 0 4 .
5 . Multiplicar 86431 p o r 2 0 3 0 .
6 . Multiplicar 90055 p o r 1 0 9 .
7 . Multiplicar 80570 p o r 2 0 8 .
8 . Multiplicar 75530 p o r 3002.
9 . Multiplicar 70507 p o r 2 3 0 0 .
1 0 . Multiplicar 88855 p o r 9000.
Uesp.
— 2 9 —
1. Sendo necessários 8 cravos para pregar uma ferradura,
quantos cravos serão necessários para ferrar um cavalo nos
quatro pés ?
So lução , Uma fe r radura leva 8 c ravos ; 4 fe r»
taduras levam 4 vêzes 8 que são 32 c ravos .
2, Custando 1 metro de chita 2 cru
zeiros, quanto devem custar 15 metros ?
Resp. ?
3. Em quanto importam 12 frangos
3 3 c r u z e i r o s c a d a u m ? « « « n
4 , "■
têm ?
B. Multiplicar 2029 por 1007.
R e s p . . . .
Uma hora tem 60 minutos; 11 horas quantos minutos
5. Multiplicar 2029 por 1007. ^?qv?nhô
^ e. Um fazendeiro linha 12 rebanhos, e cm ^liíivia 97 carneiros; quantos carneiros possuía o
7. Ganhando um homem 25 cruzeiros por dia,
n h n r á e m 4 9 d i a s ' > .8. Se uma família gasla 925 cruzeiros por mes. quanto
g a s t a r á e m u m a n o ? , a i n n t o9. Comprei 25 livros a 4 cruzeiros cada u , iLs» •?
í u i p o r l a r a m ? ^ '
10. Uma menina sentada em
unia redouça, dá 28 balanços por
iiiinulo; cm um quarto de hora,
quantos balanços dará? Resp. 420.
_ 11- A velocidade do som é de340 metros por segundo; em 19 se
gundos, que dislância iiercorrerá o
s o m ? R e s p . 6 . 4 6 0 .
12. Achar os vários produtos
da nota abaixo e somá-los
o cie manteiga .... u 32 cruzeirosOí/os de carne sêca ^ « »
i n d e M i n a s " 2 0« d o R i o G r a n d e ^ 2 » „
Qm7o5 de chá da índia a 80
7 s n - . c u / f i m o i d o • • ^ »
7 t o u c i n h o u 1 8Ros de macarrão ..v..» u "
S ^
64 cruzeiros
1 2 0
1 4 0
2 5 0
2 4 0
9 6
2 7 0
4 2
1,222 cruzeiros
— 3 0 -
Tábua da divisão
2 4 - 2 =
4 2 =
6 - 7 - 2 =
8 - ^ 2 =
10 H - 2 =
1 2 - 7 - 2 =
1 4 H - 2 =
1 6 2 =
1 8 - 7 - 2 = o
2 0 2 = 1 0
3
G
9
1 2
1 5
1 8
2 1
2 4
2 7
3 0
3 =
- í - 3 =
- í - 3 =
- í - 3 =
3 =
- r - 3 =
- 3 = ã
— 3 = 1 0
C - í - 6 =
1 2 4 - G =
J S Ü =
2 4 C =
3 0 4 - C =
3 6 - í - 6 =
4 2 ~ G =
• 1 8 - r 6 « 8
5 4 - i - « = 9
6 0 - 7 - 6 = 1 0
7 H -
1 4
2 1 - í -
2 8 - í -
3 5 - 7 -
4 2 - ~
4 9 4 -
5 6
C3
7 0 H -
= 1
= 2
: 3
= 4
' 5
' 6
7
8
7 = 9
7 = 1 0
4 -5- 4 =
8 4 - 4 =
1 2 4 =
1 0 4 - 4 =
20 -7- 4 =
24 -=- 4 =
2 8 4 =
32 -7- 4 —
3 6 4 =
4 0 4 = 1 0
8 4 - 8 =
1 0 ^ 8 =
2 4 - ; - S =
3 2 g =
4 0 S =
4 8 8 =
5 6 s - 8 =
6 4 8 =
7 2 - f - 8 =
80 -j- 8 = 10
a - > G =
^ i ; =
1 0
1 5
2 0 5 =
P . T t ; =
3 0
S 3
4 0
4 5
5 0
1
2
3
4
6
6
7
8
9
1 0
O
1 8
2 7
3G
4 5
5 4
^3
7 2
8 1
9 0
: 1
: 2
3
4
6
6
7
8
9
1 0
— 3 Í —
D I V I S Ã O
37, A flivisân icm duos aplicações diversos que são;
1.® Ac/iar quanlas vêzes um número contém outro;
2.'> Dividir um número em partes iguais.
1 O número que se dinde, chania-sc dividendo; o númeroP o qual se divido, chniua-se divisor; o resultado da operação
quociente, c a quantidade que em algumas operações'1 por dividir, chama-se resto.
39. De dois modos podemos indicar uma divisão, a saber:
•nr. V" •^^crevendo o divisor ã direita do dividendo, separadopor duas linhas, como: 8 [ 2.
SP ^"iprcgando o sinal da divisão, como: 8-f-2=4 que'O ff dividido por 2 igual a í.
noH '^''''rieira aplicação. Com 12 cruzeiros quantos livrost oenios comprar do preço dc 3 cruzeiros cada um ?
Pfob l cma t em po r í im acha r Quan tas" ve'57«„ cruzeIi-03 estão contidos em 12 cruzeiros. Ora,
O, 3 vêzc-s 3 .«ão 9, e 4 vOzes 3 são 12; lose,* £ C r u v n í v o > a « J i t , V f v v A c a a * - » . w » - ,
12 ci-uvmI°® cnntOm 4 vúzcs 3 cruzeiro.s. o por isso com
urii podemos comprar 4 livros do 8 cruzeiros
1 2
0 0
dadp̂ f̂'"̂ 'Aplicação, como o dividendo e o divisor são quanti-
Dor espécie, podemos chegar ao mesmo resultadomjíto dn siihtrnião.
000.000,000,000* í ® P o i a e s c r e v e r m o s 1 2 z e r o s e m U n h a , eluatro aiihT^^ subtraindo trêa a três. no fim de
^2 ze rc i<5 « não res ta rá ze ro a lgum po rqua
«"ntf-m 4 vêzes 3 zeros.
pessív?' aplicação. Dividindo-se X'2 cruzeiros por 4' s, que quantia receberá cada uma ?
5lvlcii,?'ĵ ""°- problema tem por fim.
•^ '^ id lndo-s^ 'partes iguais. Ora,
d u . l a n n ú m e r o p o r 2 , e n c o n t r a m -
enconii-am 'euais; dividindo-se por 3,
4 . ^ P a r t e . s i g u a i s ; d l v k l i n d o - s e
12 cruzeiros ] 4_
4 p a r t e s i g u a i s , e t c .
Uma "°-se 12 cruzeiros por 4, tere-39 4 partes, que ô 3 cruzeiros.
0 0 3 c r u z e i r o s
Nesta«aderS "Plicacâo, como o dividendo e o divisor são quanH-® bclcrogíncãs. isto é. o dividendo c dinlieiro e o diMsor
— 3 2 ^
é um numero abstrato; por issn
P, . , * empregamos a subtração.Problema. Dividir 8924 por 4
tenaí°?Tezení̂ temos S milhares. 9 cen-Começaremos a d iv isão d iv id i r por 4
^ eremos no quocl^nte V i? ^ 2. que escro-
üuas do dividendo fazem 1 Juntando maís
l * í a n v í i t j y . . ,
m o s
n o >
V < 3
b cr t o
x :
t n
X o
c s " d
C T i
— - 4 1 - a
™ c N • —
: : : 4 1 o a
o f í p
8 9 2 4
( 1 )
I 4
0 1 0 0 * 2 2 3 1
( 2 )
4 [ 4
2 2 3 1
' S r " ~ " «■ • !
Que"™, u""',?"'™''" "úmero menor está"úmero ,r:T̂ t >"»or. produlaT",;r̂ í̂?rl%err ôssí o
-̂°b:ema.Em36,nantnsvézesM4VSolução. Há 9 vêzeQ „^2es, porque 9 vêzA« « -
E . ' c e r ^ W o o r a l : ' '
Em 16 quantas vêres há 49
F m 2 6 h á t iLm 20 quantas vêzes há 59Em 24 quantas vêzes há U
p™ ?,•; quantas vêzes há 79Em 40 quantas vêzes há 89Km 42 cjuantas vêzes há 7?Km 48 quantas vêzes há 8?
Exercício de aplicação. Operar
E n i 5 0
E m 5 4
E m 5 6
E m 6 0
E m 7 2
E m 8 1
E m 9 0
Em 300
q u a n t a s
q u a n t a s
q u a n t a s
q u a n t a s
q u a n t a s
q u a n t a s
q u a n t a s
q u a n t a s
v ê z e s
v ê z e s
v ê z e s
v e z e s
v ê z e s
v ê z e s
v e z e s
v ê z e s
h á
h á
h á
h á
h á
h á
h á
h á
5 ?
6 ?
8 ?
C ?
8?
9 ?
9 ?
1 0 ?
1 2 4 - 2 = ( 5 2
2 . 2 3 7 — 3 = 7 9
3 . 3 4 8 — 4 = 8 7
4 . 4 3 5 — 5 = 8 7
5 . 5 3 4 — 6 = 8 9
9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
1 3 .
2 2 6
354
2 8 4
8 9 0
9 9 6
seguintes divisões:
H- 2 = ?
3 = '
4 ^
U J Ü I - — u = o »
e . 1 5 5 4 — 7 = 2 2 2
/. 2330-8 = 207 15. 2560
8. 3638 — 9 = 402 16. 552C
14. 1498
1 5 . 2 5 6 0
5 =
6 =
^ 7 =
8 =
9 =
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 = ?254328 — 2
753579 — 3 =
2 3 7 4 8 4 — 4 =
653285 —5 =
783264 — 6 =
863814 —7 =23. 1536888 - 8 =
24. 2532132 — 9 =
— 3 3 —
D i v i s ã o c o m r e s t o
o div isor d iv id i r exatamente o div idendo, a
fieo/'^ iicara completa, mas, quando não o dividir exatamente,a sempre inn resto na divisão,
remrvl ^^uios só praticado a divisão exata; agora passa-s a divisão com rc.slo.
Kividindo-se 7 maçãs por 2 meninos, quantasniaças receberá cada um ?
Í i c - L ' d i v i d i d o p o r 2 d á 3 , e 7 I 2
c e b e r á ^ t f m e n i n o r e - i ~
d i v i d i ^ 1 » " "■
b r e l ) O d e i n ü s n d l t i n l a r a s o r a r s ô »
n-UQões f .'T'" «Titranno.s na tcnria das
QUando ' a inda doscon l i ecemos : f t í iS
^ P r e n d é i - f i a e s s e p o n t o , a l l
c tJrnpiet . . tambõin a lUvid i r o resto parai ^ ' e t a r o q u o c i e n t e . —
O di\̂ '̂ ̂ 1'eslo de uma divisão deve ser sempre menor do que^sor; se tor igual ou maior, a operação está errada.
Excicício de aplicação. Divisões com resto:
2 = 9
(1.)
— 2
3 =
3 =
5 =
^ 6 =
M í 8;
9
3 4
22
37
4 0
41
(2 . )
5 1 — 7
0 7 — 8
78 — 9
8 1 — 2
9 8 — 3
9 9 — 4
100 — 3
= 9
(3.)
1 0 1 ^ 4 =
1 2 6 — : ' ) =
1 8 5 — O =
2 0 0 — 7 =
7 2 4 — 9 =
7 2 5 — 4 =
7 3 0 ^ 7 =
(4 . )
925 — 9 =
1 2 5 3 - 2 =
'4382 — 3 =
5 3 2 5 - 4 =
6258 — 5 =
6 2 5 9 — 4 =
6 3 3 3 — 5 =
Divisor com mais de um algarismo
paran?" o divisor constar de mais de um algarismo, se-
visur « Oividendo tantos algarismos quantosfór inf mais mn, se o número separado no dnidendoJ í i i c r i o r ' i n'uor ao divisor.
(1o)
4 3 3
t l u s
1 8
( 2 0 )
3'G'4'Õ'G 125 64
(30)
l'234 1 |_25
No primeiro exemplo, separam-se dois
®Paran/- "V "• ®®aaram-se quatro algarismos; e no terceiro -® tres algarismos, porque 12 é menor do que
aW?f. operarmos uma divisão jásmos terá o quociente. Para isto, bastara
Elementar
~ 3 4 —
1 n
1
( 1 8
t i r ,
algarismos do dividendo a partir do nlilmnpara a direila. e o nihncro de alanri ^
O n ú m e r o d e a l g a r i s m o s f ? n a i i h o u v e r , s c r a
primeiro exempio terá só dois ^ quoeiente dobém terá dois, e do terceiro terúlrès " segundo tain-
Problema, Dividir 5308 por 13.
9 dezoS'e' ŜuníSxde/ifol̂ û" ̂ cento,ias,
divirln- 5 milhares jdor 13 temos a''T'' I>'><lcmos
ortl.om: ficam, então. 53 centenLvldir por 13. Em 53 nuane^ vví.- Podcmos di-
creveremos 4 no quoeionil Hã 4. cs-
5«T.rismo pelo divisor, temos'- V Osie al-
D é s c é ' . ! ! , " ' ' « « o " " "■
a n n ^ o , , e „ , „ . , i ,
depius de três divlsOes c üw??''""''- aolm.i
q u o c e n t o d a d l v i s - i o e - a c h a m o s q u e óProva. Multipiieando â -ô roVisoi. e ao produto juntanth, quocionte poJo di-
^omos^atamentc o ̂ ividend^pS ,̂ oi.
bI,™Í's "" ■"""" -Wi»!.
algarismos, quantos conténf̂ ̂ começar da esquerda, tantos
r. Lste número é o nr/mc/rn fòe menor que o
Acimm-se quantas nazis pardal,dividendo parcial e assim oblên\ contido no primeiro
qiiocicnle. oblem-se o primeiro algarismo do
Miilitphcmse o divisor por êste ni •irai-se do primeiro dividendo nar^? produto siib-ve-se o algarismo seguinte do dZmJ'f césio escre-
dividendo parcial. Procede-sc comf,^ formar um novo
dividendo pardal e oblàm-se o serf., i <> primeiro
Assim se continua aié o último Jr.,?- ^^^Oarismo do divisor.-
produto o resto, se houver; se o resnH jnnta-se ao
dendo, a divisão estará exala. aiacío fôr igual ao divi'
Noía. Sendo al^um dividendo parcial meno.
um zero no nuocfente e desce-sc mais um ai ° divisor, escreve-sfl
p a r a o d i v i d e n d o p a r c i a l . s a n s m o d o d i v i d e n d o t o t a l
1 .
2 .
3 .
4 .
5 .
6 .
■— 3 5 —
Exercido do aplicação. Operar as seguintesdivisões:
D i v i d i r 4 8 0 9 : í p o r 1 4 R e s p . 3 4 7 8
D i v i d i r 4 8 ( 5 9 0 p o r l õ R e s p . 3 2 4 6
D i v i d i r 3 3 8 - l ( ) p o r 1 ( 5 R e s p . 2 1 1 5
D i v i d i r 4 2 1 4 3 p o r 1 7 R e s p . 2 4 7 9
D i v i d i r 8 1 3 4 2 p o r 1 8 R e s p . 4 5 1 9
D i v i d i r 7 ( 5 3 2 3 p o r 1 9 R e s p . 4 0 1 7
8 5 3 2 3 2 1 = 0 1 3 . 2 x 3 0 4 1 2 -- 1 3 2 =
G2582 4 3 = 9 1 4 . 1 2 0 0 7 2 -- 2 0 0 =
2357(5 - - 5 0 = = 9 1 5 . 131970 -- 3 1 2 =
31(572 7 4 = ? 1 6 . 7(554325 -- 9 0 =
1020(5 8 1 = ? 1 7 . 3 7 5 5 1 2 3 -- 2 3 4 =
1 - 1 0 . 3 0 O x _ 9 I R . 6 . 1 . 5 . 5 ( 5 0 0 -- 9 7 4 =
Pi'oblema. Divitiií- 745 por 100.
Como o iiivisor tem dois zeros, temos do
c iente a 7" ' * no a iv ldendo, c então o qno-® 0 o resto C 45.
1 .
2 .
3 .
4 .
Dividir
Dividir DSOO i,or
Du-itiir 9500 por
Dividir 98000 por 1000
^J585 por I O
1 0 0
1 0
T
obrox'?; '̂ o dividendo e o divisor Icrniinc
amijn opei-ncào cancelando igiuil iiiiinero"s os tOrnios.
743 4- 100 - 7.45
Resp. 458,5
Resp. 58
R e s p . ?■ Resp. ?
a i n e n i z e r o s ,
d e z e r o s e m
r n i o s ,
f̂ i'obJema, Dividir 14400 por 800.
'Cancelando duas cifras no dividendo e° d i v i d i r 1 4 4 p o r S , q u e d A
14400
6 4
O
800
1 8
q u e S e c a n c e l a i - n i o s d u a s c i f r a s ' d i v i s o r , 6 o
por lOU; se cancelarmos duas c ^j^j^g^do e o dl-
ndJ."® ° divldlrjnos j>or lüO. Ora. Conservam entre si a
, n ú m e r o , e s t e s d o i srclacao. e por issn não se altera o valor do quociente
— 3 ü —
Operar as seguintes divisões:
1 . 5 5 0 0 ^ 5 0 0 =
2 . 7 2 0 0 - ^ 4 8 0 =
3 . 7 5 0 0 - f - 1 5 0 =
4 . 8 0 0 0 ^ 2 0 =
Resp. 11
Resp. ?
Resp. ?
Resp. ?
5 . 9 4 8 0 - f - 1 2 0
6. 14700 -:- 700
7 . 4 8 G 0 0 5 0 0
8 . 8 7 0 0 0 1 5 0 :
Resp. f
Rosj». ?
Re.sp. ?
Resp. ?
Problemas para resolver
■ de roíinhí" lendo"c'uln'̂ °" <I"í»íro ninhos
de ovos; èle contou"p""* ""meroe achou que e?am 9r ninhos,
cada ninho ? ' " qnanlos ovos tinha
4; entrlo ĉada nS Unh\ eram
' o v o s .
deve ,-ec",er"̂cada"uma%''''''" dividir por 12 mcniiins: <I«nn
'o nie cuslou''cada'Jn™roT '"■-nda jior 200 cruzeiros,
endu PO. .08 cruzeiros; quanto ,ue cu^^ú
_ 5 . _ U i n n c a i x a d p - R e s p - -
L ' i l
i n s
?
apenn; 2o'"rirô rort eSd"" <= .cqa.lo.̂ lev"
Je^adoies poderá encher ? de áiíiiii, ((luuilos
7 Uma senhora d ívh l i u V " 'do a Iodos esmola igual; (iii-,nÍo P"'' «O pobres, tlaii-
S- Se um liomem se-íq cada pohre? Resp.?em quantos dias o segarão'^ '"""P" ^'n dias V honicns
, 9. O dividendo é 4049'l«o n a- • Resp. O dias.ciente? o divisor é 12345; qual o quo-
10. Comprei uma peca de renu Resj). 'à'2S.
lendo ela somente 12 metros n....n/ P"^" cruzeiros; ora." ^R'-^nlo me custou cada metro?
11. Com uma fita metálica de oq , Resp.?
ío, fizerani-se 3 aros para um barril "i P'd'nos de coinprinien'
2 palmos de fita; qual era a cimilnr ® "'"da ficaram
b a r r i l ? ^ " e u n f e r e n c i a o u g r o s s u r a d o
Soinção. Desde que ficaram 2 palraos ãf fo
deviam ter só 27 palmos, e um só aro devia ter 97^?^ enrolar, os 3 aroS
o barril tinha, pois, 9 palmos de grossura ^ ^3, isto 6, 3 palmos;
— 3 7 —
12. Sc uma família gasta 95 cruzeiros por dia, quanto
g J í s l n r á c m 3 0 d i a s ? R e s p . 2 8 5 0 c r u z e i r o s .
13. A soma das idades de dois irmãos é 30 anos; tendo
o mais velho 1(5, (lual é a idade do mais moço? Resp.'.
i / l _ , } . . . . ! • ' o n . t f » . o i i i i l i n l i .
"a entre estes dois
q u a l c o q u o c i e n t e ? • ' 1 1
„„ 1.®* '̂ o's viajantes partiram do mesmo iugir. caminhindocni direções opostas; um andava 2 qiiilòniclrüs por hora, c o
n̂li-o andava 3; a (uic (lisláncia estava um do outro, no fim de5 h o r a s ? ' R e s p . 2 5 q u i l ô m e t r o s .
r,M V' 'í homens g.nhani juntos 840 cruzeiros em 7 iliaSj^1'n'nlo ganha cada um por dia? , , '^'^Pv
íí'1,0, Numa adição aumentou-se uma parcela dc_-/ u
a'j.JjĴ j.̂ '̂ .̂ diminuiu-se'oulra de 58 unida<les.Que alteraça' ̂
nitPî ?' ̂ '"nni subtração aumcntou-sc de 40ncndo e dc 38 o suI)lVaendo. Que alteraçao solreii » rcslô ^
2 0 . A I I t f i i . t - . « . 1 . . . U n l i n i d . a f i c s e i c d l i z i ( i c — .
" n i d ;
un idades o
Resp. ?
Iiou-se o resto
iniiif?^," multiplicação numcnlainos deid'cador; (juc alteração sofrerá o prodiüo .
maior " divisão ctn que o divisor é Ia ,M,al
Pass' .P'^'^'^R'cl - Sc d()I)rarnu)s os dois lermos ■ Resp ''""i n ser o resto ?
Achar uma ou mais partes de uma quantidad
lueio''?' dividirmos um número p"''.2' o g quoci-«mc desse número; se o ^í^^se o dlvid
assiiiV ' quociente será um qiinito, 01 l,,,.,itfucr parle
d e s o r t e q u e . p a r a e r o m "
P'U'te í qnnntidadc, bastará dividi-la peloinc queremos obter.
'̂ '■oblema. Quanto é dois terços de 24 ?
Dividindo 24 por 3. temos a sua terça
c ^®rço, que é 8; dois terços sao, Por' ® X 2 = 1 R
2 4 !J
O O
8 X 2 = IG
— 3 8 ^
q u o c i e n t e ' ' " " P " ' " '
®-rc.ic,„ ae ap.lea^.„.
n n i o l o / i ^ - 1 - o — ^ „ _
6 .
7 .S- (jtiMlio sútiniüs tie 2;)
in " ' ^ - ^vos i l c 5992?
c f e ^ ^ ' « c r p u i o s d o v o . ' ' ' « í e 8 7 9 3 ?
. . . - . > - a i i i o a c o i n n i - < \ r > i i , i , . i - m i o I I i O "
e 0
1 .
2 .
3 .
4 .
5 .
a nielade de 3728 '
uiii lèrço dc 147?
dois lèrços de 444'
Ires fjiiartos de õOÓ-'
a quinla parte de õóã?
dois quintos dc 100?
a sexta j)arlc de 4470?
a i i M t , - . . c / . . : . , . 2 0 1 3 7
,y
44
p . . * ^ ( ^ o i n p r o e m U - r m o""̂ cdros cTda" 5 quilos e meio dc metal a
S o l i i o a o R « . . A
( ' 6 m c u s t a r < 5 ' l u i l o c u s t a u -
d e v e c u s t a r • ) ■ '■ *■ ^ J U e s ã o • > • > « ° ' ^ " ' ' o s d o . í >cuilos e i»eio aeveSf f 'r
1 . F , n , ^
T) (Inzias = 30?
S i ' é f ? u a s —
l h e í e m 4 4 e r ■
de 7 dessas pa,- L? ̂ ern 8 pm fê ^ danrlos? Kesp-?
9 - C i n c o d ú z i a s e n ■ ^ . T
0 . ' I r e s e e s f n c o v o s .
- * • " p " « i e s . 1
~ ' 5 ^
'inha™ OS .-ès c'cs.oT/'''̂ """̂ <"= ..".
d e v e .
Kesp-"
— 3 9 —
I G U A L D A D E A R I T M É T I C A
i)rp«f '//aa7 ao :iu'inicro dc meninos. Essa relação iymd «
o 111' i)elo sinal =. Sc quisermos chamar abreviadamente j
esioi-""* '̂" jal)ülical>as e m o número de meninos, poderemos
e v e r
j = n i
f/ode'̂ "̂ ^̂ "aia relação entre duas quantidades chamada ignal-
chm^ ̂ l"=̂ "laht(ic que íica à esquerda do sinal de igualdade,Pf^'i^eiro membro, e a que fica à direita, chama-sesegundo membro. Exemplo;
( 1 . ° m e m b r o ) ( 2 . ° m e m b r o )
7 — 2 -h 6 = 8 + 4 + O— 7
membro, cada parte antecedida do sinal + ou —.
trêV termo. O primeiro membro da igualdade acima tem
um e o segundo tem quatro. O primeiro numero delíinibro, quando não leva sinal, considera-se com o smal +.
mas si'! (,ue levam os sinais X ou - não sao termos,u lalores ou divisores dos termos.
+ Avhíir o rcsiiltailo (le 4X3 + 7X5 — '•'X3 +"*-^^ — 3X5= V
fe"; ° P'"l'loma 6 4X3+7X5-9X3+18 -̂2-3X5= 7
OlISP"""" ® í 12 -1 35'-(27 + 9
c„,„ V .Wpc.u -5 -o Js'J:'. tu.Llr . soma Oe 27vpni 5C —. 42 =14.
/ j r m i c í r u m c / i í e o s s i n a l+ e da soma dos números precedidos doIrai-se a soma dos precedidos do sinal
Operar 2XS-+8X5 — 9X3+16^^='
'""'•■'■■"O 2X8 + 3X6-9X3 + 19 j19 + " - II + = 33
I Operar 5-+12X 3- âX 4-25 = 5 = '' R^^P; +, Operar 08 + 35 - 27 + 56 - 39 + 2 - ' ^B. S"5r26-= 2+17-14+ «X 3 = | J^esp. ?Operar 18 x 21 +450+- 30- 11 X 14 = ' "® ^
'
— 4 0
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS
cm priino? e composição, dividem-se
lamente senão por"ld̂ et>or podcin ser divididos exa-assint 19. por cxe.nplo, só é' di;■bî:el por 'ŷe'por l''
«s I''"üdulos de"̂ (líãŝ l?f chamados compostas) sao
I>üi- isso podem ser dividi.!̂ 'inmeros difercnles da unidade eAssim, (i é o produto de 'J 1'̂ por èsscs números*de ser divisivel ,or s ^ ^ P^c isso. nlé»!
úém divisfvel por '> e nar como qualquer número, é taiã-
5 ou 5 vezes '2, c noi- ' • ,.".".'"cro 10 é o produto de 2 vê/cS
52. Dois ,y '' P"'- c por ã.n ú m e r o ' d i f e n t e ' q u a n d o n e n h m "9 sao números primos entro kí°"'' cxaiamcnlc; assim S c
1. qncdivida exalaineiUe divisor, além ded. separadameiue, são ni-im^ "Úmeros. Mas, nem 8. "cm
d; e 9 é divivsível por P®'"quc 8 é divisive] por 2 e
Achar os números primos
Pode-se achii- r.* -iaté o número que se\,uise''r noi^^ números prim^S
po • hralosíencs. sábio de 410^ de crivo, inventado
P-ste método consiste ^ ^ '̂"^drm.
impares e depois cancelar oí. uma série de números
c e r t a o r d e m . D s c a r è s l e s n ú m e r o s c m
Problema. Achar torine
. o K 7 a ' "úmeros primos ale 53.3> 5, 7, 9, 11 13 -V, ,,
33, 33, 37, 39, 41, .13, 4.̂47,
Solução. CíJino todos o.s núm,.,.número 2 devemo.s procurar os múltiplos, excetuando ^
impare.s Tai-u isso oscre%-cremo.s todos o^ s6 entro os núniero^
reciuerjdo no problema, que e 53- en?<.« ímpares até o núfíierj>mevos úe tvcü e,n três. começando deimfc" Í''"- ̂ "̂celaremos todos os nj
3. o terceiro número é 9, quo se cancelo xf® "«̂ mero 3. Ora. depois d̂
é 15, que se eancfla. Depois de 15 o o tcrcoiro númer"
cela, e assim por diante, at6 o últinio número é 21, que se cdt*
Depoi .s de cance larmos de t rês em t r^ - " ' ' ãe
cinco em cinco, começando a contar clenof'^' a cancelar
cancelaremos de sete ein sete, começando cinco; e dcpon c p o i a d o n ú m e r o 7 .
S l j
- - 4 1 —
r>rt números cancelados são números múltiplos de 3, 5. ou 7. ® n®meros não cancelados são números primos. A êstes juntaremos m
"nmero 2. que. por ser par, não foi escrito acima. „ , ,t n
,7 ortanto todos os números primos atê 53. suo !■ 2, 3, 5, , . »19. 23. 29, 31, 37. 41. 43. 47. 53.
, Pnra se operar conforme o crivo de Eralóslcncs, h.i a se
g u i n t e
Regra: Kscrcve-se cm linha a série de números
"ú/urro rciinerido, c depois canccla-se cin toda a se'̂da terceiro número depois de 3; cada quinto
dL '- ■•'dímio número depois de 7; cada
/! ̂ fu^ciido o mesmo com os uutros num P
^ Ds números cancelados serão números mullip ,colados serão números primos.
i i i o . ^ ' " d c m o s l a m b e m s a b e r s e 5 .
7 '^*'dindo-o sucessivamente pelos numeres p -•
vlsnl"•' " quocienlc seja igual ou menor
Rfoblema. o número 127 c prhno ou nao ?
-'■■Ujom'il"*?"- caractere.s da divisilnliclade (««). j*-; , , . , .
dos'''nr'""'~"' número^nao é l l 7 " O» , n ú m e r o s p r i m o s , 2 , 3 , 5 , i e H . C ) — ^ — _o ha " flUocJonte 9 & menor do que o divi • 1
t - n t ã o o n ú m e r o 1 2 7 6 p r i m o .
1 2 7 11 3
NÚMEROS PRIMOS ATÉ 191
1 7 1 9 3 7 5 3 7 1 8 9 107
131
a 11 2 3 4 1 5 9 7 3 9 7 1 0 9
13/
3 1 3 2 9 4 3 6 1 7 9 1 0 1 11 3
1 3 9
8 1 7 31 4 7 6 7 8 3 1 0 3 127
149
151
157
1 6 3
1 6 7
173
1 7 9
181
1 9 1
Divisibilidade dos números ̂ ̂
sein% Qu""do um número í̂ \̂'"'̂ ,?"''̂ °número" Assim 4 édivisor chama-se divisor desse ni.mei
O porque o divide exatnmenl • fator, sub-ííe um número chama-se * q„e 2, 3»e parte alíquota desse numero,
— 4 2 —
4 e G síio divisores, fiiiores, subnuiltiplos e nnrlcs olítinolns d®
1-, porque eadn um dêslcs niinioros divide exnt-iniente o nu
l u e r o 1 2 .
Os niiincros que se prcslam ;i unia divisão exala, são só osr umei os muilqdos: os primos, a não ser por si e por 1, são m-
Uivisiveis por qualquer outro numero.
Caracteres de divisibilidade
'"J" "úiiiero ó ou não divisível
bastirá* sÓTiinni í'" ^ necessário efeliiar a divisa^
Lilidade. conhecermos os seguinles caracteres da óivisi-
P o r 2 .
por 2° ̂ tenmiiado cm O, 2, //. O e S é divisi"̂ ^
2 ou múltiplos'ile*^2''e Srterminados neste.s nlííari.sinos
(divididos por 2 delx-im con tf.? (hvisivei.s por 2. Os númerosl>ar; o divislfctT.npur.'^ isível por 2 chanca ^
— 4 3 —
â i '
P o r 3 .
visível PoríU"ZTé,r&ivfrXT
O r a . U o n ú m e r o I - I T 6 1 + 4 + 7 = 1 ^ *por 3, o número 147 t.nmbèm o é.
P o r 4 . I
}ormem um númTrô Tnúiíf̂ i "'''/no.v cíI</arismos da |
laado pelos seus dois" üm^os Po^iuo o número 23, ,
'-«.irisníos, G clivisível por 4.
4 o 5 .""""""" "" ou o é aivislvd vor \- = c „ , I
Por 6.
siue,% '7:'" 2 e ,or 3 é ia,nMm diV'
í l u s l r n o ã o . C o m o o s n ú m e r o s 2 e s - \ s «
inn número fôr divistvel por 2 e por q pr imos entre si (n. _
meros, Que é 2 X 3 = tí, como se podo verm produto destesveriiicar em 12. 18, 24. etc.
P o r S . .
G-" Todo número cujos trés últimos algarismos da
formem u nd/ncro múlliplo de S, é tnml>cm dwiswel po -
niislrn«j,.o. o número 4T312 C- divisívol por 8 porque o númeromado peIo.s seus irê.s últimos algarl-smos. 6 divistvel por •
P o r 9 . . .
. _ 7,' 7'oí/o ndííii-ro cujos algurisinos lenijam aaia soiîsioel por !), é lamhcm diinsimd por .9. 4-3+5+6=18: oi-a.
llustnujão. A soma dos algarismos do núntero 4356 é 4Pio is G divisívol por P. o núntero 4356 tanibúm o
P o r 1 0 . . . . 7 o r í f l
8-" Todo número terminado cm ^
IO- Os númr-ro.s terminados em zero faao• assim, 30, 90, ISO. são divisíveis por 10.
onr-^*" riúmcro é diuisíuel por da ordemonfcm par é igual a soma dos mút-
t̂lTd̂ l " diferença entre as duas somas
PertÍn"''*'''"-'"''"- Começando pela direita dc um '""mar.P quarf impar, o seftiindo ii ordem .}SG42. a soma de.^
alffari ordem par, c assim por diante. N ordem ímpai o
4Tr;-,^ ^ + Tní-™ í aiv,.íve> por n.S ã o t a . n i ~ I ' ® S " * 4 0 . 5 1 S 4 C 3 . e t c .^««ibGm divisíveis por 11 os números .0S4, s- ^ números, apU-
<lc aplicavrio. Adiar os divisores dos sejj
o s c a r a c t e r e s e s t u d a d o s a c i m a . D i v i s o r e s• ^ i n e r o a D i v i s o r e s ^ , _
2 - 7 5 0 5 6 . 6 4 o
V 2 3 5 9 ' 1 0
l ' 1 3 8 ' 2 ' 3 G 8 -
3 0 9 o 9 . S O O
3, 5, 9, 11 lugares cie certas
ordoh números abaixo eslão . ^gses lugares ciealgarismos podem ocupai^ o d o q u e : n a f t e 9 .0 ' ^ " ' = " V Rcsp . O , 3 , 0 e 9 .numero 27 45 seja divisivcl poi ó,
^ íiúinero 132 7 seja divisivcl P r̂
^ minicro G 32 seja divisivcl por lU
^ número 154 2 seja divisível pornúmero 375 4 seja divisível por 4.
4 4
1 2 . Qiinl o menor número a subtrair dos números
7̂ 40 para ler um múltiplo de3a84 para ter um múltiplo dc
3̂̂ 7 para ter um múltiplo de0839 para ter um múltiplo de u r
de 10 ?' -•/ l>ara ter um múíliplo dc II
3 ?
õ ?
4 ?
t) ?
lU'sp. 1.
lU'sp. 4,
cício precedentcV-IrTobf"""'̂ '̂ *̂ ̂ somar aos números do cxer'para obterem-se os múltiplos ((ue ali se pedeiiW
Decomposição dcs números
posto em um prodüto°dL̂".Uú̂^̂^̂
latorcs primos. Assim:
decoi i i '
= 1 5 :
= 2 1 ;
os fatores primos dc 15 são 'í -
pn„,„s „e o " 3 !;■ ^ ''
- í : " : : ^ ^ = 3 .
° """'oro 210 cm fnlôrcs prii»"®"
Solução. Comecíi-̂ A .
i'Or í̂ ô quoci"'"̂ "' °
. 1 0
^ tiuocieruo G l'"' n'^'" ° '«"«ciciuc í* 7 v''' ° Ouocicnie
2 > ^ 3 X 5 X 7 s 2 r f ) d e . 1 0 s ã o ' ^ 7 p o r 7 .- J . 6 e 7 . P r o v u :
j.,'oee.j=so210 I 2
lü5 ! 2
35 I ̂
7 I 7
1 I
=:es.,í;;r " falõcos pHrnos <1 • o1 ' i i m o s d c u m n u m e r o
Regra: Oiindc-ae n ml,.
<}iie o dwkln exatamente menor númeronumero pruno on por outro Z 'T, ° """"onto pelo
^^-"""nenle; e assün Z TT''''' muror ̂ «eciente 1. Os oàrws divisores emnr até obter-se o
d o í i ú i u e r o d a d o , s e r ã o o s f a t o r e s p r i ^ ^ .
— 4 5 —
m e r o s :
1 . d e
2 . d e
3 . d e
4 . d c
12
1 8
2 0
8 8
3
3
1 3
1 9
5 .
6 .
7 .
8 .
d e 3 9
d e 0 0
de 100
d e 3 3 7
i a r
a o
Divisão por cancelamento
58. Divisão por cancelamento c o .jj^ndo e i
Jjma divisão, rejeitando os fatures comuns ao diMOena
A p a l a v r a c a n c e l a r e m A r i t m é t i c a ^ 3 , 4 ,
sobre os aifínrismos escritos para os inutiliza , > »
3, etc.
C o m o j a v i m o s n o n . ® 5 " , d i v k ' Í n t l o - s e o e n t ã o , d e c o m -•Ti inosmo número, não se altera o valor do l f.alores primos
P ndo-so inenlalniento o dividendo c o d»viso têrmos, a divisão
««) o cancelando-so oa fatores comuns aos doisi'cara logo operada.
59. Para se facilitar o cancelamento, cima, e oem forma de fração, cscrevendo-se o d»^>
divisor em baixo, separados por uni liaç
Problema. Qual é o (iiiocicnle de 42 di\idido ]
P r o c e s s o
6 X 7
G o u
b o a
í5
7
Solução, o número -12 decompõe-se> C vêzoa 7; o como o fator 7 C com
os termos, canccla-se éstc fator nono divisor, e o quocientefica G. cUviSOr são
„ eo. Qunndo um fator do dividendo«xatamente divisiveis por um mesmo nocienles nos seus
^sse numero, cancelam-se e escrevem-
' e ^ p e c t i v o . l u g a r e s . ^ p o r
Problema. Multiplicar 45 pm
nuiltipiiçjnjo por 3.
OS dois nümoroK. e i-screvein-se os
"cs seus respectivos lugares. 1 .
mbâtn cancelar C e 3 dividindo-se porO produto dos dois fatores do aividcndo 6
3 — Q Q r e s u l t a d o d o C i
^ 7- = 1. o quociente é ou 10.
45X6_
9 X 3
5 2
4 5 X 0
0 X 0
1 1
: 1 0
4 G —
devemowlTn Inronjas, custando 40 reisaevemos dar por o maçãs de IGO réis cada uma ?
em 5 l^êzes' impnrUun
4 0 r é i s . D i v i t l l m l n V l a r a n j a r u s t aremos o núnSo P®** ''^ha-
os dois zeros, que é
ambos os tênnos por Io 1"® <11^^11''
duzidos a 10 e 4 riM-i'i ficam re-< J o i s t ê r m o s p o r 4 a i n d a Ô s i - s
laranjas. ® ® resultado 6 5 X 4 = -ju
c a d a
ãXT(|d̂2Q
4 0
1
Veriricneão. 5 . --_ a IGO = sno." mranjjis a 40 = SOO.
N o t a Ê s t e , n r . > 4 0 = 8 0 0 .Proces.sos aritmMicof eaplicaquo na roara do Uvs o om
nientemento. ® P°r isso os discípulos dcvoin oxorcit.l-lo
ouir'̂
conv̂
I » w í * 1 / . I •
3- '(24XG)''^''{;2x''3r'"'" ''4: Ení"TUcrr""' '
B . D i v i d i r 2 r x n h ú 3 3 .6- Quanlaŝ Í4,'\,X '"ri""' 1» X 7 X 2. ,. "Íilâ
<^"105 dar por 50 IJCsaiulo catla uina LlosJ' .>« sacas, pesando cada nnia 42 d"' 35.
k.l?:? do divirip„..„ .., ... _ fatòrcs
llcsp- '■
W » ^
podemos tiar po
y p c s a u d u c a d a u n :divisor sdo'siTe I'd-te,1». 4. 9 c 5; c os t-'iffl 48. Um fazcndcirn " «l»ocienlc •wU "
em eav"!! ; ' ' ' " a 11'0
-quantos cavalos devia ?i *ío 4100 lí^'
'v>
R e s p .
ev Divisor'' '"''«"'"«líamete números ú o "
í ^ ^ n i e r o sNota. Por abreviatura n^rs "miKnno divisor comam. ' a,,^ ^ 1 0
— 4 7 —
Problema. Qual é o máximo divisor comum de 28 e 40 ?
Soluruo. Diviclint1u-se o número maior pelo me
nor. o <nioci i ' !UC é 1 c o rosto 6 12.
l>ividiiuli>-so tlopois o número ntennr 2S polo
r e s t o I J . ' . s _ < . . . > A j
I » l 'OCCSSO
V » . . . . . .
resto IJ. o ' luifcionic ú 2, e o I 'ostu & 4.
l ) i v i d i m l i > - H c a i n d a o r e s t o 1 2 p e l o r c
quoc i f í i l ó é : ! , o o res to 6 ze ro . O d i v i so r
doix.-i resto é I. c èle é o m. d. c. de 40 e
I ' a i ' i i s e f u e i l i c a r a d i v i s ã o c o n t i n u a d a ,
veni-se tis tiuocit-nies em cima e os rostos em baixo.
1 2 3
4 0 2 8 1 2 4
1 3 4 0
No ta . Se Io ro na p r ime i ra d i v i são i i ao s i . como 15 eo n,. ,1. c. Quivndo os dois nú.noros sao Primos enu
1 5 . o m a i o r d i v i s o r c o m u m é a u n i d a d e ( n . « - / •
1 .
2 .
3 .
4 .
6 .
i:xercício Oc aplic-n̂ -no. Achar o mãximo divisor comum.
de 140 e 210
de 00 e 90
de 231 e 273
de 247 e 323
de 285 e 465
d e
d c
d e
d e
1 2 e 1 0
1 5 e 2 0
4 2 e 5 4
7 0 e 1 1 0
de 105 c 1Ü5
Resp. 4
5
6 .
7 .
« 6 8 .
t ? 1 0 9 .
1 5 1 0 .
Resp. ?" ?
„
V 2
" ?
Mínimo múltiplo comum
dèsle
3, 4
63. Chamam-se múltiplas de ^"í é, por 1, 2,
número pela série natural dos números, I
e t c . A s s i m : - i o U e t c .
. 1 . . .
e numero pela série natural aos
• e t c . A s s i m : „ 1 0 1 2 , U .
Os múltiplos de 2 são 2, 4, o» ♦ .g 21, ele.
Os múltiplos de 3 são 3, G, , Iji W etc., e assuuOs múUiplos de 4 são 8, 12, 16. 20,
pnr d ian te .
vários números é facil obtcr̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ̂ produto
^.nllipio comum dos números dados, /.iiipio comum de 4,Por exe.„pIo: para obter-se um nmlt.pi ,3q^_
12 hasta fazer o pro-clulo 4 X 6 X .voq^ q que são inul-
ni outros números menores do <1 „„ ,)ode obter o
dès l
6. 8
e s .
ex| ® 6 12 hasta fazer o pro-clnlo 4 X 6 X .jon̂ q que são inúl-
ti^i^ ^*á outros números menores do <1 ^ pode obter oP̂los conume de 4, C, 8 e 12 .Veiamos como 1̂^P̂^̂>0'̂ú4sses múltiplos ao qual chamaremos u
— 4 8 —
Mínimo múltiplo comum de dois ou inais números c o
menor número, (jue se pode dividir por êsses números sem
d e i x a r r e s t o .
Nota. Por nbrevj.atur.i. usaremos ilas iniciais m. m. c. para indicar
m o s m í n i m o m ú l t i p l o c o m u m .
Problema. Qual é o m. m. c. do 4, G, 8 e 12 ?
Roluçí io . Escrcvem-se os números 4 n R o 1" e l * roccsso
sublinham-se. Acha-se depois o menor divisor que di
vida um ou mais déstes números .sem deixar rc.sto.
Ora, o divisor 6 2 que pode dividir todos. Escreve-se 2 à direita dos números, o dividom-sc por
ele todos os números, pondo debaixo de cada um o
Síieidrnoí% "*■ POi' 2. dít 2: 6. 1. 3. 2, 3 2di\ie do por 2. da 3; 8, dividido por 2. dâ 4- e l"»
d í sào"s'fo°*^2 q .°®_1"«clentes desta primeira 1. 3, 1. 3 3^ ° 2. 3. 4 e C. Pa.s.sa-se um traço debaixo
quf dhdSr'im ® vez o menor divisorí-s^o ríiV.Í números sem deixar resto.- A d i v i d i r t r ê s d o s n ú -
s e d o s n ú m e r o s , e p o r ê l e
'
4 , 0 , 3. 1 2
2 . 3 . 4 , G
1 , 3 . 2, 3
1 . 3 , 1 . 3
1 , 1 , 1 , 3
T . i t L u i i e u a d o s n ú m e r o s e n o r p i o
respêí;ívTquoc?ent"e ""SVúZlTo <1^ cada um oteiro para Ibaíxo! e teremosTniJo divisível por 2. p.as.sa in-
números se pode ainda dividir nnr 2. e 3. Como um dos
divisor, e por êle dividh-eÜ oL /cc ' ®®c'"̂ vercmos 2 à direita, como2. Pnssk pam ba ixo è 3 não ê d iv i s íve l po r2. passa para baixo, e temos os números 7"^ 1 ^l^visível por
ve-se 3 à direita como rlivi«on « ?-.! 3. 1 c o. Como resta só 3. cscrc-
quocientes sejam 1 Mult in l lcanr in P" ' ' c io, para que todos oso produto 24, que 6 o m. ni. c. de 4, '"^Lsores, obtóm-sc
Regra: Para se achar o m. m. c. de dois oa maisros escrevcm-se os números dados em linha, seZados nor vir-
exatamente ini ou mais dos números dados- escrenc-sc êssca direita, c dwidcm-se por éle iodos os /omii di-
visweis escrevendo dchah-o de cada nm o orn
d " " " ' , > ~ 7 > r a T u n m
Dtimh-se a nova linha cie números pelo menor número <?"«'
pelo menos, d,mela am dos números, e assim se procede até
ijaja nos qnocienles so o algarismo /, o produlí continnado detodos os divisores sem o m, m. c,
.Vola. Quando todos os nCmeros dados são dois a dois primos entra
di, o m. m. c desses númo,™é o seu,produto continuado. Assim •>
m. ni. c. de 4, 6 e 7 e 4 X 5 X 7 = 140.
— 4 9 —
È.sle processo facilita consideravelmente a redução de frações ao mí-
nio denominador comum, e por isso deve .ser muito exercitado.
1. 1.5
2. 6,
3 . 6 .
4. 10.
l6 . 8
K e s p o s l a s R e s p o s t a s
e 2 0 . GO 7 . 14, 21, 30 e 3 5 . ?
8 e 0 . 7 2 8 . 2, 3. 4, 5. 6, 7, 8 e 9. ?
15 c ; i ü . 2 1 0 9 . 18.' 21, 27 e 3 6 . ?
12 c 15. GO 1 0 . 10, 30, 40, 5 0 e 7 5 . ?
15, 18 e 2 4 . ? 1 1 . 8, 28, 20, 24, 32 e 48. ?
15, 12 c a o . ' ? 1 2 . 7. 14, 21. 2 8 e 3 5 . ?
F R A Ç Õ E S
Uj,̂ , .Ffação t)ii ffiiebnulo é uma ou mais parles iguais dedividida em partes iguais.
D-iri ^'ngiiagein vulgar, fração quer dizer um pedaço ou1' le de alguma coisa.
q u a r t o s . C i n c o q u i n t o s ,
Seis sextos.
Uma unidade ê uma coisa inteira como. partes é
nintíã em duas partos iguais, ca ^ ^ ^juas
o u u , n . . „ o c o i - o v e c o m a l g a r i s m o s 5 ,
s-n
igu
^Oiy
b u
tes
3o e.sta maçã em duas par tos iguais, ca ( juas
tun meio da maçã, e se escreve com algai ^ . partesSuo dois meios, c so escrevem ■§ . Dividindo ̂ partes são
t". parte é iini têrço da maçã, e se cscie%e3 ' maçã
escrevem f; as três partes suo partos iguais,■ «e escrevem ^ . Enfim, dividindo a maça em ' partes
c a a ' ' ^ e s c r e v e ^ : s ã o t r ê s^ í i r t A ^ p a r t e - , ^ e , n s - e ^ v e - r, u u a^ » - S O Í 5 - « j
q u a r t o q u e s e e s c r e v e d i v 8 . t r ê s
«■ parte é um quinto que se escreve -yr
íl quatro uartes são y, e assim poi dlan
— r ) 0 —
ções opdiná^fs <lcnoinin;iin fpa-
í l a s f r a ç õ e s o r d i n á r i a s - n n s ò i n e n t e
decimais. ' ' capi luio kl \ i . { i i í íUc exporemos aS
N i i i i i « T { u l o r
J ) ( . ' t i < ) n ) i i i n < I u r
n u m e
(iois números separm/òrnor ''o
>̂ »ntaI,como ̂ ̂ TsleV Z ""'nm-se lèr.nol da fracãò o"r
r a d o r , e o d e b a i x o d e e i n i a c h a i n a - s n n u mquantas partes será dividirli'"^ ̂ '̂ denominador jnosli-ac"
numero de partes mie tem n 'r ^ o Juimerador mostra o
nnidade foi dividid-i em "í ' ""'H'''"- Assim, quer dizer que ^
partes. 3 P:"dcs iguais, e se l«l„aram 2 dessas
Ti I *líimos de u„,a° fra'çqô '''"ass/"-°,̂ I'lira separar os doisV . assim. 3/fi, 2/7 etc.
exemplos: avos, como se vê nos segninf:®
'"n meio
uni lêrço
j
-4- "fn quarto
1
-j- uni quinto
«ÍO's sextos
'"■*•■5 Sétimos
• cinco oitavos
seis nonos
4
10
8_
n
q u a t r o d é c i m o s
oito onze avos
9
n o v e ( r i n t í a v o s
40
q u a r e n t a n o v e n t a a v o s
ações: ' Peõerão asara ler som clltieul-
_9_
15,
1 6
28.
_5_
:ío.
4 0
9 0 .
3 / 3 / 1 / 2 / 7 / i wh> /a A. A. Ao. "Aõ. y,o. '/ s/ ,, .0/
/25» /50, /eo, / loo-
5 1 -
69. A medida exata de uma
quantidade cxjirime-se por meio
de números inlciro.s c mistos, e a
quantidade menor do que a unidade exprime-se por meio de unia
fração.
IMiímepo inteiro c o que cx-
c^iu-imc uma ou mais unidades
completas, como 3 maçãs.
Número misto c o que cons-íu de inteiros e <Ie uma fração:
assuu, 2 mncãs e dois (luarlos cs-
creveiu-sc 2 j'.
Frações próprias e impróprias
6̂' Se compararmos uma fraçuo com a unidade,
uienios as seguintes relações:
1-» Quando c muuerador é igml ao denominador, o valor
/ raç r to e i gna l n um in te i ro ou 1 - ,
p" Quando o niiinerador c menor do ° fração se diz
P r ó p r " ; ^ ^
o vaV iiumcrndor é ^nesfe caso. seo o«/or (Ia fração é maior do que 1. A fraçao, ne
imprópria.
lories Dividiodo uiri^i
^ i i s u r u a o l a d o t o m a r m o s a s
^ "*■ 4 partes lijuais, cada parto será ^ ' inteira: loso .J são
j que são :i, é evidente que tomamos a iguais a !•a uin Inteiro e, do mesmo modo. "jT? ?
. n n o n a s
1, 2
í naçã
t á n t
q u e
u i n I n t e i r o e , d o m e s m o m o u o , v . j i
em vez das 4 partes, tomarmos apenas
a parte.s, não chegaremos a tomar a
- inteira; as fraçflea J, "il".
^0' nienores do que 1. São frações próprias,
modo que i, -5-. \h
P i n a ] ^
o m o d o q u e i , - 5 - . I r .
m e n t e , s c q u i s é s s e m o s t o m a r ^4 das referidíus partes para obter -ff} qp T'
precisíiríamos partir outras maças, o
•'^'Snifica que essas frações süo maíoios
j;*; frações {, J, í. h "e. /"A. V"• Impróprias, do mesmo modo que^i
— 5 2 —
4 1 o
5 . õ " , T ,
2 ^ 7 3
" > . w , T ã * ;
c a d a
1 .
2 .
2 5 4 7 3 1 0 7 8
~4~, "7^ y l J , l u , 12 , l i . M . 15.
n 1 0 2< ) 2 0 I S 1 5 3 « l 2 5 00
, 4" , 21 . M , - J . HO , 44 . 50 ,
TÕo.
í r a ç õ e s :
3 .
4 .
juintes
_5_
3, '
2 0
18 .
6
5
8
6.'
8
7 ,
10
8 ,
21 2 5 21 ?R
19 . 2 0 . 21 , 45 ,
I t
s . '
3 0
3 0 .
l i
10 .
3 5
3 U .
1 2
12 .
3 0
13 ,
4 2
l i»
'5 .
5 0
j a , 4 u ,
17
17 ,
fi fl
5 0 .
19
1 3 .
lOO
■99".
Dividendo menop que o divisor
.,—da I'ode laniljcm ser considerada coino
denominador á n riu^' ^ numcrador é o dividendo4 é o div/ or Vn r ̂ exemplo. 3 é o divide»^e í e o quocienle; de sorte que 3 - 4= ̂
P r n k l . ^ ^ -
7 1 .
q u o c i e n l e
o
o
idoi
mente Tnmcã por' ̂G
C o divlso'^'e *G ^ ^ 16 partes iffuaí 5
cada um. Portanto ^ ^
m o d o , 2 T - 3 ~ 2 „ " " T - m e s m o
ctV.
nienor por oulrominador; a fração « o divisor conio dc
®or« o qnociente.
Exercido ae apllca,.a„. Efetuar ,
d s s e g u i n t e s d i v i s õ e s :
1 .
2 .
3 .
4 .
1 -1- 5
1 -í- 9
1 1 0
1 - 1 2 :
5 . 2
6 . 2
7 . 3
8 . 4
Resp.
5 = 9
7= ?
8 = 7
5 = 9
pesP
17. 7 que fração é de 99 718. 5 que fração é de 12? ?
9 . 6
10. 7
11. 8
12. 9
7 =
1 0 =
1 3 =
1 0 = ?
1 3 .
1 4 .
1 5 .
1 6 .
1 0
1 5
18
9 9
13
19
23
lOO
90?1?" 9^1® fração é de 90?20" 50 que fração é de lOO
— 5 3 —
Complemento do quocienle
72. Quando uma divisão deixa resto, pode-se concluir a
operação juntando-se ao número inteiro do quociente uma tra-
Çüo qi,e lenha o resto como numcrador, e o divisor como deno
minador. Se o resto ior 2, por exemplo, e o divisor d, juníain-se
I ao quocienle.
_ Problema. Dividindo-se 5 maçãs por 2 meninos, que por
ção receberá cada um ?
Soliicjiio. Dlvidiiulo-se S por• o quocionte C 2. o fica 1 do
c n n ° 1
a e n d i v i d i r . D i v i d i n d c t - s e
te ^ maçã por 2, o quoclon-
c i f i ' m o h j . d t í s o r t e i | u ea niej i i iKj rcceljcrã 2 maças
11 meifj de uma maçã.
Regra, Para sc completar o qnociente de
4 Jjf'nta-se ao número inteiro do qnocienteo resto C07I70 niiincrador, e o divisor com
l̂ -̂vcrcíclo dc aplicação. Completar o quociente nas seguintes dlMSo
r > « o « 9
35 -i- (i = I^esp. 5^ 5.
1 4 4 - i - 7 = z " 2 0 4
155 -H « == " 19 í 7.
2 0 8 - í - n — " 9 0 1 8 .
5 |_2_
1 2
1 .
2 .
3 .
4 .
37 ^ 15 = Resp. ?■ J I - " ?
1 2 o - I S - „
213 - 19 =
Simplificação das frações
fill 7^' de entrarmos no ensino com perfei-i"ndament;iis sobre frações, precisamos apV u OS quatro processos seguintes:
1-® Simplificar frações. . ^ números inteiros
Transformar inições impropims cm' ' " ' s i o s . , . „ i i s i o s e m f r a ç õ e s
. 3.0 Transformar números inlcuos
"Ti-oprias. . . ^ denominador comum.4- Heduzii- frações «9 frações.
Conieceinos pela simplificação d . • 1,^ cm termos nie-
Simplificar uma fração é fraçãonias com o mesmo valor. Assi ' ' i ,
^Plificada ou reduzida a j^ «r '
nos menoi-'es n'SmCTw^^'enf cxpriini-In
expressão mais simples de\ 6 ser expressa. Assim, a
' : : t : s z r ^ z z ^ ? - : - r r »
p r e s ^ m o s ^ s í C e n t ^ ^ ® ' " --ta a pa.tc do n̂ n̂cí̂ ír̂ - í - 4
1 2 1 2 - r - 4Dividindo ambos os têimos do «
tenham uma forma diferente de-/" I""*.''' 5 • C>ra § embora
v a m o s d e m o n s t r a r D l v i fi i n , ^ * ' " ' o r . To s m o v a l o r , c o m odivisão. reduzido" 1 ° Por 4. tomos ; nestaum uuarto de 8 dozeavos. Bividindo" i
uesia divi.,ão. /, «eam 4 vcJ^ . cle-̂ -Wpor 4. temos 2;
- -
r̂açâôeS:,menores, mus com o mesmo expressa em lênnosduzidn a f ou ^ como ^ , )ode ser re-
Fração irredutível é a oup nns o d á s e i n i > r c q u e o s t è r m o - « i i u p l i l i c a d a . I s t o
cnlre si, como a, 7 ^ iraçao sao números primos
. 76. Há dois modos de reduzir um. r -ü ia is s imp les : f raça» à sua expressão
.en. '4SVoZnf f ração pCos
P ' " > " « C O -
P r o b l e m a . R e d u z i r s u - i p v i u - p c c t .1XD 'i sua expiessao mais simples.
SoIiH-ão. Sendo ambos os termos ãa franãn
div-isivejs por 5. divide,n-se por êste número e divisão snccsMva
a f r a ç ã o r e s u l t a n t e s e r á - s - i < ? n r . ^ . . . , '
termos desta fração d,Visíveis por 7. divMem-se ~~ ^ -
por êste número, e a nova fração será f . como 140 uo -^ 5 28
os termos de -|- são primos entre si, esta fraen»
é irredutível. Portanto a expressão mais simples 21~7_J_
* ? a X O 3 « 3 ^f - T A - C r » 2 8 2 8 - r 7 4í V o à « >r ro" ® £
á u
M á x i m o t l i r i s o r
105 105 4- 35 ̂ 3
140 140 4-35 4
O seprundo modo de simplifirar O o seguinte;
rocura-so o máximo divism- eomum do luo ©
A'O, ín. 62). ftste divisor v 35; dividem-se. en-
d. anibo.s os lõrmos da fração por 35, e o re
s u l t a d o C ' ^ . ^ . . -
Regra. Para .se rrduzir iium frmfto à sua
'^^pics, (iii'iilcni-se .siicessiiuiiucnlc aiubos os seus '' pnirc
divisores comuns nté one os qnocAcnles sejam prmios enirc
3 1 .
Oioidem-sc ambos os termos pelo seu máximo divisor c
Ueduzir as seguintes frações á e.xpressãoa p l i < - a r r i'"^'s simpu-s:
Ixesp . I t e s j ) .
4 "
5 . .n
/ • ' r *
'4t
t f t 1 HO . j j y - .
1
l í !i. lí.. 1 s1 3
A
í 10. u- S
; t
" f 1 1 «I I . - j g- . .1,
7
t o! - • j y T3
■ V 1 5I O . 1T
# 1 4 - «i - t . •4"
15. :}•^
1 6 . í ^
1 7 . n -
1 8 .
10.
20. iVr-
o 0
Í S
r t e s p .
? 22. /íV
2 2 3 .
? 2 4 ,
? 2 5 .
7 26. TrVtr.
? 27. gYff.
? 2 8 .
H e s p .
?
?
?
?
2
2
'?
Extrair os inteiros de uma fração imp 'P '
= Í2 4- 4 = 3..
= . x i r a i r o s i n t e i r o s a e u m a - « / . h i r
o o s i n , e i . o s d e « n . , ""̂ "ncro inteiro ou inislo que lhe e c(lUÎ alenle
Problema. Extrair os inteiros de -j-
Igü-íil"̂ "̂ "- l̂ t'sde <iuc -4- = 1. scffuo-se que Vi t 1 2 4 - 4 = 3 i n t e i r o s . n e r a s s ã o ?
Ppobiema, Seis meias peras. quan .
^ p i M - a s s ã o - g -. ®
triQ̂ ̂ I'̂ n̂iam 1 pêv.T, inteir.i, f for-
l>êr-, = 3 i>vras. Portanto C n\eias3 i n t e i r a s .
ra«5 *^CDbiema. Sele nicias pe-quantas peras são ?
^ ineiiis i)ínis são ^ ®
íPam 7~ 1 pêra inteira, í for-
Itueir ^ ~ ® V isto 6. 3 pãras
P ê r a . N o 1 . ° p r o b l e m a ,
ínteip louras, que formam um númerotemos 3^ pêras, que^ Um número misto.
d í y / í / ^ - ^ s e ' ' o i m p r ó p r i a ,inteira e o rpç/o a denominador; o qnncicnle é a parlen o n ú L l : f r i a o n é n a , c n / o U c
e m n ú m e r o s s c f r u i n t e s r r a y ü e s I m p r ó p r i a syu mistofa, secundo o caso:
1 Q
2.-í̂ ,
4 . ^ .
Resp ,
2
4
6
5.-V-.
6 . n .
^'fr-8. «4.
R e s p .
?
?
?
9
,í>- n-10.
I I J 2 - 't V Iff"'JO 1 .J o
l í c s p . n c s p -
? I O 2 0 0J • > . . ?
•?? 1 J. .TOO' + • "áo"'
? /
?? 10. m-
^ inieipos ou mistos em frações
f í ' a ç ã o é " " " ^ e r o i i U c i r o o u m i s l o c m i n n a
"iipropria cquivalcnic ao inteiro oii
T.a„sfo..n... 5 inteiros e,n ,..,os.
°= x'fÍ"Í5'̂ tom 3 l£.,„.,, 5
fração'!"'''®'*'̂" 1"'"a"sforniar G -} cm imm
P r o c e s s o
X «
c =
l 5
3
G — =
J^ rocosso
6 X 4 + 3
a ' ' l u m - t o s , " — 4R e g r a , p ^ r a , 4 4
'̂ crTuT-irn'f «"mero inteiro em
inteiro m ^ como „ «"«""m/or í/ofJo como o dennltiplicaiiQ pci^ escreve-se o prodido <Se o numero fô? L^{5^°"^'^<-'dor. '
m e Ta í o r ^ ^ " ' o l e i r o p e l o d c n o ^ ^o fração imprópria ̂ ̂ numcrador será o n
Exercício do nnti,.» -ragões Impróprias: '^^''^"sformar' os seguintes númcr
• 2 ^ . R f > s n r . . .
6-3. 8|.
4. 0|.
Resp.
f o s m i s t o s
r ,
■5
V-
4 2
T
0 3
5 .
e .
7 .
8 . 7 ?.
Resp. 9 3t í T -
4 1
S '
t Í
6 1
8 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
19 y%.
1 8 ^ .
30 tV.
Resp.'
Reduzir frações ao mínimo denominador comum
79» UetUizir diu, 79. Ueduzir duas 011 mais frações ao mesnjo denominador, ó dar a lòdas um denominador igual sem lhes alterar
"̂ ojor. Esta rcducfio é baseada no seguinte principio de Aritmética-" í c u c a :
jl/u//íp//crt/i(/o-sc amhos os termos de uma fração por umn^esmo m'lmero, não se altera o valor da fração.
bustrjujao. Se niultiplicannos ambos os têrmos de j por 3, 'ricar. . ora. co.no o numcrador da nova fração ó a nieUde c o
^̂ "ominador, a fração continua i.nrnl a i e. deste modo. nao hã alte
n o s o u v a l o r .
^-oin. o nidtodo de rediníir fracães a um
Obtr»"'"'';'""'"'' " ''TmpmlcTt., 0P»r:c5c. «O mínimo denominador comum, o Que sln p
ia considorãvelmente os processos do cãlculo.
([ Acharemos primeiro o mínimo múl
19 ^^03 quatro denominadores 3. 6, S e
quatP ® O mínimo múltiplo comum distes
den ° "'jmeros é 24. que serã também o meno
comum destas frações. Escreveremos
Ponfi^ ° ncimero 24 debaixo de cada fraçu^
C i m a e s c r e v e r m o s e m ^ _ _
24 Vt° i^®noctivo numerador, como vemos ' 24 24 24
nelo ; O número 24 será n^ora dividu o
miiiti ,'^"°"^'"^'3or fração, e o Quoc^ içado pelo seu respectivo numerador. denomina
d o r a r e d u ç ã o p e l a f r a ç a o í . ç u e °nl J- ° ó S, isto é. 24 é 8 vc.cs mmor d o2 ficar também 8 vêzes maior, a bm d ^ 3
2 «^csta fração, multiplicaremos o ' 34, e o resultado
escreveremos sôbre o denominador* " S g 4 ^ i s t o 4 , 4
Ví-íej';'""""""" "«ura a | . Dividindo 24 vot
" " " o m i l D O m e s m o m o d o íI ç ^'nador 24. e o resultado será j^^is ao min""®
hadc?̂ ' ® ficarão as quatro frações let^ coniuin.
p r o c e s s o
0 1 3
5
"
3 ' 6 ' S 1 2
l e 4 9
1 0
24* 24* 24* 2 4
— 5 S —
2.® Probiema. Rednzir 5 « «
c o i i . i u i n . r f f C
Solução. As duas prímoíras
t f :deuomlnadüi-es destjus" ft--.dols a dois primos entre sT'''
n̂ominador comum ,x 'x" '-n"Î ossegue-se denoí»
blema precedente."
no min i rno donoi i i inador
r r j j i ' o c ' s
Siinidirii-adas
Coin dcuntni-
"udor conmiu
ã s 2
2 0 1 2
' 5
1 í é
2
4 3
C
i r , • 1 0
24
CO CO
CO
S-tTr;. tZ/!""' "'■ frncõe. „o n,inin;0
f ^ ^ e.vse será o minií ííos dmominailores
'^^de~se este dennm- ^^^^ominador conifim.
P'<̂ duto escreve-sê ^̂ P<'lo nunicrador resfcc
/sen (ic aiíiice - ^ denominador comum.-seu mínimo denos^V.Redn,:.. _.
1 .
2 .
3 .
4.
5 .
Evcrcíoio (ic .,,,11- ^ ^ denominador comum.
- ' " ' m o n , a u ^ , ,
c o m u n i . ^ o U i n t o a t j i u p u s d e C r a « ;
^Gspo.stas.
4 - i 'T í T i
i T I"Si 'ti) s
:a-> h r
h à) tf
1 5 2
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A' .V }
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( !■ 7
8 .
í ) .
10
■f ' s I U .t' t' í-
5 * !f' ^ •
? r » ^ * v
.2 ' 5" j T.-í
* < " * • ^ 1 8 1 2•Ttr» (.0, tf-y-, 2Í;
nosposfíi®*
?
?
?
8 0 HNa adição de frações hã , •
1.» Soma,- ü-ações f. " ' conside.n.-:
2.° Somar fniçQg^ ^ ° "^esmo dciioiniiiador.
3." Somar frações e ■ ''̂ "'̂ "Onadores diferentes.
, g - "úmeros inteiros oti niisíos.1.® Caso. Ppobfema. On.i • \
, ' ® ^ s o m a d e 1 , t e f ?S o l u c i í o . 1 q u a r t o , m a i s 2 ( 1 ^ ^ , - 6
tos são 6 quartos; e 4, e.xtraídoq ^ quar- l 2 ^
inteiros, dão i « — + — + T " ^4 A 4 *
. — 5 9 —
tní Para se somarem frações que iém o mesmo deno-
^'dicionnm-sc os nuineradores, e a soma escreve-seo denominador comum.
2.® CasD, Problema. Qual c a soma de *, f 6
Solução. A.S frações ̂ , ̂ e] reduzidas ao mini- ® . _f.4._Ís —o '^cnojnlnndor comum, íicam -A, f^.t e ^ 12 12 12
d e . s t a . . r r a c õ e s 6 ^ o u I .
'''"■'! -se somarem frações com
deno"'̂ '̂' 'yy''̂ 'iu-se as frações a um denominador c 1's adicioiKiin-.sc o.v numeradores.
Cas:>. Problema. Qual é a soma de S, A, i e 7 . ̂
^ SW".;n„. A .,o,„A do» iotolro» í S + T = I5. I'""'™® ®tI=Ud a s A d l c i o - F r a ç õ e s Ü + * i
" ^ n d o c - ^ . . - r , - T - l f - - 1 6 í -dun.s jmrcc las , lemos IG^ ' Soma
''"Ç'?eTZ "''í""'™' t', "esomaZl
E x
1 .
«>
H.
4 .
5 .
(J,
7
. v « / n d r r / n e s o m a m - s e
os inteiros, depois as frações, e
p a r c e l a s .
•̂ '■í̂ íeio do apHcacrio. Somar as seguintes frações:
1
. + t + í =
I + í- + t =
I + i + 1 =
í + i + -I =
II + "» -
+ DA -
l i e s p o s i a s .
" I S —
á 4- ' —
?>, y JT -
' - - - 1 - 1 =
•if
1 7
3 o
r s
m
1-®-
1.V
9'4
S . 5^
11. 3¥
1 0 . 3'ú"
1 1 . 3■3
1 2 .
1 3 . í
1 1 . 8è
frações
=
í + iV ~
s =
+ # +
+ ^ t
1 _ 3+ s + 3
f«+-^+-íY^r
+7i +í ' i -
l íespostas.
?
?
?
?
?
?
?
Nn sublraçâo de frações há ires cas mesmo
deiio]' unia fração de ouli'O. tendo' , tr-i tendo denominadores
difcrp' . ^nblralr uma fração de outia, ^ ialeiro ou misto..8iiblrair uma fração de uni nuiner j-esta ?'■- Ca.0. ppoblema. De í sablraindo -̂"anto ̂
^ Qu^!?]"í^'1o. De .1 oiinrfAs subtraindo 2 quartos, r -"aí
quaiilü rt-'^
ti-S -3A-?
S;;-;ÍÍ! = -.
Ui?
— 6 0 —
o f ^ d ç ã o d o . o u i r n . q u a n d o t à mres e escreve-se sôbrlVZVr̂ î adĴ l̂ Âi:̂ ^̂ ^̂ """"""""
d o f : ° q ^ u r. - o " r i Tr - ^ i = .
Solução. Reduzindo A e ^tiador comum, temos ^ e\ -L denomi- „ i
^ T " ^ ^ ^
r f e n o m í n a c / o r e s f i a ç ã o d e o u t r a , q u a n d ominador e e ctu£̂ ^ reduzem-sf amha.s' ao nwsnío dcnoleiua-se depo,s a snblrnn,,,.
Solado'® ^ -suldranul.. 3
ííador, temos -1 e ^ r- "lesmo donomi-
f . ti.a.03 r"'""" "■""■"■■TI ' com os § faze^ e , ® ^omo ^ tem
li e de 7 tiramm 3^"'"' -
ê 4 ! í '■ " « i n a o 3 r e . s t n m j *® ^ í r - ' ^ • • > i a m 4 . a i - o s i J o s t a
d e „ „ „ < i f i
í í n / I ' ^ / / " f j r m e s m o d e n o m i n a d a ' ' , ^'^nnjade do inteiro " .v/^^//v,.vr/.v, ///v/-.vd ';^ < - ' o / í i « f n i ç à o d o m i n u e n d o C I
própria, e depois opor"u-'l"' ° '"'iiiero misto a uma fração
p r o c e s s o s ó ó ^ - - - = - -
Eiercício do anil - ' o o numero misto não ó m^i® '̂ P ĉnçuo. Rfetuar
R e a p .
R e s p .1 .
2 .
3 .
4 .
1-1 =
f - i =
7^-1 =
as soííuintos subtrações:
3
o "
6 |
5 .
6.
7.
8 .
H -4A
R "
V —
i - í
ti-
? í ) . 84 — ̂
V 1 0 . í ) -J -6 r
? 1 1 . 5 §- - H
? 1 2 . 104-31
ResP'
„ ?' ?
9
: ?
82 N , """'P"oar fragões82. Na multiplicacân a r
^ e r a r : n e í r a c õ e s h á « i i a l r o c a s o s a '
I.° Multiplicar unia fim.r
2 - ° M u l t i p l i c a r u m n ú m e r o i n t e i r o -
3." Multiplicar uma f . - P''"
4.® Multiplicar unia fri^r° P*^^' fração.
p or u m n ú m e r o m i s t o .
3onŝ '
Operação
A = 3 ; pois
t t t 4 ' - 4 - 1
são 12 auartos, que são 3
3X4 12_
X4=-̂ = 7-̂
— 0 1 —
1.® Caso. i>sle caso pode ser resolvido de 7dor
"luPipücando o mimeradtSr, ou dividindo o denominadoi.
Problema. Multiplicar •2- por 4.
Solução. 1.0 Modo. Multiplicar uma fração
Um número inteiro ó tomar a fração tan-
^ vêzes,
f iuunlns « ' r * .^ %*%'» iAr%Aí ic r in in te i ro*^®lm, JX4='j
'-«ws 3 qu,.,.i,„
Inteiros.
s "'** ^íodo. Se dividirmos o denominador cie
pj. terem.>H 4 -;- 4 = 1. e o resultado do
54^7 °̂ « =3. Esta solução só 0 Ptati-
fUent" " denominador se divide csala-® p t i o i í u o i f u . . n i a n i n ' O
iateir,?^^^' ^^ara se multiplicar nr/o inteiro, e cs-
eren» ' "'"'''7''̂ eu-,sx* o tiumerador da fraç P"•''■e o pvoduto sòl)re o denominador.
'-veroício do aiilicacru). Efetuar as seguintes multlp ̂
í X 3 - M X l o -
X 4 =
4 - H 4 1
? X y
1 X 7
1-6 X 8
2 . 0
Hesp. 24" 3 2
" 5 » y . | 4 x i 4 = "
2-° Caso. Problema. MiiltipHcnr 6 poi' j •
da ^^ "R ip l i c iuu lü o in te i ro pe lo 2 6X1=1^"
-n.... 0X1 = », qu. »ao . terço.
•iMlf?"""'--"*- -MuUipUounao o por 1. te.nos « eer t'-'nj'"iCr""" « í . i»lo 6, a têrou pur.e de 1. oBor 'Io li. que é 5=2. Aiml" n"" ^ que n. o"*''^ grande
"m In, .""moro Intcii-o se opere ilo meem ,,q,,o, lid. o""
dife,. 7"'*' IXT uma fração, e de o mesmo ^n a a n á l i s e d a s d u a s o p e r a ç õ e s . , q j . , M a s
2 -i por O C. repetir u,u t«r=o « „ mu.UoBcad '̂.
c.n.,o, o produto d "d -que d
O X T )
(). }-.'. X d =
7. -1^ X 12 =
y. i { ^ x i 4 =
s s e g u i m . c = ,
OI <í X lí> ^ Uesp. .
li!:;»;: : ;1 1 . "
le . fsx30-
^eiroa
^ U l u^ ̂ ^est
de,.
P ü b i e r
M
q u e o ^" - t t - o t c c í L í i o , u j j i v t - v t v - - n a r t e » ç u o
oa | . G I reduz i r U ã sua . * o"u tomar um
caso, o produto é menor do n"® " ,H.,iicar O repeUj Asslm-
;« -«te resultado, notaremos quo multipl'->
tantas vêzes qu.antas suo as
u p r o a u t o e m c n t " • ' , n n i t c a r « - . . . . n - m r'« este resultado, notaremos que aes do muUiP >
d tantas vêzes qu.antas são as uni ^ j2.
c por 2 é tomar 6 ̂ £7*̂ 170 d
Ripiica.!- c por 1 é tomar B uma - é •
77>tip„ea, 6 por ̂ ó tomar a metade d d^̂ Ĥipucar c por \ é tomar a têrça P-ute
a unidade,
OpcraÇ"®
-1
— r > 2 —
p r o d u t o s c r a ' s e m w e " " " o 1 " °" sempre interior ao multiplica,ulo.
3.» OasD. Problema. MuUipMcar = por í
=><-rmu.t;r'T"^imioa 3X5 = 15. o™.." 301̂ -'' s"''
p o r n u „ . e r : „ 1 o . . J T
s-io 8 Utços Xia. *" 2 têrt^os «me0= 4 uue eão T: "-""■■-••'«or d a puin.,, „:.,-te
q u i n t a p a r t e d o « a
nador de ?, por 5',:,, o cH-nunn-
J'-ii-te. o então temos If'fra.;ão à .-ua quinta
"^gra. p ^''' ^ ° produto procuradti.^ de duas ou nuds fraçõc^
L T''""""''"-"- e Ot , '?"'"""'í"ro.v, e o men,o sf /«-- <■""'*"« da fração re,,uerUlt" ""
'j'fss i;:::;íÇ
2 X 4
l i
8
liberei,,i„ ao aplica,..,o
-loluur aa seguimos nnil t lpUcaqOca:
l i e . s p o s l n s . R o s p i ^ ^- I X i
I X - ^
^ X |
-t V «B A -f
liospostas.
a
V o
1 r,
a »
1
o .
« .
7 .
8 .
2.5fX3i-
S X 7 J . =
HX 4 =
' - V « ^s A =
y
y
?
y .
10.
1 1 .
13.
0
1 .í
•'5i-
X j'o
X2 | -
2 5 X ^ s
m x^ 3 . U m m o • " ? 1 3 . l O ^ X =
J-oiaŝestudará om
'̂hcs1̂"(Í
( j e
ittlS.
?
?
?
- - r > e i 9 1 i ?
•^^asKçs íj„;,nta; ínS"*!- ^as G
Quanto é Itoje- Quanto ao iodo1 7 - Q u a n i o é G ^ yucz Yczcs 5 2 y
n i c n i i i a s
R c s p .
Resp .
r o '
4^'
S 3 A ■ c a n c e l a d a
canceImido-sros'i;l;̂ ,̂ ĝ ^ pode ser muitoíiiiido-se os nuineradores p ^ 'Jcnominadores igunis, o
-visor comum. (Vt̂ Jn u.'ss) "°"̂ '̂ odores true tiverem
luiiioi-ndor 'J e o tUnominndur
fUKein dois qiiiiu.i.'^j, protUu»» tl;i miilti-
íraçã
Isento
V ■ V = desprcz.iiKlo o cance-tranàd. Se inuUij.üiarnms ^ X A rj u\mhC-m Í-
^ t « í . - . f i l l
.Uij.ücarnms 7 X ̂ Ijcara tanibC-m ̂ ̂
O priHlui.» qu-- .-inil>ufica ^ ^ ^ denominador
'^°lij'r. ^*^'rn o niinniadoi- coiul-oslo do 2X3 j ..j, ambns
miJosto de 3X S X 7. Orn, ooino os fatores 3 e 7 siio ^
^ «■ • ' • m o s , p o d ^ - ' •■ ' •■
o
IPos
1 f t 7 a r o c u i u " ' —: 5 X 7. Ora, ooioo os fatores J e . fração, porque 6
i.o(ir>i,„,s vanoclá-l« s sem altoriir o \n o * demonstrã-"^«""1 „ue .Uvhlir ,,, ,|..1.S t.-.,n,ü„ pur ^ ■-■ l""'
"^0 n.o - ,
Pi'obiema. Multiplicar ̂ Xti Xff
^oiuono.
d n m - i „dor r>mu-nu.s d iv id i r por 7 o numeru-sejiund., ̂ '̂ ■V.̂ Kdra fiiuiâo c o denominador da1*} ■ ^^Pvrando, ti'tti(<.s 7 --* " *7 '. ^
® oscrtv-r ~ ■ ^-'ni ieelaremos os dois '
•^íraros "s quo«:lenles 1 o. 2 ''.^."r▶ « « o.spcciivos. Rodemos também
da scKunda fração e o dc
1
7 ^ ^- i - X - - r X 3 0
l i l i • >
G = 3 -f í " n 1 ' o d e m o s t a m b é m d i ^ » C a n f C -bomi " "bmerador da secunda fração e q Tncientes 1 e 3.
A ^ ' ' ® n i o H d y x p r i m o i r a ; o p e i a m l o , 2 X 5 = 3 0 • •■^{.'or^ ■ I't, o poremos nos scais ^.uinaclor 6 3-'̂'•̂ Post-? """̂ r̂ador é 1 X i X 1. e o donoinin' O Uni trinta avo.s. ,„,es muUiplicaÇÕ^® PO*"
cancfT'*" ' " n i iUencão. Kfcduar as seg" ' Resp»' ^ ^ l a r n e n t o : * . * ?
<le
1.
3.
3.
i .
5
B
è y  ^ S- X A X lP ^ í XiiX A.
a r, l e n t o :
X
K e s p .
X
U X
U X
M y í . -V ^ t i -
X n" X 11 X H-
TS
4
■O á
A
l i -
A
}
7 .
8 .
9 .
1 0 .
1 1 .
1 3 .
X i
U Xs-ô"
1 5 .
■4 l)
8.1
X '«!' ̂ i°i y ua
A y l| X í
><^Íx¥xa« 1 S / - S - . ^ 3 , I Q5 -í ^ 5 V -1 Xh
i' ̂ -/ X T^- X is
Fração de uma quan ̂ ĵdiide mu'tip'̂ '
O b t ó i u - s e u m a f r a ç ã o d c ' c a ü a
C ü t a p e l a f r a ç ã o . ; d eC j i t a p e l a f r a ç ã o . ^
Calcular quantas
p e r a s .
— 6 4 -
Solntão. ̂ de GO se obtém dividindo 60 poi
se ̂ corresponde a 12 pèras. ̂ serão três vGl
S f e í S ' ; ° r e s u l t a d o s e o b t e r i a — - r
:' 5. OU. seja, 60 -r 5
. « vy o s 3Í
6 0 X
60 X 3
v G z o s m a i s o u 1 - •
Jltiplicando 60 por ^ •
= 13.
X 3
3 6
E t ã " ^ 5tipHcar "ísta 'quantid̂ 'dêpLK̂ f,.'̂ '̂ ^̂ ^ quitUiuer quantidade, basta W
l'-xertíelo de aplicação:
1. Calcule 2 ^
T <le 332- Achar os de 56
3- Obter f de 360
4. Calculo V- de 24j metros
U e s p
1 0
2 1
2 0 0
3 3 0 m
S 5 .
1.®
2.»
3.0
4 . »
Dividir frações
'são de frações há quatro casos a consi
ĵvidir uin'\úm?° P^̂ '.niiniero iiiLeiro.Dividir uina fr.» inteiro por uma fração.
I ^ i v i d i r n a o u t r a f r a ç ã o .
- a s o . P r o b l e m a . „
deraf'
Caso. Problema. Dividh-. por 3
Soluçíio_ Estaollavos ..ariTíg'®" «"vlUI,- 6
3 o cuoclent, , /„„ '?■ «v'='lna„ . oitavo»Md p exatarnento „ numerado i"" P°dendo dl-
djvlsor, multlplica-»o „ denom^ PM»cbtdm-se o moemo reeuUado, Zl°l T'" "
Regra. Para se rf.„, .. '21=1.
6 -r 3
l»roccsât>
2
1
i
1
i
ir^i, p « r « s x 3rva-se o scffuin/e- se n por um número
i n t e i r o , o p e r a - s e n d a f r a ç ã o f ó r od e n o m i n a d o r p e l o í n l f i r o ' ^ d »uiimerador. e escreve-se o produto dcboixO
Exercício de aplicarão
Hespo-stas
1.
2 .
H .
i .
5.
4
r - í - 4 = S G.
t - r 3 = i >'5 7.
7
S 5 ^ 7■ n r 8 .
0
l í T ~ 3 = V 9.
8
T T - r - 4 = ? 10.
.^0
Í T
fl
"ü"
I a
T c
1 4
T í
4 r>
c r
R e s p o s t a s
3 = = ?
6 = ?
8 = ?
7 = = ?
1 5 = y
11.
1 2 .
i ; i .
u .
15.
R e
9
5
.spos
i
A -
n - ^ f "
i f -
— ( ) . l —
p o r
Caso, Problema. Qual li o quocienle de 6 dhidido
í ?
6 por f; é dividir C pela
« "■ o b t é m i n u l t i p H c a n d o
ludü 9 •^i\'ltlindu o produto por 2; o rcsul-® o quucientc du divisãu.
I > r o c c s s o
6 X 3
= 9
ilivklii riio.s um níinioro inteiro por ° Î Aĵ rmoŝ o""
^".a f"lonor do que o dividendo: mus. se «
^■'^«nna n " M"ocionle «orá sempre maior do que o resultado,cnso. Para cuinpreendern oŝ cst̂ ^ ,
•^'visfji- " quocleiue mostra quunlus vezes o contém 3 vGzea
Be di'ü por 2, o quocieiiic serã 3. po q 6 vôzes 1:80 dividi ^ R o quociente serã 6. porque 6 12 mclos,'
et, 6 por I o quociente será 12. porque G con
■̂ 0 quo"""'° ° divisor ÜOr menor do que a unidade, o quocien^ dividendo.
7^arí( se dividir um número o proáiit<J
Mü o inteiro pelo denominador, t
" '1 'neradür3 . 0 Caso, Problema. Dividir 2 poi" §
■'erlcndo os têrmos do dlvl.sor,^ " ^ ' ^ V L c n d o o s t õ L
tieh-i, ^' '""'tlpiicando depois as duas fraçd®^" l o s 1 1
j , V > q u e é o q u o c i e n t e .
Vidip Eividir por | quer dizer di-
'luluta parte de 2. o que se obtém
tudo f 2. e multipllcando-se o resul■ I»or 'o '"ulUpllcando-ae o denominador de
-ihdo. a fração por 2; e mulHP»-vuo j ̂ ° dumerador por O, inultipllcu-se a fî -
r, ® o resultado 6 ■§ X f ~
''k-eriijĵ ^R'Plicador | é Justamente o divisor s
1 5
X
= l i
ira invCTiem-sê
'tVuP""®- dividir lima /'"jua"/'•«f® " ""
3"ií t(r f divisor, e mii l t ipl 'aam-s""" ol'tido será o ,,iiociekie da divsao.
P' in ie;° Quando um ou f^
RRíilos, reduzem-se a tiaço ,, _ as.Xx^-'
I''"̂ cedente: assim S-Í-h5^ = -V--̂ '
Elcmenitu-
t
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2 3 .
2 4 .
2 5 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
Qual é
— 6 8 —
Achar a di ferença entre ® rr» •
Quanto somam § de 18, i dc 32 c ^ de 40?
Qual a diferença entre ̂ dc 80, e de ̂ de GO?
Vinte e seis oitavos quantos (fuartos são?
Dezoito terços quantos sextos são?
D i v i d i r p o r
Se a Y fôr adicionada certa fração a soma
essa fração?
29, Reduzir a inteiros as frações W'» ■'I's' ®
Resp. ?
Resp- í
Resp. 1
Resp. ■
Resp .
Resp. ̂
será tV-
Resp.
Resp-
FRAÇÕES DECIMAIS
87. Fração decimal é uma ou mais partes daPor oumj , . — T — ^ w i i i i w , W I I I i l U l l » - •dividida cm 10, loo, lOOO, IGOOQ etc. partes iî uais.
palavras: fração decimal é aquela que tem para dcno"
10. 100, 1000, 10000 etc., isto ó, tem para dcnonúiv̂ àor
üs unidades do sistema dc numeração decimal.
fc'Xemplos dc frações decimais:
8 6
1 0 1 0 0
2 3 4 7
1 0 0 0
4 3 2
lOÜUO
•SC88. Quando o numerador da fração decimal é ?'
ionâria decimal. Essas unidades
/ I i } Á r % i - É • • * í 1 1 1 1 r \ ^ • ^ 1 « I 1 É
/"^Cionarm decimal. Essas unidades
décimos, centésimos, milésimos,s, centésimos milésimos, rnííio/icsímo^, etc.
1
1 0
1 0 0 0 0 0
i O O 1 0 0 0 1 0 0 0 0
são as sucessivas ordens decimais
nnirl-Kk.'.: bft essas unrwaes .Iccinwis '̂ 5 f
r.uh e en í"-" denominadores,bCíjUmte correspondência
niGl1 0 ( d e z e n a )
1
— ( d é c i m o )
1 0
1 0 0
1
1 0 0
( cen tena )
(centésimo)
1 0 0 0
1
1 0 0 0 0 0
1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0
(cem mil)
(centésimo milésimo)
( m i l )
(milésimo)
1 0 0 0 0
1
d c K
(décinio
n i i làsilJfl
1 0 0 0 0 0 0
1
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
(inilionéyiai io )
— 6 9 —
u w
Por outro lado, é fácil ver que cada unidade vale 10 vezes^ urdem decimal sequinte. Com efeito se dividirmos certo
«omprimcnlo
l
c m 1 0
t o
parte iguais, cada parte será um décimo, isto e, a unidade
mpnT" ̂ Oual a 10 décimos. Sc dividirmos o mesmo ccnipn-
c a d c a d a p a r l e s e r á u m
que 7 t-onícrá lò centésimos. Do mesmo modo seé ú//ifí/ a 10 milésimos, e assim por
Un ia u n i d a d e i n t e i r a = 1 0 d é c i m o s
Cm déc imo = 10 centés imos
Um centésimo = 10 iiiilésimus
T T • t ♦ • H j * \ , . 1 n
U m c e n t é s i m o = 1 0 i i i i l e s i m u s
U m m i l é s i m o = 1 0 d é c i m o sUin décimo milésimo = 10 centésimos nui^Mm -
centésimo milésimo = 10 milionésimos
8 0 « T i n „ , - , i ndecomposição da
como decompor
^yual a 9 center
ícinos decompor
efeito, podemos escrever
. . . i i i v , i i i i i e M i i i i ; = - .
^<^s.^^' ^^"ymsição da fração or-^c t i s rq r l , decompomos g 7 un idades )taink.?. ' íJíual a 9 centenas, cinco dczen. ordens deci-
Podeinos decompor a fração decimal e^ui efeito, podemos escr"^'^'*
_ 3000 + 500 + 20 + 7 3000
5 0 0
1 0 0 0 0
2 0
10000
7
10000
Ou,
— +
súnpnneanclo prlmdras p«-e.as:
3 5 2 7 3 5 J ^ _ _
+
.Mostr;
10000 10 100 1000 l""""
números decimaisJ UJÜOXX."-- ..,de decimal
d a ç ã o e n t r e e n t r e d u Mr I ' - i i « " " " " r 'ue e" is te*« i ' ' / 1
^■'Idades ? seguinte é a ' tôda fraça" j„os^^0 Sen sucess ivas ; e , a inda , ? j p j . às
os ^^^o^iposta em unidades deci * t
u^Ções ? í̂̂ cros inteiros. Dai resulta P jjúmc»'®® \i«aris-^ princípio da ^scn • ^ direita. "g de-
® ' ̂ ®orevemos, da esquerdo p' ̂ -dens suce
«̂ opresentain as unidades das oi
— 7 0 —
crescentes e iisnmos um sinal — a uirqula — para separar a
parle inteira da parte decimal. A fraçíío decimal assim representada chama-se número decimal. Tsd qual como no número
inteiro, o zero servirá para ocupar os lugares das unidades QOO
o número decimal não possuir.
Damos abaixo um numero decimal com as denominações
de suas ordens inteiras e decimais
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L o f d o A Í í t '
7 8a rrasão escrevo-se 0.78; a fraçãô !!I_ eocove-se 2,537.
C 3 U
escrevem sê ^ zeros no denominador do que alprarismos no
Exemplo; d«ste os zeros necessórios para aquela separaCf
2 7a fração escreve-se 0,0027.
10000
92. De três modos podemos ler um número decii"«í =
1.0 modo. Lê-se como um número inteiro, acrescentando
o nome da ull.ma ordem decimal; assim- 40 705 lê-se: 42725
m l̂esunos; 0,0329, lê-se: 329 dêc/mos
2. modo. Le-se separadamente a parle inteira c, a
1 ^ 5 8 3 ^ p r i m e i r o m o d o ; p o r e x c m p í ^13,583, le-se. (reze inteiros, quinhentos e oitenta e três /ni'̂
s i m o s . .
3.0 modo. O mais freqüente é ler-se a parte inteira
palavra vírgula e depois a parte decimal. Exempl*''
5,837, ie-se; 5j mrgula, 8372»
— 7 1 —
Exercício de aplicação. Os discípulos devem ler os sesulntea nôroeros,® depois o professor diiarfi êstes ou outros que êles escreverão.
1 . 0 , 2 7 . 1 0 , 9 9 . 1 3 . 2 , 0 5 1 .
2 . 0 , 8 3 8 . 7 . ( ) 5 0 . 1 4 . 8 , 7 5 0 .
3 . 0 ,157 9 . 0 , ; ( ) . 5 ! í 8 . 1 5 . 2 1 4 . 0 0 . 5 5 .
4 . 2 . 0 2 5 1 0 . 0 , 0 8 0 ( 1 1 5 1 6 . 7 3 , 1 2 . 5 0 .
5 . 3,508 1 1 . 0 . 0 0 0 5 . 1 7 . 0 , 0 1 8 5 .
e . O.ÕO 1 2 . 2 , 3 0 0 0 7 . 1 8 . 2 , 0 5 .
O s
2 .
3 .
4 .
5 .
discípulos escrcxcnio com algaii.snío." o.s seguintes números:
35
9
43.ã
5
8 0
c t n t f - . s i n i o s . 6 . 1 5 8
d r - c - m o á . 7 . 1 0 8
c e n i ó s i m o s 8 . 8 5 0
inteiros e 48 mil'rsimo.s 9. 1500
m i l f ' s i t n o s 1 0 . 5 U 0
décimos rnf iési inos.
déc imos mi lés imos
centésimos milésimos.
cenlisl'Ufs md^sln^us.
t n i l i o M é a i m i w .
Reduzir números decimais ã mesma denominação
Quando dois ou mais números decimais tem igual
. . . . - i _ í i í > n n i n m a c a o ,
u o f j c d i f c r c n i e s d o n o
Inerentes denominações.
algarismo a um numero 6 ̂escrever̂ o algar̂ ô̂
0 4 „ ' t o
q y g
f ixar um algarismo a um número ô à direita;
núnic-ro. e acrescentar-lhe um algarismo acrescen-
rtnoa - prefixarmos 5 ao número 9, teremos 5 .
teremos 95.
ção ̂ fúdiição dc números decimais à mesma denom'®®hi-se lia propriedade seguinte:
^J^^^<^catarnjos <am ou mais zeros ̂® aecimo/, "não lhe alteraremos o valor. Com
0,20j' ® ^crestentarmos um zero a 0,2,
rnios dois zeros, teremos 0,20U.
vinte centésimos e duzentos mi-
2 0 2 0 0
On,K " sinipUficarmos — e —
. os termos da l.' por 10 e da 2." Dor 100, obteremos 03
^SlUos .3^
o 5»
sS-§io Z W 9 . s
i: £ •«.«
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c — " c. s - o u c
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— 7 2 —
f c j s s j r
" "■» « " " i t "
l a d o . p r o c e s s o q u e e s t ú a o 0 . 1 5 = O . l o O
0,04 = 0.040
n o m i n a ç â o , d e c i m a i s à m e s m a d emais, acrescèníando-se zeros ̂ '''""ero de algarismos dcci-
95. p!rs??
m u d a - s e a " " m e r o d e c i m a l 1 0 v ê z e s m a i o r ,
reita; para se tornar lon ^ imediata à dl-
seguinte, e assim jmr dianlê ^̂ maior, muda-se para a orden'
D c n i o i i s t r a ç u o S e '
inteira, que era 4^ isto é, 10 vêzes niaio''milésimos, tornou-se 5 centésim, 4.̂ ,0. e a fração, que era »*nero ficará sendo 4500 5 ist̂ iî nft Pai-a a sosunda ordeP̂ '
96. Para se red,..-
parte, bastará mudar n vir,?? à sua dócin;^a esquerda: para a red??/? a ordem inicdi;»
para a segunda ordem à es? parte, bastará niuda-Ia
Demonstração. Se em 200=54 ® assim por diante.
m o r s u a f i c " á ? T ^ P - -
r 20 Perque a n ' ^ ^0.0.54, isto ê. ficnr^ redua 20. e a fiação, que era 54 centê̂ i '"teira. que era 200 ficou reduzî »
o náinero Irá diminuindo o seu para 54 milê.sfmos: e
paia a esquerda. cada vez que a vírgula fOr mudad»
mí7 vezes maior, desloiZŝa ?? "j'mero decimal dez, cem,
ordens para a direita; e mra l t ■ mua, duas ou
ou milésima parle, remoue-se " •'̂ "rr décima, ccnlésim'
três ordens para a esquerda. uma, duas o
E.vercícIo de aplicação. Operar os seguin,
setuintcs exercícios:
1 . To r n a r o l u i m e r o . ' í 4 á 7 . % . l í e s p o f ^
2. Reduzir o luunero 54,375í. Reduzir o nrunero sl.a; àtVĉt-Reduzir o nú„,ero 8540,5 à "1.'̂ """ ""y"- 834
Tornur o nú.nero 0,55 eeu, vSz'es máiòí ""o. Reduz,r o nu,„e,o 0,55 à ccntésin,a párte 0.0035-
6. Reduzir o numero 7.5 à milésima p .rtc ' O 0075 •
2 .
3
4
— 7 3 —
Transformar números decimais em frações ordinárias
97. Os números decimais podem ser fàcilmcnle transfor
mndos em frações ordinárias.
98. O número decimal tem na escrita nm clcnominadoi
oculto, que pode ser expresso por 1 c tantos zeros, quantos fo-
os algarismos decimais. As.sini, 0,5 c igual a t1=- Ksta
dçao simplificada dá a fração ordinária procurada, isto é
Ppoblema. Transformar 0,25 cm uma fração ordinária.
Solnçâo, Como êslc número decimal tem dois alga- 25
i s n í o " -
• v ^ t i i i i u c s i c n u m e r o c i e c m i a i l e i n u o i s a i s c i -
docim.ai.s; o .«seu denominador será 100; e a fra- 0,25' < o c i m a l C c t u i v a l o n t P o r . f n n t í - . s í n i n s . n u e s i m i ) l i f i -
, « e q u i v a l e n t e ê 2 5 c e n t é s i m o s , q u e s i m p U f i - ^e^da t];-i 1/4.
> Para se transformar um número decimal em uma
^ açuo ordinária, cscrcve-sc como numerador o número decimal
ott^^ ? e como denominador 1 seguido de tanios zeros
/̂̂ ântos forem os algarismos decimais. Em seguida siinpUfi-a fração decimal oblida.
phamam-so algarismos decimais sômento aqueles que ficam á dl-
0 0->4 assim, no número 18.15 os algarismos decimais .sâo 1 e 5;os algarismos decimais são 0. 2 e 4.
e m f r a ç õ e s o r d i n ú r i v a s o s s e g u i n t e s n ú m e r o s
Rcsp, "4" e . 0 , 5 0 Rcsp. t ) 11 . 0 , 0 2 5 Rcsp. \
.1 7 . 0 . 5 S ?> 9 1 2 . 0 , 0 1 6
1 J fi
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¥ 8 . 0 . 0 2 5
1 1 9 12. 0,03125 1 > *
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V 9 . 0 , 0 0 2 5 n 9 14. 5,046
n 'í
^ -j II 10. 0,325 n 9 1 5 . 0 . 0 7 2 8 i >
c
l
V 0.752- 0,20
l- 0.125
f t®- 4.050
''"oansformap frações ordinárias em números decimais
ciiny?̂ ' fração ordinária, iransforniada em nnnicro dc-
pi'oduzir, ou uma decimal exata, ou uma dízima
'®3i como notaremos nos dois cxcmiilos seguintes:
^foblema. Transíorniar cm uni número decimal.
■ ' ^ • ^ ' " ^^cen lando um zero ao numerador, e d iv i -
ouifo P®'° ^onomlnador, ficam 2 de resto; acrescentando^ ^ 0 ' A o y i i c a m i u e r e & t v , « , ^ 4
*"®sto, j7»J^ resto e continuando a divisão, nao há mais
^P^fam se juntaram dois zeros ao numerador,algarismos no quociente, que fica 0,75. l^sia
«ecijual exata, porque não deixou resto na divisão.
3 0
2 0
O
,75
2. Problema. rransformar s eju um número decimal.-
20 ]
2 0
2 0
2
IcT
^ » U l l l i l i i t i
Solaçao. AcrescenUindo-se um zemvidindo uelo denominiidor. ficam 2 de resto- -.o h
outro zero ao resto, e dlviSí̂ n
iato 6. 66C milésimos. '̂ 'eausmos no quocionle, quo ficará 0.
núwZl̂ ê̂címn/ formar uma fração ordinária em
parnm-se com a oíVo T denominador, c no qiiociente sforem os zeros acresrpn^ |«n/os algarismos decimais, .qsuficiente, in-cfixam̂ scdhe zcrô ^̂ ° 9"ocicnle não iiuer nim
1 .
2 .
4 .
5 .
«io. cm nomeros decimais:
■I
f
5 5
Hesp. 0.8" 0 . 7 Õ
" 0 , 1 6
" 0 , 0 7 5
" 8 , 1 4
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
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í
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rèíj-
_ ! r u 5
^5^5
Ilesp. 1 1 .
12- tB"
2 3-
R e s p -
13. /oV
h i
5^
1 4 .
1 5 . 5
Adição1 0 0 . C o m o a a d i c í í r t , i . d omesmo modo que a de n.-.níi decimais se opera »
l U í u s e s c l a r e c i m e n t o s a l é m ^ n e c e s s á r i o
as diíefenteŝ parcellŝ °"̂ 'Ĵ ^ decimais, cscreô las ordens da mesma denominn outras, de sorte í
se lódos as parcelas como toquem em coluna.ve-sc a vírgula decimal na somâ '" riúmeros inteiros, e ese
CLvcrcíclo de aplicac-uo.
( 1 . )
0 ,9
0.5
0,8
0 , 1 5
0 J 2
2,47
( 2 . )
0 , 2 5
0 , 0 8
0 , 7 5
0 , 1 5 5
0,15
7 .
8 .
9 .
1 0 .
S o m a r 0 , 7 5
Somar 41,35
Somar 58,70
(3.)
0 ,005
0,0015
0 ,1450
0,3005
0 .437
+ 0 , 0 7 5
4.55
2 , 0 5
1,08
0.80
5 ,125
13,605
+ 0.0075
I + 18.555—... + 19,05 + 75,010
Somar 39,750 4- 17.005 + 9,7Q5
( 5 . )
8 , 1 2 5
2 , 0 0 8
3 , 2 5
0 , 8 0 0
5 , 0 1 2
+ 0,00075
+ 0 ,850.
+ 0 ,009.
+ 7 .150 .
Resp
/ i )
S u b t r a ç ã o
101. Regra. Para se sahirair um número decimal
Teduzem-se ambos ámesma denominação; cscreue-sc o
endo debaixo do minuendo, e, depois de se operar como
meros inteiros, escreve-se a vírgula decimal no resto.
Nota. tJc o minui-n.ln fOr um número Inteiro.
Bula decimal e laiuosr zeros c|ti:inios forem os algansm
tracndo.
Exercício dc aplicação. Operar as seguintes subtiaçCe
. - . . . V / I \ ( i
( 1 . )
0 ,750
0,15.5
( 2 . )
15,120
8 . 7 5 0
0 ,595
(7 . )
5,001
12 ,008
O r ,
( 8 . )
1.50,010
149,990
(3.)
0,005
0,002
(9 . )
192,
165,725
0,5 subtrair 0,0024
3 s u b t r a i r 0 , 0 0 3 .
13,5 subtrair 8,037.
1000 subtrair 0,001.
( 4 . )
0,125
0.005
(10 . )
1,
0,0001
Resp .
(5 . )
0,101
0,081
(11.)
20,705
4,050
0,4976.
2,997.
5,463.
999,999.
Multiplicação
cr, Regra. Para se miiPipbVarem números
rn„h-^^ c multiplicador debaixo do multiplicam ^^^os;;;;""'P//caçda como se os dois fatores fôssem
'os''^^puram-se com a vírgula tantos a gu _
f^ ^dgrtrismos decimais tiverem ambos os ' ' j-^g atésuficiente, prcfixam-se-lhe ̂ eros
1'aciIUm-' a comi)rccnsão destacasos que podem ocorrer na muUipbcaç niumpU
p r i m e i r o c a s o . c o m t ^ h A p r o d u U
dt!(
s e r fi 0 3 I n t e i r o s .- . . C l . u o « i i c i r u s .
®^Sundo caso, como há quatro aigaris-nios
SUiq' ^ dois fatores, separam-se quatro a ga•no produto, e o resultado será O.lS'»
caso. como os dois fatores têm
'íois ni ^-^^rismos decimais, e o produto tem ^
Ûlt̂ g'̂ ^̂ risnios. prcfixam-se-Ihe dois zeros e o re-° será 0,0075. v&de a nota do n.® »»•
1 . " 2 . "
7.5 0 ,25
S,4 0 ,75
3 0 0 1 2 5
GOO 1 7 5
6 3 . 0 0 0.1875
e o
0,15
0,05
0,0075
.9,aoM oioj OB jopunoa op B}ou^,stp ^
o 9 or o,uoa o oâna BpB,uasa.Ca. o.-.. "OP̂I ob BanS,, o 9 a oiuu -ajuaispcauí otuoo •Doupatl r;n
.„o,..oa
v-uonbod bLun eb-non,„..dA b,u,duo,bo,bo.i -i
•O/Oc/ OD Jopimb^ op vioitf̂
DO s,j„d vunspuow" ">"P?P '\ ""I " ®"'' »(I ■ ■ o'.'.' -am orobs-uom.p a ua.ul soi-tad sBisap aim, op oiuo,„,,„,,| o.' oiu v\j . nouioi 0 'siunbi sopiul op sooii
01 mo uioiivnsip inso mpiAip
OfiOCIQ ̂niuii onb noipu"o"LMDt,B,°?̂ Diso noinopjo isi.mj op oump;
o opunÍTOS '01.I0\T oioci oo JOpVní̂'̂
op tJiDu\.':jsip u inuo^sis qaou
osuq ouioD noiuoi oyssiiitoo
SODlip^j -imi soiuourpoiiiioo snos sopii ' '
-iqou siiomoii op OI7SSUUOO puj,^
•Í1IAX o" 'noup.!,! iiio op?',
_ ^ -niv'HAO 'iBiujoap oou^am Biuol o 0 i^p «m"r op X opsop /'is
3JHI0 oinizt.toim; ooiiin o o 'r.OKI ^ "" '^1
jod iisu.ia ou opuiopi; 'supipoui o sosod op umoisis q -̂oi
rivwi03C[ ooiHiaw VIAESiLSIS
■tiAlsso.iSo.ra ti.ino„p,_
.ssou B 9P9A 'slBtupap sciouipi. .np niuauMO-luoD OPUUB snuu .UBJ
•fT0'0---86'iI '01 lOOO'O » 'c
=(í's^fí6n'i'i *6 *oí-f i^-^Jõzo'0-^Q'Q
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t=iro--n "9 8 u; •!
jBOQstAip saiuinSas sb .umo.Iq -oijOuoudi! op oiop.ioxa ' /iopojpyjp
D JDJOpIuiOJ PJD SOJOZ OllJ-9Sf-Un)rjJo.ld 'dJUJlJlJUR O.IDU,nil jdÒjj
ovu dfUDiJon'h o os 'o '.DÒuoJojip op .loaitoii sofiiDiib siDmpQp
souisiJvBiD sopiv} ojuoioonb ou os-uidjixIos '.losuiip o ,)uh op
siDiupop somsuvdp) stinit »/o; opuopnnp v opuvui') -BjBay • (s-otins.i-juaa oouia)
pQ'0 patiatj o ojoz um soiuo-oiu-.ibxijo.kI 'qs ouibuibSitj uin
oisa CHUoo o 'oiuaioonb ou Kniusi.niSii! «lop .nti.n.*(i-u .-^p sowoj
'Stop ps .lOStAIP o o 'SOlUSt-UlSlB O.UKIlIj Utaj OpmptAlp o
omuo Kiuu -ç ■? aiuoiaonb o 'oijstAtp t; uputuaja 'on.^iiios
■çro *:iü()'ü -I'.I'i-MU 'eujaiqojy
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uioD as-B-itiaaB 'sa M oiub.mbSit: mn vinãaiA b
•tiao -moainiBj aní> Boiusu?3m^«? f '"o oP^̂PÍAip o ou os-opuTijucios ■o.ioiunir"«\, o(n«jtA V uioo 'síuaponb
-loap KouiKjatJSr-o Bttjiu tuai 'jostAip o onb op sjbuí
°P"^P!AIP o oputino -ouSníos
,5' -o o. 6 = wo 6 = í-Ko^'8 "17
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Á =9i'0
06 = £Z'()
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.c-o.ra,,» —yM-MP sajmnSos sp .itMoclo SOJpfUt lud ouioo os-nindr. ^
ĝ̂opuvfiioosojOD 'ojolunu o Ds-üwnfí, .í̂ ̂ opuopmip ou sojoi .3^ souisnoBio souom uijfuoo oLllL,,? ° "P ""^no
i 'fpiaip O opumiQ -Bjeoy *
t\'r\Pí 0'OQ
-ui Oi P.I9S oiuaiaonb o » -sn»,,,. -sojiaj
. •OQ^ = s'o enbrn^"- OCil o'ju onb ou -cioz tín uuío °
anb op luiupop omsutiSp} um sm ° 'josiAip o
.̂nu :so.tt9iui luo omoo os-UAu.toclo 'apt/piao ̂.n npuop,A,p o"omoo ,jo aP oaoiupu ivna: u.os-«oAn oî-pvp x-p soiiín LoT''
.♦ "O SOqiUB 9g -OllSuiOS
'9Z'0 jod çVr Jinrvrz-T — iíl JU'u.a -Eiuaiqojd "oseo
o'l
„P smuipop .o«..!.„,S,a s.bnu „ro, opuap,.v.p o
siuuipop souisuuS[u souom ma, opuopiAip o''opuBn5
anb 'jUJOpisuoD u sosua siop çq lumioap onsiAip bm . ̂ ^ SO !•
OCSjA.lQ
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Z?9'0Z
i'L)
oinpojíj
Auptioiiaitxniv;
oputionaninitt
'onOüoiidü op o]oio.iox2i
— Oi —
- 7 8 —
mtajoso, simpicí
l o e . A • u n i d a d e s
L i t i " " " ' s i s l e i n n s ã o :Litro, unidade dn
p c i - o ) . " " ' ® ® ' ' ® " ' ® ' e s e c o s .A _ _ . , i i l í ^ a r i i i c i i l c c h n i n « i f í ^
Pnrn . •'" "U^nores c .,n?n„ 'í'"" ^ P'inci,,.-,
Q^^Uo.' T. ''"'""'U' H-Cfías:M í r J a a s s o . n , ; ^ . " n n t a d c . sm SÍP" nli " «. Cfí:"ecto, que SP [ ?•'■D e c a . r , , ! . . c e m
. _ c u l t u r a ,
pai c!iamain-s®
ou divisões.
jncdiõas
l o n o o
l U O O
] 0 0
1 0
"'"oecrquf'sr̂ '̂ nPf;"̂ ^ "" divisões, adola-C-ti. que si^ "'ír^ ' -juo ,>a.,e „ ,
expnmen. os seus UHdiipiô'.̂''̂^̂ - "cuio 'de-cúda unidu
C o m p r i m e n t o I a b a i x o :
iiíle
I*êso
W /
} Quilômetro
0 ) Hcctnmntro
( Decâinetro
M e t r o
D e c í m e t j ' 0
•2 / Cí-íitíincti-o
^ j/ Aniínietro
To n e l a d a
Qiiiloj^rama
Hc-etogra ma
Docae-rama
G r a m a
D o c l g r a m a
C c n t i g r a i n a
M i l i g r a m a
^apaeidade ^ g r ú r i a p o a o p ' . V
Q u i l o l l i r o
l iectol i t ro
L>ocaIiiro
I j i t r o
J^c?ciHtro
Ccntiliti-o
M l l i l i i r o
l í e c l a r e
A i - c
c e n t i i i i - e
1 ooft
lOOO
lOO
10
U n l d n d c
Nota. Embora a unidade principal de pêso ^ ^ se
o grama para base na formagão dos múlunioe Qnilograiua, toma-lupios 3 submúltiploa.
— 7 9 —
109. O Metro tem aproximadamente o comprimento cia
ficciina inilioncsima parle da distância do Ecjuador ao Polo, e
é a medida fundamenla! do sistema.
O i n c l r o d i v i d e - s e c m 1 0 d e c í m e l r o s ;
o f l c c í n i c t r o d i v i d e - s e e m 1 0 c e n t í m e t r o s ;
o e e n l í n i c l r o d i v i d e - s e c m 1 0 m i l i i u e l r o s .
^ fo tn . A esca la aba ixo mos t ra o tamanho exa to de um dec fme t ro d i
vidido cm 10 centímetros, e cada centímetro dividido em 10 milímetros.
8 1 0
110. Para medir grandes distâncias usa-se o (jiiilônictro»
ê sorte (pie a extensão de uma estrada, que mede dois mil nie-ii'os, dtz-sc (pie tem 2 quilômetros; a que tem três mil e qin-
iineritos metros, diz-se que tem 3 quilômetros e 500 metros, etc.
111. C) litro tom a cnjiacidade de um de-
^̂ '"ictro cúbico, isto é, tem .a capacidade de'>1 cubo com um decímctro de aresta. Para
iín líquido, dá-se ao litro a forma ci-
se vè na figura ao lado.
^.j. litro divide-se cm 10 decilitres; o dc-
Iro r .̂ lividc-se ein 10 centilitres; o centili-nivide-sc cm 10 milililros.
litrn^^ oiúUiplos do litro são o decalitro (deze o heclülitro (cem litros).
112,
l^di centímetro cúbico de água disli
0 grama tem aproximadamente o
1 <>an ( í .« la l T. . . ^ d f t O i i lUa d lS l l -
F o r m a d o l i t r o
na temperatura de quatro graus centígrados,
se tirania divide-se em 10 decigramas; o decigrama divide.
cenligramas; o cenligrama divide-se em IQ mlli-
S e
grunias.
^■'>lnien?' frações do qiiilograma são ge-
<piilo„. ^M"'cssas em gramas. Exemplo: S
ĵ '<unas c 750 gramas,
lavra a usa-se quase sempre a pa-quiio poi- abreviatura de quilograma.l-OOO '̂onn qu® ™1®"•000 de gramas.
®»ra se avaliarem pesos grandes,
1000 kg. P o r m ado quilograma
— s o
l i : f á c i l a v n l i a r a s u n i d a á e s d e p e s o n o t a n d o q u o
o g rama tem o pêao de um cen l íme t i -o cúb ico de
á e r u a d l s t i l a d a ;
o q n i l o g r a m a t e m o p e s o d e u m d e c i m e t r e c ú b i c o
d e á ^ u a d i s t i l a d a ;
a t o n e l a d a m é t r i c a t e m o p é s o d e u m m e t r o
c ú b i c o d e á g u a d i s t i l a d a . Centímetro cúbico
1 n m e t r o s -
A r o
L
cmi"*®'
r p|,h '
lli;
/í?'v 1
115. Are é a superfície de um qua
drado que tem 10 melros de lado; é
igual a 100 metros quadrados e serve para medir matas e terrenos de cultura.
O miilliplo do are é o hectare, (luc
lem 100 ares;/ e o suhimilllplo é o cen-
tiare ou a centésima parte do are, equi
valente a um metro quadrado.
esclarecimentos sObre o are. quando og a i m o s n a m e d i ç ã o d e t e r r e n o s .
116. O estéreo é empregado
pnra medir lenha, e consta de
dois esteios fincados em um estra
do de madeira, lendo cada um*a
allura de um metro, e havendo
lambem entre eles igual distância.
As achas de um metro de
comprimento são dispo.slas cm ca-
« " o h M n f ' ° " X ÕFnlre n i "i 'f"'™ no luelro cob'^"'Î "be nos, a lenha é vendida às carradas, ás talhas e aus lê."'-'
Unidades monetárias
o franJó "lonelária do Sistema métrico francês, a d o t a d a n o
cruzeiro^omo^S''",̂ '\o como unidade de moeda no Brasil,
tésinia pTrTe'̂ do^cnî ° centavo, que c e
é, sempre quc'̂ ûm̂ n̂ ú!5l'̂ y'̂ ^ úuporlância cm dinhcif̂ -̂ ^cedido do símbolo Cr$ dinheiro, deve clc sci P
luito fátal J,? ̂ escrever os números dccíî .'̂ f
isl
0̂ -
— 8 1 —
o número de cruzeiros como unidades e o número de centavos
conio ccnlcsinios. No cnso de um número exalo de cruzeiros,
colocam-se dois zeros ai)ós a vírgula para exprimir que não há
centavos. Exemplos;
CrS 2,40
C r e 0 . 8 0
(:r$ 5.832.70
Ixcmplos
2 cruzeiros c 40 centavos
8;) centavos
o . 8 3 2 c r u z e i r o s c 7 0 c e n t a v o s -
4 5 c r u z e i r o s C r 5 4 5 . 0 0
. .w se ler um número <iuc exprima dinheiro, deve-se,
piúnieiramcnle a parte inteira acrescentando-se a
e em seguida ler a parle decimal acrescida
Pnlavra ccntanos. Assi.n.
5 , 3 0 l ê - s e 5 c r u z e i r o s c 3 0 c c n f r t P o s .
■ Pora quantias menores do que o cruzeiro,
®^emnf ^ centavo como unidade abreviando cls. Por1 em vez do Cr§ 0,50 pode-se escrever 50 cls.
Iiaviu trô.s unidados prtr.c-ipai9, que damos a seguir,
so roforc-in :i moedas que ainda oslão circulando*
ynldfulQ inferior
JJnici;x(ie médiaUnidade superior
U m r e a l
M i l r é i s
C o n t o d e r é i s
AV. , ^ úuaniia do 20 i*éis era denominada rínídni; e a de 100
ú-.SG tofttão. o mil réis correspondia, portanto, a dez tostões.
I ' . i . • -
• '̂Ure 'f^dlcar uma qunntia ncs.s.as unidades oscr'cvia-so um cifruo^ centenas e os milhares; assim
' / e s c r e v e - s oc oOO reis escrevo-se
* n
lOf, Um rca7, escreve-se ÇOOl.
m o d o .
-10
i 2 r .
A
r é i s
r é i s
1$000
4$ü00
? 0 - t 0
§ 1 2 5
-i^ntijío sistcm.a para o novo foi baseada na
com^'^olro tn ^ez tostões) passou a chamar-se
centavos, o tostão (100 réis) *
Coíò̂ o ̂akí̂"i' " f e i i r i s o i r , ■
é muito fácil e'̂ 'escre^vpr̂ ^ e.escrever os números úe escie\er as importâncias: hasta jM
tomou o valor de 10
D o ° d e r é i s t i n h a o^^as centenas de milhar e o das unidades de milhão,
p o n t o s ; a s s i m
9 ? c o a t o s , 7 « 8 : 0 0 0 5 0 0 0
e 8 4 ? l - f 3 5 ; S 4 0 Ç 0 0 0' c o i s A o 4 0 ? C I S ^ j o í C í í n f t4 2 5 m i l e 0 0 0 r ó i s 7 : 4 2 5 $ 6 0 1 )
CrS 7,50
Crs 4,80
CrS 5,00
Cr$ 3,00
CrS 34,60
Cr$ 40.70
CrS 35,00
CrS 28,00
— 8 2 ^
Exercício de aplicação. O alimo Icrá as scguinlcs quantias:
Ü 34,60 CrÇ 700,00 CrS 25.000,00
CrS 300,00 Cr.S 38.000,00
CrS 254,30 CrS 72<S.453,40
Cr,? 483.20 Cr? 145.328,70
Abreviaturas do sistema métrico
1 ° s e g u i n t e s n b r c v i a l u r a s :inicial minusl'ull "«'í/ffc/e exprime-se com a sua leira
metros; 4g ]ê-sc; 4 -^ssim, 5m J^se: 5
Como as unidades'nifHH ^ etc.
frações ou submúltinlo^. tc <livisàü decimal, as siias
números decimais-sòmpní do mesmo modo Que us
lesimo se exprimem nnr pulavras décimo, centésimo c /"*-da unidade. Assim cinr-n 7' ^ i""ias com o nome
centunetros escrevem se escrevem-se O.ãin. cinco
0 . 0 0 5 m . e c i n c o m i l í m e t r o s e s c r e v e m - s e
u in te i ros , ^ ' ' ^ ' ^ü l t i p ios não es tão un idos
m i n ú s c u l a s , s e n d o n , n a p o r d u a s l e t r a scial da unidade. Assim 5d.n ■ submúUiplo c a outra mi'
nifica 4 cenümetros- ^^S"»f>ca 5 decimelros; 4ciu siíí'
M^nifica milímetros, etc. 3 miligramas;
" " "
togranias e 30 gra.nas; 18IU &'7̂= Í5,30hg lê-se 15
Observação: decâmetro r7« ̂ Uctolitros, elc.
n-amas fnTel^ abrevinm-.se rcspecOv^^
Quanto à.s palavras formadas^ ̂ '̂̂ calitros.
S C e s c r e v a m c o m « n í n i . n c o m o p r e f i v n ^ v t e i
vem rnm i- a • muilograma. t,uiiA.„ '■ouxo quilo, embora porle-ae ís unOA abreviaturas sc escm-arnas. « 18 quilOrnetrps e 23 kg lê-se 23 qu
Exercício de apllcacSo. Ler as \
5 0 J 5 m I f t . e " ' n t e s m e d i d a s :
I5nmn
por
tenso
i c r e -
lilO-
1 .
2 .
3 .
4 .
6 .
50,15m
9,05g
15,08/
8,015g
C , I 2 5 n i
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
2 5 c n i
7 d !
9dg
lõmg
2 0 m i i i
1 1 .
1 2 .
1 3 .
1 4 .
1 5 .
0.7Õm
O.Olõg
0,ü08m
0,5/
0,105£Í
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
3 õ b l
1 5 k g
8,250kJ
12,750kíí
7 .80ku i
}í
— 8 3 —
Operações com quantidades métricas
■*20. As quatro operações sôbre as quantidades métricas® coni ns imiiorlàncias expressas cm cruzeiros seguem em tudo
regras das oiieracõcs sobre decimais, e resolvcm-se do mesmo
m o d o . ^
Problema, Somar lõ,i5m -I- S,50m -h 16.25m
R n l i L . R . . , r , . « i ^ n r i A s e m c o l u n a 1 5 . 4 5 m
8 . 5 0 m
s o m a d a s i c . a r i m
1 0 0 ) .
4 0 , 2 0 m
I
TCsorovom-se .ns trôs quantidades em ®
c o m o s e e l . i s f u s . s o m n O m e r o . s
auuiuuiíules ê -lu lUL-tros e 20 centímetros. (Vede n. iou;
ven.î ' nugnrianie vendeu (Ic mna ̂ y'JJĴ res'to de'Pand'^'^ 7,25m: vendeu depois 4,Jam ^ 22in.com J.ãOin; quantos metros tniha a p ̂ '.inho' 20,5/ 4*
+ j 2. Somar às ' seguintes quantidades de
ò ^ 5 , 7 / - h 2 0 , 2 / . i S O S í í e o u t r o
II37„". pesava 2n,55g: outro pesa^a 18, n ^ ,
d ' r ? " ' ' ^ ' a . ^ 1 0 l O m + I 9 , 0 7 5 m ^Qual é a sonla dc 20,5 + ck 0,40
e mu f-uinprei um livro por Cr? 6,80, 1 l\esp."/Wden'o por Cri ü,70. Quanto gastei? P
2̂1- Problema. De 21,15... tiraniio 17,75... quanto resta?
°Uona-.o a .subtr.eao con,o bc oŝUoîs termor 31..5m
'inSir o\ "L Tl"»eu'oÍ . 40 cenOmeUos
3,?'-
"b! ^""a harra clc prata que pesava S4,lag
3 que ] )csava 3r>,75g, quanto restou . ^25,44Ukg. tirando 17.750 kg. ^^90 kg.
5 b[ a diferença cnlrc 29,9flin e 39,80 di^^Cr.?5.1̂ ;̂ Um negociante devia a nm banco u n"antm de ür.?' ■ f ugou Cr§ 1.835,60. Quanto ficou de\endo .
2 t > o b i f n a
■'38,'
>̂"5 '̂ •'oblema. Em quanto importam 5,75m de chita a
. S m ' ^ u d a m e t r o ? 1 2 . 4 0
^ Q h s . ' b o à r t T s _ . « c i o R 7 .■>do multiplicnr o preço de um metio peloOpera-Hc a multiplicação como se ̂
inteiros, c como hú dol.s algarismos
îbâí̂ «nrisi;*̂ '*Uo e dois no multiplicador, separam-se quano ijrodutü. que ficará 71,30
1 2,4 O
5.7 5
6 2 U Ò
8 6 8 0
6 2 0 0
■^ r
— 8 4 —
Em qunnlo imporlrm, 15,50m de flnncln n Cri 3,80 o
2 - C u s t a n d o u m a r a m a . . .
5,15
m e t r o ? - • - ^
vem custar̂ Ŝ.ífg 9""̂ de platina CrS 40,0ü! quanto de-
iima 75,̂m metros de tecido lôiii 9 peças, medindo cada
custar 8,5/ azeite custa Cv$ 20,80, ciuanfo devem
123. Problema. Dividir O" 7-
Soiuçno. Como nn ,í- ■ -a,7;)in cm 5 partes lí̂ iuns
^ ^ a i s . a „ a r t a m - s e d o e i - 2 5 , 7 5 ' J ,5,15m. (V6de n^'103)'''o
custou cada metro'9'̂ '̂" pac CrS 115.20, quanto njĵ
c„ a,.,. s:„ s S;
deverá pesar pesar.mn I94,S8g, 'l"""'?
ŝtocadanfeirof'®™ "Ia por Cr? 206,80,
124. Para r ''̂ "̂Çoes métricas
pelas m^lidT^ 0"erelac-lo i • umas gro e l a s . V a t n o s c o t u c ç »
didTcoV" ̂ i""e,na''ye-"' "r""™' " ''"""'f"' " ,uf-d.das com as do sistema Comparando esŝ s
Braça , •'•'^Bamos a seguinte relnÇ»"'^ ^ 1 1 1 2 , 2 n i -Braça
V a r a
Côvado
'™i 2,2m
C l n i
0,6Cin
P é
problema. 130 mélro' ''"'"S-''''-'' " '̂ ■'
t e m 0 , 3 3 m
" 0 , 2 2 m
" 0 , 0 2 7 n i
j . í j m e t r o s t ê m c e n t í i « « f
dividindo êstes centím. ®® = ^3200 euiero de centîe,™"r=̂™= Por SC,» 0 3 2 0 0 , « a a o o o e í a " " 1 3 2 0 0 5 5
13
2ü0
0 "
" " " numero de côvados '
R e g r a . P a r a s e r e c l u z i r , > r c
diiz:se o numero de metros a « medidas aniig^\lsdiuidem-sc pelo número de ou milimeiros ^
fl medida antiga, *^^^^metros ou milimeiros an^ '
~ 8 5 —
Problema. 50 curados quantos metros são ,
. Solução. Um côvado tem GC centímetros e 50«Ovados têm Gtí X 50 = 3300 ^ero de
^ora êsies ccnUmctrt.s por 100. uue ê o "! '""̂ oa«entimetfcis que tc-m o metro, ach:imos 33 m
50 X GO = 3300
. 1 3 . 0 0
- " « l i o s . •
cort^"'*'" dividir um número por ^çro.doi.s nltíurismus ú direita des.e numero
Ivedp TV o . / .v
iizircm ""/lides pcZr̂ inníidude
" ' " l " " - " • • s e g u n d o
;O..As ronucões .lus outms ""dtud̂ P „p,.„dunremo,
-.,a -inio das du:i.« soluções ueiina,o u i i j u j m e d i d a s . , . . n i e d i í l ú S
UiJ?5- O metro e o qunômetro c-om̂"̂ •̂■iu-ias antigas tem a seguinte lelnça
^ède n.° -lo).
a T V, P a r a s e r e d t i
de mu//í7;//<.Y;-.çe o número ac ''""jy^'J'//ycr^■^ntiineiros ou milimeiros gne o
prodti/o por 100 on por 1000.
T. ^ 'o ia« i-nciocí
OU li
6600
5555
1852
1609
B i
U;guu lunsileira <Ic ®'jf'"o'''grariem
Légua maritinm Oc 20 ao o
^ l i l h a m a r i l i m a t e m
M i l l m i u g l è s a t e m ^ r o s ) s u b s -
«jae. o litro e o seu n.mv\̂ ^̂ ;̂; Tal.nude, « canada eí» ,w",° "'vcire, n quarta, o sclannni,n l h o d o s i s t e m a a n t i g o - 3 0 , 2 7 í
tem 4S0 litros Alq,"/tf 9.«^|i p a
^ ' í n a d a 9 6 6 1Qdíirlilho " O.V>GÍ Selaiui ̂ ̂
Mlijiií®''- A tonelada métrica, o q"'̂ * a íiíjra, a onça, a oi-a tonelada, o qiiintaj, « [midades corresponaem
so.(n-^7'" sistema antigo-
Quarta
Selaiuini
• ' ^ I ^ \ J 4 •
y 0^'ão do sistema ^"^go-gointes- pesos do sistema
7 í ) 3 , l G 2 k f f .
^««•Oba " 58.750 kg.
1 4 , 6 8 0 k g .
t e m 4 5 9 . 0 5 g .
2 8 , 6 8 g .
3 . 5 8 g .
— 8 0 —
Super f íc ies
que se channnTcoiifnrin''"*! ̂ "e tem duas dimensõesdins, dos pátcos. dos redmoreir"'̂ "'"'
tos, chama-se superfícifî ^ qoulro lados i.iíiiais c os ângulos re-larga cha,na-se Lpertcir rê .̂ n '
tro de iXfZ metm
v i a d a m e n t e : A c i . « c s c r c v c - s c a h r e -tcm um ccnlímêtro dê hdo''̂ ''̂ quadrado que
drado, c escreve-sc om2 ctc . quu-
de medir o scû coSh'"odida de uma superfície, tciiios
diçíío com uma trem cord Kuz-se csla nie-
- ^ ™ c o r r e n t e e s t e n d i d a s ô h r e o c h ã o
' ■ couro, no qual 'ela sí-'
lodo o seu conmri.ncniodesde 5 meiros ale 50 esl-'í r ™i' ''''
de iiin lado, metros dividhmc,' '̂ 'ithdo j)or traços que marcam,
legadas inglesas. cenLímelros, e de outro, pu-
l*eno retangular ó f duas dimensões de um tcf-
Probiema rnn,. í ^ da sua superf ine,qiienos conlé,,,' o quadrado"rande'sc'''̂ quanlos quadrados pC"
SoiuçSo. Contandn n« f " conlariiios uiii a umprimeira ciu-reira. achamos^4^ Pí-iuenos damoro Je carreiras acSlíc í o , iú-
q u a d r o d o f f r a n d e t e m 4 S . , «dradüs pequenos. Acha si f ® ' H"»--
tiplicando-se o númeî ?„,« L"" quantidade mul-mitnero que ha no coniS«r> 't largura pelod r a d o p e q u e n o m e d i s ^ ? , V, ^ q u a -
'Pr0bl«
quodradinĥ ŝ 'tcinT rehhî Vlo''"'' qunuloscontar um a um ? taiij^ulo ao lado, sem os
carreiras e G; então tem õ lê ® " nCmcro deu m d a q u e l e s Q u a d r â d l í h o s c a d a
então o retângulo, tendo 3 m^r "*? q^-'^'U-ado,
comprimento, mediria 3 X s =^- . ® Inrgura e .g jqIo metros quadrados.
— 8 7 —
Daqui por dianle chamaremos área ã medida de uma su
perf íc ie.
c a s e
o b i í
Regra. Pura se achar a área de um retanfjiilo, muliipU-
'Ç a Hun largura pelo seu comprimento} a área do quadrado
» « « a • I J 1 . * . . . — , r \ 9 » n tmsc multiplicando o lado por si mesmo.
^ Xota. .Se a -superfício não tiver a forma rostangTilar. então é neces-®>'rio recorrer ãs regras especiais, que se podem achar na nossa Arit
mética Progressiva.
1- Qual c a área de uma praçti retangular que tem 35
hielros de comprimento e 22 de largura ? Resp. 770 iii-.
2. Qual c a área de um armazém retangular que temt7..)m de comprimento e 8,4m de largura? Resp. l-i7ni-.
3. Quantos metros quadrados tem umQUc mede í)ü metros de comprimento e 80 tie largo ? Resp.
131, Para acharmos quantos ares tem um ̂<^"0 retangular, mediremos o seu comprimento e a
o,,® Koduto destas dimensões mostrará o numeroquadrados »«." o cmprfirie do campo ou terreno. Ora, como
hiim dividindo ainda o número de «ares I , gQQĴ mero de hectares. Assim, 80000 metres quadradosou 8 hectares.
P p / ^ k i . . . » „ « , i i m - i r o c a c o m 2 0 0 m e t r o sdo _ *^06161113. Quantos ares tem uma roca
'-omprinicnlo o 150 de largura ?
r t f ^ O o l T o 2 0 0■"•«VnriJõ",not™s «uadrado=, dividiremos 30000• G teremos 300 aa-es.
i,frf «egra. p„„ redu-lrem metros quadrados a ares, di-d e ^ . í e n f í 1 0 0 - e P d r a s e r e d u z i r e m a r e sQ herL "umero de metros por luu, c p
drcs divide-se o número de ares p
â , . . X o t a i , v . . , . _ . . . « o n f l a s ó c o m a v í r g u l a , s e p a r a n d o
q u - f . ® ^ ' „ e t r o 3 q u a d r a d o s a a r e s : e s e p a r a n d oP a r n " ' ° - ' ' ; r e d u z i r m e t r o s ^ 4 0 J ,■• « a r e d u z i r m e t r o s q u a d r a d o s e
""'■Ku; Q"«nlos ares tem uma mata que mede 168 metros da^ c 242 de comprimento ? _. .
* . i r t ii - i n i c n i o - / > » j 1- i4esp 40G ares e üb meiros quadrados,
o 2 a. Quantos hectares tem uma fazenda que mede 1,600km
d e c o m p r i m e n t o ? . „ . h e c t a r e s .
l»or j.* Contratei unia plantação de milho a razão de Cr§ 50,00
'̂"ííUra' Oí'a, tendo a roça 4õÓ metros de comprimento c 80 de
— 8 8 —
Nota. Apesar rto .are ter sido .adotado por Icl no Brnsll, perdura entrô
os lavradores, o uso antigo de medir inatas, terrenos, caninos, rocas, cic..
p o r a l q u e i r e d e t e r r a . i . »
, 1 . . ^ ° e s p a ç o n e c e s s á r i o p a r a p l a n t a r u m a l q u e i r e
S tamanho, conforme o modo do pinnt.ar o milho. EmS. Paulo, o alqueire de terra tem fi.OOO hraca.s quadradas isto C-, 10»
h ® largura. Km algumas partas de IMinas.loôoo braças quadradas!̂ ^^ luadradas, c em outros lugares tem atâ
s e e n ^ S ' n m i o l t e r r a ; a q u a r t a d i v i d e -
levar 5 grãos ^e rnUbo covas, e cada cova devo
Exprimir uma fiação do metro quadrado em
unidades menores
u m s u p e r fi c i e s , n e m s e m p r e c n c o n l r n m o s
quadrados; muitas vê;ícs achamos
m eSas f/qeX ^I"='tlrado. e para podermos expn-
d r a d o s o u q u a d r a d o s , c e n l í m c l r o s q " a -a seguinte divisão da's ̂unTcladcs'de sTpeidtie"
e JO de largurlf'̂ p̂ nn'̂ '?̂ ^ decimelros de comprimento
drados. Então um 10 X10 = 100 decimctros qua-do metro quadrado tetro quadrado é a a centésima parte
100 de Ím4\"râ "e centímetros de comprimento o
quadrados" Entâorum cêntW^® cenlímeirossima parle do metro quadrado ° ̂ Î '''̂ t̂-ado é a décima nid̂
JOOO de íurgura,̂e'por°isso\e?n̂nnn""̂ *̂̂ ^ comprimento o
metros quadrados. Então um ,,,m i ~ "V-^'iiésima parte do metro qi'iadrado " quadrado é a niil'
Nota. Um decimetre é a décima
ma.s um decímetro quadrado não é a aiol comprimento do mctio»
i : o m o v i m o s a c i m a , u m m e t r o q u a d r a r i a m e t r o q u a d r o " ' " *
e um sõ decfmelro quadrado C a centéal docímetros quadrado-•
l lcs i -
i . u i K u t i i n u o c i i - t i t j u . , u m i n c t r o q u a d v n r i v . * u . i i m - m » " i " ' * " '
e um sõ decfmelro quadrado C a ror.fA-.i docímetros quadrado-•
00 passo que um décimo do metro Quad^-f*! do metro quadra^ *
a r a d o . s . a u a u i a d ot e m 1 0 d e o í m e t r o s
m . n l a d i v i s ã o c e n i
um mciro quadrado tem 100 decimetres quadrados:
um decimetro quadrado tem 100 cenlímetros nuadrados;
iim centímetro quadrado tem 100 milímetros quadradoŝ
— S O ^
Problema. Leia a seguinte quantidade: 4,6 m^,
So lnçâo . Es ta quan t idade rep resen ta 4 me t ros quadrados e 6 dêc imoa
d e u m m e t r o q u a d i - a d o . O r a , u m m e t r o q u a d r a d o t e m 1 0 0 d e c í m e t r o a
q u a d r a d o s , e u m d é c i m o d o 1 0 0 d e c í m e t r o s q u a d r a d o s é 1 0 d e c i m e t r e s
i iuad i -ados, e 6 déc imos são 00 decímetros quadrados. A quant idade ac ima
lÊ-se: 4 metros quadrados e GO decímetros quadrados.
Regra. Para se exprimirem as frações de um metro qua'
drado em decimetres, centimeiros ou milimetros quadrados, di-
1'idc-se a fração do metro cm classes de dois algarismos, come-
Çando pela virgula, sendo a primeira classe decimctros qiiudrct'
dos, a segunda ccntiinetros quadrados, e a terceira, milimetros
q u a d r a d o s .
Nota. Desde que as unidades de .superfície se formam na razão cen-
íc-simal. isto é, de 100 em 100, são preciso.s dois algarismos para cada
ordem, e à que tiver stj um alg-ari.smo, acrescenta-se um zero.
Exercício do aplicação. Problemas para resolver:
1- Como SC lê a seguinte quantidade. 32.292874m= ?
^ Bolnçao. A fração desta quantidade, dividida em classe^s. fica 29, 28,então lê-se- 32 metros quadrados. 29 decmieiros quadrados. 28 cen-
1'metros quadrados e 74 milímetros quadrados, uu 32 metros quadrados® 2D2S74 milímetros (luadrados.
, 2. Quanto mede uma superfície retangular que lem 2,õmde largura e 3,-lm de comprimento? Resp. 8,oÜin-.
, 3. Quanto mede uma superfície retangular que tem 4,18mde conipriníenlo c l,lõm de largura? Resp. 4.8070m-.
n Ca Qdal é a superfície de uma mesa retangular ciiie temd.OGiu de largura e l,54m de comprimeulo? Resp. l,0104m-.
V o l u m e s
135. O sólido limitado por seis faces quadradas e iguais
^dnia-se cubo. i': a forma do dado de jogar.
m.i ^ sólido limitado por G faces rclan-g u i a - '
c o m u m
d s . d o s
A
«ularcs, iguais duas a duas é um paralcle^
retd/ígnZo ou bloco retangular. E a
das caixas, dos fardos, das
m u r o s , e t c .
fQ 136. Nestes sólidos a porção de rela
ijj.̂ ^dda pelo cnconlro de duas faces cha-
tòd-^® Como as faces do cubo sãoe iguais, as suas arestas
são iguais entre si e tem o taina-
/ / / .
ai fill!lalBíf, 11 i i
iilllllli lül 1
Mi l1 Ü l i
— 9 ü — ^ 9 1 —
terentcs. sao as tres dimensoe,: comprimento, largura e altura.
comprimentoyparr̂ e"í-mnf"' c? l°"'="nos só o seumos'o seu côiSmm» superfície de um campo, toma-para medirmos l voíume de um" rmamos o seu comprimento, largura êaUuit
cubôiue'ieT-S -nUntehos'dê'aresfa
ZfUi"'",'"' "-m-lnlôn?"";, T
oTi" mT"'?ué'''"S3=o°
tu;ro'L"rx?=T"".?'"" •'■• '■íur.r.S"
t m ? r " c o „ t , - n , e . r „ . , „ e a . . a , a .
Regra, Para se achnv . ,
P^^dnto (Ids iré<: íZ/mÍI blocos retan(jitlff^^^'(lUura) avaliados na mcsinn (comprimenlo, I((r<jiira c
fazer nni produto de três falArĴ ^̂" ma is ü a res ta .
Observação. Se ag dlino -
Hf"'" -tiv.renx avaliu.la.s rni milí-Dor dlaX ° «o5 c-xn cúbicos; se estiverem a^a-í-̂ Picsso e.n metros cúbicos; e ass"»»
1- Qual é o volíime de um o • - ríe
comprimento, 3 de Jaríjur-i e o í , tem 4 metros dfè> 'I e 2 de altura? Resp. 24n^^'
2 . Q u a l é o v o l u m e d p u m i a
comprimento, l,õOm de Jarrmr. ^eni 20 metros «eifeura e 4 dc ídlura? Resp. I2üin'*
3 « U m c o r t e d e u m a e s t n f i ' » i r a p
comprido, õ de larL»o e 12 do mede 45 metros a
t e r r a s e t i r a r a m d a l i ' ' ' m e t r o s c ú b i c o s "
Resp. 2700m̂ -
l i t r o s d e á f f i i a c n n t ^ n • m p d c t ' l15 decímeíros de comprimento 8 di T 3"® n ,ra,
sabendo-se gue 1 litro deTm,« no ® e 10 de altura»-.,
c ú b i c o ? e s p a ç o d e 1 d e c i m e t r o «^ R e s p . 1 2 0 0 l i U - o s - M
NÚMEROS COMPLEXOS
. " ^ « . 1 1 1 ientre o din,^ ''ia icin "2.
Outro exemplo: 3 dias e 2 horas.
Se em vez de 3 dias 2 horas, disséssemos 74 horas, teria-
um número incomple.vo porque ai o tempo esta referido
nuiíi unidade única (hora).
S i n t o m a M é t r i c o D e c i m a l t e m a a s u m
ô,ngui ^^^cíniril, nias. cumpre atender a que as unidades n.' jg ,d l£o rv ® inKlésa não estão su je i tas ao nS8 ^ r o f ^ n e s c r i t o s a n t e s d e s e r a d S
nossas unidades antiga^ as "oncracões súbre com-
ílexo.s ® necessidade de se conhecerem as opeiaç
^£nhT '̂ "U-urnius nestas operações, é discípulo'«Uiarizem com u formação das seguintes unidades.
140. Unidades de tempo
t e m l o nSé_,l̂istro
Môs
a n o s .
1 2 m e s e s .
3 0 o u 3 1 d i a s .
7 dias.
24 horas .
Hora tem CO minutos.
Minuto " GO segundos.
Ano comum tem 3C5 dias." b i s s e x t o " 3 0 6 "
" c o m e r c i a l " 3 0 0
Mês comercial " 30
e Ueze„̂ ®®«s de Janeiro, Marco, Maio, Julho, Agosto, Outul̂ o,
"■'̂ ínbVo ^ 31 dias; os de Abril, Junho, Setembro e No-tem 30.
t̂ i comum, o mês de Fevereiro tem 28 dias, o no ano bls-
^no°A'̂ ° Uiasexto é exatamente divisível por 4; paj-a sabermose^bni- bastará div id i - lo por 4, e. se deixar' i J l o . . ' s e n - i r , - i - i A . . . . c i t n - i n s a n o s d e i O < - , ■> • '
s e
a n o
'dê 1872, 1876
r e g r a o s a n o s
a ■ " u r n - o a s t a r a c l i v i a t - i o p o r • * , e . o v x x s = , . ^ . ^ ■
Co de i xa r rea to , se rá b i ssex to ; ass im , os anos
bissextos. Não estão compreendidos nesta
os que terminam em dnas ««
2'̂ ÍHÍvei ,?■ ̂ 0̂0 e 1800. etc. Todo ano centenário que COr estamento^ 1700 «orá bissexto; assim, o ano de lüOO £ol bissexto, e os
800 e 1900 loraai comuns,.
— 9 2 —
141. Unidade do ângulo e de arco
A c i rcun fe rênc ia de um c í rcu lo d i
vide-se em 360 graus-; o grau divide-se
em GO minutos, e o minuto em 60 segun
d o s . O g r a u s e r e p r e s e n t a p o r o m i
nuto por e o segundo por De sorle
que 5<»,5',5" lê-se: õ graus, 5 minutos e
5 segundos.
Nota. Na circunferência do círculo .ao
lado, o arco que liga o ponto A ao ponto B tem
45®; o axco que liga A a O tem 45®+45®=90®-
t e m ^
142. Unidades da moeda inglêsa
io" A libra se representa por £■
farthings. o penny por d.
De sorte que £0. 7s. 2d. iê-se: 5 libras, 7 shillings e 2 penc®'
Nota. O plural de penny é pence. Os farthings escrevcm-se na
de uma fraçao do penny; a«,im 1 penny e 1 fanning escrcvcm-so 1 i-
A letra d é a inicial de dcnario. mas continuou a significar
Redução de unidades superiores a unidades Inferiores
143. Problema. Quantos dias são 3 anos e 6 niescA
tendo cada mês 30 dias ?
Solução. O ano tem 12 meses, e 3 anos têm
3 vezes 12 que .são 3C meses, juntando mais os
s do problema fazem 42.romo o mês tem 30 dias, multiplicaremos 42
. 30, c teremos 1260 diaa. Portanto 3 anos e
6 meses são 12G0 dias.
1 2
3
42 mcs®®'
3 0
36 1260 d ia3*
4 Z
— 9 3 —
Regra. Para fte reduzirem unidades superiores a unidades
inferiores, nuiltiplica-se o número de unidcxies sri/jeríores pelo
número de unidades imediatamente inferiores que formam
nquclas e ao produto juntam-se as unidades inferiores, sc as
nouvcr; assim se opera sucessivamente, até à denominação
requer ida .
Rcdu/.ir 3 meses e 20 dias a horas. Resp. 2040 horas.«■ Reduzir 2 horas a segundos. " 7200 segundos.
• R e d u z i r 1 5 h o r a s a m e s e s . i " 1 8 0 m e s e s .
• R e d u z i r 7 d i a s a m i n u t o s . " 1 0 0 8 0 m i n u l o s .
■ Quantas dúzias são 5 grosas c 10 dúzias? " 70 dúzias.
Redução de unidades Inferiores a unidades superiores
144. Problema. Quantos anos comerciais são 820 dias ?
6 o l ^ l v id inc lo 820 d ias por 30 . í iue
2 7 r n r ^ m ê s , t e m o s
Pois 07^'^ ° dias de re-sto. Dividindo de-
m o s e q p o r 1 3 , q u e é o n ú m e r o d eo a n o , t e m o s 3 a n o s e 3""'«SGa do resto.
8 2 0
6 0
2 3 0
2 1 0
3 0
2 7
1 2
4 2 a n o s
3 m e s e s
EnUio, 820 dias sãs a o 2 a n o s ,
1 0 d i a s
3 m e s e s o 1 0 d i a s .
Para sc reduzir unidades inferiores a unidades
o número dado pelo número que a unidade
'""tnieniesuperior tem de unidades inferiores. Procede-se
inodo com o quociente obtido até sc cheqar às uni-
fip» nitimo quociente junto com os vários restos, sc os hou-' a r e s p o s t a .
erciclo de aplicação. Calcular as seguintes reduções:
2 . ^ 2 0 h o r n s a d i a s . R e s p .
3 . f 0 8 0 0 s e g u n d o s a h o r a s . "
. m e s e s a a n o s .
5. jnp 'w" .minutos a dias.
e , q u a n t a s g r o s a s s ã o ?uuzir 488 pence a libras.
T r
5 d i a s .
3 h o r a s .
9 a n o s e 2 m e s e s .
3 d i a s e 3 m i n u t o s .
10 grosas e 5 dúzias.
£ 2 e 8 pence.
'̂isfopmaçâo de números complexos em frações ordinárias
1 2 m i n u t o s a q u e f r a ç ã o d e u m a h o r a' * * 'ob lema.
luivaloni?
e T e n d o a h o r a 6 0 m i n u t o s , 1 m i n u t o é - s o ã e u m a h o r a ,
^ h u t o a s ã o d e u m a h o r a .
1 2
6 0
9 4 —
Problema, lü horas e 40 minutos que fração é de um dia?
Solação, 10 horas e 40 minutos reduzidos a mi
nutos fazem 640 minutos; ora. como o dia' tem -Miuutos 640 4
1440 minutos, segue-se que 640 minutos são
de um dia. Simplificaudo-se a fração, fica Por̂ Minutos 1440 O
tanto 10 horas e 40 minutos são ^ de uin dia.
iima^raato or7u,árL,'7cTuZT"Â ■ T.riores requeridas e estas sp o numero as unidades mf
mero das mesmas unidades 7-^'" niimerador; o na-
creuc-se como denomínadnr " nnuiade superior, tí-
s e f ô r r e d u t i ü e l . ' ^ c i f r a ç ã o r e s i i l i a n t C t
I a R e d u z i r 7 h o r n « o 9 n j .
2. Reduzir 18 horis -i f fração de um dia.
3 . u m e s e s
Resp.i^" K
Reduzir frações ordinárias a números oompiexos
146. Problema. Quantas horas são # de um dia ?
n.° 98). A hora tem 60 m
— S ã o
6ão 9 horas e 36 minutos. ^
§ de 24 = ^
§ de tíO = -L^^
= 91
:36
R e g r a . P a r a s e r e d u z i r i m ^ r , t - « » ' / -
mero complexo, acham-se nunlH função ordinária a um
feriores contém a unidade dn imcí/m/ü/ue/í '^,'case esse número peía fraçV"lf' 5pelo denominador i, se I.oTaer res o " """"̂ 7 'memo modo. Os diversos 'inocienies'foZlm o comphxo. d omemo modo
Eiercício de aplicação. Problemas para resolver:
Heap. 3 horaa.
í T ' 1 — S ã o ? I „ f a i , o . a a e 2 0
3. Quantos meses são f de um ano? I „ g ^^^53^3
4. Quantas horas e minutos são de um uia?. « 13 horas e 3010»»'
2. #
— 9 5 —
Adição de complexos
147. Problema. Quanto somam os seguintes períodos
de tempo; 5 anos, 10 meses e 8 dias + 3 anos. 11 meses e 12
dias + 9 anos, 11 meses e 20 dias.
Solnçuo. Depois de escreverino.s as parcelas
d^i começaremo.s a soma pelas uni-< Ucs inonort'.s, que são dias; então temos
* + 12-1-20 = 40.
Como 10 dhiH .são 1 mês c 10 dias. oscre-
'̂■enio.s o.s 10 di:is debaixo dos dias, e lovare-o n i c s p a r a a c o l u n a d o s m e s e s , q u e s o m a
+ U' -r 11 -i- 11 = 33. Ora. como o ano tem
an dividiremos 33 por 12, o teremos 2
^ ps e o nifse.s; e.«croveremos os 9 me.ses de-aixo d;i co!un;i do.s me.ses, e os 2 anos pa.s-
'^0 para a coluna dos anos, que soma 19.
a s 3 p fi r c e l a s s o m a m 1 9 a n o s , 9 m e
A n o s , i n c s c s , d i a s .
5 1 0 8
3 1 1 1 2
9 1 1 2 0
1 9 9 1 0
s e s • > 1 0 d i a s .
Regra. Para se somarem números complexos, escrevem-^ todas (is parcelas em coluna, dc sorte que as unidades da
^e.ç/na denominação fiquem umas debaixo das outras.
Moinam-se a.s unidades menores, c divide-se a «^/im■ jmero destas unidades que a unidade imediatamente sup -
'<>/• contém; cscreue-sc o resto debaixo da coluna somada, e o
t ^^cientc adiciona-sc com a coluna seguinte.
^ ̂ focedc-se do mesmo modo com as outras unidades, e de-da última coluna, escrcvc-se a respectiva soma.
as seguintes adições:
(2 . )
îcrcício <lc aplicação. Operai*
( 1 . )
20
O
15
7
hieso.s, d i a s , h o r a s .
7 2 0 1 5
8 1 5 9
1 0 2 3
1 0 5
0 8 8
(3 . )
3 5 4 9
5 9 0
1 0 3 0
A n o s , m o s c s , d i a s , h o r a s .
1 7 3 2 1 1 1
0 1 1 2 9 3
7 0 1 5 9
2 7 4 0
I d b r a s ,
7
2
3
( 4 . )
schiUiugs,
1 1
1 0
1 0
p e n c e .
4
1
2
9G
(5.)
6 .
3
5
,7
2
1 5
5
1 8
1 9
3
d .
9Í-
10?
I f
I l í
' ) 1— - 1
( 6 . )
G r o p t u q , d i i z i a s , u i i l d a d c *
8 1 0
1 1 I I
9 1
í)
8
; >
2
8
7
i j
3
1 0
notan^n T""'' "" ""O oferacem dificul-
out,-as, .oTalM
«lójü ^ZT'sfio" nipa j,0f fl, I3s. e 4.I.:Ijiiióciilo por £9"» fia ""' '"""pcíio por £9, fis. „ 9<1„ e ui»o5>-, em quanlo imporUiram estes ohjcfos .
8 - K m u n i ' . . l ^ e s p . £ 2 0 , J 7 s . c l O d -
e 20 tlias na U ihi., Norle, demorci-iiie 2 nicscs"O Pará, e 2 ineses r-Pcniainhiico. 13 dia
«esta viagem •? ^ ^ 1 dia no Manrnhâo; tíiie tempo gasto
Uesp. 7 meses e 4 dias.
Subtraçíto de complexos
2 anos.% mesis'̂ Ĵo ̂ '"«scs e 12 dias, subtraindo
S o l u ç ã o » | i i c L u j i i p o r e s t a ?
Pt'laa uiif- Anos, meses, dia
t i r a - s e 1 i j i ê a d o s í i u l > t i - a í a o s d e ] 2 , 4 ( 3
« o m a m - s e ê s t e s c o m * o s i . , ' " ^ ' Ü
ú l a s . ® l l c s i i u 1 2 - H 3 0 = 4 2 —
Subtraindo açora 20 de 4-» ..... ' 1se escrevem debaixo da colLn n l""" ^2, que
C o m o j á s e t i r . . , d i a s .Como já se tirou 1
pode subtrair 7 de 5. tir-.-s.!* f sO restam 5, e cumo nao «
j u n t a m - s e ê s t e s c o m o s 5 , e r i V. ' n ' ! ° i o ' 1 ' ® ^ ? !
restam 10. que se escrevem deUnt.. Açora, subtraindo ' de
C o m o j á s e t i r o u 1 a n o ^ a o « ' . . i o s e s . .
Portanto o resto da subtração í. 3; subtraindo 2 de 3 reid'i^ ^ m e s e s e 2 2 d i a s .
.7f i "o número complexo de oíd^
7 _ • r . . . n i i X O d o m i i ) i i r t i / l / > f f i t t i p n n - S > í -^^creuÂros:M;!e:aoZ,àlZ T'"" "" ""e"^siibiroção pelas unidades inferiores ecomo cm uma subtração decimal ̂ ^ '̂'̂ nc-se o resto debatx
S e i i m d o s t è r n i d f . m . . . , . • ' .
- , v . ç . í t / u c c i m a i .
S e i i m d o s t e r m o s t i o m i u n e i t r i n t ' . e / ' t í
respectivo suhtracndo, toma-se umn do que
se às unidades do fèrm^, ir^f ■ ^ unidade imediata, redit'SC as unidades do termo inferior, e com elas se ainnlám P^rã,ar „n, novo m.nnendo. e opcva-.c a .ubtlução J ò tirmOf o r m a r
— 9 7 —
(JVC SC tirou uma unidade, será considerado como tendo 1
" C m e n o s .
Exercício do aplicação. Operar as seçulntes subtrações:
( 1 . ) ( 2 . ) ( 3 . )
Anoa, meses dias.
2 0 7
i i > S
4
2 9
18
11
(4.)
5 4
5 4
1 5
7
~ 8
5 3
5 9
£
2 5
1 5
s .
7
1 5
d .
1 1
3
H o r a s , m i n u t o s , s e g u n d o s
2 0 3 5 4 . 5
1 8 O Õ O
(5 . ) (6.)
Grosas, dúzias, unidades. Anos, meses, dias.
1 5 3 9 1 5 O 1 5
1 1 2 1 1 1 0 1 0 H
1 8 3 5 c m o r r e u al2 1 crinnça nasceu a 14 flc Abril dcdc Fevereiro de 1837, que idade linha ?
Resp. 1 ano, 9 meses e 28 dias.
Jiiii ̂ independência dos Estados Unidos realizou-ŝ e a 4 de
lei e a do Brasil a 7 de Setembro de 182>2; (luePn decorreu entre estas duas datas ?
Resj). 40 anos, 2 meses e 3 dias.
Multiplicação d© complexos
Problema. Cuinjirei 5 livros à razão de 2£. 6s. lOd.•■nn. Quanto gastei ao todo?
Antes do multiplicarmos cada térmo do
PO' " temos de no ta r que 1 - pence
í ^ ift ^ shilling e 20 shillings formam 1 £. ^n^® ^
**63 c» .1 pence, reduzidos a shillings, dao 4 slui-pence. Escreveremos os 2 pence por baixo
6 reservaremos os 4 sh i l l i ngs para jun ta r — — _
ling5, shil l ings. Passando a multiplicar os slul- 11 14 2: "-"ms fi K 5 = 30 e que vieram dos pence,
I ^'''hing.s, que reduzidos a libras esterlinas fa-i-pjj ^ q 14 .shllling.s. Escreveremos 14 shillings debaixo dos .shillings"f i 1 £ para juntar com as l ibras. Finalmente, mult ipUca-ndo
temos 2XB = 10£elt. Que veio dos schillings, s<ão 11 £, quQ
8 '•'®moa debaixo das libras. Portanto, os G livros custaram-me 11 £■ ^ d .
^ara multiplicar iitn complexo por um númeroo multiplicador debaixo do multiplicando, e, come'
^'t)lin^ d/rci7a, multiplica-se cada iim dos termos do mnUvndo pelo multiplicador.
d
1 0
5
— 9 8 —
Dhide-se cada produto pelo número que a unidade segâ ^̂tem de unidades imedialamenle inferiores, c o quocicnte /«J*
-c com estas unidades, escrevendo-se o resto debaixo a
mKrn-yj/iVam. A última multiplicaçãoserá cserdainteira debaixo do têrnio respectivo,
Bxcrciclo (Ic apUcociio. Operar as seguintes mulüplicâ üeaí
(^0
Anos, meses, diav
ã 4 8
6
~ l 1 8
( 2 - ,
Anos, meses, dias.
8 9 õ
(3.)
D i a s , h o r a s , I nu to *
3
9
3 2
<4.)
Libras, shillings, pcnco
8 1 8 1 0
5
4 4
£
2 9
(5 . )
s .
1 9
U 2
d .
1 1
8
(6.)
f
4 0 ó o
13
a m a ^ ã d e p r a i a . 4 d .
Ilesp. 10 ^
, 4d.
borfS
Viccivtiia paia f.uer Io metros ? Resp. 4 dias e 30 mina
segudlleV''"'' mo-̂ da inglesa, na 10»̂ '
8 metros de veUido lavrado,.
6 metros de renda inglesa
5 metros de damasco azul
a 8 s . 7 d .
a 7 s . — 1 0 d .
a G s . — 4 d .
a 4 s , — 5 d .
a 5 3 . — 1 0 d .
a 1 8 s . —
a 1 1 d .
^ooxa , . • •
£ sOil-
3 — 8
nc»
— 9 9 —
Divisão de complexos
150. Problema. Achar a Icrca parle de 8 anos, 5 meses
«9 d ias .
Soln«_ 'ao. Pura acharmos a
c a p a r t e d e s t e n ú m e r o c o m -
de d iv id i - lo por 3. [ 8 t inos i 3 _
« u i n d o S a n o s p o r 3 . t e m o s i go quociente 2 e o resto 2. Ksto __
2 y ? , 2 ! ® ^ m e s e s , d ú | 2- — 24, meses; jun tando a
í ^ r o b i ^ m e s e s d a d o s n o
ÔIvííIm'^' ^®"ios 29 meses quo,
9 - ' hof 3, dão o quocionte'■® 5 i o 2 . Ê K t e r e s t o , r e d u -
2 X 3 0 = 6 ü d i o a ;
^ o s S n ^ p r u l i l e m a , t e -
dào Q que, d iv id idos por 3,
2 a n o s
2X12 + 5=29 meses j_3 ^
2 7 9 m e s e s
* ^ ^ 0 n , ' V » » » i J w i " t
t a n t o 2 3 e x a t o . P o r -
' ^ « s e s e p a r t e d e 8 a n o s . 5e 2 8 d i a a ^ ^ m e s e s
2X30 + 9 = 59 diofi [J
6 9 2 3 d i a s
A divisão de complexos t™. outras aplicações mmt̂
de ten!'" como a divis.ão de longitudes, con . , .
n,a, ™Po enlre dois lugares pela diferença de longitude, etc .podemP°"tos. precisando de algum desenvohamento. naoser expostos em um compêndio elementar.
dividir um complexo por um numero dwi^do (/,v f"''arfnmenfc o número de unidades de cada subdivisão
^^sto ^ comecar pelas unidades superiores; se houver® ^únip o resto ás unidades imediatamente inferiores e
^^n te soma-se ao número dessas un idades cx i s -^nidendo. Os quocientes obtidos, dispostos em ordem,^ gnocienie pedido,
'^íercXoi -"Io do aplicação:
horas, minutos.^ 10 20 I 2
35
£9
' " a s , m i n u t o s .
n 5 9 I 9
( 5 . )
( 2 . )
A n o s , m e s e . s , d i a s .
1 6 9 1 0 I 5
(4 . )
Grosofi , dúzias, unidades.
1 9 1 1 9 I 7
( 6 . )
9 5 0 4 5 ' 3 0 " I 1 51 7 S , 8 d . L i _ - - ,
igualmente £360. 8 s. 4 d. por 173 pessoas.
1 '1- cada num ? Resp. £ 2. 1 s . 8 d.^ outras questães de compIexoSÉ vêde a nossa iliãüuétxca
— 1 0 0 —
R A Z Ã O
152. Tomemos duas réguas c meçainos os rcspcctî ô
comprimentos tomando como unidade o centímetro. Acham®50cm para medida da primeira e lOcm para medida ^
gunda. Pois bem: a fração -fS"» ffue tem para iiuinerador 5
para denominador 10, é a razão do comprimento da primei ̂
régua para o comprimento da segunda. Dizemos então 0^®razão dos dois comprimentos é yu ou 5. . ,«5
Também podemos dizer que a razão de duas
e o quociente da di\isão do número que mede a primeira V
numero que mede a segunda, supondo que ambas forana m
didas com a mesma unidade. Com efeito, se dividirmos 50 P
10 encontraremos 5, que c o valor da fração .
411 ? íî emos com os dois comprimentos, pode ser feito comtídades da mesma e.spC-cie medidas com a mesma unidade: duns Qua
)iessas em cruzeiros, dois pesos expressos em quilogramns etc. ^
153. Os dois números que figuram numa razão ŝ oseus termos. O primeiro termo (que serve de n 11 morador ̂
dnidendo) chama-se antecedente; o segundo termo (qûde denominador ou divisor) chama-se consê iieníe.
OS pode tambCm ser indicada colocando-se dois pontos Oos dois termos. Então, a razão de 8 para pode ser escrita
O8 :4 ou , is to é , 8 :4 = =2.
OCS-
4
í
ApIicam-se às razões todas as propriedades das ̂
Problema. Qual é a razão de 24 para 8? 24:8 -̂̂ "
S o l u ç ã o . D i v i d i n d o 2 4 n o r 8 • x « .e razão de 24 para 8. ^ ° Quocente 3, que 24 -" ,
Problema. Qual é a razão de 4 para 12? 4:12
Solução. Dividindo 4 por 12, temos um têrço, que da , .
r a z ã o d e 4 p a r a 1 2 . ( V i d e n . o 7 1 ) . = 4 - ^ ^
Regra. Para se achar a razão entre dois números,
o antecedente pelo conseqüente; o quociente será o- g.
Qual é a razão de 88 para 11 ?
2 , Q u a l é a r a z ã o d e 3 3 p a r a 9 9 ? , i
3 . Q u a l é a r a z ã o d e 4 8 p a r a 1 6 ? %
4, Qua l é a razão de 16 pa ra 48 ? r
5. Qual é a razão de f para ^
6 Qual é a razão de 8 para 4 i?
— 1 0 1
154. Trocando-se a posição dos térmos de uma razão
obtém-se outra razão chamada inversa da primeira. Assim, a
razão inversa de 3 : 8 ou | é 8 : 3 ou ; a razão inversa de
a ó I ou 2. etCx
PROPORÇÕES
155. Proporção é uma igualdade entre duas razões^
Assim, 12:6=8:4 é uma proporção que se lê: a razao depara G é igual à razão de 8 para 4, isto é, o quociente de12 dividido por 6 é igual ao quociente de 8 dividido por 4.
O sinal de igualdade entre duas razões é quatro pontos
Q O, como
1 2 : 6 : : 8 : 4
que se lè: 12 está para 6, assim como S está para 4.
156. A proporção 12:6: :8:4 se escreve, hoje, de prefe
1 2 S
" g T "
Km toda proporção há duas razões expressas emlualro lèrinos O nrimeiro e o último chamam-se extremos,
^ os dois lermos do meio chamam-se meios. Na proporção12 e 4 são extremos, e 6 e 8 são meios.
Propriedades da proporção
que 1̂ ®" Kma proporção tem diversas propriedades, mas asOís precisamos conhecer são as seguintes:
Km toda proporção, o produto dos meios é igual ao pro'
dos eT t rpmnc -
1 2
E x t r e m o s
M u l t i p l i c a n d o o s d o i s m e i o s d a p i ' o p o r - _
d M c ® t e m o s G X 8 = 4 S ; m u l t i p l i c a n d o — —*^0 ®5ftremos, temos 12X4 = 48; os dois produtos i»
' ^ U a i s . _
Verificarmos se uma proporção está certa. 6XS —1-X4
íto ^ ^'^I'enios os dois meios, e, se o produto fOr ig^ual
dois extremos, a proporção estará exata.
dividirmos ou multiplicarmos os dois têrmos de uma
lám ' quatro têrmos de uma proporção por um mesmonão alteraremos a proporção.
1 2
C
■í
— 1 0 2 ^
^ IlnstrncSo. PivlrUndo-SG por 3 a.nhos os termos dapnmo^a ra^tílo na proporção ao lado. ficarão dois nú
meros mtmorcs, mas a proporção continua; o quociente
oa primeira rarão serã lífual ao quociente da seaunda-
e o produto dos meios, i^-ual ao dos extremos." Divil
aindo-se por 2 todos os termos da proporção, ficarãonúmeros diferentes, mas a proporção subside
t . r n n o s n a l ^ m t a a r e d u . i r n . o . s o s
T' Podemos dividir por 21 amboso s l o . . „ o s ^ ^ -
rosTor;r'^> ■mos pot n. e então, teremos
estudadas^ í^Plfcação da propriedade das frações jii
proporção, sĉ Doŝ dftrenî l/''̂ ^̂ qualquer lêrino de uiua- .-epresentaco na írorôĉ^̂eV̂cí:::̂.. °
Problema. Achar o valor de . na proporção
Uual ao procucj dos «v..produto dos meios por L ^"vidlndo ooutro f^rtreino. \es-ia r,.-í, c-Ntremo. teremos o
meios « 5 k 18 ^ 55?" ^ produto dos
t^-tr^mo íi. tei^mo.s ^ nr<mero pelode X. Escrevendo-se J SSf ÍL °
n a f o r m u l a a o l a d o e v ê
i)btf.m-se mais rãpidamente " cancelamento,
i i . * » D ü ) . o m e s m o r e s u l t a d o .
9
y
9
T
i s
Z '
I S
X —
3 X
1 4
T
X
T
J í f X 5
Problema^ Achur o valor do ^or de X na proporção
Solução. O t-êrmo requefrido é n»v, r
multinJicando os dois extremos 14 ^ n
14XB ' ' 'o produto por 7. teremos —cancelando â ora ,
os números 7 e 14, teremos como resultado íXE^rio »
q u e 6 o v a l o r d e x .
Regra. Pr,n « acAj,r nm dos ■crtrcmos, mn/í/p/ícam-sEmeios c dwide-se o produto pelo outro extremo
î pcirn fic fichuv nmdos meios, muliiplicam-̂ e os cxtrê ''̂ ^e aivfa^-se t? produto pelo outro meio.
f ^ l O
o f
— l O â —
J2*crcfcio de opIicnçSft. Achoj- o vaLoir de x nas segulntea proporções;
1 2 ; 4 S ; : 1 6 : x
1 8 : 2 4 : : x : 4 0
25:x : :35:42
= 1 1 ®
7 3 4 0
i = i.
a X
XMi
- 2 - = «
í ~ t í r
4^?=, 2 4T b — - T T -
R e s p o s t a s
X = 64
x = 30
£ = 3 0
X=^64^
X=:5§
as = 49
x = 5 4
R e s p o s t a s
9. - f = ^5 * £ = 5 6
10
11.
1 a
I T _ T
j - X = ^
x = 3 3 6
12. 1 2N 3 0 _ 2 4 04 4 - 1 £ = ?
13 Q . 1 2 0 O . S O
0 . 6 u »
x = ?
14
X U
6 i " l , 9
r = ?
16 2 0 0 R O O0 0 0 - £ = ?
16. Í 4 + 4 a 2* 3 0 £ = ?
Grandezas proporcionais
n ^ 6 0 .Qo ehQopb""' 1 '̂z-se que duas grandezas suo proporcionais quan-
correspondem de modo tal que niultrpl'icrancfo-se iriiia
Dona de uma delas por um número, a quantidade corres-da outra fica niuUipIíeada ou dividida pelo' mesmo
®eon̂ ? primeiro caso a proporcionalidade se chama direta e no
cioiin-' ^^^crsa; as grandezas se dizem diretamente propor-
htii'i inversamente proporcionais. Também se diz ([tie
cjQ^ , fs grandezas é diretamente (ou inversamente) propor-^à outra.
S5o Í̂ ® p̂los; I) os preços de uma mercadoria vendida a peso
ciio«^^®^3niente proporcionais aos pesos. Assim, se Ikg de caCé
Ciigi 9,00, 2kg custam 2 vêzes luais ou Cr§ 18,00; 3kg3 vêzes mais ou Cr§ 27,00 e assim por diante.
quantidades de inercadorm que se podem adquirir
Prçp importância fixa são inversamente proporcionais aos
«a mercador ia .
lO^QQ^^Ponhainos que temos livros qu.e custam Crs 5,00, CrS
15,00.. Com a quantia de CrS GQ.OQ podemos
12 l ivros de CrS 5,00
6 livros de Crè 10,00
4 livros de Cré 15,00
° . = ? q u a n t i d a d e d e l i v r o svidia por 2; quando o preço triplicou (de Cr$ 5,00 para
— 1 0 - í —
Cr§ 15,00) a quantidade de livros ficou dividida por 3 (dc 12
passou a 4).
161i A denominação dada a essas grandezas proveio do
falo de podermos escrever:
No exemplo 1 a proporção
No exemplo II a proporção
2 1 8
3
1 2
2 7
10,00
5,00~Nole-se que no 1,® caso a razão de duas quantidades de
uma grandeza (peso) é igual à razão das quantidades corres
pondentes da outra grandeza (preço); ao passo que no 2.'» caso.
invpíc"® quantidades de líma grandeza é igual àn\ersa das quantidades correspondentes da outra grandeza.
Regra de três
I' Quanto custam Glvg dc café, sabendo-
se que 4kg custam Cr$ 36,00 ?
flo rp^líi?resolvemos o problema o cíiaineinos^são nrnnní^- ^ ° Café. CoillO OSmos escíeíeí (número de quilogranuis), pode
4 3 6 , 0 0
G
isto é,.a razão de dois pesos de café é igual á razão dos
c o r r e s p o n d e n t e s . ^Basta, agora, calcular o valor de x na proporção acim"í
X =
6 X 36.00
— = 5 4 , 0 0
163. O problema que acabamos de resolver é tiin
ma de Regra de tres. Quando as grandezas que nele entrou
são Jirelamente proporcionais como neste caso a regra de trt
c chainnda d i rc ia
164. Problema II. Com o dinheiro que possuía comp'
18 metros de um tecido de CrS 5,00 o metro. Quantos ,ja
cie outro tecido de Cr§ 15,00 poderia ter comprado com o
dinheiro ?
— 1 0 5 —
Sabemos que o número de metros que podemos comprar
com certa quantia é inversamente proporcional ao preço de
cada metro, porque quando o preço do metro dobra o número
de metros fica dividido por 2, quaiído o preço triplica o número
dc metros fica dividido por 3, etc.
Mas, então, (veja n.o 161) a razão entre os pesos é igual à
razão inversa dos preços correspondentes e podemos escrever
5 X
i : , ^ 1 8
donde t i ramos
5 X 1 8
a : =
1 5
= C
5,00
15.00
18 m
X
X
1 5 1 8
o : = 6
Ncslc prolileina lemos um exemplo cie reqrn dc Ires innersa.
1G4. Observação. i\a piãlicu c IV.cil dislinguii-se cpumcloa regivu dc Irís ã dircla ou inversa. Na regra d.reUa as quanti
dadê de u. a .' -audeza crescem ou decrescem, conforme cresceu, o, clèé es«',n as quanlidades da onlra: na regra inversaas quanliilades da grandeza procurada crescem ou decrescem
eonforme decrescem ou crescem as da giandc/a dada.
lee. nilétodo de redução à unidade. Cis piol)lemas_ dc■■egra de Irès podem ser resolvidos pelo inelodo de redução a
"nalade, que laimos aplicar ao pro ileimi do ,y (li : Quantoeiislam ük" de café, sabendo ipie 4k.g ciislam Crs db.OO ?
, Basta ̂ -aciocimir; Sc 4kg ciislaiii C.ri3«.00 cada quilogvaimi deve custar 4 vezes
^Ú-Mlos üU —3 6 . 0 0
36 ,00
custando 1 quilograma —
® Ííg custam 6 vêzcs mais ou
'̂">0 Ci-s 54,00.
30,00 XG
4kg
I k g
30,00
30,00
q u e
n i - c r _
30,00 X O
A
Apliquemos o mesmo método da redução à unidade noproblema II do n.o 16.2: Com o dinheiro que possuía coinnrci
metros de tecido dc Cr$ 5,00 o metro. Quantos inelros rín
tecido de Cr$ 15.00 poderia ler comprado com o dinheim
4 U C p o s s u í a 2 ^ " u t i r o
1
— 1 0 6 —
Se cada metro comprado ciislou Cr$ 5 00
a quantia lota] possnida era 18 vezes maior ou 5,00 X
5,w X Ifi. Se cada metro custa agora CrS 15,00,•o numero de metros qne se podem comprar =/u» y ig
desse_oiitro tecido é o qnocicnlc de õ,ÜO X i8 -
p o r I o , 0 0 o u g Q
ã,00 X 18
~1EM— = ®
Exercício de Aplicação — Resolver os seguintes problemasS
custnV 15̂ kĝ ''® -̂ '̂ R̂esTcrS 'Sí>"
devem C.S J
metros cie muro,'cinc exicn-Sc o larao iJ8 homens no mesmo tempo? Resp. 900 niclros.
cm ^lA homens fariam ocrta obra em 15 duis,cm qimntos dias 10 homens a fariam ? Resp- 27.
mens®nnJÍ™f calculou que sel-iam necessários 7J> h»*? alêr?rrir^ss ™ 2-" '^cndo j.reciso rjue
TCria T. ' '"S, quaulos truialJiadores i lC"P gíu para concluir neste tempo? Resp ílOO honien'"
Rua, â
p o r ™ t S t S I
custar" 13 kg"̂
O C a T o t , I ^ e s p . C r Soust ®" 8 metrosf ̂ '̂'S 75,00, quaulo dê
4 / 1 t u I ^ e s p . C r S 5 0 , U ü '10. Quantos homens poderão fazer mua obra em lOS dii»s.
saJ>endo-se que 108 homens a podem fazer cm 260? Resp.podem
Regra do três composta
167. Nos casos examinados, a grancleza procnrada de-
-pendia apenas de ui.na outra espécie de trande^a F
fj^üeníe, poréin, a grandeza procurada depender "de váriii '̂
podendo, neste c.asü, s,>r diretanaenle proporcionai a unias^
inversíuneiiie proporciomd a outras. -O prohIein.a se diz
de reffi-a de irês composta e se resolve fazendo'variai unia ^
J k
— 1 0 7 —
uma as diversas grandezas de que depende a gratkcteza pro-
c u r a d n d a
Problema. Se 8 homens serram 20 tábuas em ã dias,
quantas tábuas serrarão 32 homens cm 3 dias .
8 h o m e n s
1 2
5 d i a s
3 "
2 0 t á b u a s
X
Neste nroblcma o número de tábuas serradas depende donúmero de homens e do número de dias ̂em duas regras de três simples; para rsto
mente víiriar o número de homens núniero de
dias continua o mesmo; depois fai^cuios vaiia
Aplk,uemos o método de redução àem 5 dias serram 20 tábuas, 1 homem nos
2 0
rará 8 vezes menos ou —^ e ^ homens 5 dias 20 tábuas
2 012 homens serrarão 12 vèzcs
* 0 a i s d o q u e 1 h o m e m o u „ 5 » •
2 0 X 1 2 ®
—^ tábuas. Se 12 homens
2 0 X 1 2 , 1 2 " 5 " : r —5 dias serram —g—'
líuus, em 1 dia serrarão 5 vc-
2 0 X 1 2 1 2 " 1 "
^ c s m e n o s o u - - - ^
8 X 0
^ dias serrarão 3 vezes mais
que eni um só dia, isto e, 12 3
8
2 0 X 1 2
8"Xã
2 0 x 1 2 x 3
8 > ^ ~
20 X 12X3
8 X 5
= 1 8 t á b u a s
FALSA POSIÇÃO
168. A regra da falsa posição é lun processo arilmólico^0 qual se opera com um número suposto ou falso, para sé
o v e r d a d e i r o .A falsa posdçãO' é uma aDlicaçãQ curiosa da regra de três*
— í ( ) « —
Tinn ^'''^Siintando-se a inna profcsKÔra qual era o
fnnl-iiV íiJiHias, ela respondeu: Se cu livessc outras
Sft An-Ií tenho, e mais metade e a quarta i>arte, teria88. Qual era o numero das alunas?
S o l u ç ã o . X ü n i e r o f n l . s o T 2Oulro.<5 tnnto.s .V.!] ! ] ] ; 33 • 8S •• 1" • ®
í ^ r í L i s n i o t a d o . . . r d J . S i . . I - - ®A emana pane J ^^a^alunas.
T o t a l f a l s o 3 3
rem.fs^^iuiq'ui'^n^amero'^m positjão tomamos número falso «jA n ^ fazermos o cúlculo, e o chamnre-o u t r o s t n - t a . „ ' ° i s c j u n t a n d o a ê l eque chamaremos totnl falSo ̂ quarta parte, tcremo.s o total 3j.
probfemr"temo"s n". 12 e 33. c com o aümero 8S <íoachar o 'quarto térmr nnÁ"? ^ pode.nos íàcilnicnto
w w * 4 v a i « i U 4 \ j
Verificação. 32 + 32 + ic 4-8 = 8S.
" m m í m < . r o
d^ofTii ToTa, t, '«número faho qn^s^ onwu'e^t f"" '" "/ y"t se tomou esta para o número requerido.
vessJnô^rnrlk"';,.!!;!''!'"''' " S= '• """h'l
I)Oc]eria aoora i iml-n- •í i" o™s que j ; i pôs-linha " ■* Q"»nl"s ovos linha puslí, a g»;
a tèfea T'liuaafTsevt"''™".,de laran.jare''s«
" " ' " r ? ; ; n i ' ^ 0 r
qiiai-la pTrle, <lá 52 ? "«"'odacom a lerça
4 « S e u m ( f u n i d o , u j n r i i i í n i r i « i . * - , i » • i . » i / » r o. , ' ' q u i n t o e u m d é c i m o d e c e r t o n u n H i "fo.sem min,<Ios, a so,na se, ia ,íã. 0„al ú o n,i,L,a ' lU'sp.5. E,„ ,.„, a,-,;oza! voava,,, ,„„Ma, 'ü . e,-a„. 10«.
mas se a elas se juniassem o„l,-as t,pilas, „„ is .nela.lc e n
qunrlu pnrie do seu miincro e mais uma. seriam 100 Quul ern
O n u m e r o d a s p o m b a s ? K e s p - ^
Nota Xa falsa posição, quando, alfm tiaa partes alíquotas, se jun
tam tnnihfMii quantjdades conhecidas como 1, 2, 3 etc estas so têm
!?ubírair do total dado. Xo prohlenui acima, juríta-so l"pomba para
Cl número lüü coni])Ieto, mas nOs teremos de operar só com o total '"'■
que é a soma das partes alíquotas.
9 .
e
4 8 .
— 1 0 9
PORCENTAGEM
1ftq A expressão por ccnlo corresponde a ccnMsmios.
Assim, j por Jrnío cie u.na <p,anlidade c o Stcsimos dessa quanlidade Por exemi)lo: 3 por cento ae c 9
3
500,00 é o mesmo que -— de 500.00.
A expressão por cento se
8%, 12^0, etc. signiftcam 3 por cemo, /
c e n t o , e t c . • a c / H e * > 0 0 l a r a n j a s s ã o 1 0Pelo que ficou dito acima o % de _uu la j
l a r a n j a s . C o m e f e i t o ; ^ 2 0 0 X 5
5 % de 200 = cie 200 = 200 X - "TÕtP ^ ^
Neslo e.en,p,Ò'd,n,na-se principal às 200 hu-anjasi 5
'''"'E,.nolÍo=;i;S:;en,ír̂ Sa consideramos àsses Iràsele,„enlos. ^ porcentagem
é í i i S 6 V i u C J U ®
170. Pelo exemplo pcTndô o principal pela taxaSC obtêm a porcentagem mui ipl'canuo i
e dividindo o produto por idu.
Problema, Calcular 3 de /20.
V e m
3
3 7 2 0 X 3
3 S5 de 720 = de 720 - ̂ 20 X 1 0 0 1 0 0
= 21,6
uiTiiioar o principal pelaNa prática basta mu I casas decimais
taxa e no Produto separa ^
(veja n." 46), dando a disp
lado.
7 2 0
3 %
21,60
« nnrcenlaqem, miiUipUca-sc o prin
, Regra. Para o produto por ÍOO.< ^ > p o l p e l o t a x a , e p o , c o n t a , , ; = n s ,
Kxci-cíclo dc apUfilçao. Acnai
licspostaa
6 % d e 2 5 0 .2. 8% dê l'7õ!
3 , 8 % d c l l .
2 % d e 0 0 . ^5. 15% de CrS 360.00. Cr. 54.00
6 .
7 .
R e s p o s t a s
9 % d e 3 0 0 . ?
1 0 % d e I 8 Ü U . ?
S , 6% de Ore 400 .00 ?
9. 12^,; de Cr§ 1800,00 ?
10. 18% de CrS 500.00 ?
1 '
— 1 1 0 —
, ^ I'egra 6 a mesina quando a laxa c uma fração
íordm âa ou decimal) ou um número mislo, como.4 %i 0,/2 %, IJ- 2^ , 3,45 % 7,22 «"ó Bastaoperar com Ôsses números, aplicando as regras já estudadas.
l»Poblema. Quanto c 2^% de 120 ?
Mulüplicando 120 por 2| vem:
1 2 0 X 2 Í = 1 2 0 X — = ' - ^ 2 0
1 2 0
1 1
1320 I 4
1 2 3 3 0
0 0
i 4 3 3 0 ^ 1 0 0 = 3 , 3 0Dividindo 330 por 100, encontra-se 3,30, que é a solução.
Exercícios Uc apUcocão, Calcular aa „orcc„t,aucns..
I- If % de 100 2. 7i%aeisn 3. 4.6 de 2.ã0
4. 3 i % de 480 5. 5 ■ % 5,„ g_ de 880
Achar a taxa
172. Problema. O número 6 quantos por cento é de 120?
multfplicanrto a poícenUgem^ ̂ 'í pHnclpal; fi X 100
p r o d u t o p o r 1 2 0 . t e r e m o s a t a v a n n f o 5 fi• I i u o C ' o % . J 2 0
por 100, e diuide-7e ̂ ôodnlôpíi"̂^ " porccnlagem
Achar as segniintes taxaa:
1. Quantos por cento de 88 são 44 ? riO".
2. Quantos por cento de 15 são 3 ■' ..õ ■='„
3 . Q u a n t o s p o r c e n t o d o C r s f S n n ^ / n i -
M r \ t ^ O . ) , u u s a o C r . 5 9 n n ? " A Q %4. Quantos por cento de frc Q-m no -B. Quantos por cento de 100 suo'oor" I \ í
Achar o principal
173. Problema. 6 <Ie que núinero é 5%?
SoJnção. 6 é a porcentasem o 5 Va ,
pUeando a porcentasem por lOO, e dfvhníT'' 6X100duto pela taxa, aue ê 6, lere.nos o prilclpal'̂ iJor'""- "
— I l l —
n nriiidoal multiplica-se a porcen-
Resolver or spRUtntea pioblem^ . ^ Resp. 400.
1 . De que número , 28 sao ^^ " 180 .2. De que número. 4̂ ' 5 o'são 15f&?
3 . D c q u e q u a n t i a , C 1 5 . t > / , a u g g O .
4. De (pic número, 4 e ^ ^ Resp. 20.000,00.
5. De nuc ((uanliu. Cr» cVs 30,00, cpiantia que6. fm homem deu a um q„anto deisou a esta?
era üfá da que deixou a unn
JUKOS
174. pesso.a 4»»,/Tml ™rcomo'1«enfricT'ĉ̂ ^̂̂ ^̂
por ela, geralmente, um A ajutfuel do dinlieiro i
•de oulrcin para nela mora • porcentagem. (yue
O/Ss^de -iuros de porcentagem; mas, ^ capi ta l .• ° 7 " . » "
.. .S
. A q u a n t i a q u e o a l u . u ^ ^c o juro. .«] se emiu'csla o cl
O prazo durante o qua eálculos de juros, o a«o é con-í , obserrar que eios. e nesta suposição se
, Nota. fi ̂ eccssftrio obs«^^^ ̂ o®-tlei^tlo como tendo 3^ fvêile n-
<^ovejn fazer as opefuco^^-
flchar os juros
Oimis são os juros de CrS 360,00 a 5 %175. Problema. Q"'f t o a n o . d u r a n t e 3 a n o s ? s s o
r r S 1 8 , 0 0 c o n f o r m e
o , - c fr de Cr$ 360.00 siio3̂ nifrcnicmos eâ poviontĉ ̂ „uo asora estes juros
tào os juros .le I .M"' "' 3 unos, due suo CrÇ 5-1,00.nor 3, teremos os luros milltipIica-SC O capital
Regra . Para ",,.odido por 100, e o rcsuUmio muUipli-
pela laxa; dioidc-se o prv
c a - s e p e l o t e m p o . -
1 8 , 0 0
3 a n o a
5 1 , 0 0
— 1 1 2 —
agora o número de meses ou de ums pe ioseu respectivo .lurc, teremos o valor dessa fração de um ano. que í0
s o m a c o m a t i o s a n o s c o m p l e t o s
e • = " " " " " "
r -/ \\ -i"™® 317,50, em 1 mm e 4 meses a■ / w i - ■ R e s p . C . - , ? 2 5 , 4 0 .
o r . . . n r . d e C r - s 1 . 9 7 0 , 0 0 . c m õ a n o s a 9 ' . ó
' o ' o n n i c < s - • R c . S I ) . C r S S . S Ü . n O .18 dfãs, «""■O"' -'H, '
ano.̂ ' Achar os juros de CrS 700,00, em 4 míns, a' (i
9 diífs. aS'o %l?!o anoV"""
j fo ia Como ao t Rcsp. Ct -S 187,50.
a t o j i a o o c a p i t a l , n a m d e m o . s o m ú t o d o d e . - i c l i a f
ja-smia só darmos as fórmums.
Ju ros =
T a x a = -
capital X ta.xa x tempo
1 0 0
Juro.s X 100
capital X tempo
Te m p o =
Capital = •
j u r o s X 1 0 0
c a p i t a l X t a x a
juro.s X 100
l i i . x a X t o i n i > ü
abatimento e desconto
quer motivn. o vemícdór^rarcn/^' que. por qiKiI-
abulunenio. Assim, os que comnr ^ comprador, chaiiio-saisto é, por atacado, '̂ ozím de almí'" íí'':>"'Ics quantidades
mente em forma de porcenla«cni ^
As quantias devidas e ano J.t«
cada íTinlíéni sofrem abalinienlo' íinles da data niai-
d e s c o n i n . ' ' í " * " c a s o , s e c l u i n u
ficm-r?"'"®'"''' 8 % en. c-,? 4.30,00, q..c qc.antin
Soineâo. S % de CrS 4ã0.00 são CrÇ 36 00
QUO 6 a ptucentagem que se tem de descontar'
Ora, do Cr.? 450,Oü .subtraindo-se Cr? 36.00
r e s t a m C r ? 4 1 4 , 0 0 . '
4 0 0 , 0 0 C r ? 4 5 0 , 0 0
8 % CrS 00,01)
• 3 0 , 0 0 C r ? 4 1 4 , 0 0
Regra..Pa/-fl descontar uma divida acha-se a porcentagem
Ida quantia mencionada, e desta subtrai-se a porcentagem
a c h a d a .
— 1 1 3 —
1. Quanto se tem de receber de uma letra de Cr$ 850,00
que vai sofrer u desconto de O ? Resp. Cr$ 799,00.
2. Comjirei Cr.? 750,00 de gêneros, e, fazendo logo o pa
gamento, abalcram-mc 12 Vo, quanto paguei ? Resp. Cr$ 600,00.
3. Comprei 2 caixões contendo 450 diizin.s dc ovos, mas
e.stando alguns quebrados, fizernm-nie um alialimento de 14 %,
q u a n t a s d ú z i a s p a g u e i ? R e s p . 3 8 7 .
4. Oe Cr.? 800,00 menos 8 Ct, subtraindo Cr§ 600,00 iiic-
D ü s 7 % , q u a n t a r e s t a ? R e s p . C r . ? 1 7 8 , 0 0 .
D I V I S Ã O E M PA R T E S P R O P O R C I O N A I S
177. .íá tratamos, no n.® 37. da divisão em parte.s iguais,
»)qui trataremos sòinentc da divi.sno cm parles proporcionais.
Problema. Dividir Cr? 140.00 em três parles proporciü-
a 3, 5 c 0.
S o l u ç ã o . . S o m a n d o 3 . 5 e G a c h a m o s 1 4 . P r o c e s s o
l^niDo uma. das parles 6 de Cr? 140,00. a
e 'I out,..a tSTT. Ora. ."j de CrS ""'Jilr!'!.
'■•«.oo B.ao c-s 30,00. /t o4o C.S r,o,oo e A V''"'
C , . . 5 ( v O d e A d o l . , 0 , 0 0 = 0 0 , 0 0
Regra. Para se dividir uma quantidade em /juries propor-
^mnriiji a diversos números, formam-se tantas frações quantosforci}} estes núniero.v, tendo cada fraç<io como dc.nominador a
ĵuna dos números c um destes como numcrador. Calculam-se.^̂ 'fmis, as frações da quantidade a dividir.
1* Dividir o niiincro 78 em jjarles proporcionais a 3, 4 c 6.
Resp. 18. 24 e 36.
« 2, Di^•klir o iiúincro 200 cni parles proporcionaisa 4. a,® c 1 0 . R e s p . 3 2 , 4 0 , 4 8 e 8 0 .
3- Dividir o número 130 cm parles proporcionais a^, ^ e
•Solução, As fraçõe.s 4. -í e 4- vedu:-:idas ao mínimo denominador
são ,"v, I'.T c v'It-então, o número 130 podo .ser dividido na vazão
'iuiner!idfires~6. 4'è 3.
-ioào e Pedro fizeram certo negócio e ganharam Crü$
Crç «lí -fono entrado com Cr.? 60,00 c Pedro coro80,00, quanto deve receber de lucro cada iwn ?
âos Sendo GO,00 e 80,00 divisíveis por 20,00 podem ser redtvl-
de ^ ° ® ° lucro dividido em partes proporcionais 3 e 4. Então ^•̂ *■1 2l0.ooo=:CrS 00,00 e 4 de Cr? 210.00 = Cr$ 120.00. ' ̂
r
— 1 1 4 —
M É D I A A R I T M É T I C A
178. Há diversas espécies de média, mas. Ui Iralaremos
aqui da média ar i tmét ica.
Problema. Qual é a média arilmélica de 4, 9, 12 e 15 ?
S o l i t ^ D . A s o m a d o s n ú m e r o s é 4 0 , e 4 + 0 x 1 2 4 - 1 0
^es são 4; dividindo agora aquela soma, —
p o r 4 t e r e m o s 4 0 - r - 4 = 1 0 . P o r t a n t o 1 0 6 a 4
méd ia a i * l tmé t i ca de 4 , 9 , 12 e 15 .
■Regra, Vara se achar a média arilmética dc duas ou
quantidades, divide-se a soma dessas quantidades pelo uiuu•TC delas; o quocitnie será a média aritmética.
01. Qual é a média arilmélica de 4, 6, 10 c 12 ? Rcsp.
- ~ - 5 ( 5 ,
guiiit®
2. Qual c a média aritmética de 45. 50, 54, GÜ, Ü2 e G5? "
3. Qual c a média arilmética de ^ e ^ ?
4. Durante o més passado, o preço do café variou do
modo: Cr$ 7,80, Cr§ 8,GO, Cr§ 9,40, e Ci-§ 9.20; qual fo»
p r e ç o i m w i i n í l r » n r i f . ó 9 R e s p .
M I S T U R A E L i a A
78- É comum, no comercio, misturarem-sc uiercado *
da mcsnía espetíe mas dc preços diferentes para vender a u
ura a uiu preço único ciíamado preço médio. q.
198. Liga é o resultado du combicuicão de diversos ^
t a i s p o r m e i o d a f u s à o . ' ^
Os problemas dc luisiura e de resolvem-se do
m o d o . "
Problema. Comprei 5 kg de chá a Crí5 4.50 «if „„
compre, ,na.s 4 kg a &•$ 6,00, e co.aprei ainda 6 kíí a Cr?imstm-ando lodo este chá. a como cada kg d"
í '
Solução. O número de kg do ch<a mis-
turado é Ia e o insporte dos 15 kg é
Cr$ 76,50; «liridindo esta quanüa por lã" te
remos Cr? 5,30, preço do cada kg da mia-
t u r a .
76,50 + 15 = 5,30
5 X 4,50
4 X G.UO
C 4- 5,00
15 Ug custiu-iUií
■de
Regra. Para se achar o preço médio da
importe total da mistura pelo mimero dc unidades niisi
•se
— 1 1 5 —
-ri rtorrnflQ dc vlubo dC CUStO1 . U m n e g o c i a a t c c u s t o d e C r $ 5 . 2 0 : v
íe Cr$ 4,00 a garruta, » Rcsp. Cr$ 4,50.
como lhe ricou cada garrafa ícsta ims ,„,,i„,enle por
2. Um negociante comprou -O litros dc água;Cr.S 2,5,00 e, pnr%er nn.ito forte, ""s nro„-the^ que preço ficou cada Ütro da nu • . (je co-
*3.' O-lalão oblém-.se li.gando 3 kg. de 2,00,
bre. Custando o cobre CrS 3,90 cada W-,
qual será o preço de ca(la_ kg. \hnrril de aguardente
4. Em uma disltlaçao, segundo tinha 2G; o
que saiu do al.ambiuuc, linha 30 J^raus, p aguardente reu-
terceiro, ÜU, e o quarto, iS. "cou ela? Uesp. 24.hida em uinn pipa, com quantos o ' '
C Â M B I O
Ir, i.,to ouer dizer o modo dc- 180. Câmbio, cm seu «cntulo lato, ]fuzec pagameuLos em lugares dislanlcs. por m
^ ^ d e n s . , . . - f o n V fi c a a t r o c a d e d i -
C â m b i o , e m s e u n a ç ã o .*̂ h.eiru dc uma nação pm* dinheiro, de outra n .
Câmbio sâbre a França-
. , 181. A unidade monetária
'̂ anco que se divide em 100 cen
I m e r c n -
dr> • como varia o preço das *assim varia laiuhém o preço dasuoedas estrangeiras.
j. O número de centavos que . guneo indica a taxa do càmbior
J^aiubio sobre a França estiver a d.OO' ̂ bter em moedadn^i dizer que, por cada franco nossa moeda,letras, tercnios de pagar 60 centâ os da n
r . c i n r U ^ á f r o i i c o s , a o c a m b i o'rl« ̂ '̂ eoblema. Quanta devem custar 1.^e 0,60 ?
. RoluoSo Custand«5 um franco CrS t-5 ^ ^ 75.00
. '^"cns devem custar 0.60 X 125 = 7o.0«-
_ F r n n c o s 0 0 c á m b i o d e 0 , 6 0 .
Problema- Reduzir Cr? 7o.00 a francos
Custando um franco Cr$ q*" 75.00 H- O.GO = 125laem.ye 75,00 por O.CO, e obtém-se o nuuieio
francos, que é 125.
— l i e — — 1 1 7 —
Regra. Para se reduzir francos a moeda brasileira, muUi'
plica-se o valor de um franco pelo número de francos.
E para se reduzir moeda brasileira a francos, divide-se a
importância em moeda brasileira pelo valor de um franco.
1. Em qiinnlo importam 150 francos, ao câiiil)io cie 0,4(1?
Rosp CrS 00,00-2. Reduzir 400 francos a moeda brasileira, no cânibiC' dc
0 , 7 0 . R c v : i - . . C r $ 2 8 0 . 0 0 .
3. Reduzir Cr$ 1.000,00 a francos, no cànd)íc dc 0,50.
Rerp. 2000 fr.-mcos.4. Reduzir Cr.$ 1.800,00 a francos, ao càmído df 0,30.
Resp. 5000 frsiicoS;5. Quanto valem 185 francos, ao câml.-io de 0,80? Res]). •
6. Redu/ir CrS 328,00 a francos, ao câmbio de 0,82. Rcísp ?
Câmbio sobre a Inglaterra
182. Já vimos no n.» 142 que a unidade monetária in
glesa é a libra esterlina e já estudamos a sua divisão.
O número de pence que vale um cruzeiro brasileiro, in
dica a altura ou a taxa do câmbio sôijre a Inglaterra. Se ocambio estiver a 25, isto quer dizer que o nosso cruzeiro vale
25 pence; se estiver a 24 4-, quer dizer que o nosso cruzeiro
vale 24 pence e meio, etc»'
^ 183. Problema. Reduzir Cr§ 840,00 a moeda inglesa, aoc a m b i o d e 5 d .
Solnção. Se um cruzeiro vale 5 penceS-10 cruzeiros valem 840 X 5 = 4200 pence.'
Ora, reduzindo estes pence a shillings te- cruzeiros
mos 4200 ^ 12 = 350 shillings, e reduzindo «
c.stes shillings a libras, temos 350-j-20 = 17
libras e 10 shillings que 6 a quantia em ^200
moeda inglesa correspondente aos 840 cru
z e i r o . ' ' .
E m l u g a r d e C r | 8 4 0 , 0 0 e s c r e v e r e m o s
8 4 0 c r u z e i r o s p a r a m a i s f á c i l c o m p r e e n s ã o
d o c ã l c u l o .
Regra. Para .se reduzir moeda brasileira a moeda inglesa,
multiplica-se. o número dc cruzeiros pela taxa do câmbio, e re-
duz-se o produto, que é o número de pence, a shillings c libras.
4200 4-12= 3n0
3 5 0
1 5 0
2 0
17 lil>r!i9
1 0 s l u l l i i i S ^
R e d u z i r a s i j e g u i n t e s q u a n t i a s a m o e d a i n g l ê a a i
1 . Ci-S 2 . 0 0 0 . 0 0 , a o c â m b i o d e 0 .
2 . C r $ C . 0 0 0 , 0 0 , a o c â m b i o d e 5 .
3 . Cr§ 2 . 0 0 0 , 0 0 , a o c â m b i o d e 6 .
4 . Cr$ 4 . 0 0 0 , 0 0 , a o c â m b i o d e 3 .
6 . C r S 1 . 8 0 0 , 0 0 . a o c â m b i o d e 4 .
Resp. £ ''2
£ 12»
£ 05
£ 5 0
£ 3 0
2 0 X 2 0 + 11 = 4 11
4 11 X 1 2 + 0 = 4 0 4 1
4341 4- 27 = 183 cruzeiros
184. Passemos agora a reduzir moeda inglesa, isto c, li
bras, shillings c pence a moeda brasileira.
Problema. Quanto valem no Brasil £ 20, 11 shillings e 9
pence, ao câmliio de 27 ?
.SoliK.-ão. 20 libras, 11 shillings e 3
hence, roiluzido.s a pence, são 4041 pence.
Va l e n d o c a d a c r u z e i r o 2 7 p e n c e , d i v i d e -
KO -Uill i)(.ir 27 e ohUun-.se o número de
cruzeiros, (jue C 183, isto 6, CrS 183.00.
Regra, Para sc reduzir moeda inglesa a moeda brasileira,reduz-sc a moeda inglesa a pence, c o número destes
pela ta.xa do câmbio, dará o número de cruzeiros requerido,
CrttsoToo'!
•■'Rr;.'a'TÍÒ!o?:• a o c a m b i o d c 5 . ^
185, Para acharmos o valor da o%nlof da
'^>0, dividiremos 2iO pela taxa e o exemplos-
em nossa moeda, como vemos nos seguintes exemi s.
(
d . " )
2 4 0
2 5
= 4 8 , 0 0
<2.")
2 4 0
6 ~
= 4 0 , 0 0
(3.°)
2 4 0
1 2
= 2 0 , 0 0
, „ « . , v n d e c a m b i o 5 , o v a l o r d a l i b r a é
jo r. ]>rimeiro exemplo, sendo . ina-i é 40,00; no terceiro, sendo,io segundo, sendo G, o valor da l»bia e, -iy.cv,o seu valor é 20.00- ^ valor da libra em outra taxa
E o m e s m o m o d o p o d e m o s a t i u n
Q u a l q u e r.
Câmbio sôbre Portugal
189. Antigamente o dinheiro brasileiro e o português ti-
^íinm a mesma denominação e as mesinas unidades (real, mil-
e conto dc réis); mas como as mocaas portuguesas de ouro,
}u*iila c cobre tinham o dobro do tamanho das moedas hrasi-
tinljam também o dobro do valor. Assim, uma moeda
bortugiiesa de ouro de lO^OOO era igual as nossas moedas de^O.CiOüü, c por isso 1008000 em moeda portuguesacorrespon-
exatamente a 20DS000 em moeda brasileira. Para se ex
primir esta diferença, dava-se ao dinheiro português o nome de
^ ' foeda. for te .
I
l i s —
A t u a l m e n t e a u n i d a d e d e m o e d a b r a s i l e i r a é o c r u z e i r o e
a de moeda porlugiiesa é o escudo, ambos divididos em 100
çGntavos. A taxa do câmbio sobre Portugal c dada pelo nú
mero, ou fração de cruzeims, ([ue se precisa dar por uni escudo. Por exemplo: si por um escudo se deve dar Cr§ 0,90
diz-se que 0,90 c a taxa do câmbio sòbre Portugal.
No câmbio com a Inglatenvi, o Brasil dd .sempre o certo, que 6 o
cruzeiro e a Inglaterra dá o inceito, que é G, 10. 27, etc poncc poi"
zeiro; e quuVao mais aito estiver o aâmbio, tanto mai.s bom pago sera o
nosso cruzeiro em moeda inglesa. Nt, câmbio com a Franqa e Portugal
dá-ae ao contrário. A França dá .scntore o jorto, que é o tranco, c o
Brasil dá o Incerto que O um número varÍâ.'ol do centavos polo franco,
e quanto mais alto estiver o câmbio, tanto niais caro nos custará o franco.
O mesmo acontece com Portugal que nos. dá sempre um escudo por uma
q u a n t i d a d e v a r i á v e l d e c e n t a v o s .
Problema. A quanto correspondem em nossa moeda 1.2*50
escudos, ao câmbio de 0,70 ?
S o l n ç ã o . M u l t i p l i c a n d o o n ú m e r o d e e s
cudos que é 1 .28Q, pe la ta .xa , temos Cr$ 806 ,00 ,
q u a n t i a e s t a c o r r e s p o n d e n t e a 1 . 2 8 0 e s c u d o s . 1280 X 0,70 = 895,00
Problema. Reduzir CrS 2.109,90 a moeda portuguesa ao
c u i u b i o d e 0 , 6 5 .
2109.90 ^
Solnção. Dividindo a quantia dada por 0,65
t e m o s 3 2 4 G e s c u d o s . 0 , 6 5
oed^tRegra. Para se reduzir moeda portiignesn à nossa u"miilliplica-se o número de escudos pela iaxo. //ipi-
E para se reduzir a nossa moeda à moeda
de~se a quantia em cruzeiros pela taxa do câmbio sôbrc d
1. Reduzir 780 escudos, ao câmbio de 0,40. oioOO
Resp. Cr$ '
1 O z ^ *2. Reduzir 850 escudos à nossa moeda ao câinÍ)io dc '"qq
Resp. Cr$ 4
3 . Reduzir 1.200 escudos a nossa moeda ao câmbio ' •? ,
Rc&P*
4. Tendo de pagar em Lisboa 1.325,65 escudos,
o câmbio a 0,60, quanto tenho de pagar em nossa óesp. ̂
perfazer aquela quantia ?
5. Reduzir Cr.5 1.750,00 a moeda portugiiesíi» ao ?
de 0,61. A
— 1 1 9 —
Câmbio sobre os Estados Unidos
1 S 7 . O c â m b i o s ò b r e o s E s t a
dos l.'nídos opera-se do mesmo modo
que o câmbio sòbre a França.
A u n i d a d e m o n e t á r i a d o s E s t a
dos Unidos é o dbUnr, que sc divide
em 100 cents. A paJatTa dollar pro
nuncia-se dólar, c o plural é dollars.
As grandes fortunas são avalia
das em milhares ou milhões de dol
lars, como duzentos mil dollars, trcs
milhões de dollars, etc.
Para reduzirmos qualquer número de dol
lars a moeda brasileira ou vice-versa, seguire
mos o mesmo processo que seguimos em re
lação ao franco.
Problema. Era quanto imporiam 250 dol
lars ao câmbio de 18,30 ?
Solução. Sendo o valor de um dollar 18,30, mulUpli-^a-se êstc valor pfo número de doiliira, que é , e
Pi'oduto dá o sou importe, que é Cr$ 4575,00.
Para se reduzir a nossa moeda a doll̂ s, di%ide se a
Quantia na noss.a moeda pelo valor de um dollar.
1. Em qunnto importam 330 dollars.
2. Reduzir Cr? 4.575.00 a dollares, ao câmbio dê18.30.
Nou.. rara mais amplo conhecimento do camhio, vede a nosea .Vrlt-
®tóiico Bivgressiva.
QXTADRADOS E C0BOS
18& o produlo de dois ou mais fatores igoais chama-se
p o t ê n c i a . A s s i m ,
5 X 5 X 5 X 5
é uma potência de 5. O número que serve de fator ó a base da
potência; o número de fatores e o grau da polcncm.
189 Indica-se uma potência escrevcndo-se à direita da
base e um pouco acima, em algarismos menores, um mimero
igual ao grau da potência. Êsle último número é o expoente.
1 8 , 3 0
2 5 0
9 1 5
3 6 6
4 5 7 5 . 0 0
— 1 2 0 —
Por exemplo í
62 lê-se: scfjunda potência de G e eqüivale n OXC;
02 lêsse: terceira potência de 6 e eqüivale a GX^XC;
6^ iè-se: quarta potência de 6 e eqüivale a OXOX^XO;
6'' lê-se: quinta potência de C e eqüivale a üXOXOXGXli*
190. A segunda iiolência de um número chama-se qnn-
arado desse número; assim, o quadrado de 2 é 4, porqiio
2X2 = 4; o quadrado de 5 é 25, porque 5X5 = 25.
191ii A terceira polèiicia de inn número chama-se cuho
desse numero; assim, o cubo de li é 27, porcrue 3 X3 X 3 = 27;
o cubo de 5 é 125, porque 5X5X5 = 125.
192. Os quadrados e cubos dos 10 primeiros números são
os seguintes:
N ú m e r o s :
Q u a d r a d o s :
C u b o s :
I . 2 , 3 , 4 . . 5 , G . 7 , 8 , O , 1 0
1. 4, 9, 10, 25. 30, 49, 04, 81, lOO
1. 8, 27, 04, 125. 210. 343, 512, 729, 1000
q u e
é o n
Problema. Qual é o quadrado de 13?
Solução. Multiplicaremos 13 por 13. e teremos lüO,
6 o f j i i a d r a d o d e 1 3 .
Problema. Qual é o cubo de 4 ?
^ ^ t e r e m o s 1 6 . q u efiuadiado de 4. Depois mulliplicavcmns 16 por 4, e
a i 0 3 C 4 , C i u e e o C l l i ) n n n I . ' . • • n / , 1 I _
13X13 = 1'^''
C U «lu.uuauo UG .1. ijepois mulliplicavcmns 16 por 4 -
teremos 04. que é o cubo ou terceira potência de 4.
Exercício de aplicação. Calcular as seguimos potências:
4 X 4 X 4 = C
1. O quadrado de 25. Resp. 025
2. O quadrado de 101. " ?
3. O quadrado de 333. " ?
4 . O c u b o d e 1 8 . " ^
5 . O v a l o r d e 2 1 3 . « ^
6. O valor de 252. Resp
7. O valor de 302.
8. O valor de 4 2-^
9. O valor de ãO-t.
10. O valor de 852,
.15625
o
1 9 3
RAIZ QUADRADA E RAIZ CÚBICA
!■ Rãiz quadra.dâ de um número c o número que, intil*
íiplicado por si reproduz o número dado. Assim, a raiz q"ti-
di-ada de 25 é 5, porque 5 X 5 = 25; a raiz quadrada de 30 é 6,
porque ü XO = 30. De sorte que 36 é o qiuuirado de 6, e 6 é araiz quadrada de 36; do mesmo modo 25 é o quadrado de 5*
B 5 é a raiz quadrada de 25.
121
RaíT cúbica de um número é o número que ele\ado aocubo reproduz o número dudo " s'll's "
porque 2̂ = 8; a raiz cúbica de l2o e 5, porque
194, Sinal radical é o símbolo ̂ St̂ â ir dô̂ ê waiz
bre um número, para mostrar que s
i n d i c a d a . A s s i m : , , j i c
^MíT oil simplesmente V 16 Ic-sc: a laiz qua la
lê-se: a raiz cúbica de 27.
Extração da raiz quadrada
195. Extrair.a raiz númeío Lüo!" °
número que, multiplicado poi , 1
Nota. O método de «'̂ tralr as ra^
sstorfcoruío murtr-com «rnnuo P.OVOHO no çnshm encont.nUo
das raízes quadrada c ca ^
cni nossa Aritmética 1'rogres
Problema. Qual 6 » -iz quadrada d̂̂ 570
Solução. Decompondo o "úmeiji ̂ 5̂ '
primos, segundo a ^^sra e. P ^ gates ^'^toies eí-es 2, 2. 2T 2. 2. 2. 3 e 3. I^crev^n continuada de um
a o s p a r e s e f a z e n d o n m t e m o s 2 4 , q u e
f a t o r d o c a d a p a r . c o m o
r a i z m i a d r a d a d e B 7 6 .
_ 9 2 . ®
1'X2'X2'X3 = 24
E7G 1 <>
2 8 8 2
1 4 4 2
7 2 2
3 G 2* 18
2
n 1 3
R 3
1
^ Q j-fiiz quadrada de nin quadrado
R e g r a . n ú m e r o c m s e u s f a t o r e s p r i m o s ;
perfeito, decompac-sc pares c o produto continuado
dispõem-sc os f (dor j ^ quadrada,de um fator de cada pai
^ i i ^ n r 4 í o E x t r a i r a r a i z q u a d r a d a d o s s e g u i n t e s n ú »
Exercício de npuc ç*
m e r o s :
V 1441 .
2. ^,fWõ
3 .
4 .
V 324
V 625
Resp. 12
1 5
" 1 8
» 2 5
5 .
6 .
7 .
8 .
V 250
V 196
Resp.
V 729
V 1 4 4 4
( 2 2
Extração da raU cúbica dos cubos perfeitos
195. A extração da raiz cúbica, por meio da faloração,
opera-se do seguinte modo;
Prob iema. Qual é n ra iz cúb ica de 1728 ?
S o l u ç ã o . D e c o m p o n d o o n ú m e r o 1 7 2 $ e m s e u s f a t o r e s
pr imos, temos nove fa tores.
I n s c r e v e n d o o s f a t o r e s i g u a i s c n i g r u p o s d e t r ê . s c d e
pois multiplicando entre si um fator de cada grupo, temos
2 . 2 , 3 .
V 1 7 2 8 = 2 X 2 X 3 = 1 3
1 7 2 3
8 3 4
4 3 2
2 1 6
l Ü S
5 1
2 7
9
3
1
Regra. Para se c.vlrair a raiz cúbica de um cabo perfeito,
K^ccompõem-sc êssc número cm seus fatures primos; dispõem-se os fatures iguais em grupos de três e o produto continuado
de um fator de cada grupo será a raiz cúbica.
; Exercício (Ic aplicação. Extrair a raiz cúbica dos seguintes números.
Resp. ?1. ^ 4 0 9 6 Resp. 1 0 6. V 15Ü25
2 '{/5882 1 » 1 8 7. V 297^JÍ
3 V 2 7 0 0 0 n 3 0 » V 35937
4 \ / 13824 n 7 3. V 46656
6 '{/ 3375 n 9 13. ^ 103823
P R O B L E M A S G R A D U A D O S
Obscrração. Em cada grupo que se segue damos um problema re-
Golvido, seguido de outros problemas semelhantes paxa oa alunos reso •
v e r e m p e l o m e s m o s i s t e m a .
Escreveremos dois tCrgos, S têrçoa, e 2/3, o o mesmo com outras fra-
cQee. para os alunos se familiariz.irem, com os divorsoa modos do cxprlmií
n a e s c r i t a a s p a r t e s d e u m a u n i d a d e .
No problema em Que houver alguma dificuldade, daremos um auxíH^^
d e i x a n d o a o a l u n o o r e s t o d a s o l u ç ã o .
1. Problema. Custando 4 kg. de café CrÇ 32,00, quanto
devem custar 6 kg. ?
solução. 4 KU- custando Cr$ 32,00, 1 kij. deve custar "
dr <:»•$ 32*00 que é 32.00-̂ 4 = 8,00, e 6 hg. devem ousíar O vôzea 8,00, ffitc
êào Ci ' í 48,00, .
— 1 2 3 —
a c ' ' 7 R e s p . ?
vem rn.i. ' morim custam Cr® 11,20. quanto de-* f n i c u s t í i r 3 o m e t r o s ? ^ l i e s p 2
íri-,. ̂ 1 custam 30 kg de açiicar refinado, sabendo-seíjwc y Jcg. custam Crs 22,50 ? Resp. ?
6. Se mn viajante anda 35 luu cm 3 horas, em 30 horas
( j u a n í ü s J í j i i a n d a r á ? R e s p ?
7. Quanto custam 32 garrafas de vinho, sabendo-se oue
5 g a r r a f a s c u s t a m C r § 4 7 , 5 0 ? -
8. Um automóvel percorreu I28km de estrada em 4 b"n'
homens cartonaram 6.000 livrosQ anlos Ini-üS cartonarao. no inesino teiuiio, 3õ homens ?
Resp. ?
11
^5 homens Tazem um muro em 40 dias, 24 ho-
"íens om quantos dias o farão 7
/oír»(ío o muro cm 40 dias, 1 homem vofJerá
WiCíjq «nji mator, isto é, em 40 X 15 = 600 dias- e S4 ho^"ícns poderão jasô-lo em C00-í-24 = 25 dias.
em .frn.nm ̂ """ trabalho em 12 dias, 3 homensni ( juantos dias o faraó ? Resp 10
12 dh.\ 12 homens colher o cate de uma fazenda eui^ uias, y homens cm cjuanlos dias o poderão colher? Resp ?
homens podem abrh um canal em 25 dias. 10mens em quantos dias o i»oderão abrir ? R p̂ ?
poderia cons-
mas icnH ^ SC trabalhassem nela 15 operários-
d e v e V i a « P ^ d r i o s
« _ 1 7 j * . s R e s p . ?
partimenhíl' d puderam forrar todos os com-
Resp. jf
— 1 2 4 —
I I I
5
m e s e s
® salário de 3 homens em 5 dias é CpS 600,00,
quanto deve ser o salário de 4 homens em 7 dias ?
o s a l á r i o à e i 7 i o m « . , 2 0 0 , 0 0 - 5 - f , - 4 0 . 0 0 . R n t á o ,380,00 X-4=: 1 120,00, isto é. CrÇ^̂ m.oo ̂ ~ ®
devem gastam Cr.? 720,00 em S dias, quantodevem gastai 5 pessoas em 12 dias ? Resp. Cr.? 900.00.
8 dias onnntnc n P^dein levantar 12 metros de parede em8 d as. quantos metros poderão levantar 5 homens em 3 dias ?
a u a n l ô s " l i ' h o e m l í X s ;quamos htros 5 cava os comerão em 9 dias ? Rcsp. ?
s" miantn ííiíf^oí?-- ' c ^asta Cr? 4.000,00 em 5' a uma família de 11 pessoas, em 8 meses?
I o . f . , • " " - s l p i s :
,o..4l."':i;rs. fs'\,vt'" -■»"ti.;-,
20 dias \°^°™oliva gasta 12 toneladas da carvão cmT ^ r o o n 1 5 d i a s ? R e s p . ?dias. Ouantos ]ivro°̂ iminf̂ cartonados por 20 operários em 5rios ein 12 dias ? §"̂ '̂s poderão cartonar 8 desses operá-
de traLallm '̂''"Q\"ant̂ ^^^ toneladas em 5 (lias
iguais em 8 dias ? toneladas transportarão 5 caminhões
Resp. ?
I V
um pêceb̂âmáûl d̂êqûo SítrJl®'®
Solueuo. Sublt-aindo D do S5 resina, .»«; n
nt tv ic ros ioua is . Viv id indo Sü por •> t rZ , / 77 ^
o u l r o 1 3 + 0 = 2 2 . v i . . / / - " - « » i n ú m e r o é I S j e oVei-ificitçao. 13 + 22 = 25.
reeeĴ ' miis Cr9 5 00 do mii""' ''í""" g"®""''. tie modo que mnarecena mais ur? o.uu do ciiie a outra. Resn ia nn « r'io ir nn
.3. A sonm de dois 'números é 139 'e 7!77[ns—
q u a i s s a o o s n ú m e r o s ? u u e i c n ç a c í o ,4. Duas meninas tem 25 amêndoas; uma delas t'endo
maib i dü que a outra, (Rianlas tem cada uma ? Resp. 2
J l
— 1 2 5 -
5. A soma de dois números é 36, e a sua diferença é 8;
q u a i s s ã o o s n ú m e r o s ? R e s p . ?
6. Em uma escola mista havia 77 crianças; ora havendo
Junis 9 meninas do que meninos, qual era o número de cada
s ^ x o ? ^ R e s p . ?
7. Dois cestos contem 100 laranjas; tendo um mais 12
uranjas do que o outro, quantas tem cada cesto? Resp.?8. Um menino tem certo número de penas, outro tem o
obro, c os dois têm 24; quantas penas tem cada um? Resp. ?
i" deixou 180.000 cruzeiros para 2 filhos, reco-
jnenclando que um deles ficasse com mais 5.000 do que outro.C o m q u a n t o fi c o u c a d a u m ? R e s p . ?
10. Entre dois meninos foram distribuídas 600 bolas de
Resp. ?
® ií 0*4 ° número 28 em duas parcelas proporcionais
Dividir Cr? 35,00 cm duas quantias na razão de 2 e 3.
. . . . , . . R e s p . C r . ? 1 4 , 0 0 e C r ? 2 1 , 0 0 .
4 „ Dividir o miniero 120 cm três parcelas na razão de 3,
a ?
Pês K r homens alugaram um pasto por Cr? 72,00; uin
gado -̂ v eavalo.s, e outro pòs 2, quanto deve pagar cada alii-i ■ I N . R e s p . ?
inn r' . vaqueiros alugaram um capinzai por Cr? 140.00;
.... 1 ^'^^ha Já 4 vacas, e outro tinlia 3; quanto deveria pagar
V ' " \ ! ■ - -
r.. n irmãos compraram de sociedade um cavalo por
/"I ~^00.00; .um entrou com Cr? 1.000,00, e o outro com Cr?• 4Uü,üO; venderam-no no mesmo dia por Cr? 3.600,00; que
purte do lucro deve agora receber cada um ? Resp. ?
lufv Como 1 000,00 e 1 400,00 podem ser divididos poi 200 00 oü pode ser dividido em uartes uropoicioiuiia a õ e 7,
— 1 2 6 —
7- Um pii deixou I.OÜO.OÜO de ci'uzeiros para serem di
vididos entre dois filhos em partes proporcionais às suas ida
des, que eram 12 e 8 anos, respecliviuueiiLe. Quanto recebeu
c a d a u m ? R e s p - •
8. O lucro de 240.000 cruzeiros foi dividido entre 3 só
cios em partes proporcionais aos seus capitais, que erinn
lO.tJOO, 20.600 e 45.000 cruzeiros. Qual a parle de lucro de
c a d a . i n n ? R c s p . ' '
V I
1. Dividir o número 15 em duas partes, de sorte qti® ^
menor se ja f da ma io r.
Solução. Se a jxirte nicnor é § âa nuiior, 3eguc~se que a «loíor é^, ^
os duaa purícs «no 4~l~§ = Oro, sc | de um mltitcro não ic/uais a 1". y ^
igual a lS-5-5 — 3 scntío | o 3»oi7s «ictior «Zo é igual o 3X3 = 8; a ouira
p a r i c é 3 X 2 = 6 .
V e r i f i c a ç ã o . 9 + 6 = 1 5 .
2. Dividir o númwo 68 em duas partes, de sorte que a
m e n o r s e j a ■§ • d a m a i o r . R e s p . 7 0 c 2 8 . ;
3. Silvano e Fulgèncio tèm de pagar 60$; mas tendo
Fulgêncio de pagar sòmeule a metade da ju i r tc de Si lvano,
( p l a n t o t e m d e p a g a r ( j a d a u m ? R e s p . ?
4. Um viajante andou cm dois dias 56 km; tendo cami
nhado no segundo dia sòmcntc j da distância que caininhou
n o l U ' i m e i r o , q u a n t o a n d o u c a d a d i a ? R c s p . ?
5. Dividir o número 45 em três parcelas, de sorte que a
segunda seja e a ter-ceira ^ da primeira. Resp. ?
6. Dividir o número 45 em três parcelas, de sorte que a
segunda seja e a lerceii-a § da primeira. Resp.?
7 , Em dois dias um viajante gastou 630 cruzeiros, sendo
• i m e i r o«uc no segundo dia gastou 4 do que gastara no prb
Qual a desf^sa em cada dia ? Resp. T
S Um aluno resolveu 80 problemas; o número dos que
conseguiu acerüir é igual a 4 dos que errou. Quantos proble
mas acertou e quantos errou ? Resp. .
a TJm terreno com 1.260m« foi dividido em duas partes
de sorte que a área de seja t da área da outra. Ô u.nlos
n i e l T o s q u a d r A d o s t i n h a í 1
„
«
— 1 2 7 —
V I ]
I . Se dois terços de um querjo custam Cr^ 8,00, quanto
dev© custar o queijo inteiro ?
Solnção. Ci fsteJido 2 terços Cr? 8.0O, I tèrça deve c icstar a metade de
Cr§ S.OO, çttc c Cr? 4.00 c 3 târços, que são o queijo inteiro, dei-cm custar
4,00 X 3 =12.00. isto é. CrÇ 12.00.
2- Custando ^ de um barril de vinho Cr$ 180,00 quanto
d e v e c u s t a r o b a r r i l i n t e i r o ? R e s p , C r $ 3 0 0 , 0 0 .
3. Pesando -g- de uma barra de ferro 33 kg ; quaulo deve
p e s a r a b a r r a i n t e i n i ? , _ . R e s p . ?4. Eu sei que cinco sétimos de certo nnniero são 50; qual
é e s s e n ú m e r o ? . . . R e s p . ?
5. De (pie quantia CrS 8,00 são dois Lèrços i Resp. ?
6. Se 4 do ordeando de mu jardineirosão CrS
q u a l é o s e u o r d e n a d o ? R e s p . .7. Um menino gastou f do dinheiro que Imha, e amda
lhe sobraram Cr.'5 4,00; quanto linha cie ? Resp. ^
8. Uma menina deu i das amêndoas que tinha ̂
tíolegn, e rcslaram-lho 15; quantas aincndoas Imha/ ;*9. Gastei do meu dinheiro e restaram-me somente Cî ^
200,00, que quantia possuía eu? _ ^ na nn-»!10. Se 4 do sôido de um oficial sao Cr? 600,00, qual c
a s e u s o l d o i n t e i r o ? , j « «
II. Calcular a área de um terreno sabendo que do mes
m o m e d e m 2 . 2 0 0 m . •
12. José retirou yV selos de sua coleção e aimla ficoucom 960 selos. Dc auantos sefos se compunha a ̂
/ I I I
1. Custando | de uma pipa de aguardente CrS 96,00,
quanto devem custar f da mesma pipa ?
Solução Custando 2 târços Cr? 90.00, J ícrço deve custar victade de
CrS 96.00 QUO é Cr$ 48.00; c 3 têrços «ifeira, devem cusiar
43,00 X 3 = 144,00.Ora, cmsíohíío o pipa Crç 144.00, 1 quarto da 2>ipa deve
citatar 144,00-r-4 = 36,00 d 9 quartos devem custar 36,00 X 3 = 108,00, fsío c,
CrS 103,00.
2. Custando | de um saco de feijão Cr3 144,00, quanto
d e v e m c u s t a r ^ ? R e s p . C r S 2 1 6 , 0 0 .
3. Sc I de uma barra de ferro pesam 40 kg ; quanto de
v e m p e s a r § d a m e s m a b a r r a ? ^
— 1 2 8 — 1 2 9 —
4. Se dois quintos cie uma barrica de farinha custam
Cr$ 40,00, quanto devem custar três décimos da mesnn bar
r i c a ? •
5. Custando f de uma barra de ouro Cr§ 850,00, quanlo
d e v e m c u s t a r § d a m e s m a b a r r a ? R c s p . .
6. Se ^ da extensão de uma avenida medem 1.200 me
tros, quantos metros medirão ̂ dessa avenida ? Resp. .
7. Se três quartos de certo número são 120, quanto de
vem ser sele oitavos do mesmo número ? Resp. f
8. Se I de um campo valem Crg 400,00, quanto devem
v a l e r ^ d o m e s m o c a m p o ? R e s p . .
9i> Nove sétimos de um terreno medem 9.450m-; cjuan-
tüs metros cjuadrados medem ̂ do mesmo terreno í Resp. .
"10, Para encher yí de um barri! foram necessários 110
litros de vinho. Quantos litros seriam precisos para encher |
_ 1 - 1 n R e s n . íd o m e s m o b a r r i l ?
I X
1. Certo nUmero e a sua tôrça parte somam 20, qual 6
esse número ?
solução. O número fem juníancfo mnís
mimero silo iguais a 20. ^ é mial a 20^4 = 5. são iguais a 5X3=15.
2. Se juntarmos a certo número f do mesmo número,
teremos 21; qual é êsse número ? Resp. 1-
3. Se eu adicionar a certo número -ç do mesmo número,
terei â soma de 90; qual é o número ? Resp. -
4. Se eu puser no meu cofre f do dinheiro que já alifjuardei. terei então Crg 56.00; que quantia tinha no coĥJ
5 Qual é a quantia que adicionada a (Ic si mesma, da
n s o m a C r S 7 5 , 0 0 ? ^ R e ^ P -
6. Qual é o número que, se lhe iuntarmos f de sl nicsnío
d a r á a s o m a 8 0 ? R e s p .
7. Um cobrador recebeu um dia certa quantia; no
seguinte recebeu metade do que havia recebido, e ?com Cr$ 135,00; quanto recebeu no primeiro dia? R^ i'
8. De certo numero subtraindo •? de si mesmo, J ' •/
20; qual é .êsse número.?
X
1> Reduzir f a oitavos.
SoIqçõo. Jãulíiplicando-se ambos os târmos de uma fração por um
fticamo número, não se altera o seu valor; ora muUipUcando ambos oa
Urmos dc por S. temos o (^niominador em oitavos. I'ortanto reduzidos
a oitavos são Isto ú evidente, porque 1 = f, 1 = § e f são iguais a 3
Vãsrs quc são -l*.
2 .
3 .
4 .
5 .
e .
7 . R e d u z i r a d o z e a v o s .
8. -Reduzir y a quatorze avos.
9. Reciuzir j a décimos.
Reduzir|- a sextos.
Reduzir^ a nonos.
R e d u z i r ? a d é c i m o s .
Reduzir^ a trigésinios.
10. Quantos nonos são
11. Quantos décimos são §7
12. Quantos oitavos há em ^ ?
13. Quantos sextos são | ?
14. Quantos quinze avos são
15. Quantos doze avos suo | ?
16. Quantos décimos são f ?
17. Quantos quatorze avos são y?
X I
1. A soma de ^ e ^ do certo número é 28, qual é êssa
n ú m e r o ?
So luç i l o . As duas f r ações reduz idas a vm denominado r comum e so~
" ú i a d a s d ã o y j - p i V ~ i V- d e « » i n ú m e r o i g u a i s a 2 8 . 4
igual a 28-=-7 = 4. c .J-l, que formam o número inteiro, iguais a 4X12=48,
Verificação, y de 48 á 12. X dc 48 é 16; a soma das duas iiarceias 4
12 -I- 16 = :>s.
2. Uma pessoa cómprou uma porção de ovos, e, se a
terça e a quarta parte dèles fôsscni reunidas, somariam 56*q u a n t o s o v o s c o m p r o u ? R e s p . 9 6 ^
3. Em um colégio ^ dos alunos estuda Gramática *
estuda Aritmética, e os demais, que são 10, estudam Uco'uafia^quantos alunos tem êste colégio ? Resp ?
4. Se da minha idade subtraíssem 4 e ¥ dos mpi.c «restariam só 2; quantos anos tenho ? Lg
5. Um menino gastou g do seu dinheiro, e restarn.»̂ m
16 tostões; que quantia t inha êle ? siaram-lhe
Resp. t
- - i : J
X I I
1 . Um Jo rna le í ro con t ra tou -se em uma fazenda po r 40
diasy nas seguintes condições: receber CrÇ 2,00 e comida
cada dia que trabalhasse, e pagar Cr$ 1,00 pela comida, ca*
da dia que não trabalhasse. Tendo recebido CrÇ 50,00 no fim
dos 40 d ias, deseja-se saber: quantos d ias t rabalh*^"?
Solução. iSc t ra l ía lhassc - iü dias, receber ia I t 'J vezes CrÇ 2,00 QUC são
Cr$ 80,00; Hias, covio recebeu sòmcntc Ci-$ 50,00. perdeu 80,00— 50,00 = 30,00.
Ora, como em cafía dia Que ele não trabalhou perdeu Cr5 3,00, scudo
Cr? 2,00 do jornal e Cr? 1,00 da coynkla, seguc-sc que ele deixou dc trabalhar
t a n t o s d i a s q u a n t a s v ê z c s 3 , 0 0 e s t ã o c o n t i d o s c m 3 0 . 0 0 , q u e s ã o 3 0 . 0 0 3 , 0 0 =
= 1 0 , P o r t a n t o d c i r n u d c t r a b a l h a r J O t l i a s , r t r a b a l h o u J O — 1 0 = 3 0 d i a s .
2. Um cliacareiru conlraluii-se j)ui' (>(í ti ias nas sci^uii i lcs
condições: receber Cr$ 1,50 e comida, cada dia que trabalhasse,e pagar CrS 0,50 pela comida, cada dia que deixasse de traba
lhar. Recebendo no fim dos 60 dias Cr.? 68,00, quantos dias
t r a b a l h o u ? R e s p . ?
3. Um jurdineiro foi cuidar de um jardim, nestas con
dições: receber Cr? 6,00 cada dia que trabalhasse, e nada ga
nhar c ainda pagar a multa de Cr? 4,00, cada dia que deixasse
de trabalhar. No fim de 80 dias, recebeu êle Cr? 400,00; quan
t o s d i a s t r a b a l h o u ? R e s p . ?
4. Dois cestos contêm 37 laranjas; cm um deles há mais
laranjas do que no outro; quantas laranjas tem cada um?
Resp. ?
5. Dois números somam 54; um c o^ dobro do outro;
q u a i s s ã o o s n ú m e r o s ? R e s p . •
6. Um livro tem o triplo dc páginas de outro. Os dois
reunidos teriam 750 páginas. Quanta.s páginas tem cada um.
Resp. ?
7. A coleção dc selos dc João é o dôbro da do Antônio
c a deste é o triplo da de Joaquim. As três coleções reunidas
•somam 4.500 selos. Quantos selos.tcni cada um? Resp. i
1 7 h
X I I I
1. Quais são os jupos de CrÇ 800,00 a 4 por cento ao
a n o d u r a n t e 5 a n o s ?
Solução. J por cento são Ora -jV = lGOOol
= 32,00 que são os juros de 1 ano; 05 juros de 5 anus suo 3-,00 a o
— 1 3 1 —
2. Acliar os juros de Cr? 500,00 a 8 por cento ao ano,
c n i 9 a n o s . R e s p . C r ? 3 6 0 , 0 0 .
3. Ache os juros de Cr? 8.200,00 a 7 Ç& ao ano em dois
. R e s p . ?
4. Quanto somam os juros e o capital de Cr? 750,00, em
d a n o s , a S p o r c e n t o a o a n o ? R e s p . ?
5. Comprei 12 sacos de feijão por Cr? 600,00. Por quanto
Os devo vender para ganhar 30 por cento ? Resp. ?,
Um negociante comprou certas mercadorias por Cr?
840,00, e ganhou nelas 75 por cento; por quanto as vendeu ?
Resp. ?7. Eduardo gastou 85 por cento de Cr? 120,00 em roupa
oc que precisava; em quanto importou essa roupa ? Resp. ?
8- Achar os juros de Cr? 250,00 a 4 por cento ao ano,
® í n 6 a n o s . R e s p . ?
8- Achar os juros de Cr? 2,000,00 a 8 por cento ao ano,
t r ê s a n o s . R e s p . ?
10. Achar os juros de Cr? 4.000,00, em 5 anos, a 6 por
C e n t o a o a n o . R e s p . ?
11- Quais são os juros de 200 libras esterlinas, a 3 por
c c n t o a o n n o , e m 9 a n o s ? R e s p . £ 5 4 .
X I V
1. Comprei um relógio por CrÇ 50,00^ e vendi-o por CrÇ
70,00j quarftc^ por cento ganhei ?
Solução. Ganhei 70,00 —60,00 = 20,00. Como Cr? 20,00 são ^ do
^usto, e ^ de 100 são 40,segue-se que ganhei 40 por cenío.
2. Albano comprou um cavalo por Cr? 400,00, e ven-
"Cu-o por Cr? 600,00; quantos por cento ganhou ? Resp. 50.
3. Um livreiro comprou uma obra em doze volumes por
Cr? 200,00, e vendeu-a por Cr? 230,00; quantos por cento ga-
* i h o u ? R e s p . ?
4- Um chale custou Cr? 50,00 e foi vendido por Cr?
80,00; quantos por cento deu de lucro ? Resp. ?
5. Comprei uma peça de seda por Cr? 120,00, e vendi-a
por Cr? 200,00; quantos por cento ganhei ? Resp, ?
8. Um homem comprou um cavalo por Cr? 500,00 c
vendeu-o por Cr? 475,00; quantos por cento perdeu 2 Resp. ?
I
— 1 3 2 —
X V
•f. Um alfaiate pode fazer um terno de roupa em 6 dias,
o sua mulher pode fazê-lo em 12 díasj trabalhando ambos, em
quantos dias o poderão fazer ?
Solnçno. O alfaiate fazendo o terno em S dias, faz ^ da obra por dia;
e eua tnulhcr fnzcndo-o em 12 dias, fazY^^J^or dia. Trabalhando ambos,
fazem —da obra por dia. Ora. como a obra ó um inteiro ou
segue-se Que. se dividirmos f por i. teremos o número de dias.
^ ^ ^ d ias .
2. Se A pode fazer um serviço em 2 dias e B pode fazê-lo
cm 3 dias, em quantos dias o poderão fazer, Irabaihando ainjos.
Resp. 1 í dia.
3. Um lavrador pode colher todo o seu arroz em ;> dias,
e seu filho pode colhc-Io em 7; trabalhando ambos, cm (|uanlos
d i a s o p o d e r ã o c o l h e r ? R e s p . 2 d i a s .
4. A pode fazer um serviço em 2 dias, B em 3 dias e O
cm 6 dias; em que tempo os três juntos o podem fazer ?^ R e s p . 1 d i a .
5. Um cavalo pode comer um saco de inillio em 8 dias,
uma vaca o pode cm 12 dias, e um carneiro cm 24 dias; co
mendo os três juntos, quantos dias durará o milho ?
Resp. 4 dias,
6. A e B podem lavrar um campo ein 4 dias; podendo B
Javrá-Io sozinho em 12 dias. cm quanto tempo poderá A la
v r á - l o s o z i n h o ? '
Aniílio. A pode lavrar x — t5 = A ü campo por dia, e poi ^
oode lavrá-lo em 6 dias.
X V I
1. Um tanque tem duas torneiras; "'"f torneiras!
horas, e a outra o enche em 5. Abrindo-se as duas tornem quantas horas f icará cheio ? ^
SoIncSo. Umn torneira enche o tanque toilo em t j naras!
hora enchendo tanque. A outra torneira enche " ..ehee''
então, em t hora enche i ão tanque. As duas í"? "" "Z
Jt_ J_ 1 — Jjr do tanque cm uma hora. Se em f
ç u c e m ^ d a h o r a e n c h e r ã o ã o o u
12 levarão 20 vêzea riiais tempo ou ̂ X— í
— 1 3 3 —
2. Uma hanlieira 6 provida de duas torneiras; uma a
«"nche em G minutos, e a outra cm 4. Abrmdo-se as duas tor
neiras em quantos minutos ficara cheia? Resp. 2^ minutos.
3. Uma torneira enche uma caixa de água em 6
e outra a enche cm 8; estando as duas torneiras abertas, em
quantos inimilos ficará cheia? Resp. 3^ ramu
4. Um depósito de água tem ̂ uas torneiras, uma o en
c h e e m 1 5 h o r a s , e o u t r a o e s v a z i a e r n o '
duas torneiras, em quantas horas o deposito ficaia
Anxílio. Sc uma torneira em cada hora enche do depósito e a outra
torneira reüra^V' el̂ co está Que. em cada hora. só ficará noasua cuivalcnfe a tV - hV = hV
p a r a e n c h e r o t a n q u e .
5. Uma torneira enche uma caixa eni ® ^«K^indo-esvazia cm 12 horas; em quantas horas ficar _ "gj jjoras.
se as 2 to rne i ras ?
X V Í I
1. A soma de 5 números consecutivos é 130; quais são
^sses números ?
.4 n menor; o scffundo íuimcro tem maUSolurrio. O primeiro numero ^ " terceiro tem, wois 2 do que o prf-
ftíHQ u/if(/odc ou / do que o '^into tem wifli-' -J- Êstes excedentes
s n e i r o ; o q u a r t o t e m m a i s S : a ® t e r e m o s 1 2 0 q u e d o p o r n
somam 1+2 + 3 + 4 = 10. .■'«ftfrninrfo lu _ jÓq5 = 24. Portanto 2.J é o
a soma dc .5 náuicros ipífis ao o-i + 1 = 25. 24 + 2 =20, 24 + 3 = 27,
PríiHciro Mú»f,ero pedido e os ouíros so
e 24 + 4 = 23.
Verificação. 24 + 25 + 26 + 27 + 28 =
. 2. A sen., do 3 números eonseou.ivos ú 120: quais são
e s s e s n ú m e r o s ? *
. 3, A soma de 6 números consecutivos é 63; saoe s s e s n i i m c r o s ? e
4. A soma de 2 números consecutivos é 979; qums são
ê s s c s n ú m e r o s ? R e s p . ?
5. A soma de 5 números consecutivos é 235; quais são
é s s e s n ú m e r o s ? R e s p . ?
— 1 3 4 —
X V I I I
1- Como poderemos achar a soma dos números con
secutivos 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17 sem os adi
c i o n a r c o m o p a r c e l a s ?
8
1 7
25
9)
16(
J0>
15
2 5 2 5 2 5
2 5 X 5 =
12
13
25
A j i& l l sc . Sc esc revermos a sne taãc âos
têrtnoa na ordem crescente, começando pelo
pr imei ro , e depo is a out ra metade na ordcrn
decrescente, começando pelo último termo,
f o r m a r e m o s 5 p a r e s d e t ê r m o a . s o m a n d o
ipuahncntc 25 cada um, e os 5 parca so-
viando 25 X 5 = 125, que é a soina de todos
os t õ rmoa . Nes te p rocesso a r i tmé t i co no tO '
m o s d o i s f a t o s :
^ ® ^ p r i m e i r o e d o
vitimo, isto é. do menor e do maior, que são 8 c J7.
Verlflcaeao. 8+9+10+U+12+l3+Í4+15+i6+17=125 ® ̂ ̂
r i o 1 0 ' ^ n ú m e r o s c o n s e c u t i v o s d e s -cie 12 ate 18? Resp_ (12+ 18) X 3+. = 105.
f î nnn9>"'̂ ^ ̂ ̂ soiiia de todos os números inteiros desde 1^ ^ R e s p . 5 0 0 5 0 0 .
X I X
1. Natalino, encontrando alguns pobres que lhe pediam
uma esmola, quis socorrer a todos igualmente; mas notou que,
se desse CrÇ 0,30 a cada um, sobrariam Cr$ 1,20, e se desse
Cr$ 0,50 faltariam CrÇ 0,80 qual era o número de pobres ?
S o l u ç ã o . S e ( l e s s e C r $ 0 , 3 0 a c a d a u m , s o b r a r i a m C r Ç 1 . 2 0 , m a s s e
t?e.ç.çe Cr$ 0.50, isto é, mais Cr? 0,20 a cada um, teria de dar os Cr5 1.20 que
sobrava7n e mais os CrS 0,80 que faltavam, e que somam 1,20 +0,80 = 2,00.
Os pobres eram, pois, tantos quantas vêzcs o número 0,20 está contido em
S, isto é, eram 2-r 0,2 =10.
2- Um pai quis distribuir pelos filhos alguns abacates
que lhe mandaram de presente; mas notou que, se desse 2 a
cada nni, sobrariam 9, e, se desse 4, faltariam 3 para comple
tar a divisão; quantos filhos tinha êle ? Resp. 6.
3, Uma menina quis repartir as suas amêndoas pelas
suas colegas, e notou que se desse 3 a cada uma, restariam 24;
e se lhes desse 7, daria todas; quantas colegas tinha a menina?
Resp. í
— 1 3 5 —
4. Um fazendeiro queria comprar certo número de ovelhas para a sua fazenda, e notou que, se as comprasse a Up
20.00, restar-lhe-iam CrS 200.00; e se as comprasse a Cr$ oü.üü.fallar-lhe-iam CrS 400,00; quantas ovelhas queria ̂ on̂ p̂ rai .
X X
1 Tpâ«í IrmSs Júlia, Sofia e Fausta, tinham as seguintes
Idades: Júlia tinha 8 anos, Sofia tinha a idade de ̂ "'1® ®
i da idade de Fausta, e Fa"®'» ® d"®"'"»
nham Júlia e Sofia; qual era a Idade de Fausta í
Solução. Júlia tinha 8 anos. Sofia tinha 8 anos. mais ̂ da idade So
S e F a u s t a . F a u s t a t i n h a 8 a n o s . m a i s 8 a n o s , m a i s y '
tinha 16 anos mais 4 dc .«a fríaríe. Lopo. 16 anos são ipuais a ̂ de sua
idad^ e i anos ipuais a então | ^ão ÍXí»aís a 20 ano., ««o era o
i d a d e .
2. Um homem comprou um chapéu. ®
capa; o chapéu cuslmi Cr.? 60.00; o rclogioo chapéu e ^ do preço da capa, e a capa eus ou .
relógio e o chapéu; quanto custou a capa . P-
3. Três'cidades A, B e C estão situadas em linha rela;a distancTa de A a B é 24 km ; e ̂ desta distancia sao iguaisa f da dislànda de li o C; que d.slanca ha cie  âC ̂
4. Uma pessoa tinha ires herdeiros A, B e C, e deixou S
dos seus bens a A; a B. e os "'7entre o legado de A e o de C sòmente a d.feiença de Crs
1.600,00, quanto recebeu cada herdeiro r - e
Resp. A = CrÇ 4.800,00, B = Cr$ 5-600,00, C - Gií? 6.400,00,
5. Se 1 boi vale 8 carneiros, e 3 bois valem 2 cavalos,
qiial é o preço de 1 cavalo, valendo 1 carneiro Cr§ 15,00.
Resp. ?
6. A idade de Sara é ^ da idade de Dalila, e a soma das
áuas idades é 20 anos; qual é a idade de cada uma ?
Resp. Dalila 12 an. Sara 8 an.
Í n d i c e
P â g s .
A l g a n s t n o s R
D e f i n i ç õ e s — N u m e r a ç ã o . . . 5
O p e r a ç õ e s f u n d a m e n t a i s . . . . U
A d i ç ã o l - i
S u b t r a ç ã o 2 i
M u l t i p l i c a ç ã o 3 4
D i v i s ã o 3 1
I g u a l d a d e a r l i m ô ü c a 3 0
P r o p r i e d a d e a d o s n ú m e r o s .. 4 0
A c h a r o s n ú m e r o s p r i m o s . . 4 0
D i v i s i b i l i d - i d e d o s n ú m e r o s « 4 1
D e c o m p o s i ç ã o d o s n ú m e r o s . . 4 4
D i v i s ã o p o r c a n c e l a m e n t o . . . 4 5
M á x i m o d i v i s o r c o m u m . . . . 4 G
M í n i m o m ú l t i p l o c o m u m . . . 4 7
F r a ç õ e s 4 9
F r a ç õ e s p r ó p r i a s e i m p r ó
p r i a s 5 1
D i v i d e n d o m e n o r q u e o d i v i
s o r 5 2
C o m p l e m e n t o d o q u o c i e n t e . 5 3
S i m p l i f i c a ç ã o d a s f r a ç õ e s . . 5 3
E x t r a i r o s i n t e i r o s d e u m a
f r a ç ã o i m p r ó p r i a 5 5
T r a n s f o r m a r n ú m e r o s i n t e i
r o s o u m i s t o s e m f r a ç õ e s . 5 6
R e d u z i r f r a ç õ e s a o m í n i m o
d e n o m i n a d o r c o m u m 5 7
S o m a r f r a ç õ e s 5 8
S u b t r a i r f r a ç õ e s 5 9
M u l t i p l i c a r f r a ç õ e s 6 0
M u l t i p l i c a ç ã o c a n c e l a d a . . . . 6 2
Fração de uma quant idade . . 63
D i v i d i r f r a ç õ e s 6 4
F r a ç ã o d e f r a ç ã o 6 G
F r a ç ô e . s d e c i m a i s 6 3
N ú m e r o s d e c i m a i s 6 9
R e d u z i r n ú m e r o s d e c i m a i s à
m e s m a d e n o m i n a ç ã o 7 1
A J i e r a ç ã o n o v a l o r d o s n ú
m e r o s d e c i m a i s 7 2
P í l f f S .
T r a n . s f o r m a r n ú m e r o s d e c i
m a i s e m f r a ç õ e s o r d l n ã r i a s
T r a n s f o r m a r f r a ç õ e s o r d i
n á r i a s c m n ú m e r o s d e c i
m a i s
A d i ç ã o
S u b t r a ç ã o
M u l t i p l i c a ç ã o
D i v i s ã o
S i s t e m a m ó t r i c o d e c i m a l . . . .
P r i n c i p a i s u n i d a d e s
U n i d a d e s m o n e t á r i a s
A b r e v i a t u r a s d o s i s t e m a m é
t r i c o
O p e r a ç õ e s c o m q u a n t i d a d e s
m é t r i c a s
R e d u ç õ e s m é t r i c o s
S u p e r fi c i e s
V o l u m e s
N ú m e r o s c o m p l e x o s
R e d u z i r f r a ç õ e s o r d i n á r i a s a
n ú m e r o s c o m p l e x o s
O p e r a ç õ e s s ô b r e c o m p l e x o s . .
R a z ã o
P r o p o r ç õ e s
P r o p r i e d a d e s d a p r o p o r ç ã o . .
G - r a n d e z a s p r o p o r c i o n a i s . . . .
F a l s a p o s i ç ã o
P o r c e n t a g e m
J u r o s
A b a t i m e n t o e d e s c o n t o
D i v i s ã o e m p a r t e s p r o p o r c i o
n a i s
M é d i a a r i t m é t i c a
M i s t u r a e l i g a
C â m b i o
Q u a d r a d o s © c u b o s
Raiz quadrada o raiz cúbica
P r o b l e m a s g r a d u a d o s
7 3
7 3
7 4
7 5
7 5
7 6
7 7
7 8
SO
8 2
8 3
8 4
8 6
8 7
9 1
9 4
9 5
1 0 0
l ü l
1 0 2
1 0 3
1 0 7
109
1 1 1
11 3
11 3
114
11 4
11 5
11 9
120
122
OBSERVAÇÃO
Sc os Srs. Professores quiserem dar aos seus discípulos
fos con l iec lmeotos des ta c iGnc la , poderão usar o nosso de-
MÉTIOA PROGRESSIVA, onde acharão esta matéria dcv .M í
s e n v
N.o 5.351 — Ofic inas Gráf icas da Livraria Francisco Alvca