calculo numerico

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MÉTODO DA BISSEÇÃO
Um engenheiro precisa descobrir o momento de inercia onde o anel metálico seja o mais próximo de 0. O momento dessa viga é expressado pela equação f(x)=x3–9x+3. Utilize o método da bissecção e as condições: Chute inicial, I=[4;5], e precisão ε=1x10-3.
	 	 
	 
	 	 	 	 	 
	F(Xn)=x³-5x²+x+3
	 
	ERRO<0,001 	 	 	 
	INTERVALO [4;5]
	 
	 	 	 	 	 
	
	A
	B
	Xn
	F(a)
	F(b)
	E=|Xn-
Xn-1|
	F(Xn)
	0
	4
	5
	4.5
	-9
	8
	0
	-2.625
	1
	4.5
	5
	4.75
	-2.625
	8
	0.25
	2.1094
	2
	4.5
	4.75
	4.625
	-2.6250
	2.1094
	0.1250
	-0.3965
	3
	4.6250
	4.75
	4.6875
	-0.3965
	2.1094
	0.0625
	0.8210
	4
	4.6250
	4.6875
	4.6562
	-0.3965
	0.8210
	0.0312
	0.2035
	5
	4.6250
	4.6562
	4.6406
	-0.3965
	0.2035
	0.0156
	-0.0987
	6
	4.6406
	4.6562
	4.6484
	-0.0987
	0.2035
	0.0078
	0.0519
	7
	4.6406
	4.6484
	4.6445
	-0.0987
	0.0519
	0.0039
	-0.0235
	8
	4.6445
	4.6484
	4.6465
	-0.0235
	0.0519
	0.0020
	0.0141
	9
	4.6465
	4.6484
	4.6475
	0.0141
	0.0519
	0.0010
	0.0330
 	 	 	 	 
RESPOSTA:4.6475 	 	 	 	 
 	 	 	 	 	 	 	 
Mesmo as obras com melhores eficiências sofrem perdas em sua produtividade devido a diversos fatores, vendo isso, e em decorrência de alguns estudos, um engenhero viu que em sua obra a produtividade de um equipamento de terraplanagem é medida pela equação f(x)=x3–9x+3, onde quando x=0 se tem a melhor produtividade. Utilize o método da bissecção para encontrar a raiz mais próxima de 0 com as condições: Chute inicial, I=[0;1], e precisão ε=1x10-3.
F(Xn)=x³-9x+3 	 	ERRO<0,001 	 	 	 
INTERVALO
	
	A
	B
	Xn
	F(a)
	F(b)
	E=|Xn-
Xn-1|
	F(Xn)
	0
	0
	1
	0.5
	3
	-5.000
	0.000
	-1.375
	1
	0
	0.5
	0.25
	3
	-1.375
	0.250
	0.766
	2
	0.25
	0.5
	0.375
	0.765625
	-1.375
	0.125
	-0.322
	3
	0.25
	0.3750
	0.3125
	0.765625
	-0.322
	0.062
	0.218
	4
	0.3125
	0.3750
	0.3438
	0.218017578125
	-0.322
	0.031
	-0.053
	5
	0.3125
	0.3438
	0.3281
	0.218017578125
	-0.053
	0.016
	0.082
	6
	0.3281
	0.3438
	0.3359
	0.082202911376953
	-0.053
	0.008
	0.014
	7
	0.3359
	0.3438
	0.3398
	0.014474391937256
	-0.053
	0.004
	-0.019
	8
	0.3359
	0.3398
	0.3379
	0.014474391937256
	-0.019
	0.002
	-0.002
	9
	0.3359
	0.3379
	0.3369
	0.014474391937256
	-0.002
	0.001
	0.006
 	 	 	 	 	 	 	 
	RESPOSTA:0.3369
Método de Gauss – Seidel
EXEMPLO 1:
 Cálculo de uma estrutura treliçada
A partir do método de Gauss – Seidel é possível determinar a tensão Fi em cada componente, para isso, primeiro é necessário fazer uma análise de cada nó, sendo assim, tem – se:
Todos os nós devem ser analisados quanto as forças que atuam nos eixos axiais, partindo do princípio que o sistema está em equilíbrio e o somatório das forças deve ser mútuo.
	Nó A:
 = 0 => F1*cos(45)-FAY = 0
	 = 0 => F2 – FAY = 0
	Nó B:
	 = 0 => F1*sem(45)+F3*sem(30)+1000 = 0 => *F1+F3+*F5 = -1000
	 = 0 = > F1*cos(45)-F4**F5 = 0
	Nó C:
 = 0 => 500-F7-cos(45)*F9 = 0 => F7+*F9 = 500
 = 0 => F4-sem(45)*F9 = 0 => F4-*F9 = 0
Nó E:
 = 0 => F5*sem(30)+F7 = 500
 = 0 => F5*cos(30)+F6-F8 = 0 => +F5+F6-F8 = 0
Nó F:
 = 0 => -F3 = 0
 = 0 => F2-F6 = 0
Como o objetivo é encontrar apenas as forças da treliça, não do pino e do rolete, teremos nove equações, nos deparamos então com um sistema da forma A*F = B, em que A é uma matriz 9x9 que representa os coeficientes, Fé uma matriz 9x1 representando a quantidade de forças atuando na treliça e por fim B que é uma matriz 9x1 e representa a resultante de cada equação:
Observe que as equações são obtidas fazendo-se a soma de todas as forças horizontais ou verticais em cada junta coeficientes é bastante espeça e assim, um candidato natural para a solução é o método de Gauss – Seidel. Sendo assim, resolva o sistema linear por meio desse método, partindo do valor nulo e obtendo a solução com precisão de . Para isso, é necessário reorganizar a matriz: igual a zero. Além disso, a matriz dos 
Então cria – se um sistema a partir da matriz dos coeficientes reorganizados:
	(-0,7071)F9+0F3+0F7+0F8+0F6+0F2+0F5+0F4+0F1 = 0
	0F9+(-1)F3+0F7+0F8+0F6+0F2+0F5+0F4+0F1 = 0
	(0,7071)F9+0F3+1F7+0F8+0F6+0F2+0F5+0F4+0F1 = 500
(0,7071)F9+0F3+0F7+1F8+0F6+0F2+0F5+0F4+0F1 = 0
0F9+0F3+0F7+(-1)F8+1F6+0F2+(0,866)F5+0F4+0F1 = 0
0F9+0F3+0F7+F8+(-1)F6+1F2+0F5+0F4+0F1 = 0
0F9+0F3+(-1)F7+0F8+0F6+0F2+(-0,5)F5+0F4+0F1 = -500
0F9+0F3+0F7+0F8+0F6+0F2+(-0,866)F5+(-1)F4+(0,7071)F1 = 0
0F9+1F3+0F7+0F8+0F6+0F2+(0,5)F5+0F4+(0,7071)F1 = -1000
E agora monta – se a equação de interação, para interação inicial, foi escolhido arbitrariamente 0:
F = - *0 = 0
F = - *0 = 0
F = *(500-0,7071* F) = 500
F = - *(0-0,7071* F) = 0
F = *(0+1 F-0,866 F) = 0
F = *(0 - F) = 0
F = - *(-500+1 F) = 0	
F = - *(0+0,866 F-0,7071 F) = 0
F = *(-1000-1 F-0,5 F) = -1414, 227125
Feito isso, calcula –se o erro:
	K
	0
	1
	2
	3
	F
	0
	0
	0
	0
	F
	0
	0
	0
	0
	F
	0
	0
	500
	500
	F
	0
	0
	0
	0
	F
	0
	0
	0
	0
	F
	0
	0
	0
	0
	F
	0
	0
	0
	0
	F
	0
	0
	-1000
	-1000
	F
	0
	-1,414,227125
	-1,414,227125
	-1,414,227125
	=
	-
	1
	1
	0
Sendo assim, obtém- se o seguinte resultado:
 = 
EXEMPLO 2:
Engenharia de Produção
Um engenheiro de Produção supervisiona a produção de quatro tipos de computadores. Existem quatro espécies de recursos necessários à produção: mão-de-obra, metais, plásticos e componentes electrónicos. As quantidades destes recursos, necessárias para produzir cada computador são:
	
	Mão de obra
(h / comp.)
	Metais
(kg / comp.)
	Plásticos
(kg / comp.)
	Componentes
(unid. / comp.)
	1
	3
	20
	10
	10
	2
	4
	25
	15
	8
	3
	7
	40
	20
	10
	4
	20
	50
	22
	15
Considere um consumo diário de 504 h de mão-de-obra, 1970 Kg de metais, 970 Kg de plásticos e 601 componentes. Use o método iterativo de Gauss-Seidel, tomando como aproximação inicial = (9, 10, 12, 10). Apresente apenas os cálculos relativos às duas primeiras iterações, indicando uma estimativa do erro relativo.
D = L = U = 
D - L = = 
CGS = (D − L) −1U = 
 Equação iterativa de Gauss-Seidel (A.5): (D – L)= U + b:
= 
Primeira interação (k = 1):
 = * + 
Nota: A matriz já é triangular (inferior), logo a resolução é por substituição direta.
 = ⇔ = 
Conforme o enunciado, procede – se ao cálculo da segunda interação (k=2):
 = * + 
 = ⇔ = 
Estimativa do erro relativo:
 - = - = 
 = = 
= 0,716141 
 
 Método Jacobi
Aplicação 01
Há três massas conectadas por molas movendo-se horizontalmente ao longo da linha PQ. O equilíbrio ocorre quando as massas estão em distâncias a1, a2, a3 de P. Assumindo que a superfície não apresente atrito. As molas possuem estiramento c1, c2, c3, c4 e as constantes da mola são k1, k2, k3, k4. Suponha que
K1 = K4 = 2m
K2 = K3 = m
Considere o sistema em movimento. As distâncias podem ser expressas por a1+x1, a2 + x2, a3 + x3.
Para a primeira massa o equilíbrio é dado por:
K1(a1 −c1) = K2(a2 −a1 −c2)
E o movimento como sendo:
MX”1 = −k1(a1 + x1 −c1) + k2(a2 + x2 − (a1 + x1) −c2)
Assim tem-se:
MX”1 = − (k1 + k2) x1 + k2x2 
MX”1 = − (2m + m) x1 + mx2
 X”1 = −3x1 + x2
Para a segunda e a terceira massa obtém-se:
 X”2 = − (k2 + k3) x2 + k4x3 + k1x1
 X”2 = 2x1 −3x2 + 2x3
 X”3 = − (k3 + k4) x3 + k3x2
 X”3 = x2 −3x3
Escrevendo na forma matricial x” = Ax, resulta:
 = 
Note que cada mola oscila sempre com a mesma frequência. Assim sendo, deriva-se:
X = v sin wt 
 Obtendo x” = −vw² sinwt ou –vw²= Av que tem solução se w2 é um autovalor de A, com amplitude v como seu autovetor correspondente.
Aplicação 02
Uma fábrica de tintas pretende utilizar as sobras de tinta de 4 tipos diferentes de tonalidades de tinta verde para criar uma tonalidade de verde mais popular. Uma unidade de medida (u.m.) da nova tinta será composta por x1u.m. de tinta tipo 1, x2u.m. de tinta tipo 2, x3u.m. de tinta tipo 3 e x4u.m. de tinta tipo 4. Cada u.m. de tinta nova é composta por 4 pigmentos que estão relacionados pelo seguinte sistema de equações lineares:
Os coeficientes da matriz representam a percentagem de pigmento em cada uma das 4 diferentes tonalidades de tinta verde, por exemplo, a tinta com a novatonalidade deverá conter 0,31 de pigmento 3, sabendo que a tinta tipo 1 contem 0,16, a tinta tipo 2 contem 0,2, a tinta tipo 3 contem 0,6 e a tinta tipo 4 contem 0,72 do mesmo pigmento.
80x1 + 30x3 + 10x4 = 40
 +80x2 + 10x3 + 10x4 = 27 
16x1 + 20x2 + 60x3 + 72x4 = 31
 4x1 + 8x4 = 2 
a) Analisando apenas as condições suficientes de convergências, verifique se o método de Gauss-Jacobi converge, quando aplicado a este sistema.
b) Resolva o sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Jacobi, utilizando para aproximação inicial o ponto [0.5, 0.2, 0.2,0] T e utilizando para critério de paragem = 0.25 ou Nmax = 2.
Solução:
a) Analisando a convergência através do critério das linhas.
Método Newton Raphson
1.Existe uma aldeia no sopé da montanha a uma distância de y = 10. Engenheiros ambientais advertiram os moradores da aldeia de que a lava chegaria às suas casas em menos de 6 horas. Calcule utilizando um método iterativo que recorre ao cálculo de derivadas o instante de tempo em que a lava do vulcão atinge a aldeia. Considere ε1 = ε2 = 10−3 ou no máximo 3 iterações. Utilize nos cálculos 4 casas decimais.
Obs: 
Mudança de variável: t → x e y → f
Utiliza-se o Método de Newton, porque recorre ao cálculo de derivadas. A lava chega à aldeia quando y = 10.
Coloca-se a expressão na forma f(x) = 0, i.e., 7(2 − 0.9 x ) − 10 = 0
A derivada da função é f ′ (x) = −7 × 0.9 x × ln(0.9).
A primeira iteração realiza-se aplicando com k = 1 e x1 = 6 (a informação de que a lava chegaria em menos de 6h é útil para a selecção da estimativa inicial).	
2. Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigénio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivadas, a distância para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5. Utilize para aproximação inicial o valor x1 = 1.0 e considere ε1 = ε2 = 10−2 ou no máximo 3 iterações. Utilize nos cálculos 4 casas decimais.
Resolução:
Mudança de variável: c → f. Pretende-se resolver f(x) = 5. Coloca-se a expressão na forma f(x) = 0, i.e., 10 − 20(e −0.2x − e −0.75x ) − 5 = 0. Utiliza-se o Método de Newton por este recorrer ao uso de derivadas, e aplica-se (A.2) com k = 1 e x1 = 1.0. A derivada é f ′