Exercícios matrizes

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MAT0327 – Álgebra Linear – 2017 
Aula 1 – Operações com Matrizes 
Exercícios 
E.1) Sejam as matrizes 
1 1
2 3 0 1 1 3 0 2
2 0
4 2 1 1 ; 3 4 ; 2 3 e 
3 1
0 1 2 1 2 1 1 4
1 0
 
        
            
       
             
 
A B C D . 
Calcule, quando possível: 
a) 2B C b) BC c) AD B d) 32
t BC I 
 
 
E.2) Sejam 
2 3 1 9
 e 
1 1 3 k
   
    
    
A B . Quais os valores de k, se existir algum, que fazem com que 
AB BA ? 
 
 
E.3) Encontre todas as matrizes quadradas de ordem 2 que comutam com a matriz 
1 2
0 1
 
 
 
. 
 
E.4) Sendo 
1 2
1 2
 e 3 1
2 5
2 4
 
   
     
   
 
A B , resolva a equação 
t tA X B . 
 
 
E.5) Resolva a equação  AX B C , na qual 
9 4 3 9
, e 
2 1 2 8
     
       
     
A B C . 
 
 
E.6) Resolva a equação AB XC , se 
1 0
1 0 3 3 2
, 4 1 e 
2 1 4 7 5
0 2
 
    
       
    
 
A B C . 
 
E.7) As matrizes 
2 1
 e 
1 0 2 3
x y   
    
   
A B são tais que AB = BA. Calcule x e y. 
 
 
E.8) Uma medida no sentido de desafogar o trânsito é o planejamento na construção de edifícios públicos. 
O diagrama ao lado representa três bairros C1, C2 e C3, com as 
respectivas populações de alunos e as distâncias entre eles, em 
quilômetros: 
Deseja-se construir uma escola em um desses bairros, de tal 
maneira que a distância percorrida por todos os alunos seja a 
mínima possível. A matriz X que representa as distâncias entre as 
localidades é dada por ijd   X , onde dij é a distância entre Ci e 
Cj, 1 3, 1 3i j    . 
Classifique cada uma das afirmações como verdadeira ou falsa: 
 
 
MAT0327 – Álgebra Linear – 2017 
 a) 
0 1,8 2
1,8 0 2,2
2 2,2 0
 
 
  
 
 
X 
 b) Se 
120
110
100
 
 

 
  
Y é a matriz coluna das populações, então 
398
436
482
 
 

 
  
XY 
 c) A localidade escolhida para construção da escola deve ser C2. 
 
 
E.9) Se 
2 3 1
1 , 2 e 
2 1
ty
x
   
   
 
   
      
A B A B é uma matriz nula, calcule 
2xy 
 
 
E.10) Uma matriz A é simétrica se e somente se for igual à sua transposta, isto é, A = At. 
Seja 
23 2
4 2 2
2 5
x x
x y
x x y
 
 
   
 
 
A . Se A é simétrica, o valor de 2x + y é: 
a) 4 b) 2 c) 0 d) – 2 d) – 4 
 
E.11) Encontre a matriz X que satisfaz a equação 
2
2 3
t  

X A B C X
, onde 
1 1
1 1
 
  
 
A , 
2 1
3 1
 
  
 
B 
e 
4 1
1 3
 
  
 
C . 
 
Respostas 
 
E.1) a) 
1 1
1 10
4 7
  
 

 
   
 b) Não é possível efetuar essa multiplicação. 
c) 
10 5
13 1
3 3
 
 
 
  
 d) 
4 11 11
8 8 19
2 7 0
 
 

 
  
 
 
E.2) 2k   E.3) , com 
0
x y
x
x
 
 
 
R e yR E.4) 
9 17 2
4 7 0
 
 
 
 
 
E.5) 
18
42
 
 
 
 E.6) 
47 20
73 31
 
 
  
E.7) x = 7 e y = 2 
 
E.8) a) V b) V c) F E.9) – 1 E.10) E 
 
E.11) 
3 1
5 5
7 1
5 5
 
 
 
 
X