A3_Probabilidades

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Estatística
Probabilidades
Prof. Vitor Hugo Miro
Aula 3
Probabilidade Condicional
A probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu é uma probabilidade
condicional, denotada por 𝑃(𝐴 | 𝐵) que é lida como “a probabilidade de A dado
B”.
▪ Definição
Suponha 𝐴 e 𝐵 eventos definidos em um espaço amostral 𝑆 tal que 𝑃 𝐵 > 0.
A probabilidade condicional de 𝐴 dado 𝐵 é dada por:
𝑷 𝑨|𝑩 =
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
Probabilidade Condicional
▪ Figura. O evento B condicionado em S.
Fonte: Marx e Larsen (2012)
Probabilidade Condicional
▪ Exercício.
Da população com idade na faixa de 16 a 21 anos, cujos indivíduos não estão no ensino
superior, 13% estão desempregados, 29% abandonaram a escola no ensino médio e
6% estão desempregados e abandonaram a escola no ensino médio.
Qual é a probabilidade condicional de que um membro dessa população esteja
desempregado, dado que a pessoa tenha abandonado a escola no ensino médio?
Probabilidade Condicional
▪ Exercício.
Uma firma de consultoria econômica possui um modelo para prever recessões. O
modelo prevê corretamente uma recessão com probabilidade de 80% quando ela está
realmente a caminho, e com probabilidade de 10% quando ela não está a caminho. A
probabilidade não condicional de a economia passar por uma recessão é de 20%.
Se o modelo prevê uma recessão qual é a probabilidade de que ela realmente esteja a
caminho?
Probabilidade Condicional
▪ Exemplo
𝑃 𝐴 =
𝑎
𝑛
𝑃 𝐵 =
𝑏
𝑛
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
𝑐
𝑛
𝑷 𝑨|𝑩 =
𝒄
𝒃
Probabilidade Condicional
▪ Exercício.
A partir de uma amostra de 100 trabalhadores residentes em áreas rurais, foram analisadas: o
grau de instrução (Ensino Médio completo ou incompleto) e o tipo de atividade da ocupação
(Atividade Agrícola ou não agrícola).
Calcule:
𝑃 𝐴𝑡𝑖𝑣. 𝐴𝑔𝑟í𝑐𝑜𝑙𝑎 𝐸𝑀 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜)
𝑃 𝐴𝑡𝑖𝑣. 𝐴𝑔𝑟í𝑐𝑜𝑙𝑎 𝐸𝑀 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜)
𝑃 𝐴𝑡𝑖𝑣. 𝑁ã𝑜 𝐴𝑔𝑟í𝑐𝑜𝑙𝑎 𝐸𝑀 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜)
𝑃 𝐴𝑡𝑖𝑣. 𝑁ã𝑜 𝐴𝑔𝑟í𝑐𝑜𝑙𝑎 𝐸𝑀 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜)
EM incompleto EM completo Total
Ativ. Agrícola 48 25 73
Ativ. Não Agrícola 16 11 27
Total 64 36 100
Probabilidade Condicional
É interessante notar que a probabilidade condicional satisfaz os axiomas de
Kolmogorov para uma função de probabilidade.
a. 𝑃 𝐴 𝐵 ≥ 0
b. 𝑃 𝐵 𝐵 = 1
c. Se 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, ⋯ são mutuamente exclusivos, então:
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3⋯|𝐵 = 𝑃 𝐴1|𝐵 + 𝑃 𝐴2|𝐵 +⋯
Para um número de eventos infinito (contável).
E
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3⋯|𝐵 = 𝑃 𝐴1|𝐵 + 𝑃 𝐴2|𝐵 +⋯+ 𝑃 𝐴𝑘|𝐵
Para um inteiro positivo 𝑘.
Probabilidade Condicional
▪ Regra do produto de probabilidade
Sejam A e B eventos de 𝑆. Então
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 ∙ 𝑃 𝐵
Com 𝑃 𝐵 > 0.
Ou
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴
Com 𝑃 𝐴 > 0
Probabilidade Condicional
▪ Exercício (ANPEC, 2006)
Em uma região, 25% da população são pobres. As mulheres são
sobrerepresentadas neste grupo, pois constituem 75% dos pobres, mas 50% da
população.
Calcule a proporção de pobres entre as mulheres.
𝑃 𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟) =?
Probabilidade Condicional
▪ Considerando
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 ∙ 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴
Então
𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
Probabilidade Condicional
▪ Considerando
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 ∙ 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴
Então
𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
Eventos independentes
▪ Definição
Dois eventos A e B são independentes se a informação de ocorrência ou não de 
B não afeta a probabilidade de ocorrência de A. Isto é:
𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃 𝐵
Eventos independentes
▪ PROPOSIÇÃO
Os eventos A e B são independentes se, e somente se.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵
Eventos independentes
De acordo com Morettin (2010), se A e B são mutuamente exclusivos, então A e
B são dependentes, pois se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um
evento condiciona a não-ocorrência do outro. O autor reforça com um exemplo.
▪ Exercício
Sejam A e B eventos tais que 𝑃 𝐴 = 0,2 e 𝑃 𝐵 = 𝑝, e 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 0,6 .
Calcule 𝑝 considerando A e B:
a) Mutuamente exclusivos
b) Independentes
Eventos independentes
▪ Proposição
Se A e B são independentes, então 𝐴 e 𝐵𝐶 são independentes.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 1 − 𝑃(𝐵) = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃(𝐵𝐶)
Eventos independentes
▪ Definição
A extensão da definição de independência para três ou mais eventos não é 
imediata.
Suponha três eventos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, estes serão mutuamente independentes se
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ⋅ 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ⋅ 𝑃 𝐶
𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐵 ⋅ 𝑃 𝐶
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ⋅ 𝑃 𝐵 ⋅ 𝑃 𝐶
Nenhuma destas definições é, por si só, suficiente.
Eventos independentes
▪ Exemplo
Seja o espaço amostral 𝑆 = 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4 , e 𝑃 𝑠𝑖 =
1
4
para 𝑖 = 1, 2, 3 e 4. Seja cada um 
dos eventos
𝐴 = 𝑠1, 𝑠2 , 𝐵 = 𝑠1, 𝑠3 , 𝐶 = 𝑠1, 𝑠4
Com 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐶 =
1
2
. Assim: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝑠1 = 𝑃 𝐴 ⋅ 𝑃 𝐵 =
1
4
Como para qualquer outro par de eventos. 
Os eventos são independentes entre si aos pares. No entanto, em conjunto, a coleção 
completa não é.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝑠1 =
1
4
≠ 𝑃 𝐴 ⋅ 𝑃 𝐵 ⋅ 𝑃 𝐶 =
1
8
Intuitivamente, se A e B ocorrem, sabemos que C ocorreu.
Eventos independentes
▪ Definição
Uma coleção de eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, ⋯ , 𝐴𝑛 são mutuamente independentes se,
para qualquer subconjunto 𝐴𝑖1 , 𝐴𝑖2 , 𝐴𝑖3 , ⋯ , 𝐴𝑖k (1 < 𝑘 ≤ 𝑛) desses eventos
𝑃 𝐴𝑖1 ∩ 𝐴𝑖2 ∩ 𝐴𝑖3⋯∩ 𝐴𝑖𝑘 = 𝑃 𝐴𝑖1 ⋅ 𝑃 𝐴𝑖2 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑃 𝐴𝑖𝑘
Em outra notação
𝑃 ሩ
𝑗=1
𝑘
𝐴𝑖𝑗 =ෑ
𝑗=1
𝑘
𝑃 𝐴𝑖𝑗
Eventos independentes
▪ Exemplo
Em uma amostra de 100 trabalhadores de determinado setor, 15 possuem
planos complementares de previdência. Desta amostra, 60 trabalhadores são
sindicalizados. Entre os sindicalizados, 9 possuem planos de previdência
complementar.
Definindo o evento 𝐴 como ter plano de previdência complementar e o evento 𝐵
como ser sindicalizado. Os eventos 𝐴 e 𝐵 são independentes?
𝑃 𝐴|𝐵 =
9
60
= 0,15 𝑃 𝐴 =
15
100
= 0,15
Como 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃(𝐴), os eventos são independentes.
Teorema da Probabilidade Total
▪ Considere 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, ⋯ , 𝐴𝑛 uma partição do espaço amostral 𝑆. Ou seja:
𝑆 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3,∪ ⋯∪ 𝐴𝑛
com 𝐴i ∩ 𝐴j = ∅, para 𝑖 ≠ 𝑗.
Considere um evento 𝐵 dado pela união de 𝑚 eventos mutuamente exclusivos
𝐵 = 𝐴1 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴2 ∩ 𝐵 ∪⋯∪ 𝐴𝑚 ∩ 𝐵
Teorema da Probabilidade Total
𝑃 𝐵 = 𝐴1 ∩ 𝐵 + 𝐴2 ∩ 𝐵 +⋯+ 𝐴𝑚 ∩ 𝐵
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐵|𝐴2 ∙ 𝑃 𝐴2 +⋯+ 𝑃 𝐵|𝐴𝑚 ∙ 𝑃 𝐴𝑚
𝑃 𝐵 =෍
𝑖=1
𝑚
𝑃 𝐴𝑖 ⋅ 𝑃 𝐵|𝐴𝑖
Este resultado é conhecido como lei da probabilidade total.
Teorema de Bayes
Sejam os eventos 𝐴1, 𝐴2, ⋯ , 𝐴𝑛 uma partição do espaço amostral 𝑆 e que suas
probabilidades seja conhecidas.
Suponha que para um outro evento 𝐵, as probabilidades 𝑃 𝐵|𝐴𝑖 para 𝑖 = 1,⋯ ,𝑚,
também sejam conhecidas. Então para qualquer 𝑗
𝑃 𝐴𝑗|𝐵 =
𝑃 𝐵|𝐴𝑗 ∙ 𝑃 𝐴𝑗
σ𝑖=1
𝑚 𝑃 𝐵|𝐴𝑖 ∙ 𝑃 𝐴𝑖
𝑗 = 1, … ,𝑚
Teorema de Bayes
Em particular a partição 𝑆 = 𝐴 ∪ 𝐴𝐶 resulta em
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵|𝐴𝐶 ∙ 𝑃 𝐴𝐶
𝑃 𝐴|𝐵 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃(𝐵)
=
𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴
𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵|𝐴𝐶 ∙ 𝑃 𝐴𝐶
Teorema de Bayes
▪ Exemplo.
Suponha que 10% das mulheres que compram kits de teste de gravidez
instantâneos estejam, de fato, grávidas. Para um kit de uma marca específica, se
uma mulher estiver gravide, o teste fornecerá resultado positivo 96% das vezes e
negativo 4% das vezes (um “falso-negativo”). Se ela não estiver grávida, o teste
resultará positivo em 5% das vezes (um “falso-positivo”) e negativo 95%. Suponha
que um teste resulte positivo.
Qual é a probabilidade de que a mulher esteja realmente grávida?
Fonte: Doane e Seward. 
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
▪ 𝐺 = Grávida e 𝑃 = teste positivo
Probabilidades do problema
𝑃 𝑃|𝐺 = 0,96 𝑃 𝑃|𝐺𝐶 = 0,05 𝑃 𝐺 = 0,10
Os complementos
𝑃 𝑃𝐶|𝐺 = 0,04 𝑃 𝑃𝐶|𝐺𝐶 = 0,95 𝑃 𝐺𝐶 = 0,90
Aplicando o Teorema de Bayes
𝑃 𝐺|𝑃=
𝑃 𝐺 ∩ 𝑃
𝑃(𝐵)
=
𝑃 𝑃|𝐺 ∙ 𝑃 𝐺
𝑃 𝑃|𝐺 ∙ 𝑃 𝐺 + 𝑃 𝑃|𝐺𝐶 ∙ 𝑃 𝐺𝐶
=
0,96 ∙ 0,10
0,96 ∙ 0,10 + 0,05 ∙ 0,90
= 0,6809
Há 68,09% de chance de uma mulher estar grávida, caso o resultado do teste seja positivo,
Fonte: Doane e Seward. 
Teorema de Bayes
▪ Exemplo
Suponha que o geólogo de uma empresa que extrai petróleo, com base em
observações superficiais, tenha estabelecido que a probabilidade de que haja
petróleo, em certo lugar, é 0,2.
Temos os seguintes eventos:
𝐸1 = “há petróleo”
𝐸2 = “não há petróleo”
, possuem as seguintes probabilidades de ocorrência:
𝑃 𝐸1 = 0,2
𝑃 𝐸2 = 0,8
Teorema de Bayes
Após o estabelecimento dessas probabilidades, o geólogo realiza um teste sísmico.
Consideremos, por simplicidade, que o teste pode resultar em um dos três eventos
mutuamente exclusivos: 𝐹1, 𝐹2 e 𝐹3.
O resultado do teste está relacionado à existência ou não de petróleo. Suponhamos
que as probabilidades condicionais sejam:
𝑃 𝐹1|𝐸1 = 0,10 𝑃 𝐹1|𝐸2 = 0,60
𝑃 𝐹2|𝐸1 = 0,40 𝑃 𝐹2|𝐸2 = 0,30
𝑃 𝐹3|𝐸1 = 0,50 𝑃 𝐹3|𝐸2 = 0,10
Teorema de Bayes
▪ Diagrama de árvore. ▪ Estas probabilidades mostram, por
exemplo, que o resultado 𝐹3 é o mais
provável quando há petróleo.
▪ Então, se o teste sísmico resultar em
𝐹3 , o geólogo deve determinar a
probabilidade de que haja petróleo,
dado que 𝐹3 ocorreu, ou seja, deve
determinar a probabilidade condicional.
𝑃 𝐸1|𝐹3 =
𝑃 𝐸1 ∙ 𝑃 𝐹3|𝐸1
𝑃 𝐸1 ∙ 𝑃 𝐹3|𝐸1 + 𝑃 𝐸2 ∙ 𝑃 𝐹3|𝐸2
Teorema de Bayes
𝑃 𝐸1|𝐹3 =
𝑃 𝐸1 ∙ 𝑃 𝐹3|𝐸1
𝑃 𝐸1 ∙ 𝑃 𝐹3|𝐸1 + 𝑃 𝐸2 ∙ 𝑃 𝐹3|𝐸2
=
0,2 ∙ 0,5
0,2 ∙ 0,5 + 0,8 ∙ 0,1
= 0,56
Analogamente
𝑃 𝐸1|𝐹1 =
𝑃 𝐸1 ∙ 𝑃 𝐹1|𝐸1
𝑃 𝐸1 ∙ 𝑃 𝐹1|𝐸1 + 𝑃 𝐸2 ∙ 𝑃 𝐹1|𝐸2
=
0,2 ∙ 0,1
0,2 ∙ 0,1 + 0,8 ∙ 0,6
= 0,04
𝑃 𝐸1|𝐹2 =
𝑃 𝐸1 ∙ 𝑃 𝐹2|𝐸1
𝑃 𝐸1 ∙ 𝑃 𝐹2|𝐸1 + 𝑃 𝐸2 ∙ 𝑃 𝐹2|𝐸2
=
0,2 ∙ 0,4
0,2 ∙ 0,4 + 0,8 ∙ 0,3
= 0,25