Probabilidade e Estatística slides 2020

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Probabilidade e Estatística
 Natalina Silva Rocha
Ano letivo 2020
Noções básicas de probabilidade
Palavras como provável (provavelmente), probabilidade, acaso e sorte são utilizadas com extrema frequência por todos, em parte por termos a convicção de que a natureza e mutável e incerta, de que o futuro encerra em si inúmeras possibilidades e de que o acaso governa o mundo.
matematicamente a probabilidade é um termo que mede o grau de possibilidade ou de credibilidade de ocorrência de um acontecimento
Experiencias aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos
A formalização moderna de Probabilidade assenta nas noções de experiência aleatória e seus possíveis resultados e de acontecimento.
Dentição 2.1 – Experiencia aleatória
 Experiencia cujo resultado exato não pode ser predito antes da realização da mesma devido a intervenção do acaso Se for possível a sua realização um nº finito de vezes nas mesmas condições, a experiencia, os resultados apresentam o que se chama de regularidade estatística.
Ex: Medição da resistência de uma mola da suspensão de uma viatura, 
Conteúdo Programático
Capitulo II
2.Noções básicas de probabilidade 
2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos. 
2.2 Noção de probabilidade. Interpretações de Laplace, frequêncista e subjetivista. Axiomas e teoremas decorrentes.
2.3 Probabilidade condicionada
2.4 Leis das probabilidades compostas e da probabilidade total. Teorema de Bayes. 
2.5 Acontecimentos independentes.
Experiencias aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos
Dentição 2.2 
Espaço de resultados-Conjunto de todos os resultados possíveis de uma E.A. É conhecido antes de a E.A. Se realizar e é usualmente representado pela letra grega( Ώ ).
 Espaço de resultados pode ser:
 discreto caso # Ώ seja finito ou infinito numerável;
 continuo caso # Ώ for infinito não numerável.
Acontecimento
Evento (acontecimento) (A)- qualquer subconjunto do espaço de resultados.
Ex: resistência inferior a 8 unidades [0,8[.
Um evento pode ser complementar , certo ou impossível
Complementar- Se A for constituído por um só elemento
Certo: A=Ω
Impossível: A=󠅔Ø
Eventos 
Definição 2.3 - Eventos disjuntos
Os eventos A e B dizem-se disjuntos (ou mutuamente exclusivos, ou incompatíveis) sse:
A ∩ B = Ø, i.e., se a realização simultânea de A e B for impossível.
Definição 2.4 -Inclusão de eventos
Quando o evento A esta contido (incluso) em B, A с B, verifica-se:
Realização de A implica Realização de B;
Realização de B não implica Realização de A; 
i.e., a realização de A implica a de B mas a implicação no sentido contrario não é necessariamente verdadeira.
Operações sobre conjuntos
Uma vez que os eventos não passam de (sub)conjuntos e possível efetuar operações sobre eventos já nossas conhecidas como são o caso da intersecção, da reunião, etc. Descreveremos o seu significado em termos de realizações de eventos quer verbalmente, quer a custa de um diagrama de Venn.
Sejam o espaço de resultados de uma E.A. e A e B dois eventos. Então podemos efetuar as seguintes operações sobre A e B:
A união de dois acontecimentos A e B, e representa-se por A u B;
 A intersecção de dois acontecimentos A e B, e representa-se por A ∩ B;
 O complementar do acontecimento A e representa-se por A;
 A diferença dos acontecimentos A e B e representa-se por ;
Leis de Morgan
Algumas propriedades importantes:
1. Distributiva: A ∩ (B u C) = (A ∩ B) u (A ∩ C);
2. Leis de De Morgan: = e .
Definição 2.5 (Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos)
 Dois acontecimentos A e B dizem-se disjuntos se não têm elementos em comum, ou seja, se .
Probabilidades-Conceitos
Em muitas experiência aleatórias estamos interessados em medir a possibilidade de ocorrer um acontecimento ocorrer. A probabilidade permite-nos quantificar essa possibilidade.
Definição 2.6(Definição Clássica ou de Laplace de Probabilidade). Se uma experiência aleatória tem a si associado um número finito N de resultados, mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, então a probabilidade de qualquer acontecimento A, P(A), é dada por:
P (A) = 
Probabilidades-Conceitos
Exemplo - A probabilidade de sair face ímpar, num lançamento de um dado equilibrado é P(“Sair face ímpar”) = . 
Definição 2.7 (Definição Frequêncista de Probabilidade). A probabilidade de um acontecimento A é dada pelo limite da frequência relativa com que se observou A, isto é,
 P (A) = 
onde nA representa o número de observações de A, e n o número de realizações da experiência aleatória. Para valores elevados de n, podemos assumir que .
Probabilidades-Conceitos
Definição 2.8(Definição Axiomática de Probabilidade). A Probabilidade é uma função, que a cada acontecimento A faz corresponder um valor real, P(A), e que verifica as seguintes condições ou axiomas:
1. 0, qualquer que seja o acontecimento A;
2. P(Ω) = 1;
3. Se A e B são acontecimentos disjuntos , 
Esta axiomática não contempla situações com uma infinidade numerável de acontecimentos. É assim usual substituir o 3º axioma, por:
 Se A1, A2, . . . são acontecimentos disjuntos dois a dois, então =
Probabilidades-Conceitos
Proposição 2.1. Sejam A e B dois acontecimentos. Os seguintes resultados são consequência imediata dos axiomas da definição axiomática 2.8.
1. P() = 0;
2. Se A B então P(A) P(B);
3. = ;
4. P(A)
5. P(A-B)=P(A)-P(A);
 (demostrações feita nas aulas)
Independência e probabilidade condicional
EXEMPLO : Uma empresa farmacêutica realizou um ensaio clínico para comparar a eficácia de um novo medicamento (medicamento experimental). Escolheram-se ao acaso 200 doentes com a doença que se pretende curar. Metade desses doentes foram tratados com o novo medicamento e os restantes com um medicamento convencional. Ao fim de 5 dias, os resultados são os seguintes:
	Medicamento	Melhorou	Não melhorou	Total
	Experimental	69	31	100
	convencional	58	42	100
	Total	127	73	200
Independência e probabilidade condicional
Qual a probabilidade, de um doente escolhido ao acaso,
(a) tomar o medicamento experimental?
 
Resposta: Usando a regra de Laplace, P(E) = 100/200 = 12
.
(b) tomar o medicamento experimental e melhorar?
 Resposta: Usando a regra de Laplace, P(E M) = 69/200 .
2. Qual a probabilidade de um doente, que melhorou, ter tomado o medicamento experimental?
 Resposta: 69/127 .
Independência e probabilidade condicional
Teorema 2.1 (Teorema da Probabilidade Composta). Sejam A e B dois acontecimentos tais que P(B) > 0. Então, resulta da definição de Probabilidade Condicional,
 P (A / B) = 
Definição 1.19 (Acontecimentos Independentes). Dois acontecimentos A e B dizem-se independentes se e só se, P (A \ B) = P (A) . P (B). Para o caso dos acontecimentos serem independente, 
 P (A / B) = ==P (A)
Vamos olhar o nosso exemplo, na questão dois.
Seria o mesmo que calcular P(E/M)===
Teorema de Probabilidade Total 
Definição 2.10 (Partição do espaço de resultados). Dizemos que {E1, . . .,En} é uma partição do espaço de resultados Ω quando 
 Ei Ej = (i j) e = Ω. 
Teorema 2.11 (Teorema da Probabilidade Total). Seja {E1, . . . ,En} uma partição do espaço de resultados , com P (Ei) > 0, para todo i. Dado um qualquer acontecimento A, tem-se,
P (A) = P (A|E1 ) P (E1) + . . . + P (A|En ) P (En) .
Teorema de Bayes
Teorema 1.22 (Teorema de Bayes). Seja {E1, . . . ,En} uma partição do espaço de resultados com P (Ei) > 0, pra todo i. Dado um qualquer acontecimento A, com P (A) > 0, tem-se:
 P (Ei |A) = 
 
Sabendo que P(A)
Demonstração. Aplicando a definição de Probabilidade Condicional, depois o Teorema da Probabilidade Composta e o Teorema da Probabilidade Total.
exemplificação
Considere o seguinte exercício., que consiste em verificar a veracidade da informação
Três máquinas A, B e C produzem botões, respetivamente, 15%, 25% e 60% da produção total. As percentagens de botões defeituosos fabricados por estas máquinas são respetivamente5%, 7% e 4%. Se ao acaso, da produção total de botões, for encontrado um defeituoso, a probabilidade de ele ter sido produzido pela máquina B é de cerca de 36%.
Resolução
Sejam A, B, C e D os seguintes acontecimentos:
A - O Botão é produzido pela máquina A;
B - O Botão é produzido pela máquina B;
C - O Botão é produzido pela máquina C;
D - O Botão tem defeito
De acordo com o enunciado, temos as seguintes probabilidades: 
P(A) = 0.15 
P(B) = 0.25
P(C) = 0.6
 P(D|A) = 0.05
 P(D|B) = 0.07 
P(D|C) = 0.04
Pretende-se determinar P(B|D). Usando o Teorema de Bayes, obtemos:
P(B|D) = = 
Logo a afirmação é verdadeira.
Atividades
Relembrar os conceitos de analise combinatória.
Resolução exercícios ficha II
 Bom trabalho!