Introdução à Estatística

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Autor: Prof. Alan Rodrigo Navia 
Colaboradores: Profa. Silmara Maria Machado
Prof. Nonato Assis de Miranda
 
Estatística
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Professor conteudista: Alan Rodrigo Navia
Alan Rodrigo Navia é natural de São Paulo e morador de Taboão da Serra. É graduado em Materiais, Processos e 
Componentes Eletrônicos pela Fatec-SP. Possui mestrado em Engenharia Eletrônica pela Poli-USP, na área de Circuitos 
Integrados. 
Exerceu as seguintes funções no mercado de trabalho: pesquisador em Engenharia na Swiss Group, analista 
estatístico na Amcham, especialista em sistemas pleno no Carrefour e atualmente é coordenador de sistemas no 
Grupo Renac.
Academicamente, lecionou na Fundação Santo André no curso de Engenharia, foi auxiliar docente do curso de 
Engenharia Eletrônica na Poli-USP e leciona há quase dez anos na Unip. Principais disciplinas de atuação: Estatística, 
Banco de Dados, Programação de Computadores e Matemática, para diversos cursos de graduação. Este material foi 
escrito com base nos vários anos de docência em Estatística, para cursos que não são da área de Exatas.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
F325e Navia, Alan Rodrigo 
Estatística / Alan Rodrigo Navia. – São Paulo: Editora Sol, 2012.
 
132 p., il.
1. Estatística. 2. Pedagogia. 3. Serviço Social. I. Título.
CDU 519.2
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
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Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
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Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
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Prof. Marcelo Souza
Profa. Melissa Larrabure
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Juliana Maria Mendes
 Amanda Casale
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Sumário
Estatística
APRESENTAçãO ......................................................................................................................................................7
INTRODUçãO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS .........................................................................................................................9
1.1 Conceitos iniciais .....................................................................................................................................9
1.2 Dados ......................................................................................................................................................... 10
1.3 População x amostra ............................................................................................................................11
1.4 Amostragem ............................................................................................................................................11
2 DISTRIBUIçãO DE FREQUêNCIAS ............................................................................................................. 14
2.1 Conceitos básicos ................................................................................................................................. 14
2.2 Elementos de uma distribuição de frequência ......................................................................... 18
2.2.1 Classe (i) ...................................................................................................................................................... 18
2.2.2 Limites de classe (li e Li) ....................................................................................................................... 18
2.2.3 Amplitude de classe (hi) ....................................................................................................................... 18
2.2.4 Amplitude amostral (AA) ..................................................................................................................... 18
2.2.5 Ponto médio de classe (xi) ................................................................................................................... 19
2.3 Tipos de frequências ............................................................................................................................ 19
2.3.1 Frequência absoluta ou simples (fi) ................................................................................................. 19
2.3.2 Frequência relativa (fri) ........................................................................................................................ 19
2.3.3 Frequência acumulada (Fi) .................................................................................................................. 20
2.4 Construção de distribuições de frequências ............................................................................. 21
2.4.1 Distribuição sem intervalo .................................................................................................................. 21
2.4.2 Distribuição com intervalo .................................................................................................................. 21
2.5 Representações gráficas .................................................................................................................... 24
2.5.1 Histograma (gráfico de colunas) ...................................................................................................... 24
2.5.2 Polígono de frequências (gráfico cartesiano) .............................................................................. 24
3 MEDIDAS DE TENDêNCIA ............................................................................................................................. 25
3.1 Média (x) .................................................................................................................................................. 25
3.1.1 Dados não agrupados ........................................................................................................................... 25
3.1.2 Distribuição de frequências sem intervalo ................................................................................... 26
3.1.3 Distribuição de frequências com intervalo .................................................................................. 26
3.2 Moda (Mo) ............................................................................................................................................... 28
3.2.1 Dados não agrupados ........................................................................................................................... 28
3.2.2 Distribuição de frequências sem intervalo ................................................................................... 29
3.2.3 Distribuição de frequências com intervalo .................................................................................. 29
3.3 Mediana (Md) ......................................................................................................................................... 30
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3.3.1 Dados não agrupados ........................................................................................................................... 31
3.3.2 Distribuição de frequências sem intervalo ................................................................................... 31
3.3.3 Distribuição de frequências com intervalo .................................................................................. 32
4 MEDIDAS DE DISPERSãO ............................................................................................................................. 34
4.1 Introdução ............................................................................................................................................... 34
4.2 Variância (s2) ........................................................................................................................................... 35
4.2.1 Dados não agrupados ........................................................................................................................... 35
4.2.2 Distribuição de frequências sem intervalo ................................................................................... 36
4.2.3 Distribuição de frequências com intervalo .................................................................................. 37
4.3 Desvio-padrão (s) ................................................................................................................................. 38
4.3.1 Dados não agrupados ........................................................................................................................... 39
4.3.2 Distribuição de frequências sem intervalo ................................................................................... 39
4.3.3 Distribuição de frequências com intervalo .................................................................................. 40
4.4 Coeficiente de variação (CV) ............................................................................................................ 40
Unidade II
5 CONCEITOS BáSICOS DE PROBABILIDADE ............................................................................................ 72
5.1 Conceitos fundamentais ................................................................................................................... 72
5.2 Eventos complementares ................................................................................................................. 76
5.3 Eventos independentes ...................................................................................................................... 77
5.4 Eventos mutuamente exclusivos ................................................................................................... 78
5.4.1 Exercício resolvido .................................................................................................................................. 80
6 DISTRIBUIçãO NORMAL DE PROBABILIDADES ................................................................................... 82
6.1 Conceitos fundamentais ................................................................................................................... 82
6.1.1 Exercícios resolvidos .............................................................................................................................. 87
7 CORRELAçãO LINEAR .................................................................................................................................... 92
7.1 Conceitos e diagrama de dispersão .............................................................................................. 92
8 COEFICIENTE DE PEARSON .......................................................................................................................... 94
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APREsENtAção
Este livro-texto contempla os temas fundamentais para um curso de Introdução à Estatística, que na 
maioria das instituições de ensino superior ou técnico tem duração semestral. 
A grande quantidade de exercícios de fixação e a preocupação em explicar os métodos de cálculo, 
passo a passo, sem excesso de texto, são os pontos marcantes deste material, que tem como objetivo 
ensinar os conceitos básicos de Estatística para um público que não lida diariamente e/ou tem pouca 
desenvoltura com a Matemática.
O pré-requisito para acompanhar esta obra é somente a Matemática do primeiro grau, atualmente 
chamado de Ensino Fundamental, o que atende principalmente aos cursos que não são de Exatas, pois 
nestes a Matemática é exercitada a todo o momento, nas mais diversas disciplinas, tais como Física, 
Cálculo, Programação de Computadores etc.
Espero que esta obra ajude o leitor a compreender os conceitos básicos de Estatística de maneira 
mais leve, porém bastante consistente.
INtRodução
Este livro-texto aborda os assuntos fundamentais da Estatística, desde o estudo de uma variável até 
a introdução ao estudo do comportamento mútuo de duas variáveis.
A Unidade I cobre os conceitos introdutórios, porém importantíssimos para o entendimento do 
restante do material, a organização de dados em tabelas de frequência, a obtenção de medidas de 
tendência e posição e a determinação de medidas de dispersão e variabilidade. Esses tópicos fazem parte 
da Estatística Descritiva (responsável por organizar e descrever os dados coletados).
A Unidade II cobre os conceitos de probabilidade simples (que também são abordados na disciplina 
Matemática), distribuição normal de probabilidades e a determinação da correlação entre duas variáveis, 
por meio do diagrama de dispersão e do coeficiente de Pearson.
Cada unidade pode ser ministrada em um bimestre, se o curso introdutório de Estatística for de duas 
horas-aula semanais. Vale lembrar que o material tem como leitor-alvo o aluno de graduação dos cursos 
da área de Humanas e Ciências Sociais Aplicadas.
Espero que este livro auxilie o aluno com pouca desenvoltura em Matemática a entender e aplicar 
os conceitos básicos de Estatística, além de servir como guia para qualquer aluno relembrar Estatística 
rapidamente. 
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Unidade I
1 CoNCEItos fuNdAmENtAIs
1.1 Conceitos iniciais
A palavra estatística tem origem do vocábulo latino status, que significa estado, e foi utilizada para 
o levantamento de dados por parte do Estado, visando à tomada de decisões.
Atualmente a Estatística é parte da Matemática Aplicada que se dedica ao estudo e à interpretação 
de fenômenos coletivos e deles extrai conclusões.
A Estatística fornece métodos para:
• coleta de dados, feita normalmente por meio de um questionário ou da observação direta do 
fenômeno estudado;
• organização e descrição dos dados;
• análise e interpretação dos dados visando à tomada de decisões.
A Estatística pode ser aplicada às mais diversas áreas do conhecimento, tais como Economia, Física, 
Medicina, Psicologia, Engenharia, Pedagogia e Serviço Social, para tabular e interpretar os resultados de 
um experimento, e, mais recentemente, para a geração e a interpretação de indicadores. 
Esses indicadores são largamente utilizados na gestão dos mais diversos segmentos do conhecimento.
Para um aluno de qualquer curso superior, a Estatística é muito importante para:
• organizar e analisar os dados de um experimento científico/observação de um fenômeno em 
qualquer área do conhecimento;
• servir de embasamento para entender, analisar e até criar indicadores relevantes em seu trabalho 
(entendendo que, muitas vezes, o egresso de um curso superior pode assumir um cargo de gerência 
no seu segmento de formação). 
Podemos citar como exemplos de indicadores: o índice de desenvolvimento humano (IDH) de 
uma determinada localidade, a taxa de evasãode clientes de uma empresa de telefonia e os vários 
indicadores de aprendizado utilizados na educação. 
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A Estatística pode ser classificada em: 
• descritiva: responsável pela coleta, organização e descrição dos dados;
• indutiva: responsável pela análise e interpretação dos dados.
1.2 dados
Dados são informações obtidas a partir de medições, resultados de pesquisas, contagens e 
levantamentos em geral.
Alguns exemplos de dados são: o número de alunos de uma classe, o número de eleitores que 
votaram em um determinado candidato em uma eleição, o número de leitos ocupados em um hospital 
e as notas dos candidatos de um determinado concurso público.
Em Estatística, os dados podem ser classificados como: 
• Qualitativos: são dados compostos de qualquer informação não numérica. Exemplos: estado 
civil (solteiro, casado); cor dos olhos (pretos, castanhos, verdes); time do coração (Corinthians, 
Palmeiras, São Paulo, Santos); religião praticada (católica, protestante, budista); tipo sanguíneo 
(A, B, O) etc.
• Quantitativos: são dados compostos de informações numéricas e podem ser subdivididos em: 
— Discretos: são compostos somente por números inteiros e enumeráveis (na maioria das vezes, 
são oriundos de uma contagem). Exemplos: número de filhos, população de um município, número de 
escolas particulares em um determinado local, número de visitas em um determinado site na internet 
etc.
— Contínuos: são compostos por números inteiros ou fracionários (na maioria das vezes, são 
obtidos por meio de uma medição). Exemplos: altura, peso, preço de um determinado produto, área de 
um terreno, renda mensal de uma família, o tempo gasto em uma viagem nacional, a distância entre 
dois bairros etc.
Dados Qualitativos
Quantitativos Discretos
Contínuos
Figura 1 – Classificação dos dados em Estatística
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 observação
A classificação da variável depende do contexto. Por exemplo: para fins 
cadastrais, a variável idade poderia ser quantitativa discreta; na Pediatria, 
porém, é contínua, pois a parte fracionária também é considerada. 
1.3 População x amostra
População é o conjunto de entes portadores de, no mínimo, uma característica comum; também 
chamada de universo estatístico. Um exemplo são os estudantes de uma instituição de ensino, pois 
a característica comum é o fato de estudarem na mesma instituição. Os eleitores de um estado da 
federação também são um exemplo. 
Na maioria das vezes, podemos concluir que é inviável ter acesso a toda a população para a coleta 
de dados (por limitações monetárias, de tempo etc.). Logo, normalmente é feita a coleta em uma parte, 
que deve ser muito representativa dessa população. Tal parcela é denominada amostra. 
Amostra corresponde ao subconjunto finito e representativo de uma população. Para obtermos 
uma boa amostra, utilizamos a técnica da amostragem.
1.4 Amostragem 
Há diversos tipos de amostragem. 
Na amostragem simples (ou aleatória), todos os itens da população têm igual chance de pertencer 
à amostra (normalmente feita por sorteio).
Sorteio
População
Amostra
Figura 2 – Amostragem simples
Já na amostragem sistemática, os itens encontram-se ordenados e enumerados, e a coleta dos 
elementos da amostra é feita periodicamente. 
População Amostra
8 7 6 5 4 3 2 1 7 4 1
Figura 3 – Amostragem sistemática
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Observação: período de três (elementos coletados, iniciando do primeiro e em seguida coletando de 
três em três).
Na amostragem estratificada, a população encontra-se dividida em vários estratos, e as amostras 
são coletadas aleatoriamente de cada estrato. 
População
Amostra
Figura 4 – Amostragem estratificada
 saiba mais
Após a leitura e a compreensão deste material, você pode aprofundar 
os estudos em amostragem (para compreender assuntos como tamanho e 
nível de confiança de amostra), lendo o livro a seguir:
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 
2007. 
Exemplos de Aplicação
1. Cite pelo menos dez aplicações da Estatística (pesquise em jornais e sites da internet).
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2. Defina os termos amostra e população.
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3. O que são dados qualitativos?
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4. O que são dados quantitativos discretos e quantitativos contínuos?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
5. Dê pelo menos oito exemplos para cada tipo de dado:
a) Qualitativo
__________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
b) Quantitativo discreto
__________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
c) Quantitativo contínuo
__________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
6. Pesquise um exemplo prático para cada tipo de amostragem.
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2.1 Conceitos básicos
Para compreender todos os conceitos, será utilizada uma amostra comoexemplo. A amostra é de 
quarenta alunos de uma escola qualquer, e a variável a ser estudada é a estatura deles em centímetros.
Segue a tabela dos valores de estaturas (em cm) coletados:
Tabela 1 – Tabela primitiva das estaturas dos alunos
166 161 162 165 164
162 168 156 160 164
155 163 155 169 170
154 156 153 156 158
160 150 160 167 160
161 163 173 155 168
152 160 155 151 164
161 172 157 158 161
Essa tabela com os dados coletados (dados brutos), sem nenhuma organização, é chamada de tabela 
primitiva.
Analisando os dados na tabela primitiva, para determinar a maior e a menor estatura, será necessário 
examinar item a item, o que tende a ser ineficiente, principalmente se o tamanho da amostra for grande. 
Logo, se os dados da tabela forem organizados em ordem crescente ou decrescente, será obtida uma 
nova tabela chamada de rol. 
Tabela 2 – Rol das estaturas dos alunos
150 155 160 162 166
151 156 160 162 167
152 156 160 163 168
153 156 160 163 168
154 157 161 164 169
155 158 161 164 170
155 158 161 164 172
155 160 161 165 173
Examinando o rol, fica fácil determinar a maior e a menor estatura (173 e 150 cm, respectivamente), 
o que permite concluir que a faixa de estaturas é de 150 a 173 cm. Outros questionamentos, como: “Qual 
é a estatura com o maior número de alunos?” (160 cm) e “Qual(is) é(são) a(s) estatura(s) inexistente(s) no 
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intervalo de 150 a 173 cm?” (159 e 171 cm), podem ser respondidos, porém com uma observação mais 
cuidadosa do rol. 
Para responder ao questionamento anterior com mais agilidade, o rol será alocado em uma 
tabela, em que cada estatura terá um número correspondente de ocorrências (vindo da contagem 
do rol).
Tabela 3 – Tabela de ocorrências das estaturas dos alunos
Estatura (cm) Número de ocorrências
150 1
151 1
152 1
153 1
154 1
155 4
156 3
157 1
158 2
159 0
160 5
161 4
162 2
163 2
164 3
165 1
166 1
167 1
168 2
169 1
170 1
171 0
172 1
173 1
 
Esta tabela de ocorrências para todos os valores das estaturas é chamada de distribuição 
de frequências. Nesse caso, como foram exibidos todos os valores de estatura, esta distribuição é 
classificada como sem intervalo.
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Tabela 4 – Distribuição de frequências sem intervalo para as estaturas dos alunos
Estatura (cm) Fi
150 1
151 1
152 1
153 1
154 1
155 4
156 3
157 1
158 2
159 -
160 5
161 4
162 2
163 2
164 3
165 1
166 1
167 1
168 2
169 1
170 1
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172 1
173 1
∑fi 40
Onde:
fi = frequência (número de ocorrências para cada valor de estatura)
∑fi = n
∑fi = soma das frequências
n = número de elementos da amostra (n = 40)
A amostra das estaturas tem a faixa de estaturas de 23 cm (basta subtrair a maior da menor estatura), 
que resulta numa tabela com muitas linhas. Se a faixa de estaturas fosse maior, a tabela teria ainda mais 
linhas, o que prejudicaria a análise rápida dos dados. 
Para gerar uma tabela mais enxuta e de fácil análise, é possível agrupar as estaturas em intervalos. No 
exemplo, as estaturas serão agrupadas de quatro em quatro, gerando intervalos de 4 cm (no momento, 
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não há a necessidade de preocupar-se com a razão de o agrupamento ser de quatro em quatro, pois 
adiante será explicado o critério de cálculo utilizado). Essa tabela é chamada de distribuição de 
frequências com intervalo. 
Tabela 5 – Distribuição de frequências com intervalo para as estaturas dos alunos
Estaturas (cm) fi
150├ 154 4
154├ 158 9
158├ 162 11
162├ 166 8
166├ 170 5
170├ 174 3
∑fi 40
Onde:
Não inclui o valor (utiliza-se o anterior)Inclui o valor
é o operador de intervalo.
Figura 5
Exemplo:
O quinto intervalo da tabela anterior que mostra 166├ 170 é para as estaturas de 166 a 169 cm 
(note que o valor 170 cm é considerado no sexto). Os valores do rol que atendem a esse intervalo são: 
166, 167, 168, 168 e 169. Estes cinco valores resultam na frequência igual a 5 para o quinto intervalo. 
A etapa da contagem dos valores do rol para a tabela de frequências deve ser feita com o máximo de 
cuidado, pois um erro na contagem ocasiona análises equivocadas e valores errados de todas as medidas 
estatísticas feitas a partir dessa tabela. 
 saiba mais
O modelo de distribuição estudado é o mais utilizado pelos autores, 
porém existem outros modelos, com outros tipos de intervalo além do ├. 
Matematicamente um intervalo pode ser representado de diversas maneiras, 
como (┤,├,├┤ e ─). 
Para mais informações sobre esse assunto, leia:
MORETTIN, L. G. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999.
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2.2 Elementos de uma distribuição de frequência
Todos os conceitos a seguir serão explicados com base na distribuição de frequências já explicada 
anteriormente (Tabela 5).
2.2.1 Classe (i)
É cada intervalo, ou cada linha para uma tabela de frequências. O total de classes de uma tabela de 
frequências é denominado k.
Exemplo: i = 3 (terceira classe: 158├ 162)
 k = 6
2.2.2 Limites de classe (li e Li)
São os extremos de cada classe.
Onde li é o limite inferior (extremo a esquerda) e Li é o limite superior (extremo a direita) da classe. 
O índice i apenas indica qual é a classe abordada.
Exemplo: l2 = limite inferior da segunda classe = 154
 L5 = limite superior da quinta classe = 170
2.2.3 Amplitude de classe (hi)
É a medida do intervalo de classe.
hi = Li - li
Exemplo: h3 = amplitude da terceira classe
h3 = L3 -l3 = 162 - 158 = 4cm
 observação
Uma distribuição com intervalos sempre terá a mesma amplitude para 
todas as classes. Note que para todos os intervalos o h é 4.
2.2.4 Amplitude amostral (AA)
É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. É obtido por meio do rol (nesse 
caso, a Tabela 2).
AA = Xmax - xmin
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Exemplo: Amplitude amostral para as estaturas dos alunos
AA = 173 - 150 = 23cm
2.2.5 Ponto médio de classe (xi)
É o ponto que divide a classe em duas partes iguais. Será muito utilizado a partir deste ponto.
xi
li Li= +
2
Exemplo: Ponto médio da segunda classe. 
x cm2
154 158
2
156= + =
2.3 tipos de frequências
2.3.1 Frequência absoluta ou simples (fi)
É o número de ocorrências para cada uma das classes, obtida por meio da contagem no rol.
Exemplo: f3 = 11 
2.3.2 Frequência relativa (fri)
É a razão da frequência simples com a soma das frequências da classe. Fornece a participação 
percentual de cada classe em relação à amostra.
 
ƒ ƒ
ƒ
ri
i
i
=
Σ
 observação
∑fi = n (a soma das frequências é igual ao número de elementos do rol).
e 
∑fri = 1 (a soma das frequências relativas deve ser sempre igual a 1, 
que indica 100%). 
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Exemplo:
ƒ ƒ
ƒ
r
i
2
2 9
40
0 225= = =
Σ
,
Isso significa que 22,5% das estaturas estão na segunda classe.
2.3.3 Frequência acumulada (Fi)
É a soma das frequências até a classe indicada.
Exemplo:
F2 = frequência acumulada da segunda classe = soma das frequências simples até a segunda classe. 
F2 = 4 + 9 = 13
Finalmente temos a distribuição com as frequências e os pontos médios calculados.
Tabela 6 – Distribuição de frequências com intervalo para as estaturas dos alunos, com as 
frequênciascalculadas 
I Estaturas (cm) fi xi fri Fi
1 150├ 154 4 152 0,100 4
2 154├ 158 9 156 0,225 13
3 158├ 162 11 160 0,275 24
4 162├ 166 8 164 0,200 32
5 166├ 170 5 168 0,125 37
6 170├ 174 3 172 0,075 40
∑ 40 1,000
• Para a coluna fi, contar cuidadosamente os elementos do rol, lembrando-se da notação de 
intervalo e considerando as repetições.
• Para facilitar a determinação da coluna xi, basta calcular o ponto médio, a primeira classe (152) e 
somar a amplitude de classe (4), intervalo por intervalo.
• Não é obrigatório, mas é altamente recomendável utilizar duas ou três casas após a vírgula para 
os valores de fri, visando sempre a um percentual preciso por classe.
• Note que o último valor de Fi é sempre a soma das frequências (∑fi).
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ESTATÍSTICA
2.4 Construção de distribuições de frequências
2.4.1 Distribuição sem intervalo
Dado o rol de uma pesquisa referente ao número de carros por residência em um determinado bairro 
de SP (n = 20).
Tabela 7 – Rol do número de carros por residência
0 1 1 2 3
0 1 1 2 3
1 1 1 2 4
1 1 2 2 4
Análise: este rol apresenta poucas possibilidades de valores para a variável, mais precisamente de 0 
a 4 carros, e isso permite concluir que a distribuição sem intervalos é a mais indicada.
Logo, para construir a distribuição de frequências sem intervalos, não existe nenhum cálculo. A 
partir do rol, basta colocar em cada classe um dos valores da variável e contar o número de ocorrências 
para cada classe.
Tabela 8 – Distribuição de frequências sem intervalo para o rol do número de carros por residência
Nº de carros Fi
0 2
1 9
2 5
3 2
4 2
∑ 20
2.4.2 Distribuição com intervalo
Com base no rol das estaturas dos alunos (n = 40), já mostrado e repetido a seguir para fins didáticos.
Tabela 9 – Repetição do rol das estaturas dos alunos
150 155 160 162 166
151 156 160 162 167
152 156 160 163 168
153 156 160 163 168
154 157 161 164 169
155 158 161 164 170
155 158 161 164 172
155 160 161 165 173
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Análise: este rol apresenta muitas possibilidades de valores para a variável, mais precisamente de 
150 a 173 cm (o que resultaria em uma distribuição sem intervalo com muitas linhas), e isso permite 
concluir que a distribuição com intervalos é a mais indicada.
Logo, para construir a distribuição de frequências com intervalos, é necessário determinar:
• o número de classes da distribuição (k)
k n=
Onde o valor de K deve ser sempre arredondado para inteiro.
Para o rol anterior:
K = =40 6 32, , arredondando para cima temos 4;
logo h = 4 (cada uma das classes terá amplitude de 4cm).
• a amplitude de classe (h)
h
AA
k
=
Em que o valor de h sempre será arredondado para cima.
Para o rol do exemplo:
h = − = =173 150
6
33
6
3 83, , arredondando para cima temos 4;
logo h = 4 (cada umadas classes terá amplitude de 4cm).
De posse das duas informações necessárias para montar uma tabela com intervalo (k = 6 e h = 4), 
realizamos o seguinte procedimento:
Passo 1: colocar o menor valor do rol no limite inferior da primeira classe.
Passo 2: somar o valor de h calculado e colocar no limite superior da primeira classe. Colocar o sinal 
de intervalo entre os limites.
Tabela 10 – Início da construção de uma distribuição sem intervalo
I Estaturas (cm)
1 150├ 154
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ESTATÍSTICA
Passo 3: repetir o limite superior da classe em foco na classe abaixo.
Tabela 11 – Andamento da construção de uma distribuição sem intervalo
I Estaturas (cm)
1 150├ 154
2 154
Passo 4: somar o valor de h (h = 4) calculado e colocar no limite superior desta classe. Colocar o 
sinal de intervalo entre os limites. 
Tabela 12 – Andamento da construção de uma distribuição sem intervalo
I Estaturas (cm)
1 150├ 154
2 154├ 158
Passo 5: repetir os passos 3 e 4 até completar o total de intervalos k calculado (k = 6). 
Passo 6: determinar as frequências simples (pela contagem no rol) para todas as classes da 
distribuição. Finalmente, somar as frequências, lembrando que ∑fi deve ser igual a n.
Tabela 13 – Distribuição sem intervalo finalizada
I Estaturas (cm) fi
1 150├ 154 4
2 154├ 158 9
3 158├ 162 11
4 162├ 166 8
5 166├ 170 5
6 170├ 174 3
∑ 40
k = 6
h=4
 observação
Esse é um dos critérios existentes para se construir uma distribuição de 
frequências com intervalo de classe. Existe também o critério de Sturges, 
que também é bem conhecido. A principal diferença está no cálculo de k, 
pois nesse caso k é dado por:
K =1+3,3 log n
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2.5 Representações gráficas
Para a distribuição com intervalo, podemos representar os dados utilizando dois tipos de gráfico: o 
histograma e o polígono de frequências.
2.5.1 Histograma (gráfico de colunas) 
• Composição:
— no eixo x (horizontal): os limites das classes da variável em estudo; 
— no eixo y (vertical): as frequências para cada uma das classes;
— a altura da barra será proporcional à frequência de cada uma das classes.
f
12
9
6
3
0
150 154 158 162 170166 174 estaturas (cm)
Figura 6 – Histograma para uma distribuição com intervalo (Tabela 13)
2.5.2 Polígono de frequências (gráfico cartesiano) 
• Composição:
— no eixo x (horizontal): os pontos médios das classes da variável em estudo; 
— no eixo y (vertical): as frequências para cada uma das classes; 
— ligar os pontos (no cruzamento das coordenadas dos eixos x e y); para fechar o polígono, deve-
se:
- subtrair a amplitude de classe (no exemplo, h = 4) do ponto médio da primeira classe (l1) 
para fechar o polígono pela esquerda (no eixo x);
- somar a amplitude de classe (h = 4) no ponto médio da última classe da distribuição para 
fechar o polígono pela direita. 
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ESTATÍSTICA
f
12
9
6
3
0
150 154 158 162 166 174170 Estaturas (cm)
Figura 7 – Polígono de frequências para uma distribuição com intervalo (Tabela 13)
3 mEdIdAs dE tENdêNCIA
Para analisar um conjunto de dados, muitas vezes é necessário obter um único valor que represente 
toda a amostra em estudo. Esse valor é usualmente obtido pelas medidas de tendência.
As medidas de tendência abordadas serão:
• a média (x);
• a moda (Mo);
• a mediana (Md).
O cálculo de cada uma das medidas de tendência será explicado em três abordagens:
• dados não agrupados (não alocados em tabelas de frequência);
• distribuição de frequência sem intervalo;
• distribuição de frequência com intervalo. 
3.1 média (x)
A média de um conjunto de dados é a soma dos dados dividida pelo número de elementos do 
conjunto.
3.1.1 Dados não agrupados
x
xi
n
= ∑
Onde: ∑xi é a soma dos valores do conjunto de dados.
 n é o número de elementos do conjunto de dados.
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Exemplo: as notas de um aluno em uma determinada disciplina durante o ano foram: 3,5; 5,0; 6,5 
e 9,0. A nota média do aluno na disciplina pode ser calculada por: 
x
n
= + + + = =3 5 5 0 6 5 9 0
4
24
6 0
, , , ,
,
3.1.2 Distribuição de frequências sem intervalo
x
xi fi
n
= ∑ .
Onde: xi.fi é a multiplicação dos valores das classes com as respectivas frequências, classe por classe.
n é o número de elementos do conjunto de dados que, nesse caso, é determinado pela soma 
das frequências.
Exemplo: dada a distribuição sem intervaloda Tabela 8, determine o número médio de veículos por 
residência em um determinado bairro.
Para armazenar os valores de xi.fi, uma coluna é criada. Em seguida, os valores da coluna são somados, 
gerando ∑xi.fi. 
Tabela 14 – Cálculo da média para uma distribuição sem intervalo
Nº de carros fi xi.fi
0 2 0 x 2 = 0
1 9 1 x 9 = 9
2 5 2 x 5 = 10
3 2 3 x 2 = 6
4 2 4 x 2 = 8 
∑ 20 ∑xi.fi = 33 
x = =33
20
165,
Logo, no bairro citado há em média 1,65 carros por residência (para efeito de interpretação, 
aproximadamente 2 carros por residência).
3.1.3 Distribuição de frequências com intervalo
x
xi fi
n
= ∑ .
Onde: xi.fi é a multiplicação dos pontos médios das classes com as respectivas frequências, classe 
 por classe.
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ESTATÍSTICA
Lembrando que: 
xi
li Li= +
2
n é o número de elementos do conjunto de dados que, nesse caso, é determinado pela soma 
das frequências.
Exemplo: dada a distribuição com intervalo da Tabela 13, determine a estatura média dos alunos 
que compõem a amostra.
O procedimento é similar ao da distribuição sem intervalo, apenas com o detalhe de xi, que para uma 
distribuição com intervalo é o ponto médio da classe.
Tabela 15 – Cálculo da média para uma distribuição com intervalo
I Estaturas (cm) fi xi xi.fi
1 150├ 154 4 (150 + 154)/2 = 152 152 x 4 = 608
2 154├ 158 9 (154 + 158)/2 = 156 156 x 9 = 1404
3 158├ 162 11 (158 + 162)/2 = 160 160 x 11 =1760
4 162├ 166 8 (162 + 166)/2 = 164 164 x 8 = 1312
5 166├ 170 5 (166 + 170)/2 = 168 168 x 5 = 840
6 170├ 174 3 (170 + 174)/2 = 172 172 x 3 = 516
∑ 40 ∑xi.fi = 6440
x cm= =6440
40
161
Logo, a estatura média para a amostra de alunos é de 161 cm.
 observação
Uma análise muito simples é comparar os dados com a média. No 
exemplo anterior, temos estaturas acima e abaixo da média. Logo, a média 
pode ser um interessante indicador de classificação.
Exemplos de Aplicação
Compare as vendas mensais com uma média histórica, para indicar o desempenho de cada vendedor.
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 observação
Além da média que estudamos, muito utilizada como indicador de 
tendência, existem outros tipos, como: a média ponderada, que também 
indica tendência, mas considera os valores da variável com pesos diferentes, 
e a média móvel em um determinado número de valores (tipicamente de 3 
a 12), largamente utilizada no cálculo de previsão. 
3.2 moda (mo)
A moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Serve para indicar as 
regiões das máximas frequências. 
3.2.1 Dados não agrupados
Dados os conjuntos a seguir, a moda será determinada analisando-se as maiores frequências.
Exemplo 1: conjunto 1
20 30 40 80 10 10 20 30 20
O valor 20 se repete mais vezes que os outros (possui maior frequência).
Mo = 20
Exemplo 2: conjunto 2
10 20 30 30 30 40 50 50 50 60
Os valores 30 e 50 se repetem mais vezes que os outros valores do conjunto; logo, existem duas 
modas (30 e 50).
Mo = 30 e Mo = 50 (conjunto bimodal) 
Exemplo 3: conjunto 3
100 110 124 145 101 200 500
Nenhum valor se repete mais vezes que os outros valores do conjunto; logo, não existe valor modal 
(conjunto amodal). 
 
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3.2.2 Distribuição de frequências sem intervalo
Para determinar a moda em uma distribuição sem intervalo, basta identificar a classe com maior 
frequência simples (classe modal). A moda será o valor da variável da classe modal.
Exemplo: dada a distribuição sem intervalo da Tabela 8, determine o valor modal dos veículos por 
residência em um determinado bairro.
Tabela 16 – Obtenção da moda para uma distribuição sem intervalo
Nº de carros fi
0 2
1 9
2 5
3 2
4 2
∑ 20
Maior fi na segunda classe (classe modal)
O valor da variável para a classe modal é igual a 1; logo, Mo = 1. 
3.2.3 Distribuição de frequências com intervalo
Para determinar a moda em uma distribuição com intervalo, inicialmente é necessária a classe modal 
(da mesma forma que na distribuição sem intervalo).
Nesse caso, a moda será obtida aplicando-se a fórmula a seguir na classe modal:
Mo l
d
d d
h= +
+
⋅* *1
1 2
 Onde: l* é o limite inferior da classe modal
 h* é a amplitude da classe modal
 d1 = f* - fant
 d2 = f* - fpost
 f* é a frequência simples da classe modal
 fant é a frequência simples anterior (acima) à classe modal.
 fpost é a frequência simples posterior (acima) à classe modal.
Existem vários modelos para cálculo da moda. O modelo aqui apresentado é o mais utilizado e 
chama-se Moda de Czuber.
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Exemplo: dada a distribuição com intervalo da Tabela 13, determine a estatura modal dos alunos 
que compõem a amostra.
Tabela 17 – Obtenção da moda para uma distribuição com intervalo
I Estaturas (cm) fi
1 150├ 154 4
2 154├ 158 9
3 158├ 162 11
4 162├ 166 8
5 166├ 170 5
6 170├ 174 3
∑ 40
Maior fi na terceira classe (classe modal)
l* = 158
h* = 4
d1 = 11 - 9 = 2
d2 = 11 - 8 = 3
Logo:
Mo
Mo
Mo cm
= +
+
⋅
= + = +
=
158
2
2 3
4
158
8
5
158 16
159 6
,
,
 observação
Assim como nos dados não agrupados, uma distribuição pode ser 
bimodal, desde que existam duas maiores frequências. Nesse caso basta 
calcular as modas para as duas classes modais. Isso vale para mais de duas 
modas em uma distribuição, ainda que essa ocorrência não seja tão comum.
3.3 mediana (md)
A mediana é o valor que caracteriza o centro de uma distribuição de frequências. Divide um conjunto 
ordenado de dados em duas partes iguais de 50% (daí o fato de a mediana ser considerada também uma 
medida de posição). 
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3.3.1 Dados não agrupados
Dados os conjuntos a seguir, antes de determinar a mediana, é necessário ordenar os dados da amostra.
Exemplo 1: conjunto ordenado 1
20 30 50 80 190 210 300
Esta é uma amostra ímpar, pois possui 7 elementos (n = 7). 
Para amostras ímpares, a mediana é o elemento central da série de dados.
20 30 50 80 190 210 300
Logo, Md = 80.
Exemplo 2: conjunto ordenado 2
100 230 300 500 600 800
Esta é uma amostra par, pois possui 6 elementos (n = 6)
Para amostras pares, existem dois elementos centrais na série de dados, então a mediana é a média 
de ambos. 
100 230 300 500 600 800
Logo, Md = (300+500) / 2 
 Md = 800 / 2
 Md = 400
3.3.2 Distribuição de frequências sem intervalo
Para determinar a mediana em uma distribuição sem intervalo é necessário:
Passo 1: determinar as frequências acumuladas (Fi) de todas as classes da distribuição.
Passo 2: identificar a classe mediana. Para isso, é necessário calcular uma referência. 
∑ ƒi
2
Passo 3: comparar o valor da referência com cada uma das frequências acumuladas. Se houver um 
Fi igual à referência, a classe deste Fi será a classe mediana. Caso contrário, deverá ser escolhido o Fi 
superior mais próximo da referência para obter a classe mediana.
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2
Passo 4: a mediana é o valor da variável da classe encontrada (classe mediana).
Exemplo: dada a distribuição sem intervalo da Tabela 8, determine o valor da mediana.
∑ = =ƒi
2
20
2
10 (referência)
Tabela 18 – Obtenção da mediana parauma distribuição sem intervalo
Nº de carros fi Fi
0 2 2
1 9 11
2 5 16
3 2 18
4 2 20
∑ 20
Valor de Fi (11) superior mais próximo da referência 
(10). Esta é a classe mediana (segunda classe).
O valor da variável para a classe mediana é igual a 1; logo, Md =1
3.3.3 Distribuição de frequências com intervalo
Para determinar a mediana em uma distribuição com intervalo, inicialmente é necessária a classe 
mediana (da mesma forma que na distribuição sem intervalo, isto é, seguindo os passos 1, 2 e 3).
Nesse caso, a mediana será obtida aplicando-se a fórmula a seguir na classe mediana:
Md l
i
Fant
h= +
∑ −


 ⋅*
*
*
ƒ
ƒ
2
Onde: l* é o limite inferior da classe mediana
 ∑fi/2 é a referência, já calculada anteriormente para a escolha da classe mediana.
 Fant é a frequência acumulada anterior (acima) à classe mediana.
 f* é a frequência simples da classe mediana.
 h* é a amplitude da classe mediana.
Exemplo: dada a distribuição com intervalo da Tabela 13, determine a estatura mediana dos alunos 
que compõem a amostra.
∑ = =ƒi
2
40
2
20 (referência)
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ESTATÍSTICA
Tabela 19 – Obtenção da mediana para uma distribuição com intervalo 
I Estaturas (cm) fi Fi
1 150├ 154 4 4
2 154├ 158 9 13
3 158├ 162 11 24
4 162├ 166 8 32
5 166├ 170 5 37
6 170├ 174 3 40
∑ 40
Valor de Fi (24) superior mais próximo da 
referência (20). Esta é a classe mediana 
(terceira classe).
l* = 158
∑fi/2 = 20
Fant = 13
f* = 11
h* = 4
Logo:
Md
Md
Md
Md
Md
= +
−[ ] ⋅
= + ⋅
= +
= +
=
159
20 13
11
4
158
7
11
4
158
28
11
158 2 55
160
,
,,55 cm
Concluindo: a estatura que divide os 50% mais altos dos 50% mais baixos é de 160,55 cm.
 observação
Além da mediana, uma medida tanto de tendência quanto de 
posição, existem outras também importantes, como o quartil, o decil e 
o percentil. O método de obtenção é muito parecido com o da mediana, 
que tem o dois como referência nos cálculos. O quartil, o decil e o 
percentil, por sua vez, dividem uma série em quatro, dez ou cem partes 
iguais. 
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4 mEdIdAs dE dIsPERsão
4.1 Introdução
As medidas de dispersão têm como finalidade indicar o quanto os dados apresentam-se dispersos 
em torno de uma região central, isto é, mostram o grau de variação em uma amostra.
As medidas de dispersão abordadas serão:
• a variância (s2); 
• o desvio-padrão (s);
• o coeficiente de variação (CV). 
 observação
Além das medidas de dispersão estudadas, existem modelos mais 
simplificados, como a amplitude e o desvio médio, que têm sua importância, 
porém não são tão utilizados como o desvio-padrão. 
O cálculo de cada uma das medidas será explicado utilizando-se as três abordagens citadas 
anteriormente.
Porém, antes de serem apresentadas as fórmulas e os métodos para o cálculo, é interessante 
acompanhar, por meio de um exemplo, o significado e a importância do cálculo da dispersão.
Exemplo: existem três grupos de pessoas (cada um com oito elementos). A variável em estudo é a 
idade dessas pessoas.
Grupo 1:
20 20 20 20 20 20 20 20
Grupo 2:
18 18 19 20 20 21 22 22
Grupo 3:
2 5 10 13 20 25 35 50
Desejamos tirar algumas conclusões sobre os três grupos analisando a principal medida de tendência, 
a média.
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ESTATÍSTICA
x do grupo
x do grupo
1
20 20 20 20 20 20 20 20
8
160
8
20
2
18 18
= + + + + + + + = =
= + +119 20 20 21 22 22
8
160
8
20
3
2 5 10 13 20 25 35 50
+ + + + + = =
= + + + + + + +x do grupo
88
160
8
20= =
Os valores das médias para os três grupos foram iguais, mas percebemos que os grupos são totalmente 
distintos quanto às idades.
• No grupo 1, todos os valores coincidem com a média, pois não existem diferenças em relação a 
esta, logo não existe dispersão. É um grupo formado somente por pessoas de 20 anos de idade.
• No grupo 2, os valores não coincidem exatamente com a média, mas também não se afastam 
muito desta, logo existe uma pequena dispersão. É um grupo formado por pessoas com idades 
próximas de 20 anos.
• No grupo 3, a maioria dos valores está bem afastada de média, logo existe uma considerável 
dispersão. É um grupo formado pelas mais diversas idades.
Conclusão: apenas utilizando a média, os três grupos apresentavam um perfil de idades igual. No 
entanto, considerando também a dispersão das idades (afastamento dos valores em relação à média), 
podemos indicar as diferenças existentes entre os três grupos.
 
4.2 Variância (s2)
É a média dos quadrados das diferenças dos valores em relação a sua média.
4.2.1 Dados não agrupados
s
xi x
n
2 = ∑ −( )
Onde: xi são os valores da variável
 x é a média do conjunto de valores
 n é o número de elementos do conjunto de valores
Exemplo: as notas que um aluno tirou em um determinada disciplina durante o ano foram:3,5; 5,0; 
6,5; e 9,0. A variância das notas do aluno na disciplina pode ser calculada por:
 
• Obtenção da média.
x = + + + = =3 5 5 0 6 5 9 0
4
24
4
6 0
, , , ,
,
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• Obtenção da variância utilizando uma tabela para organizar os cálculos.
Tabela 20 – Tabela para auxiliar na obtenção da variância de dados não agrupados
xi xi - x (xi - x)2
3,5 3,5 - 6 = -2,5 (-2,5)2 = 6,25
5,0 5 - 6 = -1 (-1)2 = 1
6,5 6,5 – 6 = 0,5 (0,5)2 = 0,25
9,0 9 - 6 = 3 (3)2 = 9
24 ∑(xi - x)2 = 16,5
s2
16 5
4
4 13= =, ,
 Lembrete
O número elevado ao quadrado é o produto do número por ele mesmo. 
Para os cálculos deste livro, uma calculadora com operações básicas (+, -, x 
e /) e raiz quadrada é mais que suficiente. 
4.2.2 Distribuição de frequências sem intervalo
s
xi x i
n
2
2
= ∑ − ⋅( ) ƒ
Onde: xi são os valores da variável para cada classe
 x é a média dos valores da distribuição
 fi é a frequência simples de cada classe
 n é o número de elementos do conjunto de valores
Exemplo: dada a distribuição sem intervalo da Tabela 8, determine a variância de veículos por 
residência em um determinado bairro.
• Obtenção da média (já vista no item 3.1.2).
x carros= =33
20
165,
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ESTATÍSTICA
Tabela 21 – Cálculo da variância para uma distribuição sem intervalo 
Nº de carros (xi) fi xi.fi xi - x (xi - x)2 (xi - x)2.fi
0 2 0 x 2 = 0 0 - 1,65 = -1,65 (-1,65)2 = 2,72 2,72 x 2 = 5,44
1 9 1 x 9 = 9 1 - 1,65 =- 0,65 (-0,65)2 = 0,42 0,42 x 9 = 3,78
2 5 2 x 5 = 10 2 - 1,65 = 0,35 (0,35)2 = 0,12 0,12 x 5 = 0,60
3 2 3 x 2 = 6 3 - 1,65 = 1.35 (1,35)2 = 1,82 1,82 x 2 = 3,64
4 2 4 x 2 = 8 4 - 1,65 = 2,35 (2,35)2 = 5,52 5,52 x 2 = 11,04
∑ 20 ∑xi.fi = 33 ∑(xi - x)2.fi = 24,5
Logo:
s carros2 2
24 5
20
123= =, ,
 observação
Um dos problemas do uso direto da variância é que a unidade e o valor 
estarão elevados ao quadrado.
4.2.3 Distribuição de frequências com intervalo
Considere:
s
xi x i
n
2
2
= ∑ − ⋅( ) ƒ
Onde:
xi é o ponto médio para cada classe
Lembrando que:
xi
li Li= +
2
Onde: x é a média dos valores da distribuição
 fi é a frequência simples de cada classe
 n é o número de elementos do conjunto de valores
Exemplo: dada a distribuição com intervalo da Tabela 13, determine a variância das estaturas dos 
alunos que compõem a amostra.
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O procedimento é similar ao da distribuição sem intervalo, apenas com o detalhe de xi, que para uma 
distribuição com intervalo é o ponto médio da classe.
Tabela 22a-b – Cálculo da variância para uma distribuição com intervalo 
a)
I Estaturas (cm) fi Xi xi.fi
1 150├ 154 4 (150 + 154)/2 = 152 152 x 4 = 608
2 154├ 158 9 (154 + 158)/2 = 156 156 x 9 = 1404
3 158├ 162 11 (158 + 162)/2 = 160 160 x 11 =1760
4 162├ 166 8 (162 + 166)/2 = 164 164 x 8 = 1312
5 166├ 170 5 (166 + 170)/2 = 168 168 x 5 = 840
6 170├ 174 3 (170 + 174)/2 = 172 172 x 3 = 516
∑ 40 ∑xi.fi = 6440
x cm= =6440
40
161
b)
xi - x (xi - x)2 (xi - x)2.fi
152 - 161 = -9 (-9)2 = 81 81 x 4 = 324
156 - 161 = -5 (-5)2 = 25 25 x 9 = 225
160 -161 = -1 (-1)2 = 1 1 x 11 = 11
164 -161 = 3 (3)2 = 9 9 x 8 = 72
168 -161 = 7 (7)2 = 49 49 x 5 = 245
172 - 161 = 11 (11)2 = 121 121 x 3 = 363
∑(xi - x)2.fi = 1240
Logo:
s cm2 2
1240
40
31= =
4.3 desvio-padrão (s)
É a raiz quadrada da variância. É a medida de dispersão mais utilizada, por ter a mesma unidade que 
a média, possibilitando uma melhor avaliação da dispersão da amostra.
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4.3.1 Dados não agrupados
Considere:
s
xi x
n
= −Σ( )
2
Onde: xi são os valores da variável
 x é a média do conjunto de valores
 n é o número de elementos do conjunto de valores
Utilizando o mesmo exemplo do item 4.2.1:
s2
16 5
4
4 13= =, ,
Logo:
s = =4 13 2 03, ,
4.3.2 Distribuição de frequências sem intervalo
Considere:
s
xi x i
n
2
2
= − ⋅Σ( ) ƒ
Onde: xi são os valores da variável para cada classe
 x é a média dos valores da distribuição
 fi é a frequência simples de cada classe
 n é o número de elementos do conjunto de valores
Utilizando o mesmo exemplo do item 4.2.2:
s carros2 2
24 5
20
123= =, ,
Logo:
s carros= =123 111, ,
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4.3.3 Distribuição de frequências com intervalo
Considere:
s
xi x i
n
= − ⋅Σ( )
2 ƒ
Onde: xi é o ponto médio para cada classe
Lembrando que: xi
li Li= +
2
x é a média dos valores da distribuição
fi é a frequência simples de cada classe
n é o número de elementos do conjunto de valores
Utilizando o mesmo exemplo do item 4.2.3:
s cm2 2
1240
40
31= =
Logo:
s cm= =31 5 57,
4.4 Coeficiente de variação (CV)
É o quociente entre o desvio-padrão e a média. É a medida de dispersão relativa, que indica a 
variabilidade percentual da amostra em relação à média. 
CV
s
x
= ⋅100
A unidade do coeficiente de variação é uma porcentagem (%).
A fórmula e o método de cálculo são exatamente os mesmos para as três abordagens apresentadas.
Vale ressaltar que quanto maior o CV, maior será a variabilidade dos dados do conjunto, em relação 
a sua média.
Exemplo: calcular o coeficiente de variação do exemplo abordado no item 4.3.3 (estaturas dos 
alunos).
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ESTATÍSTICA
Como:
x = 161 cm
s = 5,57 cm
Logo:
CV = ⋅ = =5 57
161
100
557
161
3 46
,
, %
As estaturas têm uma variabilidade de 3,46% em relação à média.
 Resumo
Nesta Unidade abordamos inicialmente os principais conceitos teóricos 
para o estudo dos métodos estatísticos.
Foi apresentada a definição de Estatística bem como a sua divisão em 
Estatística Descritiva e Indutiva. Neste livro-texto abordaremos a maior 
parte da Estatística Descritiva e o início da Indutiva. Conceitos como os 
tipos de dados, que podem ser quantitativos (subdivididos em discretos 
e contínuos) e qualitativos, foram abordados com uma quantidade 
significativa de exemplos para a perfeita compreensão. 
Vimos ainda as definições de população e amostra, e foi feita uma 
breve explicação introdutória de amostragem, em que foram exibidos seus 
principais tipos (aleatória, sistemática e estratificada).
Estudamos as formas de se armazenar dados quantitativos, que 
anteriormente estavam sob a forma de uma tabela primitiva ou um rol, em 
distribuições de frequências.
Aprendemos que existem dois tipos de distribuições de frequências: sem 
intervalo de classe e com intervalo de classe. Abordamos as diferenças e os 
métodos para a construção de uma tabela de frequências, com ou sem intervalo. 
Ressaltamos que erros, tanto na montagem da tabela quanto na contagem dos 
valores do rol, resultam em análise e medidas/indicadores errados.
Na sequência, apresentamos os principais tipos de frequências 
existentes (simples, relativa e acumulada) e as suas respectivas finalidades. 
Mostramos também a montagem de gráficos (histograma e polígono de 
frequências) para distribuições de frequências com intervalo (por serem as 
mais utilizadas na prática). 
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Além disso, estudamos as três principais medidas de tendência: a 
média, a moda e a mediana. As medidas foram analisadas sob três 
abordagens distintas (dados não agrupados, distribuição de frequência 
sem intervalo e distribuição de frequência com intervalo), pois os 
métodos de obtenção das medidas apresentam significativas diferenças 
para cada abordagem.
Vimos que a média de dados não agrupados é a média aritmética, 
muito utilizada academicamente para verificar o aproveitamento do aluno 
em uma disciplina. Aprendemos ainda que para a obtenção da média para 
distribuição de frequência, devemos levar em conta tanto a frequência 
quanto o valor da variável.
Abordamos a moda, que indica a(s) maior(es) frequências em 
uma série de dados. Foram apresentadas as três abordagens para a 
obtenção. A mediana, posição que indica o centro de uma série de 
dados (divide a série em duas partes de 50%) também foi apresentada 
das três maneiras. 
No que se refere às medidas de dispersão, estudamos três das principais, 
novamente nas três abordagens (dados não agrupados, distribuição sem 
intervalo e distribuição com intervalo).
Aprendemos que a variância, definida pela média dos quadrados das 
diferenças dos valores em relação a sua média, é importante, porém 
não muito utilizada, pelo fato de a unidade da grandeza envolvida no 
cálculo estar elevada ao quadrado. Vimos, entretanto, que o desvio-
padrão, cuja definição é a raiz quadrada da variância, é muitíssimo 
utilizado em várias áreas do conhecimento, para quantificar a dispersão 
de uma série de dados.
Para termos uma noção percentual da dispersão em relação à média, 
foi apresentado o coeficiente de variação, que é uma medida de dispersão 
derivada do desvio-padrão e da média dos dados analisados. 
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ESTATÍSTICA
 Exercícios
Questão 01. Considere as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos.
Tabela 23 – Notas dos alunos no teste de inteligência
64 78 66 82 74 103 78 86 103 87
73 95 82 89 73 92 85 80 81 90
78 86 78 101 85 98 75 73 90 86
86 84 86 76 76 83 103 86 84 85
76 80 92 102 73 87 70 85 79 93
82 90 83 81 85 72 81 96 81 85
68 96 86 70 72 74 84 99 81 89
71 73 63 105 74 98 78 78 83 96
95 94 88 62 91 83 98 93 83 76
94 75 67 95 108 98 71 92 72 73
Construa uma distribuição de frequência com intervalos. Obtida a distribuição, calcule as frequências 
relativas e acumuladas.
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Resolução:
Tabela 24
 Rol
62 72 74 78 81 84 86 89 94 98
63 72 74 78 81 84 86 90 94 98
64 72 75 78 82 84 86 90 95 99
66 73 75 78 82 85 8690 95 101
67 73 76 79 82 85 86 91 95 102
68 73 76 80 83 85 86 92 96 103
70 73 76 80 83 85 87 92 96 103
70 73 76 81 83 85 87 92 96 103
71 73 78 81 83 85 88 93 98 105
71 74 78 81 83 86 89 93 98 108
k
h
h
= =
= − =
=
100 10
108 62
10
4 6
5
,
Tabela 25
notas fi fri Fi
62 ├ 67 4 0,0400 4
67 ├ 72 6 0,0600 10
72 ├ 77 18 0,1800 28
77 ├ 82 14 0,1400 42
82 ├ 87 24 0,2400 66
87 ├ 92 9 0,0900 75
92 ├ 97 13 0,1300 88
97 ├ 102 6 0,0600 94
102 ├ 107 5 0,0500 99
107 ├ 112 1 0,0100 100
100 1
Questão 02. Os números representam cotações (em US$) de uma determinada ação, durante certo período.
Tabela 26 – Cotações da ação
3,39 3,34 3,99 3,94 3,06
3,00 3,00 3,18 3,05 3,10
3,15 3,17 3,35 3,50 3,45
3,06 3,30 3,75 3,60 3,42
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ESTATÍSTICA
Construa uma distribuição de frequência com intervalos. Obtida a distribuição, calcule as frequências 
relativas e acumuladas.
Resolução:
Tabela 27
 Rol
3,00 3,06 3,18 3,39 3,60
3,00 3,10 3,30 3,42 3,75
3,05 3,15 3,34 3,45 3,94
3,06 3,17 3,35 3,50 3,99
k
h
h
= = =
= − =
=
20 4 47 4
3 99 3 00
4
0 2475
0 25
,
, ,
,
,
Tabela 28
notas fi fri Fi
3,00 ├ 3,25 9 0,4500 4
3,25 ├ 3,50 6 0,3000 10
3,50 ├ 3,75 2 0,1000 28
3,75 ├ 4,00 3 0,1500 42
20 1
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2
Os exercícios 3 e 4 mostram as seguintes situações:
— A construção de uma distribuição com intervalo de outra maneira.
— Uma distribuição com a configuração diferente das vistas até o momento.
Questão 03. Foi feita uma estatística do número de casamentos realizados por semana numa certa 
cidade, durante as 52 semanas de um dado ano. O número de casamentos em cada semana está na 
tabela seguinte.
Tabela 29 – Estatística do número de casamentos
6 4 2 8 18 16 10 6 7 5 12 8 9
12 17 11 9 16 19 18 18 16 14 12 7 10
3 8 7 12 5 9 11 15 9 4 1 6 11
7 11 10 15 3 2 13 9 11 17 13 12 8
Construa uma distribuição de frequências com cinco classes de amplitudes iguais, sendo a primeira 
de 0 ├ 4. Obtida a distribuição, calcule as frequências relativas e acumuladas.
Resolução:
Tabela 30
1 3 5 7 8 9 9 11 11 12 14 16 18
2 4 6 7 8 9 10 11 12 12 15 16 18
2 4 6 7 8 9 10 11 12 13 15 17 18
3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 17 19
k = 5 (enunciado)
h = 4 (enunciado)
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ESTATÍSTICA
Tabela 31
fi fri Fi
0 ├ 4 5 0,096 5
4 ├ 8 11 0,212 16
8 ├ 12 17 0,327 33
12 ├ 16 10 0,192 43
16 ├ 20 9 0,173 52
52 1
Questão 04. A tabela a seguir mostra uma distribuição de frequências da duração de 400 válvulas 
de rádio, produzidas por uma determinada fábrica.
Tabela 32 – Duração das válvulas (em horas)
Duração (h) Número de válvulas
300 – 399 14
400 – 499 46
500 – 599 58
600 – 699 76
700 – 799 68
800 – 899 62
900 – 999 48
1000 – 1099 22
1100 – 1199 6
Com referência na tabela, determine:
a) A amplitude amostral.
b) O número de classes da distribuição.
c) O limite superior da quinta classe.
d) O limite inferior da oitava classe.
e) O ponto médio da sétima classe.
f) A amplitude de intervalo da segunda classe.
g) A frequência da quarta classe.
h) A frequência relativa da sexta classe.
i) A frequência acumulada até a terceira classe.
j) A porcentagem das válvulas cuja duração não excede 599 horas.
k) A porcentagem das válvulas de duração maior ou igual a 900 horas.
l) A porcentagem de válvulas cuja duração é de 500 horas no mínimo, mas inferior a 1000 horas.
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Resolução:
Tabela 33
Duração (horas) Número de válvulas fri Fi xi
300 – 399 14 0,04 14 349,5
400 – 499 46 0,12 60 449,5
500 – 599 58 0,15 118 549,5
600 – 699 76 0,19 194 649,5
700 – 799 68 0,17 262 749,5
800 – 899 62 0,16 324 849,5
900 – 999 48 0,12 372 949,5
1000 – 1099 22 0,06 394 1050
1100 – 1199 6 0,02 400 1150
400 1
a) AA = 1.199 - 300 = 899
b) K = 9
c) L5 = 799
d) l8 = 1000
e) x7 = (999 + 900) / 2 = 949,5
f) h2 = 499 - 400 = 99
g) f4 = 76
h) fr6 = 0,16
i) F3 = 118
j) % = 0,04 + 0,12 + 0,15 = 0,31 = 31%
k) % = 0,12 + 0,06 + 0,02 = 0,20 = 20%
l) % = 0,15 + 0,19 + 0,17 + 0,16 + 0,12 = 0,79 = 79%
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ESTATÍSTICA
Questão 05. Dada a distribuição: 
Tabela 34 – Distribuição dos lotes de acordo com a área (em metros quadrados)
Áreas (m2) Número de lotes
300├ 400 14
400├ 500 46
500├ 600 58
600├ 700 76
700├ 800 68
800├ 900 62
900├ 1000 48
1000├ 1100 22
1100├ 1200 6
Determine: 
a) Os pontos médios.
b) As frequências relativas.
c) As frequências acumuladas.
d) O histograma.
e) O polígono de frequência.
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Resolução:
Tabela 35
Áreas (m2) Número de lotes xi fri Fi
300├ 400 14 350 0,035 14
400├ 500 46 450 0,115 60
500├ 600 58 550 0,145 118
600├ 700 76 650 0,190 194
700├ 800 68 750 0,170 262
800├ 900 62 850 0,155 324
900├ 1000 48 950 0,120 372
1000├ 1100 22 1050 0,055 394
1100├ 1200 6 1150 0,015 400
400 1
Gráficos conforme a definição.
Questão 06. A tabela a seguir apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, 
durante um mês, por um estabelecimento comercial:
Tabela 36 – Número de aparelhos vendidos no período
10 12 13 13 14 15
11 12 13 14 14 15
11 12 13 14 14 16
11 12 13 14 14 17
a) Forme uma distribuição de frequências sem intervalos de classes.
b) Determine as frequências relativas e acumuladas.
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2
ESTATÍSTICA
Resolução:
Tabela 37
10 12 13 13 14 15
11 12 13 14 14 15
11 12 13 14 14 16
11 12 13 14 14 17
Tabela 38
xi fi fri Fi
10 1 0,0417 1
11 3 0,1250 4
12 4 0,1667 8
13 5 0,2083 13
14 7 0,2917 20
15 2 0,0833 22
16 1 0,0417 23
17 1 0,0417 24
24 1
Questão 07. Dada a distribuição: 
Tabela 39 – Distribuição para a Questão 07
I Classes fi
1 4├ 8 2
2 8├ 12 5
3 12├ 16 9
4 16├ 20 6
5 20├ 24 2
6 24├ 28 1
Determine:
a) Os pontos médios.
b) As frequências relativas.
c) As frequências acumuladas.
d) O histograma.
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2
a) O polígono de frequência
Resolução:
Tabela 40
i Classes fi xi fri Fi
1 4├ 8 2 6 0,080 2
2 8├ 12 5 10 0,200 7
3 12├ 16 9 14 0,360 16
4 16├ 20 6 18 0,240 22
5 20├ 24 2 22 0,080 24
6 24├ 28 1 26 0,040 25
25 1
Gráficos conforme a definição.
Questão 08. Considerando os conjuntos de dados:
A. 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6
B. 20 9 7 2 12 7 20 15 7
C. 51,6 48,7 50,3 49,5 48,9 
Determine a média, a mediana e a moda.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
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ESTATÍSTICA
Resolução: 
a)
2 2 3 5 5 5 6 6 8 9
n=10
x = (2+2+3+5+5+5+6+6+8+9)/10 = 51/10=5,1
Md =(5+5)/2=5
Mo=5 
b)
2 7 7 7 9 12 15 20 20
n = 9
x = (2 + 7 +7 + 7 + 9 + 12 + 15 + 20 + 20)/9 = 99/9 = 11
Md = 9
Mo = 7 
c)
48,7 48,9 49,5 50,3 51,6
n = 5
x = (48,7 + 48,9 + 49,5 + 50,3 + 51,6)/5 = 249/5=49,8
Md = 49,5
Série amodal. 
Questão 09. Considerando a distribuição a seguir:
Tabela 41 – Distribuição referente à Questão 09 
Xi 3 4 5 6 7 8
Fi 4 8 11 10 8 3
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-1
2
Calcule a média, a mediana e a moda.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Resolução:
Tabela 42
Xi fi xi.fi Fi
3 4 12 4
4 8 32 12
5 11 55 23
6 10 60 33
7 8 56 41
8 3 24 44
44 239
x
Mo
i
= =
=
= =∑
239
44
5 43
5
2
44
2
22
,
ƒ
 
Classe mediana = terceira classe
Md = 5
Questão 10. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
Tabela 43 – Distribuição dos alunos de acordo com as respectivas notas
Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1
Calcule a nota média, a nota mediana e a nota modal.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
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2
ESTATÍSTICA
Resolução:
Tabela 44
Notas Nº de alunos xi.fi Fi
2 1 2 1
3 3 9 4
4 6 24 10
5 10 50 20
6 13 78 33
7 8 56 41
8 5 40 46
9 3 27 49
10 1 10 50
50 296
x
Mo
i
= =
=
= =∑
296
50
5 92
6
2
50
2
25
,
ƒ
 
Classe mediana = quinta classe
Md = 6
Questão 11. Dadas as distribuições de frequência, calcule a média, a mediana e a moda para cada 
uma delas:
a)
Tabela 45 – Distribuição de notas
Notas fi
0├2 5
2├4 8
4├6 14
6├8 10
8├10 7
∑=44
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2
b)
Tabela 46 – Distribuição de estaturas (em centímetros)
Estaturas (cm) fi
150├158 5
158├166 12
166├174 18
174├182 27
182├190 8
∑=70
c)
Tabela 47 – Distribuição de salários (em reais)
Salários (R$) fi
500├700 18
700├900 31
900├1100 15
1100├1300 3
1300├1500 1
1500├1700 1
1700├1900 1
∑=70
d)
Tabela 48 – Distribuição de pesos (em quilogramas)
Pesos (kg) fi
145├151 10
151├157 9
157├163 8
163├169 6
169├175 3
175├181 3
181├187 1
∑=40
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
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2
ESTATÍSTICA
Resolução:
a)
Tabela 49
Notas fi xi xi.fi Fi
0├2 5 1 5 5
2├4 8 3 24 13
4├6 14 5 70 27
6├8 10 7 70 37
8├10 7 9 63 44
 ∑=44 232
x = =232
44
5 27,
Classe modal = terceira classe
Mo
i
= +
+
⋅ = =
= =∑
4
6
6 4
2 4
12
10
5 2
2
44
2
22
,
ƒ
Classe mediana = terceira classe
Md = + − ⋅ = + =4 22 13
14
2 4
18
14
5 29
[ ]
,
b)
Tabela 50
Estaturas (cm) fi xi xi.fi Fi
150├158 5 154 770 5
158├166 12 162 1944 17
166├174 18 170 3060 35
174├182 27 178 4806 62
182├190 8 186 1488 70
 ∑=70 12068
x = =12068
70
172 4,
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2
Classe modal = quarta classe
Mo
i
= +
+
⋅ = =
= =∑
174
6
9 19
8 174
78
22
176 57
2
70
2
35
,
ƒ
Classe mediana = terceira classe
Md = + − ⋅ = =166 35 17
18
8 166
144
18
174
[ ]
c)
Tabela 51
Salários (R$) fi xi xi.fi Fi
500├700 18 600 10800 18
700├900 31 800 24800 49
900├1100 15 1000 15000 64
1100├1300 3 1200 3600 67
1300├1500 1 1400 1400 68
1500├1700 1 1600 1600 69
1700├1900 1 1800 1800 70
 ∑=70 59000
x = =59000
70
842 86,
Classe modal = segunda classe
Mo
i
= +
+
⋅ = + =
= =∑
700
13
13 16
200 700
2600
29
789 66
2
70
2
35
,
ƒ
Classe mediana = segunda classe
Md = + − ⋅ = + =700 13 18
31
200 700
3400
31
809 68
[ ]
,
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ESTATÍSTICA
d)
Tabela 52
Pesos (kg) fi xi xi.fi Fi
145├151 10 148 1480 10
151├157 9 154 1386 19
157├163 8 160 1280 27
163├169 6 166 996 33
169├175 3 172 516 36
175├181 3 178 534 39
181├187 1 184 184 40
 ∑=40 6376
x = =6376
40
159 4,
Classe modal = primeira classe
Mo
i
= +
+
⋅ = + =
= =∑
145
10
10 1
6 145
60
11
150 45
2
40
2
20
,
ƒ
Classe mediana = terceira classe
Md = + − ⋅ = + =157 20 19
8
6 157
6
8
157 75
[ ]
,
Questão 12. A empresa Tintas Brasil Ltda. está estudando uma forma de nivelar sua produção 
durante o ano. O Departamento de Marketing fez uma pesquisa de mercado e descobriu que o setor de 
tintas é altamente sazonal (muitas famílias resolvem pintar suas residências no quarto trimestre, em 
razão do período de festas). O gráfico a seguir mostra as previsões de vendas para o próximo ano.
100
50
40
30
1º 2º 3º 4º
Milhares de 
Galões
Trimestre
Figura 8 – Previsões de vendas
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2
De quantos milhares de galões deve ser o nível de produção trimestral da empresa para nivelar sua 
produção?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Resolução:
100
50
40
30
1º 2º 3º 4º
Milhares de 
Galões
Trimestre
Figura 9
Para nivelar a produção basta calcular a média das alturas das barras do gráfico.
x = + + + = =30 50 40 100
4
220
4
55
Questão 13. Uma empresa produtora de cosméticos vende seus produtos diretamente ao consumidor 
final de porta em porta, possuindo uma elevada quantidade de vendedoras comissionadas. A empresa 
precisa alavancar suas vendas e chega à conclusão de que deverá, para tanto, implantar um treinamento 
específico para as vendedoras menos eficientes. Resolveu também que, por motivo de custos, deveria 
oferecer esse treinamento apenas a 50% das vendedoras de pior desempenho, relacionado diretamente 
com as comissões obtidas. O supervisor de treinamento está, nesse momento, redigindo a convocação 
para o treinamento. 
Tabela 53 – Relação de vendedoras e respectivas comissões
Faixas monetárias Comissões recebidas nos últimos seis meses Quantidade de vendedoras comissionadas
I R$ 1.500,00 ├ R$ 3.500,00 15
II R$ 3.500,00 ├ R$ 5.500,00 46
III R$ 5.500,00├ R$ 7.500,00 78
IV R$ 7.500,00 ├ R$ 9.500,00 97
V R$ 9.500,00├ R$ 11.500,00 132
VI R$ 11.500,00├ R$ 13.500,00 154
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2
ESTATÍSTICA