Aula_07 Topografia Nivelamento Trigonométrico

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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO
Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. 
As fontes de erro poderão ser:
• Condições ambientais: causados pelas variações das condições ambientais, como vento, temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena com a variação da temperatura.
• Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de equipamento ou ajuste do mesmo. 
A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida adotando técnicas de verificação/retificação, calibração e classificação, além de técnicas particulares de observação.
• Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma medição, cansaço, etc.
Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão ser
classificados em:
• Erros grosseiros
• Erros sistemáticos
• Erros aleatórios
ERROS GROSSEIROS
Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou detectar a sua presença. 
A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros.
Alguns exemplos de erros grosseiros:
• anotar 196 ao invés de 169;
• engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena.
ERROS SISTEMÁTICOS
São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a aplicação de fórmulas específicas. 
São erros que se acumulam ao longo do trabalho.
Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas específicas:
• efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de distância;
As variações nas condições atmosféricas causam um aumento ou diminuição na velocidade de propagação da onda eletromagnética e provocam, consequentemente, os erros sistemáticos nas medidas das distâncias.
• correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura.
Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância entre as miras durante o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que proporciona a minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular.
ERROS ACIDENTAIS OU ALEATÓRIOS
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande.
De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuição de frequência que muito se aproxima da distribuição normal.
PECULIARIDADE DOS ERROS ACIDENTAIS
• Erros pequenos ocorrem mais frequentemente do que os grandes, sendo mais prováveis;
• Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual frequência, ou são igualmente prováveis;
• A média dos resíduos é aproximadamente nula;
• Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar próximo ao valor real.
Exemplo de erros acidentais:
• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida;
• Erro de pontaria na leitura de direções horizontais.
PRECISÃO E ACURÁCIA (EXATIDÃO)
A Topografia vem ao longo do tempo tendo resultados bastante espantosos quanto à precisão e à acurácia na obtenção de medidas.
Antes os erros métricos eram considerados toleráveis, já hoje são os milimétricos para distâncias e segundos para ângulos.
Diante disso, surgem dois conceitos importantes em busca do aprimoramento deste aperfeiçoamento, quais sejam: acurácia (exatidão) e precisão.
A precisão é obtida quando são realizadas diversas mensurações, as quais resultam em valores bastante próximos uns dos outros.
Então, pode-se notar que, as duas maneiras de se falar são diferentes e independentes.
O grau de precisão/acurácia vai variar da metodologia
aplicada, dos instrumentos, do tempo e do operador.
Na verdade, por mais modernos que sejam os instrumentos e métodos de medição, e por mais repetições que se façam na obtenção de valores de uma medida, nunca se saberá com certeza qual o valor real da grandeza medida.
PRECISÃO E ACURÁCIA
A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios.
A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos. 
O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro. 
Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não
apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez.
CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNCULO QUALQUER,CONHECENDO-SE APENAS AS MEDIDAS DOS LADOS.
Também conhecido como fórmula de Heron, permite o cálculo da área de um triângulo utilizando-se apenas das medidas de seus lados.
Heron (também escrito como Hero e Herão) de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.) foi um sábio do começo da era cristã.
Geômetra e engenheiro grego, Heron esteve ativo em torno do ano 62. É especialmente conhecido pela fórmula que leva seu nome e se aplica ao cálculo da área do triângulo.
FÓRMULA DE HERON
EXERCÍCIOS
1 – Aplicando a fórmula de Heron, calcule a área da região triangular limitada pelo triângulo cujos lados medem 4 m, 6 m e 8 m.
Nivelamento Trigonométrico
Ângulos Verticais: 
O ângulo vertical é o ângulo de inclinação da luneta e é fornecido pelo aparelho.
Equipamentos:
Teodolito
Balizas
Trenas
Estação Total
Balizas
Prismas
20
Os ângulos verticais podem ser:
α (vertical-horizontal → medido a partir da linha do horizonte)
Z (zenital → medido a partir da linha zênite) 
 N (nadiral → medido a partir da linha nadir).
Ângulos verticais
 No plano vertical, que está paralelo ao eixo zênite-nadir, os ângulos verticais são aqueles lidos a partir de uma origem escolhida pelo topógrafo, para medição desse ângulo em um determinado lugar. De acordo com o início de sua contagem, são denominados de ângulos zenitais, de inclinação e nadiral.
Os ângulos verticais zenitais são aqueles que o início de sua contagem é no Zênite 0º, acima do instrumento seguindo a direção da gravidade, e vai até o nadir 180º, passando pelo centro do instrumento em direção ao centro da Terra seguindo a linha da gravidade. 
A maioria dos teodolitos, utilizam o ângulo zenital como seu ângulo vertical para evitar a mesma medida em direções diferentes, como por exemplo: podemos ter 46º para o aclive e 46º para o declive em ângulo vertical de inclinação. 
Já no ângulo vertical zenital a mesma situação com as medidas serão 46º e 136º.
Os ângulos verticais de inclinação são aqueles que têm seu início de contagem no plano horizontal 0º e vão até o Zênite (90º) e até o Nadir (90º), assumindo valores positivos no primeiro caso e negativos no segundo. 
Os ângulos verticais nadirais são aqueles que têm sua origem no Nadir 0º e vão até o Zênite 180º.
Nivelamento trigonométrico:
“nivelamento que realiza a medição da diferença de nível entre pontos no terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo vertical da direção que os une e da distância entre estes, fundamentando-se na relação trigonométrica entre oângulo e a distância medidos, levando em consideração a altura do centro do limbo vertical do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado.” ABNT (1994, p.4).
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
O nivelamento trigonométrico baseia-se na resolução de um tri ângulo retângulo. 
Para tanto, é necessário coletar em campo, informações relativas à distância (horizontal ou inclinada), ângulos (verticais, zenitais ou nadirais), além da altura do instrumento e do refletor.
Este método de determinação de desnível pode ser dividido em nivelamento trigonométrico de lances curtos e lances longos.
N
Z
Hz
Nadiral
Zenital
DV
DH
DI
Zênite
Nadir
	Distancia inclinada
Distancia Vertical
Distancia Horizontal
27
ΔhAB = hi – hs + Di cos(Z) 
ΔhAB = Desnível entre os pontos A e B sobre o terreno;
hi = Altura do instrumento;
hs = Altura do sinal (prisma);
Di = Distância inclinada;
Dh = Distância horizontal;
Dv = Distância vertical;
Z = Ângulo zenital.
Um Engenheiro Cartógrafo foi contratado para determinar o desnível entre um marco geodésico localizado na praça pública da cidade de Mariano Moro (RS) e uma colina afastada de aproximadamente 100 metros. Os dados coletados no campo são os
seguintes.
Dados:
Di = 124,32 m
Z = 81° 10’ 25”
hi = 1,45 m
hs = 1,67 m
ΔhAB = hi – hs + Di cos(Z)
ΔhAB = 1,45 – 1,67 + 124,32 . Cos 81° 10’ 25”
ΔhAB = 18,86 m
 
ΔhAB = Desnível entre os pontos A e B sobre o terreno;
hi = Altura do instrumento;
hs = Altura do sinal (prisma);
Di = Distância inclinada;
Dh = Distância horizontal;
Dv = Distância vertical;
Z = Ângulo zenital.
Idem ao anterior, agora com uma distância Di =187,23 m.
ΔhAB = hi – hs + Di cos(Z)
ΔhAB =
Dados:
Di = 187,23 m
Z = 81° 10’ 25”
hi = 1,45 m
hs = 1,67 m
Objetivando determinar a profundidade de uma mina de exploração de minérios um topógrafo realizou as seguintes observações:
Dados:
Di = 101,3 m
Z = 132° 14’ 33”
hi = 1,54 m
hs = 1,56 m
ΔhAB = hi – hs + Di cos(Z)
MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS
Uma distância é medida de maneira indireta, quando no campo são observadas grandezas que se relacionam com esta, através de modelos matemáticos previamente conhecidos. 
Ou seja, é necessário realizar alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo, para se obter indiretamente o valor da distância.
TAQUEOMETRIA OU ESTADIMETRIA
As observações de campo são realizadas com o auxílio de teodolitos. Os teodolitos serão descritos com mais propriedade no capítulo Medidas de Ângulos.
Com o teodolito realiza-se a 
medição do ângulo vertical ou 
ângulo zenital, o qual, em 
conjunto com as leituras efetuadas,
 será utilizado no cálculo da distância.
As estádias, ou miras estadimétricas são réguas graduadas centimetricamente, ou seja, cada espaço branco ou preto corresponde a um centímetro. Os decímetros são indicados ao lado da escala centimétrica (no caso do exemplo a seguir o número 1 corresponde a 1 decímetro, ou 10 cm), localizados próximo ao meio do decímetro correspondente (5 cm). A escala métrica é indicada com pequenos círculos localizados acima da escala decimétrica, sendo que o número de círculos corresponde ao número de metros (utilizando a figura como exemplo, acima do número 1 são representados três círculos,
então, esta parte da mira está aproximadamente a três metros do chão)
Superior: 3,095m
Médio: 3,067m
Inferior: 3,040m
Obtenção da Diferença de Nível (DN) em dois pontos com ângulo de (DH) diferente de zero (distância inclinada)
Distancia Horizontal
Diferença de nível
Ângulo = 0
DN = DH . tg a.
DN = catop
DH = cat adj
Tg a = cat op cat op = cat adj . Tg a 
 cat adj 
 ou seja
 
 DN = DH . Tg a
a
Distancia inclinada
Distancia inclinada
Para a medição de DH é necessário, por exemplo, a instalação de um teodolito no ponto A, e da mira-falante no ponto B. Ao se colocar o teodolito no ponto A, para se calcular a DN, deve-se acrescentar à fórmula a altura do instrumento até a superfície do ponto (AIS) e ao se colocar a mira falante, deve-se subtrair o FM da fórmula:
Fórmula DH = (FS-FI) . Cos²a 
 10
Fórmula DN = DH . tg a + Ais – FM
DN
Diferença de Nível (DN) em dois pontos com ângulo de DH igual a zero – usando teodolito
Exercício em sala de aula
2) Do ponto A, cuja altitude é de 336,15m, visou-se um prisma colocado no ponto B situado a 49,97m de distância inclinada, sendo obtido os seguintes dados: 
Altura do instrumento= 1,45m 
Altura do prisma=1,15m 
Ângulo de visada = 91°26’ 
Qual é a altitude do ponto B?
DN = 49,97 . Sen 91
Exercício de fixação 
Calcular a DNAB de um terreno, sabendo-se que ao instalar o teodolito, um topógrafo obteve os seguintes dados:
Em A (Ais= 1600 mm e a= 30º); em B (FS = 2000 mm; FM = 1500 mm e FI = 1000 mm). 
Fórmula DH = (FS-FI) . Cos²a = (2000-1000) . Cos 2. 30 = 1000 . 0,75 = 75m 
 10 10 10
Fórmula DN = DH . tg a + Ais – FM = 
75 . tg 30 + 1600 – 1500 = 143,30 m
 = 75m
DN = 143,30 m
2) Cálculo da altura de uma árvore Para calcular a altura de uma árvore, construiu-se o esquema a seguir com o auxílio de um teodolito. 
Qual é a altura aproximada dessa árvore?
 
a= 65° , altura do instrumento = FM = 1,60 e DHAB = 14 m
Fórmulas:
tg a = X /DH 
X = tg a . DH 
X = tg 65 . 14 = 30,02 m
H = x + FM = 30 + 1,60 = 31,60 m
Primeiro, instala-se o teodolito em frente ao objeto a uma determinada distância. Coloca-se a mira falante junto ao objeto e calcula-se a distância horizontal do teodolito até o objeto. Gira-se o instrumento até a ponta ou aresta final do objeto e descobre-se o ângulo alfa do plano topográfico até o objeto (o teodolito dá o ângulo zenital; deve-se calcular o alfa). Pela tangente, tem-se: X = DH . tg . Somando-se o X com a leitura do fio médio (LFM), tem-se: Altura do objeto = X + LFM.
DH
X
tg
=
a
FM
FM
L
DH
tg
Y
L
X
Y
DH
tg
X
+
×
=
+
=
×
=
)
(
a
a