METODOS NUMERICOS

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações 
Unidade 01 
Data da 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
I. Instruções e observações 
última 
atualização 
03/02/2020 
 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 
 
▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. ( 
Capstone) 
▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
f (x) = x
3
 − 2x
2
 − 20x + 30 . 
 
Considerando h(x) = x3 e g(x) = 2x2 + 20x − 30 temos que f (x) = g(x) − h(x) . Pelo método gráfico, vamos 
analisar as raízes e gráficos de h(x) e g(x) . 
 
 
Analisando a função g(x) = x3 temos que g(x) = 0 se e somente se x3 = 0 , portanto se , isto implica que a 
única raíz de é o zero. Além disso o seu gráfico é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função 
 
h(x) = 
 
2x
2
 + 20x − 30 , representa uma função de segundo grau, cuja concavidade é voltada para 
cima, pois a = 2 . Analisando as suas raízes temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
h(x) = 0 
 
se e somente se 
 
2x
2
 + 20x − 30 = 0 , dividindo ambos os termos por 2, temos que é equivalente a 
x
2
 + 10x − 15 = 0 , portanto temos: 
 
 
Δ = 10
2
 − 4 .1. (− 15) = 
 
160 
(− 10 ±√160) /2 
 
 
Portanto as raízes serão aproximadamente 1,324 e -11,324. Um esboço do gráfico será dado por uma 
parábola com concavidade para cima, e cortando o eixo do y em -30. Portanto teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenhando ambos os gráficos em um mesmo plano cartesiano temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não sabemos exatamente quem são as raízes, mas sabemos que elas estão entre -10 e +10. 
Analisando a função neste intervalo temos: 
 
 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
g(x) -1000 -729 -512 -343 -216 -125 -64 -27 -8 -1 
h(x) -30 -48 -62 -72 -78 -80 -78 -72 -62 -48 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
g(x) 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 
h(x) -30 -8 18 48 82 120 162 208 258 312 370 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando a tabela, temos que a função h(x) começa sendo a maior, entre -5 e -4, a função g(x) passa a ser 
maior, entre 1 e 2 a função h(x) passar a ser maior e entre 4 e 5 a função g(x) passa a ser maior. Como as raízes é 
onde ambas as funções são iguais, temos três raízes de f(x) estão nos intervalos (-5,-4) (1,2) e (4,5), portanto uma 
negativa e duas positivas. 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para g(x) e h(x) . 
 
 
f (x) = g (x) − h(x) 
x
3
 − 2x
2
 − 20x + 30 
g(x) 
x3 
h(x) 
2x
2
 + 20x − 30 
Representando as funções g(x) e h(x) no Geogebra e em seguida marcando os pontos de intersecção entre das duas 
funções encontramos os pontos D, E e F que correspondem exatamente ao que encontramos em 1). Temos pontos 
de intersecção ( e portanto as raízes de f(x)) nos intervalos (-5,-4), (1,2) e (4,5), logo uma negativa e duas positivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto também pode ser verificado, representando a função f(x) no Geogebra e marcando as suas raízes por A, B e C: 
http://www.geogebra.org/)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (x4) aproximação 
da raiz positiva da função f (x) = x2 − 10 . Para tanto, isole a raiz num intervalo [a, b] ( a e b naturais) de 
comprimento 1, isto é, b − a = 1 . 
 
Dada a função f (x) = x2 − 10 temos que as suas raízes serão dadas por x2 − 10 = 0 , portanto x2 = 10 
 
como (− 3)2 = 9 e (− 4)2 = 16 e também 32 = 9 e 42 = 16 
 
podemos afirmar que uma raiz está no 
intervalo [-4,-3] e outra entre [3,4]. Vamos considerar o intervalo [a,b] = [3,4]. 
 
 
Aplicando no excel temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto os valores obtidos foram: 
 
x4 
 
f (x4) 
 
|x4 − x3 | 
3,15625 -0,038086 0,031250 
 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (x29) aproximação da raiz. 
Calculando o valor de (x29 ) com o uso da função Se do excel, obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x29 f (x29 ) |x29 − x28 | 
3,1622777 0 0 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com x29 . 
 
 
Calculando √10 na calculadora obtemos: 3.16227766017 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando o valor com o valor obtido no excel temos que ambos representam a mesma quantidade, portanto 
temos um excelente aproximação para a raiz de f(x). No excel está apenas representado menos casas decimais 
da raiz, devido ao número de casas utilizadas para o arredondamento. 
 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de f (x) = 2x − sen (x) + 4 num intervalo [a, b] ( a e b inteiros) de comprimento 1, 
isto é, b − a = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
Dada a função f (x) = 2x − sen (x) + 4 temos que f ′ (x) = 2 − cos (x) , para encontrar as raízes, será utilizado 
xn+1 = xn − f (xn)/f ′(xn) . 
 
Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. Considerando g (x) = 2x + 4 e h(x) = sen(x) , representando 
graficamente essas funções teremos uma reta crescente que corta o eixo do x em -2 em g(x) e a função seno em 
h(x), que geometricamente será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar o intervalo onde g(x) e h(x) se encontram podemos analisar que g(x) está sempre entre -1 e 1, 
como g(x) é uma reta que passa no ponto (-2,0), teríamos que as funções se cruzam em [-3,-2] ou [-2,-1], como 
no intervalo [-3,-0] a função h(x) é negativa, e em [-2,-1] g(x) é positiva descartamos a hipótese da raiz estar 
neste intervalo. Portanto a raíz está no intervalo [-3, -2]. 
 
Como g(x) e h(x) são contínuas, temos que f(x) é contínua neste intervalo. Além disso temos: 
 
f (x) = 2x − sen (x) + 4 
f ′ (x) = 2 − cos (x) sempre positiva 
f’’(x) = sin(x) negativa no intervalo [-3,-2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(-3)f’’(-3) = 0,26 ( x0 não pode ser o -3) 
f(-2)f’’(-2) = -0,83 ( x0 pode ser o -2) 
 
ε (Tolerância) 
10−1 
10−4 
10−9 
Nº mínimo de 
xn
 
f (xn) 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f (x) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é ε ≤ 10−9 . 
 
 
 
Desenhando a função f(x) no geogebra e marcando a sua raíz, obtemos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando com o valor obtido em ε ≤ 10−9 obtemos já uma boa aproximação para a raíz da função. 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relaçãoao Método da Iteração Linear, considere a função f (x) = x3 − cos(x) e x0 = 0, 5 . Justificando sua 
resposta, quais as possibilidades para a função de iteração F (x) ? 
 
 
Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. 
Considerando g(x) = x3 e h(x) = cos(x) , representando as funções geometricamente temos: 
 iterações 
2 -2,354305393352 -0,000169474846 
3 -2,354242758736 -0,000000001390 
4 -2,354242758223 0,000000000514 
 
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 Pelo gráfico sabemos que elas se cruzam na parte em que ambas coordenadas são positivas, além disso a função 
 g(x) passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e cresce para valores maiores do que 1, e a função h(x) está sempre entre -1 
e 1 no eixo y, podemos perceber que elas se cruzam no intervalo [0,1]. 
 
 Procedendo com a verificação das hipóteses do método da iteração linear, sabemos que a função f(x) de fato é 
contínua em [0,1] ( pois g(x) e h(x) são) e possui um zero neste intervalo. 
 
 Encontrando a função interação temos , devemos isolar um valor de x.os x( )f (x) = x3 − c = 0 
 
 os x( )x3 − c = 0 
 
os x( )x3 = c 
 
Temos duas possibilidades 
 
 cos( )xx = ∛ 
 
ou 
 
 ar c cos (x )x = 3 
 
 Consequentemente ou .( ( )x) cos xF = ∛ (x) (ar c cos x )F = 3 
 
 Considerando , temos que será sempre menor do que 1 ( ( )x) cos xF = ∛ 
no intervalo considerado, portanto temos a garantia da convergência. 
 
 
denis
Riscado
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 9. Sejam , e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel, os x( )f (x) = x3 − c ,x x0 = 0 5 ( )F 
 levando em consideração a sequência de raízes , complete a tabela abaixo:xn 
 
xn Raiz aproximada ( )xf n Erro ( )x | | n − xn−1 
x5 0,8667538751 0,8650399272 0,005068762479 
 x15 0,8654740586 0,8654740244 0,0000001009455659 
 x18 0,8654740321 0,8654740334 0,000000003926832415 
 x32 0,8654740331 0,8654740331 0 
 
 10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas ( )xf 
 para a raiz encontrada ( ).x32 
 
 
Esboçando a função f(x) no Geogebra e encontrando a sua raiz, obtemos: 
 
 
 Comparando o valor encontrado no Geogebra 0,87 e 0,8654740331 no excel. A função dada não é uma função 
 fácil de encontrar a solução analiticamente, como no excel temos erros iguais a zero, temos a garantia do valor da 
raíz. 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
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VII. Referências 
 BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com 
aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987