Implementação de Métodos Numéricos para Equações

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para 
Resolução de Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. ( Capstone) 
▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
Pelo método gráfico substituímos 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30 por uma equação 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) = 0 
equivalente, ou seja, uma equação que tem as mesmas raízes de 𝑓(𝑥) = 0. 
 
 
 
 
Para isso, após determinarmos as funções 𝑔(𝑥)) e ℎ(𝑥) construímos os gráficos de 𝑦1 = 𝑔(𝑥) e 𝑦2 = ℎ(𝑥) e, 
se houver interseção entre esses gráficos, eles se interceptam em um ponto de abscissa 𝑥 = 𝑥0. Consequentemente, 
pode-se concluir que 𝑥 = 𝑥0 é uma raiz da equação 𝑓(𝑥). 
 
Para solução de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30, utilizaremos: 
• 𝑔(𝑥) = 𝑥3 
• ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 20𝑥 − 30 que pode ser simplificada para: ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 10𝑥 − 15 
 
Analisando primeiramente o gráfico da equação 𝑔(𝑥) = 𝑥3: 
Observamos que 𝑔(𝑥) = 0 somente quando 𝑥 = 0 , portanto a única raiz de 𝑔(𝑥) é o zero. 
 
 
Posteriormente, analisando o gráfico da função ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 20𝑥 − 30: 
Observamos que ℎ(𝑥) é uma equação de segundo grau, que pode ser simplificada para, ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 10𝑥 −
15, e tem a concavidade voltada para cima (x positivo) e corta o eixo das ordenadas em y = -15. 
Desenvolvendo algebricamente as raízes da equação, obtemos: 
 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 10𝑥 − 15 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−10 ± √102 − 4(1)(−15)
2(1)
 
 
𝑥 =
−10 ± √160
2
 
 
𝑥1 = −5 − 2√10 ou 𝑥1 ≈ −11,32456 
 
𝑥2 = −5 + 2√10 ou 𝑥2 ≈ 1,32456 
 
 
 
 
 
 
Portanto teremos: 
 
Apresentando ambos os gráficos em um mesmo plano cartesiano, observamos que as raízes da função estão 
determinadas no intervalo (-5, 5), conforme ilustração abaixo: 
 
 
 
 
 
Substituindo nas funções os valores do intervalo determinado, obtemos: 
 
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
g(x) -125 -64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 125 
h(x) -80 -78 -72 -62 -48 -30 -8 18 48 82 120 
 
Analisando apenas os pontos da tabela, vemos que nos intervalos [-5, -4] e [4, 5] a função ℎ(𝑥) assume valores 
maiores do que a função 𝑔(𝑥), ou seja, para x nesses pontos, ocorre uma interseção entre as curvas traçadas. De 
mesmo modo, no intervalo (1,2) a função 𝑔(𝑥) assume valores maiores que ℎ(𝑥) , nos levando a mesma conclusão de 
interseção. Consequentemente, a raízes exatas pertencem aos intervalos [-4, -5], [1, 2] e [4, 5]. 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30 𝑔(𝑥) = 𝑥3 ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 20𝑥 + 30 
 
Analisando as funções 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥) no software Geogebra, determinamos os pontos A, B e C como interseções 
entre as duas funções, os quais correspondem aos intervalos obtidos pela análise gráfica do item 1. 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação da 
raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,038086 0,031250 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
n an bn xn f(xn) En 
0 3 4 3,5 2,25 
1 3 3,5 3,25 0,5625 0,2500 
2 3 3,25 3,125 -0,23438 0,1250 
3 3,125 3,25 3,1875 0,160156 0,0625 
4 3,125 3,1875 3,15625 -0,03809 0,0313 
5 3,15625 3,1875 3,171875 0,060791 0,0156 
6 3,15625 3,171875 3,164063 0,011292 0,0078 
7 3,15625 3,164063 3,160156 -0,01341 0,0039 
8 3,160156 3,164063 3,162109 -0,00106 0,0020 
9 3,162109 3,164063 3,163086 0,005113 0,0010 
10 3,162109 3,163086 3,162598 0,002024 0,0005 
11 3,162109 3,162598 3,162354 0,00048 0,0002 
12 3,162109 3,162354 3,162231 -0,00029 0,0001 
13 3,162231 3,162354 3,162292 9,37E-05 0,0001 
14 3,162231 3,162292 3,162262 -9,9E-05 0,0000 
15 3,162262 3,162292 3,162277 -2,8E-06 0,0000 
16 3,162277 3,162292 3,162285 4,55E-05 0,0000 
17 3,162277 3,162285 3,162281 2,14E-05 0,0000 
18 3,162277 3,162281 3,162279 9,29E-06 0,0000 
19 3,162277 3,162279 3,162278 3,26E-06 0,0000 
20 3,162277 3,162278 3,162278 2,43E-07 0,0000 
21 3,162277 3,162278 3,162277 -1,3E-06 0,0000 
22 3,162277 3,162278 3,162278 -5,1E-07 0,0000 
23 3,162278 3,162278 3,162278 -1,3E-07 0,0000 
24 3,162278 3,162278 3,162278 5,41E-08 0,0000 
25 3,162278 3,162278 3,162278 -4E-08 0,0000 
26 3,162278 3,162278 3,162278 6,93E-09 0,0000 
27 3,162278 3,162278 3,162278 -1,7E-08 0,0000 
28 3,162278 3,162278 3,162278 -4,9E-09 0,0000 
29 3,162278 3,162278 3,162278 1,04E-09 0,0000 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
√10 = 3,16227766 
Utilizando a calculadora, encontramos para √10 o mesmo valor calculado para 𝑥29 pelo método da bisseção, 
com exceção de algumas casas decimais devido a arredondamentos. 
 
 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
Primeiramente utilizamos o método gráfico para determinarmos os possíveis intervalos de interseção das 
funções. Dada a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4, substituímos por 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥), tais que 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4 e 
ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Em uma representação gráfica, a função 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4 nos apresenta uma reta crescente, que corta o eixo 
das abscissas em (𝑥) = −2, e para a função ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) temos uma curva senoidal e se tratando de uma função 
periódica ela apresenta imagem que varia no intervalo (𝑦) = [−1,1]. Isso significa que os valores que o seno pode 
assumir para qualquer valor de x variam apenas de -1 e 1. 
De posse dessas informações podemos concluir que os possíveis intervalos de interseção para as funções g(𝑥) 
e ℎ(𝑥) são (-3, -2) e (-2, -1). 
Dispondo estes intervalos em uma planilha e calculado as funções nos pontos, chegamos ao seguinte 
resultado: 
x -3 -2 -1 
g(x) -2 0 2 
h(x) -0,141 -0,909 -0,841 
Analisando os dados obtidos, podemos determinar que os valores destacados nos fornecem como único 
intervalo de interseção sendo (-3, -2). 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−11 -2,378299446 -0,065294151 
10−4 3 -2,354242759 -1,94422E-09 
10−9 4 -2,354242758 0,0000000000 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
 
 
Utilizando o software GeoGebra, encontramos para 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 o mesmo valor calculado para 
𝑥4 pelo método de Newton, com exceção de algumas casas decimais devido a arredondamentos. 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
Aplicamos o método gráfico para isolar as raízes. Nesse caso, colocamos 𝑔(𝑥) = 𝑥³ e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
construímos os gráficos em um mesmo sistema de eixos coordenados. 
 
 
Pelo esboço dos gráficos, podemos perceber que existe uma única interseção entre as funções, além disso, 
essa interseção ocorre para 𝑥 => 0, no intervalo (0, 1). De acordo com a informação estabelecida no enunciado do 
problema, podemos reduzir ainda mais este intervalo sabendo que 𝑥0 = 0,5. 
Com o intervalo determinado em mãos, devemos proceder e verificar se todas as hipóteses para a aplicação 
do método da Iteração Linear são satisfeitas. De fato, a função 𝐹(𝑥) é contínua no intervalo [0,5 ,1] e possui um único 
zero nesse intervalo. 
Agora, devemos proceder e encontrar uma função de iteração 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥) : 
 
Temos duas opções para isolar a variável 𝑥. Escolhendo o 𝑥³ , temos: 
• 𝑥 = √cos (𝑥)
3 
Na segunda opção, isolamos a variável 𝑥 através da parcela cos (𝑥): 
• 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑥3) 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,866753875 0,865039927 0,0050688 
𝑥15 0,865474059 0,865474024 0,00000010095 
 
 
 
 
𝑥18 0,865474032 0,865474033 0,00000000393 
𝑥32 0,865474033 0,865474033 0 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
Utilizando o software GeoGebra, encontramos para 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥) o mesmo valor calculado para 𝑥32 
pelo método da Iteração Linear, com exceção de algumas casas decimais devido a arredondamentos. 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987