Matemática Financeira: Descontos e Taxas

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Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
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resolvidos e propostos
3ª Edição
Capítulo 2
DESCONTOS
Descontos
• Recebe um compromisso da aplicação;
• Que é uma nota promissória;
• Ou uma letra de câmbio.
Quando se faz uma aplicação com vencimento
pré-determinado, o aplicador:
=> Obter parte do principal e dos juros, em 
troca do título, é uma operação de “desconto”.
Descontos
• Recebe do comprador uma duplicata.
Uma empresa faz uma venda a prazo, com venci-
mento pré-determinado:
=> A empresa pode ir a um banco e transferir a 
posse da duplicata em troca de dinheiro.
Esta á uma operação de “descontar uma duplica-
ta”.
Desconto Racional 
Ou Desconto “por dentro”.
 
• É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.
Dr = valor do desconto
N = valor nominal (montante)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
EXEMPLO
Exemplo
Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses 
antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor-
rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ?
Resolução: 
3 Meses
N
{
Dr
Vr
Exemplo
Temos:
		N = 5.500,00
		n = 3 meses
Calculando a taxa proporcional a 1 mês:
Podemos calcular:
a) O desconto:
		
		
Exemplo
b) O valor descontado:
	Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00
$ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos
próximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00 
iria render:
		J = Cin
		J = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00
Desconto Comercial
Ou Desconto “por fora”.
• É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.
Dc = N.i.n
Dc = desconto comercial
N = valor nominal (montante)
n =número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
EXEMPLO
Exemplo
Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de
$ 5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes
do vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ?
Resolução: procedendo de modo análogo, temos: 
3 Meses
N
{
Dc
Vc
Exemplo
a) O desconto:
	Dc = Nin
	Dc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00	
b) O valor descontado comercial:	
	Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co-
mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des-
conto fosse racional.
Exemplo
	É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer-
cial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros
capaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga-
nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa
de juros de operação é:
 
	 
	 ou
	Note-se então que, no desconto comercial, é preciso dis-
tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa 
implícita que é cobrada de fato.
ao trimestre
ao ano
Desconto Bancário
Corresponde ao desconto comercial acrescido de 
uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi-
nal.
Db = N.(in+h)
Db = desconto bancário
N = valor nominal (montante)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
h = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban-
cárias)
EXEMPLO
Exemplo
Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra
2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi
descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor-
rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto 
bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título ?
Resolução: Lembrando que: 
		h = 0,02
		e procedendo de modo análogo ao exemplo an-
terior:
a) Desconto bancário:
		Db = N (in + h)
		Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02)
		Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02)
		Db = $ 660,00
Exemplo
b) Valor descontado bancário:
		
		Vb = N [1 - (in + h)]
		Vb = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02]
		Vb = 5.500,00 x 0,88
		Vb = $ 4.840,00
	
	Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des-
conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta-
xa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação:
ao trimestre
ao ano
Exemplo
	É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e 
bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na
operação. 
Taxa de Juros 
Efetiva
É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor 
descontado (comercial ou bancário), gera no 
período, um montante igual ao valor nominal.
onde:
if = taxa efetiva
N = valor nominal
V = valor atual (comercial ou bancário)
n = número de períodos antes do vencimento
EXEMPLO
Exemplo
Sendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de 
$ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é
a taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: 
		
Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anterior-
mente, por cálculo direto.
Exemplo
Analogamente, com um título de $ 5.500,00 descontado 3 me-
ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancário
de $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancário ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: 
		
Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti-
do anteriormente por raciocínio direto.
Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto 
Racional
Dc = Dr (1+in)
Dc = Desconto Comercial
Dr = Desconto Racional
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
=> o Desconto Comercial pode ser entendido co-
mo sendo o montante do Desconto Racional cal-
culado para o mesmo período e à mesma taxa.
EXEMPLO
Exemplo
O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes 
de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qual
é o desconto racional ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: 
		
12
40
,
0
12
=
i
00
,
500
$
10
,
1
00
,
550
10
,
0
1
10
,
0
00
,
500
.
5
=
=
+
=
r
r
D
x
D
00
,
4950
$
9
,
0
00
,
500
.
5
)
3
12
40
,
0
1
(
00
,
500
.
5
)
1
(
=
=
-
=
-
=
Vc
x
Vc
x
x
Vc
in
N
Vc
3
12
40
,
0
1
3
12
40
,
0
500
.
5
1
x
x
x
D
in
Nin
D
r
r
+
=
+
=
44
,
0
'
1111
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0
00
,
950
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4
00
,
550
'
@
=
=
i
i
5456
,
0
"
1364
,
0
00
,
840
.
4
00
,
660
"
@
@
=
i
i
.
.
54
,
0
.
.
045
,
0
3
1
1364
,
1
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3
1
00
,
4840
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,
500
.
5
1
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i
i
n
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N
i
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b
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-
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-
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0
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03703
,
0
3
1
1111
,
1
;
3
1
00
,
4950
00
,
500
.
5
1
a
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i
n
V
N
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-
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-
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-
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,
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$
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,
1
00
,
550
)
10
,
0
1
(
00
,
550
)
3
12
40
,
0
1
(
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550
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1
(
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+
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