Web II- Fundamentos de Estatística - Prof Mabel Lopes 2020 1 B

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FUNDAMENTOS DE 
ESTATÍSTICA
Webconferência Il
Professor(a): Mabel Lopes
Conceitos Básicos de 
Probabilidade e de Contagem
Quando um médico diz que há 65 % de chance de obter sucesso em uma
cirurgia, ele está estabelecendo a chance, ou a probabilidade, de um evento
específico ocorrer. 
Experimentos de probabilidade: são ações ou ensaios por meio dos quais
resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. 
O que obtemos por meio de uma única tentativa em um experimento de 
probabilidade é um resultado. 
O grupo de todos os resultados possíveis é o espaço amostral. 
E um evento é um subconjunto do espaço amostral que pode consistir de 
um ou mais resultados.
Probabilidade refere-se ao estudo da incerteza e da aleatoriedade. Ou seja, é o 
estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório.
Vamos Identificar o espaço amostral de um experimento probabilístico: 
Exs.: 1. Lançamento de um dado de seis lados. {1,2,3,4,5,6}
2. Lançamento de uma moeda . {K,C}
3. Lançamento de um dado e uma moeda. 
{K1,K2,K3,K4,K5,K6,C1,C2,C3,C4,C5,C6}
A probabilidade de um evento= (nº de maneiras possíveis dele 
acontecer)/(nº total de resultados)
𝐏(𝐌) =
𝑵º 𝒅𝒆𝒎𝒂𝒏𝒆𝒊𝒓𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒆𝑴 𝒑𝒐𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒐𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒓
𝑵º 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔
Ex.: Qual a probabilidade de sair um número par ao lançar um dado de seis 
lados?
Evento M: sair um número par
P(M)= 3/6 = 1/2 = 50%
Uma probabilidade nunca pode ser negativa ou maior 
que 1. Assim, a probabilidade de um evento M estará 
sempre entre 0 e 1, e pode ser escrita, também, 
como um percentual..
Ex.: Suponha que você tire aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 
cartas . Determine a probabilidade dos seguintes eventos:
a)Evento A: selecionar um 7 .
b)Evento B: selecionar um 7 de ouro.
c)Evento C: selecionar uma carta de ouro.
R.: a) P(A)=4/52=1/13=0,077=7,7%
b) P(B)=1/52=0,019=1,9%
c) P(C)= 13/52=1/4=0,25= 25%
O Princípio Fundamental da 
Contagem
O Princípio Fundamental da Contagem: pode ser utilizado para encontrar o 
número de maneiras em que dois ou mais eventos podem ocorrer em
sequência. Se um evento pode ocorrer de m maneiras e outro evento pode
ocorrer de n maneiras, o número de maneiras para que os eventos
ocorram em sequência é o produto m.n.
Ex.: João tem 4 calças jeans, 7 camisas e 3 pares de sapatos e quer saber de 
quantas formas diferentes ele pode combinar essas peças para fazer um 
“look”. 
Utilizando o princípio fundamental da contagem, João fez o cálculo e 
obteve como resposta 4.7.3= 84 . Ou seja, 84 opções de “looks” diferentes.
Probabilidade Condicional
•
Usuário de droga 
injetável
Não usuário de droga 
injetável
Total
Portador de AIDS 33 19 52
Não portador de AIDS 39 11 50
Total 72 30 102
•
Dois eventos são independentes se a ocorrência de um 
deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro, ou
seja, P(B\A)= P(B) ou P(A\B)=P(A). Os eventos que 
não são independentes serão dependentes.
Decida se os eventos são independentes ou dependentes.
1.Selecionar um sete em um baralho (A), sem reposição, e em seguida 
selecionar uma dama desse baralho (B).
2.Dançar forró (A) e logo me tornar uma dançarina profissional de forró (B).
3.Jogar uma moeda e sair COROA (A), e então jogar um dado e sair o número 
1 (B).
R1.: P(B\A)=4/51 e P(B)=4/52 (Dependentes)
R2.: Se a pessoa dança forró, suas chances de se tornar dançarina de forró 
são maiores. (Dependentes)
R3.: P(B\A)=1/6 e P(B) =1/6 (Independentes)
•
Eventos Mutuamente Exclusivos: dois eventos A e B são mutuamente
exclusivos, se A e B não puderem acontecer ao mesmo tempo.
Ao jogarmos uma moeda, podemos obter CARA ou COROA, mas não os dois
ao mesmo tempo. Logo são eventos mutuamente exclusivos.
A probabilidade de pelo menos um evento ocorrer são denotadas por 
P(A ou B).
•
Variáveis Aleatórias e 
Distribuições de Probabilidade
O resultado de um experimento probabilístico pode ser descrito como uma
contagem ou uma medida. Quando isso ocorre chamamos os resultado de 
Variável Aleatória.
Definição: Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado
a cada um dos resultados de um experimento probabilístico.
Existem dois tipos: 
Discreta: se houver um número 
finito ou contável de resultados 
possíveis.
Contínua: se houver um 
número incontável de resultados 
possíveis, representado por um 
intervalo no eixo real.
Distribuições Discretas de 
Probabilidade
Existem diversos modelos probabilísticos que procuram descrever vários 
tipos de variáveis aleatórias: são as distribuições de probabilidade de 
variáveis aleatórias (discretas ou contínuas). 
Uma Distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor que a 
variável aleatória pode assumir, ao lado de sua probabilidade. Deve-se 
satisfazer as seguintes condições:
• A probabilidade de cada valor da variável discreta deve estar entre 0 e 1.
Ou seja, 0 ≤ 𝑃(𝑥) ≤ 1.
• A soma de todas as probabilidades deve ser 1. Ou seja, σ𝑃 𝑥 = 1.
Como construir uma distribuição de probabilidade?
1. A partir das respostas de uma pesquisa, constrói-se uma distribuição de 
frequência com os dados encontrados.
2. Calcula-se a soma das frequências e verifica-se se essa soma apresenta o 
mesmo valor do espaço amostral.
3. Calcula-se a probabilidade de cada resultado possível dividindo sua
frequência pela soma das frequências.
4. Verifica-se se todas as probabilidades estão entre 0 e 1, além de checar se 
a sua soma é igual a 1.
Ex.:Suponha que o salário de 50 funcionários de uma loja de departamento
seja dado na tabela abaixo.
A quantidade de funcionários a receber cada valor salarial é a frequência e 
as probabilidades são calculadas dividindo o valor da frequência de cada
categoria pela frequência total.
A tabela e o gráfico nos dá
a distribuição de probabilidade
do salário dos funcionários da
Loja.
Podemos encontrar o centro de distribuição de probabilidade com sua média e 
medir a variabilidade com sua variância e desvio padrão.
Média, Variância e Desvio 
Padrão
A Média de uma variável aleatória discreta é dada por:
A média de uma variável aleatória representa a média “teórica” do 
experimento probabilístico.
Para estudar a variação dos resultados com relação à média podemos usar a 
variância e o desvio padrão.
Variância de uma variável aleatória: 
Desvio Padrão de uma variável aleatória: 
Ex.: Em uma pesquisa sobre alimentação saudável 30 pessoas informaram a 
quantidade de frutas que consomem ao longo do dia. 
Encontraremos a probabilidade de cada resultado e depois calcularemos x.P(x).
Quantidade de frutas consumidas por dia (x) Número de pessoas (f)
0 7
1 10
2 8
3 5
Quantidade de frutas consumidas por dia (x) Número de pessoas (f) Probabilidade P(x) x.P(x)
0 7 O,23 0
1 10 0,33 0,33
2 8 0,27 0,54
3 5 0,17 0,51
=1 =1,38
Quantidade de 
frutas 
consumidas por 
dia (x)
Número de 
pessoas (f) 
Probabilidade
P(X)
x.P(x) 𝑥 − 𝜇 (𝑥 − 𝜇)2 𝑥 − 𝜇 2. P(x)
0 7 O,23 0 -1,38 1,90 0,44
1 10 0,33 0,33 -0,38 0,14 0,046
2 8 0,27 0,54 0,62 0,38 0,10
3 5 0,17 0,51 1,62 2,62 0,44
=1 μ= 1,38 𝜎2 = σ 𝑥 − 𝜇 2. P(x) = 1,03
𝜎 = 𝜎2 = 𝟏, 𝟎𝟏
Nesta tabela verificamos que a média é 1,38, a variância 1,03 e o desvio
padrão 1,01. A média de uma variável aleatória também pode ser 
chamada de valor esperado de uma variável aleatória discreta E(x).
Distribuições Binomiais
Há vários experimentos probabilísticos para os quais os resultados de cada
tentativa podem ser reduzidos a dois resultados : sucesso e fracasso. Esses
experimentos são chamados de experimentos binomiais. 
Critérios dos Experimentos Binomiais:
• É repetido por um número fixo de tentativas, em que cada uma delas é 
independente das outras.
• Há somente dois resultados possíveis para cada tentativa: Sucesso ou
Fracasso.
• A probabilidade de sucesso P(S) é o mesmo para cada tentativa.
• A variável aleatória x contabiliza o número de tentativas bem-sucedidas.Distribuições Binomiais
Ex. de um experimento binomial: Você escolhe ao acaso uma carta de um 
baralho comum, verifica se é de copa ou não, e devolve a carta ao baralho. 
Repete o experimento 5 vezes. O resultado para cada tentativa pode ser 
classificado em duas categorias: S= tirar uma carta de copa e F= tirar uma
carta de outro naipe. As probabilidades de sucesso e fracasso são:
p=1/4 e q=1-1/4=3/4
Existem várias formas de se encontrar a probabilidade de x sucessos em n 
tentativas de um experimento binomial. Podemos usar o diagrama de 
árvore e a regra da multiplicação ou a fórmula da probabilidade binomial.
Ex.: Cirurgias ortopédicas têm 90% de chances de sucesso. Realizou –se esse
tipo de cirurgia em 3 pacientes. Determine a probabilidade de ter sucesso
na cirurgia em exatamente dois dos pacientes. 
Sol.: Método do Diagrama
de Árvore
Há 3 resultados que têm exatamente 2 suces-
sos , e cada um tem a probabilidade de 81/1000.
Logo, a probabilidade de uma cirurgia ter sucesso
em exatamente 2 pacientes é de 3.81/1000=0,243.
Método pela Fórmula de Probabilidade Binomial
Neste experimento binomial os valores de n, p, q e x são n=3, p=9/10, 
q=1/10 e x=2. A probabilidade de exatamente 2 cirurgias terem sucesso é 
de :
Obs.: A fórmula de Probabilidade Binomial é dada por:
Média , variância e desvio padrão nas distribuições binomiais
As propriedades de distribuição binomial nos permite conceber fórmulas 
simples para média, variância e desvio padrão.
• Média
• Variância 
• Desvio Padrão 
Ex.: No Nordeste do Brasil cerca de 75 % dos dias em um ano são 
ensolarados. Calcule a média, a variância e o desvio padrão para o número 
de dias ensolarados durante o mês de setembro.
Usando n=30 dias (setembro) , p=0,75, q=025. 
Média , Variância
Desvio Padrão 
Ou seja, 22,5 dias em média, em setembro, são ensolarados.
Introdução às distribuições
normais e à distribuição
normal padrão
Uma distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua
para uma variável aleatória x, cujo gráfico é chamado de curva normal.
A curva normal tem as seguintes propriedades: 
1.A média, a moda e a mediana são iguais.
2.Tem forma de sino e é simétrica em torno da média.
3.A área total soba a curva normal é igual a 1.
4. À medida que a curva normal se distancia da média, ela se aproxima do 
eixo x mas nunca o toca.
5. Entre μ- σ e μ+ σ, o gráfico se curva para baixo. O gráfico se curva para 
cima à esquerda de μ- σ e á direita de μ+ σ. Os pontos nos quais a curva
muda de crescente para decrescente são chamados pontos de inflexão.
Uma curva normal com média μ e 
desvio padrão σ pode ser representada
graficamente pela função densidade de 
probabilidade normal
Esse dois parâmetros μ e σ determinam o formato da curva normal.
A média dá a localização da linha de simetria e o desvio padrão descreve a 
dispersão dos dados. 
Uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 é chamada de 
distribuição normal padrão (Z). Toda distribuição normal pode ser 
convertida na distribuição normal padrão, facilitando assim o cálculo de 
áreas e probabilidades.
• A vantagem é que podemos fazer uma única tabela com valores de Z, ao 
invés de uma tabela para cada par (µ, σ² ). 
• A escala horizontal do gráfico da distribuição normal padrão corresponde
ao escore-z. 
• Podemos transformar um valor x em um escore-z usando a fórmula:
Obs.: Um z-escore é uma medida de posição 
que indica o número de desvios- padrão de 
um valor a partir da média.
Como transformar distribuições normais em uma distribuição normal 
padrão?
Depois de utilizar a fórmula para transformar um valor x em um valor 
escore-z você poderá utilizar a tabela normal padrão. A tabela lista a área
acumulada sob a curva normal padrão à esquerda de z para escores-z de 
-3,49 a 3,49. Podemos perceber na tabela:
1.A área acumulada é próxima de 0 para escores- z próximos a -3,49.
2.A área acumulada aumenta conforme os escores -z aumentam.
3.A área acumulada para z=0 é 0,5.
4.A área acumulada é próxima a 1 para escores-z próximos a 3,49.
Usando a tabela normal padrão, encontre: 
1.A área acumulada que corresponde ao escore-z de 2,62, P(Z<2,62).
2. A área acumulada que corresponde ao escore-z de -1,37.
P(z< -1,37)= 0,08534 
Ex.: (LARSON;FARBER) Uma pesquisa indica que para cada ida ao
supermercado , um consumidor permanece na loja em média 45 minutos, 
com desvio padrão de 12 minutos. A duração dos tempos gastos na loja é 
normalmente distribuída e representada pela variável x. Um consumidor
entra na loja. 
a)Calcule a probabilidade de que ele ficará na loja no tempo listado a seguir.
• Entre 24 e 54 minutos.
• Mais que 39 minutos.
b) Interprete sua resposta quando 200 consumidores entrarem na loja. 
Quantos consumidores você esperaria que estivessem na loja para cada
intervalo de tempo listado?
1. A figura abaixo, mostra uma curva normal com μ=45 minutos e σ=12 
minutos. A área para x entre 24 e 54 minutos está sombreada. Os
escores-z que correspondem a 24 e 54 minutos são: 
z= (24-45)/12= -1,75 e z= (54-45)/12= 0,75.
A probabilidade de um consumidor ficar na loja neste
intervalo de tempo é de: 
P(24<x<54)=P(-1,75<z<0,75)= P(z<0,75)-P(z<-1,75)
=0,7734-0,0401=0,7333
Quando 200 consumidores entram na loja, espera-se 
que 200. 0,7333 =146,66 ou cerca de 147 deles, 
permaneçam na loja entre 24 e 54 minutos.
2. A figura abaixo, mostra uma curva normal com μ=45 minutos e σ=12. A 
área par x maior que 39 minutos está sombreada . O escore-z que 
corresponde a 39 minutos é z=(39-45)/12=-0,5.
Então a probabilidade que um consumidor ficará 
na loja por mais de 39 minutos é de :
P(x>39)=P(z>-0,5)=1-P(z<-0,5)=1-0,3085= 0,6915.
Quando 200 consumidores entrarem na loja, 
espera-se que 200. 0,6915 = 138,3, ou cerca de 138 
deles permaneçam na loja por mais de 39 minutos.