DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO OPTIMAL DESIGN OF REINFORCED CONCRETE BEAMS

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ID: XXXVIIIJSIE-07-018 
 
DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO 
 
OPTIMAL DESIGN OF REINFORCED CONCRETE BEAMS 
 
Charles J. Oliveira (1); Isabele Antonelli (P) (2); Monique C. A. Rodrigues (3) 
 
(1) Eng. Civil, M.Sc., Professor, Universidade Positivo, Curitiba, Brasil. 
(2) Eng. Civil, Universidade Positivo, Curitiba, Brasil. 
(3) Eng. Civil, Universidade Positivo, Curitiba, Brasil. 
Dirección para correspondencia: chjaster@hotmail.com; (P) Presentador 
 
Área Temática: Investigaciones teóricas y computacionales. 
 
Resumen 
Na Engenharia Civil torna-se extremamente importante o uso de processos de otimização de modo a reduzir 
custos. Por meio dos critérios de dimensionamento da ABNT NBR 6118:2014, a determinação da solução 
mais econômica acaba sendo definida por um processo de tentativa e erro. Este trabalho apresenta um 
estudo da aplicação de otimização estrutural no processo de dimensionamento de vigas biapoiadas em 
concreto armado, com seção retangular, submetidas a um carregamento uniformemente distribuído. Para 
isso, os resultados são avaliados em termos de valores ótimos da altura da viga, além da redução no 
consumo de concreto, área de armadura de aço e de madeira utilizada na produção de fôrmas. O estudo foi 
realizado a partir da ferramenta Solver do software Microsoft Excel, utilizando o método do Gradiente 
Reduzido Generalizado, respeitando critérios normativos. Os resultados foram comparados entre 
dimensionamento convencional e otimizado, aplicando diferentes condições de contorno para o problema, 
como por exemplo a resistência característica do concreto à compressão. Outro critério utilizado foi relativo 
ao detalhamento, visando um ajuste na quantidade, diâmetro e comprimento das barras longitudinais, bem 
como na distribuição ótima dos estribos ao longo do diagrama de esforço cortante. Em função dos exemplos 
analisados, o dimensionamento otimizado mostra-se mais viável pelo fato de respeitar os critérios 
normativos da mesma forma que no dimensionamento convencional, apresentando economia de 0,45% a 
29,59%, dependendo do vão e resistência do concreto. Foram obtidas soluções ótimas em custo dentre uma 
série de combinações possíveis na parametrização do problema que comprovam esta eficiência para 
diferentes cenários. 
Palavras-chave: Otimização Estrutural, Otimização de Vigas, Concreto Armado, Custo. 
 
Abstract 
The use of optimization processes in civil engineering becomes extremely important in order to reduce 
costs. Through the design criteria of ABNT NBR 6118:2014, a process of trial and error defines the 
determination of the most economical solution. This work presents a study of the application of structural 
optimization in the process of design of simply supported beams in reinforced concrete, with rectangular 
section, submitted to a uniformly distributed load. For this, the results are evaluated in terms of optimal 
beam height values, as well as the reduction in concrete consumption, steel reinforcement area and timber 
formwork area. The study of the non-linear optimization was conducted using Generalized Reduced 
Gradient by the Microsoft Excel's Solver function and respecting the normative criteria. The results were 
compared between conventional and optimized design, applying different boundary conditions, such as the 
compressive strength of concrete. Another criterion used in the optimization process was the detailing, 
optimizing the quantity, diameter and length of longitudinal bars, as well as optimum distribution of the 
stirrups along the shear diagram. Due to the analyzed examples, the optimized design is more advantageous 
to respect the normative criteria in the same way as in the conventional design, presenting savings of 0,45% 
to 29,59%, depending on the span and concrete strength. Optimum solutions were obtained in cost from a 
series of possible combinations in the parameterization of the problem that prove this efficiency for 
different scenarios. 
Keywords: Structural Optimization, Beam Optimization, Reinforced Concrete, Cost. 
mailto:chjaster@hotmail.com
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
O princípio básico da otimização é encontrar a melhor solução possível dentre diversas 
circunstâncias apresentadas. O termo estrutura ótima é bastante hipotético, isso ocorre pelo fato 
de uma estrutura ser ótima em diferentes aspectos, sendo estes conhecidos como o peso da 
estrutura, o custo ou até mesmo sua rigidez. A solução para este problema depende de vários 
fatores externos como a formulação de uma função objetivo, formulação de restrição, método 
adotado, etc. (Kakadiya e Desai, 2013). Em problemas de otimização estrutural a função objetivo 
geralmente é aplicada na determinação de estruturas com o menor peso possível, resultando num 
menor custo, aspecto este que acaba sendo o mais atrativo no quesito econômico (Verzenhassi, 
2008). 
Como citado por Maia (2009), a vantagem na otimização de projetos em concreto armado 
é a renúncia à parâmetros baseados pela intuição ou experiência do projetista, ressaltando a busca 
final através de determinação probabilística, a qual acontece respeitando os critérios normativos 
impostos pela ABNT NBR 6118:2014. 
A busca da excelência para com o dimensionamento ótimo é uma forma de agregar 
resultados satisfatórios tanto em prol do cliente quanto em função da estrutura. Fraga e Kripka 
(2015) e Vieira (2014) partem do mesmo princípio em relação aos estudos para a diminuição do 
impacto ambiental, que são atenuados com os dimensionamentos otimizados de estruturas. Fraga 
e Kripka (2015) apontam que no Brasil há uma preocupação maior em minimizar estes riscos 
devido ao grande impacto que as estruturas em concreto armado, fartamente empregadas no país, 
tendem a causar no meio ambiente. Circunstancialmente, Vieira (2014) atribui que o meio de se 
alcançar a sustentabilidade na construção civil está diretamente ligado à redução da quantidade de 
resíduos gerados e ao consumo e desperdício de materiais. 
 
 
2. METODOLOGIA 
 
O problema de otimização começa a partir da determinação das variáveis e parâmetros que 
discriminam o problema físico, paralelo às restrições que o delimitam. Só então é estabelecida a 
função objetivo que trata da minimização da função custo. A otimização do custo busca determinar 
a melhor altura da seção para que posteriormente seja indicada a área calculada para as armaduras, 
bem como os detalhamentos necessários, definindo quantidade, tamanho e posição para as barras 
de aço na viga. As variáveis que no final compõem o custo total da peça dependem basicamente 
do concreto, do aço e das fôrmas. Além da minimização do volume do concreto a variação do 𝑓𝑐𝑘 
implicará diretamente na composição do custo, resultando em outro parâmetro otimizado. 
A função objetivo do problema de otimização foi composta pela função do custo total C, 
expressa pela equação (1), e suas composições derivativas, custo de concreto, armaduras e fôrmas. 
FAc CCCC  (1) 
Cwc RLhbC $ (2) 
AAefesestribosretotsA RVLAC  $)( ,,, (3) 
FwwF RhbLhbC $)2)2((  (4) 
Onde: 
𝐶𝑐, 𝐶𝐴 e 𝐶𝐹 = custo de concreto, armaduras e fôrmas, respectivamente; 
𝑏𝑤, ℎ e 𝐿 = largura, altura e comprimento da viga, respectivamente; 
𝑅$𝑐 = custo por metro cúbico do concreto fornecido, lançado e adensado (de acordo com o 𝑓𝑐𝑘); 
𝐴𝑠,𝑡 = área unitária da bitola utilizada para o estribo; 
𝐿𝑟𝑒𝑡𝑜,𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = comprimento total reto dos estribos a serem utilizados na viga; 
𝜌𝐴 = massa específica do aço; 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑉𝑠,𝑒𝑓𝑒 = volume total da armaduralongitudinal, variando de acordo com a configuração de camada 
localizada pelo programa; 
𝑅$𝐴 = custo de aço (R$/kg) cortado, dobrado e montado na obra; 
𝑅$𝐹 = custo da fôrma por metro quadrado. 
 
Para a geometria da viga, as condições de apoio partem da tipologia biapoiada, 
considerando apoio articulado fixo. O sistema de dimensionamento implementado leva em 
consideração a ação das cargas verticais distribuídas. A Fig. 1 apresenta os parâmetros e variáveis 
utilizados no processo da otimização estrutural. 
 
 
Figura 1. Detalhamento longitudinal e transversal dos parâmetros do problema de otimização. 
O carregamento é definido pelo peso próprio da viga, variando de acordo com o vão, bem 
como uma carga proveniente de uma parede de alvenaria apoiada diretamente sobre a viga, onde 
o peso foi considerado distribuído ao longo de seu comprimento do mesmo modo que a sobrecarga 
adotada. Após estabelecidos os parâmetros iniciais, calculam-se os esforços internos e as 
deformações. Quando da ocorrência em que a flecha total ultrapasse a flecha limite é prevista a 
adoção de uma contra flecha. 
Para obter os esforços e deslocamentos referentes ao estado limite de serviço, as 
combinações frequentes e quase permanentes são calculadas utilizando fatores de combinações 
condizentes com o estabelecido na ABNT NBR 6118:2014. Esta norma ainda define os critérios 
de detalhamento da viga pertinentes aos espaçamentos entre barras, estribos, taxa de armadura e 
comprimentos de ancoragem. 
 
2.1. Formulação do Problema 
 
Foram determinadas, através da planilha de cálculo, as alturas ótimas correspondentes para 
vãos de 4 a 12 metros, variando os dados a cada metro a fim de tornar possível uma análise 
minuciosa dos custos obtidos em função dos fatores de dimensão da altura, da resistência 
característica do concreto à compressão, além de quais os impactos gerados ao longo da mudança 
deste vão. As vigas foram testadas para diferentes valores de resistência à compressão, variando 
de 20 a 45 MPa. Para a altura inicial foi adotado um valor igual a 10% do vão, caso comum em 
pré-dimensionamentos de vigas. Para a base fixou-se o valor de 20 cm. 
Para a área da armadura longitudinal foram criadas 450 combinações diferentes onde 
através da área de aço calculada busca-se, como estratégia metodológica e a favor da segurança, o 
valor maior e mais próximo da área obtida. As opções variam entre diâmetros de 6,30 mm até 
20,00 mm, respeitando sempre a quantidade máxima de bitolas a serem alojadas em cada camada, 
através da verificação do espaçamento horizontal máximo e descontando-se os valores referentes 
ao cobrimento e diâmetro dos estribos. As demais camadas derivam basicamente das 
configurações geradas para a primeira camada. Já para a armadura transversal fixou-se o diâmetro 
dos estribos em 5 mm, sendo as configurações das camadas da armadura longitudinal já 
programadas e calculadas para estribos deste diâmetro. A Fig. 2 demonstra um breve exemplo da 
distribuição das barras de acordo com cada camada, bem como possibilita entender a ocorrência 
do corte e ancoragem das barras, à depender do tipo de arranjo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2. Detalhe do arranjo de barras por camada. 
 Ressalta-se que a planilha contempla o cálculo de deslocamentos em viga para qualquer 
tipo de carregamento, porém deve ser feito um prolongamento das configurações de camadas da 
armadura longitudinal pelo fato de que a planilha de áreas foi aferida até o valor de 51,25 cm² 
(configuração de até 5 camadas). Apesar de conter 450 configurações diversas, foi priorizado no 
cálculo da área de aço efetiva o fato de que os valores estivessem mais próximos uns dos outros, 
como por exemplo, no caso de uma viga de vão igual a 9 metros e 𝑓𝑐𝑘 igual a 40 MPa a área 
calculada de aço corresponde a 9,24 cm² e, por meio de arranjos de camadas, chega-se a uma área 
de aço efetiva igual a 9,30 cm², equivalente à duas camadas distribuídas entre 6mmmm 
(a mais próxima dentro das combinações geradas). O principal propósito de se criar arranjos com 
bitolas diversas é refinar o cálculo para a otimização. 
Para o cálculo do cisalhamento, adotou-se uma estratégia de otimização realizada antes 
mesmo de se implementar o comando Solver. Esta análise se baseia na verificação entre a área 
calculada e área mínima de aço, a qual realiza a otimização do espaçamento em trechos onde o 
esforço cortante é relativamente menor, utilizando para tal o valor calculado para a armadura 
mínima correspondente, variando-o de acordo com o diagrama de esforços cortantes. Para o 
esforço cortante máximo de cálculo (𝑉𝑠𝑑) o espaçamento entre estribos possui distâncias menores, 
diferentemente do esforço cortante de cálculo mínimo (𝑉𝑠𝑑,𝑚í𝑛) onde os espaçamentos são 
maiores. A Fig. 3 mostra como os espaçamentos são conjugados ao longo do comprimento da viga. 
 
 
 
Figura 3. Distribuição dos estribos de acordo com o esforço cortante. 
Posteriormente, é possível realizar o cálculo da decalagem a ser utilizada no comprimento 
total das barras cortadas. Para o corte da armadura longitudinal, assim como para a ancoragem das 
barras nos apoios e para as armaduras comprimidas e de pele algumas simplificações tiveram que 
ser adotadas. Para os estribos é prevista ancoragem com ganchos em ângulo reto. 
 
2.2. Simplificações adotadas 
 
No decorrer do trabalho, algumas simplificações foram adotadas, a fim de se tornar 
possível a otimização. São elas: 
 Não foi adotada uma dimensão específica para os pilares, o que ocasiona em um esforço 
cortante utilizado diretamente no eixo do apoio; 
 Todas as regiões foram tomadas como sendo de boa aderência; 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Apesar da criação de diversas configurações para colocação da armadura longitudinal em 
cada camada, a altura útil não é recalculada. Isto resulta em consequências diretamente 
ligadas à segurança da peça; 
 Foi considerado, a fim de se simplificar os cálculos, que duas barras seriam ancoradas nos 
apoios, sendo escolhido para cada configuração o maior diâmetro que tivesse, no mínimo, 
2 barras em cada camada. Este fator, bem como o cálculo da nova altura útil, interfere 
diretamente no quesito segurança da peça; 
 Para barras ancoradas nos apoios foi adotado gancho em ângulo reto, com um comprimento 
de 20 cm cada; 
 Nas armaduras comprimidas e de pele a ancoragem é em ângulo reto; 
 Foram adotados critérios, baseados em análises anteriores, em relação à porcentagem 
utilizada do vão como comprimento inicial das vigas. Para cada caso de atuação da 
armadura foi adotada uma porcentagem do vão conforme as relações à seguir: 
- Para o corte de barras das armaduras tracionadas, exceto as que são ancoradas nos apoios, 
adotou-se um comprimento inicial igual a 20% do vão; 
- Para as armaduras comprimidas foi adotado um comprimento inicial igual a 25% do vão. 
 Foi adotada uma sobrecarga distribuída igual a 10,0 kN/m. 
 
2.3. Restrições 
 
As restrições são os limites impostos às células variáveis. O Solver toma uma restrição 
como satisfeita se a condição que esta restrição classifica é verdadeira, observados pequenos 
limites de tolerância. As verificações de restrições são realizadas em relação ao Estado Último de 
Limite, Estado Limite de Serviço e detalhamento, com o propósito de atender as diretrizes da 
ABNT NBR 6118:2014. As restrições impostas ao projeto de otimização para a tipologia de viga 
calculada são: Restrição à resistência; Restrição para que o elemento se comporte como viga; 
Restrição à biela comprimida; Restrição para a armadura mínima de cisalhamento; Restrição ao 
limite inferior para a armadura longitudinal; Restrição ao limite superior para a armadura 
longitudinal; Restriçãoà flecha. 
 
3. ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
Como primeira análise, temos a relação da altura ótima em comparação à altura inicial 
considerando a utilização de uma contra flecha, conforme Fig. 4 nota-se que, apesar da não-
linearidade do dimensionamento da viga, os resultados apresentam um comportamento semelhante 
ao longo dos vãos, ressalva-se alguns casos como para o vão de 12 metros e 𝑓𝑐𝑘 igual a 40 MPa 
onde há uma discrepância no valor encontrado para a altura ótima, fato este que deriva da não-
linearidade na otimização dimensional da viga. Entretanto, a maioria dos resultados mostram uma 
redução significativa na altura ótima ao longo do crescimento da resistência do concreto utilizada 
no dimensionamento. 
 
 
Figura 4. Altura ótima encontrada para cada vão. 
0,00
30,00
60,00
90,00
120,00
4 5 6 7 8 9 10 11 12
20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa Altura inicial
(cm)
(m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Em uma segunda análise é feita a comparação da altura ótima das vigas sem considerar a 
aplicação da contra flecha, conforme mostra a Fig. 5: 
 
 
Figura 5. Altura ótima desconsiderando a contra flecha. 
A partir da análise das Fig. 4 e 5 pode-se constatar que a flecha é fator preponderante no 
dimensionamento, sendo a altura ótima das vigas limitada pela mesma. Pode-se notar o padrão que 
ocorre ao longo do gráfico, o qual apresenta um formato aproximadamente parabólico. Observa-
se que a flecha começa a interferir na altura ótima para satisfazer a restrição. A altura da viga chega 
a ser então maior do que a dimensionada pelo método convencional, especificamente em casos 
que utilizam 𝑓𝑐𝑘 menores, os quais afetam diretamente na resistência final da viga. A aplicação 
da contra flecha implica não somente numa diminuição da altura, como gera economia nos custos 
e uma redução nas cargas solicitantes, uma vez que alturas inferiores afetam diretamente o peso 
próprio da viga. 
Em relação ao custo total, é possível constatar que, aumentando-se a resistência 
característica do concreto, são obtidas reduções no custo total cada vez maiores, visto que a parcela 
a ser resistida pelo concreto é maior, conforme mostra a Fig. 6. Em nenhum momento o aumento 
da resistência do concreto ocasionou desvantagens para a ferramenta de otimização motivado pelo 
custo muito superior se comparado à concretos de menor resistência. 
 
 
Figura 6. Comparação dos custos totais e otimizados de acordo com o vão e 𝑓𝑐𝑘 utilizado. 
 A Fig. 7 mostra a porcentagem de economia obtida com o dimensionamento otimizado da 
viga. Esta redução reflete diretamente no gráfico da Fig. 6, o qual demonstra o custo real da viga 
através do dimensionamento convencional comparado ao custo obtido pelo dimensionamento 
otimizado. Nota-se uma tendência no gráfico da Fig. 7, o qual apresenta soluções mais econômicas 
para vãos menores e uma economia relativamente menor para vãos maiores. Vale destacar o salto 
ocorrido no gráfico da Fig. 6 para o vão de 6 metros com um 𝑓𝑐𝑘 de 25 MPa e que pode ser 
facilmente percebido no gráfico da Fig. 7 como a maior economia obtida ao longo das variações 
apresentadas. 
0,00
30,00
60,00
90,00
120,00
150,00
4 5 6 7 8 9 10 11 12
20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa Altura inicial
(cm)
R$0,00 R$300,00 R$600,00 R$900,00 R$1.200,00 R$1.500,00 R$1.800,00 R$2.100,00
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Custo
V
ão
 (
m
)
Custo pelo dimensionamento convencional 45 MPa 40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa 20 MPa
(m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 7. Porcentagem economizada de acordo com o vão e fck utilizado. 
De acordo com a Tabela 1, apresenta-se uma análise com os resultados obtidos entre a 
composição do custo total da viga pelo dimensionamento convencional e pelo dimensionamento 
otimizado. A análise obtida deu-se através de uma viga de vão igual a 7 metros com o 𝑓𝑐𝑘 do 
concreto igual a 35 MPa. Nota-se que o programa busca a melhor solução para satisfazer às 
restrições e otimizar o custo. Esta distribuição é fruto dos resultados apresentados na Tabela 1, os 
quais mostram os dados obtidos pelos dois dimensionamentos: 
 
Tabela 1. Custos referentes à análise de uma viga com 𝑓𝑐𝑘 igual a 35 MPa. 
 Convencional Otimizado 
Vão 
(m) 
Fôrma 
(R$) 
Concreto 
(R$) 
Aço 
(R$) 
Custo Total 
(R$) 
Fôrma 
(R$) 
Concreto 
(R$) 
Aço 
(R$) 
Custo Total 
(R$) 
7 
160,49 303,28 257,23 721,00 145,35 270,70 179,35 595,40 
22,26% 42,06% 35,68% - 24,41% 45,47% 30,12% - 
Pode ser observada uma redução, já esperada, da participação das fôrmas e do volume de 
concreto no custo total, visto que conforme ocorre a redução significativa da altura 
consequentemente a área de superfície da viga se torna menor, bem como seu volume. 
 Analisando por fim os resultados de uma forma geral, percebe-se que há um certo padrão 
no modo como ocorre a manipulação do processo de otimização do custo das vigas. Nota-se que 
geralmente há um aumento na área de aço e diminuição do volume de concreto e área de fôrmas. 
Como o concreto é o material preponderante na composição dos custos o programa busca um meio 
de amenizar a diminuição da altura da viga, fato que implica diretamente no cálculo do volume e 
da área. 
 Na Fig. 8 é apresentada uma comparação, ao longo do vão, dos custos unitários referentes 
à composição de concreto, fôrmas e aço obtidos pelo dimensionamento otimizado e pelo 
dimensionamento convencional para um 𝑓𝑐𝑘 igual a 30 MPa. 
 
 
Figura 8. Comparação dos custos unitários referente à cada material. 
 Seguindo a mesma análise dos gráficos estudados acima, percebe-se a não-linearidade que 
ocorre na distribuição dos custos unitários dos materiais, tendo por vezes uma diminuição 
1,31%
11,09%
4,53%
2,65%
7,12%
17,76%
2,46%
0,45%
2,55%
19,28%
9,83%
29,59%
4,26%
0,75%
26,32%
4,04%
6,01%
4,37%
20,92%
1,06%
7,59%
13,71%
2,07%
9,63%
10,44%
3,19%
11,87%
23,50%
15,28%
8,86%
17,42% 15,36%
21,07%
7,19%
10,70%
8,59%8,26%
18,39%
5,05%
20,50%
14,52%
9,03%
9,31%
15,51%
0,58%
8,63%
22,96%
10,44%
22,68%
12,26% 11,93%
8,79% 8,84% 9,26%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
4 5 6 7 8 9 10 11 12
20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa
R$ 0
R$ 150
R$ 300
R$ 450
R$ 600
R$ 750
R$ 900
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fck 30 MPa
Dimensionamento convencional Concreto Fôrma Aço
(m) 
(m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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significativa no volume de concreto e área de aço calculada bem como apresenta uma certa 
estagnação no custo da área de fôrmas. Ressalva-se ainda que, em certos casos, há um aumento 
notável na quantidade de aço necessária resultante da diminuição expressiva da altura da viga. 
Analisando ainda a Fig. 8, pode-se perceber que o custo unitário das fôrmas é 
expressivamente maior para as vigas de 4, 5, 6 e 7 metros de vão do que o para os vãos maiores. 
Constata-se neste gráfico que nem sempre a viga de menor dimensão na seção transversal retomará 
menores custos em termos de materiais utilizados, pois conforme há a redução da seção, maior se 
torna a participação do aço na composição geral da viga, podendo haver o encarecimento do 
projeto. Todavia, menores dimensões transversais geram uma diminuição na área de superfície da 
viga, que por fim impacta em um percentual menor de utilização de fôrmas. 
 
4. CONCLUSÕES 
 
Em função dos exemplos analisados, o dimensionamento otimizado mostra-se uma opção 
mais viável em relação ao dimensionamento convencional. Respeitando os critérios normativos, 
foram obtidas soluções ótimas em custo dentre uma série de combinações possíveis na 
parametrização do problema. Por fim, através de processos de detalhamento foi possível refinar 
ainda mais o custo final dentrodo processo de otimização. Em relação a área, através das diversas 
configurações geradas, o Solver procura àquela que satisfaz as especificações estabelecidas no 
dimensionamento. Posto isso, a planilha elaborada para o arranjo das barras calcula, de forma 
eficiente, o respectivo volume considerando o corte de barras, respeitando o processo de 
decalagem e de detalhamento imposto pela ABNT NBR 6118:2014. Através da esquematização 
do problema é possível ainda refinar o cálculo para a distribuição dos estribos. 
A altura ótima de vigas de concreto armado pode ser analisada em função do vão a ser 
vencido. O concreto é o insumo preponderante na composição dos custos de vigas biapoiadas, sua 
participação é de aproximadamente 50% do custo total. Em uma segunda verificação, as fôrmas 
aparecem como material predominante. 
Destaca-se a importância de se conhecer antecipadamente os métodos de otimização, 
sejam de caráter linear ou não. Neste trabalho o foco foi o método do Gradiente Reduzido 
Generalizado, o qual é utilizado internamente pela ferramenta Solver e é, de fato, uma ferramenta 
muito útil para a determinação de problemas de otimização. Porém, também se faz necessário um 
conhecimento prévio para que se possa usá-lo corretamente. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (2014). NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento. ABNT 83p. Rio de Janeiro. 
Fraga, J.L.T e Kripka, M. (2015). Projeto estrutural de vigas de concreto armado visando a 
minimização do impacto ambiental. Rev. de Eng. e Tecnologia, v. 7, n. 1, p. 123-131. 
Kakadiya, C.R. e Desai, A.N. (2013). Optimization of 2-D Steel Truss by Grid Search Method. 
International Journal of Innovations in Engineering and Technology, v. 2, issue 1. 
Maia, J.P.R. (2009). Otimização estrutural: estudo e aplicações em problemas clássicos de vigas 
utilizando a ferramenta Solver. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia de São 
Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. 
Verzenhassi, C.C. (2008). Otimização de risco estrutural baseada em confiabilidade. Dissertação 
de Mestrado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. 
Vieira, A.A. (2014). Redução do impacto ambiental das estruturas em concreto pré-moldado 
através de otimização por algoritmo genético. Dissertação de Mestrado. Escola de 
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.