potencial elétrico

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Potencial
Elétrico
Prof. Cláudio Graça
2012
Campo elétrico e de potencial
V2
V1
Campo e Potencial Elétricos
V1
V2
E
Potencial gravitacional Potencial Elétrico
O potencial elétrico é a quantidade de trabalho necessário para mover uma 
carga unitária de um ponto de referência a um ponto específico contra o 
campo elétrico. Em geral o ponto de referência é localizado na superfície da 
terra, (mas pode ser qualquer ponto do campo elétrico designado para isso)
W=mgh W=q(VA-VB)
Energia Potencial Elétrica
Energia Potencial e Trabalho
f iU U U WΔ = − = −
onde W é o trabalho feito pelo campo elétrico
É conveniente definir
fU U W∞= = −
Na qual se considera que
Ou seja é o trabalho realizado pelo campo para mover 
a carga do infinito à posição atual qualquer
W∞
0U∞ =
Variação da energia potencial
mghEp =Δ
3R
MmrGEp
r
MmGEp
=
= Fora
Dentro
Energia potencial gravitacional
Terra
r
MG
m
E
V pg ==
Analogia Energia Potencial gravitacional
Potencial elétrico
Diferenças de energia potencial e de potencial elétrico, 
no entanto, são bem definidas:
O campo elétrico é definido como a força por 
unidade de carga:
E o potencial é a energia potencial elétrica 
por unidade de carga:
q
UV
q
FE
ΔΔ =
=
r
r
∫−=−=
2
112
ld.EVVV
rr
Δ
Trabalho e Energia Potencial
∫ ⋅=→
2
1
21 ldFW
rr
r̂FF
rr
=
• Os campos de forças centrais são do tipo conservativo, permitindo sua 
descrição por uma função escalar, denominada função potencial. 
• A Força eletrostática é conservativa, portanto pode ser associada a uma 
energia potencial elétrica.
Substituindo, na expressão anterior
O trabalho realizado por uma força, 
quando a mesma se desloca entre dois 
pontos (i-f), é dado por:
Quando o campo é central a força 
pode ser escrita como
∫∫∫ ==⋅=→
2
1
2
1
2
1
21 drFcosdlFldr̂FW
rrrr
θ
O trabalho representa uma 
variação da energia potencial: ∫−==− →
2
1
r
r
2112 drFWUU
r
1
2
F
dl
Centro de força
θ
θ
r̂
Energia potencial eletrostática
∫∫ −−===→
f
i
if
f
i
fi )UU(rd.Eqrd.FW
rrrr
∫∫ −−===→
2
1 12
2
2
1
21
11 ]
rr
[Qkqdr
r
Qkqrd.EqW ooo
rr
A energia potencial eletrostática entre dois pontos i e f do campo elétrico, é
igual ao valor negativo do trabalho sobre a carga para se deslocar entre 
esses dois pontos
Trajetória de uma carga qo que desloca
qntre os pontos 1 e 2 do campo criado
por uma carga Q.
]
rr
[kQ]
rr
[kQ
q
W
q
U
q
UVV
ooo 2112
2121
21
1111 −=−−=−=−=− →
Potencial eletrostático
]
rr
[kqVV
if
if
11 −−=−
i
i
f
f r
kqV
r
;rpara =∴→∞→ 01
A diferença de potencial entre dois pontos quaisquer i e f do campo
produzido por uma carga qualquer q será:
Se o ponto final é o infinito, o potencial desse ponto será nulo, portanto:
Dessa maneira o potencial em um ponto qualquer distanciado de “r”
de uma carga pontual será dado por:
r
kqrd.E)r(V
r
∫
∞
=−= r
r
Potencial Elétrico devido a E constante
O potencial elétrico é a quantidade de 
trabalho necessário para mover uma 
carga unitária de um ponto de 
referência a um ponto específico 
contra o campo elétrico. Em geral o 
ponto de referência é localizado na 
superfície da terra, (mas pode ser 
qualquer ponto do campo elétrico 
designado para isso)
∫−=→
f
i
fi ld.EV
rr
Δ
090 ==−=
==−=
=−=−=
∫
∫
∫∫
→
→
→
o
C
B
BC
C
A
cA
B
A
B
A
BA
cosCBEld.EV
EdcosACEld.EV
EddlEld.EV
rr
rr
rr
Δ
θΔ
Δ
Potencial Elétrico: análise
• Supondo a carga q0 se move de um ponto 
A para o ponto B através de uma região do 
espaço descrito por um campo elétrico E. 
• Como existe uma força F=qo E que atua sobre a carga, um trabalho 
WAB deve ser realizado na tarefa de movimentar a carga de A para B. 
• Define-se o potencial elétrico como sendo a diferença:
Será essa uma boa definição?
•VB - VA é independente de q0
•VB - VA é independente do percurso
A B
q0
E
VB − VA ≡
WAB
q0
Potential devido a uma carga pontual
2
0
2
0
0
0 0
1 ˆ
4
1
4
1 ( )
4
1 1( )
4 4
f
i
f
i
f
i
f
i
s
f i s
r
i r
r
i r
r
i r
i
f i
V V E ds
qV r dr
r
qV dr
r
qV
r
q qV
r r
πε
πε
πε
πε πε
= − ⋅
= − ⋅
= −
= − − |
= + −
∫
∫
∫
r
r
r r
r
0
1( )
4
qV r
rπε
= If 
0
1
4i i
qV
rπε
≡
Potencial devido a uma carga pontual
0
1( )
4
qV r
rπε
=
Potencial devido a N cargas
O potencial devido a N cargas, é
igual à soma do potencial devido a 
cada carga separadamente. 
x
r1
r2 r3
q1
q3
q2
⇒ V (r) = Vn (r)
n =1
N
∑ = 14πε 0
qn
rnn =1
N
∑
 
V (r) = −
r 
E • d
r 
l 
r= ∞
r= r
∫ = −
r 
E n • d
r 
l 
n =1
N
∑
r= ∞
r= r
∫
Potencial devido a um dipolo
0
1 ( )
4
q qV V V
r rπε+ − + −
−= + = +
P
r+ r−
pr
θ
0
( )
4
r rqV
r rπε
− +
+ −
−=
Se o ponto de interesse P
está muito afastado do 
dipolo teremos:
2
0
cos( )
4
q dV
r
θ
πε
=
2
0
1 cos( )
4
pV
r
θ
πε
=
2
0
ˆ1 ( )
4
p rV
rπε
⋅=
r
r̂
Potencial devido a um dipolo elétrico
Superfícies Equipotenciais e linhas de campo
O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição 
contínua de pontos que têm o mesmo potencial elétrico.
Observe que, como , nenhum 
trabalho é necessário para mover uma 
partícula de prova entre dois pontos quaisquer 
e numa superfície equipotencial.
VqU Δ=Δ 0
Exemplo: Quatro superfícies equipotenciais.
O campo elétrico é perpendicular às superfícies
Trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando se move de um 
extremo a outro.
KWU E Δ−=−=Δ
Superfícies Equipotenciais e linhas de campo
ds
dVE −=
Superfícies Equipotenciais
Se ΔV é escolhido como sendo o mesmo entre superfícies
adjacentes, o campo elétrico será inversamente proporcional à
separação espacial entre superfícies equipotenciais. 
Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico
f
i
s
f i s
V V V E dsΔ = − = − ⋅∫
r
r
r r
f
i
s
f i s
V V E ds= − ⋅∫
r
r
r r
ou
O potencial em um ponto qualquer VP pode ser associado a qualquer
valor de referência Viref cujo valor pode, inclusive, ser zero:
∫−=
P
ref
refP sd.EVV
rr
Potencial devido a uma distribuição contínua de carga
0
1
4
dqdV
rπε
=
0
1
4
dqV dV
rπε
= =∫ ∫ dV
dA
dldq
ρ
σ
λ
=
=
=
Se uma distribuição de carga q é contínua, escolhe-se um elemento 
diferencial de carga dq, e determina-se o potencial dV em um ponto P 
devido à dq,
e então integra-se sobre toda a distribuição de carga
Linha de carga
2122 /P )ax(
dxk
r
dqkdV
+
== λ
]
a
)al(lln[k
]aln})al(l[ln{k
}])ax(x[ln{k
)ax(
dxk
)ax(
dxkdVV
Vtomando
/
/
l/
l
/
l
/P
ref
2122
2122
0
2122
0
2122
0
2122
0
++=
−++=
++=
+
=
+
==
=
∫∫ ∫
λ
λ
λ
λλ
25
Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro de um 
anel de raio a e carga q
r
dqkdVP =
∫+
= dq
ax
kVP 22
como 22 axr +=
∫∫ +
==
22 ax
dqkdVV PP
22 ax
kqVP +
=⇒ 
Anel de carga
Para x>>a
x
kqVP =⇒ Monopolo!!!
Disco de carga
Consideremos um elemento de carga dq formado 
por um anel de raio r e espessura radial dr
22
2
2
xr
dr)r(k
r
dqkdV
dr)r(dq
P +
==
=
πσ
πσ
Para determinar o potencial resultante em P 
deve-se somar as contribuições de todos os 
anéis no intervalo {0,a}
)xax(k
rx
rdrkdVV
a
PP
−+=
+
== ∫ ∫
22
0
22
2
2
πσ
πσ
Aplicação Biomedica da Diferença de 
Potencial Elétrica
Neuron
Aplicações Biomédicas