Problemas_e_Desafios_Vol_01_cap-03 - Guidorizzi 6ª Ed

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Volume 1
 Capítulo 3 Limite e Continuidade 
 1. Calcule, caso existam, os limites a seguir. 
a) 
5
8
8lim .
x
x
x→
−
b) 
2
4
sen ( )lim .
x
x
xπ→
c) 2 3
3
lim sec ( ). .
x
x x
π
→
Solução
a) 1 b) 2
π
 c) 34
3
π
 2. Calcule os seguintes limites. 
a) 
2
2
5 6lim
2x
x x
x→
− +
−
b) 
3 2
4
2 8lim
4x
x x x
x→−
+ −
+
c) 
4
2lim
4x
x
x→
−
−
d) 
1
1lim
1
n
x
x
x→
−
−
Solução
a) –1 b) 24 c) 1
4
 d) n
Problemas e Desafios
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2
Problemas e Desafios
 3. Calcule, caso existam, lim ( )
x p
f x
−→
 e lim ( )
x p
f x
+→
. 
a) ( ) = | 3 |,f x x x+ − = 3p 
b) 2
sen( ) se < 0
( ) =
se 0
x x
f x
x x

 ≥
, = 0p . 
c) 2
sec( ) se < 0
( ) =
se 0
x x
f x
x x

 ≥
, = 0p .
Solução
a) 
3
lim ( )
x
f x
−→
 = 
3
lim ( ) = 3
x
f x
+→
b) 
0
lim ( )
x
f x
−→
 = 
0
lim ( ) = 0
x
f x
+→
c) 
0
lim ( ) = 1
x
f x
−→
 e 
0
lim ( ) = 0
x
f x
+→
 
 4. Calcule, caso existam, os seguintes limites:
a) 
0
lim | |
x
x
→
b) 
0
| |lim
x
x
x→
Solução
a) Calculando os limites laterais, vemos que 
0
lim | | = 0
x
x
→
.
b) Como 
0
| |lim = 1
x
x
x−→
− e 
0
| |lim = 1
x
x
x+→
, segue que 
0
| |lim
x
x
x→
 não existe.
 5. Determine se as seguintes funções são contínuas nos pontos dados.
a) 
3
2
tg ( ) se < 0
( ) =
se < 0


+
x x
f x
x x x
, = 0p . 
b) 
3
3 2
5 se < 5
125
( ) = 1 se 5
+ − +

 ≥ −

x x
x
f x
x
x
, = 0p .
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3
Limite e Continuidade
Solução
a) 
0
lim ( )
x
f x
−→
 = 
0
lim ( ) = 0.
x
f x
+→
 Como os limites laterais coincidem segue que f é contínua 
em p.
b) 
0
lim ( )
x
f x
−→
 = 1
25
 e 
30
1lim ( ) = .
25x
f x
+→
 Como os limites laterais são diferentes, segue 
que f não é contínua em p.
 6. Determine L de modo que f seja contínua em ( , )−∞ +∞ . 
a) 
sen( ) se < 2
( ) = se = 2.
2 se 2
7 3
x x x
f x L x
x x
x
π


 − ≥
 + −
b) 
23 5 se < 5
3
( ) = se = 5,
se 5
3
x x
x
f x L x
x x
 − −
−
+ −
 − ≥ −

 = 0p .
Solução
a) f já é contínua para todo x∈, tal que 2x ≠ , como 
2
lim ( )
x
f x
−→
 = 
2
lim ( ) = 0
x
f x
+→
. Para 
que f seja contínua em 2 devemos ter 
2
(2) = = lim ( ) = 0.
x
f L f x
→
 
b) f é contínua para todo x∈ , tal que 5x ≠ − . Temos que 
5
lim ( )
x
f x
−→
 = 
5
5lim ( ) = .
3x
f x
+→
Para que f seja contínua em –5 devemos ter devemos ter 
5
5( 5) = = lim ( ) = .
3x
f L f x
→−
− 
 7. Para quais valores de ,a b∈ a função f abaixo é contínua em ( ,−∞ +∞ ).
Solução
Queremos 
3 3
lim ( ) = lim ( ) = (3),
x x
f x f x f
− +→ →
 ou seja, 27 3 = = 9a b a+ − , logo, f é contínua 
se 3=
13
a e 114=
13
b 
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4
Problemas e Desafios
 8. A função 
4 3 210 21( ) =
3
x x xf x
x
− −
−
 é contínua em = 3x ? Justifique.
Solução
A função f não é contínua em = 3x . Apesar de os limites laterais existirem e coincidirem, 
3 3
lim ( ) = lim ( ) = 36,
x x
f x f x
− +→ →
 f não está definida para = 3x , e uma função só pode ser con-
tínua em um ponto de seu domínio.
 9. Prove, usando a definição de limite, que as funções abaixo são contínuas nos pontos dados.
a) ( ) = 5 10f x x + em = 1p . 
b) ( ) =g x x em = 2p .
Solução
a) Para provar que f é contínua em 1, temos que mostrar que para todo > 0ε existe 
> 0δ , de modo que se | 1 | <x δ− teremos | ( ) (1) | < .f x f ε− De fato, dado > 0ε , 
tome =
5
εδ , de modo que | 1 | <x δ− implica que | 5 10 15 | < = .
5
x δ ε+ −
b) Dado > 0ε tome = 2δ ε . De fato, se | 2 | <x δ− temos | 2 | =x − 
| 2 | < = .
2 2
x
x
δ ε−
+
 Logo, g é contínua em 2. 
 10. Suponha que 0
( )lim =x f x a
x
→ , com a uma constante não nula. Calcule os seguintes limites.
a) 
0
( )lim
x
f x
x
π
→
b) 
2
0
( 1)lim
1x
f x
x→
−
+
c) 2
0
lim ( )
x
f x
→
Solução
a) Temos que 
0 0
( ) ( )lim = lim =
x x
f x f x a
x x
π π π π
π→ →
b) Temos que 
2 2
0 0
( 1) ( 1)( 1)lim = lim =
1 ( 1)( 1)x x
f x f x x a
x x x→ →
− − −
−
+ + −
c) Temos que 
2 2 2 2
2 2
2 20 0 0 0
( ) ( )lim ( ) = lim = lim = lim = 0
x x x x
f x x f x xf x a x
x x→ → → →
 
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5
Limite e Continuidade
 11. Determine L de modo que a função dada por:
100 2sen se 0
( ) =
se = 0
x x
f x x
L x
π   ≠  
 

seja contínua em ( , )−∞ +∞
Solução
Sabemos que 2sen
x
π 
 
 
 é limitado por –1 e 1 e que 100
0
lim = 0
x
x
→
. Portanto, pelo teorema 
do confronto, segue que 100
0
2lim sen = 0.
x
x
x
π
→
 
 
 
 Logo, para que f seja contínua em 0 de-
vemos ter = 0.L 
 12. Considere uma função contínua g, tal que para todo x∈ temos 2016| ( ) 3 | < .g x x− Calcule 
2
0
lim ( ) .
x
g x
→
Solução
Como g é contínua, temos que ( ) 3g x − também é, e daí | ( ) 3 |g x − também. Como 
20160 | ( ) 3 |g x x≤ − ≤ e 2016
0
lim = 0
x
x
→
, segue, pelo teorema do confronto, que 
0
lim ( ) 3
x
g x
→
− 
= 0, portanto, 
0
lim ( ) = 3.
x
g x
→
 Como g é contínua, segue que 2
0
lim ( ) = 9.
x
g x
→
 13. Suponha que o limite 
10
lim ( )
x
f x
→
 e que f é contínua e satisfaz 
2
2 2
9 14 ( )
( 2)
x x f x
x x
− +
≤ ≤
+
 
x x
x
2
2
10 24
( 2)
− +
+
 para todo x∈ tal que < 10x . Calcule 
10
lim ( ).
x
f x
→
Solução
Sejam 
2
2
9 14( ) =
( 2)
x xg x
x
− +
+
 e 
2
2
10 24( ) =
( 2)
x xh x
x
− +
+
. Note que 12(10) = (10) =
77
g h .
Assim, pelo teorema do confronto, temos que 210
( ) 12lim = .
77x
f x
x−→
 Segue que 
10
lim ( ) =
x
f x
−→
 
1200 ,
77
 e, como por hipótese o limite existe, segue que, lim
x
f x
→ −10
( ) = 
10
1200lim ( ) = .
77x
f x
→
 14. Calcule os seguintes limites. 
a) 
0
1 cos( )lim
x
x
x→
−
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6
Problemas e Desafios
b) 
0
1 cos( )lim
sen( )x
x
x→
−
c) 
0
tg(5 )lim
x
x
x→
Solução
a) Temos que 
2
0 0 0 0
1 cos( ) (1 cos( ))(1 cos( )) sen ( ) sen( )lim = lim = lim = lim
(1 cos( )) (1 cos( ))x x x x
x x x x x
x x x x x x→ → → →
− − +
+ + 
lim
cos
,
x
x
x→ +0
( )
1 ( )
= 1 0 = 0sen
b) Temos que 
0 0
1 cos( ) 1 cos( ) sen( )lim = lim = 0,1 = 0
sen( )x x
x x x
x x x→ →
− −
c) Temos que 
0 0
tg(5 ) sen(5 )lim = lim = 5
cos( )x x
x x
x x x→ →
 15. O limite 
0
sen(cos( ))lim
sec( )x
x
x→
 existe? Justifique.
Solução
Fazendo = cosu x, temos que 1u → quando 0x → . Assim, temos que lim
x→0
 
sen(cos( )) =
sec( )
x
x
1
lim sen( ) = sen(1)
u
u u
→
⋅ . Vemos que o limite existe e é igual a sen(1).
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