AP1_2016 02_Int_Prob_Est_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA – GABARITO – 2016/2
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsável;
Questão 1 [2,0 pontos] Em uma classe de 30 alunos, 14 falam inglês, 5 falam alemão e 7 falam
francês. Sabendo-se que 3 falam inglês e alemão, 2 falam inglês e francês, 2 falam alemão e francês
e que 1 fala as 3 ĺınguas, determine o número de alunos que falam pelo menos uma das 3 ĺınguas.
Solução.
Consideremos os seguintes conjuntos:
M - conjunto dos alunos que falam inglês; N - conjunto dos alunos que falam alemão e P - conjunto
dos alunos que falam francês.
De acordo com o enunciado, temos:
n(M) = 14, n(N) = 5, n(P ) = 7, n(M∩N) = 3, n(M∩P ) = 2, n(N∩P ) = 2 e n(M∩N∩P ) = 1.
Procura-se o valor de n(M ∪N ∪ P ).
Mas, n(M ∪N ∪P ) = n(M)+n(N)+n(P )−n(M ∩N)−n(M ∩P )−n(N ∩P )+n(N ∩M ∩P ).
Logo, n(M ∪N ∪ P ) = 14 + 5 + 7− 3− 2− 2 + 1 = 20.
Portanto, conclui-se que 20 alunos falam pelo menos uma das três ĺınguas.
Podemos resolver, também, usando o diagrama de Venn.
A quantidade total de alunos que falam as três ĺınguas é dada por 10 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1+ 4 = 20.
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP1 - gabarito 2
Questão 2 [1,5 ponto] Em um grupo de 22 pessoas, há 12 moças e 10 rapazes, sendo que 5 dessas
pessoas, 3 moças e 2 rapazes, são irmãos. Quantos duplas, formadas por uma moça e um rapaz,
distintas podem ser formadas de modo que a moça e o rapaz de cada dupla formada não sejam
irmãos?
Solução. Para as 3 moças que possuem 2 irmãos, há 3× 8 = 24 casais posśıveis.
Para as 9 moças restantes, que não possuem irmãos no grupo, há 9× 10 = 90 casais posśıveis.
No total, temos 24 + 90 = 114.
Portanto, podem ser formados 114 casais distintos.
Questão 3 [1,5 ponto] Quantos são os anagramas da palavra SUCESSO; isto é, quantas per-
mutações existem para essa palavra?
Solução.
É um problema de permutação com elementos repetidos. Logo, o número de permutações é dado
por:
P (7)
P (3)
=
7!
3!
= 7× 6× 5× 4 = 840 .
Questão 4 [1,5 ponto] Um grupo é formado por 12 professores, sendo
3
4
de professores de F́ısica
e o restante de professores de Matemática. Uma comissão deve ser formada com esses professores.
Determine o número máximo de comissões que podem ser formadas, sabendo que cada comissão
deve ser formada por quatro professores, sendo um presidente e um vice-presidente, escolhidos entre
os professores de F́ısica, e mais dois professores de Matemática.
Solução.
Nesse caso, a ordem é importante para a escolha do presidente e do vice-presidente. Portanto,
devemos usar arranjos para os professores de F́ısica. Para os professores da Matemática, usaremos
combinações. Temos,
A(9, 2)× C(3, 2) = 72× 3 = 216 comissões posśıveis.
Questão 5 [2,0 pontos] Uma senha deve ser formada por três letras distintas seguidas por um
número de dois algarismos, também distintos. As três letras devem ser vogais (escolhidas entre a,
e, i, o, u) e o número de dois algarismos distintos deve ser ı́mpar e estar entre 10 e 100. Quantas
senhas distintas podem ser constrúıdas seguindo as regras acima?
Solução.
Para as três letras, há A(5, 3) = 5× 4× 3 = 60 possibilidades.
Para a última posição, temos cinco possibilidades 1, 3, 5, 7 e 9. Para a penúltima posição, temos 8
possibilidades (de 1 a 9, excluindo o número da última posição).
No total, podem ser constrúıdas 60× 8× 5 = 2.400 senhas.
Questão 6 [1,5 ponto] Determine o coeficiente do termo que contém x4 no desenvolvimento da
expresssão
(
x− 2
x
)8
.
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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP1 - gabarito 3
Solução.
O termo que contém x4 aparecerá atráves da operação (x)6
(
−2
x
)2
. Portanto, o termo será dado
por:
C(8, 2)(x)6
(
−2
x
)2
=
8× 7
2
× 4× x4 = 28× 4× x4 = 112x4.
Logo, o coeficiente do termo que contém x4 é igual a 112.
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