Conversão Eletromecânica de Energia em Engenharia Elétrica

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Centro Universitário de Tecnologia e Ciências 
 
 
Cursos de Engenharia Elétrica: 
Automação, Mecatônica e Telecomunicações 
 
 
 
 
Conversão Eletromecânica de Energia 
Elementos Básicos com Máquinas Elétricas 
Preliminar 
 
 
Prof. Luiz Bizerra de Aguiar 
 
 
Março 2020 
 
 
1 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Este texto apresenta os elementos básicos sobre Conversão 
Eletromecânica de Energia, com estudos preliminares sobre as máquinas 
elétricas, necessários aos Cursos de Engenharia Elétrica de Automação, 
Mecatônica e Telecomunicações. Eles ampliam os conhecimentos já adquiridos 
em outras disciplinas, principalmente da Física, dos Circuitos Elétricos e do 
Eletromagnetismo. 
São apresentados os conhecimentos essenciais à análise dos circuitos 
magnéticos, transformadores e conversores eletromecânicos de energia, assim 
como são apresentados os princípios básicos sobre as máquinas elétricas 
rotativas e algumas aplicações. 
Dessa forma, são abordados os elementos que tratam da conversão 
eletromecânica de energia e introdução à máquinas elétricas rotativas, que 
servem como preparação às aplicações e estudos mais avançados relacionados 
com as máquinas elétricas, com os acionamentos eletromecânicos e com 
diversas aplicações em componentes e dispositivos dos sistemas elétricos. 
Trata-se, portanto, de um texto básico orientativo para os alunos da 
disciplina Conversão Eletromecânica de Energia, em carater introdutório, que 
deve ser complementado com resoluções de exercícios, discussões em sala de 
aula e consultas às referências indicadas. 
 
Prof. Luiz Bizerra de Aguiar 
Março 2020 
 
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INDICE 
 
1. INTRODUÇÃO À CONVERSÃO DE ENERGIA....................................3 
2. CIRCUITOS E MATERIAIS MAGNÉTICOS..........................................7 
3. INTRODUÇÃO AOS TRANSFORMADORES.....................................28 
4. ESTUDO DOS TRANSFORMADORES...............................................46 
5. PRINCÍPIOS DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA........................64 
6. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE AS MÁQUINAS ROTATIVAS.........82 
7. CARACTERÍSTICAS DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS.......................109 
REFERÊNCIAS........................................................................................147 
 
 
3 
 
 
1 – INTRODUÇÃO À CONVERSÃO DE ENERGIA 
Esta introdução apresenta as ideias gerais e preliminares sobre a 
conversão eletromecânica de energia e os dispositivos e equipamentos 
eletromecânicos e eletromagnéticos, necessárias aos estudos subsequentes, com 
vista na sua utilização nos estudos das máquinas elétricas e em suas aplicações 
e acionamentos. 
1.1 - INTRODUÇÃO GERAL 
A energia apresenta-se sob diversas formas e para sua utilização 
normalmente torna-se necessária a conversão de um tipo para outro, ou de uma 
forma de energia para outra. Em particular, o uso das energias elétrica e 
mecânica envolve a conversão da energia mecânica em energia elétrica, como 
também a conversão da energia elétrica em energia mecânica. É a conversão 
eletromecânica de energia. 
A conversão entre as formas de energia elétrica e mecânica não é obtida 
diretamente, mas conta com a participação de estruturas magnéticas. Assim, tem-
se as sequências de conversão: energia mecânica - energia magnética - energia 
elétrica e energia elétrica - energia magnética - energia mecânica. 
As formas de energias são estudadas através de suas variáveis básicas e 
algumas váriáveis derivadas. As variáveis básicas podem ser dos tipos: entre e 
através. Nos sistemas elétricos a variável entre é a tensão e a variável através é a 
corrente. Nos sistemas mecânicos translacionais a variável entre é a velocidade e 
a variável através é a força. 
As variáveis derivadas principais são a potência e a energia. Em geral, em 
determinado sistema o produto da variável entre pela variável através resulta na 
potência. O produto desta pelo tempo resulta na energia que está associada 
diretamente na realização de trabalho. A conversão dentro de um mesmo 
sistema, em que são alterados os níveis das variáveis entre e através e mantendo 
os valores da potência e da energia, é chamada de transformação. 
O estudo das conversões eletromecânicas de energia parte basicamente 
dos conceitos estudados sobre circuitos elétricos, materiais magnéticos, 
4 
 
eletromagnetismo e mecânica. Em seguida são estudados os circuitos e materiais 
magnéticos, os transformadores, os princípios da conversão eletromecânica e os 
conceitos básicos sobre as máquinas rotativas. 
1.2 – DISPOSITIVOS E EQUIPAMENTOS DE CONVERSÃO 
Máquinas elétricas são dispositivos ou equipamentos que transformam ou 
convertem energia proveniente de uma fonte primária em energia elétrica, como 
também os que transformam ou convertem a energia elétrica em outra forma de 
energia, particularmente energia mecânica. 
Em geral, a energia proveniente das fontes primárias é convertida em 
energia mecânica, que é convertida em energia elétrica pela máquina ou, por 
outro lado, a energia elétrica é convertida em energia mecânica. São processos 
de conversão eletromecânica de energia. 
O estudo das máquinas elétricas envolve tanto os geradores elétricos como 
os motores elétricos. A classificação mais básica das máquinas elétricas é em 
geradores e motores. Os geradores elétricos convertem energia mecânica em 
energia elétrica, ou seja, produzem energia elétrica, e os motores elétricos 
convertem energia elétrica em energia mecânica. 
Tanto os motores quanto os geradores caracterizam-se pelo ocorrência de 
movimento em seu funcionamento, que pode ser rotativo, em geral, mas pode 
haver esquemas de conversão com outro tipos de movimento, como o linear. 
Os transformadores elétricos, apesar de não terem o seu funcionamento 
caracterizado pela ocorrência de movimento, também são considerados como 
máquinas elétricas, por dependerem do fenômeno físico da indução 
eletromagnética. Esse fenômeno é comum a todas as máquinas elétricas e seu 
conhecimento sobre os transformadores é básico para o entendimento das 
demais máquinas. 
As máquinas elétricas, podem ser, portanto, máquinas estacionárias, como 
os transformadores, e máquinas rotativas, como os geradores e os motores 
elétricos, podendo ser máquinas de corrente contínua e máquinas de corrente 
alternada. 
Todas as máquinas elétricas, incluindo os transformadores, usam material 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Electricidade
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Estudo_acad%C3%AAmico&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Geradores_el%C3%A9tricos&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Motores_el%C3%A9tricos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_mec%C3%A2nica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_el%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Movimento
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformadores_el%C3%A9tricos&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B4meno
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_eletromagn%C3%A9tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_eletromagn%C3%A9tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Transformadores
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quinas_de_corrente_cont%C3%ADnua
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A1quinas_de_corrente_alternada&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A1quinas_de_corrente_alternada&action=edit&redlink=1
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ferromagnético para moldar e dirigir os campos magnéticos que atuam como o 
meio para a transferência e conversão de energia. Sem os materiais 
ferromagnéticos as implementações práticas dos dispositivos de conversão 
eletromecânica de energia não seriam possíveis. 
Aguns dos materiais magnéticos são de imã permanente, criando seu 
próprio campo magnético, sem depender de corrente elétrica, e são também 
amplamente utilizados. No entanto, o foco principal aqui considerado é para os 
campos produzidos pelas correntes elétricas. 
1.3- FENÔMENOS FÍSICOS ASSOCIADOS 
A análise das conversões de energia e o funcionamento de todas as 
máquinas elétricas estão baseadas na lei de Ampére, de produção de campo 
magnético a partir da corrente elétrica, e na lei da indução de Faraday, de 
produção de força eletromotriz, ou seja, tensão elétrica, a partir de um campo 
magnético variável. 
Os fenômenos elétricos e magnéticos estabelecem relações diretas entre 
corrente elétrica e campo magnético e entre tensão e fluxo magnético, como 
também estão associados a fenômenos mecânicos. Tendo-se condutores em 
movimento dentro de campos magnéticos, as relações envolvem em conjunto 
corrente elétrica, indução magnética, fluxo magnético, tensão, velocidade, força e 
torque. 
Pode-se, portanto, estabelecer correspondências entre os fenômenos 
físicos elétricos e magnéticos, como também fenômenos mecânicos, assim 
associados: 
• Corrente elétrica → Campo magnético 
• Variação de fluxo magnético → Tensão elétrica 
• Corrente e campo magnético → Força, torque (conjugado) 
• Movimento, velocidade → Corrente, tensão induzida 
• Potência elétrica → Potência magnética → potência mecânica 
• Energia elétrica → Energia magnética → Energia mecânica. 
Uma correspondência importante pode ser estabelecida ainda entre as 
grandezas elétricas e magnéticas, seus parâmetros e variáveis, de forma a se 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_da_indu%C3%A7%C3%A3o_de_Faraday
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_el%C3%A9trica
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analisar circuitos magnéticos de maneira semelhante aos circuitos elétricos, 
destacamdo-se: 
• Relutância → Resistência elétrica 
• Fluxo magnético → Corrente elétrica 
• Força magnetomotriz → Tensão elétrica. 
No texto que segue são apresentados os conceitos básicos necessários à 
análise dos sistemas com campos magnéticos, considerando as associações ou 
correspondências entre os sistemas físicos envolvidos, assim como entre seus 
parâmetros e variáveis. 
 São abordados inicialmente os circuitos elétricos e magnéticos, com 
alguns aspectos sobre os materiais magnéticos e os não magnéticos, as 
propriedades magnéticas da matéria e os campos magnéticos e elétricos 
envolvidos, assim como as grandezas elétricas e magnéticas associadas. 
A apresentação relativa aos circuitos elétricos e magnéticos constitue-se 
em importante base de conhecimento para o entendimento sobre a transformação 
e conversão de energia, os transformadores, os reguladores e reatores, para as 
máquinas rotativas, sejam motores ou geradores, assim como para outros 
dispositivos utilizados em medição, proteção e controle. 
Em continuidade é feita uma introdução aos transformadores e 
desenvolvido um estudo dos aspectos básicos mais importantes sobre esses 
equipamentos. Em seguida, são apresentados os processos de conversão 
eletromecânica de energia e os princípios básicos sobre as máquinas rotativas, 
necessários aos estudos posteriores de cada tipo de máquina e suas aplicações. 
* * * * * 
 
 
7 
 
 
2. CIRCUITOS E MATERIAIS MAGNÉTICOS 
Os circuitos e materiais magnéticos são vistos através da apresentação 
dos materiais magnéticos e suas propriedades, dos circuitos elétricos e 
magnéticos, das estruturas eletromagnéticas, dos fenômenos físicos associados, 
da analogia ou equivalência entre os circuitos e de alguns aspectos 
complementares. 
2.1 - MATERIAIS MAGNÉTICOS E SUAS PROPRIEDADES 
Propriedades Magnéticas 
Magnetismo é a propriedade física que certos materiais apresentam em 
atrair pedaços de ferro. Desde a Antiguidade que este fenômeno é conhecido, 
admitindo-se que tenha sido descoberto na cidade de Magnésia, na Ásia Menor, 
daí o nome magnetismo. 
Alguns materiais encontrados livres na natureza, como por exemplo, o 
minério de ferro magnetita possui essa propriedade, constituindo-se nos 
denominados ímãs naturais ou permanentes. 
Como experiência, aproximando um ímã sob a forma de barra a pedaços 
de ferro, pode-se observar que o ferro adere ao ímã, principalmente nas duas 
extremidades, que são chamadas de polos. Verifica-se experimentalmente que, 
embora ambos atraiam o ferro, esses polos possuem propriedades magnéticas 
opostas, sendo um lado denominado de polo Norte, ou polo positivo (+), e o outro 
de polo sul, ou polo negativo (-). 
Aproximando duas barras imantadas, ambas suspensas por um fio, 
verifica-se que elas giram até que os polos de naturezas contrárias se aproximem 
e os de natureza contrária se repelem. Desta forma, tem-se como propriedade 
básica que: 
“Polos de nomes contrários se atraem e polos de mesmo nome se repelem”. 
De outra forma, colocando-se limalhas de ferro em urna folha de papel, em 
posição horizontal, e aproximando um ímã do outro lado, verifica-se que as 
limalhas ficam distribuídas de uma forma tal, de modo a indicar as linhas de força 
8 
 
do campo magnético criado pelo ímã, como mostra a Figura 2.1. 
 
Figura 2.1 - Experiência com limalha de ferro 
Colocando-se, tambem, uma agulha imantada sob a ação do campo 
magnético de um ímã permanente, ela se orienta segundo a direção tangente a 
uma linha de força do campo. 
A Figura 2.2 mostra o campo magnético de um imã e sua influência nas 
limalhas, assim como um esquema com as linhas do campo. 
 
Figura 2.2 - Campo magnético de um ímã permanente 
Os campos magnéticos utilizados nos equipamentos e máquinas utilizam, 
em geral, campos produzidos por correntes elétricas em vez de campos 
produzidos por imãs naturais, sendo denominados de eletroimãs. 
Há, portanto, materiais que apresentam propriedades magnéticas e 
materiais que não apresentam essa propriedade, ou apresentam muito pouco, 
dependendo de uma característica do material chamada de permeabilidade 
magnética. Dessa forma, há materiais magnéticos e materiais não magnéticos. 
Classificação dos Materiais Magnéticos 
Sob o ponto de vista magnético os materiais têm como propriedade básica 
a sua permeabilidade magnética μ, expressa em Weber/ampère.metro (Wb/A.m). 
9 
 
A permeabilidade de referência é a do vácuo μ0, que apresenta o seguinte valor: 
μ0=4π x 10-7 Wb/A.m 
A permeabilidade relativa μr de cada material é definida como a relação 
entre permeabilidade do material μ e a permeabilidade do vácuo μo, isto é: 
𝜇𝑟 =
𝜇
𝜇𝑜
 
Os materiais podem ser classificados, portanto, em quatro grupos, como 
materiais ferromagnéticos, paramagnéticos, diamagnéticos e não magnéticos, 
dependendo de sua npermeabilidade, conforme segue: 
• Ferromagnéticos: μr > 130 a 1000000 (em geral), tendo como exemplos: 
ferro, níquel, cobalto, ferro-silício; 
• Paramagnéticos: μr > 1,0 a 1,0008 (em geral), sendo exemplos: ar, 
alumínio, paládio, magnésio, sulfato de cobre (ar: μr = 1,0000004 ≈ μ0); 
• Diamagnéticos: μr < 1,0 a 0,999083 (em geral), como exemplos: prata, 
chumbo, cobre, bismuto, água; 
• Não magnéticos: μr = 1,0 (vácuo). 
Os materiais magnéticos utilizados normalmente apresentam μr entre 2000 
e 80000. Valores típicos de μr para as máquinas elétricas estão entre 2000 e 
6000. 
Os materiais ferromagnéticos, paramagnéticos e diamagnéticos 
encontrados na natureza podem se tornar um ímã na presença de um campo 
magnético, sendo ele fraco ou não, mas apresentam comportamento de maneiras 
distintas. 
Os ferromagnéticos ficam imantados fortemente se colocados na presença 
de um campo magnético. É possível verificar, experimentalmente, que a presença 
de um material ferromagnético altera fortemente o valor da intensidade do campo 
magnético. Dos materiais ferromagnéticos o ferro é considerado o mais 
importante, e é usado largamente nas máquinas elétricas. 
Os paramagnéticos possuem elétrons desemparelhados e, quando na 
presença de um campo magnético, ficam alinhados fazendo surgir um ímã que 
tem a capacidade de provocar um leve aumento na intensidade do valor do 
http://www.brasilescola.com/fisica/materiais-paramagneticos-diamagneticos-ferromagneticos.htm10 
 
campo magnético em um ponto qualquer. Esses materiais são fracamente 
atraídos pelos ímãs. 
Os diamagnéticos, quando colocados na presença de um campo 
magnético, têm seus ímãs elementares orientados no sentido contrário ao sentido 
do campo magnético aplicado. Assim, fica estabelecido um campo magnético no 
material que possui sentido contrário ao campo aplicado. 
Os materiais ferromagnéticos apresentam características bem diferentes 
dos materiais paramagnéticos e diamagnéticos. Eles são fortemente atraídos 
pelos ímãs ou podem formar campos magnéticos, enquanto os paramagnéticos e 
diamagnéticos não apresentam essa propriedade ou apresentam muito pouco, 
pois seus efeitos são muito pequenos sobre a influência de um campo magnético, 
sendo até considerados como não magnéticos. 
2.2 - CIRCUITOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS 
Campos Magnéticos 
Os materiais magnéticos criam em torno de si campos magnéticos. O 
campo magnético é o resultado das modificações das propriedades do espaço ao 
redor do ímã onde se verificam os fenômenos de atração e repulsão, com relação 
aos materiais magnéticos colocados próximos.. 
Na maioria das situações práticas, de interesse de engenharia, os campos 
magnéticos podem ser estudados utilizando-se de determinadas equações, 
derivadas das equações de Maxwell, juntamente com relações constitutivas que 
descrevem as propriedades do material. No entanto, na prática as soluções 
exatas para os problemas envolvidos são inatingíveis, e várias hipóteses 
simplificadoras permitem o obtenção de soluções úteis. 
Para os sistemas tratados normalmente, as freqüências e tamanhos 
envolvidos são tais que as equações podem ser simplificadas. Os campos 
magnéticos que estão sendo produzidos no espaço variando no tempo criam 
também campos elétricos, que estão associados com às tensões envolvidas e a 
radiação eletromagnética. Nos estudos das máquinas elétricas esses campos, 
normalmente, são desprezados e, portanto, não são considerados. 
O campo magnético pode ser caracterizado pela sua intensidade 
11 
 
magnética H (A.e/m), que depende da densidade de corrente J (A/m2), ou pela 
sua indução magnética B (Wb/m2) , dependente de H e também do meio, que 
indica que a densidade de fluxo magnético Ф (Wb) é conservada. Isto significa 
que o fluxo magnético líquido em uma superfície fechada é nulo, ou seja o fluxo 
que entra nessa superfície é igual ao que sai. 
As quantidades relativas aos campos magnéticos podem ser 
determinadas, então, a partir dos valores das correntes de origem, e as variações 
do campo magnético determinam diretamente as tensões elétricas das fontes no 
tempo. 
Uma suposição simplificadora envolve o conceito do circuito magnético. A 
solução geral para a intensidade do campo magnético H e a densidade do fluxo 
magnético B numa estrutura de geometria complexa é extremamente difícil. No 
entanto, um problema tridimensional pode, muitas vezes, ser reduzido para o que 
é, essencialmente, um circuito equivalente unidimensional, em cujas soluções a 
precisão é aceitável. 
Grandezas Elétricas e Magnéticas 
O estudo das máquinas elétricas envolve basicamente grandezas elétricas 
e magnéticas, cujos parâmetros e variáveis, com suas unidades básicas, estão 
resumidamente relacionados a seguir: 
Parâmetros elétricos: 
• Resistência R, Ohm (Ω) 
• Indutância L, Henry, (H). 
Variáveis elétricas: 
• Corrente I, Ampère (A) 
• Tensão V, Volt (V) 
• Densidade de corrente J, Ampére por metro quadrado (A/m2). 
Parâmetros magnéticos: 
• Permeabilidade magnética μ, Weber/Ampère.metro (Wb/A.m) 
• Permeância P, (Wb/A) e Relutância R, (A/Wb). 
Variáveis magnéticas: 
• Intensidade de campo magnético H, Ampère/m (A/m) 
12 
 
• Indução magnética B, Weber/m2 (Wb/m2) ou Tesla (T) 
• Fluxo magnético Ф, Weber (Wb) 
• Densidade de fluxo magnético B = Ф/m2, (Wb/m2) 
• Força magnetomotriz F = NI, Ampère-espira (A-e). 
Circuitos Magnéticos 
O conceito de circuito magnético é muito util na análise das grandezas 
magnéticas em associaçãos com as grandezas elétricas. Um circuito magnético é 
constituído por uma estrutura composta na maior parte com material magnético 
de alta permeabilidade, no qual há um campo magnético produzido por uma 
corrente num circuito elétrico. 
A Figura 2.3 mostra um circuito magnético simples, constituído de uma 
estrutura ferromagnética, um circuito elétrico para produção do campo magnético 
e as variáveis envolvidas. 
 
Figura 2.3 - Circuito magnético simples 
A elevada permeabilidade do material magnético facilita a circulação do 
fluxo magnético produzido pelo campo magnético a ser confinado aos caminhos 
definidos pela estrutura, como as correntes são limitados aos condutores de um 
circuito elétrico. 
Intensidade do Campo Magnético 
A intensidade do campo magnético em um ponto qualquer do espaço é 
representada por H e pode ser definida como uma espécie de força que esse 
campo exerce sobre um polo magnético colocado nesse ponto. Campos 
magnéticos podem ser produzidos em torno dos condutores, resultantes da 
passagem das correntes elétricas. 
Se uma corrente elétrica i circula em um condutor verifica-se que ela pode 
13 
 
produzir um campo magnético ao seu redor, observando-se que o sentido do 
campo pode ser identificado com o uso da mão direita, conforme a seguinte regra: 
“Num condutor em que circula uma corrente elétrica, se com a mão direita 
o dedo polegar apontar para o sentido da corrente, os demais dedos indicam o 
sentido do campo em volta do condutor”. 
A Figura 2.4 mostra a aplicação dessa regra. A fim de melhor compreender 
o sentido do campo magnético, convencionou-se que se a corrente elétrica for 
representada por uma flecha e estiver entrando perpendicularmente ao plano 
desta página, a cauda da flecha será indicada por um (x), e se estiver saindo da 
página, a ponta da flecha será representada por um ponto (.), conforme indicado 
na figura. 
 
Figura 2.4 – Regra da mão direita a campo magnético de dois condutores 
Pode-se observar também nessa figura o resultado do campo com as 
correntes em dois condutores paralelos. Colocando-se dois condutores elétricos 
próximos um do outro, ambos transportando correntes em sentidos contrários, 
verifica-se que seus campos magnéticos são somados, e se no mesmo sentido os 
campos são subtraidos. O vetor H representa a resultante das linhas de força dos 
campos dos dois condutores. 
Campo Magnético de um Solenoide 
Um solenoide é uma bobina de fios condutores e isolados, geralmente em 
tomo de um núcleo de ferro laminado, constituído de N espiras por onde circula 
uma corrente elétrica i. Nos dispositivos e equipamentos, como as máquinas 
elétricas, são utilizados os solenoides, que são os enrolamentos; os campos dos 
diversos condutores somam-se e o conjunto se comporta como um ímã, conforme 
mostra a Figura 2.5. 
14 
 
 
Figura 2.5 - Campo magnético de um solenoide 
Lei de Ampére e Equações Derivadas 
Sendo i a corrente (A) e A a área da seção transversal (m2) em um 
enrolamento contendo N espiras (e), em um circuito magnético de comprimento 
(contorno) lc (m), a relação entre a densidade de corrente elétrica J = i / A (A/m2), 
a intensidade do campo magnético H (A.e/m ou A/m) é representada pela lei de 
Ampére: 
 “A intensidade de campo magnético ao longo de um contorno fechado é 
igual à corrente elétrica que passa pela superfície delimitada por esse contorno” 
A lei de Ampére estabelece, portanto, que: 
∮ 𝑯. 𝒅𝒍 = ∫ 𝑱. 𝑨 
Isto significa que a integral de linha de H ao longo do contorno de uma 
superfície aberta, através da qual passa a densidade de corrente J, é igual à 
corrente total envolvida. 
Aplicando essa lei a circuitos magnéticos simples, como o apresentado, 
resulta que: 
𝑯. 𝑙𝑐 = 𝑱. 𝐴 = 𝑁. 𝒊 
A intensidade do campo magnético H pode ser determinada, então, a partir 
da corrente elétrica i, do número de espirasN e do comprimento do contorno lc , 
isto é: 
𝑯 =
𝑁. 𝒊
𝒍𝒄
 
15 
 
Por exemplo, sendo J = 1000 A/m2 e A = 100 cm2 = 0,01 m2, lc = 1 m e N= 
100, tem-se que i = 10 A e H =1000 Ae/m. 
A força magnetomotriz (fmm) F é a grandeza eletromagnética que resulta 
da passagem da corrente elétrica pelo condutor, sendo expressa pelo produto do 
número de espiras do enrolamento N e o valor da corrente i, isto é, em (A.e): 
𝑭 = 𝑁. 𝒊 
No exemplo em que i = 10 A e N= 100 espiras, tem-se F=1000 Ae. 
A indução magnética B é a grandeza magnética que resulta da intensidade 
do campo magnético H e depende da permeabilidade magnética μ, sendo 
expressa em Weber/m2 (Wb/m2) ou Tesla (T), sob a forma: 
𝑩 = 𝜇. 𝑯 
Sendo, por exemplo, H =1000 Ae/m e μr=5000, tem-se μ=2πx10-3 Wb/A.m e 
B=6,28 Wb/m2. 
O fluxo magnético Ф é a grandeza magnética que resulta do campo em 
uma estrutura magnética tal que atravessando uma superfície é igual ao produto 
da indução magnética B pela área da superfície A, sendo expresso em Weber 
(Wb), isto é: 
𝛷 = ∫ 𝑩. 𝒅𝒂 
Com a aplicação na estrutura magnética considerada, obtem-se: 
𝛷 = 𝐵. 𝐴 
No caso, por exemplo, em que B=6,28 Wb/m2 e A = 0,01 m2, tem-se que 
Ф=0,0628 Wb. 
O fluxo concatenado λ resulta da passagem do fluxo pelas espiras, sendo 
dado pelo produto do fluxo magnético ф pelo número de espiras N e expresso em 
(Wb.e): 
𝜆 = 𝑁. 𝛷 
No exemplo em que N = 100 espiras e Ф = 0,0628 Wb, tem-se λ = 6,28 
Wb.e. 
16 
 
A relutância R é a relação entre a força magnetomotriz F e o fluxo 
magnético Ф, isto é, em A.e/Wb: 
𝑅 =
𝐹
Ф
 
A permeância P é o inverso da relutância, ou seja, é a relação entre o fluxo 
magnético Ф e a força magnetomotriz F, isto é, em Wb/A.e: 
𝑃 =
1
𝑅
=
Ф
𝐹
 
Para o caso em que F = 1000 A.e e Ф = 0,0628 Wb, tem-se R = 15923 
A.e/Wb e P = 6,28x105 Wb/A.e. 
A relutância pode ser expressa também em função de lc, A e μ, sendo: 
𝑅 =
𝐹
Ф
=
𝑁𝑖
𝐵𝐴𝑐
=
𝐻𝑙𝑐
𝐵𝐴𝑐
 
𝑅 =
𝑙𝑐
𝜇𝐴𝑐
 
No exemplo em que Ac = 0,01 m2, lc = 1 m e μ = 2πx10-3 Wb/A.m, tem-se 
R=15923 A.e/Wb. 
A indutância L é a relação entre o fluxo concatenado λ e a corrente elétrica 
i, expresso em Henry (H), isto é: 
𝐿 =
𝜆
𝑖
 
A indutância pode ser expressa também em Wb.e/A, ou simplesmente 
Wb/A. Por unidade de comprimento a indutância apresenta a mesma unidade da 
permeabilidade magnética, e esta pode ser expressa também por H/m. 
O valor da indutância pode ser expresso a partir do número de espiras N e 
da relutância R, conforme segue: 
𝐿 =
𝜆
𝑖
=
𝑁𝛷
𝐻𝑙𝑐
𝑁
=
𝑁2𝐵𝐴𝑐
𝐻𝑙𝑐
=
𝑁2𝐴𝑐
𝜇𝑙𝑐
 
Donde resulta que a indutância varia com o quadrado do número de 
17 
 
espiras e inversamente com a relutância, isto é: 
𝐿 =
𝑁2
𝑅
 
Por exemplo, considerando N = 100 espiras e R = 15923 A.e/Wb, tem-se 
L= 0,628 H. 
Em geral, a indutância é variável, mas na maioria das situações pode ser 
considerada constante, resultando na proporcionalidade entre os fluxos 
concatenados e as correntes elétricas. 
2.3 - ESTRUTURAS ELETROMAGNÉTICAS 
As estruturas magnéticas normalmente são dotadas de enrolamentos, que 
são circuitos sob a forma de solenoide, constituindo-se em conjunto um circuito 
magnético. As estruturas são de diversos tipos assumindo, particularmente, 
formas retangulares e circulares. 
A Figura 2.6 mostra, como exemplo, uma estrutura magnética excitada por 
um campo manético, produzido pela corrente de um circuito elétrico, constituimdo-
se no circuito magnético correspondente, com indicações das dimensões e 
grandezas envolvidas. Os valores de H e B são praticamente constantes em toda 
a estrutura por onde circula o fluxo Φ, sendo constante a área da seção 
transversal Ac . 
 
Figura 2.6 - Estrutura e circuito magnético 
As estruturas magnéticas podem ser constituídas de circuitos magnéticos 
inteiramente de material magnético, mas podem ter também espaços vazios em 
determinadas partes, que são os entreferros. Todas as máquinas rotativas contem 
18 
 
entreferros entre as partas fixas e as partes móveis. 
A Figura 2.7 mostra uma estrutura e circuito magnético com entreferro, com 
indicações das dimensões e grandezas envolvidas. Os valores de H são 
diferentes no ferro e no entreferro, devido às diferentes permeabilidades, e B é 
praticamente constante em toda a estrutura por onde circula o fluxo Φ, sendo 
constante a área da seção transversal no ferro Ac e no entre ferro Ag . 
 
Figura 2.7 - Estrutura e circuito magnético com entreferro 
As relações entre as grandezas envolvidas no circuito magnético com 
entreferro podem ser também determinadas. De forma resumida, para o circuito 
magnético da figura apresentada, as equações correspondentes tomam as formas 
conforme segue. 
Força magnetomotriz F: 
𝐹 = 𝑁𝑖 = 𝐻𝑐𝐼𝑐 + 𝐻𝑔𝐼𝑔 
𝐹 =
𝐵𝑐
𝜇
𝐼𝑐 +
𝐵𝑔
𝜇𝑜
𝐼𝑔 
Indução magnética B: 
𝐵𝑐 =
𝛷
𝐴𝑐
 𝐵𝑐 =
𝛷
𝐴𝑔
 
Observando-se que Ac = Ag e Bc = Bg, tem-se para relutância e fluxo: 
Relutâncias R: 
𝑅𝑐 =
𝐼𝑐
𝜇𝐴𝑐
 𝑅𝑔 =
𝐼𝑔
𝜇𝑜𝐴𝑔
 
Fluxo magnético Φ: 
𝛷 =
𝐹
𝑅𝑡
=
𝐹
𝑅𝑐 + 𝑅𝑔
 
19 
 
Nas máquinas elétricas as estruturas são, em geral, com entreferro no qual 
uma peça pode se movimentar pela ação do campo magnético, ou haver 
produção de tensões a partir do movimento. A Figura 2.8 mostra um exemplo 
correspondente a uma estrutura magnética de uma máquina elétrica simples. 
 
Figura 2.8 - Estrutura magnética de uma máquina elétrica simples 
2.4 - ANALOGIA OU EQUIVALÊNCIA ENTRE OS CIRCUITOS 
Uma analogia entre os circuitos magnéticos e os circuitos elétricos pode 
ser estabelecida, através das leis das malhas e lei dos nós, conforme as 
expressões seguintes: 
 
Assim, pode-se estudar os circuitos magnéticos de forma semelhante aos 
circuitos elétricos, considerando as correspondências entre os parâmetros e as 
variáveis de ambos os circuitos. Pose-se dizer também que esses circuitos são 
equivalentes 
No circuito elétrico tem-se uma fonte de tensão, uma resistência e uma 
corrente resultante. No circuito magnético tem-se uma força magnetomotriz como 
fonte, uma relutância como resistência e um fluxo magnético resultante como uma 
corrente elétrica. 
A Figura 2.9 mostra a analogia entre o circuito magnético com entreferro e 
20 
 
um circuito elétrico. 
 
Figura 2.9 – Analogia entre os circuitos 
A Figura 2.10 mostra o exemplo de outra estrutura magnética, com dois 
entreferros, e a analogia entre os circuitos magnético e elétrico, com as 
expressões do fluxo magnético, das relutâncias e da indutância. 
 
Figura 2.10 – Exemplo de analogia entre os circuitos 
2.5 - TENSÃO INDUZIDA, POTÊNCIA E ENERGIA 
A lei de Faraday estabelece que a tensão induzida e no circuito elétrico 
resulta da variação do fluxo magnético concatenado λ, ou seja: 
𝑒 =
𝑑𝜆
𝑑𝑡
=
𝑑𝑁𝛷
𝑑𝑡
= 𝑁
𝑑𝛷
𝑑𝑡
 
A partir da expressão do fluxo concatenado, tem-se: 
𝑒 =
𝑑𝜆
𝑑𝑡
=
𝑑𝐿𝑖
𝑑𝑡
= 𝑖
𝑑𝐿
𝑑𝑡
+ 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
21 
 
Considerando a indutância constante, resulta: 
𝑒 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
As expressões relativas à potência p e energia W, associadas aos circuitos 
elétricos e magnéticos, podem ser determinadas conforme segue: 
𝑝 = 𝑒𝑖 = 𝑖
𝑑𝜆
𝑑𝑡
 
∆𝑊 = ∫ 𝑝𝑑𝑡 = ∫ 𝑖𝑑𝜆
𝜆2
𝜆1
𝑡2
𝑡1
 
Obtem-se, então, como resultados: 
 ∆𝑊 =
1
2𝐿
(𝜆2
2 − 𝜆1
2) ∆𝑊 =
𝐿
2
(𝑖2
2 − 𝜆𝑖1
2) 
Considerando as condições iniciais nulas, isto é, partindo-se da condição 
em que λ1 = 0 ou i1 = 0, tem-se a energia W em função de λ ou i, conforme as 
expressões: 
𝑊 =
1
2𝐿
𝜆2 𝑊 =
𝐿
2
𝑖2 
Por exemplo, para L = 10 H e i = 10 A, tem-se λ = 100 Wb.e e W=500 J 
Tensão em Corrente Alternada 
Com a utilização de uma fonte em corrente alternada i(t) o fluxo magnético 
φ(t) varia também de forma alternada; tem-se, consequentemente, uma tensão 
induzida alternada e(t).Admitindo-se que o fluxo magnético seja dado pela seguinte expressão: 
𝜑(𝑡) = 𝛷𝑀𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝐴𝑐𝐵𝑀𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 
Tem-se para a tensão induzida: 
𝑒(𝑡) =
𝑑𝑁𝜑(𝑡)
𝑑𝑥
= 𝑁𝜔𝛷𝑀𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝐸𝑀𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 
𝐸𝑀 = 𝑁𝜔𝛷𝑀 = 2𝜋𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀 
Daí resultam as expressões com as relações entre tensões e densidade de 
22 
 
fluxo, em termos de valores máximos (EM e BM ) ou eficazes (E e B): 
𝐸 =
2𝜋
√2
𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀 = √2𝜋𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀 
𝐸 = 4,44𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀 
Usa-se frequentemente as indicações de EM = V e BM = B. Tem-se, então: 
𝑉 = 4,44𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵 𝐵 =
𝑉
4,44𝑓𝑁𝐴𝑐
 
Por exemplo, para f = 60 Hz, N = 100, Ac = 0,01 m2 e V= 220 V tem-se 
como resultado B = 0,826 Wb/m2. 
2.6 – EXCITAÇÃO E MAGNETIZAÇÃO 
Magnetização e Histerese 
A magnetização de um material magnético obedece à relação entre a 
intensidade do campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B, de 
acordo com a relação B = μ.H, já apresentada anteriormente, que é uma relação 
não linear. 
O processo de desmagnetização não segue o inverso da magnetização, 
isto é, para um valor de H na magnetização corresponde um valor de B, mas na 
desmagnetização para o mesmo valor de H o valor de B é diferente do anterior. 
Esse fenômeno é chamado de histerese, que representa perdas, aquecimento e 
distorções para os equipamentos e máquinas elétricas. 
 A Figura 2.11 mostra a representação gráfica da curva de magnetização. 
 
Figura 2.11 – Curva de magnetização e histerese 
23 
 
Pode-se observar que a partir de certo ponto há saturação no material 
magnético, diante da variação da permeabilidade. Mostra também o gráfico 
resultante da histerese em, com as variações alternadas dos fluxos magnéticos, 
formam-se os laços ou ciclos de histerese. 
A energia magnética correspondente ao laço de histerese representa as 
perdas devido à histerese. A variação de energia entre dois instantes pode ser 
determinada através da seguinte expressão: 
∆𝑊 = ∫ 𝑝𝑑𝑡 =
𝑡2
𝑡1
∫ 𝑖𝑑𝜆
𝜆2
𝜆1
 
A energia num ciclo de histerese pode, então, ser determinada através das 
expressões: 
𝑊 = ∮ 𝑖𝜑𝑑𝜆 = ∮(
𝐻𝑐𝑙𝑐
𝐻
)𝐴𝑐𝑁𝑑𝐵𝑐 
Donde resulta que: 
𝑊 = 𝐴𝑐𝑙𝑐 ∮ 𝐻𝑐𝑑𝐵𝑐 
Isto significa que a energia é, portanto, igual ao produto do volume do 
núcleo Ac.lc pela área do ciclo de histerese definida pela integral de Hc. dB. 
A Figura 2.12 mostra uma representação gráfica de curvas relativas à 
densidade do fluxo magnético B em função da intensidade de campo magnético 
H, considerando diferentes curvas de histerese. 
 
A Figura 2.12 - Representação gráfica de curvas de histerese 
24 
 
Pode-se observar ainda que nas estruturas magnéticas circulam correntes 
parasitas decorrentes do alinhamento dos campos magnéticos internos, 
denominadas de correntes de Foucault. São correntes induzidas no ferro devido 
ao campo magnético. 
As correntes de Foucault representam também perdas e aquecimento para 
os equipamentos e máquinas elétricas. O uso de material magnético nessas 
máquinas sob a forma de chapas magnéticas, em vez de peça maciça, objetiva a 
redução das perdas, além de ser facilitar a montagem da peça. 
Fenômeno de Excitação 
No processo de excitação do circuito magnético a corrente resultante 
apresenta-se distorcida. A Figura 2.13 mostra como obter a corrente de excitação 
a partir das tensões e fluxos magnéticos utilizando-se dos laços ou ciclos de 
histerese. 
 
Figura 2.13 - Corrente de excitação a partir das tensões e fluxos e laços de histerese. 
A corrente não é, portanto, senoidal. Apresenta uma deformação em 
relação à forma da tensão, podendo-se comprovar que ela é uma composição da 
componente fundamental com as componentes harmônicas, com a 
predominância do 30 harmônico (frequência de 180 Hz). 
Utilizando valores eficazes, a partir da corrente de excitação Iφ e da 
intensidade do campo magnético Hc pode-se obter uma potência de excitação por 
unidade de massa Pa do material magnético, conforme segue. 
Corrente de excitação: 
𝐼𝜑 =
𝑙𝑐𝐻𝑐
𝑁
 
25 
 
Potência de excitação: 
𝑃𝑎 = 𝐸. 𝐼𝜑 = √2𝜋𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀
𝑙𝑐𝐻𝑐
𝑁
= √2𝜋𝑓𝐵𝑀𝐻𝑐(𝐴𝑐𝑙𝑐) 
𝑃𝑎 = 𝐸. 𝐼𝜑 = √2𝜋𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀
𝑙𝑐𝐻𝑐
𝑁
 
A potência por unidade de massa m, com densidade do ferro ρc, resulta em: 
𝑃𝑎 =
𝐸. 𝐼𝜑
𝑚
=
√2𝜋𝑓
𝜌𝑐
𝐵𝑀𝐻𝑐 
Dispersão de Campo Magnético 
O campo magnético concentra-se em sua maior parte na estrutura 
magnética. No entanto, na parte externa da estrutura, no ar, verifica-se a 
presença de campo magnético, porem de baixa intensidade em relação ao da 
estrutura. O fluxo magnético resultante concentra-se na estrutura, mas parte dele 
distribui-se pelo espaço, pelo ar, sendo denominado de fluxo disperso. 
A Figura 2.14 mostra o fluxo principal e o fluxo disperso numa estrutura 
magnética, semelhante às usadas em reatores. Em muitas situações consideram-
se desprezíveis os fluxos dispersos, mas ele é importante no cálculo da reatância. 
 
Figura 2.14 – Dispersão do campo magnético 
Num entreferro a dispersão, também chamada de espraiamento, provoca 
um pequeno aumento da área na parte do ar do entreferro por onde passa o fluxo 
(cerca de 2 % a 3%), em relação à área da parte do ferro, mas normalmente 
essas áreas são consideradas iguais. 
26 
 
A Figura 2.15 mostra o fluxo disperso no entreferro de um trecho de uma 
estrutura magnética, observando-se o espraiamento nas partes mais externas. 
 
Figura 2.15 – Dispersão do fluxo magnético no entreferro 
Indutância e Permeabilidade 
A indutância de um circuito pode ser constante ou variar com a 
permeabilidade magnética do material ou circuito magnético, que pode apresentar 
saturação magnética. 
A Figura 2.16 mostra a representação gráfica da curva para um caso em 
que indutância varia com a permeabilidade. Pode-se observar que indutância 
varia rapidamente para os valores baixos da permeabilidade e, a partir de certo 
ponto, devido à saturação no material magnético, a indutância é praticamente 
constante para valores elevados da permeabilidade. 
 
Figura 2.16 - Representação gráfica da indutância em função da permeabilidade 
27 
 
Perdas por Histerese 
A potência por unidade de massa representa um indicador das perdas por 
histerese no núcleo. Figura 2.17 mostra uma curva representativa das perdas por 
histerese em relação à densidade do fluxo magnético B. 
 
Figura 2.17 - Perdas por histerese em relação à densidade do fluxo magnético B 
* * * * * 
 
 
28 
 
 
3 – INTRODUÇÃO AOS TRANSFORMADORES 
Os transformadores são máquinas elétricas estáticas que funcionam à 
base do fenômeno da indução. Este item apresenta uma introdução aos 
transformadores, sendo analisados inicialmente os acoplamentos magnéticos e o 
transformador ideal, seguindo-se com a análise do transformador real, dos 
circuitos equivalentes e dos tipos de tranformadores. 
3.1 - ACOPLAMENTOS MAGNÉTICOS 
Numa estrutura magnética com dois circuitos, ou enrolamentos, 
aplicando-se uma tensão ou corrente elétrica em um dos circuitos, cria-se um 
fluxo magnético que se transfere para o outro circuito, resultando no 
aparecimento de tensão ou corrente nesse circuito. 
Há, dessa forma, um acoplamento magnético entre os circuitos. Na 
análise dos acoplamentos magnéticos são utilizados os conceitos já vistos, 
sobretudo de campo magnético, intensidade do campo magnético, indução 
magnética, fluxo magnético e fluxo concatenado. 
Conceitos adicionais são necessários, como os relativos à indução 
eletromagnética, tensão elétrica induzida, Lei de Faraday – Lenz e indutâncias 
própria e mútua. 
Indução Eletromagnética 
A indução eletromagnética é o fenômeno que origina a produção de uma 
força eletromotriz (f.e.m.), diferença de potencial ou tensão elétrica, num meio ou 
corpo exposto a um campo magnético variável, ou num meio móvel exposto a um 
campo magnético estático. 
Este fenômeno é expresso pela Lei de Faraday, que indica: 
“A magnitudeda tensão induzida é proporcional à variação do fluxo 
magnético e ao número de espiras”. 
A geração da força eletromotriz (fem), ou tensão induzida e(t), é expressa 
em função do fluxo concatenado λ ou Nφ, dada pela relação seguinte: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Faraday-Neumann-Lenz
29 
 
𝑒(𝑡) = −
𝑑𝜆
𝑑𝑡
= −𝑁
𝑑𝜑
𝑑𝑡
 
O sinal negativo (-) indica que é uma tensão de reação, conforme a lei de 
Lenz que estabelece: 
“A corrente devida à f.e.m. induzida se opõe à mudança de fluxo 
magnético, de forma tal que a corrente tende a manter o fluxo”. 
A indução electromagnética é o princípio fundamental sobre o qual operam 
transformadores, geradores, motores elétricos e a maioria das demais máquinas 
elétricas. 
Os transformadores são equipamentos ou dispositivos que alteram níveis 
de tensão e de corrente através de estruturas magnéticas com enrolamentos, 
através de indução eletromagnética. Há, portanto, transformações dos níveis das 
variáveis envolvidas, tensão e corrente. 
A indução magnética de um campo magnético em um ponto qualquer é 
medida, portanto, pela capacidade em induzir força eletromotriz em um condutor 
que se desloque no campo. 
Por exemplo, se um condutor tem comprimento igual 1 m, a velocidade de 
deslocamento de 1m/seg e a f.e.m. induzida de 1 V, a indução magnética é de 1 
Wb/m2. 
A indutância é o parâmetro que estabelece a relação entre o fluxo 
concatenado num circuito e a corrente elétrica que passa nesse circuito, expressa 
em Henry (H), isto é: 
𝐿 =
𝜆
𝑖
 
Esta é uma indutância própria do circuito. A indutância mútua é a relação 
entre o fluxo concatenado num circuito e a corrente que passa no outro circuito, 
através do acoplamento magnético. 
Indutâncias Próprias e Mútuas 
A Figura 3.1 mostra uma forma de acoplamento magnético entre circuitos, 
sem e com entreferro, com indicações dos parâmetros e variáveis envolvidos. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenz
http://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenz
http://pt.wikipedia.org/wiki/Transformador
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gerador
http://pt.wikipedia.org/wiki/Motor_el%C3%A9ctrico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Transformador
30 
 
 
Figura 3.1 - Acoplamento magnético entre circuitos 
Considerando dois circuitos elétricos num circuito magnético oberva-se que 
a indutância de um circuito que estalece a relação entre o fluxo concatenado e a 
corrente no circuito é a indutância própria. A relação entre o fluxo concatenado 
num circuito e a corrente em outro circuito define a indutância mútua. 
A Figura 3.2 mostra um circuito magnético com dois enrolamentos para 
ilustrar os cálculos dessas indutâncias. Neste caso a relutância do ferro está 
sendo desprezada em relação à do ar no entreferro. 
 
Figura 3.2 – Circuito magnético com dois enrolamentos 
Os dois circuitos apresentam as correntes i1 e i2 e os correspondentes 
fluxos concatenados λ1 e λ2, respectivamente, tem-se para as relações entre 
essas variáveis, e as expressões para as indutâncias próprias L11 e L22 as 
indutâncias mútuas L12 e L21: 
Os fluxos magnéticos e os fluxos concatenados λ1 e λ2 são expressos por: 
𝜑 = (𝑁1𝐼1 + 𝑁2𝐼2)
𝜇𝐴0
𝑔
 
31 
 
𝜆1 = 𝐿11𝑖1+𝐿12𝑖1 
𝜆2 = 𝐿21𝑖1+𝐿22𝑖1 
Tem-se para as Indutâncias próprias L11 e L22: 
𝐿11 = 𝑁1
2 𝜇0𝐴𝑔
𝑔
 𝐿22 = 𝑁2
2 𝜇0𝐴𝑔
𝑔
 
As Indutâncias mútuas L12 e L21 apresentam os seguintes resultados: 
𝐿12 = 𝑁1𝑁2
𝜇0𝐴𝑔
𝑔
 𝐿21 = 𝑁2𝑁1
𝜇0𝐴𝑔
𝑔
 
Tem-se, portanto, que essas Indutâncias mútuas L12 e L21 são iguais, isto é: 
𝐿12 = 𝐿21 
 Indica-se também como L12 = M12 e L21 = M21, tendo-se, então: M12 = M21= M. 
A força magnetomotriz total é: 
𝐹 = 𝑁1𝐼1 + 𝑁2𝐼2 
No caso sem entreferro o fluxo resultante no circuito magnético e os fluxos 
concatenados são: 
𝜑 = (𝑁1𝐼1 + 𝑁2𝐼2)
𝜇𝐴𝑐
𝑙𝑐
 
𝜆1 = 𝑁1
2 𝜇𝐴𝑐
𝑙𝑐
𝑖1+𝑁1𝑁2
𝜇𝐴𝑐
𝑙𝑐
𝑖1 
𝜆2 = 𝑁2𝑁1
𝜇𝐴𝑐
𝑙𝑐
𝑖1+𝑁2
2 𝜇𝐴𝑐
𝑙𝑐
𝑖1 
Nesse caso, as Indutâncias são: 
𝐿11 = 𝑁1
2 𝜇𝐴𝑐
𝑙𝑐
 𝐿22 = 𝑁2
2 𝜇𝐴𝑐
𝑙𝑐
 
𝐿12 = 𝐿21 = 𝑁1𝑁2
𝜇𝐴𝑐
𝑙𝑐
 
Por exemplo, sendo dados Ac = Ag = 1 m2 , lc = 1 m, g= 0,01 m, N1 = 100, N2 
= 10, μr=10000, tem-se: 
32 
 
Sem entreferro: L12 = 12,6x10-3 H, L21=12, 6x10-5 H e L12= L21=12,6x10-4 H 
Com entreferro: L12 = 12,6x103 H, L21=12, 6x10 H e L12= L21=12,6 x102 H. 
Tensão Induzida, Potência e Energia 
Os geradores ou transformadores geram tensões nas fases; são as 
tensões induzidas. As tensões e correntes são representadas por fasores que 
traduzem as suas variações ao longo do tempo. 
Um gerador monofásico possui apenas um enrolamento que, submetido à 
ação de um campo magnético, produz tensão em apenas uma fase, tendo o 
retorna pelo neutro. Um gerador trifásico possui três enrolamentos, como três 
circuitos monofásicos defasados mecanicamente de 1200 
Nos circuitos de força, para motores ou outras máquinas, como na Figura 
3.3, usam-se as três fases, havendo acoplamentos entre os circuitos nas partes 
fixas e partes móveis. 
 
Figura 3.3 - Acoplamentos em geradores e motores 
Os grandes geradores e transformadores são quase sempre trifásicos. As 
três fases são geradas pelos enrolamentos do gerador e atingem os máximos e 
mínimos em tempos diferentes, com defasamentos de 120°. 
A representação dessas tensões geradas pode ser indicada em um gráfico, 
sob a forma três ondas nos circuitos constituídos das três fases, ou sob a forma 
de três fasores equilibrados, defasados de 120° e cuja soma é zero, conforme 
mostra a Figura 3.4. 
33 
 
 
Figura 3.4 – Tensões produzidas em geradores 
A potência elétrica p produzida é o produto da tensão induzida e pela 
corrente elétrica i no circuito, tanto nos geradores como nos transformadores. A 
energia elétrica W resulta do produto da potência pelo tempo, mas pode ser 
expressa em função do fluxo concatenado ou da corrente. 
Têm-se, então, as seguintes expressões: 
𝑒 =
𝑑𝐿𝑖
𝑑𝑡
= 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
𝑝 = 𝑒𝑖 = 𝑖
𝑑𝜆
𝑑𝑡
 
𝑊 =
1
2𝐿
𝜆2 =
𝐿
2
𝑖2 
Em corrente alternada, a partir das expressões do fluxo e da tensão em 
função do tempo, pode-se determinar a relação entre a indução máxima B e a 
tensão eficaz V, conforme resumido no que segue: 
𝑒(𝑡) =
𝑑𝑁𝜑(𝑡)
𝑑𝑥
= 𝑁𝜔𝛷𝑀𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝐸𝑀𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 
𝐸𝑀 = 𝑁𝜔𝛷𝑀 = 2𝜋𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀 
Em termos de valores máximos (EM e BM ) ou eficazes (E e B), tem-se: 
𝐸 =
2𝜋
√2
𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀 = √2𝜋𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵𝑀 
Como é usual fazer EM=V e BM=B, tem-se: 
𝑉 = 4,44𝑓𝑁𝐴𝑐𝐵 𝐵 =
𝑉
4,44𝑓𝑁𝐴𝑐
 
34 
 
3.2 - TRANSFORMADOR IDEAL 
Os transformadores são equipamentos eletromagnéticos que apresentam 
rendimento elevado, principalmente aqueles de grande porte utilizados em 
sistemas de potência. Em geral, os transformadores reais podem ser 
considerados como ideais admitindo-se certos pressupostos simplificadores, 
visando facilitar a análise de seu comportamento. 
No transformador ideal considera-se que o acoplamento entre suas 
bobinas é perfeito, ou seja, todas as bobinas concatenam, ou abraçam, o mesmo 
fluxo, o que vale dizer que não há dispersão de fluxo. Isso implica assumir a 
hipótese de que a permeabilidade magnética do núcleo ferromagnético é muito 
alta ou, no caso ideal, infinita, e o circuito magnético é totalmente fechado. 
Admite-se também que o transformador ideal não possui perdas de 
qualquer natureza, seja nos enrolamentos através da corrente elétrica, seja no 
núcleo através das correntes de Foucault e da histerese. Dessa forma, para 
muitas análises pode-se admitir que esses transformadores sejam não ideais, o 
que implica, portanto, em algumas simplificações no modelo, quais sejam: 
• Não há fluxo de dispersão: o fluxo está todo contido no núcleo e se 
concatena totalmente com as espiras do primário e do secundário; 
• As resistências elétricas e reatâncias dos enrolamentos não são 
consideradas; 
• As perdas no ferro (núcleo) são ignoradas;• A permeabilidade do núcleo é considerada muito elevada. 
A Figura 3.5 mostra representações usuais de um transformador ideal. 
 
Figura 3.5 - Representações de um transformador ideal 
Para os transformadores reais consideram-se incluídas nas análises a 
permeabilidade magnética variável, a resistência e reatância dos enrolamentos, a 
35 
 
histerese, as correntes de Focault e, portanto, as perdas nos condutores e no 
material magnético. 
Transformador Ideal em Vazio 
Considerando um transformador ideal em vazio, isto é sem carga, o fluxo 
total Ф é o mesmo em ambas as bobinas, já que os fluxos dispersos são 
desprezados e o núcleo tem permeabilidade infinita, as tensões e1 e e2, induzidas 
nessas bobinas, podem ser expressas como os produtos dos números de espiras 
pelas variações do fluxo magnético, isto é: 
𝑣1 = 𝑒1 = 𝑁1
𝑑Ф
𝑑𝑡
 𝑣2 = 𝑒2 = 𝑁2
𝑑Ф
𝑑𝑡
 
Dividindo-se uma expressão pela outra chega-se à relação entre as 
tensões do primário e do secundário: 
𝑣1
𝑣2
=
𝑒1
𝑒2
=
𝑁1
𝑁2
= 𝑎 
O valor de a é chamado de relação de espiras ou relação de 
transformação. Esta propriedade do transformador indica que a tensão é 
transferida ou refletida de um lado para outro segundo uma constante a. Quer 
dizer também que: 
“No transformador as tensões são diretamente proporcionais aos números 
de espiras” 
Em valores eficazes, tem-se que: 
𝑉1
𝑉2
=
𝑁1
𝑁2
 
Por exemplo: Para um transformador ideal com N1=100 espiras no primário 
e N2 = 10 espiras no secundário, se a tensão do primário for V1 = 200 V, tem-se, 
então, uma tensão no secundário V2 = 20 V. 
O transformador ideal em vazio apresenta uma tensão aplicada no primário 
e uma tensão resultante no secundário, guardando a relação de 
proporcionalidade com os correspondentes números de espiras (Figura 3.5). 
36 
 
 
Figura 3.5 - Transformador ideal em vazio 
A potência devido à magnetização no transformador em vazio Pc é dada 
pelo produto da tensão aplicada Ea e pela corrente de magnetização Iφ, isto é: 
𝑃𝑐 = 𝐸𝑎𝐼𝜑 
Transformador Ideal com Carga 
No transformador ideal com carga aparecem as correntes no secundário 
que se refletem no primário. Como as potências no primário e no secundário são 
iguais, isto é, V1.I1 = V2.I2, como também são iguais as forças magnetomotriz, isto 
é, N1.I1 = N2.I2, resultando em: 
𝑉1
𝑉2
=
𝐼2
𝐼1
 
O que quer dizer que: 
“No transformador as tensões são inversamente proporcionais às 
correntes” 
Tem-se também que: 
𝐼1
𝐼2
=
𝑁2
𝑁1
 
Quer dizer ainda que: 
“No transformador as correntes são inversamente proporcionais aos 
números de espiras correspondentes” 
A Figura 3.6 mostra um transformador ideal com carga. 
37 
 
 
Figura 3.6 - Transformador ideal com carga 
Fluxos Concatenados e Mútuos 
Os fluxos concatenados produzidos pelos enrolamentos circulam pelo 
circuito magnético, apresentando fluxos próprios, que passam por cada bobina 
resultante de sua própria corrente, e os fluxos mútuos, que passam por cada 
bobina, mas que são resultantes da corrente elétrica que circula no outro 
enrolamento. 
A Figura 3.7 mostra um esquema de um transformador com indicação dos 
fluxos que circulam na estrutura magnética, fluxos concatenados e mútuos no 
primário e no secundário. 
 
Figura 3.7 - Transformador com indicação dos fluxos concatenados e mútuos. 
Os núcleos dos transformadores podem ser dos tipos envolvido ou 
envolvente, conforme mostra a Figura 3.8. 
38 
 
 
Figura 3.8 – Tipos de núcleos de transformadores 
Esses dois componentes do transformador, núcleo e enrolamento, formam 
a parte ativa e os demais componentes, como o tanque e os acessórios, fazem 
parte dos complementos do transformador. 
Para se reduzir as perdas o núcleo de muitos transformadores são 
laminados para reduzir a indução de correntes parasitas ou de Foucault, no 
próprio núcleo. Em geral, utiliza-se aço-silício com o intuito de se aumentar a 
resistividade e diminuir ainda mais essas correntes parasitas. Há ainda os 
transformadores de núcleo de ar, que possui seus enrolamentos em contato com 
a atmosfera. 
Representação dos Transformadores 
Os transformadores podem ser estudados utilizando-se de representações 
adequadas através de circuitos elétricos. A Figura 3.8 mostra a representação de 
um transformador ideal com uma carga de impedância Z2 no secundário. 
 
Figura 3.8 - Transformador ideal com carga 
As tensões e correntes apresentam as seguintes relações: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_de_Foucault
39 
 
𝑉1 =
𝑁1
𝑁2
𝑉2 𝐼1 =
𝑁2
𝑁1
𝐼2 
𝑉2 =
𝑁2
𝑁1
𝑉1 𝐼2 =
𝑁1
𝑁2
𝐼1 
Tem-se para as impedâncias: 
𝑍1 =
𝑉1
𝐼1
 𝑍2 =
𝑉2
𝐼2
 
Resulta que: 
𝑍1 = (
𝑁1
𝑁2
)
2
𝑍2 
Pode-se observar que a carga no secundário é refletida no primário através 
da multiplicação da sua impedância pelo quadrado da relação de espiras. 
O circuito equivalente visto do primário está mostrado na Figura 3.9. 
 
Figura 3.9- Circuitos equivalentes para um transformador ideal com carga. 
De forma semelhante, as impedâncias do primário podem ser refletidas no 
secundário com a multiplicação pelo quadrado da relação inversa dos números de 
espiras. 
3.3 - TRANSFORMADOR REAL 
No transformador real são considerados os parâmetros associados às 
resistências, indutâncias, histerese, correntes de Foucault e portanto, as quedas 
de tensão e as perdas. 
Verifica-se para as forças magnetomotriz que: 
𝑁1𝑖1 − 𝑁1𝑖1 ≠ 0 𝑁1𝑖1 ≠ 𝑁1𝑖1 
40 
 
A Figura 3.10 mostra um esquema de um transformador real. 
 
Figura 3.10 – Representação de um transformador real 
Pode-se observar que a resistência e a indutância do secundário, assim 
como a impedância da carga, são refletidas no primário através da multiplicação 
de cada impedância pelo quadrado da relação de espiras. Esses valores são 
somados às correnpondentes impedâncias do primário. 
Igualmente as impedâncias do primário podem ser refletidas para o 
secundário com a multiplicação pelo quadrado da relação inversa dos números de 
espiras. 
No caso do transformador real em vazio a energização é feita através de 
uma pequema corrente de excitação Iφ. A potência devido à excitação do 
transformador em vazio Pc é dada pelo produto da tensão aplicada e pela corrente 
de excitação Iφ, isto é: 
𝑃𝑐 = 𝐸𝑎𝐼𝜑 
 A corrente se excitação Iφ apresenta duas componentes, uma 
correspondente à magnetização IM, na direção do fluxo magnético, e a outra 
devido às perdas pelas correntes de foucaut Ic, defasadas de 900, na direção da 
tensão, conforme mostra a Figura 3.11. 
 
Figura 2.11 – Representação fasorial da corrente de excitação 
41 
 
3.4 - CIRCUITOS EQUIVALENTES 
Os transformadores podem ser representados por circuitos equivalentes 
através de diversas formas, dependendo do tipo de estudo a ser realizado e dos 
detalhes a serem considerados. 
A Figura 3.12 mostra circuitos equivalentes para um transformador com 
carga, com as impedâncias, na representação do primário, sem e com 
magnetização. 
 
Figura 3.12 - Circuitos equivalentes para um transformador 
A Figura 3.13 mostra circuitos equivalentes aproximados para um 
transformador com carga, sendo a representação da direita a mais 
frequentemente utilizada, isto é, apenas com a reatância equivalente do 
transformador Xeq, designada normalmente apenas por X, que é a reatância de 
dispersão. 
 
Figura 3.13 - Circuitos equivalentes aproximados 
As Figuras 3.14 e 3.15 mostram as representações do circuito de um 
transformador real com as impedâncias e com a indicação da magnetização no 
primário, assim como o circuito equivalente correspondente visto do primário, 
respectivamente. 
42 
 
 
Figuras 3.14 – Representação do circuito de um transformador real 
 
Figura 3.15 - Circuitos equivalentes de um transformador real 
A Figura 3.16 mostra a representaçãoaproximada de alguns circuitos 
equivalentes de um transformador real. 
 
Figura 3.16 - Circuitos equivalentes aproximados 
Diagrama Fasorial 
A análise das tensões e correntes nos transformadores, assim como das 
quedas de tensões, pode ser feita utilizando-se de diagramas fasoriais. 
43 
 
A Figura 3.17 mostra um circuito equivalente de um transformador e o 
correspondente diagrama fasorial. 
 
Figura 3.17 – Transformador e diagrama fasorial 
A Figura 3.18 mostra a representação simplificada de um transformador 
com alimentador da rede elétrica e o diagrama fasorial correspondente. 
 
Figura 3.18 - Transformador com alimentador e diagrama fasorial 
3.5 - TIPOS DE TRANSFORMADORES 
Normalmente os transformadores podem ser monofásicos, bifásicos e 
trifásicos. A grande maioria dos transformadores nos sistemas de energia são 
trifásicos. 
Os transformadores trifásicos podem ser vistos como um grupo de três 
transformadores monofásicos devidamente conectados. Os enrolamentos são 
44 
 
feitos basicamente em três pernas da estrutura magnética, uma fase para cada 
perna, com as bobinas do primário e do secundário uma encaixada sobre a outra. 
Um transformador é formado basicamente de enrolamentos e núcleo, 
dentro de um tanque com óleo isolante. 
Os enrolamentos de um transformador são formados de várias bobinas 
que, em geral, são feitas de cobre eletrolítico que recebem uma camada de verniz 
sintético como isolante. Eles constituem os enrolamentos do primário e do 
secundário. 
Em geral o núcleo é feito de um material ferromagnético, sendo o 
responsável por transferir a tensão no enrolamento primário para o enrolamento 
secundário, como tensão induzaida, assim como transferir as correntes de carga 
no secundário para o primário. 
A Figura 3.19 mostra um transformador trifásico, indicando o núcleo com as 
bobinas. 
 
Figura 3.19 – Núcleo de um transformador 
Os transformadores são classificados de acordo com vários critérios. As 
classificações de acordo com finalidade, número de enroalmentos, material do 
núcleo, o número de fases e função são algumas das mais importantes. 
Quanto à finalidade: 
• Transformadores de força 
• Transformadores de distribuição 
• Transformadores de corrente 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cobre
http://pt.wikipedia.org/wiki/Eletr%C3%B3lise
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ferro
http://pt.wikipedia.org/wiki/Magnetismo
45 
 
• Transformadores de potencial 
Quanto aos enrolamentos: 
• Dois ou mais enrolamentos 
• Autotransformador 
Quanto ao material do núcleo: 
• Ferromagnético 
• Núcleo de ar 
Quanto ao número de fases: 
• Monofásico 
• Polifásico: Bifásicos, trifásicos, hexafásicos 
Quanto à função: 
• Elevador 
• Abaixador 
Exemplos de Transformadores 
A Figura 3.20 mostra exemplos tansformadores, sendo um monofásico de 
distribuição, outro trifásico para transmissão e ainda de distribuição em poste. 
 
Figura 3.20 - Exemplos de transformadores 
* * * * * 
 
 
46 
 
 
4 – ESTUDO DOS TRANSFORMADORES 
O estudo dos tranformadores envolve a análise do seu comportamento em 
vazio e em carga, as condições de regulação, perdas e rendimento e os estudos 
sobre os transformadores trifásicos, autotransformadores e transformadores 
especiais, conforme segue. 
4.1 - ESTUDO EM VAZIO E EM CARGA 
A Figura 4.1 mostra esquemas básicos de transformadores monofásicos 
utilizados nos estudos do seu comportamento considerando as condições em 
vazio, em curto circuito e operação em carga. 
 
Figura 4.1 - Esquemas de transformadores para estudos em vazio e em carga 
A análise dos transformadores pode ser complementada com experiências 
práticas em laboratório que comprovam os resultados teóricos obtidos. São 
realizados, portanto, ensaios de curto circuito, ensaios em circuito aberto e 
análise em diversas condições de carga, particularmente em carga nominal. 
Ensaio de Curto Circuito 
O ensaio de curto circuito consiste em ligar o secundário do transformador 
em curto circuito e aplicar no primário uma tensão Vcc, chamada de tensão de 
curto circuito, para se obter no secundário uma corrente de curto circuito Icc igual 
à sua corrente nominal In. 
A Figura 4.2 mostra um esquema de transformador para ensaios de curto 
circuito, sendo à esquerda a representação completa e à direita a representação 
em L com a excitação no secundário. 
47 
 
 
Figura 4.2 - Esquema de transformador para ensaios de curto circuito 
Na condição de curto circuito a impedância de curto circuito Zcc pode ser 
obtida a partir as resistências R1 e R2, das reatâncias de dispersão Xl1 e Xl2 e da 
impedância de excitação Zφ, através da expressão aproximada: 
𝑍𝑐𝑐 ≈ 𝑅1 + 𝑗𝑋𝑙1 +
𝑍𝜑(𝑅2 + 𝑗𝑋𝑙2)
𝑍𝜑 + 𝑅2 + 𝑗𝑋𝑙2)
 
A impedância de curto circuito Zcc resulta numa impedância equivalente 
Zeq, e considerando que a impedância de excitação Zφ é muito maior que a de 
dispersão, tem-se: 
𝑍𝑐𝑐 ≈ 𝑅1 + 𝑗𝑋𝑙1 + 𝑅2 + 𝑗𝑋𝑙2 = 𝑅𝑒𝑞 + 𝑗𝑋𝑒𝑞 = 𝑍𝑒𝑞 
Tem-se ainda que: 
𝑍𝑐𝑐 = 𝑍𝑒𝑞 =
𝑉𝑐𝑐
𝐼𝑐𝑐
 𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑒𝑞 =
𝑃𝑐𝑐
𝐼𝑐𝑐
2 
𝑋𝑐𝑐 = 𝑋𝑒𝑞 = √𝑍𝑐𝑐
2 − 𝑅𝑐𝑐
2
 
Desprezando as resistências, tem-se que a impedância de curto circuito é 
igual à reatância de curto circuito sendo, portanto, igual à soma das reatâncias de 
dispersão do primário e secundário, que resulta na reatância X do transformador. 
Em termos de pu, tendo como base a tensão nominal do primário Vn e 
corrente nominal do secundário In, tem-se com Icc=1 pu o seguinte valor para a 
reatância X: 
𝑋 = 𝑉𝑐𝑐 𝑝𝑢 
Isto é: a reatância X do transformador em pu é igual à tensão de curto 
circuito em pu. Da mesma forma: a reatância X do transformador em % é igual à 
tensão de curto circuito Vcc em %. 
48 
 
Por exemplo, se um transformador apresenta uma corrente nominal do 
secundário de In = 100 A, uma tensão nominal do primário de Vn=1000 V e uma 
tensão de curto circuito Vcc=100 V, tem-se que a reatância desse transformador é 
X=0,1 pu, isto é, X=10 %. Inversamente, se X=10 %, tem-se Vcc=100 V. 
Ensaio de Circuito Aberto 
O ensaio de circuito aberto consiste em deixar o secundário do 
transformador em aberto e aplicar no primário a tensão nominal Vn, sendo uma 
tensão de circuito aberto, para se determinar no primário a corrente, que é a 
corrente de excitação Iφ. A Figura 4.3 mostra esquema de transformador para 
ensaios de circuito aberto. 
 
Figura 4.3 - Eesquema de transformador para ensaios de circuito aberto 
Na condição de circuito aberto, ou em vazio, a impedância de circuito 
aberto Zca pode ser obtida a partir as resistências R1 e R2, das reatâncias de 
dispersão Xl1 e Xl2 e da impedância de excitação Zφ, através da seguinte 
expressão aproximada: 
 𝒁𝒄𝒂 = 𝑅1 + 𝑗𝑋𝑙1 + 𝒁𝝋 = 𝑅1 + 𝑗𝑋𝑙1 +
𝑅𝑐(𝑗𝑋𝑚)
𝑅𝑐 + 𝑗𝑋𝑚)
 
Desprezando as resistências de dispersão, e considerando que a 
impedância de excitação Zφ é muito maior que a de dispersão, resulta que: a 
impedância de circuito aberto é aproximadamente igual à impedância de 
excitação, isto é: 
𝒁𝒄𝒂 ≈ 𝒁𝝋 =
𝑅𝑐(𝑗𝑋𝑚)
𝑅𝑐 + 𝑗𝑋𝑚)
 
Tem-se ainda que: 
𝑍𝑐𝑎 =
𝑉𝑐𝑎
𝐼𝑐𝑎
 𝑅𝑐 =
𝑉𝑐𝑎
2
𝑃𝑐𝑎
 𝑋𝑚 =
1
√(
1
𝑍𝜑
)2−(
1
𝑅𝑐
)2
 
49 
 
 Considerando ainda que a resistência do ramo de magnetização Rc é 
muito maior que a reatância de magnetização Xm, tem-se que a reatância de 
magnetização do transformador é igual à impedância de excitação. 
Em termos de pu, tendo como base a tensão nominal Vn=1 pu e corrente 
nominal In=1 pu do primário, resulta na seguinte relação entre a corrente de 
magnetização Im e a reatância de magnetização do transformador Xm: 
 𝑋𝑚 =
1
𝐼𝑚
 𝑝𝑢 
Isto é, a reatância de magnetização Xm do transformador em pu é igual ao 
inverso da corrente de magnetização em pu. Da mesma forma, esses valores 
podem ser expresssos em %. 
Por exemplo, se um transformador apresenta uma correntede 
magnetização Im = 2 %, portanto, Im = 0,02 pu, resulta uma reatância de 
magnetização Xm = 50 pu, ou seja, Xm = 5000 %. Inversamente, se Xm = 5000 %, 
tem-se Im = 2 %. 
4.2 - REGULAÇÃO, PERDAS E RENDIMENTO 
A regulação de tensão nos tranformadores pode ser vista como a variação 
de tensão na carga, no secundário, tomando como referência a condição inicial 
em vazio. Preferencialmente essa análise pode ser feita com valores de im 
pedâncias, tensões e correntes em pu. 
A Figura 4.4 mostra um esquema de transformador, com diagrama fasorial 
e equações para estudos de regulação. 
 
Figura 4.4 – Regulação em transformadores 
Tem-se a seguinte expressão com as tensões: 
𝑽𝟏 = 𝑽𝟐 + (𝑹 + 𝒋𝑿)𝑰 
50 
 
Aproximadamente, tem-se: 
𝑽𝟏 = 𝑽𝟐 + 𝑹𝑰𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑿𝑰𝒔𝒆𝒏𝜽 
A queda de tensão ∆V = V1 – V2 determina a regulação ρ, expressas por: 
𝜌 =
𝑉1−𝑉2
𝑽𝟐
=
∆𝑉
𝑽𝟐
 𝜌 =
∆𝑉
𝑉2
𝑥100 % 
.As perdas nos transformadores devido às correntes de Foucault, à 
histerese e às correntes de carga, assim como o rendimento, são determinadas 
conforme segue. 
As perdas devido às correntes de Foucault Pf dependem da densidade do 
campo máxima BM,, da frequência da tensão f, da espessura das chapas δ e de 
uma constante de proporcionalidade Kf , que depende do material, de acordo com 
a expressão: 
𝑃𝑓 = 𝐾𝑓(𝐵𝑀𝑓𝛿)
2 
As perdas devido à histerese Ph dependem da densidade do campo 
máxima BM,, da frequência da tensão f, de uma constante de proporcionalidade Kh, 
que depende do material e de um expoente n, com valor entre 1,5 e 2,5, de 
acordo com a expressão: 
𝑃ℎ = 𝐾ℎ𝑓𝐵𝑀
𝑛
 
As perdas devido à corrente de carga Pc dependem da resistência do 
condutor R e da corrente I, de acordo com a expressão: 
𝑃𝑐 = 𝑅𝐼
2 
O rendimento do transformador r é dado pela relação entre a potência de 
saida Ps e a potência de entrada Pe, de acordo com a expressão: 
𝑟 =
𝑃𝑠
𝑃𝑒
= 1 −
𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠
𝑃𝑒
 
Geralmente as perdas dos transformadores são muito baixas e seu 
rendimento muito elevado, na faixa de 95 a 100 %, dependendo do transformador. 
4.3 - TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS 
Em sistemas de potência os transformadores são, em geral, trifásicos. 
51 
 
Os transformadores de potência são destinados a abaixar ou elevar a 
tensão e consequentemente elevar ou reduzir a corrente de um circuito, de modo 
que não se altere a potência do circuito. Esses transformadores podem ser 
divididos em dois grupos: 
Transformador de força - São utilizados na geração, transmissão e 
distribuição de energia, em subestações das concessionárias e grandes 
consumidores industriais. Em geral possuem potência da ordem de alguns MVA 
até algumas centenas de MVA e operam em tensões entre 13,8 kV e 750 kV. 
A Figura 4.5 mostra um transformador de força da ordem de 20 MVA 
instalado em uma subestação de 69 – 13,8 kV. 
 
Figura 4.5 - Transformdor de potência em subestação 
Transformador de distribuição - São utilizados para abaixar a tensão para 
ser entregue aos clientes finais das empresas de distribuição de energia. São 
normalmente instalados em postes ou em câmaras abrigadas ou subterrâneas. 
Geralmente apresentam potência da ordem de 30 a 300 kVA, sendo a 
tensão primária em 13,8 ou 34,5 kV e tensão secundária, ou baixa tensão, em 
380/220 ou 220/127 V. 
A Figura 4.6 mostra um transformador do tipo utilizado normalmente nas 
redes de distribuição de energia, com potência da ordem de 112,5 kVA, instalado 
em um poste da rede elétrica de 13,8 kV, baixando para as tensões de utilização 
de 220/127 V. 
52 
 
 
Figura 4.6 - Transformador de distribuição 
Transformadores em Sistemas Trifásicos 
 Nos circuitos trifásicos é possível se ter duas formas de estabelecer as 
coneções dos transformadores trifásicos instalados na rede: através de uma única 
unidade trifásica ou através de três unidades monofásicas. 
 O transformador trifásico formado de uma única unidade contem três 
enrolamentos no primário e três enrolamentos no secundário, ligados através de 
determinadas configurações, em estrela ou triângulo, com quatro possíveis 
combinações básicas. 
A Figura 4.7 mostra um esquema básico de um transformador trifásico, em 
que é feita no primário uma conexão estrela, ou delta, e no secundário conexão 
estrela, ou Y. 
 
Figura 4.7 – Conexão triângulo - estrela 
 O banco de transformadores monofásicos é composto por três 
transformadores monofásicos idênticos, convenientemente ligados para permitir a 
transformação trifásica. As três unidades são ligadas numa das quatro 
combinações. 
53 
 
 As ligações, ou conexões, tanto dos enrolamentos do primário como dos 
enrolamentos do secundário de um transformador trifásico, ou de um banco 
trifásico formado de transformadores monofásicos, podem ser, portanto, em 
estrela ou em triângulo. Assim, pode-se ter na prática quatro tipos de ligações, 
dependendo da sua aplicação: 
• Triângulo / Estrela (D/y) 
• Estrela / Triângulo (Y/d) 
• Triângulo / Triângulo (D/d) 
• Estrela / Estrela (Y/y) 
A Figura 4.8 mostra um esquema básico de um transformador trifásico, em 
que é feita no primário uma conexão triângulo, ou delta, e no secundário uma 
conexão estrela, ou Y, com indicação das tensões e correntes. 
 
Figura 4.8 - Conexão triângulo – estrela 
A Figura 4.9 mostra uma conexão estrela – triângulo, com indicação das 
tensões e correntes. 
 
Figura 4.9 - Conexão estrela - triângulo 
A Figura 4.10 mostra uma conexão triângulo – triângulo, com indicação das 
tensões e correntes. 
54 
 
 
Figura 4.10 - Conexão triângulo – triângulo 
A Figura 4.11 mostra uma conexão estrela – estrela, com indicação das 
tensões e correntes.. 
 
Figura 4.11 - Conexão estrela – estrela 
Resumindo, as conexões dos transformadores trifásicos mostradas nas 
Figuras 4.8 a 4.11 podem ser apresentadas conforme mostra a Figura 4.12. 
 
Figura 4.12 - Conexões dos transformadores 
55 
 
3.4 - AUTOTRANSFORMADORES DE POTÊNCIA 
Nos autotransformadores de potência os enrolamentos primário e 
secundário estão em contato entre si. Eles são constituídos de um só 
enrolamento, podendo ter uma ou mais entradas no primário ou saídas no 
secundário, onde as conexões elétricas são realizadas. 
Um autotransformador normalmente é de menor porte, mais leve e mais 
barato do que um transformador equivqlente com dois enrolamentos separados. 
Observa-se. no entanto, que os autotransformadores não fornecem isolamento 
elétrico entre o pimário e o secundário. 
 Autotransformadores são muitas vezes utilizados como elevadores ou 
abaixadores entre as tensões na faixa 110-117-120 volts e tensões na faixa 220-
230-240 volts, como por exemplo, a saída de 110 ou 120V de uma entrada de 
230V, permitindo que equipamentos a partir de 100 ou 120V possam ser usados 
em uma região de 230V. 
Um autotransformador variável é feito expondo-se partes das bobinas do 
enrolamento e fazendo a conexão secundária através do deslizamento de um 
conector, resultando em variação na relação das espiras. Esse dispositivo é 
normalmente denominado de Variac. 
Há também autotransformadores de potência, utilizados em 
subtransmissão, particularmente em tensões na faixa de 34,5 a 138 kV. 
Os autotransformadores apresentam apenas um enrolamento, sendo as 
tensões aplicadas ou obtidas em determinadas posições desse enrolamento, 
obtendo-se daí as correntes do primário e do secundário. Um esquema básico de 
um autotransformador é mostrado na Figura 4.13. 
 
Figura 4.13 - Esquema básico de um autotransformador 
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Autotransformador&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Isolamento_el%C3%A9trico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Isolamento_el%C3%A9trico
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Variac&action=edit&redlink=1
56 
 
As Figuras 4.14 e 4.15 mostram exemplos de representações de 
autotransformadores abaixadores e elevadores, com indicação dastensões, das 
correntes e dos números de espiras correspondentes ao primário e ao 
secundário. 
 
Figura 4.14 - Representações de autotransformadores abaixadores 
 
Figura 4.15 - Representações de autotransformadores elevadores 
A Figura 4.16 mostra um exemplo de um autotransformador de 50 kVA, 
2400 - 240 V, com indicações dos valores das tensões e das distribuição das 
correntes. 
 
Figura 4.16 - Exemplo com autotransformador 
3.5 - TRANSFORMADORES ESPECIAIS 
Como tranformadores especiais são vistos a seguir os reatores, os 
reguladores de tensão, os transformadores de três enrolamentos, os 
57 
 
transformadores de aterramento e os transformadores para instrumentos, como 
transformadores de potencial e de corrente. 
Reatores 
Um reator é um equipamente semelhante ao transformador, porem com um 
só enrolamento. É constituído de determinado número de espinas de um 
condutor, arranjadas de modo a produzir fluxo magnético quando conduzindo 
corrente elétrica. Sua resistência é muito pequena, sendo normalmente 
desprezada. 
O reator é feito para funcionar como uma indutância de valor elevado, 
comparada com a do transformador normal correspondente. Nos sistemas de 
potência sua indutãncia é muito elevada muito, apresentando um comportamento 
como uma carga reativa, expressa em VA, kVAr ou MVAr, dependendo do porte 
ou tipo de aplicação. 
A Figura 4.17 mostra um esquema básico de um reator, com sua estrutura 
e indicação dos fluxos produzidos pela corrente. O núcleo é normalmente de 
ferro, mas há também os reatores de núcleo de ar ou de outros materiais não 
magnéticos. 
 
Figura 4.17- Esquema de um reator 
Há várias formas de configurações para os reatores. A Figura 4.18 mostra 
algumas imagens de reatores de baixa tensão, usados em eletrônica e 
instalações elétricas. 
 
Figura 4.18 - Imagens de reatores de baixa tensão 
58 
 
A Figura 4.19 mostra um reator de sistemas de potência, semelhante aos 
utilizados na classe de tensão de 230 kV, com potência reativa da ordem de 20 
MVAr ou mais. 
 
 Figura 4.19 – Imagem de reator de alta tensão 
Os sistemas de geração de energia elétrica, distantes dos centros 
consumidores, requerem a construção de linhas de transmissão de alta tensão 
longas. Elas introduzem alta capacitância nos sistemas, resultando em potência 
capacitiva. Pode haver também variações de tensão no sistema, seja por 
chaveamentos ou em momentos de baixa demanda. 
A compensação desses reativos e reduções de sobretensões podem ser 
obtidas através da instalação de reatores em derivação (shunt). Os reatores 
podem ter também certas aplicações, inseridos nos circuitos em série, para limitar 
a corrente de curto circuito. Outras aplicações dos reatores são, por exemplo, em 
filtros para harmônicos e utilização em compensadores estáticos. 
Reguladores de Tensão 
Os reguladores de tensão são equipamentos destinados a manter 
determinado nível de tensão em um sistema elétrico quando submetido a 
variações de tensão fora de limites especificados. Eles estabelecem um controle 
ou regulação da tensão do sistema, e podem atuar de forma manual ou, como é 
mais frequente, automaticamente. 
São tipos de autotransformadores dotados de certo número de derivações 
no enrolamento série, que podem mudar de posições dependendo do nível de 
tensão, de forma automática ou não. A Figura 4.20 mostra um banco de 
reguladores de tensão instalados numa estrutura de postes. 
http://www.energy.siemens.com/br/pool/hq/power-transmission/Transformers/Reactors/drosselspule400.jpg
59 
 
. 
Figura 4.20 - Banco de reguladores de tensão 
Transformador de Três Enrolamentos 
A Figura 4.21 mostra esquemas de transformadores multi-enrolamentos. 
 
Figura 4.21 – Esquema de transformadores multi-enrolamentos 
É muito usual o emprego de transformadores com três enrolamentos 
contendo, portanto, três níveis de tensão. A Figura 4.22 mostra uma 
representação de um tranformador de 3 enrolamentos, com os diagramas de 
reatâncias equivalentes, sob a forma delta ou triângulo e estrela ou Y. 
 
Figura 4.22 - Representação de um tranformador de 3 enrolamentos 
60 
 
Os transformadores de 3 enrolamentos apresentam valores para as 
reatâncias entre os níveis de tensões do primáro e secundário, do primáro e 
terciário e secudário e terciário e as reatâncias correspondentes ao primáriom 
secundário e terciário, conforme as seguintes relações: 
𝑋𝑃𝑆 = 𝑋𝑃 + 𝑋𝑆 
𝑋𝑃𝑇 = 𝑋𝑃 + 𝑋𝑇 
𝑋𝑆𝑇 = 𝑋𝑆 + 𝑋𝑇 
A partir dessas expressões obtem-se os seguintes resultados, sendo todas 
as reatâncias expressas na mesma base: 
𝑋𝑃 =
1
2
(𝑋𝑃𝑆 + 𝑋𝑃𝑇 − 𝑋𝑆𝑇) 
𝑋𝑆 =
1
2
(𝑋𝑃𝑆 + 𝑋𝑆𝑇 − 𝑋𝑃𝑇) 
𝑋𝑇 =
1
2
(𝑋𝑃𝑇 + 𝑋𝑆𝑇 − 𝑋𝑃𝑆) 
Por exemplo, dados XPS=12 %, XPT=10 % e XST=8 %, numa mesma base, 
obtem-se XP=7 %, XS=5 % e XT=3 %. 
Transformador de Aterramento 
O transformador de aterramento é um tipo especial de transformador que 
torna acessível um neutro para possibilitar o aterramento do sistema elétrico de 
potência, possibilitando a atuação de alguns tipos de proteção. É constituído de 2 
enrolamentos por perna, conectando-se o final do enrolamento de uma perna com 
o início do enrolamento de outra perna. 
Tem aplicações em problemas que envolvem sobretensões do tipo tensão 
fase-terra, sobretensões transitórias e, isolamento exigido, na proteção contra 
sobretensões devido a curtos circuitos e na proteção contra as correntes de curto 
circuito. 
A Figura 4.23 mostra um esquema de um transformador de aterramento, 
em conexão zig-zag. 
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Figura 4.23 – Esquema de um transformador de aterramento conexão zig-zag 
Transformadores para Instrumentos 
Constituem os instrumentos destinados a medir grandezas como corrente, 
tensão, frequência, potência ativa e potência reativa etc. Podem ser destacados 
os transformadores de corrente (TC) e os transformadores de tensão ou de 
potencial (TP), utilizados para os instrumentos de medição e de proteção. 
Transformador de Corrente 
O transformador de corrente (TC) é um transformador para instrumento 
cujo enrolamento primário é ligado em série a um circuito elétrico e cujo 
enrolamento secundário se destina a alimentar bobinas de correntes de 
instrumentos elétricos de medição e proteção ou controle. 
O enrolamento primário dos TC’s é, normalmente, constituído de poucas 
espiras (2 ou 3 espiras, por exemplo) feitas de condutores de cobre de grande 
seção. 
A Figura 4.24 mostra esquemas básicos de transformadores de corrente. 
 
Figura 4.24 – Esquemas básicos de um TC 
Por exemplo: Um TC a ser utilizado para medição de uma corrente de 100 
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A pode ter 1 espiras no primário (N1=1) e 20 espiras no secundário (N2=20), 
apresentando uma relação de espiras 1/20, isto é, n=0,05. A corrente de 100 A no 
primário é vista no secundário (proporcionalidade inversa) como 100/20, ou seja, 
5 A, valor compatível para utilização em medições e proteções. 
A Figura 4.25 mostra tipos de transformadores de corrente. 
 
Figura 4.25 - Tipos de transformadores de corrente. 
Transformador de Potencial 
O transformador de potencial (TP) é um transformador para instrumento 
cujo enrolamento primário é ligado em derivação a um circuito elétrico e cujo 
enrolamento secundário se destina a alimentar bobinas de potencial de 
instrumentos elétricos de medição e proteção ou controle. 
Em geral, o primário é constituído de um número elevado de espiras e o 
secundário um número baixo. A Figura 3.26 mostra desenhos esquemáticos de 
transformadores de potencial. 
 
Figura 4.26 - Desenho esquemático de um TP 
Por exemplo, um TP a ser utilizado para medição de tensão de 13,8 kV 
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pode ter 200 espiras no primário (N1=200) e 2 espiras no secundário, 
apresentando uma relação de espiras 200/2, isto é, n=100. A tensão de 13,8 kV 
no primário é vista no secundário (proporcionalidade direta) como 13800/100, ou 
seja, 138 V, valor compatível para