02 Matemática

Matemática

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Humanas / Sociais

Isaías Farias Pinho

16/06/2020

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COACHING PARA CONCURSOS – ESTRATÉGIAS PARA SER APROVADO

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OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

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Operação com Números Naturais
Nas operações com números inteiros, fazemos cálculos que envolvem adição, subtração, divisão e
multiplicação.
Antes de tratarmos das operações com números inteiros, devemos recordar quais elementos fazem
parte desse conjunto. Pertencem ao conjunto dos números inteiros todos os números positivos,
negativos e o zero. Sendo assim:
Z = {… - 3, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4...}
As operações com números inteiros estão relacionadas com a soma, subtração, divisão e
multiplicação. Ao realizar alguma das quatro operações com esses números, devemos também
operar o sinal que os acompanha.
Números naturais
Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos, animais, estrelas,pessoas,etc)
empregamos os números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,..........
Esses números são chamados de números naturais.
Existem infinitos números naturais os números que aparecem juntos, como na sequencia acima são
chamados números consecutivos. Por exemplo 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem
depois ) de 12 e 12 é o antecessor (vem antes) de 13

Observações:

1) todo número natural tem um sucessor (é o que vem depois)

2) todo número natural tem um antecessor (é o que vem antes), com exeção do zero

3) Um número natural e o seu sucessor são chamados números consecutivos.

par ou impar

Um número natural é par quando termina em 0,2,4,6 ou 8
Os números pares são: 0,2,4,6,8,10,12,14,16......
Um número é ímpar quando termina em 1,3,5,7, ou 9.
Os números ímpares são: 1,3,5,7,9,11,13,15.......
Propriedades da adição de números naturais

Vamos observar a seguinte situações:

1º) consideremos os números naturais 40 e 24 e vamos determinar a sua soma ?
(R: 40 + 24 = 64)
trocando a ordem dos números, vamos determinar a sua soma
24 + 40 = 64
De acordo com as situações apresentadas, podemos escrever
40 + 24 = 24 + 40
Esse fato sempre vai ocorrer quando consideremos dois números naturais
Daí concluímos

Numa adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
Essa propriedade é chamada PROPRIEDADE COMUTATIVA DA ADIÇÃO

2º) Consideremos os números naturais 16,20 e 35 e vamos determinar a sua soma:

16 + 20 + 35
=36 + 35
=71

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16 + 20 + 35
= 16 + 55=
=71
De acordo com as situações apresentadas, temos

(16 + 20) + 35 = 16 + (20 + 35)

Esse fato se repete quando consideramos três números naturais quaísquer

Então:

Numa adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas de modo
diferentes.
Essa propriedade é chamada PROPRIEDADE ASSOCIATIVA DA ADIÇÃO

3º) Consideremos os números naturais 15 e 0 e vamos determinar a sua soma, independentemente
da ordem dos números:

15 + 0 = 15

0 + 15 = 15

Você nota que o número o não influi no resultado da adição. Então

Numa adição de um número natural com zero a soma é sempre igual a esse número natural.
Nessas condições, o numero zero é chamado elemento neutro da adição.
Subtração
Na matemática, a operação da subtração é empregada quando devemos tirar uma quantidade de
outrea quantidade.
veja o exemplo

O estádio do Pacaembu, na cidade de São Paulo, tem capacidade para 40.000 pessoas. È também
na cidade de São Paulo que se encontra o estádio do Morumbi que tem capacidade para 138.000
pessoas.
Para se ter uma idéia do tamanho do Morumbi, se colocarmos nele 40.000 ainda sobrarão muitos
lugares. Quanto sobrarão? Dos 138.000 lugares devemos tirar os 40.000 assim

138.000 - 40.000 = 98.000

sobrarão 98.000 lugares.

Subtrair significa tirar,diminuir.

Na subtração anterior, o número 138.000 é chamado minuendo e 40.000 é o subtraendo, o resultado,
98.000, é chamado diferença ou resto.
Multiplicação
A multiplicação é uma adição de parcelas iguais.

veja

3+3+3+3 = 12

Podemos representar a mesma igualdade por

4 x 3 = 12 ou 4 . 3 = 12

Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal . ou x
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Na multiplicação 4 x 3 = 12

dizemos que;

4 e 3 são os fatores
12 é o produto

1º exemplo
Um edifício de apartamentos tem 6 andares. Em cada andar a 4 apartamentos. Quantos
apartamentos tem o edificio todo?
Resolução
Para resolver esse problema, podemos fazer

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Essa mesma igualdade pode ser representada por:

6 x 4 = 24

Logo podemos dizer que o edificio tem 24 apartamentos

2° Exemplo

A fase final do torneio de voleibol da liga nacional é disputado por 4 equipes. Cada equipe pode
inscrever 12 jogadores. Quantos jogadores serão inscritos para disputar a fase final desse torneio?
resolução
Para resolver esse problema podemos fazer 12 + 12 + 12 + 12 = 48

Essa mesma igualdade pode ser representada por:

4 x 12 = 48
Divisão
Consideremos dois números naturais, dados numa certa ordem, 10 é o primeiro deles e 2 é o
segundo.
Por meio deles determina-se um terceiro número natural que, multiplicado pelo segundo dá como
resultado o primeiro. Essa operação chama-se divisão e é indicada pelo sinal: Assim.
10:2 = 5 porque 5x2 = 10

Na divisão 10:2=5

dizemos que
10 é o dividendo
2 é o divisor
5 é o resultado ou quociente

Exemplo

Um cólegio levou 72 alunos numa excursão ao jardim zoológico e para isso repartiu igualmente os
alunos em 4 ônibus. Quantos alunos o colégio colocou em cada ônibus?
Para resolver esse problema, devemos fazer uma divisão 72 : 4 = 18 , sendo assim cada ônibus tinha
18 alunos.
Grandezas e medidas
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As grandezas e as medidas estão presentes em nossa sociedade desde a antiguidade. Graças ao
Sistema Internacional de Unidades (SI) sua padronização foi possível.
A matemática pode ser considerada uma grande invenção que foi sendo estruturada ao longo dos
séculos. Suas formulações e conjecturas surgiram para suprir as demandas sociais e científicas da
nossa sociedade, um exemplo disso são as grandezas e as medidas.
Em algum momento, ao logo da história, o homem sentiu a necessidade de determinar padrões
referentes a grandezas e medidas e foi da comparação entre as grandezas de mesma origem que
surgiu as ideias relacionadas à medida. Começamos a medir utilizando as partes do corpo, como
palmos, pés, dedos. Em determinadas civilizações, as medidas referentes ao corpo do rei eram
adotadas como padrão para as medições.
Por muito tempo a relação entre as civilizações foi muito difícil, pois cada nação adotava um padrão
para medir. Foi com o passar do tempo que obtivemos a padronizarão das medidas, que ocorreu por
meio do Sistema Internacional de Unidades (SI), sendo regulamentada na década de sessenta.
O sistema metro - quilograma – segundo foi utilizado como base e o SI reconhecido por diversas
nações. Todas as modificações nesse sistema são feitas por meio de acordos e é utilizado por
praticamente todo o mundo, exceto pelos países: Estados Unidos, Libéria e Myanmar.
No SI temos as medidas básicas e as derivadas, que recebem esse nome por utilizar como origem as
básicas. Devemos entender como grandeza aquilo que pode ser quantificado, como comprimento,
temperatura, massa, tempo, volume, força etc. Já medidas é o que mensura as grandezas, cada
medida possui o seu próprio símbolo.
Podemos então enumerar o que a área do conhecimento matemático estuda referente a grandezas e
medidas:
• Medida do comprimento
• Transformação das unidades da medida de comprimento
• Perímetro de polígonos
• Unidades de medidas das superfícies
• Área das figuras planas
• Medida do espaço
• Volume
• Unidade de medida do volume
• Transformações das unidades de medida de volume
• Unidade de medida para capacidade
• Unidade de medida de massa
• Transformações das unidades de medida para massa
• Ângulos
• Medidas de ângulos
• Operações com medidas de ângulos
• Estudo do Tempo
Conjuntos
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Conjuntos, na matemática é uma coleção de elementos.
• O conjunto de todos os alunos de uma sala (A);
• O conjunto musical (M);
• O conjunto dos números inteiros (Ζ);
• O conjunto dos números naturais (Ν).
Por definição, qualquer conjunto é representado por uma letra do alfabeto em maiúsculo: A, B, C, ...,
Z.
Elemento de um conjunto é qualquer coisa que pertença a um determinado conjunto.
• 5 é um elemento do conjunto dos números inteiros (Ζ);
• 11 é um elemento do conjunto dos números primos (P);
• João é um elemento do conjunto dos alunos da sala (A);
• 0,6 é um elemento do conjunto dos números reais (R).
Por definição, um elemento é representado por uma letra minúscula d alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência é característica associada a um elemento ao qual faz parte de um conjunto. Símbolo:
• 1 pertence ao conjunto dos números naturais (N): 1 ∈ N;
• João pertence ao conjunto dos alunos da sala: João ∈ A;
• 0,5 pertence ao conjunto dos números reais: 0,5 ∈ R;
• 13 pertence ao conjunto dos números primos: 13 ∈ P.
Representação de conjuntos na matemática
A representação, na matemática, é bastante simples e é representado entre chaves ou, também,
pode ser representado pela forma geométrica.
1. A = {João, Paulo, Ana, Carla, …}
2. N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
3. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
V = {a, e, i, o, u}
Um conjunto A também pode ser definido quando temos uma regra na qual podems verificar se um
dado elemento pertence ou não a A.
1. {x | x é uma vogal}
2. {x : x é um número inteiro}
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CÁLCULOS FINANCEIRO DE OPERAÇÕES

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Cálculos Financeiro de Operações
O CET, ou Custo Efetivo Total, refere-se ao total de encargos a serem pagos pelo cliente em uma
operação de empréstimo ou financiamento. É expresso em forma de percentual anual e inclui as
taxas de juros, tributos, tarifas, gravames, IOF, registros, seguros e demais despesas do contrato. Foi
instituído pelo Conselho Monetário Nacional, pela Resolução 3.517 de 6 de Dezembro de 2007 e
desde março de 2008 tornou-se obrigatório. Todas as instituições financeiras devem informar qual é o
CET na efetivação de um contrato de empréstimo ou financiamento e também sempre que solicitado
pelo cliente. Além dessas situações, deve estar presente em informes publicitários e peças de
marketing que divulguem as taxas que a instituição utiliza.
Para que serve e qual a sua importância?
O principal objetivo do CET é conferir maior transparência às operações de crédito, informando ao
consumidor todos os custos que incidem na operação antes deste contratá-la. Além de conhecer o
custo real, o CET possibilita a análise e comparação entre diferentes empresas ou operações de
crédito. Assim, o cliente adquire o poder de uma decisão mais detalhada e acertada, que atenda de
fato as suas necessidades.
Comparar as taxas de juros é suficiente?
Mesmo que um banco cobre uma taxa de juros igual à de outro e em um mesmo prazo de
pagamento, o CET pode variar. Isso porque as tarifas, tributos e outros custos diferem-se de acordo
com a política de cada instituição. Deste modo, é importante ficar atento: nem sempre uma taxa de
juros mais baixa representa o melhor negócio. Na dúvida, pergunte qual é o CET e compare.
Você sabe quanto você REALMENTE paga quando faz um empréstimo ou financiamento?
O Custo Efetivo Total (CET) é a taxa que corresponde a todos os encargos e despesas incidentes
sobre operações de crédito. As instituições financeiras são obrigadas a informar o CET antes da
contratação de qualquer operação de crédito. É muito importante que o cliente exija e leia
atentamente os dados constantes no CET, para verificar o que está contratando e se está pagando
alguma taxa além dos juros e IOF.
É muito comum algumas financeiras embutirem em operações de empréstimos algumas taxas além
de seguros sem o consentimento do cliente, fazendo com isso aumentar significativamente o Custo
efetivo total do crédito.
Exemplo 1 (taxas descontadas no ato da contratação):
Valor do crédito: R$ 1000,00
Tx. Juros mensal: 1,5%
Prazo: 6 meses
Parcela: R$ 175,53
IOF: R$ 10,00 (valor citado como exemplo, não representa o valor real de IOF).
Seguro: R$ 15,00
Valor financiado: R$ 975,00 (valor do crédito – tributos/taxas descontadas).
Custo efetivo total: 2,25% ou 30,60% a.a.
Cálculo do CET na HP: 975,00 CHS PV, 6 n, 175,53 PMT, i
Exemplo 2 (taxas financiadas)
Valor do crédito R$ 1000,00
Tx. Juros mensal: 1,5%
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Prazo: 6 meses
Parcela: R$ 179,91
IOF: R$ 10,00 (valor citado como exemplo, não representa o valor real de IOF).
Seguro: R$ 15,00
Valor financiado: R$ 1025,00 (valor liberado + taxas somadas)
Custo efetivo total: 2,23% a.m. ou 30,30% a.a.
Custo efetivo na calculadora HP 12 C: 1000,00 CHS PV, 179,91 PMT, 6 N, i
É essencial comparar o CET entre diversos bancos antes de optar por um deles. Não basta comparar
apenas taxas de juros, pois um banco pode cobrar taxas que outro não cobra e isso influencia no
tanto que você irá pagar ao final do prazo. Caso o acesso ao CET não seja fácil, compare o valor da
parcela no mesmo prazo. É muito comum uma instituição falar que tem taxa menor que outra e ao
calcular o empréstimo o valor da parcela fica maior (ou seja, a taxa final é maior, o CET é maior).
Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto
A Fortaleza do Centro
Elementos básicos em Matemática Financeira
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos
ou financiamentos de bens de consumo. A ideia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo
de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.
Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido
como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present
Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.
Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os
juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com
algumas condições mistas.
Regime Processo de funcionamento
Simples Somente o principal rende juros.
Compostos Após cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando
juros sobre juros.
Notações comuns que serão utilizadas neste material
C Capital
n número de períodos
j juros simples decorridos n períodos
J juros compostos decorridos n períodos
r taxa percentual de juros
i taxa unitária de juros (i = r / 100)
P Principal ou valor atual
M Montante de capitalização simples
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S Montante de capitalização composta
Compatibilidade dos Dados
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais,
trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis,
coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser
feitas conversões de unidades.
Exemplo: Na fórmula
F(i,n) = 1 + i n
a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de
períodos n, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número indicado em meses.
Juros Simples
1. Se n é o numero de periodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros
simples são calculados por:j = P i nExemplo:Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00
durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00
2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i por r/100 e obtemos a fórmula:j =
P r n / 100Exemplo:Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de
14% ao ano são dados por:j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00
3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula:j = P r m /
100Exemplo:Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa
de 2% ao mês são dados por:j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00
4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato
de dias) ou comerciais simples com a fórmula:j = P r d / 100Exemplo:Os juros simples obtidos por um
capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por:j = 1.250,00 x
0,02 x 180 / 100 = 45,00
Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses
do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:
j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50
Montante Simples
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em
língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante
é dado por uma das fórmulas:
M = P + j = P (1 + i n)
Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para
dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M=2P
Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)
Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo
n = 2/3 ano = 8 meses
Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$
1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril
do mesmo ano?
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Contagem do tempo:
Período Número de dias
De 10/01 até 31/01 21 dias
De 01/02 até 28/02 28 dias
De 01/03 até 31/03 31 dias
De 01/04 até 12/04 12 dias
Total 92 dias
Fórmula para o cálculo dos juros exatos:
j = P r (d / 365) / 100
Cálculo:
j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05
Fluxo de Caixa
Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. O internauta interessado em
obter mais detalhes, poderá acessar outro link que construímos sobre Fluxo de caixa. Em nossa
Página, existem muitos outros links sobre Matemática Financeira que construímos para dar suporte a
este curso.
Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em
determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal
(linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com
estas mesmas indicações.
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para
baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão
das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.
Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que
rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente
valores de R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da
reunião destes depósitos.
Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e
conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.
Juros compostos
Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela
aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n
períodos.
Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da
caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma
pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado
acumulado em 01/06/94.
Tempo Data Valor Principal Juros Montante
0 01/01/94 100,00 0 100,00
1 01/02/94 100,00 50,00 150,00
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2 01/03/94 150,00 75,00 225,00
3 01/04/94 225,00 112,50 337,50
4 01/05/94 337,50 168,75 506,20
5 01/06/94 506,25 253,13 759,38
Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que
correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.
Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo):
Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 2
Posted on 28/11/2016 by Eder s. carlos
Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 2
Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)
A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e
i=50%=0,5. Assim:
S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5
Em geral:
Sn = P (1+i)n
onde
Sn Soma ou montante
P Valor Principal aplicado inicialmente
i taxa unitária
n número de períodos da aplicação
Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem
ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.
Montante Composto
A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do
número de períodos n, é dada por:
S = P (1+i)n
Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar
o capital aplicado através de capitalização composta?
Objetivo: S=2P
Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:
S=P(1+i)n
Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo
(2,5)n = 2
Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:
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n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano
Observação: Tábua de logaritmo imediata
Para obter o logaritmo do número N na base natural, basta trocar N pelo número desejado e
escrever:
javascript:Math.log(N)
na caixa branca de seu browser que indica Endereço (Location) desta página. Após obter o resultado,
use o botão voltar (back) para continuar os estudos.
Uma forma alternativa é copiar a linha em azul para o Endereço, pressionando a seguir a tecla
<ENTER> para obter o resultado.
Fator de Acumulação de Capital (Fator de P para S)
Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, definimos o Fator de Acumulação de Capital ou
Fator de P para S, denotado por FAC(i,n) ou FPS(i,n), como:
FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 + i)n
Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n):
S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n)
Utilidade: O FAC(i,n)=(1+i)n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente
não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e a seguir
tecla-se o sinal de igualdade n-1 vezes.
Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo:
S = P (1 + i)n
P = S (1+i)-n
Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital
futuro conhecido S.
P=S(1+i)-n
Fator de Valor Atual
Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou
Fator de Desconto, denotado por FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n):
FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)-n
Utilidade: O FVA(i,n)=(1+i)-n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente
não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e o sinal
=
(igual) n-1 vezes para obter FAC(i,n) e a seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal =
(igual) para obter o FVA(i,n), que é o inverso do FAC(i,n).
Cálculo de juros Compostos
J = P [(1+i)n-1]
Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é
R$1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?
Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.
Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período está indicado
em uma unidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:
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n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano
Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A fórmula empregada é:
J = P [(1+i)n-1]
Solução:
J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21
Teste: Você saberia obter a raiz quarta de um número com uma calculadora que só extrai a raiz
quadrada? E a raiz oitava de um número que só extrai a raiz quadrada?
Taxas
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação
financeira.
Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: “No mercado
financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos
conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O
desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela
consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de
Matemática Financeira existe uma verdadeira ‘poluição’ de taxas de juros.”
Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:
Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital
não coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplos:
1. 1200% ao ano com capitalização mensal.
2. 450% ao semestre com capitalização mensal.
3. 300% ao ano com capitalização trimestral.
Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital
coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplos:
1. 120% ao mês com capitalização mensal.
2. 450% ao semestre com capitalização semestral.
3. 1300% ao ano com capitalização anual.
Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação:
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa
efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:
1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um
rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1
unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:
vreal = 1 + ireal
CÁLCULOS FINANCEIRO DE OPERAÇÕES

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que pode ser calculada por:
vreal = resultado / (1 + iinflação)
isto é:
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02
o que significa que a taxa real no período, foi de:
ireal = 2%
Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança
proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser
corrigido pela taxa da inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado
por 1+0,5%=1,005.
Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia
30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta
no dia 30/05/93, o valor de:
V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77
Taxas Equivalentes
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de
tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.
Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única
aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.
Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que
:
S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00
Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante
composto, teremos:
S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00
Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no
mesmo trimestre.
Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300%
ao ano capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está
sendo aplicada mês a mês, porque:
i = 300/12 = 25
Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao
trimestre, aplicada a cada trimestre, porque:
i = 300/4 = 75
É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.
Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por
diferentes processos de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.
Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1
semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar
CÁLCULOS FINANCEIRO DE OPERAÇÕES

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claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial
ocorre em 1 ano é indicado por Np.
Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas =
360 dias.
A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:
1 + ia = (1+ip)Np
onde
ia taxa anual
ip taxa ao período
Np número de vezes em 1 ano
Situações possíveis com taxas equivalentes
Fórmula Taxa Período Número de vezes
1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2
1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3
1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4
1+ia = (1+imes)12 imes mês 12
1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24
1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52
1+ia = (1+idias)365 idias dia 365
Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês?
Vamos entender a frase: “12% ao ano capitalizada mês a mês”. Ela significa que devemos dividir 12%
por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito “12% ao ano
capitalizada trimestralmente” deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido
por 4 (número de trimestres de 1 ano) que é 3%.
Vamos observar o fluxo de caixa da situação:
Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por
1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247
logo
i2 = 0,1268247 = 12,68247%
Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva.
Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a
ser usada é:
1+ia = (1 + imes)12
Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter:
1,12 = [1 + i(mes)]12
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Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na
base 10 a ambos os lados da igualdade para obter:
log(1,12) = 12 log[1+i(mes)]
log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]
0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]
0,004101501889182 = log[1+i(mes)]
assim
100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)]
Desenvolvendo a potência obtemos:
1,009488792934 = 1 + i(mes)
0,009488792934 = i(mes)
i(mes) = 0,9488792934%
Se você não estiver lembrando ou tem interesse em estudar o assunto, o link Logaritmos nesta
mesma Página, possui coisas interessantes sobre
o assunto.
Observação: Interprete os últimos exemplos com muito cuidado!
Descontos
Notações comuns na área de descontos:
D Desconto realizado sobre o título
A Valor Atual de um título
N Valor Nominal de um título
i Taxa de desconto
n Número de períodos para o desconto
Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo
título.
D = N – A
Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).
Tipos de descontos
Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com
cálculos exponenciais.
Desconto Simples Comercial (por fora):
Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros
simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.
Desconto por fora Juros simples
D = N i n j = P i n
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N = Valor Nominal P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos
O valor atual no desconto por fora, é calculado por:
A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)
Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo
dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.
O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.
Desconto por dentro Juros simples
D = A i n j = P.i.n
N = Valor Atual P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos
O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:
A = N / (1 + i n)
Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo
ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.
Desconto composto por fora Juros compostos
A = N(1-i)n S = P(1+i)n
A = Valor Atual P = Principal
i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos
Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por
aplicações repetidas do desconto simples para 1 período.
Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:
A1 = N(1-i)
onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo
processo, substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é:
A2 = A1(1-i) = N(1-i)2
Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:
An = N(1-i)n
Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:
S = P(1+i)n
Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.
CÁLCULOS FINANCEIRO DE OPERAÇÕES

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Como D = N – A e como N = A(1 + i)n , então
D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]
O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A
como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação,
levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.
Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o
prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.
Solução:
D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30
Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único
pagamento de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a
empresa já tem condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto
calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o
valor líquido a ser pago pela empresa?
Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045
Número de períodos para o desconto: n=12-5=7
Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n
Financiamento pelo Sistema Price
No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é
muito mais útil no nosso cotidiano do que outras “matemáticas”. Aqui se vê a força do estudo de
sequências geométricas (PG), fato que não é possível explicitar facilmente a alunos de níveis
elementares. No entanto, praticamente todos os indivíduos estão envolvidos com compras de bens
de consumo no seu dia-a-dia e este ponto se torna fundamental pois transforma o estudo de
Progressões Geométricas em algo extremamente útil.
O sistema Price (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país
que utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos
os pagamentos são iguais.
A ideia essencial neste contexto é construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor
Presente de uma série uniforme de pagamentos.
Antes de continuar, iremos mostrar uma situação para identificar o que está escondido sob os
cálculos de um financiamento.
Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro para pagar em 4 prestações mensais
consecutivas e iguais de R$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor
Atual (real) deste carro?
Fluxo de Caixa do Problema
O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para
obter o Valor Atual do bem financiado.
A1 = 8000/(1+0,1)1
A2 = 8000/(1+0,1)2
A3 = 8000/(1+0,1)3
A4 = 8000/(1+0,1)4
Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais
A = 8000.(1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4)
CÁLCULOS FINANCEIRO DE OPERAÇÕES

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que pode ser escrito como:
A = 8000 x 3,169865435 = 25.358,92
que é o valor à vista que custa o carro.
Um fato curioso é o aparecimento da expressão:
K = 1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4
que representa a soma dos termos de uma sequência geométrica (PG) com 4 termos.
Na sequência, analisaremos a situação geral quando temos n prestações num modelo semelhante,
considerando agora um financiamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) será pago em n
prestações iguais a R ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i.
Fluxo de Caixa do Problema
O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como :
A = R[(1+i)-1+(1+i)-2+…+(1+i)-n]
Evidenciando o termo (1+i)-n, segue que:
A = R[1+(1+i)1+…+(1+i)n-1] / (1 +i)n
e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro
termo é igual 1 e cuja razão é igual a (1+i).
A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são
realizados os cálculos de taxas de juros em financiamentos.
Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n
e o valor de cada prestação R é bastante fácil obter o Valor Atual A.
Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação R e Número de períodos n, não é
fácil obter a taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e
financeiras em geral, embutemmuitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da
taxa!
Esta fórmula matemática pode ser escrita como:
A = R FVAs(i,n)
onde FVAs é o Fator de Valor Atual para uma série uniforme, definido por:
Esta é a fórmula utilizada nas tabelas financeiras que encontramos no comércio em geral. Através
desta fórmula podemos obter a taxa de um financiamento em prestações com pagamentos iguais.
Para o próximo exemplo, vamos admitir que o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa
ao período, o que eu não acredito em geral.
Para se calcular o valor da prestação R de um bem cujo preço à vista é A e será pago em n
prestações iguais sem entrada, à taxa i ao período, sendo que a primeira prestação será paga no final
do primeiro período, divide-se o valor atual A pelo FVAs(i,n), isto
é:
R = A / FVAs(i,n)
Exemplo: Determinar a prestação R da compra de uma geladeira que custa à vista A=$1.000,00 e
que será paga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de 5% ao mês.
Se você souber o Valor à vista A, a prestação R e o número de meses n, você poderá obter a taxa i
ao mês, desde que possua uma tabela financeira ou então se tiver acesso ao link Taxa de juros em
um financiamento.
SISTEMAS COM NUMEROS

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Sistemas com Numeros
Conjuntos Dos Números Naturais, Sistemas De Numeração E Bases
Você sabe quais são os Números Naturais? E o que realmente precisa saber sobre eles para não
perder tempo nos estudos?
A FAB (Força Aérea Brasileira) traz no primeiro tópico do conteúdo de matemática do concurso os
Conjuntos dos Números Naturais, Sistemas de Numeração e Bases. O que precisa fixar para sair
bem nas questões? Responda nosso desafio.
Números Naturais (N)
São construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como
algarismos indo-arábicos.
Seus Subconjuntos:
1 – Números Naturais não nulos
N* ={1,2,3,4,…,n,…}; N* = N-{0}
2 – Números Naturais pares
Np = {0,2,4,6,…,2n,…}; com n ∈ N
3 – Números Naturais ímpares
Ni = {1,3,5,7,…,2n+1,…} com n ∈ N
4 – Números primos
P={2,3,5,7,11,13…}

Operações:
– Adição e multiplicação existem em qualquer ordem dos fatores:
Adição: 5 + 4 = 9 e 4 + 5 = 9
Multiplicação: 5.4 = 20 e 4.5 = 20
– Subtração e divisão, só é possível nos naturais quando o 1º termo é maior que o 2º termo:
Subtração: 5 – 4 = 1 e 4 – 5 = não é possível nos naturais.
Divisão: 20:4 = 5 e 4:20 = não é possível nos naturais.
Temos na divisão a relação: D = d.q + r, onde D: dividendo; d = divisor; q = quociente e r = resto.
A divisão de um número natural n por zero não é possível.
Números Naturais (N)
Sistema de Numeração
O sistema de numeração que normalmente utilizamos é o DECIMAL (10). Os símbolos matemáticos
que servem para representar este sistema são os números, que chamamos de algarismos: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bases Não Decimais:
– Base 2 ou Binária.
– Base 3 ou Ternária.
SISTEMAS COM NUMEROS

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– Base 4 ou Quaternária.
– Base 8 ou Octal ou Octogenária.
– Base 16 e mais os símbolos A, B, C, D, E e F representando respectivamente 10,11,12,13,14 e 15.
Conversão: DECIMAL para BASE
O processo de conversão de decimal para a base a qual se quer é o mesmo para todas as bases.

Exemplos:

Conversão: BASE para DECIMAL
O processo também é aplicável a todas as bases.
Exemplos:

Compreendeu e fixou? … Aqui está nosso desafio!
Joana pretende dividir um determinado número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o
número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3
filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons ao todo Joana possui?
Conjunto dos Números Naturais
Em algum momento da sua vida você passou a se interessar por contagens e quantidades. Talvez a
primeira ocorrência desta necessidade, tenha sido quando lá pelos seus dois ou três anos de idade
algum coleguinha foi lhe visitar e começou a mexer em seus brinquedos. Provavelmente, neste
SISTEMAS COM NUMEROS

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momento mesmo sem saber, você começou a se utilizar dos números naturais, afinal de contas era
necessário garantir que nenhum dos seus brinquedos mudasse de proprietário e mesmo
desconhecendo a existência dos números, você já sentia a necessidade de um sistema de
numeração.
Em uma situação como esta você precisa do mais básico dos conjuntos numéricos, que é o conjunto
dos números naturais. Com a utilização deste conjunto você pode enumerar brinquedos ou
simplesmente registrar a sua quantidade, por exemplo.
Este conjunto é representado pela letra N ( ). Abaixo temos uma representação do conjunto dos
números naturais:
As chaves são utilizadas na representação para dar ideia de conjunto. Os pontos de reticência dão a
ideia de infinidade, já que os conjuntos numéricos são infinitos.
Este conjunto numérico inicia-se em zero e é infinito, no entanto podemos ter a representação de
apenas um subconjunto dele. A seguir temos um subconjunto do conjunto dos números naturais
formado pelos quatro primeiro múltiplos de sete:

Para representarmos o conjunto dos números naturais, ou qualquer um dos outros quatro conjuntos
fundamentais, utilizamos o caractere asterisco após a letra, como em . Temos então que:
Conjunto dos Números Inteiros
Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou conhecimento da existência de
números negativos, ao lhe falarem que naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de
zero. Curioso você quis saber o que significava isto, então alguém notando o seu interesse, resolveu
lhe explicar:
Hoje no final da tarde já estava bastante frio, a temperatura girava em torno dos 3° C, aí ela desceu
para 2° C, continuou esfriando e ela abaixou para 1° C e uma hora atrás chegou a 0° C. Se a
temperatura continuava a abaixar e já havia atingido o menor dos números naturais, como então
representar uma temperatura ainda mais baixa?
Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou oposto. O oposto do 1
é o -1, do 2 o -2 e assim por diante. O Sinal "-" indica que se trata de um número negativo, portanto
menor que zero. Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos e o zero é nulo.
O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos formam um outro conjunto, o
conjunto dos números inteiros e é representando pela letra Z ( ).
A seguir temos uma representação do conjunto dos números inteiros:
Note que diferentemente dos números naturais, que embora infinitos possuem um número inicial, o
zero, os números inteiros assim como os demais conjuntos numéricos fundamentais não têm, por
assim dizer, um ponto de início. Neste conjunto o zero é um elemento central, pois para cada número
à sua direita, há um respectivo oposto à sua esquerda.
Utilizamos o símbolo para indicar que um conjunto está contido em outro, ou que é um
subconjunto seu, como o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números
inteiros, temos que .
Podemos também dizer que o conjunto dos números inteiros contém ( ) o conjunto dos números
naturais ( ).
Como supracitado podemos escrever para representarmos o conjunto dos números inteiros, mas
sem considerarmos o zero:
Com exceção do conjunto dos números naturais, com os demais conjuntos numéricos fundamentais
podemos utilizar os caracteres "+" e "-" como abaixo:
SISTEMAS COM NUMEROS

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Note também que e que .
Conjunto dos Números Racionais
Esperto por natureza você percebeu que havia mais alguma coisa além disto. No termômetro você
viu que entre um número e outro existiam várias marcações. Qual a razão disto?
Foi-lhe explicado então que a temperatura não muda abruptamente de 20° C para 21° C ou de -3° C
para -4° C, ao invés disto, neste termômetro as marcações são de décimos em décimos. Para passar
de 20° C para 21° C, por exemplo, primeiro a temperatura sobe para 20,1° C, depois para 20,2° C e
continua assim passando por 20,9° C e finalmente chegando em 21° C. Estes são números
pertencentes ao conjunto dos números racionais.
Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração. O numerador e o
denominador desta fração devem pertencer ao conjunto dos números inteiros e obviamente o
denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero.
O número 20,1 por exemplo, pode ser expresso como , assim como 0,375 pode ser expresso
como e 0,2 por ser representado por .
Note que se dividirmos quatro por nove, iremos obter 0,44444... que é um número com infinitas casas
decimais, todas elas iguais a quatro. Trata-se de uma dízima periódica simples que também pode ser
representada
como , mas que apesar disto também é um número racional, pois pode ser
expresso como .
O conjunto dos número racionais é representado pela letra Q ( ).
O conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais, temos então
que .
Facilmente podemos intuir que representa o conjunto dos números racionais negativos e
que representa o conjunto dos números racionais positivos ou nulo.
Abaixo temos um conjunto com quatro elementos que é subconjunto do conjunto dos números
racionais:

A realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números racionais
quaisquer terá como resultado também um número racional, obviamente no caso da divisão, o divisor
deve ser diferente de zero. Sejam a e b números racionais, temos:
Conjunto dos Números Irracionais
Então mais curioso ainda você perguntou: "Se os números racionais são todos aqueles que podem
ser expressos na forma de fração, então existem aqueles que não podem ser expressos desta
forma?"
Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números irracionais. Provavelmente os mais
conhecidos deles sejam o número PI ( ), o número de Euler ( ) e a raiz quadrada de dois ( ).
SISTEMAS COM NUMEROS

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Se você se dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua existência e jamais conseguirá fazê-
lo, isto porque tal número possui infinitas casas decimais e diferentemente das dízimas, elas não são
periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma característica dos
números irracionais.
A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números irracionais, de fato a raiz
quadrada de qualquer número natural que não seja um quadrado perfeito é um número
irracional. é um número irracional, pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não há um
número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em cento e vinte, já é um número
natural, pois .
A letra I ( ) representa o conjunto dos número irracionais.
Utilizando o caractere especial "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números
irracionais desconsiderando-se o zero por .
O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números irracionais:

Diferentemente do que acontece com os números racionais, a realização de qualquer uma das quatro
operações aritméticas entre dois números irracionais quaisquer não terá obrigatoriamente como
resultado também um número irracional. O resultado poderá tanto pertencer a , quanto pertencer
a .
Conjunto dos Números Reais
Acima vimos que um número natural também é um número inteiro ( ), assim como um
número inteiro também é um número racional ( ), portanto .
Vimos também que os números racionais não estão contidos no conjunto dos números irracionais e
vice-versa. A intersecção destes conjuntos resulta no conjunto vazio:
A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que
pertencem simultaneamente a todos os conjuntos envolvidos. Sejam dois
conjuntos e , a intersecção entre estes dois conjuntos
será .
O conjunto dos números reais é representado pela letra R ( ) e é formado pela união do conjunto
dos números racionais com o conjunto dos irracionais, que simbólicamente representamos
por: .
A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que
pertencem ao menos a um dos conjuntos envolvidos. Sejam dois
conjuntos e , a união entre estes dois conjuntos
será .
O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais ( ), assim
como o conjunto dos números irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais
( ).
Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos
números reais positivos por .
Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo número reais:

Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama
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Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em um diagrama.

Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto dos números reais ( ) é
resultado da união do conjunto dos números racionais como o conjunto dos números irracionais
( ). Observamos também que o conjunto dos números inteiros está contido no
conjunto dos números racionais ( ) e que os números naturais são um subconjunto do
números inteiros ( ).
Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais facilmente com conjuntos. Ainda
neste diagrama rapidamente identificamos que os números naturais são também números reais
( ), mas não são números irracionais ( ), isto porque o conjunto dos números
irracionais não contém o conjunto dos números naturais ( ), mas sim o conjunto números
dos racionais que os contém ( ), assim como o conjuntos dos números reais ( ) e
dos inteiros ( ).
Critérios de Divisibilidade
Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para
que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento
sobre algumas regras de divisibilidade.

Regras de Divisibilidade
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.

Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.

12:2 = 6
18:2 = 9
102:2 = 51
1024:2 = 512
10256:2 = 5128

Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3.
Exemplo:

66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12
60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6
81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18

Divisibilidade por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4.
Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número
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é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas
também são divisíveis por 4.

288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par.

144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par.

100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0.

Divisibilidade por 5
Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5.

10:5 = 2
25:5 = 5
75:5 = 15
200:5 = 40

Divisibilidade por 6
Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.

42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14
54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44
570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190

Divisibilidade por 7
Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o
número é divisível por 7. Exemplo:

203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14
294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21
840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84

Divisibilidade por 8
Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem
divisíveis por 8. Exemplo:

1000 : 8 = 125, pois termina em 000
1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8

Divisibilidade por 9
É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo:

90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9
1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27

Divisibilidade por 10
Todo número terminado em 0 será divisível por 10

100:10 = 10
50:10 = 5
10:10 = 1
2000:10 = 200
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Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número
formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos,
resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555,
etc.) são múltiplas de 11.

1342 : 11 =
122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66

Divisibilidade por 12
São os números divisíveis por 3 e 4.

276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69

672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168
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RAZÃO E PROPORÇÃO

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Razão E Proporção
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente
entre dois números.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões
possuem o mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que grandezas são
proporcionais quando existe duas razões entre elas.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e
proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os
ingredientes.
Atenção!
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.
Exemplos
A partir das grandezas A e B temos:
Razão: ou A : B donde b≠0
Proporção: donde todos os coeficientes são ≠0
Exemplo 1: Qual a razão entre 40 e 20?

Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo.

Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão
centesimal.

Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A),
enquanto o de baixo é chamado de consequente (B).

Exemplo 2: Qual o valor de x na proporção abaixo?

RAZÃO E PROPORÇÃO

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Para encontrar o valor da proporção, utilizamos a regra de três:
3 . 12 = x
x = 36
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de
“quarta proporcional”.
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos
primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D) .
Propriedades Da Proporção
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo:

Logo:
A·D = B·C
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada.
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo:
é equivalente
Logo,
D. A = C . B
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NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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Números e Grandezas Proporcionais
1) Grandezas
Definição: chamamos de grandezas a todos os valores que estão relacionados a algum outro valor.
Ou seja, se há variação em um valor, o outro também irá variar.
1.1) Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o aumento em uma acarreta um
aumento na outra, ou ainda, quando uma diminuição em uma gera uma diminuição na outra.
Exemplo: considere X a quantidade de pães (em unidades) comprados em uma padaria, e Y o preço
de todos os pães comprados. Temos que as grandezas X e Y são diretamente proporcionais, pois um
aumento em X gera um aumento em Y, e uma diminuição em X gera uma diminuição em Y.
1.2) Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais quando a diminuição em uma
acarreta um aumento na outra, e vice-versa.
Exemplo: considere Y o preço de venda de um computador e X a quantidade vendida do mesmo.
Podemos dizer que se o preço Y aumentar, a quantidade X irá diminuir.
2) Razão
Definição: a razão entre dois números X e Y é dada por X/Y, sendo que Y, nesse caso, deve ser
diferente de zero.
Exemplo: a razão de 5 para 10 é 5/ 0 ou 5:10
3) Proporção
Definição: mostra igualdade entre duas razões.
Exemplo: 2/5 = 4/10
Observe a diferença entre razão e proporção. Essa definição pode ser útil na resolução de exercícios
de números e grandezas proporcionais.
3.1) Propriedades Das Proporções
Abaixo apresentaremos algumas propriedades que são extremamente úteis nos exercícios de
números e grandezas proporcionais. Leia com atenção.
3.1.1) Propriedade Fundamental
Definição: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exemplo: 2.10 = 5.4, ou seja, 20 = 20
3.1.2) Composição
Essa propriedade diz que:
Sendo a/b = c/d, temos que
(a+b) / a = (c+d) / c
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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ou
(a+b) / b = (c+d) / d
3.1.3) Decomposição
Essa propriedade diz que:
Sendo a/b = c/d, temos que
(a-b) / a = (c-d) / c
ou
(a-b) / b = (c-d) / d
Observação: as três propriedades acima são as mais importantes e usadas nos exercícios de
números e grandezas proporcionais.
3.1.4) Essa Propriedade Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que:
Sendo a/b = c/d, temos que
(a+c) / (b+d) = a/b
ou
(a+c) / (b+d) = c/d
3.1.5) Essa Propriedade Também Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que:
Sendo a/b = c/d, temos que
(a-c) / (b-d) = a/b
ou
(a-c) / (b-d) = c/d
3.1.6) Essa propriedade também não possui um nome específico, mas diz que:
Sendo a/b = c/d, temos que
(a.c) / (b.d) = a²/b²
ou
(a.c) / (b.d) = c²/d²
Exemplo: A área de um retângulo é de 600 m² e a razão do comprimento pela largura é de 3/2. Quais
são as medidas dos lados?
x = largura do retângulo
y = comprimento do retângulo
Área do retângulo = x.y = 600
x/y = 3/2
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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x/3 = y/2
(x.y)/(2.3) = y²/2²
Como sabemos que x.y = 600, temos que
600/6 = y²/4
100 = y²/4
y² = 400
y = 20
Logo, x = 30.
3.1.7) Essa Propriedade Também Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que:
Caso elevemos os quatro termos de uma proporção ao quadrado, teremos uma nova proporção.
Exemplo: A soma do quadrado de dois números é 52 e a razão do menor para o maior é 2/3. Quais
são esses números?
a² +`b² = 52
a/b = 2/3, ou a²/b² = 4/9
Pela propriedade da composição temos que
(a²+b²)/b² = (4+9)/9
52/b² = 13/9
Pela propriedade fundamental temos que
52.9 = b².13
13.b²= 468
b² = 36
b = 6
Logo, a = 4.
Exercício de números e grandezas proporcionais:
1) Os números x,y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40,72 e 128. Determine x e y.
x/40 = y/72 = 32/128
Determinando x:
x/40 = 32/128
128.x = 40.32
x = 10
Determinando y:
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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10/40 = y/72
1/4 = y/72
4.y = 1.72
y = 18
De acordo com a teoria exposta e os exemplos fornecidos, você será capaz de resolver a grande
maioria dos exercícios de números e grandezas proporcionais.
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REGRA DE TRÊS

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Regra De Três
Um Pouco De História
Estuda-se em proporção a relação entre grandezas. Em alguns casos vemos que as grandezas são
diretamente proporcionais, ou seja, o aumento de uma implica o aumento da outra, em outros,
inversamente proporcionais, isto é, o aumento de uma implica a redução da outra. Seja em quaisquer
dos casos anteriores, podemos resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas
proporcionais utilizando regra de três simples ou composta.
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são muito antigos, tendo sua
provável origem na China antiga, podendo ser observados em tempos muito distantes. Vários
problemas envolvendo manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como regra de três
podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais
recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-
1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três.
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três são as mais variadas.
Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois
soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo.
Vejam abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e composta, direta e inversamente
proporcionais.
1. Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de farinha de trigo é
suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
2. Quatro pedreiros constrói uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirá a mesma casa
em quanto tempo?
3. Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens
levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
4. Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão
produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
Grandezas Diretamente Proporcionais
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica o
aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma,
a outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam
sempre na mesma razão.
Vejam o exemplo
NÚMERO DE PESSOAS DE CERTA
FAMÍLIA
DESPESA SEMANAL COM
ALIMENTAÇÃO (R$)
RAZÃO
4 200 1/50
5 250 1/50
Observação: A tabela acima é meramente ilustrativa e supõe que com o ingresso de mais um
membro nesta família aumentará proporcionalmente sua despesa semanal.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da
outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando triplicamos uma
delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc.
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c,
respectivamente, quando se tem: x . a = y . b = z . c
REGRA DE TRÊS

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Veja o exemplo
NÚMERO DE OPERÁRIOS DE
CERTA OBRA
DIAS GASTOS PARA CONCLUI-LA
(DIAS)
RELAÇÃO x.a = y.b
12 60 12 . 60 = 720
6 120 6 . 120 = 720
Razão:
12/6 = 2/1
60/120 = 1/2
Note que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso de 1/2.
Regra de três simples
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e
desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da regra de
três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si.
Acompanhem:

Exemplo: os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente. Nessas
condições, vamos encontrar o valor de x que torne essa afirmação verdadeira.

Vamos à solução dos problemas (1) e (2) propostos no início deste trabalho.
(1) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para
fazer 18 pães?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo os valores.

Inicialmente teremos
que analisar se as grandezas quantidade de farinha de trigo e número de
pãessão inversa ou diretamente proporcionais.
REGRA DE TRÊS

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• Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. Se
triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos
levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
• Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir
para sua solução;
• As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais.

Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo.
(2) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirão a mesma
casa em quanto tempo?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo os valores.

Como no caso anterior, teremos que analisar se as grandezas quantidade de pedreiros e dias gastos
na construção são inversa ou diretamente proporcionais.
• Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será reduzida, portanto, essas
grandezas são inversamente proporcionais;
• Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir
para sua solução;
• Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;
• As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente proporcionais.

Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída em 180 dias.
REGRA DE TRÊS

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Regra De Três Composta
Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente proporcionais e, num determinado
problema, existem seis valores, dos quais cinco são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se
encontrar o valor da incógnita através da regra de três composta.
Vamos à solução dos problemas (3) e (4) propostos no início deste trabalho.
(3) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens
levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores:

Analisemos as grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente proporcionais entre si.
• Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar as grandezas tempo de
montagem com número de máquinas. Se dobrarmos o tempo de montagem, dobraremos o número
de máquinas. Logo, essas duas grandezas são diretamente proporcionais.
• Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as grandezas quantidade de
homens com tempo de montagem. Se dobrarmos o número de homens, teremos reduzido à metade o
tempo de montagem. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais.
• Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção de acordo com a tabela acima;
• Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;

Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias.
REGRA DE TRÊS

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(4) Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão
produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
● Chamaremos o valor desconhecido de x:

Vamos fazer a análise dos dados contidos na tabela acima.
• Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas número de
operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de operários, dobraremos também o
número de peças fabricadas. Dessa forma, essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
• Fixando a grandeza número de operários e relacionando as grandezas dias de
trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de dias de trabalho, dobraremos
também a quantidade de peças produzidas, ou seja, estas grandezas também são diretamente
proporcionais;
• Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo com a tabela acima;
• Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações em suas formas
originais.

Conclusão: com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças.
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PORCENTAGEM

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Porcentagem
O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à
Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação
de valores de impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x%
corresponde à razão centesimal x/100. O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe:

15% (quinze porcento) = 15/100 = 3/20 = 0,15
20% (vinte porcento) = 20/100 = 1/5 = 0,20
25% (vinte e cinco porcento) = 25/100 = 1/4 = 0,25
40% (quarenta porcento) = 40/100 = 2/5 = 0,40
120% (cento e vinte porcento) = 120/100 = 6/5 = 1,2

Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas:
fração centesimal ou número decimal, a forma ficará a critério do estudante.

Exemplo 1

Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros.
No caso de pagamento à vista a loja oferece um desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na
compra à vista de uma geladeira que custa R$ 1.200,00, qual o valor do desconto?

15% = 15/100 = 3/20 = 0,15

Podemos resolver o problema de duas maneiras. Observe:

Multiplicando o valor de R$1200 por 15 e depois dividindo por 100.
1200 x 15/100 = 18000/100 = 180

Multiplicando o valor de R$1200 por 0,15.
1200 x 0,15 = 180

O desconto na compra à vista da geladeira é de R$ 180,00, dessa forma, o preço seria de 1200 – 180
= R$ 1.020,00.

Exemplo 2

O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas
que são calculadas com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual
o valor de uma prestação de R$ 550,00 que foi paga com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o
valor deverá ser acrescentado 4% de multa?

4% = 4/100 = 1/25 = 0,04

Resolvendo de duas maneiras:

1º) 550 x 4/100 = 2200/100 = 22

2º) 550 x 0,04 = 22

O acréscimo em razão do atraso será de R$22,00, portanto, a prestação passará de R$ 550,00 para
R$ 572,00.
Porcentagem é uma razão do tipo a/b, em que b = 100. Note que sempre é possível obter essa razão
utilizando a ideia de proporcionalidade ou de frações equivalentes. Por exemplo, em uma sociedade,
se investimos uma fração de um valor inicial de R$ 1000.00, é equivalente a dizer que a nossa parte
do investimento inicial foi de . Esta razão é chamada “taxa percentual” e pode ser
PORCENTAGEM

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expressa tanto com o símbolo % (por cento), quanto na forma de fração ( ) ou ainda, em forma
textual, que nesse caso seria 40 em 100.
A ideia de porcentagem é diretamente ligada aos assuntos financeiros, quando tratamos casos de
juros ou descontos obtidos nas compras, taxas pagas por um serviço, taxa de imposto ou mesmo em
taxas de variação de resultados. Lembrando que uma porcentagem é sempre sobre algum valor e
não existe porcentagem isolada, isto significa que não faz sentido