Calculo regressão linear

Prévia do material em texto

Juliana Dubinski e Prof. Jomar 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
EXERCÍCIO 
Considere um experimento em que se analisa a octanagem da gasolina em função da 
adição de um novo aditivo . Para isso, foram realizados ensaios com os percentuais de 
1, 2, 3, 4, 5 e 6% de aditivo. Os resultados são mostrados na a seguir: 
X 1 2 3 4 5 6 
Y 80,5 81,6 82,1 83,7 83,9 85,0 
 
 
 
Observe que é razoável supor uma relação aproximadamente linear entre X e Y para os 
níveis de aditivo ensaiados (de 1 a 6%). Contudo, os pontos não estão exatamente sobre 
uma reta, provavelmente por causa da existência de fatores não controláveis no processo. 
Vamos supor, então, que o valor esperado de Y se relacione com X, de acordo com uma 
equação de primeiro grau, ou seja: 
 
Em que, são os parâmetros do modelo. 
Seja um conjunto de observações . O modelo de regressão 
linear simples para as observações é dado por: 
 
Sendo : 
 é a variável aleatória associada à i-ésima observação de Y; 
 é o erro aleatório da i-ésima observação, isto é, o efeito de uma infinidade de 
fatores que estão afetando a observação de Y de forma aleatória; 
Tabela- Dados do experimento e cálculos intermediários para obter a equação de 
regressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, temos a seguinte reta de regressão: 
 
Para traçar a reta no plano, basta atribuir os valores para X e estimar Y. 
Por exemplo: Se x=4 ⇒ 83,244=ŷ . Note que o y observado foi igual a 83,7. Logo, 
tem-se um erro igual a 0,456. 
Interpretação: 
• a = 79,7. É o valor da octanagem médio (esperado) caso não haja adição de aditivo 
(x=0). 
• b > 0 ⇒ Correlação Linear Positiva (direta). Quando X aumenta, Y também 
aumenta (e vice-versa). 
• b = 0,886. A cada aumento de uma unidade de medida em X (aumento de 1% do 
aditivo), espera-se um aumento médio de 0,886 para o nível de octanagem. 
Aditivo vs Octanagem
80
80,5
81
81,5
82
82,5
83
83,5
84
84,5
85
85,5
0 2 4 6 8
Y
Y previsto
 
RESUMO DOS RESULTADOS 
Estatística de regressão 
R múltiplo 0,98744143 
R-Quadrado 0,97504058 
Coef. de 
Explicação (Determinação) 
R-quadrado 
ajustado 0,96880073 
Erro padrão 0,29640706 
Observações 6 
ANOVA 
Causas de Variação gl SQ MQ F 
F de significação 
(P-valor) 
Regressão 1 13,7285714 13,728571 156,26016 0,000235586 
Resíduo 4 0,35142857 0,0878571 
Total 5 14,08 
 
Conclusão: Com base na ANOVA, nota-se que o p-valor (F de Significação) foi igual a 0,000235586 
(valor com prob. baixa=evento raro). Logo, a hipótese testada H0: β = 0, deve ser rejeitada. Assim, 
conclui-se que existe a regressão linear. Pela análise do Coeficiente de Determinação 
(R
2 
= 97,504058%
 
), interpreta-se que: da variabilidade total (associada à octanagem), 97,5% se 
deve (pode ser explicada) por X (aditivo). Note, também, que o coeficiente de Pearson 
( 0,987=ρ̂ = 97504058,02 =R ) indica uma correlação linear forte entre X e Y. Pois, 
encontra-se próximo a 1. 
Assim, a reta estimada ( ) é adequada para predizer valores (Ŷ ) no 
intervalo de X experimentado, ou seja, entre 1% e 6%. 
 
][
1
1
];[ˆ ∑∑ ∑ ∑−
−
=
n
YX
XY
n
YXvoC
 
 
 





⇒≅
↓↑⇔⇒<
↑↑⇔⇒>
LINEARassociaçãodeAusência
vvYXnegativaInversaAssociação
YXpositivaDiretaAssociação
voCSe
0
).(:)(0
:)(0
ˆ 
 
 
 
YX
ss
YXvoC
.
];[ˆ
ˆ =ρ ; 
Total
Modelo
SQ
SQ
R =2
 
 
 
Soma de Quadrados (SQ): 
222
).1(.).1(
YTotalXModelo
SnSQeSbnSQ −=−=
 
 
 
Quadrados Médios (QM): 
gl
SQ
QM =
 
 
 
XbYa .−= 
 
 
 2
];[ˆ
X
S
YXvoC
b =