Estatística Inferencial - Correlação e Regressão Linear

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Estatística Inferencial – Correlação e Regressão Linear
ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA INFERENCIAL – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR
RELEMBRANDO
Foi visto que a correlação linear vai de -1 até +1, passando por zero, e pode ser forte, fraca, 
perfeita, positiva ou negativa, pode não haver correlação entre duas variáveis, sendo essas 
variáveis quantitativas. Foi visto também sobre diagrama de dispersão.
Quanto aos valores obtidos – análise
O coeficiente de correlação linear estará compreendido no intervalo -1 ≤ r ≤ 1.
Com relação aos valores obtidos, pode-se observar:
a. Correlação perfeita negativa (rxy = -1): Quando os pontos estiverem perfeitamente ali-
nhados, mas em sentido contrário, a correlação é denominada perfeita negativa.
b. Correlação negativa (-1 < rxy < 0): A correlação é considerada negativa quando valo-
res crescentes da variável X estiverem associados a valores decrescentes da variável Y, ou 
valores decrescentes de X associados a valores crescentes de Y. 
c. Correlação nula (rxy = 0): Quando não houver relação entre as variáveis X e Y, ou seja, 
quando os valores de X e Y ocorrem independentemente, não existe correlação entre elas.
d. Correlação positiva (0 < rxy < 1): Será considerada positiva se os valores crescentes 
de X estiverem associados a valores crescentes de Y. Pode-se dizer que é uma função de 
primeiro grau: f(x) = ax + b)
e. Correlação perfeita positiva (rxy = 1): A correlação linear perfeita positiva corresponde 
ao caso anterior, mas os pontos (X, Y) estão perfeitamente alinhados.
Observações importantes:
• Correlação não é o mesmo que causa e efeito. Duas variáveis podem estar altamente 
correlacionadas e, no entanto, não haver relação de causa e efeito entre elas.
• Se duas variáveis estiverem amarradas por uma relação de causa e efeito, elas esta-
rão, obrigatoriamente, correlacionadas. 
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ESTATÍSTICA
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• O estudo de correlação pressupõe que as variáveis X e Y tenham uma distribui-
ção normal.
• A palavra simples que compõe o nome correlação linear simples, indica que estão 
envolvidas no cálculo somente duas variáveis.
• O coeficiente de correlação linear de Pearson mede a correlação em estatística para-
métrica, ou seja, somente com variáveis quantitativas.
ATENÇÃO
O coeficiente de correlação não será afetado com soma e subtração ou multiplicação e divi-
são em constantes positivas, porém, em constantes negativas, haverá a inversão do sinal.
Assim, quando multiplicamos ou dividimos as variáveis por constantes, o coeficiente de 
correlação pode não ser alterado ou pode simplesmente trocar de sinal.
DIRETO DO CONCURSO
1. (CESPE/IJSN-ES/ESPEC. EM ESTUDOS E PESQ. GOVERNAMENTAIS – ECONO-
MIA/2010) Considerando os conceitos associados a probabilidade e estatística, jul-
gue o item.
O coeficiente de correlação linear de Pearson, que mede o grau de correlação linear 
entre duas variáveis, é alterado quando todos os valores de uma das duas variáveis são 
multiplicados ou divididos por uma constante diferente de zero.
COMENTÁRIO
Quando multiplicamos ou dividimos as variáveis por constantes, o coeficiente de correla-
ção pode não ser alterado ou pode simplesmente trocar de sinal.
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Estatística Inferencial – Correlação e Regressão Linear
ESTATÍSTICA
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Fórmulas – coeficiente de correlação linear
 
O PULO DO GATO
Nem sempre será preciso utilizar essas fórmulas na prova, pois muitas vezes será perda 
de tempo. Às vezes, é possível identificar, apenas observando, que as variáveis (x,y) cres-
cem ou decrescem de maneira proporcional, por exemplo.
DIRETO DO CONCURSO
2. (CESGRANRIO) Considere as asserções a seguir.
O coeficiente de correlação linear de Pearson é necessariamente um número no inter-
valo (−1,1).
PORQUE
O Coeficiente de Correlação Linear de Pearson só pode ser calculado para variáveis 
quantitativas.
Analisando-se as asserções, conclui-se que:
a. As duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
b. As duas asserções são verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta 
da primeira.
c. A primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa.
d. A primeira asserção é falsa, e a segunda é verdadeira.
e. A primeira e a segunda asserções são falsas.
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Estatística Inferencial – Correlação e Regressão Linear
ESTATÍSTICA
COMENTÁRIO
Embora as duas asserções sejam verdadeiras, são situações diferentes e uma não justifi-
ca a outra.
3. (CESGRANRIO) Considere as afirmações a seguir a respeito do coeficiente de correla-
ção (r) de Pearson entre duas variáveis.
I – Se r = 1, as observações estão todas sobre uma linha reta no diagrama de dispersão.
II – Se r > 0, a variável independente aumenta quando a variável dependente aumenta.
III – Se r < 0, a variável independente decresce quando a variável dependente decresce.
IV – Se r = 0, não existe relação entre as duas variáveis. 
São corretas apenas as afirmações
a. I e II
b. I e III
c. II e III
d. II e IV
e. III e IV
COMENTÁRIO
Se r > 0, a variável independente (x) aumenta quando a variável dependente (y) diminui:
Se r = 0, não existe relação linear entre as duas variáveis, mas podem existir outras re-
lações (exponencial, logarítmica, do segundo grau etc.).
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4. (CESGRANRIO) Analise as afirmações a seguir a respeito do coeficiente de correlação 
linear de Pearson entre duas variáveis positivas X e Y:
I – é positivo;
II – não se altera quando adicionamos uma constante positiva aos valores de X;
III – não se altera quando multiplicamos por uma constante positiva os valores de X.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a. II somente.
b. I e II somente.
c. I e III somente.
d. II e III somente.
e. I, II e III.
COMENTÁRIO
Embora as variáveis sejam positivas, é possível ter o coeficiente negativo (r = -1):
O coeficiente de correlação não será afetado com soma e subtração ou multiplicação e 
divisão em constantes positivas, porém, em constantes negativas, haverá a inversão 
do sinal. 
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GABARITO
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2. b
3. a
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preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha Alves de Araújo.
��A presente degravação tem como objetivo auxiliar no acompanhamento e na revisão do conteúdo 
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Estatística Inferencial – Correlação e Regressão Linear II
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ESTATÍSTICA INFERENCIAL – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
II
4. (PETROBRAS/CESPE-UNB) Julgue o item que segue.
O coeficiente de correlação de Pearson é usado para medir o grau de linearidade (as-
sociação) entre duas variáveis (eventos), podendo assumir qualquer valor entre +1 e 
-1. Os valores de coeficientes iguais a +1 e -1 indicam, respectivamente, relação linear 
perfeita e ausência total de relação linear entre as variáveis.
COMENTÁRIO
Para que haja ausência totalde relação linear entre as variáveis, deve-se ter r = 0.
5. (PREFEITURA DE RIO BRANCO/CESPE-UNB) A análise de regressão linear simples e 
a análise de correlação são técnicas frequentemente usadas na interpretação de pares 
de dados. Com relação a essas técnicas, julgue o item a seguir.
O coeficiente de correlação mede o grau de associação entre duas variáveis.
COMENTÁRIO
Exatamente isso.
6. (CESPE/TJ-RO/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Com respeito ao modelo de re-
gressão linear simples, assinale a opção correta.
a. O parâmetro de inclinação da reta é igual à tangente do ângulo formado entre a reta 
e o eixo Oy.
b. A inclinação da reta é proporcional à correlação entre a variável resposta e a variável 
preditora.
c. Se o modelo linear estiver bem ajustado, a correlação entre o resíduo do modelo e a 
variável resposta deve estar próxima de -1.
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Estatística Inferencial – Correlação e Regressão Linear II
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d. Se o interceptor do modelo for nulo, a variável resposta assume o valor zero quando 
a variável preditora dor igual ao inverso da inclinação da reta.
e. O parâmetro de inclinação da reta é igual ao cosseno do ângulo formado entre a reta 
e o eixo Ox.
 RESOLUÇÃO
a. Em y = ax + b, a representa o coeficiente angular e b representa o coeficiente linear. O 
coeficiente angular é responsável pela inclinação da reta.
O a equivale à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo Ox.
a = Tgα = 
a = Tgα = 
Perceba que, independentemente da inclinação da reta, o ângulo é sempre formado entre 
a reta e o eixo x. 
b. Variável preditora (independente) é x; variável resposta (dependente) é y.
A inclinação da reta é dada pela variável dependente sobre a variável independente:
a = Tgα = 
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O coeficiente angular traz a inclinação da reta. O a é a tangente de alfa que é igual ao 
cateto oposto mais a tangente de x. A inclinação da reta é dada pela variável dependente 
sobre a variável independente. 
c. A correlação perfeita pode ser positiva ou negativa, não apenas -1.
A variável resposta pode estar próxima de -1 ou +1.
d. Interceptor/variável resposta é o y.
Variável preditora é o x.
a = Tgα = 
Traduzindo a questão: y = a.x/y = b
Obs.: O interceptor se refere ao coeficiente de correlação linear de Pearson.
y = ax + b
Na equação y = ax + b, sempre quem acompanha o x é o coeficiente angular. Porém, esse 
coeficiente, além da inclinação da reta, traz também a questão da força.
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Se a = -1, a reta é decrescente (\); Se a = +1, a reta é crescente (/). Portanto, esse a, além 
de trazer a inclinação da reta, também é o coeficiente de correlação linear de Pearson.
A letra d dispõe que, se o interceptor do modelo for nulo (a = 0), a variável resposta assume 
o valor zero (y = 0) quando a variável preditora for igual ao inverso da inclinação da reta 
(x = y/x).
y = 0 ∙ + b
Se x for zero, qualquer multiplicação com ele será zero:
y = ax + b
y = 0 ∙ x + b
Sendo o y também zero nessa equação, temos:
0 = 0 + b
Logo, b = 0.
Isso não seria possível, pois y = b (função constante).
Trata-se de uma função constante porque, quando o coeficiente for zero, não haverá in-
clinação. 
e. A inclinação da reta é dada pela função tangente, não pelo cosseno.
7. (IBFC/EBSERH/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICA/2020) Com relação ao 
coeficiente de correlação linear (r), é incorreto afirmar que:
a. Se r for um número próximo de 1, então x e y têm forte correlação linear.
b. Se r = 0,2, então x e y têm forte correlação linear.
c. Se r for um número próximo de 1, então x e y têm forte correlação linear.
d. Se r for um número próximo de 0, então x e y têm fraca correlação linear.
e. Se r = -0,8, então x e y têm forte correlação linear.
RESOLUÇÃO
b. Se r = 0,2, então x e y têm fraca correlação linear:
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+1-1
0,2
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 e. Se r = -0,8, então x e y têm forte correlação linear:
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+1-1
0,8
r
 
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Correlação e Regressão Linear III
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CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR III
DIRETO DO CONCURSO
7. (2018/ FAURGS/UFRGS/ANALISTA DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO – SISTEMA 
DE INFORMAÇÃO) A análise de ____________ permite estudar a relação entre dois 
conjuntos de valores e quantificar o quanto um está relacionado com o outro, no sentido 
de determinar a intensidade e a direção dessa relação. Isto é, essa análise indica se, e 
com que intensidade, os valores de uma variável aumentam ou diminuem enquanto os 
valores da outra variável aumentam ou diminuem. Assinale a alternativa que completa 
corretamente a lacuna do texto acima.
a. Correlação
b. Dispersão
c. Classificação
d. Agrupamento
e. Regressão
RESOLUÇÃO
O que permite estudar a relação entre dois conjuntos?
 
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Correlação e Regressão Linear III
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Se, por porventura, a relação entre essas duas variáveis (x,y) fosse assim poderia se afir-
mar que está crescendo formando uma linha. Assim, é possível determinar a intensidade. 
O coeficiente de Correlação Linear de Pearson é -1 ≤ r ≤ 1.
Quanto mais perto de -1 e mais perto de 1, mais forte é essa relação, ou seja, essa correla-
ção. A direção é que vai determinar o sinal. Você poderia estar entre duas situações no dia 
do concurso: regressão e correlação. A correlação vai determinar se existe a relação de 
intensidade e direção. Por meio dessa correlação você vai determinar a equação da reta. 
O coeficiente de correlação linear indica a força e a direção. Se a correlação é boa, você 
vai criar a equação, a regressão.
Você vai ajustar essa reta em relação aos pontos e o que faz esse ajustamento é um mé-
todo dos mínimos quadrados.
Esse método faz com que você encontre o coeficiente angular e o coeficiente linear, que 
encontre a fórmula que ajusta os pontos de tal maneira que fica da melhor forma possível 
(positivo ou negativo).
8. (2018/INSTITUTO AOCP/ADAF – AM/ESTATÍSTICO) Considere as variáveis aleatórias 
X: nota na disciplina de Estatística e Y: nota na disciplina de matemática. Essas variá-
veis foram observadas em 5 alunos, ao final do semestre. Os dados estão apresenta-
dos a seguir.
X 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
Y 3,0 4,0 7,0 8,0 10,
Calcule o Coeficiente de Correlação de Pearson.
a. 0,5051.
b. -0,988.
c. 0,988.
d. 0,000.
e. -0,5051
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Correlação e Regressão Linear III
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RESOLUÇÃO
Duas maneiras de resolução: a primeira de maneira intuitiva. 
Todas as respostas estão no intervalo -1 ≤ r ≤ 1. A questão requer de maneira pontual a 
correlação de Pearson para essa amostra.
X é a variável independente,a nota de Estatística. Y é a variável dependente, a nota de 
matemática. Você acha que aquela pessoa que é boa em Estatística também é boa em 
Matemática ou vice-versa?
A reta é crescente, então o coeficiente r é positivo. Restam duas opções: letra A e C. 
Se a linha fosse totalmente reta o coeficiente seria 1, logo, como não há esse coeficiente, 
a assertiva é o valor mais aproximado. Perceba que os números são proporcionais 4 e 3,5 
e 4, 6 e 7,7 e 8.
Duas maneiras de resolução: a segunda de maneira algébrica.
Muitas vezes a questão não fornece o valor de X e Y.
Se o Coeficiente de Correlação de Pearson é a covariância entre X sobre o desvio padrão 
de X e de Y é importante saber quem é a covariância de XY.
 
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Correlação e Regressão Linear III
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Para encontrar r é preciso a covariância e o desvio padrão de XY. Para encontrar a vari-
ância é preciso o valor esperado entre X e Y, valor esperado de X e valor esperado de Y. 
São as médias.
O numerador foi encontrado.
Os denominadores são o padrão de X e desvio padrão de Y. 
Agora se devem encontrar os seus respectivos desvios padrões.
Sx= √2= 1,4
Sy= √ 6,64 = 2,5
A seguir, achar o coeficiente:
 
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Correlação e Regressão Linear III
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9. (2018/CESPE/POLÍCIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA) O intervalo de tempo entre a 
morte de uma vítima até que ela seja encontrada (y em horas) denomina-se intervalo 
post mortem. Um grupo de pesquisadores mostrou que esse tempo se relaciona com 
a concentração molar de potássio encontrada na vítima (x, em mmol/dm3). Esses pes-
quisadores consideraram um modelo de regressão linear simples na forma y = ax + b + 
ε, em que a representa o coeficiente angular, b denomina-se intercepto, e ε denota um 
erro aleatório que segue distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a 4.
As estimativas dos coeficientes a e b, obtidas pelo método dos mínimos quadrados 
ordinários foram, respectivamente, iguais a 2,5 e 10. O tamanho da amostra para a 
obtenção desses resultados foi n = 101. A média amostral e o desvio padrão amostral 
da variável x foram, respectivamente, iguais a 9 mmol/dm3 e 1,6 mmol/dm3 e o desvio 
padrão da variável y foi igual a 5 horas.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
De acordo com o modelo ajustado, caso a concentração molar de potássio encontrada 
em uma vítima seja igual a 2 mmol/dm3, o valor predito correspondente do intervalo 
post mortem será igual a 15 horas.
RESOLUÇÃO
O mundo funciona praticamente em relação a uma função. Por exemplo, a quantidade de 
pessoas que frequenta um local é em função do tempo; a quantidade de conhecimento que 
se adquire também pode estar em função do tempo. Então há sempre duas variáveis se 
relacionando.
A concentração de potássio no corpo da vítima é uma variável quantitativa; tempo é variá-
vel quantitativa.
35m
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Correlação e Regressão Linear III
ESTATÍSTICA
y= ax+b+E
O E é o erro. 
Na equação y = ax + b, o "a" indica o coeficiente angular, a inclinação da reta.
O método tenta minimizar esses erros, fazer o erro tender a zero por isso. O método dos 
mínimos quadrados tenta ajustar a reta entre os pontos de tal maneira que esse erro, tam-
bém chamado de resíduo, chegue a zero.
.
y= ax+b+E
y= 2,5x+10+0
y= 2,5*2+10
y= 5+10
y=15
Quando o Perito Federal chega ao local do crime ele vai calcular a concentração de potás-
sio da vítima. Quando calcula que há 2 mmol/dm3 de potássio, chega à conclusão de que 
a morte foi há 15 horas.
GABARITO
 7. a
 8. c
 9. C
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Correlação e regressão linear IV
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CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR IV
DIRETO DO CONCURSO
10. (2016/CESPE/FUNPRESP-JUD/ANALISTA-INVESTIMENTOS)
VARIÁVEL
Estatística X Y
Média Amostral 25 27
Variância Amostral 16 9
Com base na tabela precedente, que apresenta estatísticas referentes a duas variá-
veis observadas em um estudo previdenciário, julgue o seguinte item.
O valor absoluto da covariância entre X e Y é igual ou inferior a 12.
RESOLUÇÃO
O coeficiente de correlação linear é -1 ≤ r ≤ 1.
Se a covariância X é 16, o desvio padrão é 4. Se a covariância Y é 9, o desvio padrão é 3.
5m
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Correlação e regressão linear IV
ESTATÍSTICA
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11. (2018/CESPE/POLICIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA) O intervalo de tempo entre a 
morte de uma vítima até que ela seja encontrada (y em horas) denomina-se intervalo 
post mortem. Um grupo de pesquisadores mostrou que esse tempo se relaciona com 
a concentração molar de potássio encontrada na vítima (x, em mmol/dm3). Esses pes-
quisadores consideraram um modelo de regressão linear simples na forma y = ax + b + 
ε, em que a representa o coeficiente angular, b denomina-se intercepto, e ε denota um 
erro aleatório que segue distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a 
4. As estimativas dos coeficientes a e b, obtidas pelo método dos mínimos quadrados 
ordinários foram, respectivamente, iguais a 2,5 e 10. O tamanho da amostra para a 
obtenção desses resultados foi n = 101. A média amostral e o desvio padrão amostral 
da variável x foram, respectivamente, iguais a 9 mmol/dm3 e 1,6 mmol/dm3 e o desvio 
padrão da variável y foi igual a 5 horas. A respeito dessa situação hipotética, julgue o 
item a seguir.
A média amostral da variável resposta y foi superior a 30 horas.
RESOLUÇÃO
y = 2,5x + 10
Se o desejo é encontrar a média amostral Y, deve-se pegar a média amostral de X porque 
Y está em função de X. 
y = 2,5x + 10
y=2,5 *9 +10
y=22,5+10 =32,5h
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Correlação e regressão linear IV
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12. (2018/CESPE/POLICIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA) O intervalo de tempo entre a 
morte de uma vítima até que ela seja encontrada (y em horas) denomina-se intervalo 
post mortem. Um grupo de pesquisadores mostrou que esse tempo se relaciona com 
a concentração molar de potássio encontrada na vítima (x, em mmol/dm3). Esses pes-
quisadores consideraram um modelo de regressão linear simples na forma y = ax + b + 
ε, em que a representa o coeficiente angular, b denomina-se intercepto, e ε denota um 
erro aleatório que segue distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a 4.
As estimativas dos coeficientes a e b, obtidas pelo método dos mínimos quadrados 
ordinários foram, respectivamente, iguais a 2,5 e 10. O tamanho da amostra para a 
obtenção desses resultados foi n = 101. A média amostral e o desvio padrão amostral 
da variável x foram, respectivamente, iguais a 9 mmol/dm3 e 1,6 mmol/dm3 e o desvio 
padrão da variável y foi igual a 5 horas.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
O coeficiente de explicação do modelo (R2) foi superior a 0,70.
RESOLUÇÃO
0 ≤ R2 ≤ 1 é o coeficiente de determinação ou explicação, geralmente dado em porcen-
tagem. Ele expressa a quantidade da variância dos dados que é explicada pelo modelo 
linear. Issosignifica que quanto maior for o R2 mais explicativo é o modelo linear, ou seja, 
melhor ele se ajusta na amostra.
Será que o modelo de regressão linear y = ax + b se ajusta a esse exemplo? 
A ideia é a seguinte: quanto maior for R, maior é o modelo linear. O coeficiente explicação 
em outras bancas também aparece como coeficiente de determinação do modelo.
R = (r)2
O r equivale a 1 ≤ r ≤ 1. Consequentemente, se o valor for negativo e elevar ao quadra-
do, ele fica positivo. Se for positivo e elevar ao quadrado continua positivo. Se for zero, 
continua zero. O coeficiente de determinação verifica se realmente esse modelo linear se 
ajusta à mostra.
O r pode ser a covariância entre X e Y sobre o desvio padrão. 
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Correlação e regressão linear IV
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Em y=ax+b, a é o coeficiente angular. Ele é dado pela covariância entre X e Y sobre a va-
riância de X. O coeficiente é 2,5.
Sy=5
Sx= 1,6
Coeficiente angular = 
 = 6,4
Descobrindo o valor de r:
 
R = (r)2
R=(0,8)2
R=0,64
13. (2014/VUNESP/DESENVOLVESP/ECONOMISTA) O resultado da estimação de uma 
regressão simples foi Y = 2 – 0,8x, sendo o coeficiente de determinação R 2 = 0,81.
O coeficiente de correlação entre as variáveis x e y é:
a. 0,81.
b. -0,81.
c. -0,8.
d. -0,9.
e. 0,8.
RESOLUÇÃO
R= (r)2
r = √R
r =√0,81
25m
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Correlação e regressão linear IV
ESTATÍSTICA
r = ± 0,9 
Se tivesse uma opção 0,9 muitos candidatos ficariam em dúvida porque o coeficiente R vai 
de - 1 a 1.
Se a questão trouxesse o -0,9 e 0,9 qual você marcaria? Deve continuar marcando em 
negativo. O coeficiente angular é negativo. Na matemática, quando o coeficiente angular é 
menor do que zero, a reta é decrescente e, sendo assim, o coeficiente é negativo.
Pela equação você sabe que a reta é negativa, então R não pode ser positivo. A raiz de 81 
não é 9, é ± 9.
GABARITO
 10. C
 11. C
 12. E
 13. d
30m
���������������������������������������������������������������������������������Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula 
preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha Alves de Araújo. 
A presente degravação tem como objetivo auxiliar no acompanhamento e na revisão do conteúdo 
ministrado na videoaula. Não recomendamos a substituição do estudo em vídeo pela leitura exclu-
siva deste material.
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