Otimização de Treliças

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OTIMIZAÇÃO EM TRELIÇAS 
 
Cleyton Précoma Portes; Eduarda Lopes e Silva Diniz 
 
Trabalho de Otimização em Treliças, Sociedade Educacional de Santa Catarina 
 UNISOCIESC - Graduação em Engenharia Civil 
Juliano Souza, Professor Mestre em Engenharia Civil. 
prof.julianosouza.eng@gmail.com 
 
Resumo 
Este estudo tem como finalidade ser uma das avaliações da disciplina de 
Resistencia dos Materiais do curso de Graduação em Engenharia Civil. Neste 
trabalho, em uma primeira etapa, vamos dimensionar uma treliça plana para 
aplicação em um galpão com um vão de 10 metros, onde serão desenvolvidos 
os cálculos de esforços, dimensionamento de um modelo construtivo em um 
software e com a utilização de barras comerciais vamos determinar o consumo 
de aço para construção dessa treliça. Em uma segunda etapa, vamos realizar a 
otimização da treliça, e como resultado final teremos uma redução no consumo 
de aço e uma treliça mais funcional de fácil fabricação e execução. 
Palavras chaves: Treliça, Modelo Construtivo, Barras Comerciais; 
 
Abstract 
This study aims to be one of the evaluations of the discipline of Strenght of 
Materials of the Undergraduate cousr in Civil Engineering. In this work, in a first 
step, we will design a flat truss for application in a 10 meter span building, where 
the effort calculations will be developed, the design of a constructive model in a 
software and with the use of commercial bars we will determine steel 
consumption for the construction of this truss. In a second step, we will optimize 
the truss, and as a final result we will have a reduction in steel consumption and 
a more functional truss that is easy to manufacture and execute. The purpose of 
this document is to be one of the evaluations of the Materials Resistance 
discipline of the Civil Engineering Undergraduate course. In this work we are 
going to design a flat truss for application in a 10-meter span building, calculations 
of efforts, design of a constructive model in software and optimization of the truss 
using commercial bars with the lowest consumption of material 
Key words: Truss, Constructive Model, Commercial Bars; 
 
mailto:prof.julianosouza.eng@gmail.com
1. Introdução 
 
A resistência dos materiais é uma parte da Mecânica dos Corpos Sólidos no qual 
se estuda o equilíbrio dos referidos corpos, considerando os efeitos internos, 
produzidos pela ação das forças externas, conforme HIBBELER (2018). 
Para a Engenharia Civil, o estudo e conhecimento da resistência dos materiais 
é imprescindível, sendo o pré-requisito para a análise de estruturas em geral tais 
como, estruturas de concreto armado, concreto protendido, estruturas em aço, 
em madeira, alvenaria estrutural dentre outros. 
A resistência dos materiais é, portanto, a base que propicia a seleção dos 
sistemas estruturais, dos materiais de construção, proporções e dimensões dos 
elementos de uma dada estrutura, para que estas possam cumprir suas 
finalidades dentro de uma margem de segurança, com confiabilidade e 
durabilidade. 
Propicia também a obtenção de estruturas otimizadas, através do uso racional 
do material e consequentemente economia da estrutura, sendo o principal 
objetivo do engenheiro, projetar estruturas econômicas e seguras. (Alonso 
Droppa Jr - Professor do curso de Engenharia Civil da Toledo Prudente Centro 
Universitário, 2017) 
O presente trabalho tem como objeto de pesquisa na área de resistência de 
materiais na construção de treliças de galpão, sua estabilidade e capacidade que 
alguns materiais têm de serem deformados plasticamente sem sofrer fratura, 
pois eles podem sofrer diversas deformações sem se romperem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Fundamentação teórica 
 
Nos comentários de Renata Celi (2018) no curso Stoodi de Física, feito on line, 
o maior objetivo da área de estudo da resistência dos materiais é aplicar os 
conhecimentos na produção e utilização de peças com um determinado papel a 
cumprir. Para tanto, é fundamental conhecer os limites de cada tipo de material, 
descobrindo assim até onde é possível manipulá-los. 
A ciência da resistência dos materiais depende muito de uma certeza na 
obtenção de seus resultados, uma vez que qualquer erro, por menor que seja, 
pode significar prejuízos gigantescos depois. 
Esse tipo de conhecimento vem desde a Antiguidade. Os egípcios, por exemplo, 
detinham grande domínio sobre a resistência de materiais, uma vez que sem ele 
seria impossível construir estruturas tão grandiosas como as pirâmides do Egito. 
Outra civilização que se destaca nesse sentido é a Grécia, principalmente na 
aplicação dos conceitos de estática, básica para a resistência de materiais. 
Arquimedes deu grandes contribuições nesse sentido, utilizando alavancas, 
verificando o centro de gravidade dos corpos e aplicando a teoria na construção 
de grandes dispositivos como guinchos e guindastes. 
Ainda na Antiguidade, os romanos se destacavam como grandiosos construtores 
elaborando monumentos, templos e estradas que resistem até hoje às 
intempéries do tempo. 
Séculos depois, todo esse conhecimento que se tinha perdido durante a Idade 
Média foi recuperado no Renascimento. 
A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII, época 
em que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em 
hastes e vigas feitas de vários materiais. 
No entanto, para a compreensão adequada dos fenômenos envolvidos, foi 
necessário estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades 
mecânicas de materiais. (HIBBELER, 2018) 
Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no início 
do século XVIII. Na época, estudos foram realizados, principalmente na França, 
baseados em aplicações da mecânica a corpos materiais, denominando-se o 
estudo de Resistência dos Materiais. 
Atualmente, no entanto, refere-se a esses estudos como mecânica dos corpos 
deformáveis ou simplesmente mecânica dos materiais (HIBBELER, 2004). Entre 
os diversos estudiosos e pesquisadores que colaboraram com a formação da 
Resistência dos Materiais, destacam-se: Galileo, Saint Venant, Bernouilli, 
Navier, Hooke, Poisson, Cauchy, Euler, Castigliano, Tresca, Von Mises, Lamé, 
entre outros. 
 
2.1. Definições 
 
Segundo BOTELHO, Ed Blucher, 2ª Ed, 2015, uma estrutura ou está em 
equilíbrio ou em movimento. As mais estudadas foram as estruturas em 
equilíbrio, as que estão estáticas. Para que isso ocorra, deve-se obedecer às 
seguintes leis da estática: 
 
 
Figura 1 – Condições da estática (BOTELHO, Ed Blucher, 2ª Ed, 2015) 
 
Onde constatamos que o somatório das forças horizontais, forças verticais, 
momento torçor e momento fletor sempre se igualam a zero, para que uma 
estrutura se mantenha em equilíbrio. 
 
Figura 2 – Forças de acordo com os tipos de acoplamento 
(https://slideplayer.com.br/slide/2869456/) 
 
Com esses parâmetros, consegue-se calcular as chamadas Reações de Apoio, 
conforme vistas acima e as mesmas possibilitam diversos outros cálculos, onde 
veremos os mais conhecidos e usados abaixo. 
 
 
Figura 3 – Exemplo das forças estudadas (https://ftp.fm.ifes.edu.br) 
 
Força Normal (N) - É a intensidade da força que atua no sentido perpendicular à 
área. Sempre aparece quando existam esforços externos que tendem a 
comprimir ou tracionar o corpo. 
 
https://slideplayer.com.br/slide/2869456/
https://slideplayer.com.br/slide/2869456/
Força de Cisalhamento (V) - Localiza-se no plano da área e é criada quando 
esforços externos tendem a provocar o deslizamento das duas partes do corpo, 
uma sobre a outra. 
Momento de Torção ou Torque (T) – Se refere ao giro de uma barra retilínea 
quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação 
sobre o eixo longitudinal da barra. 
É a tensão que ocorre em um elemento construtivo ou um prisma mecânico, 
quando aplica-se momento sobre seu eixo longitudinal. Podemtanto ser eixos 
quanto elementos nos quais uma dimensão é predominante a outras duas. 
 
Momento Fletor (M) – Representa a soma algébrica dos momentos relativas à 
seção XY, contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas 
transversalmente ao eixo longitudinal. Isso produz um esforço que tende a curvar 
o eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e compressão na 
estrutura. 
 
Segundo o Professor Luciano Rodrigues, da UERJ, a treliça plana é definida por 
um conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, 
cantoneiras), interligados entre si, sob forma geométrica triangular. Essa ligação 
pode ser feita de diversas formas, entre elas encontra-se os pinos, soldas, 
rebites, parafusos, com o objetivo de tornar essa estrutura em algo rígido, para 
resistir a esforços normais. 
Existem diversas formas de se montar uma treliça, variando o modelo de acordo 
com a necessidade do projeto, dentre elas temos: 
 
Figura 4 – Modelos de Treliças (BOTELHO, Ed Blucher, 2ª Ed, 2015) 
3. METODOLOGIA 
 
Como já foi abordada, a resistência de um material depende da sua capacidade 
de suportar carga sem deformações excessivas ou ruptura. Essa propriedade é 
própria do material e deve ser determinada experimentalmente. 
Antes de darmos início ao levantamento do material a ser utilizado nessa 
construção, há necessidade de se definir as características básicas do galpão: o 
vão, o espaçamento entre os pórticos, comprimento, altura, localização e 
condições do entorno. Todos esses fatores influenciam nos cálculos do peso, a 
carga acidental e a carga do vento. A análise realizada se baseia na verificação 
da força que determinada barra da treliça está sofrendo - através da divisão da 
força (k) pela área da barra - juntamente com a porcentagem de folga e de 
otimização da mesma. Dessa forma conseguimos fazer uma análise mais 
profunda e segura, definindo quais barras podem ser retiradas, o que isso irá 
afetar nas barras que estão ao lado – visto que a força da barra retirada será 
redistribuída - e em toda estrutura, verificando se manterá o equilíbrio. Sendo 
assim, será possível otimizar a treliça, utilizando menos material e 
proporcionando uma economia no projeto. 
 
3.1. Problema Analisado 
 
Nosso estudo vai ser realizado tendo como base as premissas básicas dadas 
pelo Professor, onde teremos que construir uma treliça de galpão para vencer 
um vão de 10 metros. A treliça deve ser feita de aço, com perfis comerciais e 
que devem ser otimizadas para que resistam aos esforços solicitantes. Produzir 
uma treliça que tenha o menor consumo de material, produzindo vazios no seu 
interior. 
O trabalho será realizado em duas etapas, sendo elas: 
 
1ª Etapa - Introdução, Fundamentação teórica, metodologia e modelo 
experimental no software; 
 
2ª Etapa - Artigo completo, contendo resumo, introdução, fundamentação 
teórica, metodologia, análise experimental, modelo desenvolvido em software 
especializado e conclusão; 
Dados: 
• Vão de 10m; 
• Carga de 10kN/m; 
• Concentrada nos nós; 
• Modelo treliçada com barras comerciais; 
• O modelo deve ser otimizado; 
• Tensão de ruptura da chapa = 250Mpa; 
• Fator de segurança = 4. 
 
 
Figura 5 – Proposta de Treliça 
 
 
4. ANÁLISE EXPERIMENTAL 
 
A utilização de modelos digitais para desenvolvimento de cálculos estruturais 
vem sendo cada vez mais aplicado na Engenharia Civil, dessa forma utilizaremos 
um programa de análise estrutural de pórticos planos, para gerar o modelo digital 
e dimensionamento da treliça conforme proposta de trabalho. 
Para gerar o modelo digital utilizamos o programa Ftool que foi escolhido por 
fornecer resultados satisfatórios e ser de fácil programação. 
Todos os resultados fornecidos pelo Ftool foram inseridos em uma planilha de 
apoio, onde com essas duas ferramentas fomos otimizando, calculando todas as 
tensões e dimensionando assim todas as barras da treliça. 
Na primeira etapa do nosso estudo, mantivemos a geometria da treliça conforme 
a proposta dada pelo professor, nesta etapa já realizamos os primeiros estudos 
de otimização. Verificou-se que se aumentando a altura entre o banzo superior 
e inferior da treliça houve uma redução de esforços axiais em algumas barras 
principais, constatou-se que mesmo elevando essa altura a redução dos 
esforços axiais foram tal que conseguiu reduzir a bitola das barras e 
consequentemente tivemos já a primeira otimização na treliça. 
Como na segunda etapa do trabalho o objetivo é a otimização da treliça, 
começamos a realizar vários modelos construtivos, mexendo inclusive com a 
geometria da treliça, visando obter o melhor aproveitamento entre as barras e 
consequente conseguir os menores esforços axiais entre elas. A treliça que 
melhor se comportou para o nosso objetivo final, que é a redução no consumo 
de material foi a treliça em forma de arco, onde conseguimos bons resultados e 
uma treliça bastante funcional. 
Abaixo demostraremos uma tabela comparativa, localização das barras na 
treliça e os diagramas de forças encontrados na 1ª etapa e na 2ª etapa do 
trabalho. 
 
Tabela 1 – Tabela comparativa de resultados (Metade da Estrutura) 
 
Barra 
Tubular Φ
Esforço 
(kN)
Tensão Axial 
(Mpa)
Peso total 
da barra
Barra 
Tubular Φ
Esforço 
(kN)
Tensão Axial 
(Mpa)
Peso total 
da barra
1 4" -25 -19,20 10,22 2.1/2" -51,50 -60,42 13,78
2 4" -42,5 -32,63 10,22 2.1/2" -40,80 -47,87 15,59
3 4" -55 -42,23 10,22 2.1/2" -36,80 -43,17 13,78
4 4" 62,5 47,99 10,22 1" 13,50 52,22 5,46
5 4" -55,9 -42,92 22,89 1" -9,00 -34,82 6,09
6 2" 35 52,54 11,72 1" 1,30 5,03 7,33
7 2" -39,1 -58,69 11,72 2.1/2" 25,00 29,33 20,07
8 2" 25 37,53 11,72 2.1/2" 35,00 41,06 13,38
9 2" 28 42,03 11,72 1" -2,10 -8,12 7,11
10 2" 15 22,52 11,72
11 2" -16,8 -25,22 11,72
12 2" 5 7,51 11,72
13 2" -5,6 -8,41 11,72
14 4" 25 19,20 10,22
15 4" 42,5 32,63 10,22
16 4" 55 42,23 10,22
17 4" 62,5 47,99 10,22
18 4" 65 49,91 10,22
19 2" 0 0,00 10,46
1ª Etapa
Barra
2ª Etapa
Figura 6 – Localização das barras na treliça na 1ª etapa 
 
Figura 7 – Localização das barras na treliça na 2ª etapa 
 
Figura 8 - Forças Normais 1ª Etapa 
 
Figura 9 - Forças Normais 2ª Etapa 
 
Figura 10 - Forças Axiais 1ª Etapa 
 
Figura 11 - Forças Axiais 2ª Etapa 
 
Nos dois modelos de treliça foram utilizadas barras tubulares comerciais, 
conforme pode ser visualizada tabela 1. Na tabela abaixo temos a especificação 
dos tubos utilizados. 
 
1ª Etapa 
Diametro 
Espessura mm Classe Peso Teórico Preto kg/m 
Polegadas mm 
2" 60,3 3,75 Média 5,23 
4" 114,3 3,75 Leve 10,22 
2ª Etapa 
Diametro 
Espessura mm Classe Peso Teórico Preto kg/m 
Polegadas mm 
1" 33,7 2,65 Leve 2,03 
2.1/2" 76,1 3,75 Média 6,69 
Tabela 2 – Especificação dos tubos utilizados nas duas etapas 
 
A partir desses modelos digitais, conseguimos visualizar todos os esforços 
atuantes na estrutura, sendo possível identificar os locais onde ocorrem as 
maiores e menores solicitações de cargas na treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. CONCLUSÃO 
 
O presente estudo comprova a necessidade de analisar os mais variados 
modelos e padrões de treliças, antes de sua aplicação. Onde para cada situação 
e aplicabilidade há um modelo construtivo já estudado. Os projetos na maioria 
das vezes uma das premissas em seu desenvolvimento é sempre o menor custo 
e isto está diretamente relacionado ao consumo de aço. 
Neste estudo a partir de um modelo inicial de treliça, conseguimos definir todos 
os cálculos e como resultado final o consumo de aço para a construção da 
mesma. A partir das mesmas diretrizes iniciais, mudamos a configuração 
geométrica da treliça e conseguimos uma redução no consumo de aço que era 
o objetivo deste estudo. 
Desta forma, o modelo otimizado (2ª etapa) se reduziu em 46,31% o consumo 
de aço comparado como modelo da 1ª etapa. Além do consumo de aço,a 
estrutura otimizada se tornou mais funcional, pois reduziu em 50% o número de 
nós e em 45,95% o número de barras, além de funcional o modelo otimizado se 
tornou de mais fácil fabricação e execução, conforme pode ser verificado na 
tabela abaixo: 
 
Descrição Peso Total (kg) 
Número de 
Nós 
Número de 
Barras 
Treliça 1ª Etapa 427,65 20 37 
Treliça 2ª Etapa 198,06 10 17 
Otimização 46,31% 50% 45,95% 
Tabela 3 – Tabela com os resultados finais da treliça 
 
Mesmo com o objetivo de se obter o menor consumo em aço, a equipe procurou 
realizar o projeto final apenas com 2 tipos de barras, visando se ter um projeto 
de fácil execução e entendimento. Caso fosse utilizado para cada barra, uma 
barra ideal conforme a sua condição, teríamos uma redução ainda maior no 
consumo de aço, cerca de 10% além dos valores do modelo otimizado (2ª etapa). 
 
 
 
 
6. REFÊRENCIAS 
 
• http://www.estruturas.ufpr.br/wp-
content/uploads/resistencia/Apostila/Capitulo1.pdf 
(Acesso 26/03/2020 às 15:36) 
• https://www.docsity.com/pt/tensao-normal-e-tensao-de-cisalhamento/4962643/ 
(Acesso 27/03/2020 às 10:20) 
• http://www.professores.uff.br/salete/wp-
content/uploads/sites/111/2017/08/aula2.pdf 
(Acesso 27/03/2020 às 11:52) 
• https://www.ftool.com.br/Ftool/ - Software de desenvolvimento digital 
• https://www.stoodi.com.br/blog/2018/10/30/resistencia-dos-materiais/ 
(Acesso 28/04/2020 às 10:05) 
• http://www.ufjf.br/mac002/files/2014/08/apostila.pdf 
(Acesso 28/04/2020 às 11:22) 
• HIBBLELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. Ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2018 
• POPOV, E. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Blucher, 1978. 
• BEER, F. P.; JOHNSTON E. R. Resistência dos Materias. 2. Ed. São Paulo: 
McGraw Hill, 1982. 
• HIGDON, A.; OHLSEN, E.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. 
Mecânica dos Materiais, Ed. Guanabara Dois, 3ª Ed. 1981. 
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