Resistência dos Materiais - Unidade 3

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Resistência dos Materiais
Unidade 3
Práticas com torção, flexão e cisalhamento
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria
ANDREW SCHAEDLER
AUTORIA
Andrew Schaedler 
Sou formado em Engenharia Mecânica, com uma experiência 
técnico-profissional na área de Engenharia de Processos e Usinagem 
de Precisão de mais de 8 anos. Passei por empresas como a TDK 
multinacional japonesa, produtora de componentes eletrônicos; John 
Deere, multinacional americana produtora de equipamentos agrícolas 
e hoje sou sócio proprietário de uma metalúrgica especializada em 
usinagem de precisão, atendendo empresas de grande porte do ramo 
automotivo.
Sou apaixonado pelo que faço e adoro transmitir minha experiência 
de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões. Por isso fui 
convidado pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores 
independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de 
muito estudo e trabalho. Conte comigo!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
OBJETIVO:
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova compe-
tência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA:
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou dis-
cutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das últi-
mas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO:
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Conceito de torção ..................................................................................... 10
Conceitos importantes ................................................................................................................10
Torque versus torção ..................................................................................................11
Torção em eixos maciços ....................................................................................... 14
Torção em eixos tubulares ....................................................................................16
Conceito de flexão ...................................................................................... 18
Diagrama de força e momento fletor ............................................................................... 18
Deformação devido à flexão ................................................................................................... 21
Fórmula da flexão ...........................................................................................................................24
Cisalhamento transversal ........................................................................27
Momento fletor .................................................................................................................................27
Entendendo o cisalhamento transversal .......................................................................28
Fórmula do cisalhamento transversal .............................................................................. 31
Tensão de cisalhamento em vigas de seção transversal retangular ........32
Problemas resolvidos envolvendo torção - flexão e 
cisalhamento ............................................................................................... 35
Torção ......................................................................................................................................................35
Exercício 1 ..........................................................................................................................35
Exercício 2 ......................................................................................................................... 36
Flexão.......................................................................................................................................................37
Cisalhamento Transversal ........................................................................................................ 39
7
UNIDADE
03
Resistência dos Materiais
8
INTRODUÇÃO
Nesta unidade vamos continuar aprendendo sobre a área de 
conhecimento de resistência dos materiais.
Começaremos a unidade aprendendo sobre a torção, veremos 
sua definição e entenderemos como atuam seus efeitos sobre os 
materiais expostos a ela.
Vamos compreender o que é a flexão, como ela atua sobre os 
materiais expostos a cargas, especialmente as vigas e iremos definir 
seu conceito e avaliar seus efeitos sobre os materiais que se encontram 
sob sua influência.
Também veremos as consequências do cisalhamento, sua 
definição e como esse fenômeno atua sobre os materiais que estão 
sujeitos a esforços.
Para finalizar, vamos treinar nossos conhecimentos resolvendo 
exercícios práticos sobre os fenômenos da torção, flexão e 
cisalhamento. Iremos utilizar as equações necessárias para mensurar 
esses fenômenos.
Bacana, não é mesmo? Estamos entrando na área prática de 
resistência dos materiais, mantenha o foco e vamos em frente!
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OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 03. Nosso objetivo é auxiliar 
você no desenvolvimento das seguintes competências profissionais até o 
término desta etapa de estudos:
1. Entender e definir o que é torção e quais os seus efeitos físicos 
sobre os materiais.
2. Compreender o fenômeno físico da flexão sobre os materiais, 
definindo seu conceito e avaliando seus efeitos.
3. Identificar as consequências do fenômeno do cisalhamento 
transversal sobre materiais, conceituando o fenômeno e avaliando 
seus efeitos.
4. Resolver problemas envolvendo os fenômenos da torção, flexão 
e cisalhamento de forma combinada, aplicando as equações 
necessárias à mensuração de seus impactos sobre vários tipos de 
materiais, de modo a estabelecer padrões de níveis de segurança 
quanto aos indicadores desses materiais.
Ficou curioso? Está pronto para entrar no aprendizado dessa área 
de conhecimento? Gosto de pensar que cada área de conhecimento que 
dominamos muda a forma como vemos o mundo! Vamos em frente.
Resistência dos Materiais
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Conceito de torção
OBJETIVO:
Neste capítulo iremos compreender os conceitos de torção, 
qual sua relação com o torque e onde temos a influência 
da torção em situações práticas de nosso cotidiano. Vamos 
em frente, ampliando nossos conhecimentos!
Conceitos importantes
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno 
de seu eixo longitudinal. O efeito do torque é uma preocupação sempre 
presente em projetos de eixos ou eixos de acionamento utilizados em 
veículos, máquinas em geral e outras aplicações. Podemos ilustrar 
fisicamente o que acontece quando um torque é aplicado a um eixo 
circular considerando que esse seja feito de um material com alto grau de 
deformação, por exemplo uma barra de borracha.
Figura 1 - Exemplo de barra onde um torque é aplicado
Fonte: Adaptado de HIBBELER (2014, p. 125).
Na figura 1 podemos ver a situação de uma barra antes e depois da 
aplicação de um torque. É possível visualizar que as linhas longitudinais da 
grade marcada na barra tendem a distorcer após a aplicação do torque, 
figura 1 (b). Observando essas distorções, é possívelver que os círculos 
continuam a ser círculos, porem as linhas longitudinais se deformam 
lembrando uma hélice. As linhas longitudinais interceptam os círculos 
Resistência dos Materiais
11
formando ângulos iguais. Outro ponto interessante a observar é que as 
faces das pontas da barra continuam planas. Devido a essa observação, 
podemos chegar à conclusão que se a rotação da barra for pequena ela 
irá manter seu comprimento e diâmetro originais antes da aplicação do 
torque.
Para entendermos o que é a torção, vamos analisar uma barra 
rígida, engastada em uma de suas extremidades e torcida na outra 
extremidade por um torque (momento de torção) T = Fd aplicado em um 
plano perpendicular ao eixo da barra. Agora essa barra está em torção, 
como podemos ver na figura 2. 
Figura 2 - Exemplo de barra em torção
Fonte: Adaptado de Nash (2014, p. 62).
Esse momento de torção, também poderia atuar ao longo do 
comprimento de um eixo. Esse esforço é definido, para qualquer seção ao 
longo da barra, como a soma algébrica dos momentos aplicados que se 
situam em um dos lados da seção em análise. A escolha de um dos lados 
é arbitrária e conduz ao mesmo resultado. 
Torque versus torção
É importante termos bem definidos os conceitos de torque e torção 
para compreender o que é a torção e como ela atua nos materiais.
 • Torque: o torque trata-se de um momento que irá tentar torcer 
uma peça em torno do seu eixo longitudinal. O efeito do torque 
é bastante analisado em projeto de eixos, por exemplo, eixos de 
Resistência dos Materiais
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acionamento em veículos ou máquinas. É importante termos bem 
claro o conceito de que o torque é um esforço que irá tender a 
deformar as peças ao longo de seu eixo longitudinal e também 
que o torque é um momento.
Momento = Força x Distância
 • Torção é a deformação por efeito do torque. 
A torção está diretamente relacionada com o giro de uma barra que 
está sobre a atuação de momentos com vetores axiais ao eixo longitudinal 
dessa barra (torque = T). Isso significa que ocorre a rotação das seções 
sobre esse eixo. Quando temos uma peça sob ação de um torque e em 
estado de equilíbrio, podemos observar os seguintes efeitos:
Existência de um deslocamento angular (θ) de uma seção transversal 
a outra, conforme observamos a figura 1.
Existência de tensões de cisalhamento nas seções transversais da 
barra. 
Quando um torque é aplicado a um eixo, ele cria um torque interno 
no interior do eixo. Agora vamos ver a equação que relaciona esse torque 
interno com a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal 
de um eixo ou tubo circular.
Quando tivermos um material linear e elástico, sabemos que a lei 
de Hooke se aplica a ele, τ = Gy. Assim, a deformação por cisalhamento 
terá uma variação linear. Como consequência, também terá uma variação 
linear da tensão de cisalhamento correspondente ao longo do sentido 
radial na seção transversal. Dessa forma, na deformação por cisalhamento 
para um eixo maciço, a tensão τ irá variar de zero na linha central do eixo 
longitudinal a um valor máximo τmax na superfície externa. Podemos 
ver essa variação na figura 2, nas faces anteriores de vários elementos 
selecionados localizados em uma posição radial intermediária r e no raio 
externo c. 
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Figura 3 - Exemplo de como a tensão de cisalhamento varia linearmente 
ao longo de cada linha radial da seção transversal
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 127).
Utilizando a lei de Hooke (τ = Gy) e pela Equação γ = (/c), podemos 
escrever: τ = (ρ/c) τmax
A equação apresentada demonstra a distribuição da tensão de 
cisalhamento em função da posição radial r da peça em análise. Utilizando 
essa equação como base, iremos aplicar agora uma condição que exige 
que o torque produzido pela distribuição de tensão por toda a seção 
transversal seja equivalente ao torque interno resultante T na seção. 
Essa situação irá deixar o eixo em equilíbrio. Assim, veremos que cada 
elemento de área dA, localizado em p, está sujeito a uma força dF = τdA. O 
torque produzido por essa força é dT = ρ(τdA). Portanto, para toda a seção 
transversal, temos: τmax = Tc/J
Onde:
τmax = tensão de cisalhamento máxima no eixo que ocorre na 
superfície externa.
T = torque interno resultante que age na seção transversal. 
J = momento polar de inércia da área da seção transversal.
c = raio externo do eixo.
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Observando as duas equações apresentadas também podemos 
expressar: τ = Tρ/J
As duas equações citadas são chamadas de fórmula da torção. 
Importante lembrarmos que ela só é utilizada quando o eixo for circular 
e o material for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear 
elástica, pois a dedução da fórmula tem como base o fato da tensão de 
cisalhamento ser proporcional à deformação por cisalhamento. 
Torção em eixos maciços
Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, o momento 
polar de inércia J pode ser determinado por meio de um elemento de área 
na forma de um anel diferencial de espessura d θ e circunferência 2πr. Veja 
a figura 4:
Figura 4 - Exemplo de secção em eixo maciço sob efeito de torção
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 128).
Assim podemos expressar:
J = π/2 c4
Onde:
J = momento polar de inércia da área da seção transversal.
c = raio externo do eixo.
π = O número π (PI) representa o valor da razão entre a circunferência 
de qualquer círculo e seu diâmetro. Seu valor para efeito de cálculo é 3,14.
Observe que J é uma propriedade geométrica da área circular e é 
sempre positivo. As unidades de medida comuns para J são mm4 ou pol4. 
Resistência dos Materiais
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Vimos que a tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo de 
cada linha radial da seção transversal do eixo. Ao isolarmos um elemento 
de volume do material na seção transversal, tensões de cisalhamento 
iguais também devem agir sobre quatro de suas faces adjacentes. 
Figura 5 - Exemplo de secção em eixo maciço sob efeito de torção
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 128).
Dessa maneira, o torque interno T, além de desenvolver uma 
distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada linha 
radial no plano da área de seção transversal, também desenvolve uma 
distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de um plano axial. 
Figura 6 - Exemplo de secção em eixo maciço sob efeito de torção, onde a tensão de 
cisalhamento varia linearmente ao longo de cada linha radial da seção transversal. 
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 128).
É interessante salientarmos que, devido a essa distribuição axial 
da tensão de cisalhamento, eixos feitos de madeira tendem a rachar ao 
longo do plano axial quando sujeitos a um torque excessivo.
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Figura 7 - Rachadura em eixo de madeira submetido a torção
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 128).
Isso acontece devido à madeira ser um material anisotrópico. A 
resistência ao cisalhamento desses materiais atua de forma paralela a seus 
grãos ou fibras. Assim, ela fica direcionada ao longo da linha central do eixo, 
dessa forma a resistência ao cisalhamento é muito menor do que a resistência 
perpendicular às fibras, direcionada no plano da seção transversal. 
Torção em eixos tubulares
Na situação onde um eixo possui uma seção transversal tubular, 
com um raio interno ci e raio externo c0, então, será possível determinarmos 
seu momento polar de inércia da seguinte forma: J = π/2 (c0
4 - c 1
4 )
Da mesma forma que no eixo maciço, a tensão de cisalhamento 
distribuída pela área da seção transversal do tubo varia linearmente ao 
longo de qualquer linha radial. Além do mais, a tensão de cisalhamento 
varia ao longo de um plano axial dessa mesma maneira. A figura 8 mostra 
exemplos da tensão de cisalhamento atuando sobre elementos de 
volume de um eixo tubular.
Figura 8 - Exemplo de secção em eixo tubular sob efeito de torção, onde a tensão de 
cisalhamentovaria linearmente ao longo de cada linha radial da seção
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 129).
Resistência dos Materiais
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Bastante similar ao caso do eixo maciço, não é mesmo? Apenas 
temos que prestar atenção na fórmula correta para a subtração do volume 
interno do eixo.
RESUMINDO:
E então? Aprendeu tudo o que lhe ensinamos até aqui? 
Nesse capítulo falamos sobre a torção e seus efeitos em 
eixos e tubos. Vimos que na situação onde um eixo com 
seção transversal circular há um torque atuando nele. A 
seção transversal permanece plana, porém as linhas radiais 
irão girar. Isso irá causar uma deformação por cisalhamento 
no interior do material. Essa deformação irá variar de forma 
linear, ao longo de qualquer linha radial, possuindo o valor 
zero na linha central do eixo a um valor máximo em seu 
contorno externo. Também aprendemos que, quando 
um material for homogêneo com comportamento linear 
elástico, com base na lei de Hooke teremos a tensão de 
cisalhamento ao longo de qualquer linha radial do eixo 
variando de forma linear. Por fim chegamos à fórmula da 
torção. Essa fórmula tem como base o requisito de que o 
torque resultante na seção transversal seja igual ao torque 
produzido pela distribuição linear da tensão de cisalhamento 
em torno da linha central longitudinal do eixo. É necessário 
que o eixo ou tubo tenha seção transversal circular e que 
o material seja homogêneo e de comportamento linear 
elástico. Bastante coisa, não é mesmo? A área de resistência 
dos materiais realmente possui bastante conteúdo e muita 
física. Vamos em frente ampliando nossos conhecimentos!
Resistência dos Materiais
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Conceito de flexão
OBJETIVO:
Neste capítulo iremos estudar a flexão. Veremos como a 
carga em elementos retos de seção prismática, também 
chamados de vigas, atuam ao longo de toda a sua extensão. 
Essa carga faz com que o material tenda a se deformar. 
Vamos agora entender como ela atua e como podemos 
calcular a deformação causada por essa carga.
Diagrama de força e momento fletor
Vigas e eixos são importantes componentes estruturais e mecânicos 
usados em diversos projetos de engenharia. Vamos entender agora como 
a tensão atua nesses elementos por conta da flexão. 
Peças finas como barras quando estão em uma situação onde 
suportam peso são chamadas de vigas. Podemos descrever as vigas 
como barras longas e retas com a mesma área transversal ao longo de 
toda sua extensão. Podemos classificar as vigas na forma como elas são 
apoiadas, veja a figura 9.
Figura 9 - Exemplo de classificação de vigas
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 181).
Resistência dos Materiais
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As vigas com certeza estão entre as mais importantes de todos os 
elementos estruturais. Vamos utilizar o exemplo de uma viga que é um dos 
elementos utilizados para suportar o piso de um edifício, a plataforma de 
uma ponte ou a asa de um avião. Também podemos citar como exemplos 
o eixo de um automóvel ou a lança de um guindaste.
Devido à carga que atua sobre as vigas, elas desenvolvem uma 
força de cisalhamento interna, também chamada de força cortante e 
momento fletor que variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga. 
Para projetar uma viga corretamente, em primeiro lugar, é necessário 
determinar a força de cisalhamento e o momento máximo que age na viga. 
Podemos determinar esses valores expressando a força de cisalhamento 
V e o momento fletor M em função de uma posição qualquer x ao longo 
do eixo da viga. Assim, essas funções de cisalhamento e momento fletor 
podem ser representadas em gráficos. Esses gráficos chamamos de 
diagramas de força cortante e momento fletor. Nesses gráficos podemos 
identificar os valores máximos tanto de V quanto de M.
Os diagramas de força cortante e momento fletor, possibilitam que 
sejam extraídas informações detalhadas sobre a variação do cisalhamento 
e do momento fletor ao longo da vida. Engenheiros e projetistas utilizam 
esses diagramas para determinar onde será colocada estrutura de 
reforço, por exemplo. Quando for preciso determinar V e M em função 
de x ao longo da viga, será preciso identificar a seção ou corte imaginário. 
Esse corte terá uma distância x em relação à extremidade da viga, então 
se formula V e M em termos de x. Assim a escolha da origem e direção 
positivas fica a encargo do projetista. Porém o mais comum é a origem 
estar localizada na extremidade esquerda da viga e a direção positiva ser 
da esquerda para a direita.
Resistência dos Materiais
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Figura 10 - Exemplo de viga com carga aplicada
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 182).
Sendo assim, as funções de cisalhamento e momento fletor devem 
ser calculadas para cada região da viga. Como vemos na figura 2 as 
coordenadas x1, x2 e x3 terão que ser usadas para descrever a variação de 
V e M em todo o comprimento da viga. Essas coordenadas serão válidas 
somente dentro das regiões de A a B para x1, de B a C para x2 e de C a D 
para e x3.
Para aprendermos o método de encontrar o cisalhamento, tomamos 
o momento em função de x e construímos um gráfico dos diagramas de 
força cortante e momento fletor. Precisamos estabelecer uma convenção 
de sinais. Assim, vamos definir a força cortante interna e momento fletor 
como “positivos” e “negativos”. Embora a escolha de uma convenção de 
sinal seja arbitrária, esta convenção é frequentemente utilizada na prática 
da engenharia. 
Figura 11 - Exemplo de convenção de sinais para a viga
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 182).
Resistência dos Materiais
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Na figura 11, as direções positivas são: a carga distribuída age para 
baixo na viga. A força cortante interna irá ocasionar uma rotação em 
sentido horário na viga e o momento interno causa compressão nas fibras 
superiores do segmento ocasionando uma flexão que irá reter água. 
Carregamentos opostos a esses são considerados negativos.
Deformação devido à flexão
Agora vamos ver as deformações que ocorrem quando uma viga, 
feita de um material homogêneo e área de secção simétrica, é submetida à 
flexão. Quando utilizamos como exemplo um material com alta capacidade 
de deformação, como a borracha, podemos visualizar fisicamente o que 
acontece quando uma viga reta e com secção prismática é submetido a 
um momento fletor. Como exemplo, vamos utilizar uma barra reta, que 
ainda não sofreu deformação. Essa barra possui uma seção transversal 
quadrada e marcada por uma grade de linhas longitudinais e transversais 
conforme a figura 12.
Figura 12 - Exemplo de barra reta antes da deformação
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 201).
Quando um momento fletor é aplicado, as linhas da grade tendem 
a se distorcer seguindo um padrão observado na figura 13. No exemplo a 
seguir é possível visualizar que as linhas longitudinais ficam curvas e as 
linhas transversais verticais continuam retas, mas sofrem rotação. 
Resistência dos Materiais
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Figura 13 - Exemplo de barra reta após deformação
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 201).
As barras deformáveis sujeitas a um momento fletor possuem 
um comportamento de forma que irão provocar um alongamento do 
material na parte inferior da barra. Já na parte superior o material irá sofre 
compressão. A consequência desse comportamento, entre a região 
inferior e superior é que irá existir uma superfície, chamada de superfície 
neutra como na figura 6. Nessa superfície não ocorrerá mudança nos 
comprimentos das fibras longitudinais do material.
Figura 14 - Exemplo de barra reta após deformação
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 201).
Analisando e refletindo sobre as observações acima, podemos 
adotar três premissas em relação ao modo como a tensão deforma o 
material. 
Resistência dos Materiais
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 • Premissa 1: o eixo longitudinal x que se localiza no interior da 
superfície neutra (figura 14) não irá sofrer nenhuma mudança no 
comprimento. O que iremos observar é que o momento tenderá a 
deformar a viga de forma que essa linha se tornauma curva.
 • Premissa 2: todas as seções transversais da viga permanecem 
planas e perpendiculares ao eixo longitudinal durante a 
deformação. 
 • Premissa 3: as deformações da seção transversal dentro de seu 
próprio plano serão desprezadas. 
Em particular, o eixo z, que se encontra no plano da seção transversal 
e em torno do qual a seção transversal gira, é denominado eixo neutro 7.
Figura 15 - Exemplo de barra antes e após deformação e demonstração de seus eixos
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 202).
Para entendermos como essa distorção deforma o material, 
vamos isolar um segmento da viga localizado à distância x ao longo do 
comprimento da viga com espessura ∆x antes da deformação, podemos 
ver esse segmento isolado na figura 15. Na figura 16, temos uma visão 
lateral desse elemento, nas situações antes e após a deformação. 
Resistência dos Materiais
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Figura 16 - Vista lateral do segmento retirado da viga, antes e após a deformação
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 202).
Perceba que qualquer segmento de reta ∆x, localizado na superfície 
neutra não sofre alterações em seu comprimento, já os segmentos 
localizados na reta ∆s acima da superfície neutra, irão sofrer contração e 
se tornará ∆s após a deformação. A deformação normal ao longo de ∆s é 
determinada pela equação: ∈ = -y/ρ
Essa análise nos mostra que a deformação normal longitudinal de 
qualquer elemento no interior de uma viga irá depender de sua localização 
y na seção transversal e do raio de curvatura do eixo longitudinal da viga 
no ponto. 
Fórmula da flexão
Agora vamos aprender a equação que relaciona a distribuição de 
tensão longitudinal em uma viga e o momento fletor interno que atua na 
seção transversal da viga. Vamos assumir a situação onde o material se 
comporta de uma maneira linear elástica, de modo que a lei de Hooke se 
aplica, sendo ela (σ = E∈). Sendo assim a variação linear da deformação 
normal será a consequência da variação linear da tensão normal, conforme 
vemos na figura 17. 
Resistência dos Materiais
25
Figura 17 - Vista lateral de segmento de viga sob tensão
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 204).
Logo, assim como a variação da deformação normal, σ variará de 
zero no eixo neutro do elemento até um valor máximo de θσmáx, à distância 
c mais afastada do eixo neutro, como visualizado na figura 17.
Na expressão a seguir, o momento de inércia da área da seção 
transversal, calculada em torno do eixo neutro é representado pela letra I. 
Assim temos que o σmáx será: θσmáx = Mc/I
Onde:
σmáx = tensão normal máxima que irá ocorrer em um ponto na área 
da seção transversal mais afastado do eixo neutro.
M = momento interno resultante.
I = momento de inércia da área da seção transversal calculada em 
torno do eixo neutro.
c = distância perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado 
do eixo neutro onde σmáx atua. 
Visto que σmáx /c = -σ/y, a tensão normal em uma distância 
intermediária y pode ser representada por uma equação semelhante à 
apresentada acima: σmáx = -My/I
Observe que o sinal negativo é necessário, já que está de acordo 
com os eixos x, y e z definidos, σ deve ser negativa (compressão), uma vez 
que age na direção negativa de x. As duas equações apresentadas são 
denominadas fórmula da flexão. 
Resistência dos Materiais
26
Essa fórmula é usada para determinar a tensão normal em um 
elemento reto com seção transversal simétrica em relação a um eixo e 
momento aplicado perpendicularmente (90°) a esse mesmo eixo. Embora 
tenhamos considerado que o elemento seja prismático, na maioria dos 
projetos de engenharia também podemos usar a fórmula da flexão para 
determinar a tensão normal em elementos que tenham ligeira conicidade. 
Por exemplo, por análise matemática baseada na teoria da elasticidade, 
um elemento com seção transversal retangular e comprimento com 15° 
de conicidade terá uma tensão normal máxima real aproximadamente 
5,4% menor que a calculada pela fórmula da flexão. Sendo assim, uma 
estimativa aceitável para análise de projetos.
RESUMINDO:
Conseguiu aprender todo o conteúdo? Muito interessante 
não é mesmo? Passamos por baixo de vigas quase todos 
os dias e não nos damos conta da quantidade de estudo e 
análise que elas necessitam. Nessa unidade aprendemos 
que as vigas são elementos longos e retos que suportam 
cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal. Elas são 
classificadas de acordo com o modo como são apoiadas. 
Por exemplo, simplesmente apoiadas, em balanço ou 
apoiadas com uma extremidade em balanço. A seção 
transversal de uma viga reta permanece plana quando a 
viga se deforma por flexão. Esse fato provoca a tensão de 
tração de um lado da viga (normalmente o lado inferior) 
e a tensão de compressão do outro lado (normalmente 
o lado superior). Sempre importante lembrarmos que a 
deformação longitudinal varia linearmente, iniciando em 
zero no eixo neutro, até uma tensão máxima nas fibras 
externas da viga. Vimos também que a fórmula da flexão 
se baseia no fato de que o momento resultante na seção 
transversal é igual ao momento produzido pela distribuição 
linear da tensão normal em torno do eixo neutro. Também 
aprendemos sobre a deformação elástica, onde o corpo 
que sofreu uma variação em seu tamanho retorna ao 
tamanho inicial assim que a força atuante cessar. Muito 
interessante não é mesmo? Vamos em frente!
Resistência dos Materiais
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Cisalhamento transversal
OBJETIVO:
Neste capítulo iremos aprender como atua o cisalhamento 
transversal em uma viga. Começaremos vendo como as 
tensões do momento fletor em uma viga trabalham. Em 
seguida iremos compreender o cisalhamento transversal 
e sua fórmula matemática. Para finalizar, veremos o 
cisalhamento transversal em uma seção retangular e sua 
fórmula matemática. Pronto para entender mais essa parte 
da área de conhecimento de resistência dos materiais? 
Então vamos em frente!
Momento fletor
Para entendermos como as tensões e o momento fletor atuam 
em uma viga é interessante imaginar que uma viga seja formada por 
um número infinito de fibras longitudinais. Considera-se que cada fibra 
longitudinal atue independentemente de todas as outras fibras. 
Quando analisamos o exemplo de viga na figura 18, podemos 
observar que ela fletirá para baixo e as fibras da parte inferior da viga 
sofrerão um alongamento, enquanto as fibras da parte superior serão 
encurtadas. Essas variações no comprimento das fibras dão origem a 
tensões nas mesmas. 
Figura 18 - Exemplo de viga simples sob efeito de uma carga P
Fonte: Adaptado de Nash (2014, p. 101).
Resistência dos Materiais
28
As fibras que são alongadas estão submetidas a tensões de tração 
na direção do eixo longitudinal da viga, enquanto as que são encurtadas 
estão submetidos a tensões de compressão. (NASH, 2014).
Superfície neutra 
Existe sempre um plano na viga que contém fibras que não sofrem 
nem alongamento nem encurtamento e, portanto, não estão submetidas 
à tensão de tração ou de compressão. Essa superfície é chamada de 
superfície neutra da viga. A interseção da superfície neutra com as seções 
transversais da viga, perpendiculares a seu eixo longitudinal, é chamada 
de linha neutra. Todas as fibras que se situam em um dos lados da linha 
neutra estão submetidas à tração, enquanto aquelas situadas do lado 
oposto estão submetidas à compressão. 
Momento fletor 
A soma algébrica dos momentos das forças externas de qualquer 
um dos lados de uma determinada seção transversal da viga, em relação 
a essa seção, é chamada de momento fletor da seção. 
Entendendo o cisalhamento transversal
Já aprendemos que, de uma forma geral, as vigas suportam cargas 
de cisalhamento e também de momento fletor. O cisalhamento V é o 
resultado de uma distribuição de tensão de cisalhamento transversal 
que atua na seção transversal da viga, figura 19. Devido à propriedade 
complementar de cisalhamento, observe que tensões de cisalhamento 
longitudinaisassociadas também irão atuar ao longo dos planos 
longitudinais da viga. 
Resistência dos Materiais
29
Figura 19 - Elemento retirado de um ponto interno da seção transversal 
está sujeito a tensões de cisalhamento transversal e longitudinal
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 262,).
Para entendermos a atuação em planos longitudinais dessa tensão 
de cisalhamento de uma maneira física, vamos imaginar que uma viga é 
composta por três tábuas. 
Se as superfícies superior e inferior de cada tábua forem lisas e as 
tábuas estiverem soltas, a aplicação da carga P fará com que as tábuas 
deslizem uma sobre a outra e, assim, a viga sofrerá a deflexão, podemos 
observar essa deflexão na figura 20. 
Figura 20 - Três tabuas soltas sob a ação de uma carga P
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 262).
Agora, na situação em que as tábuas estiverem unidas, as tensões 
de cisalhamento longitudinais entre elas impedirão que uma deslize sobre 
a outra e, dessa forma, a viga agirá como um elemento único.
Resistência dos Materiais
30
Figura 21 - Três tabuas unidas sob a ação de uma carga P
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 262).
Devido à tensão de cisalhamento dessa situação, iremos observar 
tensões de deformação, que tenderão a distorcer a seção transversal de 
uma maneira bastante complexa. 
Para entendemos melhor essa situação, vamos analisar uma barra 
feita de um material com alto grau de deformação e marcado com uma 
grade de linhas horizontais e verticais conforme a figura 22. 
Figura 22 - Barra com grade de linhas horizontais e verticais, antes da deformação
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 263).
Quando é aplicado um cisalhamento V, as linhas da grade irão se 
deformar de acordo com o padrão visível na figura 23. A distribuição não 
uniforme da deformação por cisalhamento nas secções transversais da 
barra fará com que ela se deforme perdendo sua planicidade.
Figura 23 - Barra com grade de linhas horizontais e verticais, após a deformação
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 263).
Resistência dos Materiais
31
É importante salientar que no desenvolvimento da fórmula da 
flexão, consideramos que as seções transversais devem permanecer 
planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da viga após a deformação. 
Embora essa regra não seja cumprida quando a viga é submetida a 
cisalhamento e também a flexão, normalmente, podemos considerar que 
a distorção da seção transversal, como vimos acima, é pequena a ponto 
de ser desprezada. Essa situação é bastante realista para os casos de 
uma viga esbelta. Uma viga esbelta é uma viga que possui sua largura 
pequena em comparação com seu comprimento. 
Fórmula do cisalhamento transversal
A distribuição da deformação por cisalhamento ao longo da largura 
de uma viga, no caso do cisalhamento transversal, não pode ser expressa 
facilmente em termos matemáticos, pois ela não é uniforme nem linear 
para seções transversais. 
A equação a seguir é conhecida como fórmula do cisalhamento. 
Temos: τ = VQ/It
Onde:
τ = tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à 
distância y’ do eixo neutro (figura 24). Consideramos que essa tensão é 
constante e, portanto, média por toda a largura t do elemento.
V = força de cisalhamento interna resultante, determinada pelo 
método das seções e pelas equações de equilíbrio.
I = momento de inércia da área da seção transversal inteira, calculada 
em torno do eixo neutro.
t = largura da área da seção transversal do elemento, medida no 
ponto onde t deve ser determinada.
Q = ∫ A'ydA' = y θA', onde A’ é a porção superior (ou inferior) da área da 
seção transversal do elemento, definido pela seção onde t é medida e y’ é 
a distância até o centro de A’, medida em relação ao eixo neutro.
Resistência dos Materiais
32
Para entendermos melhor as variáveis da equação vamos analisar 
a figura a seguir.
Figura 24 - Seção de uma viga
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 264).
Visto que a equação da fórmula do cisalhamento é derivada 
indiretamente da fórmula da flexão, é necessário que o material se 
comporte de uma maneira linear elástica e tenha o mesmo módulo de 
elasticidade quando estiver sob tração e sob compressão. 
Tensão de cisalhamento em vigas de seção 
transversal retangular
Para colocarmos em prática o método de aplicação da fórmula 
de cisalhamento e também discutir algumas de suas limitações, vamos 
aprender agora as distribuições de tensão de cisalhamento em vigas 
com seção transversal retangular. Considere que a viga tem uma seção 
transversal retangular de largura b e altura h. 
Figura 25 - Viga de seção retangular
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 265).
Resistência dos Materiais
33
A distribuição da tensão de cisalhamento pela seção transversal 
pode ser determinada pelo cálculo da tensão de cisalhamento a uma 
altura qualquer de y em relação ao eixo neutro, como vemos na figura 26. 
Figura 26 - Viga de seção retangular
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 265).
Aqui, a área sombreada colorida escura A’, será usada para calcular .
Assim temos a fórmula de cisalhamento transversal em uma seção 
quadrada, como:
τ = 6V/bh3 (h2/4 - y2)
Esse resultado indica que a distribuição da tensão de cisalhamento 
na seção transversal é parabólica. Como podemos visualizar na figura 27.
Figura 27 - Viga de seção retangular demonstrando a distribuição parabólico do 
cisalhamento
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 265).
Resistência dos Materiais
34
A intensidade varia de zero nas partes superior e inferior, y = ±h/2, 
até um valor máximo no eixo neutro, y = 0. 
RESUMINDO:
Gostou do conteúdo aprendido até aqui? Nesse capítulo 
aprendemos que as forças de cisalhamento em vigas 
provocam distribuição não linear da deformação por 
cisalhamento na seção transversal ocasionando uma 
distorção na viga. Devido à propriedade complementar 
da tensão de cisalhamento, a tensão de cisalhamento 
desenvolvida em uma viga age na seção transversal e 
também em planos longitudinais. Vimos que a fórmula 
do cisalhamento é usada para elementos prismáticos 
retos feitos de material homogêneo e que tenham 
comportamento linear elástico. Além disso, a força de 
cisalhamento interna resultante deve estar direcionada 
ao longo de um eixo de simetria para a área da seção 
transversal. Para uma viga com seção transversal retangular, 
a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a 
altura. A tensão de cisalhamento máxima ocorre ao longo 
do eixo neutro. Muito interessante não é mesmo? Seguimos 
em frente aprendendo mais sobre essa fascinante área de 
conhecimento que é a resistência dos materiais!
Resistência dos Materiais
35
Problemas resolvidos envolvendo torção - 
flexão e cisalhamento 
OBJETIVO:
Neste capítulo iremos analisar quatro exercícios resolvidos 
e comentados sobre torção, flexão e cisalhamento 
transversal. Dessa forma acreditamos que iremos fixar e 
compreender a utilização prática de nossos estudos sobre 
resistência dos materiais. Vamos em frente ampliando e 
consolidando nosso aprendizado.
Torção
Para fixarmos o conteúdo aprendido sobre torsão, vamos agora 
analisar um exercício resolvido sobre o tema.
Exercício 1
A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em 
gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostra a figura 28. 
Determine o torque interno resultante na seção.
Valor de π = 3,14.
Figura 28 - Exemplo de barra para exercício resolvido
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, pg. 130).
Resistência dos Materiais
36
SOLUÇÃO:
O momento polar de inércia para a área da seção transversal é:
J = π/2 (50mm)θ4 = 9,82 x 106 θmm4
Aplicando a fórmula da torção com τmáx = 56MPa = 56N/mm2, como 
podemos observar na figura 27, temos:
τmáx = Tc/J
56N/mm2 = T(50mm)/9,82 x 106 mm4 = 11,0 KN.m
Assim chegamos no valor do torque.
Exercício 2
O tubo é feito de bronze C86100 e tem seção transversal retangular, 
como mostrado na figura 29. Se for submetido aos dois torques, determinea tensão de cisalhamento média no tubo nos pontos A e B.
Figura 29 - Modelo de tubo para exercício resolvido de torção
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 160).
SOLUÇÃO: Tensão de cisalhamento média: se tomarmos as seções 
do tubo nos pontos A e B. Conforme conseguimos ver na figura 29, o 
torque interno é 35 N · m. Como podemos ver na figura 30, a área Am é:
Am = (0,035m)(0,057) = 0,002m2
Resistência dos Materiais
37
Figura 30 - Modelo de seção do tubo para exercício resolvido de torção
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, pg. 160).
Quando utilizamos a equação da tensão para o ponto A, ta = 5mm, 
temos que:
τA =T/2tAm = 35 N . m / 2(0,005m)(0,002m2) = 1,75MPa
E para o ponto B, tb = 3 mm, temos que:
τB = T/2tAm = 35 N . m / 2(0,003m)(0,002m2) = 2,92MPa
Assim temos os resultados nos pontos A e B.
Flexão
Para aprendermos e fixarmos o conteúdo sobre flexão, vamos 
analisar um exercício resolvido a seguir.
Represente graficamente os diagramas de força cortante e 
momento fletor para a viga mostrada na figura 31.
Figura 31 - Modelo de seção de viga para exercício resolvido de flexão
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 183).
SOLUÇÃO: Reações nos apoios: as reações nos apoios foram 
determinadas como mostra a figura 32.
Resistência dos Materiais
38
Figura 32 - Reações de apoio em viga para exercício resolvido de flexão.
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 183).
Funções de cisalhamento e momento fletor: A viga foi seccionada 
a uma distância arbitrária x do apoio A, estendendo-se pelo interior da 
região AB; o diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado 
na figura 33. 
Figura 33 - Diagrama de corpo livre em viga para exercício resolvido de flexão
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 183).
As ações das incógnitas V e M são indicadas no sentido positivo 
na face direita do segmento de acordo com a convenção de sinal pré-
estabelecida.
Aplicando as equações de equilíbrio, temos:
Resistência dos Materiais
39
+ ↑ ΣFy = 0;    V = P/2    (1)
↓ + ΣM = 0;    M = P/2 x   (2)
Um diagrama de corpo livre para um segmento esquerdo da viga 
que se estende até a distância x no interior da região BC é mostrado na 
figura 34.
Figura 34 - Segmento de viga, região BC, para exercício resolvido de flexão
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 183).
Como sempre, as ações de V e M são mostradas no sentido positivo. 
Por consequência, temos:
O diagrama de força cortante é uma representação gráfica das 
equações 1 e 3 e o diagrama de momento fletor é uma representação 
gráfica das equações 2 e 4 (figura 31).
Assim temos a representação do diagrama de corpo livre do 
exercício demonstrado.
Cisalhamento Transversal
Vamos agora analisar um exercício resolvido sobre cisalhamento 
transversal. A viga mostrada na figura 35 é feita de madeira e está sujeita 
a uma força de cisalhamento (cortante) vertical interna resultante V = 3 kN. 
Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P.
Resistência dos Materiais
40
Figura 35 - Modelo de viga para exemplo de exercício resolvido
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 269).
SOLUÇÃO: Propriedades da seção. O momento de inércia da área 
da seção transversal calculado em torno do eixo neutro é:
I = 1/12 bh3 = 1/12 (100mm) (125mm)2 = 16,28 x 106 mm4
Traçamos na seção uma reta horizontal que passa pelo ponto P e a 
área parcial A’ corresponde à porção sombreada na figura 36. 
Figura 36 - Modelo de viga para exemplo de exercício resolvido
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 269).
Assim temos:
Q = yA' = [12,5mm + 1/2 (50mm)] (50mm) (100mm) = 18,75mm x 104 θmm3
Resistência dos Materiais
41
Tensão de cisalhamento: a força de cisalhamento (ou força cortante) 
na seção é V = 3 kN. Aplicando a fórmula do cisalhamento, ficaria:
Visto que τρ contribui para V, ela age para baixo em P na seção 
transversal.
RESUMINDO:
Interessante, não é mesmo? Bastante matemática também, 
não é? A matemática e a física andam lado a lado com o 
estudo de resistência dos materiais. Afinal de contas é 
através da linguagem matemática e conceitos físicos que 
chegamos aos resultados procurados e respondemos 
perguntas como: essa viga irá suportar o peso e esforço 
exigido para a construção em questão? Nesse capítulo 
aprendemos a calcular o torque de uma barra que está sujeita 
à torção. Também vimos como representar graficamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor para a viga 
onde temos um peso atuando. E encontramos a tensão 
de cisalhamento na viga em um ponto P. É possível ver a 
importância e utilidade destes conceitos não é mesmo? 
Vamos seguir em frente aprendendo mais sobre a área de 
resistência dos materiais.
Resistência dos Materiais
42
REFERÊNCIAS
ALLEN III, J. H. Mechanics of Materials for Dummies. Indianapolis: 
Editora For Dummies, 2011.
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr. R. Resistência dos materiais. São Paulo: 
Makron Books, 1996.
BUENO, C.; VENTAVOLI, F. Princípios de Resistência dos Materiais. 
Publicação digital: livro eletrônico, edição kindle, 2016.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 
2014.
MARK, J.; WAQAR, A. Surface Engineered Surgical Tools and 
Medical Devices. São Paulo: Springer, 2007. 
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. São 
Paulo: Editora Érica, 2002.
NASH,W.; POTTER, M. C. Resistência dos Materiais. São Paulo: 
Bookman, 2014.
PINHEIRO, A. C. F. B.; CRIVELARO, M. Fundamentos de resistência 
dos Materiais. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
Resistência dos Materiais
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	Conceito de torção
	Conceitos importantes
	Torque versus torção
	Torção em eixos maciços
	Torção em eixos tubulares
	Conceito de flexão
	Diagrama de força e momento fletor
	Deformação devido à flexão
	Fórmula da flexão
	Cisalhamento transversal
	Momento fletor
	Entendendo o cisalhamento transversal
	Fórmula do cisalhamento transversal
	Tensão de cisalhamento em vigas de seção transversal retangular
	Problemas resolvidos envolvendo torção -
flexão e cisalhamento 
	Torção
	Exercício 1
	Exercício 2
	Flexão
	Cisalhamento Transversal