Aula 01 _Calculo Numerico

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Introdução ao Cálculo Numérico	
Prof. Msc. Talles Caio L. de Oliveira
Disciplina: Cálculo Numérico
UNIDADE I 
	 
CONCEITOS INICIAIS E PRINCÍPIOS GERAIS DO CÁLCULO NUMÉRICOS	 
TEORIA DOS ERROS.	 
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE. 	 
MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI).	 
MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS) 
MÉTODO DAS SECANTES (MS) 	 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (MNR) 	 
 
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Introdução ao Cálculo Numérico
UNIDADE II
	
MÉTODO DA ELIMINAÇÃO GAUSSIANA 	
MÉTODO DA FATORAÇÃO LU 	
MÉTODO DE GAUSS-JACOBI 	
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 	
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) 	
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 	
MÉTODO DE EULER 	
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 	
	
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Introdução ao Cálculo Numérico
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Introdução ao Cálculo Numérico
1ª Avaliação 
2ª Avaliação
2ª Chamada
Final
Prova (7,0)
+
 Exercícios Propostos, Exercícios em sala e Trabalhos (3,0)
Prova (10,0)
Unidade I
Unidade I e II
Prova (10,0)
Unidade I e II
Prova (10,0)
Unidade I e II
Avaliações
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Introdução ao Cálculo Numérico
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O que é o Cálculo Numérico?
Introdução ao Cálculo Numérico
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Exemplo: 
Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor. 
Solução exata
Introdução de um diodo no circuito:
Solução utilizando métodos numéricos
V
R
i
V
R
D
i
Introdução ao Cálculo Numérico
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O Cálculo numérico corresponde a um conjunto métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. 
Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.
Introdução ao Cálculo Numérico
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Uma solução via Cálculo Numérico é um conjunto de dados numéricos fornecem uma aproximação para a solução exata do problema, aproximação esta que pode ser obtida em grau crescente de exatidão.
Introdução ao Cálculo Numérico
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Introdução ao Cálculo Numérico
O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos.
Pode-se utilizar uma máquina calculadora ou um computador. 
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Introdução ao Cálculo Numérico
Os métodos analíticos usualmente nos forneçem a resposta em termos de funções matemáticas.
Existem problemas que não possuem solução analítica. Mas, mesmo nestes casos podemos obter uma solução numérica para o problema.
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Introdução ao Cálculo Numérico
Solução exata - Formula de Bhaskará – Equação 2° grau
Motivação
 Foguete Ariane 5 explode segundos depois de seu lançamento em 1996.
 O foguete transportava um satélite de comunicações.
 A causa do acidente foi um erro numérico (overflow) no cálculo da velocidade horizontal do foguete. (vídeo!)
Motivação
Qual foi o prejuízo?
500 milhões de Dólares (preço do satélite)
7 bilhões de Dólares foram gastos no projeto do foguete
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Motivação
Criptomoedas
Soluções numéricas para problemas físicos
Problema Físico
Modelagem
Solução
Modelo Matemático
Resolução
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MODELAGEM - é a fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico em questão.
RESOLUÇÃO - é a fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos.
Duas fases podem ser identificadas no diagrama:
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Precisão desejada para os resultados;
Capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de convergência);
Esforço computacional despendido (tempo de processamento, economia de memória necessária para a resolução).
A escolha do método mais eficiente deve envolver:
Introdução ao Cálculo Numérico
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A elaboração de um algoritmo, que é a descrição seqüencial dos passos que caracterizam um método numérico;
A codificação do programa, quando implementamos o algoritmo numa linguagem de programação escolhida; 
O processamento do programa, quando o código antes obtido é editado em um arquivo para que possa ser executado pelo computador.
A solução numérica envolve:
Introdução ao Cálculo Numérico
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Aproximação inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução do problema numérico.
Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é finalizado.
Iteração. Em um sentido amplo, iteração significa a repetição sucessiva de um processo. Um método iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos:
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Por que produzir resultados numéricos? 
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Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.
 	Exemplo: 
	solução de sistemas de equações lineares. 
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As forças axial Fi em cada um dos 13 membros da treliça conectada por pinos mostrada na figura pode ser calculada com a solução do seguinte sistema de 13 equações: 
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Treliça
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As correntes i1, i2, i3, i4, i5 e i6 no circuito mostrado podem ser determinadas a partir da solução do seguinte sistema de equações (obtido com a aplicação da lei de Kirchhoff): 
Circuito
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Sistemas Massa-Mola
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O sistema de equações lineares que modelam o 
problema de engenharia do sistema massa mola segue:
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A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). 
	Exemplos:
	a)			 
	
 b) 
	 	
	
Introduçãoao Cálculo Numérico
f (x) = ex - 4x2
Raiz de
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Ganhe um milhão de dólares com matemática, as equações de Navier-Stokes:
Problema do Milênio
As equações de Navier-Stokes tentam descrever o movimento complexo dos fluidos.
Clay Mathematics Institute
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Introdução ao Cálculo Numérico
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Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas.
Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.
Introdução ao Cálculo Numérico
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Passos para a resolução de problemas
PROBLEMA
MODELAGEM
REFINAMENTO
RESULTADO DE
CIÊNCIAS AFINS
MENSURAÇÃO
ESCOLHA
DE MÉTODOS
ESCOLHA
DE PARÂMETROS
TRUNCAMENTO
DAS ITERAÇÕES
RESULTADO
NUMÉRICO
Introdução ao Cálculo Numérico
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Fluxograma – Solução Numérica
PROBLEMA
ESCOLHA DO MÉTODO NUMÉRICO
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
LEVANTAMENTO DE DADOS
ANÁLISE DOS RESULTADOS
VERIFICAÇÃO
Introdução ao Cálculo Numérico
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 Aplicações de cálculo numérico na engenharia.
Determinação de raízes de equações;
Interpolação de valores tabelados;
Resolução de sistema de equações;
Integração numérica, entre outros. 
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Regras de Arredondamento
Arredondamentos são de fundamental importância para nossos estudos, principalmente para calcular valores que têm muitas casas decimais. 
Regras de Arredondamento
Muitas vezes, é conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de dados ou valores. 
Regras de Arredondamento
Muitas vezes é muito mais fácil e mais compreensível usarmos valores arredondados para melhor entendimento do público que terá acesso à informação.
Regras de Arredondamento
Regras de Arredondamento
De acordo com a ABNT-NBR 5891:1977 – Regras de arredondamento na numeração decimal.
Regras de Arredondamento
I) < 5 (menor que 5). Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0,1,2,3 ou 4, ficará inalterado o último algarismo que permanece.
Exemplo:
 
43,24 passa para 43,2.
54,13 passa para 54,1. 
Regras de Arredondamento
II) > 5 (maior que 5). Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é o 6,7,8, ou 9, aumenta-se em uma unidade o algarismo que permanece.
Exemplos: 
23,87 passa para 23,9. 
34,08 passa para 34,1.
74,99 passa para 75,0.
Regras de Arredondamento
III) = 5 (igual a 5). Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções:
A) Se após o 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo que permanece.
Exemplos: 
6,352 passa para 6,4.
55,6501 passa para 55,7. 
96,250002 passa para 96,3.
Regras de Arredondamento
III) = 5 (igual a 5). Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções:
B) Se o 5 for o último algarismo ou após o 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentando de uma unidade se for ímpar.
Exemplos: 
14,75 passa para 14,8 
24,65 passa para 24,6 
34,75000 passa para 34,8 
44,8500 passa para 44,8 
Exercícios
Arredonde os números a seguir aplicando as regras acordo com o que se pede:
1) Com quatro casas à direita da vírgula:
2,36935 
1,23487 
23,47321
2) Com três casas à direita da vírgula:
4,3693 
5,7348 
58,4832
Exercícios
Arredonde os números a seguir aplicando as regras acordo com o que se pede:
3) Com duas casas à direita da vírgula:
25,208 
53,424 
100,238 
200.247,327 
1.142.647,845
Exercícios
4) Arredonde estes valores de forma que possamos trabalhar com apenas uma casa à direita da vírgula.
2,352 
25,6501 
76,250002
Cálculo Numérico
Obrigado pela Atenção!
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