RELATÓRIO Calculo de vigas e lajes

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
IARA PEREIRA GONÇALVES
JOÃO VITOR FERNANDES FRANCO
JULIANA SOARES GOMES
KELLY CHAVES MOREIRA
MARCELLE GRIPPI
MARIO ALVES JÚNIOR
PROJETO INTEGRADOR – CONCRETO ARMADO I 
Coronel Fabriciano 
2020
IARA PEREIRA GONÇALVES
JOÃO VITOR FERNANDES FRANCO
JULIANA SOARES GOMES
KELLY CHAVES MOREIRA
MARCELLE GRIPPI
MARIO ALVES JÚNIOR
PROJETO INTEGRADOR – Projeto Estrutural
Relatório apresentado ao curso de Engenharia Civil do Centro Universitário do Leste de Minas Gerais à disciplina de Concreto Armado I.
Orientador: Flávio Souza Silva. 
Coronel Fabriciano 
2020
SUMÁRIO
1	CONCRETO ARMADO I – LAJES (NBR 6118)	4
1.1	Objetivo	4
1.2	Revisão Bibliográfica	6
1.3	Cálculos	6
2	CONCRETO ARMADO I – VIGAS (NBR 6118)	4
2.1	Revisão Bibliográfica	6
2.2	Cálculos	7
2.3	Tabelas de cálculo de cisalhamento	7
3	ANEXOS	4
REFERÊNCIAS..........................................................................................................11 
CONCRETO ARMADO I – LAJES (NBR 6118)
Objetivo
Desenvolver um projeto estrutural em concreto armado. O projeto deverá contemplar o dimensionamento e detalhamento de elementos de vigas e lajes de uma edificação.
Revisão Bibliográfica
As lajes são classificadas como elementos planos bidimensionais, que são aqueles onde duas dimensões, o comprimento e a largura, são da mesma ordem de grandeza e muito maiores que a terceira dimensão, a espessura. As lajes são também chamadas elementos de superfície, ou placas. Destinam-se a receber a maior parte das ações aplicadas numa construção, normalmente de pessoas, móveis, pisos, paredes, e os mais variados tipos de carga que podem existir em função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje faz parte. As ações são comumente perpendiculares ao plano da laje, podendo ser divididas em distribuídas na área, distribuídas linearmente ou forças concentradas. 
Embora menos comuns, também podem ocorrer ações externas na forma de momentos fletores, normalmente aplicados nas bordas das lajes. As ações são normalmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje, mas eventualmente também podem ser transmitidas diretamente aos pilares, quando são chamadas lajes lisas.
Cálculos
Considerações:
Agressividade fraca - Aço CA-50
Fck = 20 MPa
bw= 100 cm
c= 2 cm
d’= 2 cm
h= 17 cm
d= h-d’= 17 – 2 = 15 cm
Laje 1 e Laje 2
Peso Próprio: 
ρCA x h = 25 x 0,17 = 4,25 KN/m²
Revestimento 
Gesso: ρG x h = 12,5 x 0,03 = 0,375 KN/m²
Telhado = 1,5 KN/m² 
Sobrecarga = 0,5 KN/m²
Carga total = 6,625 KN/m²
Verificação
lx = 5,5
ly = 10,60
 = 1,93 < 2 Laje armada em duas direções
Utilizando os dados da tabela A2.2 temos:
Relação entre os vãos:
 = 0,52 0,50
Multiplicadores da tabela
W = 4,85
Mx = 59,6
My = 17,7
Mxe = -121,4
Rx = 169
Ry = 307
Rye = 525
Momentos fletores
M = 0,001. ρ. l². m
Mxe = 0,001 x 6,625 x 5,5² x (-121,4)
Mxe = -24,32 KN.m -2432 KN.cm
Mx = 0,001 x 6,625 x 5,5² x 59,6
Mx = 11,94 KN.m 1194 KN.cm
My = 0,001 x 6,625 x 5,5² x 17,7
My = 3,54 KN.m 354 KN.cm
Reações 
R = 0,001. ρ.l. r
Rye = 0,001 x 6,625 x 5,5 x 525
Rye = 19,13 KN.m
Rx = 0,001 x 6,625 x 5,5 x 169
Rx = 6,15 KN.cm 
Ry = 0,001 x 6,625 x 5,5 x 307
Ry = 11,19 KN.m
Majoração das resistências
Md = γ. Mx
Mx = 1,4 x 1194
Mx = 1672,1 KN.cm
My = 1,4 x 354
My = 496,6 KN.cm
Mxe = 1,4 x 2432
Mxe = 3406,1 KN.cm
Minoração das resistências 
Concreto 
Fcd = 
Fcd = 1,43 KN/cm²
τcd = 0,85 x 1,43
τcd = 1,21 KN/cm²
Aço 
Fyd = 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Momento reduzido 
μ =
μxe = 
μxe = 0,125
μx = 
μx = 0,061
μy = 
μy = 0,018
μlim = 0,372. Todos os resultados são menores que μlim, portanto será utilizado armação simples.
Admissional da Linha Neutra
ξ = 1,25 (1 - )
ξxe = 1,25 (1 - )
ξxe = 0,168
ξx = 1,25 (1 - )
ξx = 0,079
ξy = 1,25 (1 - )
ξy = 0,023
Área de Aço
As = x ξ
Asxe = x 0,168
Asxe = 5,6 cm²/m θ8 c/9,5
Asx = x 0,079
Asx = 2,65 cm²/m θ5 c/7,5
Asy = x 0,023
Asy = 0,77 cm²/m θ5 c/7,5
Armação Mínima
Asmin = ρmin.bw.h
Para fck = 20 MPa ρmin = 0,15%
Asmin = x 100 x 17
Asmin = 2,55 cm²/m
Armação mínima para Asx e Asy
Croquis de Armação 
 │ θ5 c/7,5 
 │ 
 ─ θ8 c/9,5 ─ │ ─ θ8 c/9,5 ─ 
 │
 ─ ─ ─ ─ θ5 c/7,5 ─ ─ ─ 
 │ 
 │ 
Verificação de flecha nas lajes
Momento de rigidez da laje
E = 0,85.21500. ()¹/³ 
E = 0,85.21500. ()¹/³
E = 25757,8 MPa
E = 25757, x10³ KN/m²
D = V= 0,2
D = 
D = 10985,07 KN.m
Flecha inicial
W = 
W = 
W = 5,10 x10^-4 m
Flecha final 
W = (1 + ρ). W ρ = 2,5
W = (1+ 2,5). 5,10x10^-4
W = 1,79x10-³ m
Flecha admissível 
Wadm = 
Wadm =
Wadm = 2,2x10-² m
Passa na verificação, pois W < Wadm.
Considerações:
Agressividade fraca
Aço CA-50
Fck = 20 MPa
bw= 100 cm
c= 2 cm
d’= 2 cm
h= 17 cm
d= h-d’= 17 – 2 = 15 cm
Laje 3 e Laje 4
Peso Próprio: 
ρCA x h = 25 x 0,17 = 4,25 KN/m²
Revestimento 
Gesso: ρG x h = 12,5 x 0,03 = 0,375 KN/m²
Telhado = 1,5 KN/m² 
Sobrecarga = 1,5 KN/m²
Carga total = 7,625 KN/m²
Verificação
lx = 2,1
ly = 3,4 
 = 1,62 < 2 Laje armada em duas direções 
Utilizando os dados da tabla A2.2 temos:
Relação entre os vãos:
 = 0,62
Multiplicadores da tabela
W = 4,28
Mx = 53,7
My = 22,9
Mxe = -112,6
Rx = 167
Ry = 284
Rye = 500
Momentos fletores
M = 0,001. ρ. l². m
Mxe = 0,001 x 7,625 x 2,1² x (-112,6)
Mxe = 3,89 KN.m 389 KN.cm
Mx = 0,001 x 7,625 x 2,1² x 53,7
Mx = 1,86 KN.m 186 KN.cm
My = 0,001 x 7,625 x 2,1² x 22,9
My = 0,79 KN.m 79 KN.cm
Reações 
R = 0,001. ρ.l. r
Rye = 0,001 x 7,625 x 2,1 x 500
Rye = 8,24 KN.m
Rx = 0,001 x 7,625 x 2,1 x 167
Rx = 2,75 KN.cm 
Ry = 0,001 x 7,625 x 2,1 x 284
Ry = 4,68 KN.m
Majoração das resistências
Md = γ. Mx
Mx = 1,4 x 186
Mx = 185,9 KN.cm
My = 1,4 x 79
My = 79,28 KN.cm
Mxe = 1,4 x 389
Mxe = 389,8 KN.cm
Minoração das resistências 
Concreto 
Fcd = 
Fcd = 1,43 KN/cm²
τcd = 0,85 x 1,43
τcd = 1,21 KN/cm²
Aço 
Fyd = 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Momento reduzido 
μ =
μxe = 
μxe = 0,02
μx = 
μx = 0,01
μy = 
μy = 0,004
μlim = 0,372. Todos os resultados são menores que μlim, portanto será utilizado armação simples.
Admissional da Linha Neutra
ξ = 1,25 (1 - )
ξxe = 1,25 (1 - )
ξxe = 0,025
ξx = 1,25 (1 - )
ξx = 0,012
ξy = 1,25 (1 - )
ξy = 0,005
Área de Aço
As = x ξ
Asxe = x 0,025
Asxe = 0,84 cm²/m θ5 c/7,5
Asx = x 0,012
Asx = 0,40 cm²/m θ5 c/7,5
Asy = x 0,005
Asy = 0,17 cm²/m θ5 c/7,5
Armação Mínima
Asmin = ρmin.bw.h
Para fck = 20 MPa ρmin = 0,15%
Asmin = x 100 x 17
Asmin = 2,55 cm²/m
Croquis de Armação 
 │ θ5 c/7,5 
 │ 
 ─ θ5 c/7,5 ─ │ ─ θ5 c/7,5 ─ 
 │
 ─ ─ ─ ─ θ5 c/7,5 ─ ─ ─ 
 │ 
 │ 
Verificação de flecha nas lajes
Momento de rigidez da laje
E = 0,85.21500. ()¹/³ 
E = 0,85.21500. ()¹/³
E = 25757,8 MPa
E = 25757, x10³ KN/m²
D = V= 0,2
D = 
D = 10985,07 KN.m
Flecha inicial
W = 
W = 
W = 1,3 x10^-5 m
Flecha final 
W = (1 + ρ). W ρ = 2,5
W = (1+ 2,5). 1,3x10^-5
W = 4,5x10^-5 m
Flecha admissível 
Wadm = 
Wadm =
Wadm = 8,4x10-³ m
Passa na verificação, pois W < Wadm.
CONCRETO ARMADO I – VIGAS (NBR 6118)
Revisão Bibliográfica
A Norma NBR 6118/2003 no que tange à durabilidade de estruturas de concreto armado estabelece, principalmente, os aspectos de qualidade do concreto. Os principais parâmetros da qualidade que devem ser considerados da durabilidade da estrutura durante a elaboração do projeto dizem respeito ao cobrimento das armaduras e à classe de resistência mecânica do concreto.
Com relação à qualidade do concreto de cobrimento, a Norma estabelece uma relação entre o ambiente de exposição do concreto e a sua qualidade, na qual é possível observar a classe de agressividade, classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto e o risco de deterioração da estrutura. A partir da determinação da classe de agressividade ambiental, é possível determinar, a relação água/cimento máxima e aclasse de resistência do concreto.
Cálculos
Considerações:
Agressividade moderada
Aço CA-50
Fyk = 50 KN/m² 500 MPa
Fck = 20 MPa
bw= 20 cm
c= 2 cm
d’= 5 cm
h= 50 cm
d= h-d’= 50 – 5 = 45 cm
Viga 1 e viga 11
Solicitação na viga
Mk1 = 3,80 KN,m (x100) 380 KN.cm
Mk2 = -2,80 KN.m (x100) -280 KN.cm
Mk3 = 0,50 KN.m (x100) 50 KN.cm
Mk4 = -9,10 KN.m (x100) -910 KN.cm
Mk5 = 8,80 KN.m (x100) 880 KN.cm
Mk6 = -16,80 KN.m (x100) -1680 KN.cm
Mk7 = 8,30 KN.m (x100) 830 KN.cm
Mk8 = -9,90 KN.m (x100) -990 KN.cm
Mk9 = 1 KN.m (x100) 100 KN.cm
Minoração das Resistências 
Concreto 
Fcd = γc = 1,4
Fcd = 
Fcd = 1,43 KN/cm²
Aço 
Fyd = 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Máxima tensão de compressão a ser aplicada no concreto 
τcd = 0,85. fcd
τcd = 0,85.1,43
τcd = 1,21 KN/cm²
Majoração das Solicitações 
Md = . Mk
Md1 = 1,4. 380 = 532 KN.cm
Md2 = 1,4. (-280) = -392 KN.cm
Md3 = 1,4. 50 = 70 KN.cm
Md4 = 1,4. (-910) = -1274 KN.cm
Md5 = 1,4. 880 = 1232 KN.cm
Md6 = 1,4. (-1680) = -2352 KN.cm
Md7 = 1,4. 830 = 1162 KN.cm
Md8 = 1,4. (-990) = -1386 KN.cm
Md9 = 1,4. 100 = 140 KN.cm
Momento reduzido
μ =
μ1 =
μ1 = 0,011
μ2 =
μ2 = 0,008
μ3 =
μ3 = 0,001
μ4 =
μ4 = 0,026
μ5 =
μ5 = 0,025
μ6 =
μ6 = 0,048
μ7 =
μ7 = 0,024
μ8 =
μ8 = 0,028
μ9 =
μ9 = 0,003
μlim = 0,372. Como μ < μlim utiliza-se armação simples.
Linha neutra
ξ = 1,25 (1 - )
ξ1 = 1,25 (1 - )
ξ1 = 0,014
ξ2 = 1,25 (1 - )
ξ2 = 0,010
ξ3 = 1,25 (1 - )
ξ3 = 0,002
ξ4 = 1,25 (1 - )
ξ4 = 0,033
ξ5 = 1,25 (1 - )
ξ5 = 0,032
ξ6 = 1,25 (1 - )
ξ6 = 0,061
ξ7 = 1,25 (1 - )
ξ7 = 0,030
ξ8 = 1,25 (1 - )
ξ8 = 0,036
ξ9 = 1,25 (1 - )
ξ9 = 0,004
Área de Aço
As = x ξ
As1 = x 0,014
As1 = 0,26 cm²
As2 = x 0,010
As2 = 0,19 cm² 
As3= x 0,002
As3 = 0,04 cm²
As4 = x 0,033
As4 = 0,62 cm²
As5 = x 0,032
As5 = 0,60 cm²
As6 = x 0,061
As6 = 1,15 cm²
As7 = x 0,030
As7 = 0,56 cm²
As8 = x 0,036
As8 = 0,66 cm² 
As9 = x 0,004
As9 = 0,06 cm²
Armação mínima para a viga
Asmin = ρmin. bw.h
Para fck = 20 MPa ρmin = 0,15%
Asmin = x 20 x 50
Asmin = 1,5 cm² 
Como As < Asmin utiliza-se Asmin para todos. 2 θ10
Croquis de Armação 
 
 
 
 	
 └──────┘
 2 θ10
Momento fletor característico mínimo 
Mkmin = . 
Mkmin = . 
Mkmin = 2173 KN.cm
Viga 2
Os mesmos valores utilizados para as considerações das vigas 1 e 11
Solicitação na viga
Mk1 = 4,90 KN,m (x100) 490 KN.cm
Mk2 = -8,80 KN.m (x100) -880 KN.cm
Mk3 = 4,90 KN.m (x100) 490 KN.cm
Minoração das Resistências 
Concreto 
Fcd = 1,43 KN/cm²
Aço 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Máxima tensão de compressão a ser aplicada no concreto 
τcd = 1,21 KN/cm²
Majoração das Solicitações 
Md1 = 1,4. 490 = 686 KN.cm
Md2 = 1,4. (-880) = -1232 KN.cm
Md3 = 1,4. 490 = 686 KN.cm
Momento reduzido
μ1 =
μ1 = 0,014
μ2 =
μ2 = 0,025
μ3 =
μ3 = 0,014
μlim = 0,372. Como μ < μlim utiliza-se armação simples.
Linha neutra
ξ1 = 1,25 (1 - )
ξ1 = 0,018
ξ2 = 1,25 (1 - )
ξ2 = 0,032
ξ3 = 1,25 (1 - )
ξ3 = 0,018
Área de Aço
As1 = x 0,015
As1 = 0,30 cm²
As2 = x 0,028
As2 = 0,56 cm²
As3 = x 0,012
As3 = 0,30 cm²
Armação mínima para a viga
Asmin = 1,5 cm²
Como As < Asmin utiliza-se Asmin para todos. 2 θ10
Croquis de Armação 
 
 
 
 	
 └──────┘
 2 θ10
Viga 3
Os mesmos valores utilizados para as considerações das vigas 1,2 e 11
Solicitação na viga
Mk = 35,10 KN,m (x100) 3510 KN.cm
Minoração das Resistências 
Concreto 
Fcd = 1,43 KN/cm²
Aço 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Máxima tensão de compressão a ser aplicada no concreto 
τcd = 1,21 KN/cm²
Majoração das Solicitações 
Md = 1,4. 3510 = 4914 KN.cm
Momento reduzido
μ =
μ = 0,100
μlim = 0,372. Como μ < μlim utiliza-se armação simples.
Linha neutra
ξ = 1,25 (1 - )
ξ = 0,132
Área de Aço
As = x 0,132
As = 2,64 cm² 3 θ10
Viga 4
Os mesmos valores utilizados para as considerações das vigas 1,2,3 e 11.
Solicitação na viga
Mk1 = 20,40 KN,m (x100) 2040 KN.cm
Mk2 = -36,30 KN,m (x100) -3630 KN.cm
Mk3 = 20,40 KN,m (x100) 2040 KN.cm
Minoração das Resistências 
Concreto 
Fcd = 1,43 KN/cm²
Aço 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Máxima tensão de compressão a ser aplicada no concreto 
τcd = 1,21 KN/cm²
Majoração das Solicitações 
Md1 = 1,4. 2040 = 2856 KN.cm
Md2 = 1,4. (-3630) = -5082 KN.cm
Md3 = 1,4. 2040 = 2856 KN.cm
Momento reduzido
μ1 =
μ1 = 0,058
μ2 =
μ2 = 0,103
μ3 =
μ3 = 0,058
μlim = 0,372. Como μ < μlim utiliza-se armação simples.
Linha neutra
ξ1 = 1,25 (1 - )
ξ1 = 0,075
ξ2 = 1,25 (1 - )
ξ2 = 0,137
ξ3 = 1,25 (1 - )
ξ3 = 0,075
Área de Aço
As1 = x 0,075
As1 = 1,5 cm² 2 θ10
As2 = x 0,137
As2 = 2,7 cm² 4 θ10
As3 = x 0,075
As3 = 1,5 cm² 2 θ10
Croquis de Armação 
 
 
 
 	
 └──────┘
 2 θ10
Viga 5
Os mesmos valores utilizados para as considerações das vigas 1,2,3,4 e 11.
Solicitação na viga
Mk1 = 145,20 kN.m (x100) 14520 KN.cm
Minoração das Resistências 
Concreto 
Fcd = 1,43 KN/cm²
Aço 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Máxima tensão de compressão a ser aplicada no concreto 
τcd = 1,21 KN/cm²
Majoração das Solicitações 
Md1 = 1,4. 14520 = 20328 KN.cm
Momento reduzido
μ1 =
μ1 = 0,413
μlim = 0,372. Como μ < μlim utiliza-se armação simples.
Linha neutra
ξ1 = 1,25 (1 - )
ξ1 = 0,596
Área de Aço
As1 = x 0,596
As1 = 12,8 cm² 11 θ12,5
Croquis de Armação 
 
 
 
 	
 └──────┘
 11 θ12,5
Viga 6
Os mesmos valores utilizados para as considerações das vigas 1,2,3,4,5 e 11.
Solicitação na viga
Mk1 = 49,70 KN,m (x100) 4970 KN.cm
Mk2 = -38,20 KN,m (x100) -3820 KN.cm
Mk3 = 49,40 KN,m (x100) 4940 KN.cm
Minoração das Resistências 
Concreto 
Fcd = 1,43 KN/cm²
Aço 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Máxima tensão de compressão a ser aplicada no concreto 
τcd = 1,21 KN/cm²
Majoração das Solicitações 
Md1 = 1,4. 4970 = 6958 KN.cm
Md2 = 1,4. (-3820) = -5348 KN.cm
Md3 = 1,4. 4940 = 6916 KN.cm
Momento reduzido
μ1 =
μ1 = 0,141
μ2 =
μ2 = 0,109
μ3 =
μ3 = 0,141
μlim = 0,372. Como μ < μlim utiliza-se armação simples.
Linha neutra
ξ1 = 1,25 (1 - )
ξ1 = 0,192
ξ2 = 1,25 (1 - )
ξ2 = 0,144
ξ3 = 1,25 (1 - )
ξ3 = 0,192
Área de Aço
As1 = x 0,167
As1 = 3,9 cm² 5 θ10
As2 = x 0,126
As2 = 2,9 cm² 4 θ10
As3 = x 0,165
As3 = 3,8 cm² 5 θ10
Croquis de Armação 
 
 
 
 	 
 └──────┘
 5 θ10
 
 
 	 
 └──────┘
 5 θ10
 4 θ10
 ┌───────┐
 
 
 	
Viga 7 e 10
Os mesmos valores utilizados para as considerações das vigas 1,2,3,4,5,6 e 11.
Solicitação na viga
Mk1 = 4,7 kN.m (x100) 470 KN.cm
Minoração das Resistências 
Concreto 
Fcd = 1,43 KN/cm²
Aço 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Máxima tensão de compressão a ser aplicada no concreto 
τcd = 1,21 KN/cm²
Majoração das Solicitações 
Md1 = 1,4. 470 = 658 KN.cm
Momento reduzido
μ1 =
μ1 = 0,013
μlim = 0,372. Como μ < μlim utiliza-se armação simples.
Linha neutra
ξ1 = 1,25 (1 - )
ξ1 = 0,017
Área de Aço
As1 = x 0,015
As1 = 0,32 cm²
Armação mínima para a viga
Asmin = 1,5 cm²
Como As < Asmin utiliza-se Asmin. 2 θ10
Croquis de Armação 
 
 
 
 	
 └──────┘
 2 θ10
Viga 8 e 9
Os mesmos valores utilizados para as considerações das vigas 1,2,3,4,5,6,7,10 e 11.
Solicitação na viga
Mk1 = 2,6 kN.m (x100) 260 KN.cm
Minoração das Resistências 
Concreto 
Fcd = 1,43 KN/cm²
Aço 
Fyd = 43,48 KN/cm²
Máxima tensão de compressão a ser aplicada no concreto 
τcd = 1,21 KN/cm²
Majoração das Solicitações 
Md1 = 1,4. 260 = 364 KN.cm
Momento reduzido
μ1 =
μ1 = 0,007
μlim = 0,372. Como μ < μlim utiliza-se armação simples.
Linha neutra
ξ1 = 1,25 (1 - )
ξ1 = 0,008
Área de Aço
As1 = x 0,008
As1 = 0,17 cm²
Armação mínima para a viga
Asmin = 1,5 cm²
Como As < Asmin utiliza-se Asmin. 2 θ10
Croquis de Armação 
 
 
 
 	
 └──────┘2 θ10
Tabelas de cálculos de cisalhamento
MAJORAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES 
	Cálculo da armação mínima
	As min
	1,8
ANEXOS
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.