Cálculo de Lajes e Pilares-20200323T014634Z-001

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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO ARMADO II - PILARES
Notas de aula
Prof. Vinícius Cardoso Santos
Faculdade Metropolitana de Marabá
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INTRODUÇÃO
EMENTA
1. Dimensionamento à flexo-compressão normal;
2. Dimensionamento à flexo-compressão oblíqua;
3. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado;
4. Disposições construtivas.
BIBLIOGRAFIA
ARAÚJO, José Milton; “Curso de Concreto Armado”, 4 Volumes, Rio Grande do Sul, 
Editora DUNAS, 4ª Edição, 2014.
CARVALHO, Roberto Chust; PINHEIRO, Libânio M.; “Cálculo e detalhamento de estruturas 
usuais de concreto armado”, volume 2, São Paulo, Ed. PINI, 2ª Edição, 2013.
2323 – Estruturas de Concreto Armado II – Pilares de Concreto Armado; UNESP 
(Bauru/SP – Agosto/2015) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos.
ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento
ABNT NBR 6123:1988 - Forças devidas ao vento em edificações
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CONCEITOS BÁSICOS
• Pilar é um elemento estrutural geralmente vertical e
recebe ações predominantemente de compressão.
Pode, portanto, estar submetido à compressão
composta normal e oblíqua. São elementos de
grande importância estrutural, pois recebem cargas
das vigas ou lajes e as conduzem para as
fundações.
• Em seu item 14.4.1.2, a NBR 6118:2014 define
pilares como elementos lineares de eixo reto,
usualmente dispostos na vertical, em que as forças
normais de compressão são predominantes.
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NBR 6118:2014
• A NBR 6118, na versão de 2003, fez modificações em algumas das
metodologias de cálculo das estruturas de Concreto Armado, como
também em alguns parâmetros aplicados no dimensionamento e
verificação das estruturas. Especial atenção é dada à questão da
durabilidade das peças de concreto. Particularmente no caso dos
pilares, a norma introduziu várias modificações, como no valor da
excentricidade acidental, um maior cobrimento de concreto, uma
nova metodologia para o cálculo da esbeltez limite relativa à
consideração ou não dos momentos fletores de 2ª ordem e,
principalmente, com a consideração de um momento fletor mínimo,
que pode substituir o momento fletor devido à excentricidade
acidental. A versão de 2014 mantém essas prescrições, e introduziu
que a verificação do momento fletor mínimo pode ser feita
comparando uma envoltória resistente, que englobe a envoltória
mínima com 2ª ordem.
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DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL
• A flexo-compressão é uma solicitação
causada por um momento e por um
esforço normal de compressão. Quando a
flexão se dá em um plano contendo os
eixos de simetria das seções transversais
do elemento estrutural, a solicitação é
denominada flexo-compressão normal.
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CONCEITOS INICIAIS
• SOLICITAÇÕES NORMAIS
Os pilares sob esforços normais podem também estar submetidos a
esforços de flexão. Dessa forma, os pilares poderão estar sob os
seguintes casos de solicitação:
A) Compressão Simples – A compressão simples também é chamada
compressão centrada ou compressão uniforme. A aplicação da
força normal de cálculo Nd é no centro geométrico (C.G.) da peça,
cujas tensões na seção transversal são uniformes.
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CONCEITOS INICIAIS
B) Flexão Composta: Na flexão composta ocorre a atuação conjunta de 
força normal e momento fletor sobre a peça. Há dois casos:
- Flexão Composta Normal (ou Reta): Existe a força normal e um 
momento fletor numa direção;
- Flexão Composta Oblíqua: Existe a força normal e dois momentos 
fletores em duas direções. 
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DIMENSIONAMENTO
O dimensionamento de uma seção transversal de concreto submetido à flexo-
compressão normal, consiste na resolução dos problemas:
- Determinar os esforços de cálculo Nd e Md;
- Escolher uma forma para a seção transversal de concreto e uma determinada 
disposição das barras da armadura;
- Definir os materiais e as resistências de cálculo (fcd e fyd), respeitando os 
domínios de dimensionamento;
- Calcular as dimensões da seção de concreto e a área total da armadura que 
satisfazem as equações de equilíbrio.
Na prática, o problema é resolvido com um pré-dimensionamento inicial da 
seção de concreto. Assim, conhecidas as dimensões da seção, o que se faz é o 
cálculo da área total de armadura que deve ser adicionada ao concreto. De 
forma prática, pode-se aplicar tabelas para o dimensionamento das 
armaduras.
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DIMENSIONAMENTO
• TABELAS PARA DIMENSIONAMENTO
As tabelas são válidas para cálculo de seções retangulares com várias 
disposições de armaduras de aço CA-50.
Para identificar a tabela a ser utilizada, deve-se observar a disposição 
das barras indicadas nas mesmas. Além disso, é necessário calcular o 
parâmetro δ=d’/h para localizar a tabela.
Os parâmetros de entrada são os esforços solicitantes reduzidos:
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ÍNDICE DE ESBELTEZ - PÁG. 107
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COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM
Nas estruturas de nós indeslocáveis a NBR 6118/2014 
permite a realização do cálculo de cada elemento 
comprimido isoladamente, ou seja, como barra vinculada 
nas extremidades aos demais elementos que ali concorrem. 
Assim, o comprimento equivalente de flambagem (le) do 
elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas 
extremidades, deve ser o menor entre os seguintes valores:
PÁG. 105
11
COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM
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COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM
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CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES
Em função do índice de esbeltez os pilares podem ser 
classificados como:
Os pilares curtos e médios são a maioria dos pilares das 
construções. Os pilares esbeltos são menos frequentes.
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EXCENTRICIDADE
• Excentricidade de 1ª ordem
A excentricidade de 1ª ordem é devida à existência de momentos fletores
externos solicitantes que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou
devido ao ponto teórico de aplicação da força normal estar localizado fora do
centro de gravidade da seção transversal.
Considerando a força normal de cálculo Nd e o momento fletor de cálculo Md
(independente de Nd), a figura abaixo mostra os casos possíveis de
excentricidade de 1ª ordem.
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INSTABILIDADE E EFEITOS DE 2ª ORDEM
• Efeitos de 2ª ordem
“Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-
se horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses 
deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da 
estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm 
retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em princípio, afetam 
principalmente os esforços solicitantes ao longo delas.” (NBR 6118, item 
15.4.1).
“A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades ao 
longo dos eixos das barras, devendo ser realizada uma análise dos efeitos 
locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas”.
“Os efeitos locais de 2ª ordem podem ser desprezados quando o índice de 
esbeltez for menor que o valor limite de λ1” (NBR 6118, item 15.8.2), calculado 
pela expressão:
Onde: e1= excentricidade de 1ª ordem
e1/h = excentricidade relativa de 1ª ordem
- PÁG. 102 e 107
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Valor de αb - PÁG. 108
Deve-se ter pilar de seção e armadura constantes ao longo do eixo 
longitudinal. O valor de αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir:
I. Para pilares biapoiados sem cargas transversais
II. Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da 
altura:
αb=1
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Valor de αb
III. Para pilares em balanço
IV. Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos fletores menores 
que o mínimo
αb=1
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SITUAÇÕES DE PROJETO
Para efeito de projeto, os pilares dos edifício 
podem ser classificados nos seguintes tipos:
Pilares intermediários, pilares de extremidade e 
pilares de canto. A cada um desses tipos básicos 
de pilares corresponde uma situação de projeto 
diferente.
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SITUAÇÕES DE PROJETO
• Pilar Intermediário
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SITUAÇÕES DE PROJETO
• Pilar de extremidade
Os pilares de extremidade, de modo geral, encontram-se posicionados
nas bordas dos edifícios, vindo daí o termo “pilar de extremidade”,
como mostrado na figura a seguir. Na situação de projeto os pilares de
extremidade estão submetidos à flexão composta normal. Que decorre
da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à borda de
extremidade. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1ª
ordem nas extremidades do lance do pilar.
Nas seções do topo e da base dos pilares de extremidade ocorrem
excentricidades e1 e de 1ª ordem, oriundas dos momentos fletores de
1ª ordem MA e MB, com valor:
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SITUAÇÕES DE PROFETO
• Pilar de extremidade
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SITUAÇÕES DE PROFETO
• Os momentos fletores MA e MB de 1ª ordem devidos ao
carregamento vertical são obtidos calculando-se os
pilares em conjunto com as vigas formando pórticos ou
então de uma maneira mais simples e que pode ser feita
manualmente. Os momentos fletores inferior e superior
no pilar são calculados pelas expressões:
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SITUAÇÕES DE PROFETO
• Pilar de Canto
De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos 
edifícios, vindo daí o termo “pilar de canto”, como mostrado na figura a 
seguir. Na situação de projeto os pilares de canto estão submetidos à flexão 
composta oblíqua, que decorre da interrupção das vigas perpendiculares às 
bordas do pilar. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1ª 
ordem nas extremidades do pilar, nas suas duas direções. Esses momentos 
podem ser calculados da forma como apresentado nos pilares de 
extremidade.
Nas seções do topo e da base dos pilares de extremidade ocorrem 
excentricidades e1 e de 1ª ordem nas duas direções do pilar.
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SITUAÇÕES DE PROFETO
• Pilar de Canto
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DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Relação entre a dimensão mínima e o coeficiente de 
segurança
Os pilares com forma retangular são diferenciados dos pilares-parede em 
função da relação entre os lados, conforme mostrada na figura abaixo.
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DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
A NBR 6118/2014 (item 13.2.3) impõe que “a seção 
transversal de pilares e pilares-parede maciços, 
qualquer que seja sua forma, não pode apresentar 
dimensão menor que 19 cm.” Em casos especiais, 
permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 
14 cm, desde que as ações a serem consideradas no 
dimensionamento sejam multiplicadas por um 
coeficiente adicional ϒn, de acordo com o indicado na 
tabela 13.1 NBR 6118/14, mostrada a seguir. “Em 
qualquer caso, não se permite pilar com seção 
transversal de área inferior a 360cm².”
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Coeficiente Adicional ϒn
As disposições relativas à armadura longitudinal dos 
pilares encontram-se no item 18.4.2 da NBR 6118/14 e 
são descritas a seguir.
- PÁG. 73
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ARMADURAS LONGITUDINAIS
PÁG. 132 e 151
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ARMADURA TRANSVERSAL - PÁG. 151
30
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR
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Cálculo de Lajes e Pilares/CONCRETO II 5.pdf