Ex Descontos Dup

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53. Calcular o valor dos juros pagos por um financiamento de capital de giro de $1.500 por cinco dias 
contratado à taxa de 3% a.m., capitalizada diariame e. 
Dados: P = $1.500, j = 3% a.m.. k 
nt
= 30, m = 5 dias, J = ? 
 
( )k m 30× 5 30j 0,03+ 1 $1.500 1+ 1
k 30
× ⎡ ⎤⎤⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− = − =⎥⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎥⎦ ⎣ ⎦
J P 1 $7,5150
⎡⎛= ⎢⎜
⎝⎢⎣
 
 
s: k = 4, i = 12% a.a., n = m = 1 ano, j = ? 
 
54. Calcular a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 12% a.a.. 
adoD
k×m
n j(1 + i) = 1+
k
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 
4
11,50% a.a.
4
j (1,12) = 1+ j 0,114949⎛ ⎞ ⇒ =
⎝ ⎠
 
 
 
CAPÍTULO 4
=⎜ ⎟
 
: em contrário, ano comercial de 360 
 
1. Uma duplicata de $180.000 é descontada quatro meses antes de seu vencimento. Considerando-se 
uma taxa de desconto de 60% a.s., calcular o valor do desconto e o valor liberado na modalidade de 
ercial. 
Dados: N = $180.000, n = 4 meses, d = 60% a.s., D = ?, V = ? 
 
Exercícios Propostos 
 
tenção Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção A
dias. 
desconto com
D N d n
4D = $180.000 0,60 D = $72.000
6
= × ×
× × ⇒
 
Além disso, 
o de 15% a.m. e libera $18.900 
n três meses, calcular o valor de resgate e a 
xa de desconto efetiva linear. 
Dados: V = $18.900, n = 3 meses, d = 15% a.m, N = ?, i = ? 
 
V N D V= $108.000
 
s de descont
= − ⇒ 
2. Considerando-se que um banco aplica uma taxa simple
o desco to comercial de um título com vencimento paran
ta
( )V N 1- d n= × ×
$18.900N = N = $34.363,64 D= $15.463,36
1- 0,15 3
⇒ ⇒
×
 
Além disso, 
d 0,15i 27, 27% a.m
1 d n 1 0,15 3
ou
D 30 $15.463,36 30i 2
V n $18.900 90
= = =
− × − ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
7, 27% a.m
 
 37
3. Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de $120.000 e com vencimento para 180 
dias, descontado comercialmente a uma taxa de desconto de 40% a.a.. 
Dados: N = $120.000, n= 180 dias, d = 40% a.a., V = ? 
 
( )V N 1- d n
1V $120.000 1- 0,4 V = $96.000
2
= × ×
⎛ ⎞= × × ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
4. Calcular a taxa de desconto efetiva linear para uma operação de desconto comercial de um título de 
$135.000 descontado por $120.000 quatro meses antes de seu vencimento. 
Dados: N = $135.000, V = $120.000, n = 4 meses, i = ? 
 
D N - V D = $15.000= ⇒ 
Além disso, 
D 30 $15.000i 3,125% a.m.
V n $120.000 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
5. Uma duplicata de $86.000, com prazo de vencimento de três meses, teve valor liberado de $80.000. 
Determinar a taxa de desconto aplicada na modalidade racional. 
ados: N = $86.000, V = $80.000, D = $6.000, n = 3 meses, i = ? D
 
D V i n
$6.000i = 2,5% a.m
$80.000 3
.
= × ×
 
=
×
 
6. Um lote de LTN com valor de resgate de $4.800.000 é adquirido por $4.000.000. Considerando-se 
um prazo de vencimento de 120 dias, calcular a taxa de desconto (ao ano) e a rentabilidade efetiva 
linear da operação. 
Dados: N = $4.800.000, V = $4.000.000, D = $800.000, n = 4 meses, d =?, i = ? 
 
D 360 $800.000 360d 50% a.a.
N n $4.800.000 120
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Além disso, 
( )
d 0,5
% a.a. em operações de compra de LBC. 
inar o P.U. sobre o qual se 
 termos de desconto comercial e calcular a taxa de desconto mínima exigida. 
Dados: i = 180% a.a., n = 90 dias, P.U.= ?, d = ? 
i 60% a.a.
1 d n 1 0,5 1 3
= = =
− × − ×
 
 
7. Um banco deseja uma rentabilidade efetiva linear de 180
onsiderando-se que o lote de letras tem vencimento para 90 dias, determC
deve negociar em
( )
( )
d i
1 d n/360
d
=
− ×⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1,8 d 124,14% a.a.
1 d 90/360
= ⇒ =
− ×⎡ ⎤⎣ ⎦
Além disso, 
( ) [ ]P.U.= 1 d n/360 1 1,2414 90 / 360 = 0,68966− × = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
. Uma duplicata de $880.000 foi descontada comercialmente oito meses antes do vencimento. 8
Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear de 145% a.a., calcular o valor liberado pelo 
banco. 
Dados: N = $880.000, i = 145% a.a., n = 8 meses, V = ? 
 38
 
D 360 i 
V n
$800.000 - V 360 1,45 = V= $447.457,63
V 240
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞× ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
9. Uma promissória de $450 sofreu um desconto de $54. Considerando-se uma taxa de desconto de 
6% a.m., calcular o prazo da operação. 
Dados: N = $450, D = $54, d = 6% a.m., n = ? 
 
D N d n= × ×
$54 = $450 0,06 n n = 2 meses× × ⇒
 
 
10. Um título de $13.000 que vence em 120 dias foi descontado comercialmente por $11.400. Calcular 
a taxa de desconto (ao ano) e a taxa de desconto efetiva linear . 
Dados: N = $13.000, V = $11.400, D = $1.600, n = 120 dias, d = ?, i = ? 
 
D 360 $1.600 360d 36,92% a.a.
N n $13.000 120
= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Além disso, 
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
D 360⎛ ⎞ ⎛ $1.600i
V n $11.4
⎞= × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 42,11% a.a.
00
×
= 
11. Um título de $240.000 foi descontado 43 dias antes do vencimento pelo desconto comercial 
simples aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Considerando-se uma taxa de desconto 
efetiva linear da operação de 6% a.m., calcular o valor liberado. 
Dados: N = $240.000, i = 6% a.m., n = 43 dias, V = ? 
 
 
 
D 30 i
V n
$240.000 - V 300,06 V= $220.994,48.
V 43
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
 
2. Para operações de desconto comercial, um banco aplica uma taxa de desconto de 27% a.a. e cobra 1
2% sobre o valor nominal como TSB. Calcular as taxas de desconto efetivas lineares anuais para os 
prazos de um mês, três meses e seis meses. 
Dados: d = 27% a.a., TSB = 2%, i1 = ?, i3 = ?, i6 = ? 
 
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
1 mês
3 meses
6
n 121 d n 12 - TSB
0,27 1 12 + 0,02 1i = 53,26% a.a.
1 0,27 1 12 - 0,02 1 12
0,27 3 12 + 0,02 1i = 38,36% a.a.
1 0,27 3 12 - 0,02 3 12
i
⎜ ⎟⎜ ⎟− ×⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×
= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− × ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×
= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− × ⎝ ⎠⎝ ⎠
d n 12 + TSB 1 i
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×
= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟
[ ] meses
0,27 6 12 + 0,02 1 = 36,69% a.a.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×
= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟1 0,27 6 12 - 0,02 6 12− × ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
13. Uma duplicata de $72.000 com vencimento para cinco meses foi descontada comercialmente a 
 39
uma taxa de desconto de 2% a.m.. Considerando-se que foi paga uma taxa de serviço bancário de 
2,5% sobre o valor nominal do título, calcular o valor líquido liberado pelo banco e a taxa de desconto 
Dados: N = $72.000, d = 2% a.m., TSB = 2,5%, n = 5 meses, i = ?, V = ? 
 
efetiva linear da operação. 
[ ]
[ ]
d n + TSB 1 i
1 d n - TSB n
0,02 5 + 0,025 1i = 2,86% a.m. = 34,29% a.a.
1 0,02 5 - 0,025 5
×
= ×
− ×
×
= ×
− ×
 
Além disso, 
 
14. Duas letras, uma de $10.000 e outra de $8.000, foram descontadas pelo desconto comercial 
simples aplicando-se uma taxa de desconto de 36% a.a.. Considerando-se que o valor do desconto 
da segunda letra excede em dez dias o prazo da primeira, determinar os 
( )
( )
V N 1 TSB d n
V $72.000 1 0,025 0,02 5 V $63.000
= − − ×
= − − × ⇒ =
 
total é de $4.400 e que o prazo 
prazos e as taxas de desconto efetivas lineares das letras. 
Dados: N1 = $10.000, N2 = $8.000, d = 36% a.a., D = $4.400, n2 = n1+10 dias, n1 = ?, i1 = ?, i2 = ? 
 
D N d n= × ×
[ ]( )1 1 1 2 10,36$4.400 = $10.000 n +$8.000 n + 10 n =240 dias n = n +10 =250 dias
360
× × × ⇒ ⇒
 
Além disso, 
( )
( )
( )
1 1
2 2
d i
1 d n/360
0,36i i 47,37% a.a.
1 0,36 240/360
0,36i i 48% a.a
1 0,36 250/360− ×⎡ ⎤⎣ ⎦
 
15. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 150 e 120 dias, foram descontadas comercialmente a 
uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $53.000. Determinar os 
=
− ×⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⇒ =
− ×⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⇒ =
 
tarde, a taxa de 
desconto seria de 8% a.m a dos valores dos descontos seria de $72.000. 
Dados: d1 = 5% a.m., D1+ D2= $53.000, D1+ D2= $72.000, d2 = 8% a.m. n1 = 150 dias, n2 = 120 
dias, N1 = ?, N2 = ? 
 
valores nominais dos títulos sabendo-se que, se essa operação fosse feita 20 dias mais 
. e a som
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2N = $100.000 N = $140.000
D N d n
0,05$53.000 = 150 N +120 N $1.060.000 5 N +4 N30
0,08 $2.700.000 13 N +10 N$72.000 = 130 N +100 N
30
= × ×
⎧ ⎫× × ×⎪⎪ = × ×⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬= × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×
⎪ ⎪⎩ ⎭
 
desconto do segundo é de $166.454,55, calcular os valores nominais dos títulos. 
Dados: d = 6% a.m., N1 –D2= $166.454,55 n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ? 
 
⇒
 
16. Dois títulos com prazos, respectivamente, de 60 e 90 dias foram descontados comercialmente à 
 taxa de desconto de 6% a.m., produzindo os mesmos valores liberados para ambos os títulos. 
Considerando-se que a diferença entre o valor nominal (valor de resgate) do primeiro e o valor do 
 40
( )
( ) ( )1 2 1 2
V N 1 d n
N 1 0,06 2 N 1 0,06 3 N 0,9318 N− × = − × ⇒ = ×
 
Logo, 
= − ×
1 2 2
2 1
D = N d n× ×
N = 0,9318 N = $166.454,55 + 0,06 3 N × × × 
N = $221.402,67 N = $206.307,03⇒
 
17. Dois títulos vencíveis, respectivamente, em 33 e 66 dias foram descontados comercialmente, o 
primeiro à taxa de desconto de 40% a.a. e o segundo à taxa de 38% a.a., totalizando um desconto de 
iderando-se que o valor nominal do primeiro é a metade do valor nominal do segundo, 
inais dos dois títulos. 
Dados: d1 = 40% a.a., d2 = 38% a.a., D = $1.760, N1 = N2/2, n1 = 33 dias, n2 = 66 dias, N1 = ?, N2 = ? 
 
$1.760. Cons
calcular os valores nom
[ ]1 1 1 20,40 0,38$1.760 = N 33 + 2 N 66 N = $10.000 N = $20.000
360 360
⎛ ⎞
D N d n= × ×
× ×
que o valor líquido liberado foi de $18.000 e sabendo-se que foi cobrada uma 
 sobre o valor nominal da duplicata, calcular a taxa mensal de desconto e a taxa de 
desconto efetiva linear da operação. 
Dados: N = $20.000, V = $18.000, D = $2.000, n = 120 dias, s = 2%, d = ?, i = ? 
 
 
 disso, 
× × × ⇒ ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
18. Uma duplicata de $20.000 foi descontada comercialmente 120 dias antes do vencimento. 
Considerando-se 
comissão de 2%
( )
( )
V N 1 s d n
$18.000 $20.000 1 0,02 d 4 d 2% a.m.
= − − ×
= − − × ⇒ =
 
Além
[ ] [ ]
d n + s 1 0,02 4 + 0,02 1 i = 2,78% a.m.
1 d n - s n 1 0,02 4 - 0,02 4
× ×
= ×
ontadas comercialmente a uma 
xa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $1.070. Se essa operação 
fosse feita dez dias mais tarde, a taxa de desconto seria de 6% a.m. e a soma dos descontos totalizaria 
$1.184. Calcular os valores nominais dos títulos. 
Dados: d12 = 5% a.m., D12 = $1.070, d3 = 6% a.m., D3 = $1.184, n1 = 186 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, 
N2 = ? 
= ×
− × − ×
 
 
19. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 186 e 90 dias foram desc
ta
 
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
D N d n
$1.070 = 186 N +90 N $7.133,33 2, 67 N +1 N30
0,06 $59.200 17,6 N +8 N$1.184 = 176 N +80 N
= ×
0,05
0
×
× × ×⎪ ⎪ = × ×
⎧ ⎫
30
1 2N = $2.000 N = $3.000
⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬= × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×
⎪ ⎪⎩
 
 
500, n = 3 meses, d = 1% a.m., V = ? 
 
⎭
⇒
20. O possuidor de um título de $20.000, com vencimento para três meses, tem duas possibilidades: 
vendê-lo por $19.500 a um particular ou descontá-lo comercialmente em um banco que aplica uma 
taxa de desconto de 1% a.m.. Determinar qual transação é a mais vantajosa. 
Dados: N = $20.000, G = $19.
 
( )
( )
V N 1- d n
V $20.000 1- 0,01 3 V = $19.400
= × ×
= × × ⇒
 
 41
Como o banco liberará apenas $19.400, a melhor opção é vendê-lo por $19.500! 
 
Analogamente, podemos resolver o problema comparando os descontos: 
 
0 dias, foram descontados 
racionalmente à taxa de 6% a.m.. Considerando-se ue os dois tiveram o mesmo valor liberado e que a 
diferença entre o valor nominal do primeiro e o valor do desconto do segundo é de $4.160,91, calcular 
os valores nominais dos títulos. 
Dados: d = 6% a.m., N1 – D2 = $4.160,91, V1 = V2, n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ? 
 
D N d n
D $20.000 0,01 3 D = $600
= × ×
= × × ⇒
 
Como o banco descontará $600, a melhor opção é vendê-lo por $19.500 
(um desconto de apenas $500)! 
 
21. Dois títulos, o primeiro com vencimento para 60 dias e o segundo para 9
q
2 2
D V d n
D 0,18V
= × ×
=
 
Logo, 
( )N = V 1+ d n×
( )1
 1 2
N = $4.160,91 + 0,18V = V +0,06 2
V = $4.426,50 N = $4.957,68 N = $5.223,27
×
⇒ ⇒
 
 
22. Dois títulos foram descontados comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de desconto de 
 desconto de $2.000. Considerando-se que o valor de resgate do segundo é o 
r de resgate do primeiro, calcular os valores de resgate dos títulos. 
1
4% a.m., totalizando um
dobro do valo
Dados: d = 4% a.m., D = $2.000, N2 = 2 × N1, n = 60 dias, N1 = ?, N2 = ? 
 
( )1 1 1 2
D N d n
$2.000 = 0.04 2 N + 2 N N = $8.333,33 N = $16.666,67
= × ×
× × ⇒ ⇒
 
 
23. A soma dos valores dos descontos e dos valores líquidos liberados por duas promissórias 
descontadas comercialmente totalizaram, respectivamente, $6.300 e $143.700. O valor de resgate da 
segunda promissória é o dobro do valor de resgate da primeira e vence 30 dias depois. Considerando-
se uma taxa de desconto de 2,1% a.m., determinar os valores de resgate e os prazos dos títulos. 
Dados: d = 2,1% a.m., D1 + D2 = = $6.300, V1 + V2 = $143.700, N2 = 2 × N1, n2 = n1 + 30, N1= ?, N2 
= ?, n1 = ?, n2 = ? 
 
( ) ( )1 2 1 1 2 2
1 11
2
N N = D +V D +V $150.000
N 2N =$150.000 N = $50.000
N = 2 $50.000 = $100.000
+ + =
+ ⇒
×
 
Além disso, 
[ ]( )1 1 1 20,021$6.300 = $50.000 n +$100.000 n +30 n = 40 dias n = 70 dias
30
× × ⇒ ⇒
 
 
24. Duas letras com prazos, respectivamente, de 40 e 120 dias foram descontadas comercialmente à 
D N d n= × ×
o 
valores dos descontos comerciais totalizaria $18.500. Determinar os valores nominais das letras. 
Dados: d = (6% a.m. e 5% a.m. ), D1 + D2 = $24.800, D1 + D2 = $18.500, n1 = 40 dias, n2 = 120 dias, 
N1 = ?, N2 = ? 
 
taxa de desconto de 6% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $24.800. Se a operaçã
fosse feita dez dias mais tarde, teria sido aplicada uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos 
 42
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
D N d n
0,06$24.800 = 40 N +120 N $310.000 N +3 N30
0,05 $1.110.000 3 N +11 N$18.500 = 30 N +110 N
30
N = $40.000 N = $90.000
= × ×
⎧ ⎫× × ×⎪ ⎪ = ×⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ = × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×
⎪ ⎪⎩ ⎭
⇒
 ⎬
Calcular o valor total 
eração se realizasse 30 dias mais tarde, a soma 
dos valores dos descontos teria sido de $180. 
Dados: i = 2% a.m., D1 + D2 = = $300, D1 + D2 = $180, n1 = 90 dias, n2 = 45 dias, V = V1+ V2 = ? 
 
 
25. Duas letras vencíveis, respectivamente, em 90 e 45 dias foram descontadas racionalmente a uma 
taxa simples de 2% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $300. 
liberado pelas duas letras, sabendo-se que, se essa op
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
D V×i n
V +1 V
V +1 V$180 = 60 V +15 V
30
V = $4.000 V = $2.000 V= $6.000
= ×
1 2
0,02$300 = 90 V +45 V $10.000 230
⎧ ⎫× × ×⎪ ⎪ = × ×⎧ ⎫⎪ ⎪
0,02 $18.000 4
⇒⎨ ⎬× ⎭× × ×
⎪ ⎪⎩ ⎭
⇒ ⇒
 
 
26. Uma nota promissória de $5.000 foi descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento à taxa 
 a.m.. Calcular o valor líquido recebido pelo possuidor do título. 
Dados: i= 3% a.m., N = $5.000, n = 2 meses, V =? 
 
⎬ ⎨ = ×⎩⎪ ⎪
simples de 3%
N $5.000N V(1+ i n) V= $4.716,98
(1+ i n) 1+0,03 2
= × ⇒ = =
× ×
 
 
27. Um título de $50.000 sofreu um desconto comercial de $4.000. Considerando-se uma taxa de 
desconto efetiva linear de 10,87% a.m., determinar o prazo da operação. 
Dados: i = 10,87% a.m., D = $4.000, N = $50.000, n = 60 dias, n =? 
 
D N d n= × ×
n$4.000 = $50.000 d d n = 2,4
30
× × ⇒ ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Além disso, 
⎛ ⎞
( )
[ ]
d i
1 d n 30
d 20,1087 d = 10% a.m. n = =24 dias
1 0,08 0,10
e
=
− ×⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⇒
−
 
,4
28. Uma promissória de $22.000 teve um desconto comercial de $2.000. Considerando-se que a taxa 
efetiva exponencial da operação é de 4,8809% a.m., determinar o prazo da operação e a taxa de 
esconto contratada. 
 
d
Dados: ie = 4,8809% a.m., D = $2.000, N = $22.000, n = ?, d = ? 
 
D N d n= × ×
n$2.000 = $22.000 d d n = 2,727
0
⎛ ⎞
3
× ×
Além disso, 
( )
 
⇒ ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
( )
( )
30/n
e
30/n 30/n
i N/V 1
0,048809 $22.000 / $20.000 1 1,048809 = 1,1
= −
= − ⇒
 
 43
aplicando logaritmos: n log 1,048809 30 log 1,1
n= 60 dias d= 4,5455% a.m.
× = ×
⇒
 
 
29. Um banco emprestou $100.000 por 40 dias ajuros efetivos compostos de 26% a.a.. Considerando-
se que o banco descontará comercialmente uma promissória com valor nominal de $50.022,36 a uma 
taxa de desconto de 4% a.m., determinar o prazo do desconto de modo que as duas operações 
roduzam o mesmo rendimento. p
Dados: P = $100.000, i = 26% a.a., n1 = 40 dias, N = $50.022,36, d = 4% a.m., n2 = ? 
 
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D J=
( )
( )
1n
2 
2 40 360
2 
N d n = P 1+i 1
n $50.022,36 0,04 $100.000 1,26 1 n = 39 dias 
30
⎡ ⎤× × −⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎡ ⎤× × = − ⇒⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
 
 
30. Um banco pode emprestar $25.000 a juros efetivos de 42% a.a. ou empregar esse capital em 
ercial com prazo de 90 dias. Qual deve ser a taxa de desconto aplicada na operações de desconto com
operação, de modo que o banco tenha um rendimento igual ao obtido no empréstimo? 
Dados: P = $25.000, i = 42% a.a., n = 90 dias, d = ? 
 
juros obtidos no desconto = juros obtidos no mpr
D J=
( )
( )
n
 
3 12
e éstimo
N d n = P 1+i 1
 $25.000 d 3 $25.000 1,42 1 d= 3,0541% a.m.
⎡ ⎤× × −⎣ ⎦
⎡ ⎤× × = − ⇒⎣ ⎦
 
31. Um título com valor nominal de $240.000 foi descontado comercialmente 60 dias antes do 
vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcular o valor líquido liberado ao seu portador e a 
xa de desconto efetiva exponencial anual. 
 
Além disso, 
 
presa descontou comercialmente, 100 dias antes do vencimento, uma duplicata de 
siderando-se que o valor líquido liberado foi de $19.000, calcular a taxa de desconto 
mensal e a taxa de desconto efetiva exponencial anual . 
Dados: N = $20.000, n = 100 dias, V = $19.000, d = ?, ie = ? 
 
 
ta
Dados: N = $240.000, n = 60 dias, d = 4% a.m., V = ?, ie = ? 
 
( )V N 1 - d n= ×
( )V = $240.000 1 - 0,04 2 V =× ⇒ $220.800
( )
( )
360/n
e
360/60
e e
i N/V 1
i $240.000 / $220.800 1 i 64,9199% a.a.
= −
= − ⇒ =
 
32. Uma em
$20.000. Con
nV N 1 - d
30
100$19.000 = $20.000 1 - d d = 1,5% a.m.
⎛ ⎞
30
= ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞× ×
⎝ ⎠
 
⇒⎜ ⎟
 
Além disso, 
( )
( )
360/n
e
360/100
e e
i N/V 1
i $20.000 / $19.000 1 i 20,2804% a.a.
= −
= − ⇒ =
 
 44
33. Calcular o valor nominal de uma nota promissória descontada comercialmente três meses antes do 
vencimento de modo que seu valor liberado seja igual à soma dos valores liberados por três duplicatas 
com valores nominais, respectivamente, de $100, $500 e $700 descontadas pelo mesmo prazo e taxa 
de desconto da nota promissória. 
Dados: N1 = $100, N2 = $500, N3 = $700, n = 3 meses, d = d123, V = $19.000, N = ? 
 
3
1
V V N 1 - d
30
n n n n
i
i=
1 2N 1 - d = N 1 - d N 1 - d
30 30
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛× × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
1 2 3
n
N 1 - d
30 30
N = N + N + N N = $1.300
⎛ ⎞= =
× + ×⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒
 
 
34. Um lote de títulos públicos com vencimento para 180 dias foi negociado a $20.000. Considerando-
se que a rentabilidade efetiva exponencial da operação foi de 2% a.m., determinar o P.U. das letras. 
30/180 1/ 6
/P.U. 1
0,02 1/ PU 1 1,02 1/ PU PU = 0,887971
−
= − ⇒ = ⇒
 
 
35. O quociente entre o valor nominal e o valor liberado por um título descontado comercialmente 60 
vencimento é 1,03. Calcular a taxa de desconto efetiva linear e exponencial da operação. 
Dados: N/V = 1,03, n = 60 dias, i = ?, ie = ? 
 
lém disso, 
×⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎞ ⎛ ⎞
∑
Dados: ie = 2% a.m., n = 180 dias, V = $20.000, P.U.= ? 
 
(ei 1= )
( ) ( )
30/n
dias antes do 
( )
( )
30/n
e
30/60
e e
i N/V 1
i 1,03 1 i 1,4889% a.a.
= −
= − ⇒ =
 
A
D 30i
V n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×
( ) 30i 1,03 - 1 i = 1,⎛ ⎞= × ⇒⎜ ⎟ 5% a.m.60
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
36. Um título com valor nominal de $2.000 foi descontado comercialmente. Considerando-se que a 
nto efetiva exponencial foi 3% a.m. e que a antecipação foi de dois meses, calcular a taxa 
sconto e o valor do desconto. 
Dados: ie = 3% a.m., N = $2.000, n = 2 meses, d = ?, D = ? 
 
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
taxa de desco
mensal de de
D N d n
D = $2.000 2 d D = $4.000 d
= × ×
× × ⇒ ×
 
Além disso, 
( )
e
1/2
-1/2
i 1
1 d n
10,03 1 1,03 = 1- 2 d
1/n1
d = 2,8702% a.m. D = $4 00 d = $4000 0,08792 = $114,81
⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ×⎝ ⎠
1 d 2
⎛ ⎞= − ⇒ ×⎜ ⎟ 
.0
− ×
×
 
37. Calcular a taxa de juros efetiva composta que um banco deverá adotar para emprestar um capital 
de €$10.000 por 4 meses, de modo que tenha uma remuneração igual à obtida no desconto comercial 
de uma duplicata de $20.000 descontada pelo mesmo prazo à taxa de desconto de 2% a.m.. 
Dados: P = $10.000, N = $20.000, n = 4, d = 2% a.m., € i = ? 
 
⎝ ⎠
⇒ ×
 45
( )
( )
( ) ( )
n
 
4
4 1/ 4
 
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D J
N d n = P 1+i 1
 $20.000 0,02 4 $10.000 1+i 1
1+i 1,16 i= 1,16 1 3,7880% a.m.
=
⎡ ⎤× × −⎣ ⎦
⎡ ⎤× × = × −⎣ ⎦
⇒ = ⇒ − =
 
 
 
CAPÍTULO 5 
Exercícios Propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 
dias e pagamentos postecipados (termos vencidos). 
 
1. Um financiamento de $132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Considerando-se que a 
taxa de juros efetiva cobrada será de 3% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem 
pagas: a) postecipadamente (final de cada mês); e b) antecipadamente (início de cada mês). 
Dados: P = $132.000, i =3% a.m., n = 14, R = ? 
 
a) prestação postecipada: 
 
( )
( )
n i%
14
14 3%
14
Financiamento R
P $132.000 $132.000R =$11.685,48
11, 296071,03 1
1,03 0,03
a
a
=
= = =
⎡ ⎤−
⎢ ⎥
⎢ ⎥×⎣ ⎦
 
b) prestação antecipada: 
 
As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira 
prestação paga no ato): 
 
( )
( )
n-1 i% n-1 i%
13 3%
13
13
Financiamento efetivo empréstimo - primeira prestação paga no atoR
P - RR
$132.000 RR
1,03 1
1,03 0,03
$132.000 RR R =$11.345,12
10,63496
a a
a
= =
=
−
=
⎡ ⎤−
⎢ ⎥
⎢ ⎥×⎣ ⎦
−
= ⇒
 
 
2. Uma pessoa deposita $2.450 todo final de mês em um fundo de investimento que paga juros 
nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante da aplicação no fim do 16o 
mês. 
Dados: R = $2.450, J =120% a.a., k =12, n = 16, S = ? 
 
 46