FdCE_Aula03_Métodos - Gauss-Seidel

Prévia do material em texto

Métodos de solução
Professora: Cecília Costa
Fluxo de Carga e Estabilidade
Métodos de solução
 Métodos iterativos baseados na matriz Y
 Gauss
 Gauss-Seidel
 Métodos iterativos de Newton
2 Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Métodos iterativos baseados na matriz Y
3
 Considere um sistema de n equações algébricas lineares 𝐴 ×
𝑥 = 𝑏
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
 
𝑗=1
𝑛
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑛
Separando o termo em que j = i:
𝐴𝑖𝑖𝑥𝑖 + 
𝑗=1,𝑗≠𝑖
𝑛
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Métodos iterativos baseados na matriz Y
4
 Considere um sistema de n equações algébricas lineares 𝐴 ×
𝑥 = 𝑏
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
Resolvendo para 𝑥𝑖
𝑥𝑖 =
1
𝐴𝑖𝑖
𝑏𝑖 − 
𝑗=1,𝑗≠1
𝑛
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Métodos iterativos baseados na matriz Y
5
 Para uma iteração (m + 1), o processo iterativo pode ser
definido como:
 O processo iterativo implica na geração de uma sequência de
valores para as incógnitas, começando por valores iniciais
arbitrados: 𝑥𝑖
0 → 𝑥𝑖
1 → 𝑥𝑖
2 → 𝑥𝑖
3 → ⋯
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝑥𝑖
(𝑚+1)
=
1
𝐴𝑖𝑖
𝑏𝑖 − 
𝑗=1,𝑗≠1
𝑛
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑚)
𝑖 = 1,… , 𝑛
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Métodos iterativos baseados na matriz Y
6
 Método de Gauss:
 Para a obtenção de 𝑥𝑖
(𝑚+1)
são utilizados os valores de 𝑥𝑖
(𝑚)
(todos os valores da iteração anterior)
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝑥𝑖
(𝑚+1)
=
1
𝐴𝑖𝑖
𝑏𝑖 − 
𝑗=1,𝑗≠𝑖
𝑛
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑚)
𝑖 = 1,… , 𝑛
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Exemplo
7
 Para n = 3
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝑥𝑖
(𝑚+1)
=
1
𝐴𝑖𝑖
𝑏𝑖 − 
𝑗=1,𝑗≠1
3
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑚)
𝑖 = 1, 2, 3
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
𝑥1
(𝑚+1)
=
1
𝐴11
𝑏1 − 𝐴12𝑥2
𝑚
− 𝐴13𝑥3
(𝑚)
𝑥2
(𝑚+1)
=
1
𝐴22
𝑏2 − 𝐴21𝑥1
𝑚
− 𝐴23𝑥3
(𝑚)
𝑥3
(𝑚+1)
=
1
𝐴33
𝑏3 − 𝐴31𝑥1
𝑚
− 𝐴32𝑥2
(𝑚)
Métodos iterativos baseados na matriz Y
8
 Método de Gauss-Seidel:
 Para a obtenção de 𝑥𝑖
(𝑚+1)
são utilizados os valores mais recentes 
disponíveis dos elementos do vetor 𝑥
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝑥𝑖
(𝑚+1)
=
1
𝐴𝑖𝑖
𝑏𝑖 − 
𝑗=1
𝑖−1
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑚+1
− 
𝑗=𝑖+1
𝑛
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑚)
𝑖 = 1,… , 𝑛
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Exemplo
9
 Para n = 3
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝑥𝑖
(𝑚+1)
=
1
𝐴𝑖𝑖
𝑏𝑖 − 
𝑗=1
𝑖−1
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑚+1
− 
𝑗=𝑖+1
3
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑚)
𝑖 = 1, 2, 3
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
𝑥1
(𝑚+1)
=
1
𝐴11
𝑏1 − 𝐴12𝑥2
𝑚
− 𝐴13𝑥3
(𝑚)
𝑥2
(𝑚+1)
=
1
𝐴22
𝑏2 − 𝐴21𝑥1
𝑚+1
− 𝐴23𝑥3
(𝑚)
𝑥3
(𝑚+1)
=
1
𝐴33
𝑏3 − 𝐴31𝑥1
𝑚+1
− 𝐴32𝑥2
(𝑚+1)
Aplicação em fluxo de potência
10
 O equacionamento para a utilização do método de Gauss-
Seidel é
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝐸𝑘 =
1
𝑌𝑘𝑘
𝑆𝑘
∗
𝐸𝑘
∗ − 
𝑛∈Ω𝑘
𝑛
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛
𝑆𝑘
∗ = 𝐸𝑘
∗ 
𝑛∈Ω𝑘
𝑛
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛 + 𝐸𝑘
∗𝑌𝑘𝑘𝐸𝑘
𝑆𝑘 = 𝑃𝑘 + 𝑗𝑄𝑘 = 𝑃𝐺𝑘 − 𝑃𝐿𝑘 + 𝑗(𝑄𝐺𝑘 − 𝑄𝐿𝑘)
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
𝐼𝑘 = 𝑌𝑘𝑘𝐸𝑘 + 
𝑛∈Ω𝑘
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛
Aplicação em fluxo de potência
11
 Utilizando Gauss-Seidel tem-se, para uma iteração (m+1)
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝐸𝑘
(𝑚+1)
=
1
𝑌𝑘𝑘
𝑆𝑘
∗
𝐸𝑘
(𝑚)∗
− 
𝑛=1
𝑘−1
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛
𝑚+1
− 
𝑛=𝑘+1
𝑁𝐵
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛
(𝑚)
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Aplicação em fluxo de potência
12
 Tipos de barras
 Barra de balanço (ou referência): existe para suprir as perdas
do sistema; só existe uma barra de balanço em todo o
sistema
 Dados de entrada: Vk e θk
 Calculado nesta barra: Pk e Qk
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Aplicação em fluxo de potência
13
 Tipos de barras
 Barra de carga: não existe qualquer controle de tensão nesta
barra; representa a maioria das barras em um sistema
 Dados de entrada: Pk e Qk
 Calculado nesta barra: Vk e θk
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Aplicação em fluxo de potência
14
 Tipos de barras
 Barra de tensão controlada: existem dispositivos de controle
que permitem manter o módulo da tensão e a injeção de
potência ativa em valores especificados, tais como gerador e
compensador síncrono
 Dados de entrada: Pk e Vk
 Calculado nesta barra: Qk e θk
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Aplicação em fluxo de potência
15
 O valor de 𝑆𝑘 utilizado depende do tipo de barra
 Se a barra for PQ (carga), 𝑆𝑘 é especificado
 Se a barra for PV (geração), somente 𝑃𝑘 é especificado. Estima-se 𝑄𝑘
com base nos valores atuais das tensões
 Se a barra for Vθ (balanço), a tensão não é atualizada
 Caso o limite de potência reativa seja violado, a barra 
correspondente é convertida em barra de carga
 A injeção de potência reativa é fixada no limite e a magnitude da 
tensão passa a ser uma variável adicional
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Exemplo
16
 Considere a rede a seguir:
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝐸1 = 1,0112∠0° pu
𝑧 = 0,01 + 𝑗0,05 pu
𝑆2 = −1,0∠0° pu
𝐸2
(𝑚+1)
=
1
𝑌22
𝑆2
∗
𝐸2
(𝑚)∗
− 𝑌21𝐸1
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
𝐸1 𝐸2
𝑆2𝑆1
𝑧
Exemplo (continuação)
17
 𝑌22 e 𝑌21 são obtidos pela matriz Y 
 𝐸1 é dado e não é atualizado
 𝑆2 foi especificado
 𝐸2
(0)
= 1∠0° pu
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝐸2
(𝑚+1)
=
1
𝑌22
−1∠0°
𝐸2
(𝑚)∗
− 𝑌21 × 1,0112∠0°
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Exemplo (continuação)
18
Iteração E2 (pu)
0 1 + j0
1 1,0012 – j0,050
2 0,9987 – j0,0493
3 0,9987 – j0,0494
4 0,9987 – j0,0494
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
 Quando parar?
 Teste de convergência: |𝐸2
𝑚+1
− 𝐸2
(𝑚)
| < 𝜀
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Exemplo (continuação)
19
 Potência na barra de referência
𝑆1 = 𝐸1𝐼12
∗ = 𝐸1
1
𝑧
𝐸1 − 𝐸2
∗
= 1,01 + 𝑗0,05 pu
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Aplicação em fluxo de potência
20
 Caso exista barra PV:
 Calcular Qk a cada iteração com a equação:
𝑄𝑘
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜)(𝑚+1)
= −Im 𝐸𝑘
𝑚+1 ∗
× 
𝑛=1
𝑁𝐵
𝑌𝑘𝑛 𝐸𝑛
(𝑚+1)
 Calcular o valor da tensão
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝐸𝑘
(𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠ó𝑟𝑖𝑜)(𝑚+1)
=
1
𝑌𝑘𝑘
𝑃𝑘 − 𝑗𝑄𝑘
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜)(𝑚+1)
𝐸𝑘
(𝑚)∗
− 
𝑛=1
𝑘−1
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛
𝑚+1
− 
𝑛=𝑘+1
𝑁𝐵
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛
(𝑚)
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Aplicação em fluxo de potência
21
 Caso exista barra PV:
 Desta equação
temos 𝑉𝑘
(𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠ó𝑟𝑖𝑜)(𝑚+1)
∠𝜃𝑘
(𝑚+1)
. Como Vk é especificado, só 
aproveitamos o ângulo da tensão provisória calculada.
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
𝐸𝑘
(𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠ó𝑟𝑖𝑜)(𝑚+1)
=
1
𝑌𝑘𝑘
𝑃𝑘 − 𝑗𝑄𝑘
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜)(𝑚+1)
𝐸𝑘
(𝑚)∗
− 
𝑛=1
𝑘−1
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛
𝑚+1
− 
𝑛=𝑘+1
𝑁𝐵
𝑌𝑘𝑛𝐸𝑛
(𝑚)
𝐸𝑘
(𝑚+1)
= 𝑉𝑘
(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜)
∠𝜃𝑘
(𝑚+1)
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Exemplo 2
22
 Encontrar V3, θ3, Q2 e θ2 pelo método de Gauss-Seidel
com duas iterações
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
𝐸2
𝐸1
 𝑉1 = 1,0∠0°
−𝑗10,0
−𝑗10,0
−𝑗5,0
𝑃𝐿3 = 4,5 pu
𝑄𝐿3 = 0,5 pu
𝑃𝐺2 = 3,0 pu
𝑉2 = 1,1 pu
Exemplo 2
23
 Resposta
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta
Iteração Valores encontrados
1ª
Q2 = 1,65 pu
θ2 = 9,39°
V3 = 1,02 pu
θ3 = -13,57°
2ª
Q2 = 2,13 pu
θ2 = 6,3°
V3 = 0,96 pu
θ3 = -14,35°
Métodositerativos baseados na matriz Y
24
 Método simples
 É necessário pouco espaço de armazenamento
 Gauss-Siedel: os valores da iteração anterior não precisam ser 
armazenados
 Elevado grau de esparsidade da matriz Y
 Pequeno número de cálculo por iteração
 Convergência lenta
Fluxo de Carga e Estabilidade – Métodos de solução
©
2
0
1
8
 C
e
c
íl
ia
A
B
C
o
s
ta