04 Momento de Inercia

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Momento de Inércia
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Prof. Dr. Geovane Araújo
FACULDADE TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES
FACULDADE DE ENGENHARIA SOUZA MARQUES
MECÂNICA APLICADA
Momento de Inércia
Momento de Inércia
Momento de Inércia
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Momento de Inércia
Figura 10.2
Considere a área A, mostrada na Figura 10.2, que se encontra no 
plano x-y. Por definição, os momentos de inércia de uma área plana 
infinitesimal dA em relação aos eixos x, y são dlx = y2 dA e dly = x2 
dA, respectivamente. Para toda a área, os momentos de inércia são 
determinados por integração, isto é:
dAyI
A
x ∫= 2
dAxI
A
y ∫= 2
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Momento de Inércia. 
Momento de Inércia
Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
Se o momento de inércia de uma área
em relação a um eixo passa pelo seu
centroide, como é o caso na maioria
das vezes, é conveniente determinar o
momento de inércia da área em
relação a um eixo paralelo
correspondente, utilizando o teorema
dos eixos paralelos. Para derivarmos
esse teorema, vamos determinar o
momento de inércia da área
sombreada mostrada na Figura 10.3
em relação ao eixo x
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Momento de Inércia
Nesse caso, o elemento infinitesimal dA está
localizado a uma distância arbitrária y' do eixo x', que
passa pelo centroide, enquanto a distância fixa entre
os eixos paralelos x e x' é definida por dy. Como o
momento de inércia de dA em relação ao eixo x é
dlx = (y' + dy)2 dA, 
então, para toda a área:
∫=
A
xx dII
dAdyI
A
yx ∫ += 2)'(
dAddyyI
A
yyx ∫ ++= )'2'( 22
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Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
Momento de Inércia
Sabendo que a terceira integral representa a área total A, o 
resultado final é, portanto:
Uma expressão similar pode ser escrita para Iy, isto é:
e, finalmente, para o momento polar de inércia em relação
a um eixo perpendicular ao plano x-y que passa pelo pólo
O (eixo z) (Figura 10.3), temos:
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Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
Momento de Inércia
dAddyyI
A
yyx ∫ ++= )'2'( 22
∫∫ ∫ ++=
A
y
A A
yx dAddAdydAyI
22 '2'
A primeira integral representa o momento de inércia da 
área em relação ao eixo que passa pelo centroide, 
A segunda integral é zero, uma vez que x' passa através do 
centroide C da área, isto é
Já que y = 0.
XI
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Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
Momento de Inércia
A forma de cada uma dessas três equações
estabelece que o momento de inércia de uma área
em torno de um eixo é igual ao momento de inércia
da área em torno de um eixo paralelo (Ix’) que
passa pelo centroide da área (A) mais o produto da
área pelo quadrado da distância (d2) perpendicular
entre os dois eixos.
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Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
Momento de Inércia
Deve-se determinar os momentos de inércia de cada urna das
partes do composto em relação aos eixos que passam pelos seus
centroides, que são paralelos ao eixo de referência. Para esses
cálculos, utilize a tabela no final do livro.
Se o eixo que passa pelo centroide de urna das partes não coincide
com o eixo de referência, deve-se aplicar o teorema dos eixos
paralelos, Ix = Ix’+ Ad2, para determinar seu momento de inércia
em relação ao eixo de referência.
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Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
Momento de Inércia
Somatórios
O momento de inércia de toda a área em relação ao eixo
de referência é determinado pelo somatório dos
resultados de suas partes constituintes.
Caso uma parte do composto tenha uma 'área faltante', o
momento de inércia dessa parte é encontrado 'subtraindo-
se' o momento de inércia da área faltante do momento de
inércia da área composta total, incluindo a área que falta.
MOMENTOS DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS
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Momento de Inércia
• O momento de inércia de área, também chamado de
segundo momento de área ou segundo momento de
inércia, é uma propriedade geométrica da seção
transversal de elementos estruturais.
• Fisicamente o segundo momento de inércia está
relacionado com as tensões e deformações que
aparecem por flexão em um elemento estrutural e,
portanto, junto com as propriedades do material
determina a resistência de um elemento estrutural sob
flexão.
• Basicamente os associamos a forças aplicadas na área
que variam linearmente com a distância, invertendo
sua direção em dado eixo. Considere as dimensões em
mm.
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Momento de Inércia
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01. Calcule o momento de inércia em relação aos eixos x e y
20 mm --
80 mm --
20 mm 100 mm
X (mm)
y (mm)
Momento de Inércia
Uma área composta é constituída por uma série de outras áreas ou formas
geométricas 'mais simples', como semicírculos, retângulos e triângulos. Desde que o
momento de inércia de cada uma dessas partes seja conhecido ou possa ser
determinado em relação a um eixo comum, então o momento de inércia da área
composta é igual à soma algébrica dos momentos de inércia de todas as partes que a
compõem.
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE
O momento de inércia de uma área composta em relação a um
eixo de referência pode ser determinado utilizan-do-se o
procedimento a seguir.
Partes Constituintes
A partir de um esboço, divida a área nas partes que a compõe e
indique a distância perpendicular do centroide de cada parte em
relação ao eixo de referência.
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Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
Momento de Inércia
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Solução: 
20 mm --
80 mm --
20 mm 100 mm
X (mm)
y (mm)
Momento de Inércia
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Solução:
20 mm --
80 mm --
20 mm 100 mm
X (mm)
y (mm)
Momento de Inércia
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02. Calcule o momento de inércia em relação aos eixos x e y
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
Momento de Inércia
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Solução
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
Momento de Inércia
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Solução
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
Momento de Inércia
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Calcule o momento de inércia em relação aos eixos x e y
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
Momento de Inércia
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03. Calcule o centroide do perfil abaixo. Depois, adote o centroide como a 
origem dos eixos coordenados e calcule momento de inércia em relação 
aos novos eixos x’ e y’
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
*
• Centroide da peça
• Nova origem
• Os eixos cartesianos deverão ser 
posicionado nesse ponto.
Momento de Inércia
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solução
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
*
x’ 
y’
Momento de Inércia
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Solução
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
62 mm
14 mm*
x’ 
y’
Momento de Inércia
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Solução
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
62 mm
14 mm*
x’ 
y’
Momento de Inércia
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Solução
20 mm --
80 mm --
20 mm 120 mm
X (mm)
y (mm)
60 mm --
140 mm
-60 mm --
62 mm
14 mm*
x’ 
y’
Momento de Inércia
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04. Calcule o momento de inércia da área composta mostrada na 
figura abaixo em relação ao eixo x.
Partes constituintes
Momento de Inércia
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Momento de Inércia
2rA π=
dy
Solução
Momento de Inércia
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bhA =
Solução
Momento de Inércia
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05. Determine a redução percentual no momento de inércia polar da placa retangular 
devida à introdução do furo retangular. Os eixos x-y estão centrados na placa. 
Resposta. n = 6,25%
2
h
2
b
h
b
Momento polar de inércia
( )22
12
hbbhI z +=
%100
I
II
maior Ret.
menor ret.-maior Ret.maior Ret. xn −=
Momento de Inércia
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06. A área da seção transversal de uma viga de abas largas em tem as dimensões 
mostradas. Obtenha uma boa aproximação para o valor tabelado de, 
tratando a seção como composta por três retângulos.
4610.385 mmI x =
Momento de Inércia
30
460mm – 17,6 mm -17,6mm
17,6 mm
17,6 mm 
1
2
3
Momento de Inércia
31
460mm – 17,6 mm -17,6mm1
12
3
1
bhI x =
18,1 mm
Retângulo 1
Momento de Inércia
32
17,6 mm 
Retângulo 2
(460mm – 17,6 mm )/2
12
3bhI x =
Momento de Inércia
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Finalmente
Ix =Ix1+Ix2+Ix3
Ix2=Ix3
Momento de Inércia
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Questão 07. Determine os momentos de inércia da área da
seção reta da viga mostrada na Figura abaixo emrelação
aos eixos x e y que passam pelo seu centroide.
100mm
300 mm
600 mm
1
2
3
Para o eixo x.
Momento de Inércia
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600 mm
dy
300 mm
100 mm
dy= (300/2 + 100/2)
dy= 200 mm
Retângulo 1 e 3
12
3bhI x =
Retângulo 2
12
3bhI x =
Momento de Inércia
Questão 08. Determine o momento de inércia da área da seção
transversal relação ao do eixo x.
Momento de Inércia
Questão 09. Determine o momento de inércia da área
da seção transversal em relação ao eixo y.
Momento de Inércia
10. Determine a distância até o centroide da área da 
seção transversal da viga; depois, determine o 
momento de inércia em relação ao eixo x’.
22,5 mm
Momento de Inércia
x
X’
Y
3 3
2
1
Momento de Inércia
x
X’
Y
50mm+25 mm
Momento de Inércia
x
X’
Y
12,5 mm
Momento de Inércia
x
X’
Y
50 mm
Momento de Inércia
x
X’
Y
Momento de Inércia
Questão 11. Determine a distância até o centroide da 
área da seção transversal da viga; depois, determine o 
momento de inércia em relação ao eixo x’.
mmY 5,22=
Momento de Inércia
x
y
Momento de Inércia
x’
ymmY 5,22=
x