Apostila - Mecânica dos Fluidos 2018

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Mecânica dos Fluidos 
Apostila 2018.1 
 
Apostila destinada ao apoio do estudo da disciplina acima citada, 
constituída a partir da Bibliografia Básica do curso, arquivo pessoal e 
material disponível na rede de computadores. 
 
Paulo Henrique 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
Unidade 1 – Definição e propriedades dos fluidos 
 
1.1- Introdução 
 
Definição: Mecânica dos fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do comportamento físico dos fluidos e das 
leis que regem este comportamento. 
 
Aplicações: 
 Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens. 
 Equilíbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcações. 
 Ação do vento sobre construções civis. 
 Estudos de lubrificação. 
 Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. Ex.: elevadores hidráulicos. 
 Cálculo de instalações hidráulicas. Ex.: instalação de recalque. 
 Cálculo de máquinas hidráulicas. Ex.: bombas e turbinas. 
 Instalações de vapor. Ex.: caldeiras. 
 Ação de fluidos sobre veículos (Aerodinâmica). 
Definição: Formalmente, um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma 
tensão de cisalhamento (força tangencial distribuída em uma área); em contraste, um sólido (não-fluido) 
experimenta, nessas condições, uma deformação que é proporcional à intensidade da força aplicada. 
 
 
Uma definição equivalente é a seguinte: fluido é uma substância que, quando em repouso, não oferece resistência a 
uma força de cisalhamento. Ou seja, ao contrário de um sólido, um fluido não é capaz de exercer uma força de 
resistência proporcional à deformação (F = kx), embora possa ser capaz de exercer uma força de resistência 
proporcional à velocidade da deformação (F = kv). 
Fluidos constituem o que se conhece pelos estados líquido e gasoso da matéria. São exemplos de fluidos a água, o 
ar, o sangue e o vidro. Os fluidos quase sempre se caracterizam por partículas fracamente ligadas, apresentando 
considerável mobilidade. A estrutura não apresenta simetria de translação ou periodicidade, exceto quando se trata 
de materiais conhecidos como Cristais Líquidos. Em um líquido, o volume é pouco sensível a variações de pressão 
(fluido incompressível); em um gás, o volume varia bastante de acordo com a pressão (fluido compressível). 
 
1.2- Lei de Newton da viscosidade 
 
Antes de entrarmos propriamente na lei de Newton, vejamos alguns princípios que nortearam a sua formulação. 
Princípio de aderência observado na experiência das duas placas: as partículas fluidas em contato com uma 
superfície sólida têm a velocidade da superfície que encontram em contato. 
 
Junto à placa superior as partículas do fluido têm velocidade diferente de zero. Junto à placa inferior as partículas 
têm velocidade nula. Entre as partículas de cima e as de baixo existirá atrito, que por ser uma força tangencial 
formará tensões de cisalhamento, com sentido contrário ao do movimento, como a força de atrito. 
As tensões de cisalhamento agirão em todas as camadas fluidas e evidentemente naquela junto à placa superior 
dando origem a uma força oposta ao movimento da placa superior. 
Gradiente de velocidade ( ): representa o estudo da variação da velocidade no meio fluido em relação à direção 
mais rápida desta variação. 
Para que possamos entender o valor desta lei, partimos da observação de Newton na experiência das duas placas. 
Ele observou que após um intervalo de tempo elementar (dt) a velocidade da placa superior era constante, isto 
implica que a resultante das forças na mesma é zero, isto significa que o fluido em contato com a placa superior 
origina uma força de mesma direção, mesma intensidade, porém sentido contrário à força responsável pelo 
movimento. 
 
 
“A tensão de cisalhamento é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade.” 
 
A constante de proporcionalidade da lei de Newton da viscosidade é a viscosidade dinâmica, ou simplesmente 
viscosidade - . 
 
dy
dv
 
dy
dv
 
F 
y 
 
1.3- Propriedades dos fluidos 
 
1. Massa específica (ρ) 
𝝆 = 
𝒎
𝑽
 [kg/m3] 
Onde: m = massa 
 V = volume 
 
2. Peso específico (γ) 
 
𝛄 = 
𝑮
𝑽
 [𝑵/𝒎𝟑] 
Onde: G = peso 
 V = volume 
Assim: 
𝛄 = 
𝑮
𝑽
= 
𝒎. 𝒈
𝑽
= 𝝆. 𝒈 
 
3. Viscosidade cinemática (ν) 
𝝂 = 
𝝁
𝝆
 [𝒎𝟐/𝒔] 
 
Exercícios 
1) A viscosidade cinemática de um óleo é 0,033 m²/s e a sua densidade é 0,86 g/cm3. Assumindo g igual a 
9,8m/s², determine: 
 
a) A massa específica do óleo. 
b) O peso específico do óleo. 
c) A viscosidade dinâmica do óleo 
Resp.: a) 860 kg/m³; b) 8428 N/m³; 28,38 N.s/m² 
 
 
2) Duas placas planas e paralelas estão separadas por uma fina camada de óleo com 0,5 mm de espessura. A 
placa superior se move com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior permanece imóvel. Considerando que 
o óleo apresente viscosidade cinemática de 0,15 stokes, massa específica de 905 kg/m³ e que a placa móvel 
possua área de 0,25 m², determine: 
 a) A tensão de cisalhamento que age sobre o óleo. 
 b) A força tangencial aplicada sobre a placa móvel. (Dica: 1 stoke = 1 cm²/s = 10-4 m²/s) 
Resp: a) 108,6 N/m²; b) 27,2 N 
 
 
3) Uma placa retangular medindo 4 m por 5 m escorrega com velocidade constante sobre um plano inclinado, 
como mostra a figura abaixo. A placa está apoiada sobre uma película de óleo com 1 mm de espessura e 
viscosidade dinâmica de 10-2 N.s/m2 . Sabendo-se que a massa da placa é de 10 kg, que a inclinação do plano 
é 30o e assumindo g igual a 9,8 m/s², determine: 
 
a) A tensão de cisalhamento sobre o óleo. 
b) A velocidade de escorregamento da placa. 
c) O tempo para que a placa atinja a base do plano, partindo 
da posição indicada na figura. 
Resp: a) 2,45 N/m²; b) 0,245 m/s; c) 81,6s 
 
4) O peso de 3 dm³ de uma substância é 2,7 Kgf. A viscosidade cinemática é 10-5 m²/s. Assumindo g igual a 9,8 
m/s2, determine: 
a) A viscosidade dinâmica da substância. 
b) O peso específico. 
c) A massa específica. 
Resp:a) 9.10-3 N.s/m²; b) 8820 N/m³; c) 900 kg/m³ 
 
5) Uma placa quadrada com 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma película de óleo em um plano 
inclinado a 30o com a horizontal. Sabendo-se que a velocidade da é placa é constante e igual a 2 m/s, e a 
espessura da camada de óleo é de 0,5 mm, determine: 
a) A tensão de cisalhamento no óleo. 
b) A força tangencial aplicada pela placa. 
c)A viscosidade dinâmica do óleo. 
d) O gradiente de velocidade no interior do óleo. 
 Resp: a) 10 N/m²; b) 10N; c) 2,5.10-3 N.s/m²;c) 4 s-1 
 
 
6) Duas placas planas e paralelas estão separadas por uma camada de óleo com 0,2 m de espessura. A placa 
superior se move com velocidade de acordo com a equação u(y) = 10y2 + 2y, enquanto a inferior permanece 
imóvel. Considerando que o óleo apresente viscosidade dinâmica de 10-2 N.s/m2, que a placa móvel possua 
área de 0,25 m², determine: 
a) O gradiente de velocidade (du/dy). 
b) A força atuante da placa superior. 
c) A tensão de cisalhamento na placa inferior. 
Resp: a) du/dy = 20y+2; b) 0,015N; c) 0,02N/m²; 
Desafio: Na figura, existem duas placas. A situada mais abaixo se encontra em repouso devido à ação de uma força 
R. A outra placa, que possui uma espessura desprezível, é impulsionada por uma força F de 500 N e se desloca na 
interface de dois fluidos newtonianos com uma velocidade constante v igual a 5 m/s. Na parte superior desta última 
placa a espessura de fluido é de 1 mm e o perfil de velocidades pode ser considerado linear. As áreas A1 e A2 são 
iguais a 2,5 m². Na parte inferior da mesma, o perfil de velocidades é dado por u(y)= ay² + by + c. Pede-se: 
a) Determinar a tensão de cisalhamento na face inferior da placa em 
movimento. 
b) Determinar a expressão do perfil de velocidades no fluido situado 
inferior à placa em movimento (u = f(y)). 
c) Determinar o valor da força R que mantém a placa da base em 
repouso. 
Resp.: a) 50N/m2; b) u(y) = 5 y2+ 7,5 y; c) R = 75N 
 
Unidade 2 – Estática dos fluidos. 
 
2.1- Teorema de Stevin 
 
Antesde entrarmos no Teorema de Stevin vamos relembrar o conceito clássico de pressão (P). 
𝑃 = 
𝐹𝑛
𝐴
 
 
O Teorema de Stevin é a Lei Fundamental da Hidrostática, a qual relaciona a variação das pressões atmosféricas e 
dos líquidos. Assim, o Teorema de Stevin determina a variação da pressão hidrostática que ocorre nos fluidos, sendo 
descrito pelo enunciado: 
“A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio (repouso) é igual ao produto entre a 
densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as profundidades dos pontos.” 
∆P = γ ⋅ ∆h ou ∆P = ρ.g. ∆h 
Onde: 
∆P- variação da pressão hidrostática (Pa) 
γ- peso específico do fluido (N/m3) 
ρ- massa específica (Kg/m3) 
g- aceleração da gravidade (m/s2) 
∆h- variação da altura da coluna de líquido (m) 
 
Observações importantes: 
a) O Teorema de Stevin só se aplica à fluidos em repouso. 
b) Δh é a diferença de cotas e não a distância entre os dois pontos considerados. 
c) Todos os pontos de um fluido num plano horizontal tem a mesma pressão. 
d) A pressão independe da área, ou seja, do formato do recipiente. 
 
 
As pressões em Q e R são: 
 
 
A diferença entre as pressões dos dois pontos é: 
 
 
 
2.2- Lei de Pascal 
 
Quando aplicamos uma força a um líquido, a pressão causada se distribui integralmente e igualmente em todas as 
direções e sentidos. 
Pelo teorema de Stevin sabemos que: 
 
Então, considerando dois pontos, A e B: 
 
Ao aplicarmos uma força qualquer, as pressões no ponto A e B sofrerão um acréscimo: 
 
 
 
 
Se o líquido em questão for ideal, ele não sofrerá compressão, então a distância h, será a mesma após a aplicação da 
força. 
Assim: 
 
Teorema de Pascal: 
"O acréscimo de pressão exercida num ponto em um líquido ideal em equilíbrio se transmite integralmente a todos os 
pontos desse líquido e às paredes do recipiente que o contém." 
 
Prensa hidráulica 
 Uma das principais aplicações do teorema de Pascal é a prensa hidráulica. 
Esta máquina consiste em dois cilindros de raios diferentes A e B, interligados por um tubo, no seu interior existe um 
líquido que sustenta dois êmbolos de áreas diferentes A1 e A2. 
Se aplicarmos uma força de intensidade F no êmbolo de área, exerceremos um acréscimo de pressão sobre o líquido 
dado por: 
∆𝑃 = 𝐹/𝐴 
Pelo teorema de Pascal, sabemos que este acréscimo de pressão será transmitido integralmente a todos os pontos do 
líquido, inclusive ao êmbolo de área A2, porém transmitindo uma força diferente da aplicada: 
∆𝑃 = 𝐹′/𝐴 
Como o acréscimo de pressão é igual para ambas às expressões, podemos igualá-las: 
𝐹/𝐴 = 𝐹′/𝐴 
 
2.3- Carga de pressão 
 
É a coluna de fluido que um ponto fluido suporta estando em repouso: ℎ = . A sua unidade será sempre uma 
unidade de comprimento acrescido do nome do fluido considerado, exemplos: mca = metro de coluna d’água e 
mmHg = milímetro de mercúrio. 
 
2.4- Escalas de pressão 
 
Escala absoluta 
É a escala de pressão que adota como zero o vácuo absoluto, o que justifica a afirmação que nesta escala só existe 
pressões positivas, teoricamente poderíamos ter a pressão igual a zero, que representaria a pressão do vácuo 
absoluto. 
Escala Efetiva ou Relativa 
É a escala de pressão que adota como zero a pressão atmosférica local, o que justifica a afirmação que nesta escala 
existe: pressões negativas (depressões ou vácuos técnicos), nulas e positivas. 
Devemos salientar que a maior depressão possível é -patm , que para a escala absoluta, corresponderia ao vácuo 
absoluto. 
 
 
 
2.5- Equação manométrica. 
 
A aplicação da lei de Stevin e de Pascal pode ocorrer de forma mais rápida, mais prática, forma esta, denominada 
Equação Manométrica. A equação manométrica é a expressão que permite determinar a pressão de um reservatório 
ou a diferença de pressão entre dois reservatórios. 
 
Regra prática 
 
2.6- Instrumentos medidores de pressão 
 
Barômetro de Torricelli 
Um BARÔMETRO DE TORRICELLI é um instrumento utilizado para medir a pressão atmosférica. Se um tubo for cheio 
com um líquido (geralmente mercúrio para que o tubo seja curto), fechado em uma extremidade e aberto na outra, 
for virado em um recipiente contendo o mesmo líquido, ele descerá até certa posição (formando vácuo) e 
permanecendo em equilíbrio estático. Como a superfície do líquido está sob a ação da atmosfera, a carga de pressão 
da coluna de mercúrio marcará exatamente 1 atmosfera. 
 
 
Coluna piezométrica ou piezômetro 
O PIEZÔMETRO consiste em um tubo ligado ao reservatório onde se quer medir a pressão. Permite medir 
diretamente a carga de pressão sabendo-se o peso específico do fluido. O piezômetro apresenta três problemas que 
tornam seu uso limitado: 
a) A altura h, para fluidos de baixo peso específico, será muito alta. Exemplo: a 
coluna para a água é de 10,33 m. O piezômetro só serve para pequenas pressões. 
b) Não se pode medir a pressão de gases, pois eles escapariam sem formar a coluna 
h. 
c) Não se podem medir pressões efetivas negativas, pois nesse caso haverá entrada 
de ar para o reservatório, em vez de haver a formação da coluna h. 
 
Manômetro com tubo em U 
O MANÔMETRO COM TUBO EM U foi concebido para corrigir o problema de medidas efetivas negativas (abaixo de 1 
atm.). Se isso ocorrer, a coluna do FLUIDO MANOMÉTRICO do lado direito ficará abaixo do nível A. Ele também 
permite a medida de gases. 
 
Manômetros diferenciais 
Os MANÔMETROS DIFERENCIAIS são manômetros de tubo em U, ligados a dois reservatórios, em vez de ter um dos 
ramos abertos à atmosfera. Os manômetros diferenciais determinam a diferença de pressões entre dois pontos A e 
B, quando a pressão real, em qualquer ponto do sistema, não puder ser determinada. 
 
 
Manômetro metálico ou de Bourdon 
O MANÔMETRO DE BOURDON mede a pressão de forma indireta, por meio da deformação de um tubo metálico que 
é amplificada por um sistema de alavancas como indicado na Figura ao lado. A leitura da pressão efetiva será feita 
diretamente no mostrador, quando a parte externa do manômetro estiver exposta a 1 atm. 
No caso da parte interna está sujeita à p1, e a externa, à p2, a leitura do manômetro indicará a diferença p1 – p2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) A figura mostra, esquematicamente, uma prensa hidráulica. Os dois êmbolos têm, respectivamente, as áreas 
A1 = 10 cm2 e A2 = 100 cm2. Se for aplicada uma força de 200N no êmbolo (1), qual será a força transmitida 
em (2)? R.: F2=2000 N. 
 
 
 
2) No manômetro da figura, o fluido (A) é água e o (B), mercúrio. Qual é a pressão (p1)? Dados: (γHg= 136.000 
N/m3; γH2O= 10.000 N/m3). R.: 13,35 kPa 
 
3) 
 
 
4) No manômetro diferencial da figura, o fluido (A) é água, (B) é óleo e o fluido manométrico é mercúrio. 
Considerando h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm, e h4 = 10 cm, qual é a diferença de pressão (pA – pB)? 
Dados: (γHg= 136.000 N/m3; γH2O= 10.000 N/m3; γóleo= 8.000 N/m3). R.: pA-pB= -132,1 kPa. 
 
5) Determinar as pressões efetivas e absolutas: 
a) do ar; 
b) no ponto (M), do esquema da próxima figura. 
Dados: leitura barométrica 740 mmHg; γHg= 136.000 N/m3; γóleo= 
8.500 N/m3. R.:a) par(ef)=34 kPa; par(abs)=134 kPa; b) pM(ef)=36,55kPa; 
pM(abs)=136,55kPa. 
Desafio: Aplica-se uma força de 200 N na alavanca da figura. Qual é a força (F) que deve ser exercida sobre a 
haste do cilindro para que o sistema permaneça em equilíbrio? Dados: D1 = 25 cm; D2 =5 cm. R.: F=10 kN. 
 
 
Unidade 3 – Cinemática dos fluidos. 
 
3.1- Definição de velocidade média do escoamento. 
 
O cálculo da velocidade média do escoamento é fundamental no estudo dos escoamentos fluidos, pois através da 
mesma, podemos calcular: 
 A vazão em canais; 
 A carga cinética em uma dada seção do escoamento; 
 A perda de carga, etc. 
 
Pelo princípio de aderência, sabemos que a velocidade em uma seção do escoamento varia de 0, junto a parede, até 
Vmáx, no eixo do conduto. Portanto, a velocidade média é uma velocidadefictícia constante na seção tal que 
multiplicada pela área resulta na vazão do líquido. 
 
3.2- Vazões: em massa, em volume e em peso. 
 
 
 
Vazão em massa 
É a massa de fluido que atravessa uma seção do escoamento na unidade de tempo. 
𝑄 = 𝜌. 𝑄 
Unidades de Qm: g/s ; g/min ; kg/s ; kg/min ; kg/h. 
 
Equação da Continuidade 
Num intervalo de tempo t a massa de fluido que atravessa a seção (1) é a mesma que atravessa a seção (2). 
 
“No escoamento de um fluido, em movimento permanente a vazão em massa de fluido que atravessa 
qualquer seção de escoamento é constante”. 
Caso particular (Fluido incompressível - líquidos). 
𝜌 = 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 
“No escoamento de um fluido incompressível em movimento permanente a vazão de fluido que atravessa qualquer 
seção do escoamento é constante”. 
 
 
3.3- Experiência de Reynolds / Tipos de escoamento: laminar e turbulento 
 
O experimento de Reynolds foi apresentado por Osborne Reynolds em 1883, provando que só existe Reynolds para 
escoamento turbulento. Neste experimento é construído um dispositivo com um tubo transparente horizontal, pelo 
qual água flui a partir de um reservatório onde se está inicialmente em repouso. Por meio de uma canícula um filete 
de substância corante é injetada na corrente de água no tubo, o que propicia visualizar-se o escoamento através do 
comportamento deste filete colorido. 
Quando o filete escoa retilineamente pela tubulação, sem ocorrer sua mistura com a água, o escoamento é dito 
laminar. No caso de mistura rápida com a água, resultando na diluição do filete, o escoamento demonstra atingir o 
regime turbulento. Para obter-se a redução da agitação da água no reservatório é necessário que esta permaneça 
em repouso por um tempo normalmente maior que uma hora, com o que se evita a formação de escoamentos 
secundários na tubulação transparente, que causam deformações no filete de corante que passa a assumir formas 
não úteis à demonstração, como rotações e translações ao longo do eixo do tubo. 
 
 
 
 
As principais características dos escoamentos são: 
a) escoamento laminar: é definido como aquele no qual o fluido se move em camadas, ou lâminas, uma camada 
escorregando sobre a adjacente havendo somente troca de quantidade de movimento molecular. Qualquer 
tendência para instabilidade e turbulência é amortecida por forças viscosas de cisalhamento que dificultam o 
movimento relativo entre as camadas adjacentes do fluido. 
b) Escoamento turbulento é aquele no qual as partículas apresentam movimento caótico macroscópico, isto é, a 
velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto ao fluido. O escoamento 
turbulento apresenta também as seguintes características importantes: 
i. Irregularidade 
ii. Difusividade 
iii. Altos números de Reynolds 
iv. Flutuações tridimensionais (vorticidade) 
v. Dissipação de energia 
Coeficiente de Reynolds 
O coeficiente, número ou módulo de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica 
dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido sobre uma superfície. É utilizado, por 
exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões. 
O conceito foi introduzido por George Gabriel Stokes em 1851, mas o número de Reynolds tem seu nome oriundo de 
Osborne Reynolds, um físico e engenheiro hidráulico irlandês (1842–1912), quem primeiro popularizou seu uso em 
1883. 
O seu significado físico é um quociente de forças: forças de inércia ( V.ρ ) por forças de viscosidade ( μ/D ). É 
expresso como: 
𝑅 = 
𝑉. 𝜌. 𝐷
𝜇
 
Sendo: 
 
 V - velocidade média do fluido. 
 D - longitude característica do fluxo, o diâmetro para o fluxo no tubo. 
μ- viscosidade dinâmica do fluido. 
ρ- massa específica do fluido. 
 
 
Exercícios 
 
1) Uma torneira enche de água um tanque, cuja capacidade é de 6.000 litros, em 1 hora e 40 minutos. 
Determinar a vazão em volume e em massa, em unidade (SI). Dados: ρH2O=1000 kg/m3, g= 10 m/s2. 
[R.: Q = 10-3m3/s; Qm= 1 kg/s]. 
 
2) No tubo da figura, determinar a vazão em volume e em massa e a velocidade média da seção (2), sabendo 
que o fluido é água e que A1= 10 cm2e A2= 5 cm2. Dados: ρH2O=1000 kg/m3, g= 10 m/s2. 
[R.: Q = 1 L/s; Qm= 1 kg/s; V2=2m/s]. 
 
3) O ar escoa num tubo convergente. A área da maior seção do tubo é 20 cm2 e a da menor é 10 cm2. A massa 
específica do ar na seção (1) vale 1,2 kg/m3, e na seção (2) é de 0,9 kg/m3. Para um valor de velocidade na 
seção (1) de 10 m/s, determinar as vazões em massa e volume e a velocidade média na seção (2). 
[R.: Q1= 0,02 m3/s; Q2= 0,0267 m3/s Qm= 2,4x10-2kg/s; V2=26,7m/s]. 
 
 
4) Um tubo admite água (ρ=1000 kg/m3) num reservatório com uma vazão de 20 L/s. No mesmo reservatório é 
injetado óleo (ρ=800 kg/m3) por outro tubo com uma vazão de 10 L/s. A mistura homogênea formada é 
descarregada por um tubo cuja seção tem uma área de 30 cm2. Determinar a massa específica da mistura no 
tubo de descarga e a velocidade da mesma. 
[R.: ρ3= 933 kg/m3; V3= 10 m/s]. 
 
5) Água é descarregada de um tanque cúbico de 5m de aresta através de um tubo de 5cm de diâmetro. A vazão 
no tubo é de 10 L/s. Determinar a velocidade de descida da superfície livre da água do tanque e, supondo 
desprezível a variação da vazão, determinar quanto tempo o nível da água levará para descer 20cm. 
[R.: 4x10-4m/s; t = 500s]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – Equação da energia para regime permanente 
 
4.1- Equação de Bernoulli. 
 
O Princípio da Conservação da Energia Mecânica para Fluídos Perfeitos (Ideais) 
 
Como pudemos observar na equação da continuidade, um fluido incompressível em regime estacionário, ao escoar 
por um cano com área de secção transversal variável, sofre mudanças na velocidade de forma que a vazão 
volumétrica permanece constante de modo a respeitar o Princípio de Conservação de Massa. Podemos concluir, via 
Leis de Newton, que se a velocidade muda é porque existem diferenças de pressão ao longo do cano, sendo a força 
resultante composta pela força gravitacional e pela força associada à diferença de pressão. 
A partir disso, iremos obter uma equação, chamada equação de Bernoulli, que relaciona a pressão e a velocidade de 
um fluido ideal, incompressível, que escoa em regime laminar sob efeito da gravidade ao longo de um tubo de 
corrente. A equação de Bernoulli, assim como a equação da continuidade, não está baseada em novos princípios 
físicos. Assim como a equação da continuidade expressa a conservação de massa do fluido, ou seja, o fato básico de 
que massa não pode ser criada nem destruída, a equação de Bernoulli expressa a conservação da energia do fluido, 
respeitando o modelo de fluido que estamos utilizando. 
Essa equação é bastante importante na descrição de fluidos em movimento e foi obtida pela primeira vez em 1738 
por Daniel Bernoulli. Sua obtenção pode ser realizada a partir da 2ª Lei de Newton ou através do Teorema Trabalho-
Energia. 
Existem três fatores que podem interferir no escoamento do fluído em questão: 
1) A pressão que age nas extremidades da tubulação podem ser diferentes uma da outra. 
2) Se houver variação na área de secção transversal reta da tubulação acarretará variação na velocidade do fluído. 
3) A altura da primeira extremidade pode ser diferente da altura da segunda extremidade. 
Vamos considerar um fluido com densidade ρ constante, em escoamento estacionário em uma tubulação sem 
derivações . 
 
Sejam duas porções de fluido, ambas com volume V e massa ρV, uma na posição 1 e outra na posição 2. Num 
referencial fixo na tubulação, as energias dessas duas porções de fluido são dadas por: 
 
Podemos pensar na diferença E2 − E1 como a variação da energia de uma porção de fluido que se encontra 
antes entre as seções 1 e 2 e depois entre as seções 1' e 2' da tubulação. Então, lembrando que essa variação 
de energia deveser associada ao trabalho realizado pelo resto do fluido, podemos escrever: 
 
 
Outra maneira de encontrarmos a Equação de Bernoulli é dividindo a expressão anterior por ρg: 
 
 
Exemplo: A água se move com uma velocidade de 5,0 m/s em um cano com uma seção reta de 4,0 cm2. A água 
desce gradualmente 10 m enquanto a seção reta aumenta para 8,0 cm2. Pede-se: 
a) Qual é a velocidade da água depois da descida? 
b) Se a pressão antes da descida é 1,5 x 105 Pa, qual a pressão depois da subida? 
a) 2,5 m/s ; b) 2,6 x 105 Pa 
 
 
 
4.2- Equação da energia com a presença de uma máquina no sistema. 
 
Fluido Perfeito Incompressível com a Presença de uma Máquina no Escoamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: O reservatório mostrado na figura possui nível constante e fornece água com uma vazão de 10 litros/s 
para o tanque B. Verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina. 
Dados: γH2O = 10000N/m³, Atubos = 10cm², g = 10m/s² 
 
 
4.3- Potência da máquina e noção de rendimento. 
 
Potência e Rendimento 
Potência: Energia por unidade de tempo 
Potência Hidráulica(N): É a potência mecânica total de um escoamento em uma determinada seção. 
 
 
 
Para a transmissão de potência em máquinas hidráulicas, sempre existem perdas associadas ao rendimento da 
máquina. Com isso define-se a potência de eixo da máquina: 
 No caso de uma bomba, a potencia de eixo da bomba, ou simplesmente potência da bomba, será indicada 
por NB e é definida como sendo a potência que o motor entrega à bomba. 
 
 No caso de uma turbina, a potencia de eixo da turbina, ou simplesmente potência da turbina, será indicada 
por NT e é definida como sendo a potência que a turbina entrega ao gerador elétrico. 
 
 
4.4- Equação da energia para fluido real. 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) A água escoa por uma tubulação que tem diâmetro variável do ponto 1 para o ponto 2, no ponto 1 a 
velocidade é de 2m/s e no ponto 2 é de 6m/s. A pressão no ponto 1 é de 3atm e no ponto 2 é de 1atm. 
Calcule o desnível (Z) entre os pontos 1 e 2 tornando como nível de referencia o ponto 1 onde a cota é 
''zero''. R: 18,6 m 
 
2) Uma bomba deve recalcar 0,15 m3/s de óleo de peso específico 7600 N/m3 para o reservatório (C) da figura. 
Adotando que a perda de carga seja de 2,5m de (A) até (1) e 6m de(2) a (C), determinar a potência da 
bomba, supondo seu rendimento 75%. O diâmetro da tubulação é 30 cm. R. 81320W 
 
 
3) 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafio: Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por 
atrito desprezíveis e as propriedades da água uniformes . A seção (1) tem uma área de 20 cm2 enquanto a seção (2) 
é de 10 cm2 . Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio (γHg=136.000 N/m3) é ligado entre as seções (1) 
e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi. Dado: (γH2O=10.000 
N/m3). R.: Q=5,8 L/s. 
 
 
Unidade 5 – Escoamento permanente de fluidos reais incompressíveis em condutos forçados. 
 
Conduto: é toda estrutura sólida destinada ao transporte de um fluido (líquido ou gás). Classificam-se em: 
- Conduto forçado: toda a face interna do conduto está em contato com o fluido em movimento. Ex.: 
Tubulações de sucção e recalque, oleodutos, gasodutos. 
- Conduto Livre: apenas parcialmente a face do conduto está em contato com o fluido em movimento. 
Ex.: esgotos, calhas, leitos de rios. 
 
5.1- Rugosidade nos condutos. 
 
A perda de carga em uma instalação consiste na resistência oferecida ao escoamento de um fluido (que tem 
viscosidade), pelas tubulações e acessórios (que tem rugosidade). Podem ainda ser classificadas em contínua, 
quando a perda ocorre em trechos da tubulação, e, localizada, que é aquela que ocorre nos acessórios das 
tubulações. 
No conduto forçado, as rugosidades das paredes internas têm menor variedade do que a do conduto livre, que pode 
ser lisa ou irregular, como a dos canais naturais. Além disto, a rugosidade das paredes pode variar com a 
profundidade do escoamento e, consequentemente, a seleção do coeficiente de atrito é cercada de maiores 
incertezas do que no caso de condutos forçados. 
 
 
5.2- Perda de Carga Total 
 
Classificação das Perdas de Carga: singular e distribuída 
 
 Perda de carga distribuída: é a perda que se dá em trechos retos de condutos cilíndricos (A = cte) 
devido ao atrito viscoso entre as partículas fluidas produzido pelas tensões de cisalhamento (hf). 
 Perda de carga singular (Localizada): é a perda que se dá devido a uma mudança brusca no 
escoamento do fluido. (hs ou hl). 
i. Mudanças bruscas de direção (curvas e cotovelos) 
ii. Mudanças bruscas de seção (alargamento ou estreitamentos) 
iii. Outras singularidades: registros, válvulas de pé e de retenção, medidores de vazão, flanges, tês. 
 
 
 
 
 
Na prática as canalizações não são constituídas exclusivamente de tubos retilíneos e de mesmo diâmetro. 
Usualmente, as canalizações apresentam peças especiais (válvulas, registros, medidores de vazão etc.) e conexões 
(ampliações, reduções, curvas, cotovelos, tês etc.)que pela sua forma geométrica e disposição elevam a turbulência, 
resultando em perdas de carga. 
Estas perdas são denominadas localizadas, acidentais ou singulares, pelo fato de decorrerem especificamente de 
pontos ou partes bem determinadas da tubulação ao contrário do que ocorre com as perdas em consequência do 
escoamento ao longo dos encanamentos. 
 
 
 
O Método dos Comprimentos Virtuais 
Sob o ponto de vista da perda de carga, uma canalização composta de 
diversas peças especiais e outras singularidades equivale a um encanamento retilíneo de maior comprimento. É 
nesta simples ideia que se baseia o método do comprimento virtual. 
O método consiste em se adicionar ao comprimento real da tubulação 
um comprimento extra (o chamado comprimento equivalente), que corresponde ao mesmo valor de perda de carga 
que seria causado pelas peças especiais que compõem a tubulação. Desta forma, cada singularidade da tubulação 
corresponde a um certo comprimento fictício adicional de tubo, que recebe o nome de comprimento equivalente. 
 
 
 
 
5.3- Instalações de Recalque. 
 
Define-se instalação de recalque toda a instalação hidráulica que transporta o fluido de uma cota inferior para uma 
cota superior e onde o escoamento é viabilizado pela presença de uma bomba hidráulica, que é um dispositivo 
projetado para fornecer energia ao fluido, que ao ser considerada por unidade do fluido é denominada de carga 
manométrica da bomba (HB). 
Uma instalação de recalque é dividida em: 
Tubulação de sucção = tubulação antes da bomba; 
Tubulação de recalque = tubulação após a bomba. 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Qual a perda de carga em 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma 
velocidade de 2 m/s? Também calcule o número de Reynolds. Admitindo f=0,02, g=10 m/s2 , νágua = 1,006 x 
10-6 m2/s, ρágua = 1000 kg/m3 . 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 6 – Energia térmica. 
 
6.1- Definição de calor e fluxo de calor 
 
Transferência de Calor é energia (calor) em trânsito devido a uma diferença de temperatura. Sempre que existir uma 
diferença de temperatura em um meio ou entre meios ocorrerá transferência de calor. 
Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas são colocados em contato direto, ocorrera uma transferência 
de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura até que haja equivalência de 
temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o equilíbrio térmico. 
 
Está implícito na definição acima que um corpo nunca contém calor, mas calor é identificado com tal quando cruza 
a fronteira de um sistema. O calor é, portanto, um fenômeno transitório, que cessa quando não existe mais uma 
diferença de temperatura. 
 
6.2- Formasde transferência de calor: condução, convecção e radiação. 
 
Quando a transferência de energia ocorrer em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido, em 
virtude de um gradiente de temperatura, usamos o termo transferência de calor por condução. 
 
Quando a transferência de energia ocorrer entre uma superfície e um fluido em movimento em virtude da diferença 
de temperatura entre eles, usamos o termo transferência de calor por convecção. 
 
 
T1 T2 T T
 
 
 Se T1 > T2  T1 > T > T2 
 
Quando, na ausência de um meio interveniente, existe uma troca líquida de energia (emitida na forma de ondas 
eletromagnéticas) entre duas superfícies a diferentes temperaturas, usamos o termo radiação. 
 
A transferência de calor é fundamental para todos os ramos da engenharia (problemas de refrigeração de motores, 
de ventilação, ar condicionado, processos pirometalúrgicos e hidrometalúrgicos, ou no projeto de fornos, 
regeneradores, conversores, cálculo de transformadores e geradores e dissipadores de calor em microeletrônica 
transferência de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. ). 
 
MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
A transferência de calor pode ser definida como a transferência de energia de uma região para outra como resultado 
de uma diferença de temperatura entre elas. 
É necessário o entendimento dos mecanismos físicos que permitem a transferência de calor de modo a poder 
quantificar a quantidade de energia transferida na unidade de tempo (taxa). 
 
 
CONDUÇÃO 
 A condução pode se definida como o processo pelo qual a energia é transferida de uma região de alta temperatura 
para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre meios diferentes em 
contato direto. Este mecanismo pode ser visualizado como a transferência de energia de partículas mais energéticas 
para partículas menos energéticas de uma substância devido a interações entre elas. 
 
 
 
 
Os mecanismos são: 
 
 Condução 
dependem somente de um T 
 Radiação 
 
 Convecção  depende de um T e transporte de massa 
 
CONVECÇÃO 
 
A convecção pode ser definida como o processo pelo qual energia é transferida das porções quentes para as 
porções frias de um fluido através da ação combinada de : condução de calor, armazenamento de energia e 
movimento de mistura. 
 
 
Um exemplo bastante conhecido de convecção natural é o aquecimento de água em uma panela doméstica como 
mostrado na figura abaixo. Para este caso, o movimento das moléculas de água pode ser observado visualmente. 
 
RADIAÇÃO 
 
A radiação pode se definida como o processo pelo qual calor é transferido de um superfície em alta temperatura 
para um superfície em temperatura mais baixa quando tais superfícies estão separados no espaço, ainda que exista 
vácuo entre elas. A energia assim transferida é chamada radiação térmica e é feita sob a forma de ondas 
eletromagnéticas. 
O exemplo mais evidente que podemos dar é o próprio calor que recebemos do sol. Esta energia chega até nós na 
forma de ondas eletromagnéticas. 
 
REGIMES DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 O conceito de regime de transferência de calor pode ser melhor entendido através de exemplos. Consideremos 
duas situações : operação normal e desligamento ou religamento. 
 
6.3- Condução: Lei de Fourier para escoamento unidirecional e regime permanente. 
 
No tratamento unidimensional a temperatura é função de apenas uma coordenada. 
Este tipo de tratamento pode ser aplicado em muitos dos problemas industriais. Por exemplo, no caso da 
transferência de calor em um sistema que consiste de um fluido que escoa ao longo de um tubo, a temperatura da 
parede do tubo pode ser considerada função apenas do raio do tubo. 
Esta suposição é válida se o fluido escoa uniformemente ao longo de toda a superfície interna e se o tubo não for 
longo o suficiente para que ocorram grandes variações de temperatura do fluido devido à transferência de calor. 
 
LEI DE FOURIER 
 A lei de Fourier é fenomenológica, ou seja, foi desenvolvida a partir da observação dos fenômenos da natureza em 
experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante é medido após a variação das 
condições experimentais. Consideremos, por exemplo, a transferência de calor através de uma barra de ferro com 
uma das extremidades aquecidas e com a área lateral isolada termicamente, como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de temperatura e a distância entre as 
extremidades, chega-se a seguinte relação de proporcionalidade: 
 
 
 
 
A proporcionalidade pode se convertida para igualdade através de um coeficiente de proporcionalidade e a Lei de 
Fourier pode ser enunciada assim: 
 
“A quantidade de calor transferida por condução, na unidade de tempo, em um material, é igual ao produto das 
seguintes quantidades”: 
x
T
Aq


.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) As temperaturas das superfícies interna e externa de uma janela de vidro, com espessura de 5mm, 
são de 15o e 5o C, respectivamente. Qual é a perda de calor através de uma janela com dimensões 
de 1m de largura por 3m de altura? A condutividade térmica do vidro é igual a 1,4W/mK. R. 8400W. 
 
 
 
2) Uma taxa de calor de 3 kW é conduzida através de um material isolante com área de seção reta de 10m2 e 
espessura de 2,5cm. Se a temperatura da superfície interna (quente) é de 415oC e a condutividade térmica 
do material é de 0,2 W/mK, qual a temperatura da superfície externa? R. 651K. 
 
3) A câmara de um freezer é um espaço cúbico com 2m de lado. Considere o fundo como sendo 
perfeitamente isolado. Qual a espessura mínima de um isolamento a base de espuma de poliestireno 
(k=0,030W/mK) que deve ser aplicado nas paredes do topo e dos lados para garantir que a carga 
térmica que entra no freezer seja inferior a 500W, quando a suas superfícies interna e externa se 
encontram a -10 e 35oC, respectivamente. R. 5,4cm. 
 
4) Uma casa tem cinco janelas, tendo cada uma um vidro de área 1,5 m2 e espessura 3·10-3 m. A temperatura 
externa é -5 °C e a interna é mantida a 20 °C, mediante a queima de carvão. Qual a massa de carvão 
consumida no período de 12 horas para repor o calor perdido apenas pelas janelas? 
Dados: Condutividade térmica do vidro = 0.72 kcal/hm °C 
Calor de combustão do carvão = 6·103 cal/g 
R. 90 kg