Função Afim

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Função afim: a 
função polinomial 
do 1º grau
A temperatura de uma substância é 
30 ºC. Vamos analisar duas situações 
distintas.
① Sua temperatura varia com o tempo de maneira 
uniforme, aumentando 10 ºC por minuto.
t(min) 0 1 2 3 4 5
T(oC) 30 40 50 60 70 80
Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a 
minuto.
A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min).
Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,
T = 30 + 10.t
② Sua temperatura varia com o tempo de maneira 
uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto. 
t(min) 0 1 2 3 4 5
T(oC) 30 20 10 0 –10 – 20
Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a 
minuto.
A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min).
Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,
T = 30 – 10.t
Veja os gráficos cartesianos das duas funções
t(min) T(oC)
0 30
1 40
2 50
3 60
4 70
5 80
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
20
40
60
80
5T = 30 + 10.t
Veja os gráficos cartesianos das duas funções
t(min) T(oC)
0 30
1 20
2 10
3 0
4 –10
5 –20
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
–20
–40
20
40
5
T = 30 – 10.t
60
Função afim ou de 1º grau é toda função do tipo
y = f(x) = ax + b
Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0.
Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, 
função linear.
Exemplos
❑ y = f(x) = 5x – 3
é uma função afim com a = 5 e b = –3.
❑ y = f(x) = –2x
é uma função afim, com a = –2 e b = 0
Nesse caso a função é chamada de linear.
Características da função afim y = f(x) = ax + b.
 A fórmula que a define é um polinômio de 1º 
grau; seu termo independente pode ser nulo 
ou não.
 Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada 
de função linear.
 A constante real a, não-nula, é o coeficiente 
angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o 
intervalo considerado.
Características da função afim y = f(x) = ax + b.
 A constante real b é o coeficiente linear.
 Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos 
eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não 
conter origem (caso b ≠ 0).
 O crescimento ou o decrescimento da função estão 
relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para 
a > 0 e descendente para a < 0.
Crescimento e decrescimento.
a > 0 ⇒ função crescente
⇒ reta ascendente (sobe da esquerda p/ direita)
a < 0 ⇒ função decrescente
⇒ reta descendente (desce da esquerda p/ direita)
Exemplos 
 Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = x
y = x/2
y = 2x
a > 0
Exemplos 
 Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = –x
y = –x/2
y = –2x
a < 0
A partir do gráfico da função linear y = ax,
podemos obter os gráficos de todas as
funções afins y = ax + b. Deslocamos o gráfico
da função y = ax para cima ou para baixo, de
acordo com o valor da constante b.
Exemplos 
 Veja o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = x
a > 0
y = x – 3
y = x + 2
Exemplos 
 Veja o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = –2x + 4
y = –2x
a < 0
y = –2x – 3
A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso 
geral em relação a todas as funções afins do tipo y = f(x) = 
ax + b.
 Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde 
cada reta corta o eixo y?
b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. 
Ou seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de 
coordenadas (0, b).
Construir o gráfico da função y = 2x + 3.
x y = 2x + 3
0 y = 2.0 + 3 = 3
1 y = 2.1 + 3 = 5
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = 2x + 3
Construir o gráfico da função y = –2x – 2.
x y = –2x – 2
0 y = –2.0 – 2 = –2
1 y = –2.1 – 2 = –4
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = –2x – 2
Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se
conhecermos dois de seus pontos, podemos
obter a função afim que ela representa. Ou
seja, podemos obter os coeficientes a e b da
função.
Exemplos 
 A semi-reta da figura mostra a despesa mensal y (em milhares de 
reais) de uma empresa, para produzir x toneladas no mês.
a) Escrever y em função de x.
b) Obter a despesa na produção 
de 76 t.
c) Obter o número de toneladas 
produzidas, para uma 
despesa de 93 mil reais.
x
y
0 20 3010
20
40
40
60
Despesa (milhares de reais)
Produção (t)
Exemplos 
 Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.
x
y
0 2
4
A função é do tipo y = ax + b, 
com a e b reais (a ≠ 0).
Para x = 0 ⇒ y = 
4
Para x = 2 ⇒ y = 0, substituindo 
em y = ax + b, temos
0 = a.2 + 4 ⇒ –2a = 4
⇒ a = –2
y = –2x + 4
⇒ b = 4.
Exemplos 
 Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.
A função é do tipo y = ax + b, 
com a e b reais (a ≠ 0).
Para x = 0 ⇒ y = 
1
Para x = –2 ⇒ y = –1, 
substituindo em y = ax + b, 
temos
–1 = a.(–2) + 1 ⇒ 2a = 2
⇒ a = 1
y = x + 1
⇒ b = 1.
x
y
0–2
1
–1
Raízes e sinal da
função afim
Nos gráficos das funções de 1º grau, a reta
sempre corta o eixo x. A abscissa do ponto
por onde o gráfico da função intercepta esse
eixo é chamada de zero ou raiz da função.
Raiz da função é o valor de x tais que f(x) = 0.
Exemplos
 Encontrar as raízes das funções de IR em IR definidas por 
f(x) = 3x – 6 e g(x) = –2x – 2.
Queremos obter os valores de x que anulam as duas funções.
f(x) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
g(x) = 0 ⇒ –2x – 2 = 0⇒ –2x = 2⇒ x = –1
Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo 
gráfico abaixo.
x
y
0
–2 ++ + + +
–– –
Raiz:
y = 0 para x = –2
Sinais:
y < 0 para x < –2
y > 0 para x < –2
x
y
0 –– –
Raiz:
y = 0 para x = 1
Sinais:
y < 0 para x > 1
y > 0 para x < 1
1
+ ++ + +
Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo 
gráfico abaixo.
Estudar o sinal de uma função é determinar
para que valores do domínio (valores de x) a
função é positiva, negativa ou nula.
Exemplos
 Estudar o sinal da função definida por f(x) = 3x – 6.
Queremos saber para que valores reais de x a função é 
positiva, negativa ou nula.
f(x) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
Primeiro vamos achar sua raiz.
x2–
+
Portanto,
y = 0 para x = 2
y > 0 para x > 2
y < 0 para x < 2
Exemplos
 Estudar o sinal da função definida por g(x) = –2x + 2.
g(x) = 0 ⇒ –2x + 2 = 
0
⇒ –2x = –2 ⇒ x = 1
Primeiro vamos achar sua raiz.
x1 –
+
Portanto,
y = 0 para x = 1
y > 0 para x < 1
y < 0 para x > 1
Inequações de 1º 
grau
Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas
funções reais. Chamamos Inequação de
incógnita x toda desigualdade condicional que
apresenta uma das formas seguintes:
f(x) > g(x) f(x) < g(x)
f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x)
Solução e Conjunto-solução 
 Solução de uma inequação é cada valor real de x
que a satisfaz. Conjunto-solução de uma
inequação é o conjunto de todas as soluções.
 Resolver uma inequação é encontrar o seu
conjunto solução.
Equivalência de 
inequações
Princípios de equivalência
Princípios de equivalência
 Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois
membros de uma inequação. Isso equivale a transpor
um termo de um membro para outro, invertendo o seu
sinal.
❑ 3x + 5 > 2 ⇒ 3x > 2 –
5
⇒ 3x > –3 ⇒ x > –1
Troca de sinal
❑ –3x ≤ 6 – 4x ⇒ –3x + 4x ≤ 6 ⇒ x ≤ 6
Troca de sinal
Princípios de equivalência
 Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma
inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No
caso, o sentido da desigualdade
✓ se mantém, se k for positivo.
✓ se inverte, se k for negativo.
❑ 3x > –12 ⇒ x > –12/3 ⇒ x > – 4
Manteve o sentido
Princípios de equivalência
 Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma
inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No
caso, o sentido da desigualdade
✓ se mantém, se k for positivo.
✓ se inverte, se k for negativo.❑ –5x ≤ – 15 ⇒ x ≥ –15/–5 ⇒ x ≥ 3
Inverteu o sentido
Princípios de equivalência
 Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma
inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No
caso, o sentido da desigualdade
✓ se mantém, se k for positivo.
✓ se inverte, se k for negativo.
2
1x
−
+
❑ < 3 ⇒ x + 1 > 3.(–2) ⇒ x + 1 > –6
Inverteu o sentido
⇒ x > –7
Analisando inequações 
graficamente
❑ A linha vermelha da figura é o gráfico da função y = 
f(x). Ele é formado por duas semi-retas. A partir dele, 
resolver as inequações f(x) > 0 e f(x) ≤ 0.
x
y
0
2–4
Raízes: – 4 e 2.
f(x) = 0 para x = – 4 ou x = 2
f(x) ≤ 0 para – 4 ≤ x ≤ 2
f(x) > 0 para x < – 4 ou x > 2