Módulo de um número real

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Módulo de um
número real
Simétrico de um número real
◼ Se x é um número real, o simétrico de x é –x.
◼ Veja alguns valores reais arbitrários de x e os respectivos
simétricos –x.
–3 + π
3 – π
3–50–x
–350x
✓ O simétrico de 0 é o próprio 0. 
✓ Nos outros casos, de dois números simétricos, sempre um é
positivo e o outro é negativo.
√2 – 1
–√2 + 1
Exemplos
◼ Qual é o único real igual ao seu simétrico?
◼ É verdade que –x é um real negativo?
◼ Pode –x ser positivo? Para isso, qual deve ser o sinal de x?
◼ Qual número é maior: x ou –x?
◼ Complete com os sinais =, > ou <.
x = 0 ⇒ –x .... 0 x > 0 ⇒ –x .... 0
x < 0 ⇒ –x .... 0
O real 0.
Falso.
Pode. x < 0.
Depende do sinal de x.
= <
>
O A B C A’ B’ C’ 
1 2 7/2–1 –2 –7/2 0 
Simétrico de um número real
◼ Na reta real, dois números simétricos estão a uma mesma
distância da origem. Mas em lados opostos relativamente a
ela.
x 
✓ OA = OA’ = 1 ✓ OB = OB’ = 2 ✓ OC = OC’ = 7/2
O P 
x 0 
Módulo de um número real
◼ Se P é um ponto da reta real e representa o número real x, a
distância de P até a origem é chamada de módulo ou valor
absoluto de x.
◼ Indicamos o módulo de x colocando-o entre duas barras.
|x| 
✓ OP = |x|
✓ |x| é o número não-negativo escolhido entre x e o seu
simétrico –x.
B 
√3 
A 
2 
O 
0 –π
B 
–5
Exemplos
◼ Na reta real, marcamos os pontos O, A, B, C e D, com suas
respectivas abscissas. Determine:
|0|, |2|, |–5|,|–π| e |√3|.
x 
B’ 
✓ |0| = 0
✓ |2| = 2
✓ |–5| = 5
✓ |–π|= π
✓ |√3| = √3
Definição de módulo de um número real
◼ De tudo que vimos a respeito de módulo, podemos
estabelecer algumas regras gerais:
✓ O módulo de 0 é 0;
✓ O módulo de um número positivo é o próprio número;
✓ O módulo de um número negativo é o simétrico dele, que é
positivo.
❑ Em símbolos, se x ∊ R, podemos definir:
|x|=
x, se x ≥ 0
–x, se x ≤ 0
|x|≥ 0
Exemplos
◼ Calcule os seguintes módulos:
|8|, |–3|,|π – 4|, |√5 – 2|, |π – 3| e |3√3 – 5|.
✓ |8|
✓ |–3|
✓ |π – 4| = 4 – π
✓ |π – 3|
✓ |√5 – 2|
✓ |3√3 – 5|
= 8
= 3
= –π + 4
= √5 – 2
= π – 3
= 3√3 – 5
Exemplos
◼ É verdade que |–x| = x, qualquer que seja o valor de x?
✓|–x| = x, apenas para x ≥ 0.
✓ Não.
Observações
◼ Na definição de módulo, podemos substituir x por uma
expressão algébrica qualquer. Veja.
|x|=
x, se x ≥ 0
–x, se x ≤ 0
❑ |x – 3|=
x – 3, se x – 3 ≥ 0
–(x – 3), se x – 3 ≤ 0
⇒ |x – 3|=
x – 3, se x ≥ 3
–x + 3, se x ≤ 3
Observações
◼ Na definição de módulo, podemos substituir x por uma
expressão algébrica qualquer. Veja.
|x|=
x, se x ≥ 0
–x, se x ≤ 0
❑ |x2 + x – 6|=
x2 + x – 6, se x2 + x – 6 ≥ 0
–(x2 + x – 6), se x2 + x – 6 ≤ 0
⇒ |x2 + x – 6|=
x2 + x – 6, se x ≤ –3 ou x ≥ 2
–x2 – x + 6, se –3 ≤ x ≤ 2
Observações
◼ Pode-se definir o módulo de um número real x, também,
da seguinte maneira:.
2x|x| =
❑ Exemplos
✓ √(–5)2
✓ √(3 – π)2
= |–5|
= |3 – π| = π – 3
= 5
Observações
◼ Pode-se definir o módulo de um número real x, também,
da seguinte maneira:.
2x|x| =
❑ Exemplos
✓ √(x + 2)2
x + 2, se x + 2 ≥ 0
–(x + 2), se x + 2 ≤ 0
= |x + 2| =
⇒ |x + 2|=
x + 2, se x ≥ –2
–x – 2, se x ≤ –2
Observações
◼ |–x|=|x|, para todo x real.
◼ |x| ≥ 0, para todo x real.
◼ |x|2 = x2, para todo x real.
◼ |x| = |y|⇔ x = y ou x = –y.
Propriedades do
módulo
40 –4
Propriedades
◼ Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os
intervalos que eles delimitam. Também destacamos a
origem, associada ao 0.
x 
✓ Que pontos da reta estão à distância 4 da origem?
✓ Que números têm módulo 4?
✓ Qual a solução da equação |x| = 4?
|x|= 4 ⇔ x = 4 ou x = –4
40 –4
Propriedades
◼ Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os
intervalos que eles delimitam. Também destacamos a
origem, associada ao 0.
x 
✓ Que pontos da reta estão à distância menor que 4 da origem?
✓ Que números têm módulo menor que 4?
✓ Qual a solução da inequação |x| < 4?
|x|< 4 ⇔ –4 < x < 4
40 –4
Propriedades
◼ Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os
intervalos que eles delimitam. Também destacamos a
origem, associada ao 0.
x 
✓ Que pontos da reta estão à distância maior que 4 da origem?
✓ Que números têm módulo maior que 4?
✓ Qual a solução da inequação |x| > 4?
|x|> 4 ⇔ x < –4 ou x > 4
Propriedades
◼ Pela definição de módulo, dois números só podem ter
módulos iguais em dois casos: se forem iguais ou forem
simétricos. Em símbolos,
|x|= |y| ⇔ x = y ou x = –yP1.
Propriedades
◼ Na reta real, destacamos os números reais –k e k e os
intervalos que eles delimitam.
k0 –k x 
|x|< k
|x|> k|x|> k
|x|= k
|x|= k ⇔ x = k ou x = –k
|x|< k ⇔ –k < x < k
|x|> k ⇔ x < –k ou x > k
P2.
P3.
P4.
Equações e inequações 
modulares
Equações e inequações modulares
◼ São aquelas em que a incógnita aparece dentro do módulo.
✓ Sua resolução se baseia nas quatro propriedade vistas
anteriormente.
|x|= |y| ⇔ x = y ou x = –yP1.
|x|= k ⇔ x = k ou x = –kP2.
|x|< k ⇔ –k < x < kP3.
|x|> k ⇔ x < –k ou x > kP4.
Exemplos
◼ Resolver as equações modulares?
a)|x – 5| = 0
x – 5 = 0 ⇒ x – 5 = 0 ⇒ x = 5
S = { 5 }
Exemplos
◼ Resolver as equações modulares?
b)|2x – 5| = 7
⇒
2x – 5 = 7 ou
2x – 5 = –7
⇒
2x = 12 ou
2x = –2
⇒
x = 6 ou
x = –1
S = { –1, 6 }
Exemplos
◼ Resolver as equações modulares?
c)|x + 2| = |2x + 1|
⇒
x + 2 = 2x + 1 ou
x + 2 = –(2x + 1)
⇒
x – 2x = 1 – 2 ou
x + 2x = –1 – 2
⇒
– x = – 1 ou
3x = –3
S = { –1, 1 }
⇒
x = 1 ou
x = –1
Exemplos
◼ Resolver as equações modulares?
d)|x + 2| = 3x – 6
⇒
x + 2 = 3x – 6 ou
x + 2 = –(3x – 6)
⇒
x – 3x = – 6 – 2 ou
x + 3x = 6 – 2
✓ Condição inicial: a equação só é possível para
3x – 6 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 6 ⇒ x ≥ 2
⇒
–2x = – 8 ou
4x = 4
⇒
x = 4 ou
x = 1 S = { 4 }
Exemplos
◼ Resolver as inequações modulares?
a)|2 – 3x| < 1
⇒
– 1 < 2 – 3x e
2 – 3x < 1
⇒
3x < 3 e
–3x < – 1
⇒
x < 1 e
x > 1/3 S = { x ∊ R / 1/3 < x < 1 }
⇒ –1 < 2 – 3x < 1
Exemplos
◼ Resolver as inequações modulares?
b)|x2 – x – 1| ≥ 1
⇒
x2 – x – 1 ≤ – 1 ou
S = { x ∊ R / x ≤ – 1 ou 0 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 2 }
x2 – x – 1 ≥ 1
⇒
x2 – x ≤ 0 ou
x2 – x – 2 ≥ 0
⇒
0 ≤ x ≤ 1 ou
x ≤ – 1 ou x ≥ 2
Funções modulares
✓ Funções em que a variável aparece dentro de
módulo.
✓ Construímos o seu gráfico a partir da definição
de módulo.
Funções modulares
◼ A função y = f(x) = |x| é chamada função módulo. Seu
gráfico é a união das bissetrizes do 1.º e 2.º quadrantes.
x, se x ≥ 0
–x, se x ≤ 0
f(x) =|x|=
(1)
(2)
11
00
yx
x ≥ 0
–11
00
yx
x ≤ 0
x
y
✓ D = R ✓ Im = R+
1–1 2 3 4–2–3–4
1
2
3
4
y = x y = –x 
Exemplos
◼ Construir o gráfico de f(x) = |x – 1|.
x – 1, se x ≥ 1
–x + 1, se x ≤ 1
f(x) =|x – 1|=
(1)
(2)
12
01
yx
x ≥ 1
10
01
yx
x ≤ 1
x
y
O 1
y = x – 1 
2
1
y = –x +1 
Exemplos
◼ Construir o gráfico de f(x) = |x + 1|.
x + 1, se x ≥ – 1
–x – 1, se x ≤ – 1
f(x) =|x + 1|=
(1)
(2)
10
0–1
yx
x ≥ – 1
1–2
0–1
yx
x ≤ – 1
x
y
O
y = x + 1 
–2
1
y = –x – 1 
–1
x, se x ≥ 0
–x, se x ≤ 0
Exemplos
◼ Construir o gráfico de f(x) = |x|+ 1.
|x|=Por definição,
Somando 1 nos dois membros,
x + 1, se x ≥ 0
–x + 1, se x ≤ 0
f(x) = |x|+ 1 =
Exemplos
◼ Construir o gráfico de f(x) = |x|+ 1.
x + 1, se x ≥ 0
–x + 1, se x ≤ 0
f(x) =|x|+ 1 =
(1)
(2)
21
10
yx
x ≥ 0
2–1
10
yx
x ≤ 0
x
y
O
y = x + 1 
1
1
y = –x + 1 
–1
2
x – 2, se x ≥ 2
–x + 2, se x ≤ 2
Exemplos
◼ Construir o gráfico de f(x) = |x – 2|– 1.
|x – 2|=Por definição,
Subtraindo 1 nos dois membros,
(x – 2) – 1, se x ≥ 2
(–x + 2) – 1, se x ≤ 2
|x – 2|– 1 =
x – 3, se x ≥ 2
–x + 1, se x ≤ 2
f(x) =|x – 2|– 1 =
Exemplos
◼ Construir o gráfico de f(x) = |x – 2|– 1.
x – 3, se x ≥ 2
–x + 1, se x ≤ 2
f(x) =|x – 2|– 1 =
(1)
(2)
03
–12
yx
x ≥ 2
01
–12
yx
x ≤ 2
x
y
O 31
y = x – 3 
2
–1
1
y = –x +1 
Funções modulares
gráficos
x
y
1
1–1 2
2
3
4
3 4–2–3–4
–1
–2
–3
Obtendo gráficos a partir do gráfico da função f(x) =|x|
f(x) =|x|
g(x) =|x|+ 1
h(x) =|x|– 2
i(x) =|x + 2|j(x) =|x – 2|
k(x) =|x + 2| – 2
p(x) =|x – 2| + 1
Exemplos
◼ A figura mostra o gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3. A
partir dele, construir o gráfico da função g(x) = |f(x)|.
g(x) = |x2 – 4x + 3|
x
y
1
1–1 2
2
3
4
3 4–2–3–4
–1
–2
–3
Exemplos
◼ A figura mostra o gráfico de função real f. A partir dele,
obter o gráfico da função g(x) = |f(x)|.
x
y
1
1–1 2
2
3
4
3 4–2–3–4
–1
–2
–3