Noções de Matemática - Volume 7

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Aref Antar Neto 
José Luiz Pereira Sampaio 
Nilton Lapa 
Sidney Luiz Cavallantte
VOLUME 7
Números Complexos 
Polinômios
AOÇÕES 
DE 
MATEMÁTICA
Z4
z,=1 cisO° 
z2=1 cis60° 
z3=1 cis120° 
z4=1 cis180° 
z5=1 cis240° 
z6=1 cis300°
NOÇÕES DE MATEMÁTICA
Volume 7.
Editora Vestseller
Fortaleza - CE
1a Edição 2011
Números Complexos Polínômios e Equações 
Algébricas
Arei Antar neto 
José Luís Pereira Sampaio 
NÜton Lapa 
Sidney Luiz Cavallantte
equações
N916
95-0032
www.VestSeller.com.br
Capa
Rafael Feitosa Parente
CIP — Brasil. Catalogação-na-Fonte.
Câmara Brasileira do Livro, SP
índices para catálogo sistemático:
Equações algébricas 512.2 (17.) 512.94 (18.)
Matemática : Estudo e ensino 510.07 (17.) 510.7(18.)
Números complexos : Álgebra 512.81 (17.) 512.7 (18.)
Polinômios : Álgebra 512.21 (17.) 512.942 (18.)
1.
2.
3.
4
18.
17.
18.
17.
18.
17.
18.
1. Equações 2. Matemática(2° grau) 3. Números 
complexos 4. Polinômios I. Antar Neto, Aref, 1949 - 
II. Série
17. CDD-510.07 
-510.7 
-512 2 
-512.94 
-512.21 
-512.942 
-512.81 
-512.7
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Iry>F Editora
V V C4Í
Números complexos, polinômios, 
algébricas : 2o grau / Aref Antar Neto.
(et al.) Fortaleza: Ed. Vestseller, 2010.
(Noções de matemática; v.7)
http://www.VestSeller.com.br
índice
Parte 1
 ,11Capítulo 1.0 conjunto dos números complexos 
29Capitulo 2.Forma algébrica dos números complexos ...
51Capítulo 3.A geometria dos números complexos 
.,,.65Capítulo 4.A trigonometría dos números complexos
71Capítulo 5.Operações na forma trigonométrica ...
2.1 —Introdução
2.2 — Descobrindo que números reais são complexos
2.3 — Unidade imaginária
2.4 — Forma algébrica .............
2.5 — As potências naturais de i .............. 
2.6 “ Conjugado de um número complexo
2.7 — Divisão
71
71
73
...7B
...06
..,05
...67
... 11
___ 17
21
29
29
30
31
39
43
44
1.1 —Introdução
1.2 — Números complexos
1.3 — O conjunto dos números complexos, 
5.1 —Introdução 
5.2 —Multiplicação e Divisão . 
5.3 —Potenciação
5 4 — Radiciação 
“ Exercícios Suplementares....
4.1 Argumento de um número complexo .
4.2 — A forma trigonométrica dos números complexos
3.1 —0 piano de Argand-Gauss ........................51
3.2 — Módulo de um número complexo 54
3.3 — Propriedades imediatas do módulo 55
3.4 — Outra propriedade do módulo: a desigualdade triangular 61
Parte II
...91Capítulo 6 0 conceito de polinómio. igualdade..
91
...97
..113Sapítulo 8 A divisão de polinômios
129Capitulo 9.A divisão de polinômios em que o divisor é de grau 1
9.5
115Capitulo 10 Outros temas importantes.... 
7.1 — adição de polinômios
7.2 — Multiplicação de polinômios
7.3 — Grau de um polinómio.................
9.1
9.2
9.3
9.4
10.1 — Polinómio derivado
10.2 — Máximo divisor comum
10.3 — Mínimo múltiplo comum......
10.4 — Uma observação importante 
Exercícios Suplementares...
— Teorema do resto
— O dispositivo de Briot-Ruffini .
— Observações sobre o dispositiva
— A dívísibílidade pelo produto — Teorema
— A dívísibílidade por (x-c)m —Teorema
97
99
102
145
152
159
160
161
6.1
6.2
6.3
64
6 5
6.6
— O conceito......................
— Valor numérico de um polinòmic
— Definição — Polinómio nulo .....
— Quando um polinómio é nulo — Teorema
— Definição — Polinômios Iguais ...............
— Quando polinômios são iguais — Teorema
91
92
92
.......93
...... 93
....113
...110
 ., 129
130
 
132
...... ,133
. ,134
8.1 — Divisão euclidiana 
8.2 — Método de Descartes para divisão de polinômios 
Capitulo 7.Operações com os polinômios. Grau 
Parte lll
167Capítulo 11.Equações algébricas ....
193Capítulo 12 Raízes múltiplas 
203Capítula 13 Raízes imaginárias 
213Capítulo 14 Relações de Girard 
. 241Capítulo 15.Raízes racionais ...
Capítulo 16.Equações recíprocas .... 253
12 1 — Raizes múltiplas e derivadas — Teorema 
12.2 — Demonstração do teorema 
13.1 —Tearema das raízes conjugadas.
13.2 —Consequência
15.1 — Tearema das raízes racionais....
15.2 — Demonstração do teorema
15.3 — Consequências
15.4— Propriedades ...........
1 S.1 — Definição
16.2 — Reconhecimento de uma equação reciproca....
16.3 — Resolução de um equação reciproca
16.4 —Resolução de um equação reciproca normal....
203
205
253
...254
256
... 257
,...193
.... 195
..241
,243
.. 244
.251
.213
.213
.214
215
.216
14.1 — introdução .
14.2 — Equação do segundo grau 
14.3 — Equação do terceiro grau ...
14.4 — Equação do quarto grau,...
14.5 — Caso geral 
167
 168
........169
 170
170
172
....... 182
190
11.1 — Introdução ..........................................................
11.2 — Equação algébrica do primeiro grau
11.3 — Equação algébrica do segundo grau ............... ....
11.4 — Teorema Fundamental da Álgebra
11.5 —Tearema da decomposição..........................................
11.6 — Demonstração do teorema da decomposição
11.7 — alguns artifícios....................... „ .............
11.8 — Polinômios de mesmas raizes
263Capitulo 17.Raizes comuns
267Capitulo 18. Raizes reais
Testes de vestibulares.................................
Respostas dos exercícios propostos........
Respostas dos exercícios suplementares 
Respostas dos testes de vestibulares......
Tabela de razões trigonométricas.............
17.1 — Introdução.......................
17.2 — Raizes comuns e MDC .
17.3 — Raizes múltiplas e MDC
17.1 — Introdução...............................
17.2 — Gráfico da função polinomial
17.3 — Teorema de Bolzano.............
Exercícios Suplementares...
263
263
265
267
267
275
279
281
323
349
353
354
PARTE I
Capítulo 5 -
Capítulo 1 -
Capítulo 2 -
Capítuío 3 -
Capítulo 4 -
O conjunto dos números complexos
Forma algébrica dos números 
complexos
A geometria dos números complexos
A trigonometria dos números 
complexos
Operações na forma trigonométrica
(?)2 = -1
11
J2 
3
O conjunto dos números 
complexos
1.1 - Introdução
A criação dos números complexos teve estímulo na necessidade sentida pelos 
matemáticos de ampliar o campo numérico de seu trabalho, dando significado, 
principalmente, às raizes quadradas de números negativos
Por que razão, quando se trabalha com números reais, algumas equações do 
segundo grau tém duas raizes, enquanto que outras nào tem nenhuma?
Como sabemos, isso acontece porque não existe, entre os reais, um número que 
elevado ao quadrado dê resultado negativo:
a questão de ampliar o campo numérico reside, portanto, em criar algum ente que 
verifique a igualdade:
onde vemos que não existe valor real de x capaz de satisfazer a equação no caso 
onde o discriminante A = b2 - 4ac é negativo.
Ora, como todo número negativo pode ser escrito como produto de seu simétrico
b2 -4ac
4 a2
2
e isso se confirma quando a equação do segundo grau ax + bx + c = 0 é escrita 
na forma:
b f x + —
2a )
2 2
9 9
-25 = 25K-1) = 52 ><?)2
X?)2
(?)2 = -25
(?)’=-!
y
Dois problemas históricos
6xJ-43x + 34 = 0
x3-10x + 40 = 0
^2 + -121 + ^2 - -121 = 4
Ora, se não existe 7-121 ccmo podería tal expressão apresertar um valor real?
12
Observa-se. assim, a necessidade de ampliação do universo numérico.
Essa necessidade não ê nova: Diofante de Alexandria (cerca de 250 d.C.) estevs 
às voltas com o seguinte problema:
Determinar os iados de um tnanguto retângulo de perímetro 12 e área 7
A montagem desse problema nos traz a equação:
Uma verificação direta mostra-nos que x=4 ê raiz dessa equação, o que levaria a 
supor, num raciocínio simples, que:
onde x é a medida de um dos catetos
O discrimmante dessa equação é negativo (A = -167), o que nos leva a concluir 
que não existe o triângulo procurado, Não te ri a Diofante despertado sua atenção 
para equações que, como essa, tém A < 0 ?
Em 1545, o médica italiano irolamo Cardano (1501-1576) propôs e resolveu o 
problema seguinte:
Dividir 10 em duas partes tais que seu produto seja 40.
A equação representativa desse problema é:
X = + 7^121 + $2 -\tl21
anda Cardano encontrado as respostas 5 + 7-15 e 5-7-15 e, snhre isso, teria 
dito que o resultado é tão sutil quanta inútil, no que, ao menosquanto à utilidade, 
estava inequivocadamente enganada já que hoje, a teoria dos números complexos 
tem larga aplicação na Física e na Engenharia.
Ele próprio, sem saber, leve uma mostra de que o fato de se dar uma interpretação 
ã raiz quadrada de números negativas seria útil, pois, ao estudar a solução de 
equações da forma:
x3 = ax + b
encontrou resultados que, em certos casos incluíam tais raízes quadradas e, 
nesses mesmas casos, ele sabia existir uma solução real. Par exemplo, o 
resultado que se obtém para a equação x3 =15x + 4 , utilizando o método de 
Cardano, é dado pela expressão:
Inventando um novo número
Com isso, podemos já complelar as igualdades questionadas no inicio deste item:1
11)
Solução
13
Este ê um exercício típica de equação cujo conjunto-verdade, no campo dos 
números reais, é vazio.
Agora, com base nas hipóteses adotadas, podemos escrever:
1a) i2 = -1
2a) i obedece ás principais propriedades operacionais 
da Álgebra,'
e também podemos encontrar soluções para equações antes impossiveis 
Optamos por exemplificar esse fato por meio de exercícios para que, durante a 
Leitura, as eventuais dúvidas que o leitor tenha sobre a consistência das hipóteses 
feitas (e o modo de operar), sirvam de estimulo para o estudo do próximo item, 
onde daremos tratamento mais formal e rigoroso aos números complexos.
Exercícios Resolvidos
Suponha-se então que, convencidos da necessidade, resolvamos inventar um 
número cujo quadrado seja -1,
Imediatamente surge a questão: como operar com esse novo número?
É claro que essa criação nos será útil apenas se pudermos usar os mesmos 
processos operacionais a que estamos acostumados.
Assim, sem ter, por enquanto, a preocupação de formalizar uma estrutura numérica 
nova, procurando apenas ganhar intimidade com a idéia, consideremos um novo 
número que, por falta de outro melhor, representaremos pelo símbolo i. e 
formulemos duas hipóteses.
Resolva a equaçao x +1 — 0 .
Cúmutatíva (da adição e multiplicação), associativa (da adiçao e da multiplicação] e 
dislributiva.
2 2 .. V2
— = — X-1)= —
9 9 3
-25 = 25><-1)=5z x2 
r rz” 2
M22
3
Logo: S = {-i; i).
1.2) 4x + 13 = 0.
Logo. S = {2 + 3I; 2-3i}.
1.3)
= (a + b)(a2 -ab-b2)
escrevemos:
x3 + 8 = 0 <=> (x + 2)(x2 -2x + 4) = 0 «
14
O leitor pode verificar que, realmente, qualquer um dos números obtidos 
satisfaz a equação; por exemplo, substituindo x por 2 + 3i em x2-4x + 13, 
temos:
Solução
Trabalhando no campo dos números reais, faríamos simplesmente:
No entanto, com as hipóteses adotadas, podemos verificar a existência de 
duas outras soluções, lembrando a fatoração:
= 4 + 12i-9-8-12Í +13
= 0
Solução
O discriminante dessa equação é:
A = 16-52 = -36
4 ± 6i
2
Baseados mas hipóteses adotadas, escrevemos:
4 ± V36i2
2
+ 1 = 0 <=> x2 -(-1) = 0 w 
« x2 - i2 = 0 <=>
« (X + i)(x - i) = 0 <=>
»x + i = 0oux-i = 0w 
« x = -i ou x = i
Resolva a equação x3 + 8 = 0 .
+ 8 = 0«x3=-8 <=> x = -2
(2 +3i)2-4(2 +3i) + 13 = (4 + 12i + 9Ú2))-(8 + 12i) + 13 =
+ b3
x2
x3
Resolva a equação x2
a3
4 + ^36 4±./36(-1)
Xi 2 - 2 “ 2
X =-2
= i±r7ã
i7s}.Logo: S = {-2; 1 + ijã; 1
1.4) Verifique que o número i é raiz da equação x3 - 2x2 + x - 2 = 0.
Logo: í é raiz,
15)
I) Supondo i > 0, vem;
II) Supondo i < 0, vem:
III) Supondo i = 0. vem:
Assim, nao valem as relações í > 0, i < 0 ou i = 0.
15
Solução
Substituindo, x por í no primeiro membro da equação vem:
i3 - 2i2 +í- 2 =(í>- 2$> í —2 = -i + 2+ í- 2 := 0
2±7l2i2
2
mostremos que qualquer uma das hipóteses: i > 0, i < 0 ou i = 0 nos conduz 
a um absurdo.
Mostre, com base nas hipóteses adotadas, que o número í não é positivo, 
não é negativo e não é igual a zero, isto é, que as relações i > 0, i < 0 e 
i = 0 não têm significado.
Solução
Lembrando que:
i = Ü^Í2=0^>-1 = 0 (!!!)
1°)a <0=-a2 >0 
2°)a> 0=?a3 > 0 
3°)a = □ =? a2 =0
x + 2 = 0
ou
x2 -2x + 4 = 0
i > 0 => í2 >0=>-1>0 (!!!)
ou
2 + 7^12 
x =-------------
2
[<0 =>i2 >0^1>0 (!!!)
1.6)
Suponha, então, um novo número, representado pelo símbolo QQ , tal que:
1 xx = 1 xy
Donde: x = y (!!!)
□EHoxjs) = rruoxB)
(üü>O)xV5 = (ITI>0)>fi
1x75 = 1>6
75 = S (!!!)
16
II) DO satisfaz as principais propriedades operacionais da Álgebra (veja nota 
de rodapé anterior).
Mostre que I e II conduzem a absurdos como a afirmação:
Números diferentes são iguais.
Solução
Sejam x e y números tais que x * y.
Sabemos que 0 xx = 0 xy. Multiplicando ambos os membros por QQ •
□□><0x<) = mXOxy)
Como estamos supondo válida a propriedade associativa, podemos escre­
ver:
Talvez o fato de termos inventado um número (i), e trabalhado com relativo 
sucesso apenas supondo que ele obedece às principais propriedades 
operacionais, leve-nos a querer usar esse procedimento em outras si­
tuações.
Por exemplo, sabemos que não se define divisão por zero. Teriamos 
sucesso se inventássemos um resultado nesse caso?
•>5-m
(□>)>« = (E2D>°)xy (1)
Como, de I e II temos = QQ => l_ll_l >0 = 1, a igualdade (1) fica:
Exemplificando numericamente:
0x75 = 0 >8
1.7) Resolva as equações
1.8) Resolva as equações:
Resolva a equação x3 + 1 = 0,1.9)
1.10} Verifique se o número tü é raiz da equação (E) nos seguintes casos:
3
(\/2; it) são exemplos de números complexos.
17
1.2 - Números Complexas
Há, na matemática, mais de uma maneira de se conceituar. formalmente, número 
complexo. Preferimos aqui adotar a seguinte definição
Chama-se número complexo a qualquer par ordenado (x; y) de números reais.
É usual indicar um número complexo pela letra z, Assim, zt = (-2; 3), Zj = (0; -1), 
z3 =f-;o]
a) x3 + 9 s □
b) x2 + 5 = 0
c) x4 -1 = 0
d) x* - 255 = 0
(Sugestão: fatore as expressões usando diferença de quadrados nos ilens c e d)
Isso nos mostra que não basta criar uma nova proposta numérica apenas na 
esperança de que as regras sejam obedecidas, É preciso montar uma estrutura 
consistente e compatível com o rigor matemático.
Exercí closPro postos
2x2 + x-2 = 0
2x3 + 8X“16 = 0
a) x3 -2x+2= 0
b) 4x2 -16x + 17 = 0
c) x2-6x+17 = 0
d) x2-10x + 40 = 0
a) <ü = -i; (E):x
b) w=2i, (E) x4
c) u=2 + i: (E):x3- Sx2 + 9x-5 = 0
I) Igualdade de números complexos
(a: b) = (c: d) t=? a = c
II) Adição de números complexos
b + d
lil) Multiplicação de números complexos
(a; b}?<c; d) í=j (ac - bd; ad + bc)
Exemples
a) Se (x; y) = (-2; 3), então x = -2 e y = 3
b) Se z,-(2;3) e z? = (4: 5), então:
z,+zj = (2; 3)+ (4; 5) = (2+ 4; 3 + 5) = (6, 6) e
z, xzz = (2b 3) ><4; 5) = (2x4-3 *5; 2x5+ 3x4) = (-7; 22)
c) Sendo z um número complexo qualquer, temos:
18
1 1 2*2
Para quem está tomando contato pela primeira vez com esta teoria, é intrigante 
observar que as definições de igualdade e adição dadas sáo, digamos, intuitivas, 
enquanto que a da multiplicação foge completam ente a essa intuição: porque não 
definir (a; b)>(c; d) por (a>c, b >d)?
A Isso respondemos com a lembrança de que estamos procurando criar um campo 
onde existam números cujo quadrado seja negativo e, como veremos mais 
adiante, será justamente esse modo de multiplicar, estabelecido na definição (lll), 
que nos fornecerá tais resultados
Já com vistas a introduzir uma estrutura operatória aos números complexas, 
estabelecemos, também, as seguintes definições, onde a, b, c e d sãc números 
reais:
z2 =zxz
( 1 \
Assim, se z= -2 , então;'. 2 J
= zxz = =
- [-2] H-2]; A X-2) + [-2] J l = ;- 2
2 2 J v 4
z2
e b = d
(a; b) + (c; d) <=> a + c e
15
4 ’
1
2
Exercícios Resolvidos
1.11) Determine os reais x e y para que (x - 3y; x + y) = (1: - 4).
Resolvendo este sistema, obtemos
1.12) Determine o número complexo z tal que (-2; â) + z = (2: Ú)xz.
=> (-2 + x; 8 + y) = (2x; 2y) => 4
Logo, x = -2 e y = 8 e daí z = (-2.8).
1.13) Resolva a equaçao
Solução
=-(x2- y2;2xy) = (0; 1)
19
Solução
Seja z = (x; y); então:
(-2;8Mx;y) = {2; 0)X«: y) =>
(-2 + x; 8 + x) = (2 xx-0 xy; 2xy + üxx)=>
 . . í-2 + x = 2x
 | S + y = 2y
Solução
Da igualdade de números complexos vem: 
íx-3y~1 
(x + y = ^4
Seja z = (x; y); então:
z2 = (0; 1) =>zxz = (0; 1)=> (x; y)>(x; y) = (0J) => 
oíxw - yxy; xxy + yxx) = (0:1)
x2 - y2 = 0
2xy 1
11 5
X-— « y = ~7 4 4
z2 =(0; 1).
y são números reais),e
, e o conjunto-solução da equaçãoLogo, z
é:
S
Exercícios Propostos
1.14) Dados z, = (1,4), z2 = (-2; - 2) e z3=(0;3), calcule:
3
1.15) Determine os reais x e y para que se tenha:
b) (2x-3y; 3x + 2y)
1.16) Dados z,=(5;-5) e z2 =
.21.17) Resolva a equaçao z= (0;-8).
20
72
2
Resolvendo este sistema (lembrando que x 
obtemos:
“ 2
72x = — e y
2
4 21
—, — j, determine z tal que:
a) (x + 2, y-3) = ^2,
= í^.^Ou zJ —
l2 2J t 2
^2'2 2 2 ,
a) z, + z2
b) z, + z2 + z
c) z, xz2
d) (z, xz2)xz3
e) z2 x(z, + z3)
g) (Zi + z2)2
72) f= — ou x =------e y = -2j l 2
a) z + z, = (0: 0)
b) zxz2 = (1; 0)
c) z + z2 = Zt
d) zxz, = z2
72
2
1.3-0 Conjunto dos Números Complexos
C = {z = (x; y) [ x& R e y e
C-3 x S = R!
1. Propriedade comutativa da adição
2. Propriedade associativa da adição
Vz1 e C, Vz? e ¥z3eC3-
Sendo z, = (a: b), z2 = (c; d) e z, = (p;q), temos:
21
Com a definição de número complexo, seguida dos conceitos de igualdade, adiçao 
e multiplicação dados no item 1.2, podemos agora definir conjunto dos números 
complexos como sendo o conjunto C de todos os pares ordenados de 
números reais:
É importante notar que, desta forma, estamos definindo □ conjunto dos números 
complexos como o produto cartesiano do conjunto dos números reais por ele 
mesmo, isto ê:
Estando, então, definidas em € a igualdade (I), a adição (II) e a multiplicação (III), 
conforme o item anterior, é bastante simples provar que, nesse novo conjunto, são 
verdadeiras as nove propriedades operacionais da Álgebra, a saber
z, + z, = (a; b)-r(c, d) = (a + c; b + d) =
= (c +a; d + b) = (c, d) + (a; b) = z3 + z,
^+[2, + ^]-^+2.]+ 2
Z1 + [z2 + Zj] = (a; b) + [(c; d) + (p + q)] = (a; b) + (c + p; d + q) = 
= (a + [c + p]; b +{d + q]) = ([a + cbp: [b + d] + q) = 
= (a + c; b + d) + (p; q) = [(a: b) + (c: d)] + (p: q) - 
= (z1 + z2] + za
= z2 + zt, Vz^ <= C, Vz2 e
Sendo z1 = (a;b) e z2=(c;d), temos:
3. Existência do etemento neutro da adição
3T!aE C I Z + na = Z?ze C
Sendo z = (a, b), vamos mostrar que existe rja = (x; y) tal que Z + r> - 2■
(a;b) + (x; y) = (a; b) «=>
4. Existência do elemento simétrico
3z’e C|z4z’ = nH, Vzé C
(a;b) + (x;y) = (0; 0) » (a + x, b + y) = (0; 0)
jja igualdade, vemi»1
z, + 2/ = z, + (-zz)= (m: n) + (-p; - q) = (m - p; n -q)
que chamamos de subtraçao de numeras
5. Propriedade comutativa da multiplicação
22
donde x = 0 e y = 0 Existe, portanto, o elemento neutro tia = (0;0)que somado 
a qualquer número complexo z dá como resultado 0 prõprio z,
Sendo z = (a: b), vamos mostrar que existe z' = (x; y) tal que z + z’ = qa Como 
qa = (0, 0), escrevemos:
|a + x = 0
(b +■ y = 0
(5, 8)-(9; 3) = (5-9; 8-3) = (—4, 5) 
(-13; 5)-(2;-4) = (-15; 9)
ía + x = a 
Da igualdade, vem .
z, *z2 = z2 xz^ Vz, e 't\ Vz2 e C
dando assim um significado para o 
complexos. Por exemplo:
donde x = -a e y = -b. Existe, portanto, 0 elemento simétrico z' = ( — a, -b).
Observação: Indicando zf por -z, temos z = (-a; -b) = -z = -(a; b).
Com isso, sendo z, = (m, n) e z2 = (p, q), ao efetuarmos a adição z, + Zj’ 
escrevemos:
Logo, zA >z2 = Zj x*!-
6. Propriedade associativa da multiplicação
z1 >^z2 xz3] = [z1 xz2] xz3, Vz1 e C, Vz2 e e ~
(c;d) e z3 = (p;q), temos.
7, Existência do elemento neutro da multiplicação
(a: b) >(x; y) = (a; b) <=> (ax -by; ay +bx) = (a: b)
Da igualdade, vem
(t □) M3; - 72) = (1 x3) - 0 ><-72]; 1 xf-72 ax3) - (3. - 72)
23
A resolução do sistema fornece x=1 ey = 0 Existe, portanto, o elemento neutro 
nm = (to)
z, >(z2 xz3] = (a; b)[(c; djxfp; q)] = <a; b)>(cp -dq: cq + dq) = 
= (a[cp - dq] - b[cq + dpj; a(cq + dp] + b{cp - dq]) = 
= (acp - adq -bcq -bdp; acq + adp + bcp - bdq)
[z, xzj xz3 = [(a,b)(c; d)]x(p; q) = (ac -bd; ad+ bc) x(p xq) = 
= ([ac-bd]p-[ad+bc]q; [ac-bd]q+]ad-F*bc]p) = 
= (acp-bdp-adq-bcq: acq + bdq + adp -bcp)
que, multiplicado por qualquer número complexo z, dá como resultado o próprio z 
Exemplificando numericamente:
{5.3)x(1;0) = (5xi-3xO;5>ÍJ + 3xl) = (5; 3)
í ax - by = a 
[ay r bx - b
Lago: zy >{z2 xzj^z, xz2]xz3
Sendo Z1 = (a; b), z2
Sendo z1 = (a; b) e z2 = (c, d), temos:
Zt xzj = (a; b) ><c; d) = (ac - bd; ad+bc) 
zixz< = (c;d)Xa;b) = (ca-db;da + cb)
Sq^e C| ZXi]m = Z, Vze C
Sendo z - (a; b), vamos mostrar que existe nm = (x; y) tal que Zxrjm = z:
8. Existência do elemento inverso
3z
Da igualdade, vem
Existe, portanto, oA resolução do sistema fornece e y-
z
Exemplos
z7 = |2 ’
2") O inverso de z2 = (-3; 0) é:
z2 =
3°) O inverso de z3 = (0; - 4) é:
Z3 =
24
Seja z = (a, b) £ (0: 0), isto é, ze C-{(0; 0)} = C *. Vamos mostrar que existe o 
número complexo (x; y), indicado por z'1 tal que z > z-1 = r,m :
4
5
4
J5.
9. Propriedade distributiva
z1 x|z2 + z3] = z, xz2 +z1 xz3, Vz, € C, Vz2 g C, Vz3 e C
-3 0
[-3]2 + O2 ’ [-3]2+ o2
0
0z+[-4]
(a; b) x(x; y) = (1; 0) <=> (ax - by; ay + bx) = (1; 0)
|ax-by = 1
|ay+ bx = 0
l;o 
3
- -H 
2' 02+[-4]\
-b 
a2 + b2
2
___ . 5
U' íIWJ
a -b
x = -----7 e y = “õ---- 7a2+b2 a2+b2
elemento inverso de z = (a; b) (também chamado inverso multiplicativo):
a
10) O inverso de í—; - 'l é:
15 5)
e C | z>z"' = r|m,Vze C*
3-3
Exercício Resolvido
Nessas condições, efetue:
a)
b)
(3;2)-q =
Então:
25
_3
13
£L
Z2
2
13
Solução
a) O inverso de (3; 2) é:
(2:-3j
(3,2)
(-t1)
(t-1)
= (2;-3)x(3:2)-,=(2:-3)J—=
\ I O i O /
[-3]x
Logo: z1 x[z2 * z
-2
3? + 2:
1,13) Divisão de números complexos — A existência do elemento inverso 
(propriedade 3) permite-nos definir divisão de dois números complexos 
como sendo o produto do primeiro pelo inverso do segundo. Assim, 
sendoz1 e z3 com dois elementos de C, a divisão de z^ por z3 é indicada 
e definida por:
2 1 _ f 2 ’
— ; 2 > 
13 13
= 2^2
P:~3)
(3:2)
<2
+ z3] = (a;b)>£(c; d)+(p; q)] =
= (a. b)x(c + p; d + q) =
= (a[c + p]-b[d + q|; a[d + q| + b|c + p]) =
=■ (ac + ap-bd-bq; ad + aq + bc-bp)
z, xz2 + Zi xz3 = (a; b)x(c; d) + (a; b)x(p; q) =
= (ac-bd; ad + bc)-i-(ap-bq, aq + bp) =
= ([ac-bd] +[ap - bq], [ad + bc] - [aq - bp]) =
- (ac-bd + ap-bq; ad + bc +aq + bp)
] = z^xz2+z1 xz
Sendo z1 = (a; b). z2-(c‘^) e z3 = (p; q), temos:
3 
3=72=;
2
13
b) O inverso de (1; —1) ê:
Então
= (-1;1)x(1;-1)
Exercícios Propostos
1,19) Determine os inversas multiplicativos dos números complexos:
c) £0; 3)b) (5; 0)a)
1,20) Efetue as divisões1
b) c)a)
1.21) Seja z = (a;b) e C*. Se o inverso multiplicativo dez b z (c;d), mostre que-
[a2 + b?] Mc2 + d2] = 1
z
26
U3 ’ 13 J
(Q:-5)
(5;0) (0;3)
<-i; i)
i_. 1
2’2
Por exemplo, se z = £2; 1) e n = 3, temos:
z3 = (2; 1)3 - (2; 1) x£2; 1) x(2; 1) = (3; 4) x(2; 1) = (2; 11)
Adotando, também, as definições:
1.22) Potências de expoentes inteiros - Tendo como fundo de consistência 
a propriedade associativa, para todo z e C e para todo ne N, n > 2, defi­
nimos:
(1.1)
12. 5 >
13 13 J
1 -ir-i]
í+í-u^+h2
z°= nm= (to)
z1 = z
= (z’1)" = (zn)’\ Vze C‘, Vne N
zfl = ZXZXZX..Z 
n fatores
f 1 1 ’)
= f [-1] xl -1 xl; [-1] xj+1 = (-1; 0)
z"'
Assim sendo, calcule z tal que:
z =
27
ficam completamente caracterizadas as potências de expoentes inteiros 
dos números complexos, valendo para elas as propriedades usuais, como, 
por exemplo:
(t 3)*
(t
+ (to)7 (-3; 5)s 
t3.-5)s
e (z"1)"7 = zn,*"J
Capítulo
Exemplos
Em 5
29
Forma algébrica dos 
números complexos
2.2 - Descobrindo que os números reais são complexos
Comecemos por considerar o subconjunto Cr de C, formado pelos com-plexos da 
forma (x; y), isto é:
2.1 - Introdução
Desde que nos habituemos à regra de multiplicação, o trabalho algébrico com 
números complexos não apresenta maiores dificuldades. No entanto, não podemos 
dizer que seja um trabalho confortável, principalmente quando com-parado ao que 
usualmente temos ao operar com números reais.
Por isso, visando a agilizar o modo de operar com números z e C, vamos introduzir 
algumas notações novas.
Em Cr
(2; 0)+ (5; 0) = (7; 0)
(12; 0>-(5;0)=(y:0)
(2; 0)x(5; 0) = (10; 0)
12;O)^;oj = (-6;O) :
Cr = {(x; y)| xe R e y = 0]
Assim, (0; 0), (1; 0), (—1; 0), I — —; 0 I e (>?2; o) são exemplos de elementos de Cr.
Efetuando a adição e a multiplicação de dois elementos, (a: 0) e (c: 0), de Cr:
(a; 0) + (c, 0) = (a + c; 0 + 0) = (a + c; 0)
(a; 0) x(c; 0) = (a xc - 0 xO; a xO + 0 xc) = (a xc; 0)
notamos que as segundas componentes (y) dos resultados continuam sendo 
zero (portanto esses resultados pertencem a Cr), e as primeiras componentes 
são obtidas como se tivéssemos usado a adição e a multiplicação dos números 
reais.
2 + 5 = 7
1 23 
12-—«—
2 2
2 >5 = 10
(-12)x| = -6
R c C
podendo, por isso, afirmar que todo número real é complexo.
2.3 - Unidade imaginária
i = (0; -I)
30
A igualdade (1; 0) = 1 define, em C, o número complexo (1; 0) como unidade real. 
Definimos como unidade imaginária o número complexo (0; 1), que passamos a 
indicar pelo símbolo i.
(0.3) = (3;0)x(0;1)
(0; -5) = (-5; □) x(0; 1)
(y, 0) x(0; 1) = (y x0 - 0 xl; y + 0 xO) = (0; y)
Assim, por exemplo:
Era nossa intenção conseguir um número cujo quadrado fosse negativo. Agora, já 
o temos! Observando que:
i2 = i xj = (0; 1) x(0; 1) = (0 xO-1 xl; 0 xl + 1 x0) = (-1; 0)
E utilizando a notação adotada no item 2.2, obtemos a propriedade fundamental 
da unidade imaginária:
Imaginários puros - Todos os números complexos da forma (0; y), com 
y * 0, são denominados imaginários puros.
Notemos que
Vemos então que os elementos de Cr, obedecendo às definições de igualdade, 
adição e multiplicação de complexos, têm comportamento idêntico ao dos 
números reais, (num ramo da Matemática, chamado Álgebra Moderna, os 
conjuntos Cr e R são ditos isomorfos).
Ora, já que podemos operar com os complexo da forma (x; 0), do mesmo modo 
que operamos com o real x, vamos adotar a notação:
(x; 0) = x
para todo x real. Podemos, portanto, escrever:
(0;0) = 0, (1;0) = 1, (-1;0) = -1, (>/2;0) = V2
Admitida a igualdade (x; 0) = x, é evidente que Cr = R; passamos, então, a 
considerar o conjunto dos números reais como subconjunto dos números com­
plexos: ___________
Z = (x; y) = x + yí
que é chamada forma algébrica de z.
c)
Ke(í) e y = 1m(z)X
31
Como (y; 0) = y e (0; 1) = i, podemos escrever
(0; y) = (y; 0)x(0; 1) = y x
Observação: Se z = (x; y) = x + yi apresenta y * 0, z é chamado número 
imaginário.
ou seja, para todo imaginário puro vale a notação;
(0; y) = yi
Portanto, (0; 3) = 3r, (0; -5) = -5i, (0; -1) = -i sâo exemplos de imaginários puros.
2.4 — Forma algébrica
Com as novas notações e definições vistas, podemos representar um número 
complexo qualquer z = (x; y) numa outra forma que, como veremos, tornará hem 
mais práticas e simples as operações
Notando que sempre podemos escrever:
z = (x;y) = (x;0) + (0; y)
Como (x; 0} = x e (0; y) = yi, temos:
Operações na forma algébrica - Examinando alguns exemplos, vejamos como se 
aplicam com a forma x + yi a igualdade, a adição e a multiplicação de complexos.
Os números reais xe y são. respectiva mente, denominados parte real de z e 
parte imaginária de z E usual representa-lcs pelos símbolos:
Exemplos
a) (2;7) = 2 + 7Í
b) (-3; 5) =-3+ 51
i2._n.2_r
U' 2) 3 2
d) (-10; 0) = -10+Oi =-10
e) (0; 7) = 0 + 7Í = 7i
f) (0.0) = 0 + Oi = 0
Exemplos
1.0)
(a, b, c e d reais)a + bi = c 4- di c=> a = c e b = d
2o)
(a, b, c e d reais)[a + bi] + [c + di] - [a + c] + [b + d]i
3°)
32
(7; 3)(5; 5) = (7 >6 - 3 >6; 7 >6 + 3 >6) = (17; 57) 
[7‘73ÍM}'+6i] = 35 4-42i +15i +1 17 + 57i
Para somarmos dois complexos na forma algébrica, somamos as partes reais 
e as partes imaginárias, ou seja:
(x, y) = (-2; 1 3) <=> x = —2 e y = 13
x + yi = -2 + 13i<=> x = -2 e y = 13
Vemos aqui que, para igualarmos dois complexos na forma algébrica, basta 
identificar as partes reais e as parte imaginárias, isto é:
(2;13)+(5;1) = (7;14)
2 + 13i + 5 + i = 7 + 14i
Símbolo
O; o) = 1 
(Q; 1) = í 
z = (x: y) 
z -- x. ~ yi 
Re (Z)
(z)
Para multiplicarmos dois complexos na forma algébrica, aplicamos a 
propriedade distributiva, como se estivéssemos trabalhando com 
expressões reais da forma a + bx, mas lembrando sempre que i2 = -1. Em 
termos gerais:
l[a + bi] >{c + di] - ac + adi + bci + bci2 - [ac - bd] 4- [ad + bc] i
(a, b, c e d reais)
Resumo da nomenclatura - O quadro a seguir nos dá uma visão 
da nomenclatura introduzida neste capítulo. Nele acrescentamos algumas 
denominações que não foram citadas anteriormente.
____________ Denominação__________ 
unidade real________________________
unidade imaginária__________________
forma cartesiana de z________________
forma algébrica de z_________________
parte real de z______________________
parte imaginária de z_________________
Se y = 0, então z = x + yi = xé real,_______
Se y * 0, então z = x 4- yi é imaginário.______
Se x = 0 e y * 0, então z = x 4- yj = yi é imaginário puro.
Exercícios Resolvidos
2.1)
Solução
b)
(Zj-Zí)
2.2)
Solução
-8Í3 = -8i2 xi = 8i
2.3) Determine c real x para que o número complexo
b) imaginário c) puroa) real
33
Nc capitulo S estudaremos um processo geral para o cálculo de potências na forma 
(a + bi)n.
c)
d)
Solução
Vamos, ínicialmente, escrever z na forma algébrica a + bi:
2 =; 2 + (x-4i)(2 + xÍ) = 2 + 2x + x2i-8i - 4xi2 = 2 + 2x + xai-8i+ 4x 
Assim: z = (2 + 5x) + (x2-8)1.
a) z^ + z2 -z3
b) z, :«z2 + z3
c) (z, + z2)2
d) (z,-z2)2-z|
z = 2 + (x-4i)><2 +xi) seja:
Lembrando que as operações com números complexos na forma algébrica 
se processam de modo análogo ao que utilizamos com expressões 
algébricas, e que i2 =-1, temos:
a)
Calcule (1-i)6
(1-i)6 =
Sendo z1 = 1 + 4i, z2 = 3-3i e z3=5i, efetue:
zn + z2 — z3 = (1+4Í) +(3 — 3i) — (Ei) = 1 + 4i + 3 — 3i + 5i — 4 — 4i
2. xz2 - z3 = (1 + 4ÍJX3 - 3i) + 5i = (3 - 3i + 12i-12Í2) + 5i =
- 3-3i + 12i+12 +5i = 15 + 14i
(2, + z2)2 = (1 + 4Í + 3-3l)2 = (4-í)2 = 16-8Í + ÍZ =16-8i-1 = 15-8i
2-zj = (1 + 4i-3 + 3i)2 - (Si)3 - (-2+ 7i)2 -125i3 =
= (4 - 2Si + 49i2) -125i2 xi = 4 - 28Í - 49 + 125i = -45 + 97i
É claro que poderiamos calcular (1-i)6 efetuando o produto de 6 fatores 
(1 — í) (1 - i) ... (1 — i) ou utilizando a formula de desenvolvimento do binômio 
de Newton (x- a)n.‘ Porém, neste caso, podemos fazer 
í2]3=[1-2í-1]3 =[-2i]3 =
a) Para que z seja real é necessário que sua parte imaginária não seja nula:
1m(z) = 0 « x2-8 = 0 « x = ±2^2
Re(z) = 0 e 1m(z)*0).
+ 5yi e z3 = 6 - 6i, determine os reais2.4)
Solução
<=> 4x + 3yi = 6 - 6i «
2.5) Determine os reais x e y para que se tenha (2x - 3yi) x(2 + i) = -30i.
e dela tiramos o sistema
que resolvido fornece x = -3 e y = 4
34
b) Para que z seja imaginário é necessário que sua parte imaginária não 
seja nula:
c) Para que z seja imaginário puro é necessário que sua parte real seja nula 
e sua parte imaginária não seja nula:
Solução
Efetuando o produto indicado no primeiro membro da igualdade, temos:
4x + 2xi-6yi-3yi2 =-30i
4x + 2xi-6yi + 3y = -30i
4x + 3y = 0 
2x-6y = -30
+ z2 = z3 <=> 3x - 2yi + x + 5yi = 6 - 6i <=>
4x = 6
3y = -6
É importante que, para igualarmos dois números complexos, escrevamos 
em destaque a parte real e a parte imaginária de cada um. Assim, a última 
igualdade acima se descreve:
(4x + 3y) + (2x-6y) i = 0-30I
Sendo, z1 = 3x - 2yi, z2 = x 
x e y para que z1 + z2 = z3.
3
Logo, x = - e y = -2
lm(z) * 0 « x2-8 * 0 <=> (x * 2V2 e x*-2\/2)
Re(z) = 0«2 + 6x = 0<=>x =
(Note que, se x =
Determine z - C tal que z3 = 0.2.6)
Solução
e dar o sistema
2.7)
35
Para que possamos utilizar a igualdade de complexos, fazemos z = x + yi 
(x e y reais). Então, z3 = B se escreve:
(x + yi)3 = 8
x3+ 3x2yi +3xy2í2+ y3i3 = 8
x3 + 3x2yi-3xy2 + y3i2 x = 0
Destacando a parte real e a parte imaginária de cada membro, temos:
(x3-3xy2) + (3x2y-y3)i = 8 + 0i
x3-3xy2 = 8(1) 
3x2y-y3 = 0 (II)
3x2.
Determine ze C para que se tenha z2 + 5 = 2x
obtemos y = D ou y2
Fazendo em (I). y = 0. vem x = 2.
Substituindo, em (I), y2 por 3x2. vem x = - 1 e, portanto, y = ±73. 
Logo, os valoresde z = x + yi são:
(x = 2;y = 0) « z - 2
(x = -1;y = 73) <=> z = -1+ 7ãi
(x = -1;y = -73) « 2 = -1- 73 i
Fatorando a equação (II):
y{3x2-y2) = D
Solução
Fazendo a substituição z2 + 5 = 2z. (x e y reais), temos: 
z2 + 5 = 2z « (x + yi)2 + 5 = 2(x + yi) « 
« (x2 + 2xyi + y2i2 + 5 = 2x + 2yi w 
«(x2-y2 + S) + 2xyi = 2x + 2yi
Desta igualdade tiramos o sistema:
jx2-y2 + 5 = 2x (I) 
[2xy = 2y (||)
= 1±2i
2.8)
(D
(II)
2±4i
2
Sabendo que a equação em x:
x2 + (a + bi)x + c + di = 0
(onde a, b, c e d são reais não nulos), admite uma raiz real, mostre que 
abd = d2 + b2c.
Da equação (II), y(x-1) = 0, obtemos y = 0 ou x=1.
Para y = 0, a equação (I) não apresenta soluções reais para x.
Para x = 1, a equação (I) fornece y = ± 2.
Logo, o número z = x + yi é z = 1 + 2i ou z = 1 - 2i.
Outro modo - A equação z2 + 5 = 2z pode ser escrita:
z2-2z + 5 = 0
Trata-se, então, de uma equação do 2° grau de coeficientes reais, 
podendo, por isso, ser resolvida como segue:
-b + VÃ 2±V^Í6 2±Vl6i2
z =-----------=-------------=-------------
2a 2 2
Assim, z = 1 + 2i ou z = 1 - 2i.
O leitor deve entender que este processo só foi utilizado no momento para 
facilidade de calcularmos a raiz quadrada do discriminante A, que, neste 
exemplo, é um número real (A = — 16).
No caso em que A resultasse um número imaginário - e isso pode ocorrer 
quando os coeficientes da equação não são reais - teríamos alguma 
dificuldade em calcular a raiz quadrada de A. No capítulo 5, exercício 5.12, 
mostraremos como enfrentar o problema.
d
De (II) vem a - —; substituindo em (I), obtemos: 
b
Solução
Seja x = a a raiz real da equação. Então:
a2 +(a + bi)a + c + di = 0 ou 
a2+ aa + bai + c + di = O ou
(a2 + aa + c) + (ba + d)i = 0 + Oi
Da igualdade de complexos, tiramos; 
í 7 Ia + aa + c = 0 
|ba + d = 0
+ b2c = abd.
íI — : + c = 0 
k bJ
d2 ad 
-y- —+ c = 0 
b2 b
d2 -abd + b2c = 0
Logo: d2
36
l bj +ai
2.9)
Solução
SclLiçaa
'2-2 0
-2
37
2.10} Determine a lugar geométrico dos pontos P(x; y) do plano cartesiano para os 
quais o produto de números complexos (x + yi)(y + xr) seja 4L
Como R#(z) = sen2cr. e -1ssen2a£l, temos -l£Re(z)s1.
Como Im(z) = sen2ot e -1 í cos 2a <1, temos-1 s lm(z)s 1.
As fórmulas trig ono métricas do quadro ao 
lado permitem escrever:
2
z = z, xz2 ~ (sen 12 + 'cosa) (oos « — i sen a) 
z = sena cosa - i senza + icos2 a -i2 senacosa 
z = (2 sena cas a) + (cos2 a- sen2a) i
z = sen 2a + i cos 2a
LW
2 senacosa = sen2a
■5 7
cos a - sen a = cos 2a
2
Temos, então, que x
Considere os complexos z, - sen a + i cos a e z2 = cos a-i sen a, on­
de a ê um real qualquer. Mostre que, se z = z, >z?, então -1 á RB (z) í 1 e 
-1 í |m(z)£ 1.
Da Geometria Analítica, sabemos que uma equação da forma x2 + y2 = r2 
representa uma circunferência com centro na origem (0; 0) e raio |r|. 
Portanto, o lugar geométrico procurado é a circunferência de centro O (0; 0) 
e raio 2.
(x + yi)(y + xi) = 4i
2- -2xy + x i+y i + xyi - 4i
xy + x2i + y2i- xy =4i
0 4-(x2 + y2) i = 0 + 4i
1 2+ y =4.
Exercícios Propostos
2.11) Sendo z, = 3-2i,z
2
2.12) Calcule:
s
,6
2.15) Seja
3)Re(z)iO tOlrn(z) < 0 C)Re(z)<0 elJz):>0
a) Zt + z2 = 23z3 - 2
a) x(2 + xi)-6i2 =9i
b) [x - 5i)(2 + xi) = 14
38
z= (x + yi) >(y + xi)
a) real
b) imaginário
c) imaginário puro
14) A que condição devem obedecer os reais x e y para que 
seja um imaginário puro?
b) z1>22 = z3+(1 + i)
2.17) Determine o real x para que:
z = ai (a - 2i) - (10 + 9i), ae R. Determine a para que se tenha:
a) Zl + z2+za
b) z1-3z2 + iz3
c) z,xz2xz3
d) iz, + z3 xz3
e) (zl + z2)2 + z2
f) z?-zl + zl
2.16) Sendo z1 = 2x + yih zz = y-2xi e z3=1-i, determine os reais x e y tais 
que:
a) (-31)
b) (1 + i/
c) (-1’i)
d) (1-i)10
2.13) Determine o real x de modo que o complexo z = (13i - 6) + (2x+i)>(3 - 2xi) 
seja:
2 = 2 + Si e z3-1+i, calcule:
2.18) Determine Ke C, tal que:
a)z2 =3 + 4i
2.19} Determine Z e C, tal que:
a)z2 = 2z-3
2.21) Escreva na forma algébrica a + bi os seguintes números complexos
a)
2.23) Seja a e R - J - + k7t, k e z k Se z = (1 + i tg «)(1 - í tg u), mostre que Re(z) à 1
e lm(z) = 0.
2.5-As potências naturais de i
1, i
39
2.22) Sendo a e b números reais e a + bi = (sen a + i cos a)(cos a - i sen a), mos­
tre que a2 + b2 = 1, Vote R.
2 20} Sejam os reais a, b, ced não nulos. Sabendo que a equação em x 
X2 + (a + bi)x 4-c + dr = 
admite um número imaginário puro como raiz, mostre que abd = d'
/,._i n n ib)2 sen— +1cos— I
l 8 8}
2i ““ 3 C ■
b)z3 = -27
b) z2 + 14z + 50 = 0
rr n l2
cos — + »sen— :
12 12J
Consideremos as potências do tipo in, onde n é natural. Vejamos alguns 
exemplos:
i° = 1 j< =p>i2 = (-1)(-1) = 1
i1=i js sp« = 1>$ = i
i2 = -1 i5 = i4xj2 = 1xf-1) = -1
j3 =j2M = (-1)X = -i j7 = >? = 1 X(-1) = -i
Começamos então a perceber que, à medida que n cresce, os resultados de 
inh vão-se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos valores da 
sequência:
n
2
De fato, se dividindo n por 4 encontramos quociente q e resto r, temos:
« n = 4q + r e ir < 4n
r q
Então:
jn =j4q+r =j4q>jr =(j4)q^r =(i)q>jr = f
e, portanto:
in =ir
Exemplos
a) Calculemos i67.
67
b) Calculemos i726.
726
40
sendo, pois, de 4 unidades o período de repetição; isto nos sugere que, para 
calcular o valor de in, basta elevar i ao resto da divisão euclidiana de n por 4.
27
(2)
32
06
(D
k
181
k_
16
Como r = 2, temos: j725 =j®=-i
Como r = 3, temos: i67 = -j
Assim, no caso do exemplo b acima, podemos fazer:
4
1B1
53 4
13
Em resumo, temos as seguintes igualdades, para todo ke N:
=i :4k+2
41
O resto da divisão euclidiana de um número natural n(n z 100) 
por 4 pode ser obtido dividindo por 4 apenas o número formado 
pelos dois últimos algarismos de n,
Quando o expoente n é maior que 99, podemos facilitar a regra acima utilizando 
um resultado da Aritmética que nos diz:
13
O
728
32
06
0>
XÍ = 1 X = 1
M2 =1 =
XÍ3 =14-1) = _j
&36753_ j®_ j
4
8
Observação: Na realidade, as quatro igualdades acima são válidas para todo 
k e Z, Basta notar que, índependentemente de k ser positivo ou 
não, temos:
^k+3
(i4)fc = 1k = 1
14k+1 = i')k
j4k+2 _ j4k 
j4k+3 _ j4k
, — , , .B3S 7S3c) Calculemos i
Como o número formado pelos dois últimos algarismos do expoente é 53, 
fazemos:
ou, simplesmente,
______ @
i4k =1
Exercícios Resolvidos
2.24) Quantos valores distintos assume a expressão A = in + i ne N
Solução
A = in+i
Se n é par, temos
e portanto:
Se n é impar, temos (-1)n = -1 e, portanto, A = = 0
in
Logo, A assume três valores distintos: -1,0,1.
2.25) Determine a relação entre os naturais m e n para que im = in.
para todo k e Z, vem:
m-n = 4k (m - n é múltiplo de 4)
Exercícios Propostos
2.26) Calcule:
36
-I
42
Solução
Dividindo a igualdade dada por in, temos:
im 
in
in
in
(-1)n=1
in = ±1
A = —= ±2
±1
-i5 + i7
28
_ jH | 1 _ i20 +1 _ (i2)n +1 (~1)n + 1 
in in in in
Como 1 = r4k
i«
a) i
b) i507
c) i134S
d) ,307533
e) i32
f) (1 + i)
ou seja, im-n =1.
2 27) Sendo n e N. calcule:
b) A = ín + in+1
2,28) Quantos valores distintos assume a expressão A = I jne N?
2.29) Determine a relação entre os naturais m e n para que se tenha
b) rm = r3
z = a- bi
(z) = 3 + 4i
ou seja, o produto zxz é sempre um número real não negativo:
43
2.6 - Conjugado de um número complexo
Seja z = a + bi (a e b reais) um número complexo. Chama-se conjugado de z o 
número complexo:
Exemplos
a}Se z = 5 +11r seu conjugado é z - 5 -11L
b)Se z = 1-6i, seu conjugado ê z = 1 + 6i
o) 2 = 3i « z = -3i
d) z = 5cv z=5
e) -7+5Í =-7 - 5i
f) 2 = 3 + 4i w z = 3-4i w
É imediato que;
1o) Se z = 2 entáo z é real (veja exemplo d acima).
2o) (z) = z (Veja exemplo f acima)
Um resultado muito importante é dado pelo produto de um número complexo pelo 
seu conjugado:
(a + bi)(a- bi) = a
a) im =i
j" 
a) A=-^
-b=i=
. . jn jin 
c)A = ^j-
z*z - (a +bí)(a - bi) = a2 — (bi)2 = a2 = a2+b2
2 + b2
3n-2 _j
Exemplos
2.7-Divisão
Exercício Resolvidos
30) Calcule —
Solução
2.31) Determine o inverso de z nos seguintescasos:
b) z = i
Solução
1
z
1
= - x— = — = —ib) z = i => z
z
44
2+i
5 + 3i
13-i
34
_3i
2-i
No exercício 1.18, aprendemos a dividir dois números complexos multiplicando o 
primeiro pelo inverso do segundo. Agora, utilizando o resultado do produto z>z 
visto o item anterior, podemos efetuar a divisão de forma bem mais prática. 
Acompanhemos o exemplo:
13
34
1
34
2 + i 5-3i 
=------- x-------
5 + 3Í 5-3i
1
T
5
4
1
1
r 2
Assim, temos que. para se efetuar a divisão —, basta multiplicar nume- 
z?
rador e denominador pelo conjugado do denominador.
-3 + 6Í
I5
1--Í 1-li
10-6i + 5i - 3i2 
5z + 32
t . 1 ■ 
a z = 1 + -1 => z
2
v < 1- 
a) z = 1+—i
3 6. ■ + —I
5 5
g) (3 + 4i)(3-4i) = 32 + 42 =9 + 16 = 25
h) (2-5i)(2 +5i) = 22 + (-5)2 =4 + 25 = 29
i) (V2+i)(V2-i) = (V2)2+12 =2 + 1 = 3
3i 2 + i 6i + 3i2
“ 2-i X2 + 1 “ 22 +(-1)2
í-£i
5 5
1 1 —— i
1 2
= 1 X 1
1 + -Í 1~1|
2 2
3i
2-i
1 -i
i -i
-i
1
a) real b) imaginário não puro
Solução
Vamos determinar as partes real e imaginária de z, efetuando a divisão:
Assim, Re(z) =
a) Para que z seja real, devemos ter Lm(z) = 0. Então:
b) Para que z seja imaginário não puro, devemos ter Re(z) *0 e lm(z) 41 0 :
Re(z) * 0 => íO => 7x^0 X 51 0
Im(z) * 0
Então: x at 0 e x * — e x *-------
Solução
Ze R = 0 =■ bc - ad = 0 —’ bc = ad
45
2x + i 3-xi
3 + xr 3 - xi
7x
9 + x2
e lm(z) =
V6e x *-----2
a + bi
2 =---------
c + di
ac -adi + bci + bd 
C2+d2
3-2x‘
9 + x2
2x + íz =-------
3 + xí
2 = 0=>3-2x2 = 0 = x=±J~ = ± —
7x 
9+x2 
3-2x 
9 + x2
2,33) Seja z = , onde a, b, c e d são reais e c + di ü. Mostre que, se z e ■ü,
c + di
então bc = ad.
6x + 2x2i + 3i - xi2
9 + x2
3-2x2 
9 + x2
3_- 2_X2 
9 + x3
7x
9 + x2
ac + bd 
~ 'c + d
2 n Vã0 => X # ——
2
bc - ad.
c + d
 (a + bi)(c- di) < 
(c + dí)(c-di)
. , . „ bc-ad lm(z) - => —-
c* + d'
2x + i
2.32) Determine xe 5 para que z= : seja:
Vb
2
Ve
2
3
2
Ve
2
2.34) Determine z e C tal que iz + 2z = -3 - 3i.
Então
Resolvendo este sistema, encontramos x = -1 e y=1.
Portanto, z = x + yi = -1 + i.
2.35) Determine ze C tal que (1 + i)z + 2 — 3i = 3 + 1.
Solução
Efetuando a divisão:
2.36) Seja ze Ctal que zxz = 1. Prove que —— = z, com z*-1.
46
5 + 3i
2
Solução
Tomando z = a + bi, a e b reais, temos que:
É evidente que podemos resolver esta equação fazendo, como no exercício 
anterior, z = x + yi. Vamos, no entanto, cuidar deste caso apenas isolando z:
Solução
Fazendo z = x + yi (x e y reais), a equação fica: 
i(x + yi) + 2(x-yi) = -3-3i 
xi + yi2 + 2x - 2yi = -3 - 3i 
(2x-y) + (x-2y)i =-3-3i
(1 + i)z + 2-3i = 3 + i
(1 + i)z = 3 + i-2 + 3i
(1 + i)z = 1 + 4i
1 + 4i 
Z - —’—
1 + i
J2x-y = -3 
[x-2y = -3
1-Í + 4Í + 4 
12+12
5 3.
Logo: z = -+-i 
2 2
; (1 + 4i)(1-i)
’ (1 + Í)(1-0
2
+ bi =
+ bi - a + bi = 2
Exercícios Propostos
2.37) Efetue as divisões:
2.38) Determine o inverso do complexo z nos seguintes casos:
a) z = -3i
b) z = 1+i
43C) Z = í
d) z = cosx + i sen x, xe®
2.39) Determine xe Kde forma que □ complexo seja:
a) rea! b) imaginário náo puro
2,40) A que condições devem obedecer os reais a. b, c e d para que z =
di * 0)
47
1 + Z
1+2
2a(1 + a)
" 2(1 +a)
1 + a + bi
1 + a-bi
(1 + a + bi) (1 + a + bi) 
(1 + a “bi) (1 + a+bi)
a + bi
c + di
2a + 2a
2(1 +a)
30
seja um imaginário puro? (c +
1 + 3l
 1 + 2i
3 3 + 2i d) 3 - 4i
+ ^Ibi = 
2(1 +a)
1 + 3i
7 + 7i
1 + 2a + a2+ 2(1 + a)bi - b2 
2(1 +a)
1 + 2a + a2 - (1 - a2) 
2(1+a)
+ i26
(1+a + bi)2
(1 + a)2 +b2
1 + 2a +a2 -b2 
2(1 +a)
3
- + bi
(1 + a)2 + 2(1 + a)bi - b2 
1 + 2a +1
[d^ai + bi]2
1 + 2a + a2 -rb
1
X + 4i
X^+4 2 + Xi
zxz = 1=>a2+ b2 = 1 e
é real2.41) Determine o imaginário puro w para o qual Z =
é real.2.42) Mostreque.se z = cos a + i sen a, ae R, então
2.43) Sendo z = sen a + i cosa, prove que —- = z, z *-1
2.44) Determine ze C tal que:
2.45) Determine z e C tal que:
a) iz + 3 - i = 4 + 3i b) (2-3i)Z + 5-i = 4
c)(1 + i)z + 1-3i = -2iz
2.46) Efetue:
a) (1 + 7i) + (3 - 5i)
b)(1 + 7i) + (3-5t)
c)(1 + 2i)>(3-i)
d)(1 + 2i)><3 -i)
e)
1o) Zt + Zj = z1 + z2
2o) Z, xz2 = Z1 XZz
48
1-i
1+i
2.47) Propriedades dos conjugados - Sendo z-i e z2 números complexos 
quaisquer, prove que:
4 + wi 
w + 1 + i
Z2
f) =
1 + i
Z2 +1 
z
a) z-2>z = 4-3i
b) 2z-iz = 15i
c) z-(z)2
d) z = ixz-i>z
3o) 
VZ2
Mostreque.se
Mostre que, para todo n natural, (zr) = (z)n.2,43)
2 49)
2(z)3 + 3(z)2 = a-br
2 50)
49
Considere a equação (E): az3 + px + y = 0, onde cx. (3 e y são reaís (a # 0). 
Mostre que, se número imaginário z é raiz de (E)> então z também o é.
Sabendo que zé C e 2z3 + 3z2 = a +bi a e b reais, mostre
Capítulo
3
3.1 - O Plano de Argand-Gauss
2
— C = R x R
b
P(a;b) z = a - D!
0 a
51
-► x
— um número complexo z é um par ordenado de números reais a e b
Z = (a; b) = a + bi
A geometria dos 
números complexos
Vamos, então, a cada número complexo z = a + bi, associar o ponto P(a; b) do 
plano cartesiano. Desta maneira:
são, por si só, suficientes para percebermos a possibilidade de representação 
através de um ponto do plano cartesiano.
Sabemos que os números reais podem ser associados aos pontos de uma reta, 
isto é, a cada número real corresponde um ponto da reta e a cada ponto da reta 
corresponde um número real:
A cada número complexo corresponde um único ponto do plano cartesiano, e 
a cada ponto corresponde um único número complexo.
_3
2
-+
Chamaremos o ponto P de afixo ou de imagem geométrica do complexo z. 
yi
p 
3
7 
2'-n 
-------- H---------------- 1-------- 1--------. - h 
-3-2-1 0 1 2 3 4
Como representar graficamente um número complexo? As próprias defi-nições 
dadas:
Exemplos
2
N
120 x
-2
-3 -* P
Observemos que:
Exercício Resolvido
3.1)
c)-2 < Re(z) £ 1b) lm(z) i 1
52
-+
3
a) Re(z) = 2 
d)Re(z)-lm(z) = 0
Consideremos os pontos assinalados na figura:
YA
Represente, no Plano de Argand-Gauss, os afixos dos números complexos 
z tais que:
a) O ponto M é a representação gráfica do complexo 3 + 2i.
b) O ponto N é o afixo do complexo - 3 + i.
c) O ponto P(2; - 3) é a imagem geométrica do complexo 2- 3i.
d) O afixo do complexo - 2 + 0i=-2éo ponto Q
e) A unidade imaginária i tem por afixo o ponto R(0; 1)
f) O afixo do imaginário puro - 2i é o ponto S(0; - 2)
4- 
1
M 
■ç>
todos os números reais têm seus afixos no eixo Ox; por isso Ox é chamado 
eixo real;
os números imaginários têm seus afixos fora do eixo Ox: em particular, os 
imaginários puros são representados por pontos do eixo Oy, que, por isso, 
é chamado eixo imaginário.
Q 
—C------ F
-2-1
A representação gráfica dos números complexos foi introduzida através de estudos 
de Caspar Wessel (1745-1818), publicados em 1798 na Revista da Academia 
Dinamarquesa. No entanto, a ideia só começou a ser reconhecida a partir de 
1806, quando Jean Robert Argand (1768-1822) publicou sua exposição. A 
incorporação definitiva da representação gráfica à Matemática só se deu quando 
da divulgação dos trabalhos de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), durante a 
segunda década do século XIX.
Por isso, quando o plano cartesiano é utilizado para representar números 
complexos, é costume chamá-lo de Plano de Argand-Gauss.
R «—1
Solução
Façamos z = x + yi, com x e y reais. Entào:
y *
0 x
y*
1
o
y
-2; 0 x
yf
0 x
Exercícios Propostos
3.2) afixes dos números complexos
53
■+
1
d) Re(Z)-lm(z) = 0 «■ x-y = 0
Da Geometria Analítica, sabemos que 
x + y = 0 é a equação da bissetriz dos 
quadranles ímpares.
a) Re(z)=2cs>x = 2
No plano cartesíano. a equação x = 2 
representa uma reta vertical traçada 
pelo ponto (2; 0).
C) < Re(z) < 1 » -2 < x í 1
Esta desigualdade representa a faixa 
vertical do plano delimitada pelas re­
tas, x = — 2 e x = 1, excluídos os 
pontos da primeira.
2L
2
Represente, no Plano de Argand-Gauss, os 
z tais que;
a) lÉlm(z)<3
b) DíRe(z)í3 e -2 í^zJíO
c) £z) = g
b) IM{Z)^1 ~ y >1
Esta desigualdade representa a região 
do plane situada acima da reta 
horizontal da equação y = 1. 
(incluem-se os pontos dessa rela).
3.3)
3.4)
y*
3.2- Módulo de um Número Complexo
b
p.
0 xa
’a)
2a)
|z| - p = ÕQp
y •Exemplos
3
2
1
20 í
54
+■
X
Represente graficamente os números complexos 2 = (z; y) para os quais: 
(x-2yí)(2y-xi) =-16i
Pois bem: esse número p (real e nao negativo) é chamado módulo do número 
complexo z. podendo também ser representado por |z|.
Temos, então, duas maneiras de entender módulo de um número com* 
plexo z:
(algebricamente) módulo do número complexo z = a 4- bi é o número real 
não negativo dado por:
Considerado um número complexo 2 = a + bi, o 
ponto p (a; b)é o seu afixo. A distância p, de P 
até a origem O ê facilmente obtida pelo teorema 
de Pitágoras:
Determine o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z para os 
quais o quociente é um imaginário puro.
izl = P =
(geometricamente) módulo do número complexo zéa distância do afixo de 
z até a ongenn:
a) Sendo z = 2 + 3i. temos: 
|z| = |2 + 3i| = h2 - 32 
Logo, iz| - p = 7Í3
p - a2 + b2 => p = \' a2 + b2
7a2 + b2
X
- '1
- -2
-3
P
3
C x
y*
2
01
-2
3.3 - Propriedades Imediatas do Módulo
Sendo z e w dois números complexos, valem as propriedades:
(w * 0)
Suas demonstrações são imediatas, podendo ficar a cargo do leitor,
55
i£l
1 wl
p
-3
Note, neste exemplo, que z é real e a definição de módulo de um número complexo 
está de acordo com a definição de módulo de um número real, que já conhecíamos 
do volume 1 desta coleção
djSejam Pi o afixo de z = 3+ 2i e Pj o afixo 
de seu conjugado z - 3 - 2i.
Repare que:
1a) Pi e P 
eixo O),.
2’) |z| = |z| = >/Í3
y-
0
: p
X
y±
—I----- 1--------- 1-------
-3 -2 -V
1?)ÍZ] = |Z|
2.a)| zxw | = [ z|*J W I
3?)l— =
w
h) Sendo z = - 4 - 3i, temos: 
jz| = |-4-3í| = J(-4)2 + (-3)2 
Logo, [z| = p^5.
z sao simétricos em relação ao
9 i
c) Sendo z = -3 = -3*0i, temos:
|zf = |-3| = J(-3)2 + Q2 
Logo, |z| = p = 3.
Exemplos
a) Sendo z = 12 + 5i, temos z = 12 - 5i e
Exercícios Resolvidos
3.5)
Solução
y
3
3
-3
2°modo - Fazendo z = x + yi, temos:
Assim, o lugar geométrico procurado é a circunferência da figura anterior.
3.6)
56
Podemos resolver este problema de dois modos: por um simples raciocínio 
geométrico ou analiticamente.
Qual o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que 
|z| = 3?
Qual o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que 
|Z|S3? '
*x
Ora, sabemos que o lugar geométrico 
dos pontos do plano, cuja distância a 
um ponto fixo deste plano é 
constante, é uma circunferência de 
centro na origem e raio 3.
Na Geometria analítica (vol. 6 desta coleção) aprendemos que a equação (I) 
representa uma circunferência de centro 0(0; 0) e raio r = 3.
1o modo- Como sabemos, o módulo 
de um número complexo é a distância 
de seu afixo até a origem; estamos, 
então, procurando o conjunto dos 
pontos cuja distância até a origem 
seja 3,
b) | (2 + 3í)>(1 - 4i) | = | 2 + 3i i x| 1-4i | =
= V22 + 32 xjl2+(-4)2 = >/í3 xTÍ7 = V22Í
c) 1~3ij - l1~3ll- x^-H-3»2 - _ /õ
’ M x/22 4-12 ’ V5 ”
+ 52 =13
C) -z—
2 + i
z = 3 => v'x2 +y2 = 3 => x2 + y
|z| = |12 + 5í| = VÍ22
|z| = |l2-5i| = 7l22+(-5)2 =13
2 = 9 (!)
-3 x
3-7)
(x2 + y2) i = x2 - y2 - 2xyi.2
y-
x
3.8)
57
que, conforme a Geometria Analítica, 
representa a bissetriz dos quadrardes 
pares.
Solução
De modo análogo ao exercício anterior, concluímos que a região do plano 
correspondente à condição dada é o círculo de centro 0(0: 0) e raio 3 (sua 
relação x2 + y2 <9.
y+
3
Solução
Fazendo z = x + yi, temos:
Sendo w = 1 - i, represente graficamente os números complexos z tais que: 
|z + w| >|z-wi|
-3
Represente graficamente os números complexo z que satisfazem a equaçao 
I z |2 xi = z2.
Solução
Fazendo z = x +yi, temos:
| z |2 xi = z2 => (Jx2 + y2)2 M = {x - yi)
Desta igualdade de números complexos vem o sistema-
Í0 = x2-y2
|x2 + y2 = -2xy
que também pode ser assim escrito:
j(x + y)x(x-y) = 0
[x + y = 0
É fácil, então, perceber que essas duas equações são simultaneamente 
satisfeitas apenas pelos pares (x; y), que obedecem á relação:
x + y = 0
í
73
>2
Y4
0 x
,2 (I)
58
)
3.9)
Como jz + w| > |z - wi| podemos escrever:
• |z + w| = |x + yi + 1-i| = |(x + 1) + (y-1)i| = 7(x + 1)2 +(y~1)'
• |z-wi| = |x + yi-(1-i)i| = |(x-1) + (y-1)i| = V(x“1)2 + (Y ~1)2
Portanto, a representação gráfica dos 
complexos z tais que |z + w| > |z + wi| é 
o semi-plano da figura ao lado.
Determine a área do polígono cujos vértices são os afixos dos números 
complexos z tais que |z| = 1 e Re(z2) = 0.
J(x+i)2+(y-i)2 s V(x-1)2+(y-1)2 
(x + 1)2 + (y-1)2 5(x-1)2+(y-1)2 
x2 +2x + 12 x2 ~2x + 1 
4x5 0
X50
Solução
Fazendo z = x + yi, temos:
1o) |zj 1 <=> 7x2 - y2 1 <=> x2 + y2 = 1
2o) z2 = (x + yi)2 = (x2-y2) + 2xyi.
Como Re(z2)-0, vem x2 - y2 = 0. (II)
(!) é a equação de circunferência de centro na origem e raio 1.
(II) é a equação do par de bissetrizes (x + y = 0 ou x - y = 0).
Solução
.2
Como z xw é imaginário punor ac + bd = 0 e bc — ad # D.
Então:
Veja volume 2 desta coleção, p. 35.
59
n |z|=H=i
2o) zxw é imaginário puro
. |w| = 1
• zxw = (a + bi)(c-di) = ac-adi + bci + bd = (ac+bd) + (b-ad)i
Assim, os afixos dos complexos que satisfazem simultaneamente as duas 
condições são os vértices de um quadrado cuja diagonal tem medida 2 
(diâmetro da circunferência).
Logo, a área pedida é:
■1 + 1-»- 2ac + 2bd
11 + 1-2ac-2bd
2. + w
z - w
S = (lado)2 =
|z + w| 
determine -------- .k-w|
Fazendo z = a + bi e w = c +di. temos:
• |z| = 1 => 7a2+b: = 1 => a2 +b2 = 1
3.11) Prove, utilizando o Princípio da Indução Matemática . que |zn^-^í|n para to­
do natural n & 1.
diagonal'2 4 
72 J "2“
3,10) Sendoz e w, z * w, dois números complexos tais que:
_)2 Ia3 + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2
I2 v a2 -2ac + c2 + b2 -2bd + d2
 7(a + c)2 +(b + d) 
7(a-c)2 + (b-d)2
Como a2 + b2 = 1 e ca + d2 = 1, essa última expressão pode ser escrita:
7c2 + d2 = 1 c2+d2=1
z + w I | z +w | | (a + c) + (b + d)J 
z-w] ]z-w| | (a-c) + (b-d)i |
í2 + 2(ac+bd) [2
Í2-2(ac + bd) " \2 ~
nr
Solução
Teorema 1 - A igualdade é válida para n = 1:
Exercidos Propostos
d)
60
b)|z-3i|=|z + 2| 
d)fz-1 + 2ijí2
|z1|=z = |z|1
Teorema 2 - Vamos provar que, se a igualdade é válida para n = k, entáo o 
ê para n = k + 1.
Hipótese: Jzkj - Jz|k
izk+il=kr1Tese:
Vamos partir do primeiro membro da tese e utilizar a propriedade:
|zxw| = |zMw|,
Hipótese
””’A
'| = |zk | >|zf = |z|k >|z| - jz|k+1 - (2° membro da tese)
3.13) Represente graficamente os números complexos z tais que:
a)|z[=2 b)|z[32 c)1<|z|í2
|z^|=p
Aplicação: Vamos calcular - i)3
x?i
3.14) Determine o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z para os 
quais: 
a)|z| + z = 2 + 4i 
c)|z-1 + 2i| = 2
r /------------J3-Í|a = VÍ3)3 + Í-1)2 =[VÍ]S =2® = 256
3.12) Calcule'
a) |7-24i|
b) |(2 + 3i)xí1-i)|
|(-3-4i)(2 + 2i)
c) .------- -----------
l 1+1
(s/2 + 2i)a
(-1 + 2j2t)d
- J102o)
3.4 - Outra Propriedade do Módulo: a desigualdade triangular
3
1
i 2 3 40 x
61
4 ■Pelo gráíica abaixo, a situação torna-se 
visível: a figura mostra um paraieloqramo, 
onde os lados têm medidas | z | e | w | e 
uma diagonal mede |z + w|.
/ +
/ /
/|z|
z +w
j zw
- |z + w[ = |3 + 4i[ = -Ja2 + 4
• |z| = |1 + 31| = 7l2 + 32 =710 = 3,16
♦ |w[ = j2 + í] = V22 +12 = 75 = 2,23
□ e fato, temos 5 < 3,16 ■+■ 2,23; portanto, neste exemplo vemos que o módulo 
da soma é menor que a soma dos módulos,
3.15) Represente, no Plano de Argand-Gauss, qs complexas z tais que:
a) |z + 2[ + |z-2| = 6
b) |z + 2| + |z - 2| í 6
3.16) Sendo w - cos a + i sen ct, a real, determine a módulo do número complexo
Z2
z para o qual tem-se — = S.
w
3.17) Senda z e w númeras complexos tais que- 
1°} |z| =|w[ = 1
Sendo z e w números complexos quaisquer, tem-se que
Examinemos um exemplo. Senda z = 1 + 3i e w = 2 + i, temos:
I 7Í 7 ! * z|z|/V
2 =5
determine R_í — I
|z + w| Ú |z| +|wj
y+
6
5
4 ■
3 |£4W|
1-
*7/^
30 1 2
|2
Isto é, se:
62
os
Plana sabemos que (num
Assim, observamos que nos triângulos em que o paralelogramo está dividido, 
lados têm medidas|z|,jw| e |z + w|;da Geometria
triângulo) cada lado é menor do que a soma dos outros dois. Daí a propriedade:
]z + w| < |z| + ]w|
ser conhecida como desigualdade triangular
Fica evidente que, quando |z| e |w| estiverem representados por segmentos 
contidos numa mesma reta que passa peía origem, ocorre 0 caso em que 
|z+w| = l2H*L
Por exemplo, se z = 1 + 2i e w = 2 + 4i 
(note os pontos (1; 2) e (2; 4) 
pertencem â reta da equação y = 2x), 
temos:
-]z + w| = i3 + 6i| = J9 + 36 = 3^5
- p + 2ij = 7^+4 = Vb
• |w| = |2 + 4i| = 747Í6 = 2^5
(375 = 75+2^5)
+ ÍWa2+b27(a + c)2 +(d + d)2 <
Elevando ambos os membrcs ao quadrado, ela é verdadeira se:
(a+c)2 +(b + d)2 s a2 + b2 + 27(a2+b2)(c2 + d2) + c2 + d2
que simplificada fica: ac + bd í + b2) (c2 + d2)
Quadrando novamente ambos as membros,a desigualdade é verdadei­
ra se:
2abcdí a2b2 +b2c2
2Esta última relação é equivalente a: (ad -bc) 5 0
que é indiscutivelmente verdadeira, sendo a, b, c e d reais.
Portanto, partindo desta desigualdade, revertendo o processo pas­
sagem por passagem (e cada uma delas é reversível), provamos a pro­
priedade_______________________________________ __________ _____ .
a2c2 + 2abcd+b2d2 5 a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
2-
Demonstração da propriedade
Sejam z = a + bi e w - c + di, a, b, c e d reais. Assim, temos 
z + w = (a + c) + (b + d) i,
A desigualdade |z + w| < |z| + ]w| pode, entáq, ser escrita:
Exercicios Resolvidos
Solução
12 <|z| + 5
donde obtemos’
Determine a relação entre a, b, c e d.
Solução
d
b
a c
r
Exercicios Propostos
números complexos quaisquer, entãoz
63
■>
x
3.18) Sendo z um número complexo tal que | z + 3 — 4i | = 12. determine o valor 
minimo de | z |.
Como a 
escreve:
Sabemos que, quando o módulo da soma é igual ã soma dos módulos, os 
afixos dos complexos pertencem a uma mesma reta (r) que passa pela 
origem.
3.19) Os números complexos z = a + bi e w = c + di são tais que a>b>c>d*0 e 
|z + w| = | z| + | w|.
|z|57
Assim, o valor mínimo de é | z | é 7.
3.21) Mostre que, sendo z-f, zj e 23 números complexos quaisquer, então: 
|zi + z2 + z3|<|zi| + |z2| + |z3|
Pela desigualdade triangular, temo que:
|z + 3-4i|Ê|z| + |3-4i|
|z + 3 —4i[ = 12 e ]3-4i]= a/32+ (-4)2 = 5, desigualdade se
3.20) Mostre que, sendo 
|z-w|<|z| + |w|
d 
m = - e m= — 
c
b d
Portanto, — = — ou ad = bc. 
a c
e w
Seja, então, y = mx a equação dessa 
reta (r).
Se (a; b) e r, temos b = ma. (I)
Se (c; d) e r, temos d = mc. (II)
De (!) e (II) temos:
b
a
4
b
0 a x
6 = arg(z)
0 < arg(z) <
é o argumento principal de um complexo z, também
são argumentos de z:
65
A trigonometria dos 
números complexos
4.1 - Argumento de um Número 
Complexo
Sejam, z = a + bi um número complexo 
não nulo e P o ponto que o representa.
No entanto, é frequente que nos refiramos ao argumento principal 0 simplesmente 
como argumento de z.
0k - 0 + 2kre
5n 9n 13n 3n
~2 '~2 '~2~ '~~2 '
A medida 0 do ângulo formado pelo 
semieixo positivo Ox e pelo segmento OP 
(tomada no sentido anti-horário) é 
chamada argumento principal do número 
complexo z, e é indicada por arg(z):
Nota: Damos o nome de argumento principal a 0 pelo fato de também serem 
considerados como argumentos do número complexo z = a + bi todos os 
côngruos de 0, ou seja, os ângulos de medidas:
No caso em que b = 0 e a > 0, isto é, quando P está no semieixo positivo Ox, 
adotamos 0 = 0. percebemos, então, que:
onde keZ. Assim, se 0 =—
2
7n
— , etc.
2
Capítulo
y+
0
p
0 = rc p-5 0-5
YÀ
a
-3' ■P
y|
p3
2
3
1
YAd) Seja 2 = 275-21
0 A
0 o.
2
p = 4
-2 P
66
>
X
*x
X
0
p = 3
»V(
4/
b) Seja z = - 3i,
Temas, então, o ponto P(0; - 3] no semieixo 
negativo Oy. Portanto:
9 = ^
2
2 1 sen a = - -
4 2
Exemplos
a) Seja z = - 5.
Temos, então, o ponto P(- 5: 0) no semi- 
eixo negativo Ox. Portanto:
c) Seja z = 1 + 75 i.
Calculando | z |, temos:
|zl = p = Ji2+(75)2 =77 = :
No triângulo retângulo OAP, temos: 
sen cateto oposto _ 75 
hipotenusa 2
Como 0 é agudo, ê imediato que;
Calculando ] z|. temos:
|z| = p = J(275)3 + (-2)2 =4
Para determinarmos 6, vamos primeira­
mente determinar □ ângulo a no triângulo 
OAP da figura, já que é imediato que 
0 = 2n - a :
portanto:
P
p = 5
4
a
-3
Logo. 9 = 180°-53’ =127’
4.2 - A Forma Trigonométrica dos Números Complexos
Yl
b Pe
P
Õ
p a x
67
6
As definições de módulo e argumento de 2 nos permitem escrevê-lo numa nova 
forma, além das já utilizadas: (a; b) (cartesiana) e a + bi [algébrica),
e) Seja z - - 3 + 4i.
Calculando | z |, temos:
Consultando a tabela do final do livro, 
temos a = 53°.
b
P
Para determinarmos 9. vamos primeira­
mente determinar o ângulo ct no triãn-gulo 
OAP da figura, já que ê imediato que 
9 = 180’ -çt.
,sen9 = 
fc____
'P*
y*
— 4
4 
sena = — = 0,8000
5
Se lembrarmos que os sinais das coordenadas (a; b) de um ponto do plano 
cartesiano são, em todos os quadrantes, os mesmo que os do cosseno e do seno, 
respectiva mente, è fácil verificar que para todo número complexo z = a + bi * 0. 
cujo módulo é p e cujo argumente é 9. valem as relações:
a cos9 = — _al
e = 2^--
6
Temos, então, a = — e, 
6
| Z I = p = 4.4 2 =5
isto é:
z = p(cos 0 + i sen 9)
que ê a forma trigonomêtrica do complexo z,
Podemos, então, escrever: z = = 5 £cosn + i sen jt)
b) z = -3Hemp-3 e 9 = — (veja exemplo b, do item 4.1)
c)
3
d) z = 2-^3-2i tem p = 4 e 0 -(veja exemplo d, do item 4.1)
z = —5 = 5 (cos jt+i sen rr) = 5 (cos3tt + i sen 3rc)
68
Podemos, então, escrever:
z = a + bí = pcosB + (p sen 6)i
Observação: Como, da Trigonometria, temos que dois arcos (ângulos) cõngnjQs 
têm senos iguais e cossenos iguais, é evidente que a forma trigo- 
nométrica de z pode ser escrita com qualquer dos argumentos de z 
dados por 6k = 0 + 2k!t,ke Z, isto é:
z = p (cose + i sen 0) = p(cos +i sen )
Por exemplo, como n e 3rr são còngnjos, podemos escrever:
Exemplos
a) z = -5temp = 3 e 9 = h veja exemplo a, do item 4.1)
Dessas igualdades, tiramos:
b = p sen 6
z = 1 + V3 temp = 2 e 6 = - (veja exemplo c, do item 4.1)
Então: Z = 2\/3-2i = 4| cos^-^ + isen-^-^
l 6 6
Então: 2 = 1 + J3i = 2| cos— + i sen —
l 3 3,
e a = pcosB
- _J 3n: 3n
Então: z - -3i cos— + ix—
2 2
1U
5
3*
2
Exercícios Propostos
4.1]
c) Z » 5i
d) z = -3+ 3J3i
e) z = -1
h)z = 3-3i
4.2) Escreva na forma algébrica os números complexos'
a) z = 6 cos- + isen­
ta) z — cos— 4- i sen —
c) z = 2|cos— + i sen —
4.3)
4,4) 02, com 0, + 02 = 2tt, os argumentos de dois complexos de
69
Escreva na forma trigonométrica os números complexos: 
a) z - 3
f) z =-1-i
g) z = -4i
Sendo Gi e
mesmo módulo, mostre que tais complexos são conjugados.
Mostre que se o número complexo z 
argumento 29.
2 
tem argumento 0. então z tem
3rc
4
7n
6
7n
6
3jt
4
n
3
n
3
Capítulo
5
5.1 - Introdução
- cos(01 + 02)
e
senS, cose2 + sen&2 cosBt = sen(61 + 02)
escrevemos:
zr<z:2 - Pi PjcosfÔ! + 02)
71
Quando introduzimos a forma algébrica dos números complexos, notamos que 
certas operações, como a multiplicação e a divisão, tornaram-se bem mais simples 
de se executar.
A forma trigonométríca. por sua vez. tem a vantagem de simplificar o trabalho de 
potencíação e de radíciação de números complexos, como veremos a seguir.
Operações na forma 
trigonométríca
+ r senG1 senü2) = 
+ senS2 ccsSJl
5.2 - Multiplicação e Divisão
Sejam os número complexos (não nulos):
z, = p^cose, +isen 9j 
z. = pz(cos02 +i sen02)
onde lemos que, para multiplicar dois números complexos na forma trigonométríca. 
basta multiplicar seus módulos ê somar seus argumentos.
É fácil verificar que esse procedimento pode ser generalizado para um número 
qualquer de fatores:
+ l senfQj + G2)]
Zi xz2xz3 x..xzn = p1 yp2 *p3 x. xpn[cose1+02+e3 + ... + en) + 
+ I sen (0, + S2 + e3 + ... + 0^)]
Vamos calcular o produto 21 xz2
Zj>za = p1(cosÔ1 + i sen >ç2(cos fi2 + iseng2) =
= p, p2(cos01 cose, + icos61senG2 + Ísen01cos62
= p, p2 [(cosâ1 cosG2 - senG1 senG2) + UsenS^osQ^ 
Como, da Trigonometría, temos que:
casS, cos02 - senQ1 senG2
senGj gosGJ]
escrevemos:e escrevemos:
- 12| cos— + isen —
72
onde lemos que. para dividir dois números complexos na forma trigonomêtrica, 
basta dividir seus módulos e e subtrair seus argumentos.
Exemplo
7k
4
5 71
T
3u
T
z,
Z2
p, I(cqs0,COS02
P!
2 i sen
Para calcularmos -- fazemos
p1^CO501CO502 - icosG, sen()2 + ísen91COSB2- i^senf^seriSj 
p2(ccs2 92 - i?sen282)
Como, da Trigonomelna. temos:
OOSB, COS02 + 3000,56002 = 003(0, - 9j) 
sen0,cos02 + senB2 cose, = sen(fl, - fl2)
e, - e2 = -1 2 4
„ . „/ rt k
Sejam z, = S^cos- +■ isen—
Para calcularmos z, xz2,
Vamos agora calcular o quociente —:
Z2
p, (cos G, + isenG,) p^cosB, + isenGJ Jcos02 - isen02) _
p2(cos02 + isen02) p2(cos92 + isen02) (cos02 - isenfJJ
cos202
— = “>{003(9) - 02) + isenfO, - 0J] 
z2 p2
3n . 3?t’l
cos— + i sen— L2 2 J
+ senfi,sen02) + i(senG)Cos92 
cos202 + sen?02
+ sen262 = 1
e z2 =
= - = 12 
p2 2
4j
fazemos:
P)>p2 = 6>2 =12
„ n rt 3rr
0, + 0 2 = ■— -I- ■—
l 4 2
7r
4
7n
4
e escrevemos:
+ i sen
podendo, depois, escrever:
5.3 - Potenciação
Se n > 0, temos:
Veja volume 3 desta coleção, p. 39.
73
5n
4
— li 4 J
3n
~ 4
= ZXZX..Z
n fatores
_ _ 5n0 = 2n------
4
• 5rt
primeira determinação positiva dos arcos da mesma extremidade que------
4
Note-se que, neste resultado, o argumento obtido não é o principal 0. e sim o seu
congruo-------.Caso desejemos a resposta em função de 6. devemos calcular a
4
zn
Zi _f 3n 3 rr
— = 3 cos- - + i sen — z2 l 4 4
zn
Consideremos o número complexo z = p(cos 0 + i sen 0) e o número inteiro n, 
ambos não nulos e calculemos zn.
Com base na multiplicação, na forma trigonométnca, vamos verificar como se 
processa o cálculo de potências da forma zn = (a + bi)n. n e 7.‘, sem que 
precisemos recorrer a métodos exaustivos como, por exemplo, o binômio de 
Newton.
— = 3 cos
Z2 L
* p >p x.. >p [cos(0 + 0 + ...+ 0 + isen(0 + 0 +... + 0)] 
n fatores 'w X
x n parcelas 7
Portanto:
zn = pn(cosn0 + isennfl) (I)
Da Trigonometria:
Exemplas
2
74
Se n < 0, temas - n > 0, podendo por isso, ser usado □ resultado (I) para 
- n, Então, fazemos:
Vemos, então, repetido o resultado (I).
Como, para n = 0 este resultado também se verifica [z° = pc (cos 0 + i sen 0) = 1], 
temos que, para iodo inteira n:
cas(-nâ) = cos(n6) 
sen(-n0) - -sen(n9)
pr casnfl + I senn9 
cos nâ - isennâ cos nS + I sennâ
pn(ccs nB -r i sen n0) 
cos^nfi T sen3 nâ 
“T”
z° = -
2 '
__ ______ 1
p "ri[cos(-n0) + i sen(-nâ)]
1 
zr = — z
„ 9tk . * , nCama — econgruode -:
p"
cos nB - i sen n9
= 512; cas — + i sen —
\ 2 2
21S
z" = pn(cos n6) + i sen nSJ
nu seja, para elevarmos um complexo z * 0 a um expoente inteiro n qualquer, 
basta elevarmos o seu módulo a n e multiplicarmos o seu argumenta por n.
A fórmula acima ê conhecida como fórmula de De Moivre,
Sjt + isen — 
2
18 n9Í ajT ■ 9,1
z = 2 cos— + i sen —
2
a) Seja 2 = <5í ces — + isen — . Vamos calcular z a.
i 4 4 J
zie = 2qf
13ir
4
18it
4
18 , 19,1 18:18 = (V2) ! cos— + i sen-----
( 9rr
, cos —
2
0jt
2
= (1)z
Como—107T é côngruo de zero:
= cosO + i sen 0 = 1
Exercícios Resolvidos
5J)
P A
p = 7(-2f + 2' = Va =272
OAPB é um quadrado;
x
e
Logo:-2 + 2i = 27s|
Como
= 1B2-12SÍ
75
3 71
T
Solução
Vamos escrever —2 + 2i = z na forma 
tngonomètrica:
Xy 
í 2
Jt0 = k - a - n - —
4
H
n 
4
72
2
72
2
b;
-2
Na figura, 
portanto,
P=2vr
15n 7n
COS---------- COS-----=
4 4
15k 7rtsen-----= sen — -
4 4
-6 x— ,3 J
Calcule (-2 + 2i)s
ti ■ 5 rr
b) Seja z = cos—+isen—. vamos calcular z (note que p = 1 j.
3 3
z-5
"6 fcos{-6 x— ) +1 sen(
L l 3 J t 
= 1 >£cos(-1 DxJ + j sen(-IOrc)]
3n 3ncos— + i sen —
4 4
0
z‘6
5 >3it
COS---------
4
zs = (-2 + 2Í)5 = (272)5 5x3n + i sen------ - l =
4 J
Z5 = 12S72Í— - i —
1 2 2
5.2)
zn = pn(cosn0 + isennB)
Para obtermos cos 0 e sen 20, façamos n = 2:
= p2(cos20 + i sen 20)
Mas. como z = p(cos 0 + isen0):
= p2(cos20 + 2icos0sen0 + i2 sen2 0)
isto é:
= p2(cos20 - sen20 + i>2 sen0 cos0)
De (I) e (II). temos'
p2(cos20 + i sen 20) - p2(cos2 0 - sen20 + i>2senOcos0)
Portanto:
Mostre que se (75 + i)2n, ne Z,é real, então n ê múltiplo de 3.5.3)
y*Solução
na forma tri-= z P
1
0 3
Portanto, Z-J3 + i = 2fcos- + isen-j
6
76
>
X
Solução
Sendo z = p (cos 0 + i sen 0), a fórmula de De Moivre nos dá:
2mt 
cos—- 
6
2mt
+ isen-----
6
= 22n
= 4n
Vamos escrever 73+i 
gonométrica; temos:
6
cos20 = cos20 - sen20
z2
z2
n?r . nrr 
cos— + i sen —
3 3 .
z2n
P = \/(73) 
0 = ^ 
6
= p2(cos 0 + i sen 0)2
e sen 20 = 2sen0>cos0
z2
z2n
Deduza as fórmulas de sen 20 e cos 20 em função de sen0 e cos0 uti­
lizando a fórmula de De Moivre.
senO = -j
3 + 12=2
seja real, é necessário que sen— = 0, isto é, o arco
6
Portanto:
e
para que zn seja imaginário puro de coeficiente positivo.
e
e dai, n = 3 + 12k, k inteiro.
77
nn
cos —
6
nn
cos— = 0
6
nn
deve
3
= 2n
nn 
sen— > 0 
6
nn
+ isen—
6
isto é, o arco — deve ter extremidade no ponto B (figura acima}.
6
n 2nPara que z
zn = (V3 +i)n
. rt n
2 cos— + i sen —
l 6 6
nn n
Logo, — = — + 2kn
6 2
Logo, — = kn, k e Z, e daí, n = 3k = múltiplo de 3.
3
5.4) Determine o menor natural n para o qual (Vã +i)n seja um imaginário puro 
de coeficiente positivo.
Solução
Sendo z = V3+i, temos: |z| = p = 2 e arg(z) = 8 = -.
z=2^
Como 2n > 0 
devemos ter:
Finalmente, o menor natural que satisfaz a condição acima é n = 3, para 
k = 0.
nn
3
ter extremidade em A ou em A’ (figura abaixo).
Exercícios Propostos
5.5) Calcule:
60
b)
5.6} Calcule
5.7)
5 6)
Determine o menor inteira positivo n para que (1 + i73}r seja;5.9}
5.4 - Radiciação
78
a) n = 3
b) n = 4
a) real positivo
b) real negativo
5.10) Determine o menor natural n para que (-73 + i)n seja;
a) imaginário puro de coeficiente positivo
b) imaginário puro de coeficiente negativo
Deduza as fórmulas de cos(nS) e sen(n0) em função de cosâ e sen6, 
utilizando a fórmula de De Moivre e o binômio de Newton nos seguintes 
casos:
- —iI 2 2 'a)(-Vã+i)ls
72 72 Y
2 2 'I ’
c)(-2-2if1S
Sendo n um número natural, mostre que se (1 + i)'1 ê imaginário puro, então 
n é um termo qualquer de uma progressão aritmética em que a razão é 
r = 4.
Definição - Dado um número complexo z e um número natural n * 0, 
chamamos raiz n-ésima de z a todo número complexo tu que satisfaz a 
relação <çn = z.
A raiz assume um nome especial para cada valor de n, Assim, se n = 4, 
dizemos raiz quarta de z Assim, se n = 7, dizemos raiz sétima de i, etc.
No caso de n = 2, costuma-se dizer raiz quadrada e, para n = 3, raiz cúbica. 
Conforme veremos todo número complexo não nulo admite n raizes 
n-êsimas. Por exemplo, o número 1 admite 4 raizes quartas (1; -1; i; _i)> 
pois;
14 = 1; <-!)* = 1, i4 = 1 e (-Í)4 -1
72 72
------- 1-------
2 2
r (cgs ct + i sen a] uma raiz n-ésima de z,ti)
Então:
donde tiramos:
rn = P, cos na = COS 8 senfle sen n«
<=P1* conclusão:
2* conclusão: -
donde:
Lembremos que nt é argumento de ue notemos que, se atribuirmos a k os valores:
0. 1, 2, 3..... n- 1
a = — +---- , k e Z
onde:
para k = 0, temos a,= —
para k = 1, temos a
79
Vejamos como determinar as raízes de um número complexa 
Dado z = p cos 6 + I sen 8, seja:
obteremos n valores distintos e nào cóngruos para ct e, para qualquer outro valor 
de k, o valor resultante de a será cõngruo de um dos jã obtidos.
cos n<t = cosô 
sen na = sen8
9 a = - +----- {kn n
2=T
Por exemplo, se z tem argumenta 6 = n, suas raizes quartas (n = 4) têm 
argumentos dados por:
r^]
e Z)
□u seja, o módulo da raiz n-ésima de um complexo z ê igual a raiz n-ésima do 
módulo de z.
Assim, se por exemplo z tem módulo 2, suas raizes quadradas têm modula 
72;suas raizes cúbicas têm modulo suas raizes quartas têm módulo Vi, etc.
na = 6 + 2krt
ü/1 = z
rn(cos na + isenna) = p(cos8 + i senft)
2krt
4
n
4
ir
4
e, caso continuemos, começaremos a encontrar côngruos:
(5.4)i sen (ke Z)
Exemplo
onde p = 8 e 8 = -. Como n = 3, as raízes cúbicas de z são dadas por:
+ i sencos
ou seja:
= yã+i
= - V3 + ik
-2i
80
2kn 
n
Vamos calcularas raizes cúbicas de z = 0 + Si 
Temos, na forma trigonometnca:
Por tudo isso, concluímos que, com o valor de r já determinada e cada um dos n 
valores distintos e não congruentes de a, pcdemas formar n números complexos íu 
= r (cos a + i sen a), todas eles raizes n-ésimas de z. dados por:
1 =■ w3
n
1 +
3 3
(.Ü - à'8
k = 2 => lüj
x
1 + 
3 3
(x 2kx
+ i sen| — + -—
<6 3
F (x 2kxA 
uj = 2 cos — + -----l U 3 )
Atribuindo a k os valores D, 1 e 2 = n - 1. temes:
11n 
para k = 5, Ct =----- (congruo de új)
A
9rr 
para k = 4, a = — (cÓngrua de cti)
4
~ 771para k = n — 1 =3, temos = —
4
„ £ 5x
para k - 2, temos a3 = —
6 2kx
— 4-------
n n
n( Jt Jl)
z = 8) cas— + i sen —
< 2 2j
k ■= D => (o, = 2 cos— + isen —
1 l 6 6j
= 2|'úús— + isen^
\ 6 6
í 3ít 3n i
= 2 cos— + isen— =l 2 2
2
Assim, J3 + i. - 73 -i- i e -2i são as três raizes cúbicas de 8i.
(¥)
0 2
013 -2
percebemos que:
1°)
2o)
81
+■
x
-se n = 2, extremidades de um diâmetro da circunferência de centro (0;0) e 
raio r = ^/p.
as n raízes n-ésimas de z têm o mesmo módulo r = yp. estando, por isso, 
seus afixos sobre uma mesma circunferência com centro na origem e 
raio r = ^p.
0>2
í
(0 2kn+ 1sen[ - + -----
\.n n
Vemos, então, que os afixos das raizes cúbicas de z = 8i são vértices de um 
triângulo equilátero inscrito numa circunferência com centro na origem e raio 2.
Analisando, agora a expressão das raízes n-ésimas de z:
n/ r Í9 2kn>|
cü = Wp , cosl — + -----V L <n n )
Interpretação geométrica - Observemos 0 exemplo dado: como a três raizes 
cúbicas têm o mesmo módulo r = 2, seus afixos estão sobre uma circunferência de 
n 2kncentro na ongem e raio 2; a expressão — + —— nos diz que os argumentos a 
6 3
determinam, sobre esta circunferência, 3 pontos distintos e separados entre si de 
um arco de medida — .
3
0 2kn
da Trigonometria, sabemos que arcos da forma - +-----representam n pon-
n n
tos distintos no ciclo, distribuídos de modo a dividir a circunferência em n 
partes iguais.
Portanto, os afixos das raizes n-ésimas de z são:
Solução
Vamos resolver o problema de dois modos.
As raizes quartas de z são dadas por:
.keZ
e
d)
e dai:
1 + ípara k - 0, tü0
-1 + i
- 1para k = 3, w3 =
02
9
4
Como tiJo é uma dessas raizes, devemos ter: 
tfp = |üjoi = &
rx f n kit = J2 cos — + —U 2
Como 9 representa o argumento principal de z, tomemos 9 - ir.
Portanto, as raízes quartas de z são dadas por:
(ir kn^i 
+ isen —+ —U 2 ,1
r - F ( 9 kn \ f 9 kn 1 
tü=f'p cos —+ — +isen -4—L 2 ,J ^4 2/
1Ú modo - temos que | w0 | = r = Vl + 1 = V2 e arg(üJ0) = a = 7
4
- se n 2 3, vértices de um polígono regular de n lados, inscrita na 
circunferência de centro (0;0) e raio ^p.
S.11) Sendo w 
demais.
Exercícios Resolvidos
— ^ + \ uma das raízes quartas de um complexo z, determine as
0—
4
krr x- = a - -
2 4
x kit ------- => e = w-2kn
4 2
f * ■ n i
i cos— + l sen — I =
l 4 4)
„ n:( 3ir 3rr
parak = 1, tp, = v2^cos— +■ isen—- j =
, _ çrf 5* , Srt^
parak = 2, ld, = ^/2icos------- f i sen—-i = -1 - i2 l 4 4 J
2icos— + i sen — 
\ 4 4
Assim, as demais raizes de z são;
~1 + i. -1-i, 1-i
V2
WiZ-
1
2 1
5.12) Resolva, em C, a equação binômia x5 + a = 0.
cos
Então:
para k = 0,
para k = 1, x
= 1 - ij3para k = 2, x 3
83
TT
4 >
x-b
-2
«3Ci>2
x = í/8
m0 = 1 + j
Solução
Temos x3 + 8 = 0 x3 = -8
2° modo - Sabemos que as 4 raizes quartas de z têm seus afrxos como 
vértices de um quadrado inscrito na circunferência de raio r - [ | = ^2
Como ü)0 é um desses vértices, temos:
Portanto, os valores de x que satisfazem a equação dada são as raizes 
cúbicas de z = - 8.
Na forma trigonométrica, temos:
z = -8 = 8 (cos ir + i sen rc)
Como n = 3, p = 8 e 0 = ti, os valores de x são dados por1
rc 2k7i’'i . (jt 2kir j .- +----- l + isenl- +------ , k e
3 3 ) 13 3 J
_( n n1 . /rx. = 2icos— + isen—i = 1 iv3
13 3J
2 = 2(cos7t + i senrr) = - 2
= 2lcos — -t- i sen — '1;
13 3 J
Então:
co4 é simétrico de too em relação ao eixo y; logo, = - 1 + i.
W2 é conjugado de to,, logo, = — 1 - i. 
é conjugado de logo, üj2 = 1 - í.
raizes
, k e Zx =
k e Z
os calores 0, 1, 2
8 = + —t -*7- + Vt h — - — i; 2; 2i; -2; -2i
Solução
ô = 3^4i
84
2kn
4
2kir
4
tffcosí^ u
*1.2 =
(2kx
16 cos— 
k 4
Utilizando esta fórmula, resolva a equação x5 -(1 + i)x— (3 + 2r) = 0,
4
ó = b2-4ac =[-(1 + i)]2-4 >dx ~(3 + 2i)
1 
Tendo a = 1, b = - (1 + í) e c = —(3 4-2i), calculamos o discrinninante:
4
Portanto, os valores de x que satisfazem a equação dada sao as 
quartas de -1 reunidas ás raízes quartas de 16,
— As raizes quartas de -1 - 1 (cosn + i sen n) são dadas por:
5.14) A fórmula de Baskara para determinação das raizes da equsçao do segundo 
grau ax' + bx + c = 0, a * 0, no caso em que os coeficientes a, b e c são 
números complexos, pode ser escrita:
-b + fq
2a
Solução
Fazendo a mudança de variável a equação dada se escreve: 
y2-15y-16 = 0
Como suas raizes são y = -1 ou y= 16, vem: 
x4 =-1 ou x< =16
onde o símbolo rq representa as raizes quadradas do discriminante 
A = b2 - 4ac.
x = ti
| * + i sem — +U
— As raizes quartas de 16 = 16(cos0 + isenO) são dadas por:
í2kjrYI 
+ i sen ----- ; ik 4 JJ
Atribuindo a k os valores 0, 1, 2 e 3, obtemos, dessas duas últimas 
expressões, o conjunto-solução da equação proposta:
v2 72. 72 72. 72 72, 72 7ã. „ J
2 2 2 2 2 2 2 2 í
3
Logo, o conjunto-solução de x + 8 = 0 é:
s = {-2; 1 + i7ã: 1 - iTã}
5.13) Resolva, em C, a equação binômia x8-15xJ-16 = 0.
V2
2
cos
A
Temos, então:
donde
Portanto, as raizes quadradas rq = a + £i são
Finalmente, com a fórmula fornecida, obtemos:
Exercícios Propostos
85
2kn:
(a + pi)2 = 3 + 4i 
(a2-p2) + 2ctpi = 3 + 4i
â
2
3
2
2
2
5.15) Determine:
a) as raizes quadradas de 4 + 41^3
b) as raizes cúbicas de - 27i
c) as raízes quartas de - 16
Vamos, agora, calcular rq, isto é, as raizes quadradas de A = 3 + 4i.
É claro que, para isso, poderiamos utilizar a expressão (5.4) para n = 2:
2krt 
T- rl
5.16) Resolva, em C, as equações:
a) x3 + 8i = 0
b) xe-1 = 0
-t- i sen<0 = rQ =
*2
onde p e R são, respectiva mente, o modulo e o argumento de ,x = 3 + 4i, 
No entanto, como se trata do caso simples de determinação das raizes 
quadradas, parece-nos conveniente utilizara definição de raiz: determinar 
rfl = a + pi (a e 0 reais) tal que:
■ 2 * t r„ = -2-i
Íc£2-P2 = 3
|2«p = 4
Resolvendo este sistema (lembrando que cr e p são reais), obtemos:
(a =2 e (3=1) ou (a = -2 e P = -1)
v ,_-b + rgi _ (1 + Í) + (2 + Í) _
1 2 2
-_ (i + |)-r(-2--Í) 
2 2
Assim, o conjunto-soluçáo da equação dada é:
_ Í3 .11S =<- + r, - - >
12 2]
é uma das raizes quartas de um número
2.2D) Uma das raízes sextas de z tem modulo 2 e argumento —.Represente
graficamente as seis raizes sextas de z.
Exercícios Suplementares
1-1).
Sendo z = (tg a + i)(cotg a + i), determine Re(z) e lm(z).I2)
Determine o número complexo z tal que z2 = iz.1.3)
1.4)
1.5)
,2 co2 = 6 e z + w=1-i, deter-I.6)
IV)
Represente graficamente os números complexos z tal queI 8)
86
Sejam a.b.c e d reais não nulos.
Mostre que a equação x3 + (a + bi)x + c + di - 0 não admite um número real 
e um imaginário puro simultaneamente como raízes.
Prove, utilizando o Princípio da Indução Matemática, que:
5.18) Uma das raízes cúbicas de um número complexo z é 8. Determine as outras 
raizes cúbicas de z.
Sendo z e w números complexos tais que z 
mine z-ui
5.17) Resolva, em c, as equações:
a) x6 - 19x3 - 216 = 0
9b) x3 - 2ix - — - 31 = 0 {Utilize a fórmula fornecida no exercício 5 14.)
Determine a soma dos reais x e y para os quais x
P = i, tfn e N
1 < | z| í 2
yí arg(z) < 
4 4
Os números complexos distintos b + ai e a + bí, com a xb # 0, tém por 
afixos os pontos A e B, respectivamente. Determine o complexo cujo afixo é 
a extremidade do vetor que se obtém fazendo o vetor AB girar de 27Q15 em 
torno de A, no sentido trigonométrico positivo.
2 + y2+5t-13 + xyí
5.19) O número io=3.cos— + issn —
^33
complexo z. Determine as demais raizes quartas de z.
5n
6
1.9)
87
a) real
b) rea! positivo