Laboratorio de matematica e fisica - Atividade 4

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· Pergunta 1
0 em 1 pontos
	
	
	
	Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio de três vetores linearmente independentes,  ,    e  , pode ser expresso como um produto misto do tipo  . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro.
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Justificativa: Podemos definir   = (20-(-10), 10-20, -30-0),   = (10-(-10), 10-20, 10-0) e  = (30-(-10), -20-20, 30-0). Segundo o teorema, temos que X = =  u.v.
	
	
	
· Pergunta 2
0 em 1 pontos
	
	
	
	Dados dois vetores,   = (a x , a y , a z ) e   = (b x , b y , b z ), define-se como produtor escalar, representado por  , o número real a x b x
+ a y b y + c x c y ou ao equivalente   em que θ é o ângulo compreendido entre eles. Suponha, então, os vetores   = (2, 1, m),   = (m+2, –5, 2) e   = (2m, 8, m).
Para quais valores de m os vetores resultantes das operações   +   e    serão ortogonais entre si? Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
Não existe m ∈
ℝ.
	Resposta Correta:
	 
m = -6 ou m = 3.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Justificativa: Conforme a definição, dois vetores são ortogonais entre si se o ângulo compreendido entre eles é , o que gera . Então, para que  = (m + 4, -4, m +2) e = (2m – 2, 7, 0) sejam ortogonais entre si e que    ou .
	
	
	
· Pergunta 3
0 em 1 pontos
	
	
	
	Os vetores  ,   e  , na figura a seguir, podem ser indicados   = (16, 30 o ) em coordenadas polares, ou   = (10, 0) e   = (-25, 30) em coordenadas cartesianas. Suponha que eles representem deslocamentos consecutivos de um corpo,  , a partir do ponto de origem (0, 0).
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assinale a alternativa que indica a posição final do corpo.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
(1, 60).
	Resposta Correta:
	 
(-15+8, 38).
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Justificativa: Seja  o vetor deslocamento total do corpo. Então,  = (R x, R y) em que R x = a x + b x + c x e R y
= a y + b y + c y. Em coordenadas cartesianas, o vetor  pode ser reescrito , 16sen30°) =  (8 , 8). Então R x = a x
+ b x + c x = 10 + 8  - 25 = -15+ 8 e R y = a y + b y
+ c y = 0 + 8 + 30 = 38. Portanto, a posição final do corpo é (0, 0) +  = (-15+8 , 38).
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de segmento circular AB, no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1 segundo. O raio R da trajetória possui valor R = 2 metros. Os vetores   e   são vetores canônicos e possuem módulo de valor unitário.
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média e da velocidade escalar média, respectivamente.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
3,7 m/s e 4,7 m/s.
	Resposta Correta:
	 
3,7 m/s e 4,7 m/s.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa:  e . Sendo , então o módulo da velocidade vetorial média é m/s. A velocidade escalar média no percurso AB, no mesmo período  = 1 s é  = 4,7 m/s.
	
	
	
· Pergunta 5
0 em 1 pontos
	
	
	
	Uma função gradiente é uma medida da taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço e é uma medida vetorial. Isotermas são conjuntos de pontos que identificam uma mesma medida de temperatura. Considere o mapa do Rio Grande do Sul que foi, hipoteticamente, noticiado no bloco de previsão do tempo. Ele registra as isotermas, em graus Celsius, pelo território em um dado momento do dia.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, qual dos trajetos lineares, identificados de I a V, apresenta o maior gradiente de temperatura naquele momento? Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
IV.
	Resposta Correta:
	 
I.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Justificativa: Segundo a definição, gradiente é uma medida da taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço. Portanto, quanto maior for a variação numérica da função escalar, no menor intervalo de espaço, maior será o módulo do vetor gradiente. Essa condição é mais bem satisfeita em I, porque a temperatura varia mais de 5 oC na menor distância territorial representada. Em V, por exemplo, a temperatura registrada é constante e igual a 24ºC. Nesse trecho, o gradiente de temperatura é nulo.
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que uma partícula P desenvolve movimento circular cujo módulo da velocidade seja constante). O deslocamento ocorre em torno da origem O de um sistema de coordenadas cartesiano. O vetor    = (r x , r y ) indica a posição de P, e A, B, C e D são quatro pontos da trajetória que coincidem com os eixos x ou y. O ponto E da trajetória coincide com a bissetriz do quarto quadrante).
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) Nas posições B ou D, as componentes verticais r y do vetor posição possuem os maiores módulos.
II. (  ) Nas posições A ou C, as componentes horizontais v x do vetor velocidade possuem os menores módulos.
III. (  ) Na posição E, as componentes vertical r x e horizontal r y
do vetor posição possuem o mesmo  módulo.
IV. (  ) Nas posições A, B, C, D e E, os vetores aceleração de P possuem o mesmo módulo.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, V, V.
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, V.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Sendo , , a componente vertical possui valor máximo para  ou  que coincide com B e D. Em A ou C, a velocidade somente possui componente vertical e a componente horizontal é zero. Na posição E, as projeções do vetor posição são as mesmas nas direções horizontal e vertical, porque . E, em um MCU, a aceleração possui módulo constante com o vetor sempre orientado para o centro.
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Seja dado um triângulo de vértices A, B e C. Considere que o ponto médio do segmento   é o ponto M e que N é o ponto médio do segmento  . As propriedades da geometria euclidiana podem, também, ser definidas em termos da notação vetorial.
 
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I.    é paralelo a  .
PORQUE
II.  .
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa:   . Portanto, . Se dois vetores são proporcionais entre si é porque possuem a mesma direção. Então, por isso, os segmentos  e  são paralelos entre si.
	
	
	
· Pergunta 8
0 em 1 pontos
	
	
	
	Pela geometria euclidiana, três pontos distintos, P, Q e R, definem um plano, e suas coordenadas coincidem com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto   é definido   em que   é valor do ângulo entre os vetores. Considere os pontos de coordenadas seguintes em um sistema de eixos cartesianos: A(6, 9, 3), B(6, 3, -3) e C(6, 6, -6).
Com base no exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Os pontos A, B e C definem um triângulo retângulo.
PORQUE
II. O produto escalar  .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Justificativa: Três pontos distintos definem um triângulo cujas arestas se identificam com os vetores  = (0, -6, -6),  = (0, -3, -9)e  = (0, -3, 3). O triângulo é retangular se dois dos vetores são ortogonais entre si. Então, segundo o enunciado,  = (0, -6, -6)  (0, -3, 3) = 0, ou seja,  implica que os vetores são ortogonais e, portanto, o  triângulo é retângulo em B.
	
	
	
· Pergunta 9
0 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que o vetor posição  de uma partícula P em movimento no espaço ℝ 3 seja dado, em função do tempo, pela expressão  . Os vetores  ,   e   possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano de coordenadas.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. O componente z da aceleração vetorial é zero.
II. A velocidade vetorial é  .
III. A posição inicial da partícula é   .
IV. A trajetória da partícula é helicoidal.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, F, F.
 
 
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, V.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Justificativa: Dado o vetor posição  de uma partícula, a aceleração é . Então, a componente z da aceleração é . A velocidade vetorial é dada por  ⇒ .  A posição inicial da partícula é a sua posição para t = 0 ⇒  . O movimento é progressivo e uniforme na direção z, enquanto as coordenadas x e y sofrem variações cossenoidais ou senoidais com amplitudes de valor |2A|. A composição caracteriza movimento helicoidal, ascendente, a partir do plano XY.
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema mental de coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema de eixos XY. Considere que uma delas executa movimentos de acordo com o desenho superior. Os vetores   representam os deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A posição final da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os deslocamentos.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
De acordo com o enunciado e apoiado pela figura apresentada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. O vetor   representa a trajetória integral da formiga.
PORQUE
II. O vetor   possui origem em (0, 0) e término na posição final.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições falsas.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições falsas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento  possui origem nas coordenadas em que o movimento de um corpo tem início e término na posição final do corpo em análise. Ele representa a soma dos deslocamentos parciais e, geralmente, não possui qualquer relação com a trajetória real do corpo estudado.